Elektrodynamika klasyczna/Rozkłady dyskretne ładunków punktowych

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacja, szukaj

Elektrodynamika klasyczna
Elektrodynamika klasyczna
Autor: Mirosław Makowiecki
Email: miroslaw.makowiecki@gmail.com

Będziemy się zajmować przypadkami, gdy rozkład nie jest w ogólności ciągły, ale dyskretny. Także ich potencjałami, tzn. potencjałem skalarnym i dyskretnym.

Potencjał skalarny i wektorowy Liénarda-Wiecherta[edytuj]

Wyobraźmy sobie pociąg nadjeżdżający do nas, ale znajdujemy się pod pewnym kątem do lokomotywy względem o wartości θ względem toru na którym porusza się pociąg. Niech światło leci do nas z ostatniego końca wagonu zaczepionej do lokomotywy i w odpowiednim czasie ono doleci do nas, wtedy lokomotywa zdążyła przybyć drogę równą L'-L w czasie t. Możemy wyrazić prędkość lokomotywy poprzez odległość z jaką lokomotywa zdążyła przebyć podzielonej przez prędkość światła:

(22.1)

W tym czasie wyrażony wzorem (22.1) światła zdążyło przebyć drogę równą L'cosθ, zatem stosunek tej drugi przez wspomniany czas jest równy prędkości światła, z którego możemy wyrazić ten właśnie czas:

(22.2)

Przyrównajmy dwa czasy, tzn. (22.1) i (22.2) do siebie, bo one oznaczają to samo, zatem dostajemy równość:

(22.3)

Z równania (22.3) możemy wyznaczyć obserwowaną długość pociągu L', ze względu że światło ma skończoną prędkość, zatem tą wielkość piszemy:

(22.4)

Jeśli wprowadzimy definicję iloczynu skalarnego do końcowego wzoru (22.4), ale przedtem odpowiednio definiują jednostkowy wektor , która jest równoległa do kierunku dotarcia światła do obserwatora, ale jego zwrot jest w kierunku jego, zatem wzór na obserwowaną długość pociągu (22.4) możemy napisać:

(22.5)

Obserwowaną objętość małego elementu przestrzeni jest wyrażona poprzez prawdziwe określenie tej wielkości, to ta się tak dzieje, ponieważ ta fałszywa objętość jest powodowana, jak wcześniej powiedzieliśmy w przypadku długości pociągu, jest powodowana tylko dlatego, że światło potrzebuje czasu ściśle określonego by dotrzeć do obserwatora, zatem nasza rozważana objętość efektywna jest:

(22.6)

Jeśli będziemy rozważań nieskończenie małe objętości, to wtedy wzór (22.6) przepisujemy, ale z tą zmianką, że rozpatrujemy bardzo małe elementy objętości:

(22.7)

Całkowite pole liczone w czasie rzeczywistym t pochodzi od ładunków z różnych czasów opóźnionych wysłanych przez ładunki z prędkością światła w czasie opóźnionych, jeśli objętość cząstki jest dV w czasie tr (nie przedziale), to widoczna objętość jest napisana dV', która pochodzi dla czasów wysłanych przez ładunki w przedziale czasów rzeczywistych (tr,tr+dtr) i dlatego używamy objętości dV', a nie dV, w prawie na potencjał skalarny i wektorowy.

Położenie, prędkość oraz przyspieszenie w czasie opóźnionym w elektromagnetyzmie[edytuj]

Odległość R i położenie ciała o ładunku q w czasie opóźnionym

Z rysunku obok widzimy, że odległość ładunku q od punktu, w którym liczymy te nasze wspomniane wielkości jest różnicą wektora, w którym liczymy te właśnie potencjały i wektora wodzącego cząstki o ładunku q w czasie opóźnionym

(22.8)

Wektor wodzący (22.8) można policzyć znając położenie początkowe ładunku i przesunięcia cząstki w czasie od t0 do tr.


(22.9)

Wiedząc, że zachodzi tożsamość (21.7) dla czasu opóźnionego, zatem możemy policzyć prędkość i przyspieszenie cząstki w czasie tr wedle:

(22.10)
(22.11)

Skalarny potencjał pola elektromagnetycznego dla ładunku punktowego[edytuj]

Jeśli mamy ładunki punktowe, to należy w tym przypadku użyć delty Diraca pomnożonej przez wartość ładunku q. co mamy:


(22.12)

Potencjał skalarny znany elektromagnetyzmie jest zapisany w punkcie (21.4), korzystając przy tym z obliczeń przeprowadzonej w punkcie (22.12) na gęstość objętością ładunku elektrycznego punktowego, która jest zawsze równa zero, oprócz jednego punktu, w którym przyjmuje wartość ściśle określoną nieskończoność, wtedy tą wielkość piszemy wedle:

(22.13)

Wektorowy potencjał pola elektromagnetycznego dla ładunku punktowego[edytuj]

Następie zajmijmy się potencjałem wektorowym (21.5), wykorzystując bezpośrednio tożsamość (22.7), na obserwsowaną infinitezymalną objętość, w której znajduje się ładunek punktowy, zatem te wywody możemy przeprowadzić wedle schematu:

(22.14)

Jeśli dodatkowo policzymy iloczyn infinitezymalnej objętości dV i gęstości prądu w czasie opóźnionych, wtedy to nasze wyrażenie możemy zapisać:


(22.15)

Potencjał wektorowy napisany w punkcie (22.14) wedle przeprowadzonych obliczeń (22.15), który jest iloczynem gęstości prądu objętościowego przez infintezymanlą objętość i innych wielkości, w której ten właśnie prąd przepływa w danym punkcie przestrzeni, piszemy wedle:

(22.16)

Jeśli przyjmować będziemy, że , to wtedy potencjał wektorowy(22.16) przy definicji potencjału skalarnego (22.13) przepiszujemy wzorem wektorowym:

(22.17)

Zestawienie wzorów na potencjał skalarny i wektorowy elektryczny[edytuj]

Ostatecznie zbierzmy wszystkie wyniki wyprowadzonych wzorów napisanych na potencjał skalarny (22.13) i wektorowy w (22.17), zatem:

(22.18)
(22.19)

Natężenie pole elektrycznego i indukcja pola magnetycznego dla poruszającego się ładunku punktowego[edytuj]

Potencjał skalarny pochodzący od ładunku punktowego q w odległości od niego o R względem danego kierunku jest piszany wzorem (22.18), zatem dywergencja potencjału skalarnego elektrycznego piszemy wedle:

(22.20)

Wyznaczmy dywergencji liczby R, która jest odległością ładunku od punktu w czasie opóźnionym, w której będziemy wyznaczali różne wielkości elektromagnetyczne:

(22.21)

Następnym krokiem jest wyznaczenie dywergencji z iloczynu skalarnego wektora odległości między położeniem ładunku a samym ładunkiem, którego zwrot jest w stronę tego punktu w czasie opóźnionym, i prędkości tego właśnie ładuku, według tożsamości udowodnionej w matematyce:

(22.22)

Policzmy pierwszy człon występujący we wzorze (22.22) po jego prawej stronie, korzystając z definicji przyspieszenia cząstki napisanej , wtedy ten wyraz mozna wyrazić:


(22.23)

Teraz policzmy drugi człon wyrażenia (22.22) i potem wyznaczmy kolejne jego otrzymane podwyrazy, by potem w sposób całkowity wyznaczyć to właśnie wyrażenie:

(22.24)

Policzmy pierwszy wyraz występujący we tożsamości (22.24), wykorzystując definicję iloczynu skalarnego, który występuje w nawiasie w wyrażeniu poniżej i przekonamy się, że końcowe wyrażenie tego samego wyrażenia jest równoważne prędkości cząstki o ładunku Q, czyli źródła pola elektromagnetycznego.

(22.25)

Policzmy drugi wyraz występujący we tożsamości (22.24), wykorzystując definicję iloczynu skalarnego, który występuje w nawiasie w wyrażeniu poniżej i przekonamy się, że końcowe wyrażenie tej samego wyrażenia jest równoważne pewnemu wyrażeniu zależnego od gradientu czasu opóźnionego tr, czyli ∇tr, które ten gradient później wyznaczymy z obliczeń. Końcowe wyrażenie jak się również przekonamy jest zależna od prędkości ładunku Q.


(22.26)

Teraz przejdźmy do trzeciego członu naszego równania (22.22), wykorzystując przy czym udowodniony wzór (21.7) i przez to możemy wykorzystać definicję przyspieszenia cząstki o ładunku q, w końcowych obliczeniach jak się przekonamy, że w wyrażeniu na iloczyn wektorowy występuje gradient czasu opóźnionego tr względem współrzędnych kartezjańskich.



(22.27)

A na sam koniec przejdźmy do ostatniego członu tożsamości (22.22) i wyznaczmy czemu jest równa rotacja wektora położenia danego punktu względem położenia ładunku Q, w której liczymy pewne wielkości elektromagnetyczne, oczywiście w czasie opóźnionym, zatem z definicji , która jest napisana w (22.16) możemy napisać tożsamość:

(22.28)

Aby dokończyć wyznaczenia wyrażenia (22.28) wyznaczmy dwa wyrazy występujące w tym samej tożsamości, zatem do dzieła. Wyznaczmy rotację wektora położenia, w której liczymy pewne wielkości pochodzące od pewnego rozkładu ładunków, w ogólności zmieniającego się w czasie, zatem jak się przekonamy, to wyrażenie jest zawsze równe zero.

(22.29)

A także wyznaczmy drugi wyraz prawej strony tożsamości (22.28), wykorzystując przy tym definicję prędkości cząstki w czasie opóźnionym (22.18), a przedtem z (21.7), by potem policzyć tą wspomnianą wielkość. Jak się przekonamy ta wielkość jest zależna od gradientu czasu opóźnionego tr i od prędkości cząstki o ładunku Q, czyli źródła pola elektromagnetycznego.

(22.30)

Wszystkie wyniki wyznaczone wcześniej w tym podrozdziale wstawiamy do rozważanego pierwotnie wyrażenia (22.23), wtedy dochodzimy do wniosku, że tą tożsamość zapisujemy wedle:



(22.31)

Aby dokończyć obliczenie tożsamości (22.31), musimy wyznaczyć gradient czasu opóźnionego tr, korzystając z definicji czasu opóźnionego (21.1), wtedy przejdźmy do dalszej części tego dowodu.

(22.32)

Rozpiszmy gradient długości wektora na sześć składników, ta tożsamość jest szczególnym przypadkiem znanej tożsamości z analizy różniczkowej z matematyki, zatem napiszmy tą tożsamość:

(22.33)

Zatem możemy dokończyć wyznaczenie tożsamości (22.32), korzystając przy tym z obliczonej dla naszego przypadku wyrażenia (22.33), zatem przejdźmy do wyznaczenia tego wyrażenia:

(22.34)

Aby powyższe wyrażenie (22.34) dokończyć satysfakcjonująco wykorzystajmy tożsamość (22.16) do składnika pierwszego występująca wspomnianej tożsamości pod znakiem różniczkowania, zatem dokonajmy pewnych obliczeń pomocniczych wedle sposobu przestawionego poniżej:

(22.35)

Wyznaczmy pierwszy wyraz występujący po prawej stronie obliczonej tożsamości (22.35)

(22.36)

A także napiszmy drugi wyraz czemu jest on równy w prawej stronie tej samej co poprzednio tożsamości, wtedy wykorzystując tożsamość (21.7), a także wzór na prędkość cząstki (22.18), zatem dostajemy wzór, w której nie znamy jeszcze gradientu czasu opóźnionego tr.


(22.37)

Mając te wszystkie dane możemy wrócić do wyznaczenia wyrażenia (22.34) mając już wcześniej obliczone wyrażenia, będziemy mogli wyznaczyć czemu jest równy gradient czasu opóźnionego tr.


(22.38)

Z obliczeń przeprowadzonych w punkcie (22.38) możemy wyznaczyć wtedy gradient czasu opóźnionego tr jako funkcję wektora prędkości ładunku Q i wektora łączącego ładunek Q z punktem, w której będziemy wyznaczać pewne wielkości elektromagnetyczne, o zwrocie do tego punktu, zatem ten gradient wspomnianej wielkości fizycznej piszemy wedle sposobu.


(22.39)

Zatem już możemy dokończyć obliczenie gradientu potencjału skalarnego, znając już policzony gradient czasu opóźnionego napisaną we końcowym wniosku w punkcie (22.39), zatem ostateczna wersja tego gradientu piszemy w postaci:


(22.40)

Następnie policzmy pochodną cząstkową potencjału wektorowego, korzystając przy tym ze wzoru na potencjał wektorowy zdefiniowanej poprzez potencjał skalarny (22.18), dalej wykorzystujemy twierdzenie o pochodnej iloczynu dla wyrażenia pewnego wektorowego.

(22.41)

Policzmy pochodną cząstkową czasu opóźnionego tr względem czasu t, wykorzystując jego definicję napisaną w (21.1):


(22.42)

Następnie wyznaczmy cząstkową pochodną potencjału skalarnego zdefiniowanej w linijce (22.18) względem czasu rzeczywistego t znając już obliczoną pochodną cząstkową czasu opóźnionego tr względem czasu rzeczywistego t, zatem do dzieła.




(22.43)

Wyznaczmy pochodną cząstkową względem czasu rzeczywistego wielkości fizycznej zwanej potencjałem wektorowym, przy tym korzystając z pochodnej cząstkowej względem czasu rzeczywistego t wielkości czasu opóźnionego tr.







(22.44)

Mając już obliczone gradient potencjału elektrycznego (22.40), a także możemy otrzymać pierwszą pochodną cząstkową potencjału wektorowego względem czasu (22.41), co do którego podstawiamy wzory pochodną cząstkową czasu opóźnionego tr względem czasu t (22.42), a także następną policzoną tożsamość (22.43), zatem natężenie pola elektrycznego z jego definicji (20.4) poprzez potencjał skalarny i wektorowy możemy napisać wedle:






(22.45)

Wprowadźmy nową zmienną wektorową nazywijmy go , którego definicja jest napisana poprzez odległość ładunku q od ładunku Q w czasie opóźnionym, zależna jest ona też od prędkości małego ładunku q.

(22.46)

Możemy wykorzystać podstawienie (22.46), które wykorzystamy we wzorze na natężenie pola elektrycznego we wzorze o numerze (22.45), by potem dostać bardziej uproszczoną równość:


(22.47)

Następnym krokiem jest obliczenie indukcji magnetycznej pola magnetycznego, korzystając przy tym z definicji indukcji pola magnetycznego poprzez potencjał wektorowy magnetyczny, co jego definicję piszemy wzorem (20.1), dalej podstawiając do tej definicji definicję potencjału wektorowego napisanego dla naszego przypadku w punkcie (22.19), co do którego tego ostatniego podstawiamy definicję potencjału skalarnego napisaną w linijce (22.16).







(22.48)

Wyznaczmy wyrażenie poniżej, które jest wprost proporcjonalne do iloczynu wektorowego położenia ładunku q względem ładunku Q w czasie opóźnionym i natężenia pola elektrycznego napisaną w (22.42), i przekonamy się, że ta wielkość jest to po prostu wektor indukcji pola magnetycznego napisanej dla nas w punkcie (22.45).





(22.49)

Udowodniliśmy według przeprowadzonych obliczeń (22.49), że indukcja pola magnetycznego napisana w punkcie (22.48) jest wektorem prostopadłym do wektora natężenia pola elektrycznego (22.45):

(22.50)

Napiszmy siłę Lorentza (8.3) działający na ładunek Q poruszający się z prędkością, w którym natężenie pola elektrycznego jest napisane wzorem (22.45), a indukcja pola magnetycznego wzorem (22.48), zatem podstawiając te wielkości na definicję siły Lorentza w elektromagnetyzmie, w ten sposób dostajemy wzór na tą opisywaną tutaj wielkość.

(22.51)

Powyższa siła jest obliczona w czasie opóźnionym, powyższy wzór wynika z praw elektrodynamiki Maxwella i siły Lorentza, a więc cała elektrodynamika zawarta jest w tym równaniu, jak widzimy zależy ona od przyspieszenia cząstki naładowanej i jej prędkości i jego ładunku q, oraz prędkości cząstki na którą działa pole pochodząca od ładunku Q, który jest jakoby źródłem pola elektromagnetycznego.