Elektrodynamika klasyczna/Rozwinięcia kwadrupolowe

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Elektrodynamika klasyczna
Elektrodynamika klasyczna
Rozwinięcia kwadrupolowe

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: zegarek(myślnik)odmierza(myślnik)czas(małpa)wp(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Będziemy zajmować się multipolami elektrycznymi w celu obliczenia ich natężenia pola elektrycznego w pewnej w odległości od naszego multipola.

Dipol elektryczny[edytuj]

(Rys. 5.1) Rysunek obrazujący pole elektryczne pochodzące od dipola elektrycznego

Potencjał elektryczny w pewnej odległości od dwóch źródeł q i -q dipola elektrycznego, czyli w punkcie O przedstawia się jako suma potencjałów pochodzących od tych ładunków o przeciwnych znakach:

(5.1)

Dalszym krokiem jest wyznaczenie odległości R± za pomocą rysunku obok, przy pomocy odległości pomiędzy tymi omawianymi ładunkami q i -q, oraz przy pomocy odległości łączący środek tego dipola z punktem O, w którym liczymy potencjał elektryczny pochodzący od tego obiektu. Wyznaczmy kwadrat odległości ładunku q od tego ściśle określonego punktu O, w którym liczymy potencjał elektryczny. Jak się przekonamy ona jest zależna od odległości środka dipola elektrycznego od punktu O, jak i odległości w tym obiekcje ładunku q od ładunku przeciwnego -q:

(5.2)

Wyznaczmy kwadrat odległości ładunku -q od tego ściśle określonego punktu O, w którym liczymy potencjał elektryczny. Jak się przekonamy ona jest zależna od odległości środka dipola od punktu O, jak i odległości w dipolu elektrycznym ładunku q od ładunku przeciwnego -q:

(5.3)

Co do wzorów (5.2) (ona przedstawia odległość ładunku q od punktu O) i (5.3) (ona przedstawia odległość ładunku -q od punktu O), co można zapisać te dwa wzory równoważnie obejmującą oba te przypadki, za pomocą znaku plus minus, czyli znaku ±, wedle:

(5.4)

Policzmy odwrotności wielkości R± zapisanej ogólnie wedle wzoru (5.4), które są z osobna odległościami ładunku q i -q od rozważanego punktu O, mamy stąd wniosek:

(5.5)

Policzmy wyrażenie, które mówi nam jaka jest wartość potencjału elektrycznego w naszym omawianym punkcie, czyli według wzoru (5.1), korzystając ze wzoru ogólnego (5.5), mówiący jakie są odległości ładunku q lub -q od naszego punktu, zatem policzmy najpierw ostatni czynnik tej tożsamości:

(5.6)

By potem napisać nasz potencjał (5.1) wedle wzoru (5.6), przedstawiający różnicę odwrotności ładunków q i -q od punktu O, której ten potencjał jest równy wyrażeniu:

(5.7)

Potencjał elektryczny pochodzący od dipola będziemy liczyli w pewnej odległości od niego, korzystając z definicji momentu dipolowego o wartości:

(5.8)
  • gdzie d jest to odległość łącząca ładunki q (ładunek dodatni) i -q (ładunek ujemny) w dipolu elektrycznym.

jeśli moment dipolowy przedstawić jako wektor, to jego kierunek pokrywa się z prostą łączącą oba te ładunki, a zwrot jest od ładunku ujemnego do dodatniego. Potencjał skalarny (5.7) jest taki, że wykorzystując wzór na wartość momentu dipolowego (5.8), wtedy wyraża się on:

(5.9)

Jest to wzór na potencjał skalarny dipola, który jest funkcją jego momentu dipolowego, odległości środka dipola od punktu, w którym ten potencjał skalarny istnieje, a także od kąta pomiędzy wektorem łączący dwa skrajne ładunki w dipolu elektrycznym, a wektorem łączący środek dipola elektrycznego z punktem, w którym liczymy nasz wspomniany potencjał.

Rozwinięcie multipolowe potencjału skalarnego[edytuj]

(Rys. 5.2) Rozwinięcie multipolowe dla pola elektrycznego

Mamy sobie pewien rozkład ładunków i będziemy liczyli potencjał skalarny w pewnym punkcie, którego wektor wodzący jest względem pewnego punktu. Również znamy wektory wodzące infinitezymalnych objętości. Na podstawie tych naszych dysput możemy wyznaczyć odległość infinitezymalnego ładunków, który ten ładunek znajduje się w infinitezymalnej objętości, od punktu O. Mając już obliczony odległość R, które możemy wykorzystać do liczenia potencjału skalarnego według wzoru napisanego w punkcie (3.19). Ta nasza wspomniana odległość R, którą będziemy wyznaczać wedle rysunku obok, jest napisana:

(5.10)

Widzimy, że ona jest funkcją r i odległości r', które są wyznaczane względem pewnego punktu, który nazwiemy punktem bazowym. Obierzmy odległość R (5.10) poprzez parametr ε, który jest zdefiniowany w wspomnianym wzorze w sposób równoważny wedle:

(5.11)
  • gdzie ten nasz wspomniany parametr ε jest opisany wzorem:
(5.12)

Odwrotność promienia R (5.11) przy definicji parametru ε (5.12) możemy wyrazić jako:

(5.13)

Wykorzystajmy definicję parametru ε, który jest opisana według wzoru (5.12) do wzoru, który jest odwrotnością R (5.13), mamy:



(5.14)

We wzorze (5.14) w nawiasie grupujemy kolejne wyrazy względem potęg , a zatem do dzieła.

(5.15)

Rozszerzając powyższy wzór (5.15), który można tak rozszerzyć na wszystkie wyrazy zależne od współczynnika n dla Pn(x), które są wielomianami Legendre'a.

(5.16)

Całkowity potencjał elektryczny (3.19) i korzystając przy tym z (5.16) na odwrotność promienia R, wyrażona jest w postaci całki po ładunkach należących do tego rozkładu według wzoru:

(5.17)

lub w postaci jawnej biorąc ze wzoru (5.17) trzy pierwsze wyrazy, a pozostałe oznaczając wielokropkami:


(5.18)

Patrząc na powyższe rozwinięcie mamy dla n=0 człon monopolowy, dla n=1 człon dipolowy i ostatecznie dla b=3 człon kwadrupolowy. Potencjał elektryczny można liczyć w prowadzając pewne poprawki jako multipole.

Człon monopolowy i dipolowy w rozwinięciu multipolowym[edytuj]

Człon monopolowy występujący we wzorze (5.18) jest dokładnie taki sam jak w równaniu (3.20) na potencjał skalarny wytwarzanej przez rozciągły rozkład ładunków nieskończenie małych z pewnymi gęstościami objętościowymi ładunków elektrycznych.

(5.19)

A człon dipolowy występujący również w tym samym równaniu jest zależny od gęstości objętościowej ładunków w danej badanej objętości i od kąta φ wedle kulistego układu współrzędnych, potencjał elektryczny pochodzący od dipoli jest wyrażony:

(5.20)

Określmy jako: ,

  • gdzie: jest wektorem równoległym i jednostkowym do wektora wodzącego , w którym ta ostatnia łączy punkt O z pewnym punktem, którego ma początek wspomniany wektor, i na końcu tego wektora będziemy liczymy potencjał elektryczny skalarny pola wytwarzanego przez pewien rozkład ładunków, i która z tworzy pewien kąt.

Dochodzimy do wniosku, że wyrażenie (5.20) możemy napisać:

(5.21)

Jeśli zdefiniujemy, że wektor momentu dipolowego dielektryka jako całkę objętościową z iloczynu gęstości objętościowej ładunków jakie panują w danym punkcie przez położenie tego punktu określonej przez wektor :

(5.22)

Po wykorzystaniu wzoru na moment dipolowy zdefiniowanej w linijce (5.22) do wyrażenia na potencjał skalary pochodząca od pewnego rozciągłego dipola elektrycznego (5.21), wtedy:

(5.23)

W postaci dyskretnej, gdy ładunki nie są infinitezymalnie małe, ale mają wartości skończone i rozłożone są jakoś w przestrzeni, wtedy moment dipolowy takiego rozkładu ładunków jest napisany:

(5.24)

Całkowity ładunek indukowany w dielektryku wynosi zero. A zatem ładunkowi ujemnemu odpowiada ładunek dodatni o takim samym co do wartości ładunku. Jeśli mamy:

(5.25)

To dochodzimy do wniosku, że definicja momentu dipolowego dla układu w postaci ciągłej (5.22) jak i dla układów dyskretnych dipoli (5.24) jest poprawną definicją.

Natężenie pola elektrycznego dipola[edytuj]

(Rys. 5.3) Poli linii natężenia pola elektrycznego dipola elektrycznego

Dotąd zajmowaliśmy jedynie potencjałami elektrycznymi jako wielkościami skalarnymi. Teraz będziemy zajmować się wyznaczaniem pola wektorowego w postaci natężenia pola elektrycznego, co tutaj będziemy wyznaczali tą wielkość we współrzędnych kulistych. Potencjał elektryczny dipola jest określony według wzoru (5.9), i wtedy aby otrzymać pole wektorowe natężenia pola elektrycznego należy policzyć gradient potencjału elektrycznego wedle wzoru (3.5), korzystać będziemy z definicji tego gradientu we współrzędnych sferycznych:

Wtedy poszczególne współrzędne w układzie kulistym natężenia pola elektrycznego wyrażamy, korzystając z definicji gradientu, który ostatnio wspominaliśmy, są wyrażone przez:

(5.26)

Wektor natężenia pola elektrycznego wytwarzane przez dipol elektryczny przedstawia się:

(5.27)

Jest to natężenie pola elektrycznego pochodzące od dipola elektrycznego w układzie kulistym i jest funkcją odległości środka dipola z punktem, w którym liczymy tą wielkość, która to (5.27) wyznacza wielkość wektorową zależną od wersorów pochodzących od układu kulistego w tym punkcie.