Elektrodynamika klasyczna/Przewodnik z prądem elektrycznym

Przewodnik z prądem elektrycznym

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Spis treści
1Prawo Ohma 2Współczynnik przewodnictwa właściwego 3Definicja SEM-siły elektromotorycznej 4Reguła strumienia dla SEM przesuwającego się przewodnika w polu magnetycznym

Tutaj przedstawimy wszystko co jest związane z prądem, jakie są jego prawa. Dlaczego przewodnik przewodzi prąd.

Prawo Ohma

W przewodniku z prądem gęstość prądu płynącego w nim jest proporcjonalna do siły działający na jednostkowy ładunek na nośniki prądu znajdujących się w rozważanym przewodniku. ta zależność jest pisana:

${\vec {J}}=\sigma {\vec {f}}$

(13.1)

W naszym przypadku σ, nosi nazwę przewodności elektrycznej właściwej, a jego odwrotność nazywamy opornością właściwą zdefiniowanej wedle:

$\rho ={{1} \over {\sigma }}$

(13.2)

Siła ${\vec {f}}\;$ działająca na jednostkowy ładunek definiujemy jako siłę Lorentza napisanej wedle sposobu (8.3):

${\vec {f}}={\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}$

(13.3)

Zazwyczaj prędkość ładunków jest mała, to można powiedzieć, że wyrażenie (13.3) w przybliżeniu jest równoważne proporcjonalności ${\vec {f}}\simeq {\vec {E}}$, zatem prawo Ohma (13.1) przy ostatnio powiedzianym przybliżeniu, które zachodzi dla wzoru (13.3) jest wedle równania:

${\vec {J}}=\sigma {\vec {E}}$

(13.4)

Widzimy, że gęstość prądu jakie płynie przewodniku jest wprost proporcjonalne do natężenia pola elektrycznego. Prawo (13.4) jest również nazywamy różniczkowym prawem Ohma.

Współczynnik przewodnictwa właściwego

Prędkość ruchu termicznego w temperaturze T jest v_temp, a średnia droga swobodna jest λ, jest to droga przebyta od jednego rdzenia atomowego do innego, a ten czas tej drogi z definicji prędkości jest równy:

$v_{term}={{\lambda } \over {t}}\Rightarrow t={{\lambda } \over {v_{term}}}$

(13.5)

Od jednego rdzenia do drugiego elektron porusza się ruchem jednostajnym przyspieszonym, z prędkością średnią:$v_{sr}={{1} \over {2}}at$. Zakładamy, że elektron po zderzeniu z rdzeniem traci całkowicie swoją prędkość (energię kinetyczną). A więc jego prędkość średnia na tej drodze definiujemy wedle:

$v_{sr}={{1} \over {2}}a{{\lambda } \over {v_{term}}}={{a\lambda } \over {2v_{term}}}$

(13.6)

Możemy skorzystać z drugiej zasady dynamiki Newtona i wyrazić przyspieszenie cząstki w zależności od niezrównoważonej siły i masy elektronu, zatem równanie (13.6) przyjmuje kształt:

$v_{sr}={{F\lambda } \over {2mv_{term}}}$

(13.7)

Możemy skorzystać z definicji siły elektrostatycznej w zależności od jego natężenia pola (1.2), wtedy ten wzór na siłę podstawiamy do wzoru (13.7), wtedy dostajemy:

$v_{sr}={{Eq\lambda } \over {2mv_{term}}}$

(13.8)

Gęstość prądu definiujemy wedle wzoru (8.7), w których "n" jest koncentracją elektronów, z których każda ma f elektronów, przestawia się:

$J=qnfv_{sr}\;$

(13.9)

Do wzoru (13.9) za prędkość średnią podstawiamy wyrażenie (13.8), które jest zależne od natężenia pola elektrycznego panującego w przewodniku i innych wielkości, zatem:

$J=qn{{Eq\lambda } \over {2mv_{term}}}\Rightarrow J={{q^{2}f\lambda n} \over {2mv_{term}}}E\Rightarrow {\vec {J}}={{q^{2}f\lambda n} \over {2mv_{term}}}{\vec {E}}$

(13.10)

Przewodność elektryczna jest zdefiniowana tak, że porównując wzory (13.10) z formułą (13.4), dostajemy:

$\sigma ={{q^{2}f\lambda n} \over {2mv_{term}}}$

(13.11)

Widzimy, że przewodność elektryczna jest wielkością stałą dla danej temperatury przewodzącego przewodnika.

Definicja SEM-siły elektromotorycznej

Załóżmy, że mamy obwód elektryczny wraz ze źródłami prądu elektrycznego. W dowolnym punkcie takiego obwodu można powiedzieć, że całkowita siła działająca na jednostkę ładunku elektrycznego jest równa polu elektrycznemu jakie panuje w danym miejscu przewodnika i siły na jednostkę ładunku odpowiedzialny za przepływ prądu pochodzący od źródła elektrycznego:

${\vec {f}}={\vec {f}}_{\mbox{źr}}+{\vec {E}}\;$

(13.12)

• gdzie:${\vec {f}}_{\mbox{źr}}\;$, jest to siła podtrzymująca prąd elektryczny w obwodzie, ale ${\vec {f}}\;$ jest to całkowita siła na jednostkę ładunku, działająca na ładunek w danym punkcie obwodu elektrycznego.

Definicja siły elektromotorycznej określa się jako całkę okrężną z wyrażenia (13.12) wzdłuż przewodnika z prądem i zakładając, że cyrkulacja natężenia pola elektrycznego (2.15) na konturze zamkniętym jest równa zero (tutaj oczko).

${\mathcal {E}}=\oint {\vec {f}}d{\vec {l}}=\oint \left({\vec {f}}_{\mbox{źr}}+{\vec {E}}\right)d{\vec {l}}=\oint {\vec {f}}_{\mbox{źr}}d{\vec {l}}+\oint {\vec {E}}d{\vec {l}}=\oint {\vec {f}}_{\mbox{źr}}d{\vec {l}}\;$

(13.13)

Wewnątrz źródła prądu elektrycznego zachodzi między stykami ${\vec {E}}=-{\vec {f}}_{\mbox{źr}}\;$, czyli pole elektryczne w źródle prądu równoważy siły zewnętrzne, zatem na podstawie powyższych rozważań powinno zachodzić:

${\mathcal {E}}=\oint {\vec {f}}_{\mbox{źr}}d{\vec {l}}=\int _{a}^{b}{\vec {f}}_{\mbox{źr}}d{\vec {l}}=-\int _{a}^{b}{\vec {E}}d{\vec {l}}=U\;$

(13.14)

Zatem siła elektromotoryczna źródła prądu elektrycznego definiujemy jako całkę pomiędzy stykami źródła prądu elektrycznego na podstawie obliczeń (13.14):

${\mathcal {E}}=-\int _{a}^{b}{\vec {E}}d{\vec {l}}\;$

(13.15)

Reguła strumienia dla SEM przesuwającego się przewodnika w polu magnetycznym

(Rys. 13.1) Ramka z prądem poruszających się z pewną prędkością

(Rys. 13.2) Inny przykład obwodu kołowego z prądem

Z definiujmy wektor $d{\vec {S}}$ jako wektor prostopadły do prędkości ruchu nośników prądu i ruchu samego przewodnia z prądem, koncentrując się na pewnym punkcie S i po przesunięciu jego, mamy wtedy punkt S^', to wtedy infinitezymalny wektor $d{\vec {S}}\;$ można zapisać:

$d{\vec {S}}=\left({\vec {v}}dt\times d{\vec {l}}\right)\Rightarrow d{\vec {S}}=\left({\vec {v}}\times d{\vec {l}}\right)dt$

(13.16)

• gdzie: ${\vec {v}}dt$ jest to przesunięcie punktu $S\;$ w punkt $S^{'}\;$.

Wykorzystujemy definicję infinitezymalnego strumienia jako iloczynu indukcji pola magnetycznego i małego wektora $d{\vec {S}}\;$ w sposób:

$d\Phi ={\vec {B}}d{\vec {S}}\;$

(13.17)

Możemy zapisać wektor nieskończenie małej powierzchni (13.16) prostopadłej do tej powierzchni, wtedy strumień pola magnetycznego (13.17):

$d\Phi =\oint {\vec {B}}\cdot \left({\vec {v}}\times d{\vec {l}}\right)dt\Rightarrow {{d\Phi } \over {dt}}=\oint {\vec {B}}\cdot \left({\vec {v}}\times d{\vec {l}}\right)$

(13.18)

Prawa strona jest całkowaniem po całej konturze przewodnika, i tylko tej części, która znajduje się w polu magnetycznym.

Jeśli przez ${\vec {v}}$ rozumiemy jako prędkość przewodnika z prądem, a przez ${\vec {u}}$ prędkość nośników prądu, a zatem całkowita prędkość nośników z prądem jest wyrażona:

${\vec {w}}={\vec {u}}+{\vec {v}}$

(13.19)

Ależ we wzorze na sumowanie prędkości (13.19) zachodzi równoległość wektora $d{\vec {l}}$ do wektora prędkości nośników prądu ${\vec {u}}\;$, to wtedy iloczyn wektorowy wektora nieskończenie małej części obwodu i prędkości cząstek ${\vec {u}}\;$, z którą w nim płynie prąd elektryczny, można zapisać jako równe zero. Wzór (13.18) a w nim wielkość prędkości części obwodu ${\vec {v}}\;$ zastępujemy przez prędkość całkowitą naszych cząstek w obwodzie, która jest sumą prędkości cząstek w obwodzie w jego poruszającej się układzie odniesienia i prędkości samego obwodu, wtedy wzór (13.18) można zapisać równoważnie do poprzednich dysput:

${{d\Phi } \over {dt}}=\oint \left[{\vec {B}}\cdot \left(\underbrace {{\vec {u}}\times d{\vec {l}}} _{0}\right)+{\vec {B}}\cdot \left({\vec {v}}\times d{\vec {l}}\right)\right]\Rightarrow {{d\Phi } \over {dt}}=\oint {\vec {B}}\cdot \left({\vec {w}}\times d{\vec {l}}\right)$

(13.20)

Można powiedzieć, że wyrażenie występujące z prawej strony wzoru (13.20) z definicji siły magnetycznej na jednostkę ładunku elektrycznego zachodzi tożsamość przedstawia się:

${\vec {B}}\cdot \left({\vec {w}}\times d{\vec {l}}\right)=d{\vec {l}}\cdot \left({\vec {B}}\times {\vec {w}}\right)=-d{\vec {l}}\cdot \left({\vec {w}}\times {\vec {B}}\right)=-d{\vec {l}}\cdot {\vec {f}}_{mag}=-{\vec {f}}_{mag}d{\vec {l}}$

(13.21)

Wyrażenie (13.20) z tożsamości udowodnionej dla jego prawej strony wedle przekształceń (13.21) możemy napisać:

${{d\Phi } \over {dt}}=-\oint {\vec {f}}_{mag}d{\vec {l}}$

(13.22)

Korzystając z definicji na siłę elektromagnetyczną (13.14), wtedy wyrażenie (13.22), które jest pochodną zmiany strumienia magnetycznego względem czasu jest równa sile elektromagnetycznej wytwarzanej przez zmienne pole magnetyczne i to wyrażenie wzięte jest ze znakiem minus:

${\mathcal {E}}=-{{d\Phi } \over {dt}}$

(13.23)

a więc nasze prawo na SEM w polu magnetycznym zostało udowodnione.