Elektrodynamika klasyczna/Indukcja elektromagnetyczna

Indukcja elektromagnetyczna

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Prawo Faraday'a

Wcześniej wyprowadziliśmy prawo, które przedstawia się wzorem (13.3), gdy przewodnik przesuwaliśmy w polu magnetycznym, wtedy to prawo wyglądało:

${\mathcal {E}}=-{{d\Phi } \over {dt}}\;$

(14.1)

a teraz przyjmijmy odwrotnie. Pole, magnetyczne jest zmienne, a przewodnik nie zmienia swojego położenia. Wtedy zmienia się strumień Φ, a więc w przewodniku powstaje siła elektromotoryczna o wartości ${\mathcal {E}}\;$. Również siła elektromotoryczna powstaje, gdy powierzchnia obejmująca zamknięty przewodnik zmienia się.

Całkowe prawo Faraday

W przewodniku zamkniętym powstaje wewnętrzne natężenie pola elektrycznego o wartości:${\vec {E}}_{sw}=-{\vec {E}}\;$, gdzie:${\vec {E}}\;$ jest to natężenie pola elektrycznego, które powstaje w wyniku zmiany pola magnetycznego. Wektor natężenia pola elektrycznego wewnętrznego panujące w przewodniku ma przeciwny znak do natężenia pola, który go wywołuje. Natężenie elektryczne w przewodniku spełnia warunek wynikającego z prawa na zmianę potencjału elektrycznego, czy dla przewodnika jest to napięcie (3.1):

${\mathcal {E}}=-\oint {\vec {E}}_{sw}d{\vec {l}}=-\oint \left(-{\vec {E}}\right)d{\vec {l}}\Rightarrow {\mathcal {E}}=\oint {\vec {E}}d{\vec {l}}\;$

(14.2)

Zatem prawo Faraday'a w postaci całkowej (14.1) w stosunku do tożsamości (14.2) można zapisać:

$\oint {\vec {E}}d{\vec {l}}=-{{d\Phi } \over {dt}}\;$

(14.3)

To prawo jest bardzo podobne do prawa Stokesa (2.15), gdy pole magnetyczne wcale się nie zmienia.

Różniczkowe Prawo Faradaya

Z korzystajmy z definicji infinitezymalnego strumienia pola magnetycznego (13.17), wtedy nasz strumień jest całką owej wielkości po powierzchni, którą ogranicza zamknięty kontur:

$\Phi =\int _{S}{\vec {B}}d{\vec {S}}\;$

(14.4)

Prawo (14.3) przy wykorzystaniu wzoru na całkowity strumień indukcji pola magnetycznego (14.4) wygląda:

$\oint _{L}{\vec {E}}d{\vec {l}}=-{{d} \over {dt}}\oint _{S}{\vec {B}}d{\vec {S}}\;$

(14.5)

Dla stałej powierzchni zamkniętej ograniczonej przez zamknięty kontur prawo Faraday'a jest w postaci całkowej (14.5), w którym po przeniesieniu w tym równaniu pochodnej zupełnej po czasie pod całkę po powierzchni, wtedy pochodna zupełna po czasie zamienia się w pochodną cząstkową po czasie:

$\oint _{L}{\vec {E}}d{\vec {l}}=-\oint _{S}{{\partial {\vec {B}}} \over {\partial t}}d{\vec {S}}\;$

(14.6)

Możemy wykorzystać prawo Stokesa dla lewej strony równania (14.6) dla całki okrężnej po konturze zamkniętym i zamienić to całkowanie po powierzchni zamkniętej ograniczonej przez ten właśnie kontur:

$\int _{S}\nabla \times {\vec {E}}d{\vec {S}}=-\oint _{S}{{\partial {\vec {B}}} \over {\partial t}}d{\vec {S}}\;$

(14.7)

Prawo (14.7) jest spełnione dla dowolnej powierzchni ograniczonego przez dowolny kontur, zatem funkcje podcałkowe wspomnianego ostatnio wzoru są sobie równe, bo całkowanie po obu stronach jest całkowaniem po tej samej powierzchni:

$\nabla \times {\vec {E}}=-{{\partial {\vec {B}}} \over {\partial t}}\Rightarrow \operatorname {rot} {\vec {E}}=-{{\partial {\vec {B}}} \over {\partial t}}\;$

(14.8)

Gdy zmiany pola magnetycznego w czasie w danym punkcie przestrzeni są równe zero, wtedy prawo (14.8) przechodzi w prawo Stokesa dla magnetostatyki (2.18).

Indukcyjność

Będziemy tu badać, gdy obwód jeden oddziałuje magnetycznie z obwodem dwa o pewnej indukcyjności wzajemnej, w szczególnej własności indukcyjność wzajemna przechodzi w indukcyjność własną, gdy ten sam obwód oddziałuje z samym sobą magnetycznie.

Indukcyjność wzajemna, wzór Neumanna

(Rys. 14.1) Indukcyjność wzajemna dwóch przewodników z prądem

(Rys. 14.2) Ilustracja prawa Lenz'a w wyniku indukcji wzajemnej

Załóżmy, że mamy dwie przewodzące pętle, na pętle numer jeden oddziałuje z nią pętla numer dwa, powodując w niej strumień indukcji magnetycznej, korzystając przy tym z równości na strumień indukcji pola magnetycznego (14.4) i definicji indukcji pola magnetycznego poprzez wektorowy potencjał pola magnetycznego (10.1) i zamienieniu w tym strumieniu na całkę po powierzchni ograniczonej przez zamknięty kontur na całkę po konturze, wtedy:

$\Phi _{1}=\int {\vec {B}}_{2}d{\vec {S}}_{1}=\int \left(\nabla \times {\vec {A}}_{2}\right)d{\vec {S}}_{1}=\oint {\vec {A}}_{2}d{\vec {l}}_{1}\;$

(14.9)

Z magnetostatyki wektorowy potencjał magnetyczny pola magnetycznego (10.8) pochodzącego od pętli pierwszej jest napisany wzorem:

${\vec {A}}_{2}={{\mu _{0}I_{2}} \over {4\pi }}\oint {{d{\vec {l}}_{2}} \over {R}}\;$

(14.10)

Jeśli podstawimy wzór na wektorowy potencjał magnetyczny (14.10) do wzoru na strumień magnetyczny ograniczonej pewnym dowolnym konturem (14.9), to:

$\Phi _{1}=I_{2}\oint \left[{{\mu _{0}} \over {4\pi }}\oint {{d{\vec {l}}_{2}} \over {R}}\right]d{\vec {l}}_{1}\;$

(14.11)

Oczywiste jest, że wzór (14.11) po przegrupowaniu operatorów całek okrężnych w jedno miejsce, wtedy ten nasz wzór jest równoważny:

$\Phi _{1}={{\mu _{0}} \over {4\pi }}\oint \oint {{d{\vec {l}}_{2}d{\vec {l}}_{2}} \over {R}}\;$

(14.12)

• Tutaj R jest to odległość od siebie odcinków: $d{\vec {l}}_{1}\;$ od $d{\vec {l}}_{2}\;$.

Wzór (14.12) możemy zapisać w postaci wydzielając stałą M₁₂, wtedy:

$\Phi _{1}=I_{2}M_{12}\;$

(14.13)

• gdzie:

$M_{12}={{\mu _{0}} \over {4\pi }}\oint \oint {{d{\vec {l}}_{2}d{\vec {l}}_{1}} \over {R}}\;$

(14.14)

Wzór na wielkość indukcji wzajemnej (14.14) jest symetryczny ze względu na przestawienie $d{\vec {l}}_{1}\;$ z $d{\vec {l}}_{2}\;$, czyli zamiana według schematu $1\rightarrow 2\;$ oraz $2\rightarrow 1\;$, wtedy indukcja wzajemna po tej zamianie się nie zmienia się, czyli jest symetryczny. Oczywiste jest, że ona nie zależy od czasu. Oznaczmy je przez literkę $M\;$. Wzór na $M_{12}\;$ (14.14) jest to wzór Neumanna. Jeśli podstawimy wzór (14.13) do wzoru na prawo Faraday'a (14.1) dla pierwszej pętli, podobnie mamy dla drugiej pętli, wtedy wzory na indukcję wzajemną drugiej pętli względem pierwszej pętli na siłę elektromotoryczną dla dwóch pętli jednocześnie są wyrażone wzorami:

${\mathcal {E}}_{1}=-M_{12}{{dI_{2}} \over {dt}}=-M{{dI_{2}} \over {dt}}\;$

(14.15)

${\mathcal {E}}_{2}=-M_{21}{{dI_{1}} \over {dt}}=-M{{dI_{1}} \over {dt}}\;$

(14.16)

Widzimy, że wzory na siłę elektromagnetyczną są takie same, ale zależą od zmian w czasie natężenia prądu elektrycznego w pętli drugiej (wzór (14.15)) lub w pętli pierwszej (wzór (14.16)).

Indukcyjność własna

Tutaj zajmować się będziemy się tylko jednym obwodem, który oddziałuje magnetycznie sam ze sobą.

Prawo Faraday a indukcyjność własna

Z indukcyjnością własną mamy do czynienia, gdy ten sam obwód oddziałuje z tym samym obwodem na w sposób magnetyczny, czyli jest to szczególny przypadek indukcyjności wzajemnej. Wzór (14.13) zapisujemy dla tej sytuacji:

$\Phi =LI\;$

(14.17)

Wtedy wzór na tą siłę elektromagnetyczną powstaje po podstawieniu (14.17) do prawa Faraday'a (14.1):

${\mathcal {E}}=-L{{dI} \over {dt}}\;$

(14.18)

Wzór na L jest taki sam, jak wzór Neumanna (14.14), tylko jest podwójne całkowanie po tym samym obwodzie, czyli geometria dotyczy tylko jednego obwodu.

Energia własna układu magnetycznego

Moc wykonana przeciwko SEM w indukcyjności własnej jakiegoś obwodu zależy od siły elektromotorycznej spowodowanej przez indukcję własną, jeśli w nim płynie prądy o natężeniu I, co jego praca wykonana przeciwko sile elektromagnetycznej SEM w jednostce czasu (dlatego tam jest znak minus lub inaczej prąd płynie przeciwnie do natężenia sił obcych elektrycznych spowodowanych zmianą indukcji pola magnetycznego w wyniku zmiany płynięcia natężenia prądu elektrycznego w tymże obwodzie) jest równa:

${{dW} \over {dt}}=-{\mathcal {E}}I\;$

(14.19)

Wykorzystując definicję siły elektromotorycznej spowodowaną indukcyjnością własną ${\mathcal {E}}\;$ (14.18), która wynika z prawa indukcyjności Faradaya (14.1), pytamy siebie jaką pracę wykonał układ przy zmianie prądu w układzie o indukcyjności własnej L od I równego zero do pewnej wielkości niezerowej, stąd dochodzimy do wniosku:

${{dW} \over {dt}}=L{{dI} \over {dt}}I\Rightarrow dW=LIdI\Rightarrow W={{1} \over {2}}LI^{2}\;$

(14.20)

Praca wykonana przeciwko SEM w układzie o indukcyjności własnej L, po przepisaniu końcowego wniosku z (14.20) dla przejrzystości wykładu, jest wyrażona:

$W={{1} \over {2}}LI^{2}\;$

(14.21)

Nie zależy ona jak długo płynie prąd, ale jedynie od geometrii układu i natężenia prądu płynącego w tym naszym obwodzie, który oddziałuje sam ze sobą w wyniku pola magnetycznego.

Energia układu z polem magnetycznym

Powyżej zakładaliśmy, że mamy ośrodek, który jest próżnią i w nim płyną prądy, ale w tym przypadku rozważmy ośrodek materialny o pewnej polaryzowalności magnetycznej, w której płyną prądy swobodne, zatem we wzorze na energię własną układu magnetycznego i na strumień indukcji magnetycznej zastępujemy w nim wielkości prądów przez prądy swobodne I_sw. Czyli wzory te są nadal słuszne po dokonaniu tejże zamiany.

Strumień pola magnetycznego (14.4) i wyrażeniu w nim indukcji pola magnetycznego przez wektorowy potencjał magnetyczny (10.1), wtedy tą wielkość piszemy:

$\Phi =\int _{S}{\vec {B}}d{\vec {S}}=\int _{S}\left(\nabla \times {\vec {A}}\right)d{\vec {S}}=\oint _{K}{\vec {A}}d{\vec {l}}\;$

(14.22)

Wzór (14.17), który jest zapisany jako iloczyn indukcyjności własnej i natężenia prądów swobodnych w nim płynących, w którym do tak zdefiniowanego strumienia możemy podstawić wzór (14.22), który jest całką po pewnym zamkniętym konturze, w którym wielkością podcałkową jest magnetyczny potencjał wektorowy.

$LI_{sw}=\oint _{k}{\vec {A}}d{\vec {l}}\;$

(14.23)

Po podstawieniu wzoru (14.23) do wzoru na energię obwodu zapisanej w punkcie (14.21), który po dokonaniu podstawieniu za LI_sw jest wprost proporcjonalny do natężenia prądu elektrycznego ładunków swobodnych, o stałej proporcjonalności równej połowie indukcyjności własnej pomnożonej cyrkulacje potencjału skalarnego, co go zapisujemy:

$W={{1} \over {2}}LI_{sw}^{2}={{1} \over {2}}I_{sw}LI_{sw}={{1} \over {2}}I_{sw}\oint _{K}{\vec {A}}d{\vec {l}}\Rightarrow W={{1} \over {2}}\oint _{K}\left({\vec {A}}{\vec {I}}_{sw}\right)dl\;$

(14.24)

Powyższy wynik końcowy można uogólnić na gęstość prądu elektrycznego, jeśli w całce (14.24) zamieniamy całkowanie względem natężenia prądu na całkowanie po gęstości prądu wykorzystując wzór (10.7), zatem:

$W={{1} \over {2}}\int _{K}\left({\vec {A}}{\vec {J}}_{sw}\right)dV\;$

(14.25)

Wzór (12.19) możemy podstawić do wzoru (14.25) za gęstość natężenia prądu elektrycznego swobodnego, otrzymujemy:

$W={{1} \over {2}}\int _{K}{\vec {A}}\left(\nabla \times {\vec {H}}\right)dV\;$

(14.26)

Wyznaczmy wyrażenie pomocnicze, które będzie nam później potrzebne do dalszych rozważań:

$\nabla \left({\vec {A}}\times {\vec {H}}\right)=\nabla _{i}\epsilon _{ijk}A_{j}H_{k}=\epsilon _{ijk}H_{k}\nabla _{i}A_{j}+\epsilon _{ijk}A_{j}\nabla _{i}H_{k}=\epsilon _{kij}H_{k}\nabla _{i}A_{j}-\epsilon _{jik}A_{j}\nabla _{i}H_{k}={\vec {H}}\left(\nabla \times {\vec {H}}\right)-{\vec {A}}\left(\nabla \times {\vec {H}}\right)\;$

(14.27)

Wtedy energia własna układu (14.26), po skorzystaniu z udowodnionej tożsamości (14.27), jest przedstawiona:

$W={{1} \over {2}}\int _{K}\left({\vec {H}}\left(\nabla \times {\vec {A}}\right)-\nabla \left({\vec {A}}\times {\vec {H}}\right)\right)dV\;$

(14.28)

Po skorzystaniu z definicji (10.1) dla pierwszego wyrazu w całce w wyrażeniu (14.28) i po rozbiciu jej na dwie całki i zamienieniu w tej drugiej z całkowania po objętości ograniczonej pewną powierzchnią zamkniętą na całkowanie po tej powierzchni według twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa, wtedy:

$W={{1} \over {2}}\left[\int _{K}{\vec {H}}{\vec {B}}dV-\oint _{K}\left({\vec {A}}\times {\vec {H}}\right)d{\vec {S}}\right]\;$

(14.29)

W drugiej całce w (14.29) będziemy dokonywać całkowania po powierzchni nieskończonej, jak zakładamy:

$\oint _{K}\left({\vec {A}}\times {\vec {H}}\right)d{\vec {S}}=0\;$

(14.30)

Równanie (14.29), na podstawie całki powierzchniowej (14.30), jest równe:

$W={{1} \over {2}}\int _{{\vec {r}}\in R^{3}}{\vec {H}}{\vec {B}}dV\;$

(14.31)

Gęstość energii w danym punkcie w przestrzeni z polem magnetycznym o pewnej indukcji na podstawie równania (14.31) określamy:

$u_{mag}={{1} \over {2}}{\vec {H}}{\vec {B}}\;$

(14.32)

Widzimy, że gęstość energii pola magnetycznego w danym punkcie w próżni jest zależna od wektorów indukcji i natężenia pola magnetycznego.