Elektrodynamika klasyczna/Przewodnik z prądem elektrycznym

Elektrodynamika klasyczna

Przewodnik z prądem elektrycznym

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

Wykaz modułów w książce
1Elektrostatyka 2Różniczkowe i całkowe prawa dla elektrostatyki 3Pole skalarne 4Przewodniki 5Rozwinięcia kwadrupolowe 6Elementarne właściwości materii w polu elektrostatycznym 7Ciało spolaryzowane a jego pole 8Magnetostatyka 9Wektor indukcji magnetycznej 10Magnetyczny potencjał wektorowy 11Elementarne właściwości materii w polu magnetycznym 12Prądy związane z polem namagnesowanego ciała 13Przewodnik z prądem elektrycznym 14Indukcja elektromagnetyczna 15Elektrodynamika Maxwella 16Zasady zachowania a twierdzenia o właściwościach pola elektromagnetycznego 17Fale elektromagnetyczne w elektrodynamice Maxwella 18Absorpcja i dyspersja w materii 19Opis fal prowadzonych 20Pola skalarne i wektorowe a równania elektrodynamiki Maxwella 21Rozkłady ciągłe gęstości ładunku i gęstości prądu objętościowego 22Rozkłady dyskretne ładunków punktowych 23Promieniowanie elektromagnetyczne 24Promieniowanie od ładunków punktowych 25Oddziaływanie promieniowania na materię 26Elektrodynamika relatywistyczna 27Zasada wariacyjna w elektromagnetyzmie

Spis treści
1Prawo Ohma 2Współczynnik przewodnictwa właściwego 3Definicja SEM-siły elektromotorycznej 4Reguła strumienia dla SEM przesuwającego się przewodnika w polu magnetycznym

Następny rozdział: Indukcja elektromagnetyczna. Poprzedni rozdział: Prądy związane z polem namagnesowanego ciała.

Podręcznik: Elektrodynamika klasyczna.

Tutaj przedstawimy wszystko co jest związane z prądem, jakie są jego prawa. Dlaczego przewodnik przewodzi prąd.

Prawo Ohma

W przewodniku z prądem gęstość prądu płynącego w nim jest proporcjonalna do siły działający na jednostkowy ładunek na nośniki prądu znajdujących się w rozważanym przewodniku. ta zależność jest pisana:

\vec{J} = σ \vec{f}

(13.1)

W naszym przypadku σ, nosi nazwę przewodności elektrycznej właściwej, a jego odwrotność nazywamy opornością właściwą zdefiniowanej wedle:

ρ = \frac{1}{σ}

(13.2)

Siła $\vec{f}$ działająca na jednostkowy ładunek definiujemy jako siłę Lorentza napisanej wedle sposobu (8.3):

\vec{f} = \vec{E} + \vec{v} \times \vec{B}

(13.3)

Zazwyczaj prędkość ładunków jest mała, to można powiedzieć, że wyrażenie (13.3) w przybliżeniu jest równoważne proporcjonalności $\vec{f} ≃ \vec{E}$ , zatem prawo Ohma (13.1) przy ostatnio powiedzianym przybliżeniu, które zachodzi dla wzoru (13.3) jest wedle równania:

\vec{J} = σ \vec{E}

(13.4)

Widzimy, że gęstość prądu jakie płynie przewodniku jest wprost proporcjonalne do natężenia pola elektrycznego. Prawo (13.4) jest również nazywamy różniczkowym prawem Ohma.

Współczynnik przewodnictwa właściwego

Prędkość ruchu termicznego w temperaturze T jest v_temp, a średnia droga swobodna jest λ, jest to droga przebyta od jednego rdzenia atomowego do innego, a ten czas tej drogi z definicji prędkości jest równy:

v_{t e r m} = \frac{λ}{t} \Rightarrow t = \frac{λ}{v_{t e r m}}

(13.5)

Od jednego rdzenia do drugiego elektron porusza się ruchem jednostajnym przyspieszonym, z prędkością średnią: $v_{s r} = \frac{1}{2} a t$ . Zakładamy, że elektron po zderzeniu z rdzeniem traci całkowicie swoją prędkość (energię kinetyczną). A więc jego prędkość średnia na tej drodze definiujemy wedle:

v_{s r} = \frac{1}{2} a \frac{λ}{v_{t e r m}} = \frac{a λ}{2 v_{t e r m}}

(13.6)

Możemy skorzystać z drugiej zasady dynamiki Newtona i wyrazić przyspieszenie cząstki w zależności od niezrównoważonej siły i masy elektronu, zatem równanie (13.6) przyjmuje kształt:

v_{s r} = \frac{F λ}{2 m v_{t e r m}}

(13.7)

Możemy skorzystać z definicji siły elektrostatycznej w zależności od jego natężenia pola (1.2), wtedy ten wzór na siłę podstawiamy do wzoru (13.7), wtedy dostajemy:

v_{s r} = \frac{E q λ}{2 m v_{t e r m}}

(13.8)

Gęstość prądu definiujemy wedle wzoru (8.7), w których "n" jest koncentracją elektronów, z których każda ma f elektronów, przestawia się:

J = q n f v_{s r}

(13.9)

Do wzoru (13.9) za prędkość średnią podstawiamy wyrażenie (13.8), które jest zależne od natężenia pola elektrycznego panującego w przewodniku i innych wielkości, zatem:

J = q n \frac{E q λ}{2 m v_{t e r m}} \Rightarrow J = \frac{q^{2} f λ n}{2 m v_{t e r m}} E \Rightarrow \vec{J} = \frac{q^{2} f λ n}{2 m v_{t e r m}} \vec{E}

(13.10)

Przewodność elektryczna jest zdefiniowana tak, że porównując wzory (13.10) z formułą (13.4), dostajemy:

σ = \frac{q^{2} f λ n}{2 m v_{t e r m}}

(13.11)

Widzimy, że przewodność elektryczna jest wielkością stałą dla danej temperatury przewodzącego przewodnika.

Definicja SEM-siły elektromotorycznej

Załóżmy, że mamy obwód elektryczny wraz ze źródłami prądu elektrycznego. W dowolnym punkcie takiego obwodu można powiedzieć, że całkowita siła działająca na jednostkę ładunku elektrycznego jest równa polu elektrycznemu jakie panuje w danym miejscu przewodnika i siły na jednostkę ładunku odpowiedzialny za przepływ prądu pochodzący od źródła elektrycznego:

\vec{f} = {\vec{f}}_{źr} + \vec{E}

(13.12)

gdzie: ${\vec{f}}_{źr}$ , jest to siła podtrzymująca prąd elektryczny w obwodzie, ale $\vec{f}$ jest to całkowita siła na jednostkę ładunku, działająca na ładunek w danym punkcie obwodu elektrycznego.

Definicja siły elektromotorycznej określa się jako całkę okrężną z wyrażenia (13.12) wzdłuż przewodnika z prądem i zakładając, że cyrkulacja natężenia pola elektrycznego (2.15) na konturze zamkniętym jest równa zero (tutaj oczko).

ℰ = \oint \vec{f} d \vec{l} = \oint ({\vec{f}}_{źr} + \vec{E}) d \vec{l} = \oint {\vec{f}}_{źr} d \vec{l} + \oint \vec{E} d \vec{l} = \oint {\vec{f}}_{źr} d \vec{l}

(13.13)

Wewnątrz źródła prądu elektrycznego zachodzi między stykami $\vec{E} = - {\vec{f}}_{źr}$ , czyli pole elektryczne w źródle prądu równoważy siły zewnętrzne, zatem na podstawie powyższych rozważań powinno zachodzić:

ℰ = \oint {\vec{f}}_{źr} d \vec{l} = \int_{a}^{b} {\vec{f}}_{źr} d \vec{l} = - \int_{a}^{b} \vec{E} d \vec{l} = U

(13.14)

Zatem siła elektromotoryczna źródła prądu elektrycznego definiujemy jako całkę pomiędzy stykami źródła prądu elektrycznego na podstawie obliczeń (13.14):

ℰ = - \int_{a}^{b} \vec{E} d \vec{l}

(13.15)

Reguła strumienia dla SEM przesuwającego się przewodnika w polu magnetycznym

Z definiujmy wektor $d \vec{S}$ jako wektor prostopadły do prędkości ruchu nośników prądu i ruchu samego przewodnia z prądem, koncentrując się na pewnym punkcie S i po przesunięciu jego, mamy wtedy punkt S^', to wtedy infinitezymalny wektor $d \vec{S}$ można zapisać:

d \vec{S} = (\vec{v} d t \times d \vec{l}) \Rightarrow d \vec{S} = (\vec{v} \times d \vec{l}) d t

(13.16)

gdzie: $\vec{v} d t$ jest to przesunięcie punktu $S$ w punkt $S^{'}$ .

Wykorzystujemy definicję infinitezymalnego strumienia jako iloczynu indukcji pola magnetycznego i małego wektora $d \vec{S}$ w sposób:

d Φ = \vec{B} d \vec{S}

(13.17)

Możemy zapisać wektor nieskończenie małej powierzchni (13.16) prostopadłej do tej powierzchni, wtedy strumień pola magnetycznego (13.17):

d Φ = \oint \vec{B} \cdot (\vec{v} \times d \vec{l}) d t \Rightarrow \frac{d Φ}{d t} = \oint \vec{B} \cdot (\vec{v} \times d \vec{l})

(13.18)

Prawa strona jest całkowaniem po całej konturze przewodnika, i tylko tej części, która znajduje się w polu magnetycznym.

Jeśli przez $\vec{v}$ rozumiemy jako prędkość przewodnika z prądem, a przez $\vec{u}$ prędkość nośników prądu, a zatem całkowita prędkość nośników z prądem jest wyrażona:

\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}

(13.19)

Ależ we wzorze na sumowanie prędkości (13.19) zachodzi równoległość wektora $d \vec{l}$ do wektora prędkości nośników prądu $\vec{u}$ , to wtedy iloczyn wektorowy wektora nieskończenie małej części obwodu i prędkości cząstek $\vec{u}$ , z którą w nim płynie prąd elektryczny, można zapisać jako równe zero. Wzór (13.18) a w nim wielkość prędkości części obwodu $\vec{v}$ zastępujemy przez prędkość całkowitą naszych cząstek w obwodzie, która jest sumą prędkości cząstek w obwodzie w jego poruszającej się układzie odniesienia i prędkości samego obwodu, wtedy wzór (13.18) można zapisać równoważnie do poprzednich dysput:

\frac{d Φ}{d t} = \oint [\vec{B} \cdot (\underset{0}{\underset{⏟}{\vec{u} \times d \vec{l}}}) + \vec{B} \cdot (\vec{v} \times d \vec{l})] \Rightarrow \frac{d Φ}{d t} = \oint \vec{B} \cdot (\vec{w} \times d \vec{l})

(13.20)

Można powiedzieć, że wyrażenie występujące z prawej strony wzoru (13.20) z definicji siły magnetycznej na jednostkę ładunku elektrycznego zachodzi tożsamość przedstawia się:

\vec{B} \cdot (\vec{w} \times d \vec{l}) = d \vec{l} \cdot (\vec{B} \times \vec{w}) = - d \vec{l} \cdot (\vec{w} \times \vec{B}) = - d \vec{l} \cdot {\vec{f}}_{m a g} = - {\vec{f}}_{m a g} d \vec{l}

(13.21)

Wyrażenie (13.20) z tożsamości udowodnionej dla jego prawej strony wedle przekształceń (13.21) możemy napisać:

\frac{d Φ}{d t} = - \oint {\vec{f}}_{m a g} d \vec{l}

(13.22)

Korzystając z definicji na siłę elektromagnetyczną (13.14), wtedy wyrażenie (13.22), które jest pochodną zmiany strumienia magnetycznego względem czasu jest równa sile elektromagnetycznej wytwarzanej przez zmienne pole magnetyczne i to wyrażenie wzięte jest ze znakiem minus:

ℰ = - \frac{d Φ}{d t}

(13.23)

a więc nasze prawo na SEM w polu magnetycznym zostało udowodnione.