Elektrodynamika klasyczna/Magnetyczny potencjał wektorowy

Magnetyczny potencjał wektorowy

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

W elektrostatyce udowodniliśmy, że wektor natężenia elektrycznego można było przedstawić jako gradient potencjału elektrycznego, to w magnetyzmie wektor indukcji magnetycznej można przedstawić jako rotację potencjału wektorowego.

Potencjał wektorowy

Przedstawmy wektor indukcji magnetycznej przez wektor potencjału wektorowego, jako rotację wektora potencjału wektorowego:

${\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}}$

(10.1)

W ogólności można powiedzieć, że potencjał wektorowy nie jest prostopadły do wektora indukcji magnetycznej, mimo że: ${\vec {A}}\cdot {\vec {B}}={\vec {A}}\cdot (\nabla \times {\vec {A}})$, ponieważ ∇ jest operatorem, a nie wektorem. Gdyby był wektorem, to rzeczywiście było by powyższe wyrażenie równe zero.

Znając definicję wektora indukcji magnetycznej ${\vec {B}}$ przez wektor potencjału wektorowego${\vec {A}}$ w postaci rotacji potencjału wektorowego czyli (10.1), wtedy rotację wektora indukcji magnetycznej przy pomocy ostatnio wspomnianego wzoru zapisujemy:

$\nabla \times {\vec {B}}=\nabla \times (\nabla \times {\vec {A}})=\nabla (\nabla {\vec {A}})-\Delta {\vec {A}}$

(10.2)

Ostatecznie prawo Ampera (9.14), wedle przedstawienia rotacji wektora indukcji magnetycznej (10.2), która jest funkcją wektora potencjału wektorowego, zapisujemy:

$\nabla (\nabla {\vec {A}})-\Delta {\vec {A}}=\mu _{0}{\vec {J}}$

(10.3)

Równanie (10.3) jest bardzo trudne do rozwiązania, ze względu na jego skomplikowaną postać, a więc wprowadźmy cechowanie w postaci zwanej cechowaniem Coulomba.

$\nabla {\vec {A}}=0$

(10.4)

Prawo Ampere'a w przedstawieniu przez potencjał wektorowy po wykorzystaniu cechowania Coulomba (10.4), obrazuje się to według równania:

$\Delta {\vec {A}}=-\mu _{0}{\vec {J}}$

(10.5)

Rozwiązując równanie różniczkowe (10.5), otrzymujemy równanie tak jak dla równania Poissona w elektrostatyce (2.12), tylko w postaci wektorowej a nie skalarnej, ponieważ w prawie Ampera mamy gęstość prądu elektrycznego zamiast gęstości ładunku:

${\vec {A}}={{\mu _{0}} \over {4\pi }}\int {{{\vec {J}}({\vec {r}})} \over {R}}dV$

(10.6)

Widzimy, że natężenie potencjału wektorowego pola magnetycznego w danym punkcie jest zależne od gęstości natężenia prądu elektrycznego jakie płyną w punkcie o wektorze wodzącym ${\vec {r}}\;$ w odległości R od tego punktu, w którym liczymy wspomnianą wielkość. Iloczyn gęstości prądu i infinitezymalnej objętości, w której ta gęstość występuje możemy przedstawić jako iloczyn wielkości natężenia prądu elektrycznego i z infinitezymalnej długości o kierunku i zwrocie zgodnym z kierunkiem i zwrotem płynięcia prądu:

$JdV={{I} \over {S}}dV={{I} \over {S}}Sdl=Idl\Rightarrow {\vec {J}}dV=Id{\vec {l}}$

(10.7)

Prawo (10.6) mówi jaki jest potencjał wektorowy pola magnetycznego w ściśle określonym punkcie, a w nim występującą wielkość ${\vec {J}}dV=Idl\;$ możemy przedstawić przy pomocy obliczeń (10.7) dla prądów liniowych:

${\vec {A}}={{\mu _{0}} \over {4\pi }}\int {{\vec {I}} \over {R}}dl={{\mu _{0}I} \over {4\pi }}\int {{d{\vec {l}}} \over {R}}$

(10.8)

Obierzmy pewną płaszczyznę o grubości dh, w której płynie prąd, kierunek w której płynie prąd jest równoległy do powierzchni płaszczyzny, którego małym elementem jest dS. Rozważaną szerokość, w której płynie prąd, którego kierunek jest prostopadły do grubości płaszczyzny czyli dl. Iloczyn wektora gęstości prądu elektrycznego i infinitezymalnej objętości, w której płynie ten prąd jest równy iloczynowi wektora gęstości prądu powierzchniowego i elementu nieskończenie małego jego powierzchni, co dowód tej zależności przedstawiamy poniżej:

$JdV={{dI} \over {dS}}dV={{dI} \over {dldh}}dldhda={{dI} \over {dh}}dlda=KdS\Rightarrow {\vec {J}}dV={\vec {K}}dS$

(10.9)

Dla prądów powierzchniowych w przedstawieniu (10.9) równanie (10.6) możemy przedstawić wedle:

${\vec {A}}={{\mu _{0}} \over {4\pi }}\int {{\vec {K}} \over {R}}dS$

(10.10)

Wzory (10.6), (10.8) i (10.10) stanowią jak obliczać potencjał wektorowy na prądów powierzchniowych, liniowych i powierzchniowych.

Prawo Gaussa a definicja potencjału wektorowego

Możemy wykorzystać z definicji potencjału wektorowego dla pola magnetycznego wedle wzoru (10.1), wtedy lewa strona prawa Gaussa dla pola magnetycznego (9.7) możemy zapisać wedle:

$\nabla \cdot {\vec {B}}=\nabla \cdot (\nabla \times {\vec {A}})=\nabla _{i}\epsilon _{ijk}\nabla _{j}A_{k}={{1} \over {2}}\left(\epsilon _{ijk}\nabla _{i}\nabla _{j}+\epsilon _{ijk}\nabla _{i}\nabla _{j}\right)A_{k}={{1} \over {2}}\left(\epsilon _{ijk}\nabla _{i}\nabla _{j}+\epsilon _{jik}\nabla _{i}\nabla _{j}\right)A_{k}=\;$
$={{1} \over {2}}\left(\epsilon _{ijk}\nabla _{i}\nabla _{j}-\epsilon _{ijk}\nabla _{i}\nabla _{j}\right)A_{k}=0$

(10.11)

A zatem taka definicją potencjału wektorowego (10.1) załatwia, że prawo Gausa jest automatycznie spełnione. Podobnie jest w elektrostatyce, że mając definicje potencjału skalarnego (3.5), załatwia że prawo Stokesa dla elektrostatyki (2.18) jest też automatycznie spełnione.

Potencjał wektorowy a prawo Biota-Savarta dla prądów liniowych

Możemy wyrazić indukcję pola magnetycznego poprzez potencjał magnetyczny jako rotację tejże wielkości dla prądów liniowych, którego potencjał wektorowy dla prądów liniowych jest zdefiniowany wedle wzoru (10.8), wtedy wzór nas wektor indukcji pola magnetycznego obliczamy według:

${\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}}=\nabla \times \left({{\mu _{0}I} \over {4\pi }}\int {{d{\vec {l}}^{'}} \over {R}}\right)={{\mu _{0}I} \over {4\pi }}\int \nabla \times {{d{\vec {l}}^{'}} \over {R}}$

(10.12)

Wyznaczmy rotację ilorazu wektora różniczki małego odcinka linii $d{\vec {l}}\;$, w której płynie prąd liniowy przez odległość do punktu od tego odcinka linii, w którym będziemy wyznaczać wektor indukcji pola magnetycznego wyrażającego się wedle wzoru (10.12), zatem to nasze wyrażenie, które chcemy przekształcić napiszmy go wedle:

$\nabla \times {{d{\vec {l}}^{'}} \over {R}}=k_{i}\epsilon _{ijk}\nabla _{j}{{d{\vec {l}}_{k}^{'}} \over {R}}=d{\vec {l}}_{k}^{'}\epsilon _{ijk}\nabla _{j}{{1} \over {R}}=d{\vec {l}}_{k}^{'}\epsilon _{ijk}{{\partial R} \over {\partial x_{j}}}{{\partial } \over {\partial R}}{{1} \over {R}}=-d{\vec {l}}_{k}^{'}\epsilon _{ijk}{{x_{j}-x_{j}^{'}} \over {R}}{{1} \over {R^{2}}}=-\epsilon _{ijk}{{x_{j}-x_{j}^{'}} \over {R^{3}}}d{\vec {l}}_{k}^{'}=-{{{\vec {R}}\times d{\vec {l}}^{'}} \over {R^{3}}}=\;$
$={{d{\vec {l}}^{'}\times {\vec {R}}} \over {R^{3}}}={{d{\vec {l}}^{'}\times {\hat {\vec {R}}}} \over {R^{2}}}$

(10.13)

Powróćmy do naszego wzoru na indukcję magnetyczną (10.12), którego liczenie jeszcze nie dokończyliśmy, ale przy pomocy obliczeń (10.13), które wylicza ściśle określone wyrażenie, to możemy to zrobić:

${\vec {B}}={{\mu _{0}I} \over {4\pi }}\int \nabla \times {{d{\vec {l}}^{'}} \over {R}}={{\mu _{0}I} \over {4\pi }}\int {{d{\vec {l}}^{'}\times {\hat {\vec {R}}}} \over {R^{2}}}$

(10.14)

Co jest prawem Biota-Savarte wprowadzonych według wzoru (9.1).

Multipolowe rozwinięcie potencjału wektorowego

(Rys. 10.1) Rozwinięcie multipolowe dla pola magnetycznego

W elektrostatyce napisano coś rozwinięciach multipolowych, które poniżej wykorzystamy. Odwrotność odległości punktu w którym liczymy potencjał wektorowy od danym punkcie, w której występuje jakiś prąd, tj. wzór (5.16), tzn.:

${{1} \over {R}}={{1} \over {\sqrt {r^{2}-(r^{'})^{2}-2rr^{'}\cos \phi }}}={{1} \over {r}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({{r^{'}} \over {r}}\right)^{n}P_{n}(\cos \phi )$

(10.15)

Potencjał wektorowy dla prądów liniowych w danym punkcie w zależności od kształtu tego przewodnika (10.8) w rozwinięciu multipolowym, w celu jego wyznaczenia skorzystamy ze wzoru (10.15), jest zapisana przez:

${\vec {A}}({\vec {r}})={{\mu _{0}I} \over {4\pi }}\oint {{1} \over {r}}d{\vec {l}}^{'}={{\mu _{0}} \over {4\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }{{1} \over {r^{n+1}}}\oint (r^{'})^{n}P_{n}(\cos \phi )d{\vec {l}}^{'}$

(10.16)

Wzór (10.16) można rozpisać znając definicję funkcji P_n(x) jako wielomianów Legendre'a, wtedy ten nasz wzór zapisujemy:

${\vec {A}}={{\mu _{0}I} \over {4\pi }}\left[{{1} \over {r}}d{\vec {l}}^{'}+{{1} \over {r^{2}}}\oint {{r^{'}\cos \phi }d{\vec {l}}^{'}}+{{1} \over {r^{3}}}\oint (r^{'})^{2}\left({{3} \over {2}}\cos ^{2}\phi -{{1} \over {2}}\right)d{\vec {l}}+...\right]$

(10.17)

Wyraz odpowiedzialny za monopol magnetyczny magnetostatyce zeruje się, bo mamy do czynienia z prądami kołowymi. Nie może być tak, że prąd skoś dopływa i gdzieś dopływa, wtedy mamy do czynienia z kreacją ładunku elektrycznego, co nie jest spełnione z zasadą, że ładunek nie może powstać, ani nie może być zniszczony.

$\oint d{\vec {l}}^{'}=0$

(10.18)

Potencjał wektorowy w magnetyzmie, a właściwie człon dipolowy według wzoru (10.17) przedstawia się:

${\vec {A}}_{dip}({\vec {r}})={{\mu _{0}I} \over {4\pi r^{2}}}\oint r^{'}\cos \phi d{\vec {l}}^{'}={{\mu _{0}I} \over {4\pi r^{2}}}\oint \left({\vec {r^{'}}}{\hat {r}}\right)d{\vec {l}}^{'}$

(10.19)

Moment dipolowy dla magnetostatyki definiujemy jako iloczyn natężenia prądu kołowego i pola obejmowanych przez ten prąd powierzchni płaskiej i ten iloczyn ma kierunek prostopadły do tej powierzchni, a zwrot do góry, jeśli kierunek płynięcia prądu jest odwrotny z kierunkiem ruchu wskazówek zegara, wtedy wektor momentu dipolowego jest:

$I\oint d{\vec {S}}={\vec {m}}$

(10.20)

Obierzmy sobie pewien skalar T, wtedy z prawa Stokesa dochodzimy do wniosku:

$\int _{S}\nabla \times Td{\vec {S}}=\oint Td{\vec {l}}\Rightarrow \int _{S}d{\vec {S}}\times \nabla T=\oint Td{\vec {l}}\Rightarrow \int _{S}\nabla T\times d{\vec {S}}=-\oint Td{\vec {l}}$

(10.21)

Zdefiniujmy nasz skalar T jako iloczyn skalarny stałej wektorowej ${\vec {c}}\;$ przez położenie danej cząstki dipola magnetycznego ${\vec {r}}^{'}\;$, którego definicja wygląda:

$T={\vec {c}}{\vec {r}}^{'}$

(10.22)

Wykorzystując definicję skalaru T (10.22), wtedy w twierdzeniu (10.21) możemy zapisać przekształcenia:

$\int \nabla ({\vec {c}}{\vec {r}}^{'})\times d{\vec {S}}=-\oint ({\vec {c}}{\vec {r}}^{'})d{\vec {l}}\Rightarrow \int {\vec {c}}\times d{\vec {S}}=-\oint ({\vec {c}}{\vec {r}}^{'})d{\vec {l}}\Rightarrow {\vec {c}}\times \int d{\vec {S}}=-\oint ({\vec {c}}{\vec {r}}^{'})d{\vec {l}}$

(10.23)

Niech będzie stała ${\vec {c}}\;$ będzie wektorem jednostkowym równoległej i o takim samym zwrocie co wektor położenia, w którym będziemy wyznaczać potencjał dipolowy danego układu rozciągłych dipoli, czyli ${\vec {c}}={\hat {r}}$, co wzór końcowym wynikowy (10.23) po dokonaniu tej operacji możemy napisać:

${\hat {r}}\times \int _{S}d{\vec {S}}=-\oint _{S}({\hat {r}}{\vec {r}}^{'})d{\vec {l}}^{'}$

(10.24)

Potencjał wektorowy dipolowy (10.19), na podstawie udowodnionej wcześniej tożsamości (10.24), można przedstawić:

${\vec {A}}_{dip}={{\mu _{0}I} \over {4\pi r^{2}}}\oint \left({\vec {r^{'}}}{\hat {r}}\right)d{\vec {l}}^{'}=-{{\mu _{0}I} \over {4\pi r^{2}}}{\hat {r}}\times \int _{S}d{\vec {S}}=-{{\mu _{0}I} \over {4\pi r^{2}}}{\hat {r}}\times {\vec {m}}={{\mu _{0}} \over {4\pi }}{{{\vec {m}}\times {\hat {r}}} \over {r^{2}}}$

(10.25)

Potencjał wektorowy wytarzanego przez dipol magnetyczny o wektorowym momencie dipolowym (10.20) w pewnym punkcie od tego dipola odległych od niego o wektor wodzący ${\vec {r}}\;$ jest napisany wedle wzoru (10.25).

Pole magnetyczne wokół dipola magnetycznego

Wektor potencjału wektorowego dla dipola magnetycznego ze wzoru (10.25) zapisujemy równoważnie:

${\vec {A}}_{dip}({\vec {r}})={{\mu _{0}} \over {4\pi }}{{{\vec {m}}\times {\hat {r}}} \over {r^{2}}}={{\mu _{0}m} \over {4\pi }}{{\sin \phi } \over {r^{2}}}{\vec {e}}_{\phi }$

(10.26)

Następnym krokiem jest policzenie wektora indukcji magnetycznej jako rotacji z potencjału wektorowego magnetycznego (10.1) z definicji potencjału magnetycznego dla dipola magnetycznego (10.26):

${\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}}={{1} \over {r\sin \phi }}\left[{{\partial (\sin \phi A_{\phi })} \over {\partial \phi }}-{{\partial A_{\phi }} \over {\partial \phi }}\right]{\vec {e}}_{r}+{{1} \over {r}}\left[{{1} \over {\sin \phi }}{{\partial A_{r}} \over {\partial \phi }}-{{\partial } \over {\partial r}}(rA_{\phi })\right]{\vec {e}}_{\phi }={{1} \over {r\sin \phi }}{{\mu _{0}m} \over {4\pi r^{2}}}2\sin \phi \cos \phi +\;$
$+{{1} \over {r}}{{\mu _{0}m\sin \phi } \over {4\pi r^{2}}}={{\mu _{0}m} \over {4\pi r^{3}}}\left(2{\vec {e}}_{r}\cos \phi +\sin \phi e_{\phi }\right)$

(10.27)

Pole magnetyczne na wektor indukcji magnetycznej dla dipola magnetycznego przedstawia się wzorem na podstawie jego obliczeń (10.27):

${\vec {B}}={{\mu _{0}m} \over {4\pi r^{3}}}\left(2{\vec {e}}_{r}\cos \phi +\sin \phi e_{\phi }\right)$

(10.28)

Warunki brzegowe dla układu dwóch substancji dla pola magnetostatycznego

(Rys. 10.2) Zastosowanie prawo Gaussa.

Obierzmy sobie mały prostopadłościan, na bardzo małym wycinku powierzchni między granicami dwóch ośrodków magnetycznych, w którym podstawy są równoległe do powierzchni granicy dwóch ośrodków na którym jest położony. Podstawa górna i dolna leżą w różnych ośrodkach. Według prawa Gaussa (9.9), iloczyny skalarne wybierają jej składowe prostopadłe do ścianek tego prostopadłościanu wektora indukcji pola magnetycznego, a nie równoległe tzn. równoległe do wektora powierzchni dla każdej ścianek z odpowiednim minusem w zależności, czy zwrot dla tych wektorów składowej równoległej do wektora powierzchni, czy jest zgodny lub przeciwny z nim. Zastosowanie prawa Gaussa jest na rysunku obok. Zatem prawo Gaussa dla omawianego prostopadłościanu możemy zapisać wedle:

$0=S_{nad}B_{nad}^{\bot }-S_{pod}B_{pod}^{\bot }+S_{prawy}B_{prawy}^{\bot }-S_{lewy}B_{lewy}^{\bot }+S_{za}B_{za}^{\bot }-S_{przez}B_{przed}^{\bot }$

(10.29)

Strumień bocznych ścianek jest równy średniej wartości indukcji magnetycznej z odpowiednim znakiem w zależności od zgodności wektora indukcji magnetycznej i wektora odpowiednich ścianek. Jeśli przyjmiemy, że mamy bardzo małe prostokąty dla ścianek bocznych i podstaw, by iloraz jakikolwiek pola ścianek bocznych przez pola jakikolwiek podstawy była w przybliżeniu równa zero, i wszystkie pola ścianek dążą do zera, którego podstawy mają równe pola S=S_nad=S_pod, które są bardzo małe przy powyższych warunkach, zatem wartość średnia indukcji pola magnetycznego na podstawach są równe wartością w punkcie, w których znajdują się infinitezymalny prostopadłościan, zatem na podstawie tych rozważań równanie (10.29) podzielimy obustronnie przez pole S, po tej czynności możemy przejść do granicy stosunku pola ścianek bocznych do pola podstawy dążących do zera, wtedy możemy przepisać to wedle:

$0=B_{nad}^{\bot }-B_{pod}^{\bot }+{{S_{prawy}} \over {S}}B_{prawy}^{\bot }-{{S_{lewy}} \over {S}}B_{lewy}^{\bot }+{{S_{za}} \over {S}}B_{za}^{\bot }-{{S_{przez}} \over {S}}B_{przed}^{\bot }\rightarrow 0=B_{nad}^{\bot }-B_{pod}^{\bot }\Rightarrow B_{nad}^{\bot }=B_{pod}^{\bot }$

(10.30)

Na podstawie obliczeń (10.30) część prostopadła do powierzchni granicy pomiędzy ośrodkami nie zmienia się.

(Rys. 10.3) Zastosowanie prawo Stokesa.

Następnym krokiem jest zastosowanie prawa Stokesa i wniosków wynikających z tego prawa. Zakładamy, że mamy prostokąt, który jest prostopadły do bardzo małego wycinka powierzchni granicy pomiędzy ośrodkami, na którym jest położony, a odcinki (górna i dolna) leżą w różnych dwóch ośrodkach i są równolegle do omawianej powierzchni do naszej granicy pomiędzy ośrodkami, ponadto zakładamy, że kierunek obiegania prostokąta jest z niezgodny z kierunkiem wskazówek zegara. Szerokość prostokąta niech będzie l, a wysokość będzie h. Prawo Stokesa dla pola magnetycznego (9.15) podczas jego obiegania wycina te fragmenty (składowe) pola magnetycznego, które są prostopadłe do odcinków tego prostokąta, zatem z tego prawa dla pola magnetostatycznego, mamy:

$B_{nad}^{||}l-B_{pod}^{||}+B^{||}h-B^{||}h=\mu _{0}I$

(10.31)

Zakładamy, że długości wszystkich odcinków prostokąta oprócz odcinka dolnego i górnego (których długości są takie same) dążą do zera, zatem prawo (10.31) zapisujemy:

$B_{nad}^{||}l-B_{pod}^{||}l=\mu _{0}I$

(10.32)

Wiedząc, że powierzchniowa gęstość prądu wynosi:$K={{I} \over {l}}$, wtedy dzieląc obustronnie równanie (10.32) przez l, otrzymujemy:

$B_{nad}^{||}-B_{pod}^{||}=\mu _{0}K$

(10.33)

Wektor ${\vec {K}}\times {\vec {n}}\;$ jest równoległy do powierzchni, a właściwie do wektora indukcji pola magnetycznego (9.1), a właściwie do jej części równoległej do powierzchni między granicami dla dwóch ośrodków. Wektor indukcji magnetycznej jest równoległy do naszego wektora jednostkowego, zatem prawo (10.33) zapisujemy:

${\vec {B}}_{nad}^{||}-{\vec {B}}_{pod}^{||}=\mu _{0}\left({\vec {K}}\times {\vec {n}}\right)$

(10.34)

• gdzie ${\vec {n}}$ jest wektorem normalnym do powierzchni, w którym płynie prąd powierzchniowy, ale wiadomo, że zachodzi tutaj: ${\vec {K}}\bot {\vec {n}}$.

Jeśli do ostatniego wzoru dodamy wzór, wynikający z prawa Gaussa obustronnie (10.30), wtedy dostajemy:

${\vec {B}}_{nad}^{\bot }-{\vec {B}}_{pod}^{\bot }+{\vec {B}}_{nad}^{||}-{\vec {B}}_{pod}^{||}=\mu _{0}\left({\vec {K}}\times {\vec {n}}\right)$

(10.35)

Jeśli dodamy składowe do siebie składowe wektora indukcji magnetycznej pod granicą lub nad, wtedy mamy:

${\vec {B}}_{nad}^{\bot }+{\vec {B}}_{nad}^{||}={\vec {B}}_{nad}$

(10.36)

${\vec {B}}_{pod}^{\bot }+{\vec {B}}_{pod}^{||}={\vec {B}}_{pod}$

(10.37)

Ale wzór (10.35), w którym przegrupujemy wyrazy z równoległą i prostopadłą do płaszczyzny wektora indukcji magnetycznej, w którym płyną prądy, w taki sposób by odpowiednio wyrazy ze składowymi nad i pod granicą między ośrodkami znajdowały się blisko siebie, i stosując potem wzór na dodawanie tych składowych, czyli sumowanie do całkowitego wektora indukcji pola magnetycznego wedle (10.36) i (10.37), wtedy ten wzór przyjmuje postać:

${\vec {B}}_{nad}-{\vec {B}}_{pod}=\mu _{0}({\vec {K}}\times {\vec {n}})$

(10.38)

Z warunku cechowania (10.4) i z prawa Ostrogradskiego-Gaussa, oczywiście jest, że mamy:

$\nabla {\vec {A}}=0\Rightarrow \int \nabla {\vec {A}}dV=0\Rightarrow \int {\vec {A}}d{\vec {S}}=0$

(10.39)

Rozważając różne powierzchnie dążące do punktu dochodzimy na podstawie końcowego wyniku (10.39), że potencjał wektorowy jest wielkością ciągłą.

Na ostateczny wzór wynikający z prawa Stokesa i Gaussa, pomnóżmy lewostronnie (10.38) przez wektor jednostkowy ${\vec {n}}$, oraz z definicji na wektor indukcji magnetycznej przez potencjał wektorowy pola magnetycznego (10.1), otrzymujemy:

${\vec {n}}\times \left(\nabla \times \left({\vec {A}}_{nad}-{\vec {A}}_{pod}\right)\right)=\mu _{0}{\vec {n}}\times ({\vec {K}}\times {\vec {n}})$

(10.40)

Policzmy wyrażenie, które będzie nam potrzebne później:

${\vec {n}}\times (\nabla \times {\vec {A}})=k_{i}\epsilon _{ijk}n_{j}(\nabla \times {\vec {A}})_{k}={\vec {k}}_{i}\epsilon _{ijk}n_{j}\epsilon _{kmn}\nabla _{m}A_{n}={\vec {k}}_{i}\epsilon _{ijk}\epsilon _{kmn}n_{j}\nabla _{m}A_{n}={\vec {k}}_{i}\left(\delta _{im}\delta _{jn}-\delta _{in}\delta _{jm}\right)n_{j}\nabla _{m}A_{n}=$
$={\vec {k}}_{i}\delta _{im}\delta _{jn}n_{j}\nabla _{m}A_{n}-{\vec {k}}_{i}\delta _{in}\delta _{jm}n_{j}\nabla _{m}A_{n}={\vec {k}}_{i}n_{j}\nabla _{i}A_{j}-{\vec {k}}_{i}n_{j}\nabla _{j}A_{i}={\vec {k}}_{i}\nabla _{i}(n_{j}A_{j})-{\vec {k}}(n_{j}\nabla _{j})A_{i}=\nabla ({\vec {n}}{\vec {A}})-({\vec {n}}\nabla ){\vec {A}}$

(10.41)

Zatem na podstawie (10.41) otrzymujemy tożsamość:

${\vec {n}}\times (\nabla \times {\vec {A}})=\nabla ({\vec {n}}{\vec {A}})-({\vec {n}}\nabla ){\vec {A}}$

(10.42)

Zatem względem prawa (10.10) wektor potencjału wektorowego jest równoległy do płaszczyzny granicy pomiędzy ośrodkami dla punktu blisko jej, bo wtedy w przybliżeniu możemy przyjąć w tym małym punkcie prąd płynie w płaszczyźnie płaskiej i z właściwości wektora jednostkowego ${\vec {n}}\;$, który jest prostopadły do powierzchni, w której płynie prąd w danym punkcie i stąd otrzymujemy warunki prostopadłości:${\vec {n}}\bot {\vec {A}}_{nad}$ i ${\vec {n}}\bot {\vec {A}}_{pod}$, a także z definicji podwójnego iloczynu wektorowego, który można rozłożyć na dwa składniki, w których występują tylko iloczyny skalarne i mnożenie przez liczbę:

${\vec {n}}\times ({\vec {K}}\times {\vec {n}})={\vec {K}}({\vec {n}}{\vec {n}})-{\vec {n}}({\vec {K}}{\vec {n}})={\vec {K}}$

(10.43)

Wzór (10.40) na podstawie omawianych warunków prostopadłości wektora ${\vec {A}}\;$ do wektora jednostkowego, która jest jednocześnie prostopadła do danego punktu na naszej powierzchni, w której płynie prąd elektryczny o danej gęstości prądu ${\vec {K}}\;$ i z tożsamości (10.43), otrzymujemy:

$-({\vec {n}}\nabla )({\vec {A}}_{nad}-{\vec {A}}_{pod})=\mu _{0}{\vec {K}}$

(10.44)

Z definicji pochodnej kierunkowej jako różniczkowanie wzdłuż wektora jednostkowego prostopadłego do granicy między dwoma ośrodkami należy przyjąć:

${\vec {n}}\nabla ={{\partial } \over {\partial {\vec {n}}}}$

(10.45)

wtedy wzór (10.44), a także z tożsamości na pochodną kierunkową wzdłuż wektora ${\vec {n}}\;$ wedle (10.45), i zastępując we przedostatnim wzorze wyrażeniem występujące w ostatnim równaniu, a właściwie jego lewą stronę przedostatniego równania zastępujemy przez jego prawą stronę ostatniego równania, zatem mamy prawo powiedzieć:

${{\partial {\vec {A}}_{nad}} \over {\partial {\vec {n}}}}-{{\partial {\vec {A}}_{pod}} \over {\partial {\vec {n}}}}=-\mu _{0}{\vec {K}}$

(10.46)

Jest to warunek brzegowy na zmianę potencjału wektorowego w danym punkcie na granicy między dwoma ośrodkami, jeśli na tej granicy płynie prąd o gęstości prądu ${\vec {K}}\;$.