Elektrodynamika klasyczna/Pole skalarne

Pole skalarne

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Polem skalarnym nazywamy pole, w której w każdym punkcie w przestrzeni odpowiada pewien skalar.

Potencjał elektryczny

Weźmy dwa punkty, A i B, w których występują pewne statyczne pola elektryczne.Wtedy zmianę potencjału skalarnego pola elektrycznego definiujemy jako:

$\Delta _{A}^{B}\varphi =-\int _{A}^{B}{\vec {E}}d{\vec {l}}\;$

(3.1)

Dla pola elektrycznego skalarnego zakładamy, że zmiana potencjału nie zależy od jej drogi na drodze dowolnej z A do B, całka z różniczki zupełnej jest tak właśnie skonstruowana, by ona nie zależała od trajektorii między oba określonymi punktami, a zatem z definicji różniczki zupełnej, różniczkę zupełną pod całką możemy rozpisać wedle schematu poniżej:

$\Delta _{A}^{B}\varphi =\int _{A}^{B}d\varphi =\int _{A}^{B}\left[{{\partial \varphi } \over {\partial x}}dx+{{\partial \varphi } \over {\partial y}}dy+{{\partial \varphi } \over {\partial z}}dz\right]=\int _{A}^{B}\operatorname {grad} \varphi d{\vec {l}}\;$

(3.2)

Porównajmy wzór (3.1) ze wzorem (3.2), bo oba wzory oznaczają to samo, zmianę potencjału na drodze z A do B, która w ogólności nie jest odcinkiem prostym i przenosząc wszystko na lewą stronę tak by po lewej stronie była całka z pewną funkcją podcałkową, a po prawej stronie zero:

$\int _{A}^{B}\operatorname {grad} \varphi d{\vec {l}}=-\int _{A}^{B}{\vec {E}}d{\vec {l}}\Rightarrow \int _{A}^{B}\left(\operatorname {grad} \varphi +{\vec {E}}\right)d{\vec {l}}=0\;$

(3.3)

Wzór (3.3) jest spełniony dla dowolnej linii łączącej punkt początkowy A z punktem końcowym B, zatem wnioskujemy we wspomnianym wzorze funkcja podcałkowa jest równa zero, czyli

$\operatorname {grad} \varphi +{\vec {E}}=0\;$

(3.4)

zatem ostatecznie z (3.4) wyznaczając wektor natężenia pola elektrycznego, wtedy dostajemy wzór na tą wielkość w zależności od gradientu potencjału skalarnego wziętych z minusem:

${\vec {E}}=-\operatorname {grad} \varphi \;$

(3.5)

Prawo Stokesa dla elektrostatyki a definicja pola elektrostatycznego poprzez potencjał

Teraz sprawdzimy czy jest spełnione prawo Stokesa dla elektrostatyki, zatem policzmy wtedy wyrażenie matematyczne składające z rotacji i gradientu, zatem piszemy:

$\operatorname {rot} {\vec {E}}=\operatorname {rot} \operatorname {grad} \varphi =(\nabla \times \nabla )\varphi =\epsilon _{ijk}\nabla _{j}\nabla _{k}\varphi ={{1} \over {2}}\left(\epsilon _{ijk}\nabla _{j}\nabla _{k}+\epsilon _{ijk}\nabla _{j}\nabla _{k}\right)\varphi ={{1} \over {2}}\left(\epsilon _{ijk}\nabla _{j}\nabla _{k}+\epsilon _{ikj}\nabla _{k}\nabla _{j}\right)\varphi =\;$
$={{1} \over {2}}\left(\epsilon _{ijk}\nabla _{j}\nabla _{k}-\epsilon _{ijk}\nabla _{k}\nabla _{j}\right)\varphi ={{1} \over {2}}\left(\epsilon _{ijk}\nabla _{j}\nabla _{k}-\epsilon _{ijk}\nabla _{j}\nabla _{k}\right)\varphi =0\;$

(3.6)

Co dla pola elektrostatycznego udowodniliśmy prawo Stokesa (2.18).

Addytywność potencjału elektrycznego

Jeśli potencjał pola skalarnego jest wielkością addytywną, to natężenie pola elektrycznego jest też addytywne, i odwrotne. Określmy i nazwijmy ją całkowitym potencjałem elektrycznym pola elektrycznego jako sumę potencjałów elektrycznych pochodzących od N ładunków:

$\varphi =\sum _{i=1}^{N}\varphi _{i}\;$

(3.7)

I policzmy wyrażenie poniżej, korzystając ze wzoru (3.7), wtedy dojdziemy do wzoru (1.5), że natężenie natężenia elektrycznego jest wielkością addytywną, co jest prawdą, tzn:

$-\operatorname {grad} \varphi =\operatorname {grad} \sum _{i=1}^{N}\varphi _{i}=-\sum _{i=1}^{N}\operatorname {grad} \varphi _{i}=\sum _{i=1}^{N}{\vec {E}}_{i}={\vec {E}}\;$

(3.8)

Dowodząc odwrotnie z addywności natężeń elektrycznych dostajemy addywność potencjałów elektrycznych w postaci (3.7), prowadząc obliczenia w przeciwnym kierunku, niż w dowodzie (3.8). Dochodzimy, że jeśli pole skalarne, których jest potencjał elektryczny jest addytywny, to stąd wynika, że pole elektryczne wektorowe też jest jest wielkością addytywną, co otrzymujemy prawidłowo dotyczące właściwości natężenia pola elektrycznego, która z kolei wynika niezależności działania sił elektrycznych pochodzący od różnych ładunków.

Równanie Poissona a równanie Laplace'a

Równania Poissona można udowodnić korzystając z (2.12) i z definicji natężenia pola elektrycznego poprzez jego potencjał skalarny w danym punkcie (3.5), zatem łącząc obydwa te dwa równania, otrzymujemy:

$-\operatorname {div} \operatorname {grad} \varphi ={{\rho } \over {\epsilon _{0}}}\;$

(3.9)

co równaniu (3.8) rozpisujemy operator $\operatorname {div} \operatorname {grad} \;$ i dochodzimy do wniosku, że ten nasz wspomniany operator jest to po prostu laplasjan, czyli kwadrat operatora dywergencji.

$\Delta \varphi =-{{\rho } \over {\epsilon _{0}}}\;$

(3.10)

Równanie Laplace'a otrzymujemy z (3.10), gdy zachodzi ρ=0, czyli gęstość objętościowa ładunku elektrycznego jest równa zero, a zatem mamy:

$\Delta \varphi =0\;$

(3.11)

Czyli wyliczając natężenie pola elektrostatycznego należy z korzystać z równania Poissona (3.9) i potem z obliczeń potencjału skalarnego wyznaczyć natężenie pola elektrycznego, należy pamiętać, że przy definicji potencjału elektrycznego różniczkowe prawo Stokesa jest automatycznie spełnione jak pokazano w dowodzie (3.6).

Praca podczas przesuwania ładunku próbnego

Wiadomo, że jednak praca wykonana podczas przesuwania ładunku q w polu o ładunku Q jest napisana wzorem poniżej, wiedząc że źródło nie porusza się i środek układu współrzędnych znajduje się, gdzie jest nasze źródło pola i wtedy zachodzi na pewno ${\vec {R}}={\vec {r}}$, zatem:

$W=\int _{A}^{B}dW=-\int _{A}^{B}{\vec {F}}d{\vec {r}}=-\int _{A}^{B}FdR=-\int _{A}^{B}{{Qq} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{dR} \over {R^{2}}}=-{{Qq} \over {4\pi \epsilon _{0}}}\int _{A}^{B}{{dR} \over {R^{2}}}=-{{Qq} \over {4\pi \epsilon _{0}}}\left[-{{1} \over {R}}\right]_{A}^{B}={{Qq} \over {4\pi \epsilon _{0}}}\left[{{1} \over {R_{B}}}-{{1} \over {R_{A}}}\right]\;$

(3.12)

A zatem pracę wykonana nad ładunkiem q w polu o ładunku Q jest zależna od odległości od ładunku Q z jaką ładunek q zostaje przesunięty od R_A do R_B, i ta praca jest zatem wyrażona:

$W={{Qq} \over {4\pi \epsilon _{0}}}\left[{{1} \over {R_{B}}}-{{1} \over {R_{A}}}\right]\;$

(3.13)

Energia potencjalna ładunku q w polu ładunku Q

Zakładamy, że energia elektryczna ładunku q w polu ładunku Q, nieskończenie daleko od Q jest równa zero, a zatem praca (3.13) wykonana podczas przesuwania ładunku q z $R_{A}=\infty \;$ do odległości R między tymi punktami przy nieruchomym ładunku Q, jest z definicji energią potencjalną omawianego ładunku w odległości R od ładunku Q, jest wyrażona:

$W={{Qq} \over {4\pi \epsilon _{0}}}\left[{{1} \over {R}}-{{1} \over {\infty }}\right]={{Qq} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{1} \over {R}}=E_{p}\;$

(3.14)

Energia ładunku q w polu elektrycznym na podstawie wzoru (3.14) jest wyrażona poprzez odległość R między tymi ładunkami i od wartości naszych ładunków q i Q oraz jest ona napisana:

$E_{p}={{Qq} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{1} \over {R}}\;$

(3.15)

Alternatywna definicja potencjału elektrycznego

Potencjałem elektrycznym nazywamy iloraz energii potencjalnej (3.15) ładunku próbnego przez wartość tego ładunku, by ten ładunek nie zaburzał pół pochodzących od innych ładunków w przestrzeni:

$\varphi ={{E_{p}} \over {q}}\;$

(3.16)

Dla ładunku punktowego potencjał elektryczny zdefiniowanej wedle wzoru (3.16), będziemy skorzystać z definicji energii potencjalnej dla ładunku punktowego q (3.15) w polu ładunku Q, zależy ona tylko o wartości ładunku Q i odległości R od tego ładunku, w którym liczymy ten potencjał, jest wyrażony poprzez:

$\varphi ={{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{Q} \over {R}}\;$

(3.17)

Poniżej zakładamy, że źródło pola elektrycznego nie porusza się. Zbadajmy równoważność wzoru na potencjał skalarny (3.17) z definicją potencjału skalarnego otrzymanego ze wzoru (3.5) mając już znane natężenie pola elektrycznego, zatem zbadajmy czy dla ładunku punktowego znając te obydwa wspomniane wzory, w której czy dostaniemy prawidłową definicję natężenia pola elektrycznego ładunku punktowego (1.3).

$\operatorname {grad} \varphi ={{\partial \varphi } \over {\partial R}}\operatorname {grad} R={{\vec {R}} \over {R}}{{\partial \varphi } \over {\partial R}}={{\vec {R}} \over {R}}{{\partial } \over {\partial R}}\left[{{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{Q} \over {R}}\right]=-{{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{Q} \over {R^{2}}}{\hat {\vec {R}}}=-{\vec {E}}\;$

(3.18)

Z obliczeń (3.18) otrzymujemy wyrażenie na natężenia pola elektrycznego poprzez jego potencjał skalarny, czyli (3.17). Dochodzimy więc do wniosku, że definicja potencjału elektrycznego jako iloraz energii potencjalnej i wartości ładunku punktowego (3.16) jest poprawną definicją.

Potencjał dla ciągłego rozkładu ładunków

Z definiujmy, że ładunek infinitezymalny znajdujący się w danym punkcie przestrzeni przez (1.6), wtedy potencjał elektryczny w punkcie A jest wyrażona przez całkę infitezymalnych potencjałów elektrycznych, ponieważ jak udowodniliśmy potencjały elektryczne, nawet te infitezymalne są wielkościami addtywnymi według (3.6) i dowodu tej addywności (3.7), które te potencjały są wyrażone zamiast przy pomocy ładunku Q w (3.15), przez infinitezymalne ładunki, wyrażone przez gęstość objętościową pomnożoną przez infitezymalną objętość zajmowany przez nasz infinitezymalny ładunek w danym punkcie o wektorze wodzącym ${\vec {r}}^{'}\;$:

$\varphi ({\vec {r}})=\int _{V}d\varphi ({\vec {r}}^{'})={{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}\int _{V}{{\rho ({\vec {r}}^{'})} \over {R}}dV^{'}\;$

(3.19)

Zatem nasz całkowity potencjał występujący w punkcje A wedle (3.19) jest zależny od gęstości ładunków znajdujących się w danych punktach w objętości V oraz wyrażona jest:

$\varphi ({\vec {r}})={{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}\int _{V}{{\rho ({\vec {r}}^{'})} \over {R}}dV^{'}\;$

(3.20)

Jest to ogólny wzór na rozkład ciągły ładunków w ściśle określonej przestrzeni.

Całkowita energia układu dyskretnego w wzajemnym polu elektrycznym

Całkowita energia potencjalna dyskretnego układu ładunków jest wyrażona w postaci sumy energii potencjalnej układu ładunków, które te składniki są iloczynem potencjału elektrycznego i danego ładunku, ponieważ energia potencjalna układu dwóch ładunków jest rozłożona pomiędzy nimi jednokrotnie, więc po sumowaniu po wszystkich ładunkach wynika, że wynik należy podzielić przez dwa, aby energia danych dwóch ładunków najpierw po sumowaniu po pierwszym, a potem po drugim ładunku, aby się nie powtarzała, ponieważ wedle wzoru (3.16) (definicja potencjały cząstki), a potem (3.15) (energia pojedynczej cząstki) energia układu jest symetryczna względem przestawień ładunków, i jest wyrysowana:

$E_{p}={{1} \over {2}}\sum _{i=1}^{N}q_{i}\varphi _{i}\;$

(3.21)

Powyżej dlatego występuje czynnik: ${{1} \over {2}}\;$, bo pomiędzy dwoma cząstkami jest rozłożona cząstkowa energia potencjalna, a zatem znając definicję φ_i, to całkowita energia układu jest wyrażona przez:

$E_{p}={{1} \over {2}}\sum _{i=1}^{N}q_{i}\sum _{j=1}^{N}{{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{q_{j}} \over {r_{ij}}}={{1} \over {8\pi \epsilon _{0}}}\sum _{i,j=1}^{N}{{q_{i}q_{j}} \over {r_{ij}}}\;$

(3.22)

Energia ciągłego rozkładu ładunku

Energia ciągłego rozkładu ładunku na podstawie jej dyskretnego przedstawienia (3.21), dalej zamieniając dyskretne ładunki punktowe na ich infinitezymalne odpowiedniki, a to z kolei wykorzystywać będziemy wzór (1.6) zamieniając sumę na całkowanie po infinitezymalnej objętości, w której zawarte są te ładunki:

$E_{p}={{1} \over {2}}\int \rho \varphi dV\;$

(3.23)

Jeśli wiadomo, że z (2.12) wynika wzór na gęstość ładunku w danym punkcie w zależności od dywergencji natężenia pola elektrycznego:

$\operatorname {div} {\vec {E}}={{\rho } \over {\epsilon _{0}}}\Rightarrow \rho =\epsilon _{0}\operatorname {div} {\vec {E}}\;$

(3.24)

Zatem nasza energia potencjalna (3.23) dla naszego układu, gdy gęstość ładunku występuje w danym punkcie jest wyrażone wedle wzoru (3.24), to wtedy całkowita energia układu ciągłego ładunków jest wyrażona poprzez dywergencję natężenia pola elektrycznego, przyjmuje postać:

$E={{\epsilon _{0}} \over {2}}\int \operatorname {div} {\vec {E}}\varphi dV\;$

(3.25)

Dokonajmy całkowania przez części równania (3.25), korzystając przy tym, że całka $\int _{S}{\vec {E}}\varphi d{\vec {S}}\;$ jest równa zero obierając kulę o nieskończenie dużym promieniu, wtedy potencjał skalarny tam jest równy zero i wtedy ten wyraz znika, zatem dostajemy, że energia potencjalna układu ładunków rozmieszczonych w próżni jest równa:

$E_{p}={{\epsilon _{0}} \over {2}}\int \operatorname {div} {\vec {E}}\varphi dV={{\epsilon _{0}} \over {2}}\left[\oint _{S}{\vec {E}}\varphi d{\vec {S}}-\int {\vec {E}}\operatorname {grad} \varphi dV\right]=-{{\epsilon _{0}} \over {2}}\int {\vec {E}}\operatorname {grad} \varphi dV={{\epsilon _{0}} \over {2}}\int E^{2}dV\;$

(3.26)

Całkowita energia w układu ciągłego ładunków wedle wzoru (3.26) jest wyrażona w postaci:

$E_{p}={{\epsilon _{0}} \over {2}}\int E^{2}dV\;$

(3.27)

Energia potencjalna układu ładunków o bardzo dużej objętości i jest to całka kwadratu natężenia pola elektrycznego wytwarzanych przez te ładunki całkowaną względem objętości.

Łamanie superpozycji dla pola elektrycznego

Połóżmy, jako że całkowite natężenie pola jako suma dwóch natężeń pochodzących od dwóch rozkładów ładunków ciągłych wedle prawa (1.5), którego całkowite natężenia pola elektrycznego jest sumą natężeń rozkładów cząstkowych w postaci:

${\vec {E}}={\vec {E}}_{1}+{\vec {E}}_{2}\;$

(3.28)

to wyrażenie (3.27) na podstawie superpozycji natężeń pól elektrycznych (3.28) jest napisana przez całkę:

$W={{\epsilon _{0}} \over {2}}\int E^{2}dV={{\epsilon _{0}} \over {2}}\int \left({\vec {E}}_{1}+{\vec {E}}_{2}\right)^{2}dV={{\epsilon _{0}} \over {2}}\int \left(E_{1}^{2}+E_{2}^{2}+2{\vec {E}}_{1}{\vec {E}}_{2}\right)dV=W_{1}+W_{2}+\epsilon _{0}\int {\vec {E}}_{1}{\vec {E}}_{2}dV\;$

(3.29)

W ten sposób udowodniliśmy, że energia układu cząstek (3.29) nie jest wielkością addytywną, czyli nie jest sumą energii dwóch rozkładów ciągłych ładunków, ponieważ w powyższym wzorze występuje ostatni człon, oprócz energii potencjalnej dwóch rozkładów ładunków występuje również człon, który jest całką iloczynu skalarnego natężeń pochodzących od dwóch rozkładów ładunków ciągłych całkując po objętości, która w ogólności jest różna od zera. Ten człon jest odpowiedzialny za wzajemną energię potencjalną między tymi dwoma rozkładami.