Elektrodynamika klasyczna/Rozkłady dyskretne ładunków punktowych

Rozkłady dyskretne ładunków punktowych

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Będziemy się zajmować przypadkami, gdy rozkład nie jest w ogólności ciągły, ale dyskretny. Także ich potencjałami, tzn. potencjałem skalarnym i dyskretnym.

Potencjał skalarny i wektorowy Liénarda-Wiecherta

Wyobraźmy sobie pociąg nadjeżdżający do nas, ale znajdujemy się pod pewnym kątem do lokomotywy względem o wartości θ względem toru na którym porusza się pociąg. Niech światło leci do nas z ostatniego końca wagonu zaczepionej do lokomotywy i w odpowiednim czasie ono doleci do nas, wtedy lokomotywa zdążyła przybyć drogę równą L^'-L w czasie t. Możemy wyrazić prędkość lokomotywy poprzez odległość z jaką lokomotywa zdążyła przebyć podzielonej przez prędkość światła:

$v={{L^{'}-L} \over {t}}\Rightarrow t={{L^{'}-L} \over {v}}\;$

(22.1)

W tym czasie wyrażony wzorem (22.1) światła zdążyło przebyć drogę równą L^'cosθ, zatem stosunek tej drugi przez wspomniany czas jest równy prędkości światła, z którego możemy wyrazić ten właśnie czas:

$t={{L^{'}\cos \theta } \over {c}}\;$

(22.2)

Przyrównajmy dwa czasy, tzn. (22.1) i (22.2) do siebie, bo one oznaczają to samo, zatem dostajemy równość:

${{L^{'}\cos \theta } \over {c}}={{L^{'}-L} \over {v}}\Rightarrow L^{'}\left({{\cos \theta } \over {c}}-{{1} \over {v}}\right)=-{{L} \over {v}}\Rightarrow L^{'}\left({{v\cos \theta -c} \over {vc}}\right)=-{{L} \over {v}}\;$

(22.3)

Z równania (22.3) możemy wyznaczyć obserwowaną długość pociągu L^', ze względu że światło ma skończoną prędkość, zatem tą wielkość piszemy:

$L^{'}{{\left(c-v\cos \theta \right)} \over {c}}=L\Rightarrow L^{'}={{Lc} \over {c-v\cos \theta }}\Rightarrow L'={{L} \over {1-\cos \theta {{v} \over {c}}}}\;$

(22.4)

Jeśli wprowadzimy definicję iloczynu skalarnego do końcowego wzoru (22.4), ale przedtem odpowiednio definiują jednostkowy wektor ${\hat {R}}\;$, która jest równoległa do kierunku dotarcia światła do obserwatora, ale jego zwrot jest w kierunku jego, zatem wzór na obserwowaną długość pociągu (22.4) możemy napisać:

$L^{'}={{L} \over {1-{{{\hat {\vec {R}}}\cdot {\vec {v}}} \over {c}}}}\;$

(22.5)

Obserwowaną objętość małego elementu przestrzeni jest wyrażona poprzez prawdziwe określenie tej wielkości, to ta się tak dzieje, ponieważ ta fałszywa objętość jest powodowana, jak wcześniej powiedzieliśmy w przypadku długości pociągu, jest powodowana tylko dlatego, że światło potrzebuje czasu ściśle określonego by dotrzeć do obserwatora, zatem nasza rozważana objętość efektywna jest:

$V^{'}={{V} \over {1-{{{\hat {\vec {R}}}\cdot {\vec {v}}} \over {c}}}}\;$

(22.6)

Jeśli będziemy rozważań nieskończenie małe objętości, to wtedy wzór (22.6) przepisujemy, ale z tą zmianką, że rozpatrujemy bardzo małe elementy objętości:

$dV^{'}={{dV} \over {1-{{{\hat {\vec {R}}}\cdot {\vec {v}}} \over {c}}}}\;$

(22.7)

Całkowite pole liczone w czasie rzeczywistym t pochodzi od ładunków z różnych czasów opóźnionych wysłanych przez ładunki z prędkością światła w czasie opóźnionych, jeśli objętość cząstki jest dV w czasie t^r (nie przedziale), to widoczna objętość jest napisana dV^', która pochodzi dla czasów wysłanych przez ładunki w przedziale czasów rzeczywistych (t_r,t_r+dt_r) i dlatego używamy objętości dV^', a nie dV, w prawie na potencjał skalarny i wektorowy.

Położenie, prędkość oraz przyspieszenie w czasie opóźnionym w elektromagnetyzmie

(Rys. 22.1) Odległość R i położenie ciała o ładunku q w czasie opóźnionym

Z rysunku obok widzimy, że odległość ładunku q od punktu, w którym liczymy te nasze wspomniane wielkości jest różnicą wektora, w którym liczymy te właśnie potencjały ${\vec {r}}\;$ i wektora wodzącego cząstki o ładunku q ${\vec {w}}(t_{r})\;$ w czasie opóźnionym

${\vec {R}}={\vec {r}}-{\vec {w}}(t_{r})$

(22.8)

Wektor wodzący (22.8) można policzyć znając położenie początkowe ładunku ${\vec {r}}_{0}\;$ i przesunięcia cząstki w czasie od t₀ do t_r.

${\vec {w}}(t_{r})={\vec {r}}_{0}+\int _{t_{0}}^{t_{r}}{\vec {v}}dt=\underbrace {r_{0}+\int _{t_{0}}^{t}{\vec {v}}dt} _{{\vec {r}}(t)}-\int _{t}^{t_{r}}{\vec {v}}dt={\vec {r}}(t)+\int _{t_{r}}^{t}{\vec {v}}dt$

(22.9)

Wiedząc, że zachodzi tożsamość (21.7) dla czasu opóźnionego, zatem możemy policzyć prędkość i przyspieszenie cząstki w czasie t_r wedle:

${\dot {\vec {w}}}(t_{r})={\vec {v}}(t_{r})$

(22.10)

${\ddot {\vec {w}}}(t_{r})={\dot {\vec {v}}}(t_{r})={\vec {a}}(t_{r})$

(22.11)

Skalarny potencjał pola elektromagnetycznego dla ładunku punktowego

Jeśli mamy ładunki punktowe, to należy w tym przypadku użyć delty Diraca pomnożonej przez wartość ładunku q. co mamy:

$\rho ({\vec {r}}^{'},t_{r})dV={{dq^{'}} \over {dV^{'}}}dV=q\delta ^{3}\left({\vec {r}}^{'}-w(t_{r})\right)dV=q\delta ^{3}\left[{\vec {r}}^{'}-\left({\vec {r}}(t)+\int _{t_{r}}^{t}{\vec {v}}dt\right)\right]dV=q\delta ^{3}\left[\left({\vec {r}}^{'}-\int _{t_{r}}^{t}{\vec {v}}dt\right)-{\vec {r}}(t)\right]dV=\;$
$=q\delta ^{3}\left({\vec {r}}-{\vec {r}}(t)\right)dV\;$

(22.12)

Potencjał skalarny znany elektromagnetyzmie jest zapisany w punkcie (21.4), korzystając przy tym z obliczeń przeprowadzonej w punkcie (22.12) na gęstość objętością ładunku elektrycznego punktowego, która jest zawsze równa zero, oprócz jednego punktu, w którym przyjmuje wartość ściśle określoną nieskończoność, wtedy tą wielkość piszemy wedle:

$\varphi ({\vec {r}},t)={{q} \over {4\pi \epsilon _{0}}}\int {{\delta ^{3}\left({\vec {r}}-{\vec {r}}(t)\right)} \over {R}}{{dV} \over {1-{{{\hat {\vec {R}}}\cdot {\vec {v}}} \over {c}}}}={{q} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{1} \over {R\left(1-{{{\hat {\vec {R}}}\cdot {\vec {v}}} \over {c}}\right)}}={{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{qc} \over {Rc-{\vec {R}}\cdot {\vec {v}}}}\;$

(22.13)

Wektorowy potencjał pola elektromagnetycznego dla ładunku punktowego

Następie zajmijmy się potencjałem wektorowym (21.5), wykorzystując bezpośrednio tożsamość (22.7), na obserwsowaną infinitezymalną objętość, w której znajduje się ładunek punktowy, zatem te wywody możemy przeprowadzić wedle schematu:

${\vec {A}}({\vec {r}},t)={{\mu _{0}} \over {4\pi }}\int {{{\vec {J}}({\vec {r}}^{'},t_{r})} \over {R}}dV^{'}={{\mu _{0}} \over {4\pi }}\int {{{\vec {J}}({\vec {r}}^{'},t_{r})} \over {R}}{{dV} \over {1-{{{\hat {\vec {R}}}\cdot {\vec {v}}} \over {c}}}}={{\mu _{0}} \over {4\pi }}\int {{c{\vec {J}}({\vec {r}}^{'},t_{r})dV} \over {Rc-{\vec {R}}\cdot {\vec {v}}}}\;$

(22.14)

Jeśli dodatkowo policzymy iloczyn infinitezymalnej objętości dV i gęstości prądu w czasie opóźnionych, wtedy to nasze wyrażenie możemy zapisać:

$J({\vec {r}}^{'},t_{r})dV={{dq} \over {dtdS}}dV={{dq} \over {dSdl}}{{dl} \over {dt}}dV=q\delta ^{3}\left({\vec {r}}^{'}-w(t_{r})\right)vdV=q\delta ^{3}\left({\vec {r}}^{'}-{\vec {r}}(t)\right)vdV=\;$
$=q\delta ^{3}\left[{\vec {r}}^{'}-\left({\vec {r}}(t)+\int _{t_{r}}^{t}{\vec {v}}dt\right)\right]vdV=q\delta ^{3}\left[\left({\vec {r}}^{'}-\int _{t_{r}}^{t}{\vec {v}}dt\right)-{\vec {r}}(t)\right]vdV=q\delta ^{3}\left({\vec {r}}-{\vec {r}}(t)\right)vdV$

(22.15)

Potencjał wektorowy napisany w punkcie (22.14) wedle przeprowadzonych obliczeń (22.15), który jest iloczynem gęstości prądu objętościowego przez infintezymanlą objętość i innych wielkości, w której ten właśnie prąd przepływa w danym punkcie przestrzeni, piszemy wedle:

${\vec {A}}({\vec {r}},t)={{\mu _{0}} \over {4\pi }}\int {{q\delta ^{3}\left({\vec {r}}-{\vec {r}}(t)\right)c{\vec {v}}} \over {Rc-{\vec {R}}\cdot {\vec {v}}}}={{\mu _{0}} \over {4\pi }}{{qc{\vec {v}}} \over {Rc-{\vec {R}}\cdot {\vec {v}}}}\;$

(22.16)

Jeśli przyjmować będziemy, że $\mu _{0}\epsilon _{0}={{1} \over {c^{2}}}\Rightarrow \mu _{0}={{1} \over {c^{2}}}{{1} \over {\epsilon _{0}}}\;$, to wtedy potencjał wektorowy(22.16) przy definicji potencjału skalarnego (22.13) przepisujemy wzorem wektorowym:

${\vec {A}}({\vec {r}},t)={{\vec {v}} \over {c^{2}}}\varphi ({\vec {r}},t)\;$

(22.17)

Zestawienie wzorów na potencjał skalarny i wektorowy elektryczny

Ostatecznie zbierzmy wszystkie wyniki wyprowadzonych wzorów napisanych na potencjał skalarny (22.13) i wektorowy w (22.17), zatem:

$\varphi ({\vec {r}},t)={{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{qc} \over {Rc-{\vec {R}}\cdot {\vec {v}}}}\;$

(22.18)

${\vec {A}}({\vec {r}},t)={{\mu _{0}} \over {4\pi }}{{qc{\vec {v}}} \over {Rc-{\vec {R}}\cdot {\vec {v}}}}={{\vec {v}} \over {c^{2}}}\varphi ({\vec {r}},t)\;$

(22.19)

Natężenie pole elektrycznego i indukcja pola magnetycznego dla poruszającego się ładunku punktowego

Potencjał skalarny pochodzący od ładunku punktowego q w odległości od niego o R względem danego kierunku jest piszany wzorem (22.18), zatem dywergencja potencjału skalarnego elektrycznego piszemy wedle:

$\nabla \varphi =\nabla \cdot \left({{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{qc} \over {Rc-{\vec {R}}\cdot {\vec {v}}}}\right)={{qc} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{-1} \over {\left(Rc-{\vec {R}}\cdot {\vec {v}}\right)^{2}}}\nabla \cdot \left(Rc-{\vec {R}}\cdot {\vec {v}}\right)$

(22.20)

Wyznaczmy dywergencji liczby R, która jest odległością ładunku od punktu w czasie opóźnionym, w której będziemy wyznaczali różne wielkości elektromagnetyczne:

$\nabla R={\vec {k}}_{i}{{\partial } \over {\partial x_{i}}}R={\vec {k}}_{i}{{\partial t_{r}} \over {\partial x_{i}}}{{\partial R} \over {\partial t_{r}}}=\nabla t_{r}(-c)=-c\nabla t_{r}$

(22.21)

Następnym krokiem jest wyznaczenie dywergencji z iloczynu skalarnego wektora odległości między położeniem ładunku a samym ładunkiem, którego zwrot jest w stronę tego punktu w czasie opóźnionym, i prędkości tego właśnie ładuku, według tożsamości udowodnionej w matematyce:

$\nabla \cdot ({\vec {R}}\cdot {\vec {v}})=({\vec {R}}\cdot \nabla ){\vec {v}}+({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {R}}+{\vec {R}}\times (\nabla \times {\vec {v}})+{\vec {v}}\times (\nabla \times {\vec {R}})$

(22.22)

Policzmy pierwszy człon występujący we wzorze (22.22) po jego prawej stronie, korzystając z definicji przyspieszenia cząstki napisanej ${\vec {a}}={{d{\vec {v}}} \over {dt}}$, wtedy ten wyraz mozna wyrazić:

$({\vec {R}}\cdot \nabla )\cdot {\vec {v}}=\left(R_{x}{{\partial } \over {\partial x}}+R_{y}{{\partial } \over {\partial y}}+R_{z}{{\partial } \over {\partial z}}\right){\vec {v}}(t_{r})=R_{x}{{d{\vec {v}}} \over {dt_{r}}}{{\partial t_{r}} \over {\partial x}}+R_{y}{{d{\vec {v}}} \over {dt_{r}}}{{\partial t_{r}} \over {\partial y}}+R_{z}{{d{\vec {v}}} \over {dt_{r}}}{{\partial t_{r}} \over {\partial z}}={\vec {a}}\cdot ({\vec {R}}\cdot \nabla t_{r})$

(22.23)

Teraz policzmy drugi człon wyrażenia (22.22) i potem wyznaczmy kolejne jego otrzymane podwyrazy, by potem w sposób całkowity wyznaczyć to właśnie wyrażenie:

$({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {R}}=({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {r}}-({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {w}}$

(22.24)

Policzmy pierwszy wyraz występujący we tożsamości (22.24), wykorzystując definicję iloczynu skalarnego, który występuje w nawiasie w wyrażeniu poniżej i przekonamy się, że końcowe wyrażenie tego samego wyrażenia jest równoważne prędkości cząstki o ładunku Q, czyli źródła pola elektromagnetycznego.

$({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {r}}=\left(v_{x}{{\partial } \over {\partial x}}+v_{y}{{\partial } \over {\partial y}}+v_{z}{{\partial } \over {\partial z}}\right)(x{\hat {\vec {x}}}+y{\hat {\vec {y}}}+z{\hat {\vec {z}}})=v_{x}{\hat {\vec {x}}}+v_{y}{\hat {\vec {y}}}+v_{z}{\hat {\vec {z}}}={\vec {v}}$

(22.25)

Policzmy drugi wyraz występujący we tożsamości (22.24), wykorzystując definicję iloczynu skalarnego, który występuje w nawiasie w wyrażeniu poniżej i przekonamy się, że końcowe wyrażenie tej samego wyrażenia jest równoważne pewnemu wyrażeniu zależnego od gradientu czasu opóźnionego t_r, czyli ∇t_r, które ten gradient później wyznaczymy z obliczeń. Końcowe wyrażenie jak się również przekonamy jest zależna od prędkości ładunku Q.

$({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {w}}=\left(v_{x}{{\partial } \over {\partial x}}+v_{y}{{\partial } \over {\partial y}}+v_{z}{{\partial } \over {\partial z}}\right){\vec {w}}=\left(v_{x}{{\partial t_{r}} \over {\partial x}}{{\partial } \over {\partial t_{r}}}+v_{y}{{\partial t_{r}} \over {\partial y}}{{\partial } \over {\partial t_{r}}}+v_{z}{{\partial t_{r}} \over {\partial z}}{{\partial } \over {\partial t_{r}}}\right){\vec {w}}=\left({\vec {v}}\cdot \nabla t_{r}\right){{\partial } \over {\partial t}}{\vec {w}}={\vec {v}}\left({\vec {v}}\cdot \nabla t_{r}\right)$

(22.26)

Teraz przejdźmy do trzeciego członu naszego równania (22.22), wykorzystując przy czym udowodniony wzór (21.7) i przez to możemy wykorzystać definicję przyspieszenia cząstki o ładunku q, w końcowych obliczeniach jak się przekonamy, że w wyrażeniu na iloczyn wektorowy występuje gradient czasu opóźnionego t_r względem współrzędnych kartezjańskich.

$\nabla \times {\vec {v}}={\begin{vmatrix}{\hat {\vec {x}}}&{\hat {\vec {y}}}&{\hat {\vec {z}}}\\{{\partial } \over {\partial x}}&{{\partial } \over {\partial y}}&{{\partial } \over {\partial z}}\\v_{x}&v_{y}&v_{z}\\\end{vmatrix}}={\hat {\vec {x}}}\left({{\partial v_{z}} \over {\partial y}}-{{\partial v_{y}} \over {\partial z}}\right)+{\hat {\vec {y}}}\left({{\partial v_{x}} \over {\partial z}}-{{\partial v_{z}} \over {\partial x}}\right)+{\hat {\vec {z}}}\left({{\partial v_{y}} \over {\partial x}}-{{\partial v_{x}} \over {\partial y}}\right)=$
$={\hat {\vec {x}}}\left({{\partial v_{z}} \over {\partial t_{r}}}{{\partial t_{r}} \over {\partial y}}-{{\partial v_{y}} \over {\partial t_{r}}}{{\partial t_{r}} \over {\partial z}}\right)+{\hat {\vec {y}}}\left({{\partial v_{x}} \over {\partial t_{r}}}{{\partial t_{r}} \over {\partial z}}-{{\partial v_{z}} \over {\partial t_{k}}}{{\partial t_{r}} \over {\partial x}}\right)+{\hat {\vec {z}}}\left({{\partial v_{y}} \over {\partial t_{r}}}{{\partial t_{r}} \over {\partial x}}-{{\partial v_{x}} \over {\partial t_{r}}}{{\partial t_{r}} \over {\partial y}}\right)=\nabla t_{r}\times {\vec {a}}=-{\vec {a}}\times \nabla t_{r}$

(22.27)

A na sam koniec przejdźmy do ostatniego członu tożsamości (22.22) i wyznaczmy czemu jest równa rotacja wektora położenia danego punktu względem położenia ładunku Q, w której liczymy pewne wielkości elektromagnetyczne, oczywiście w czasie opóźnionym, zatem z definicji ${\vec {R}}\;$, która jest napisana w (22.16) możemy napisać tożsamość:

$\nabla \times {\vec {R}}=\nabla \times \left({\vec {r}}-{\vec {w}}\right)=\nabla \times {\vec {r}}-\nabla \times {\vec {w}}$

(22.28)

Aby dokończyć wyznaczenia wyrażenia (22.28) wyznaczmy dwa wyrazy występujące w tym samej tożsamości, zatem do dzieła. Wyznaczmy rotację wektora położenia, w której liczymy pewne wielkości pochodzące od pewnego rozkładu ładunków, w ogólności zmieniającego się w czasie, zatem jak się przekonamy, to wyrażenie jest zawsze równe zero.

$\nabla \times {\vec {r}}=\epsilon _{ijk}\nabla _{j}x_{k}=\epsilon _{ijk}\delta _{jk}=\epsilon _{ijj}=0$

(22.29)

A także wyznaczmy drugi wyraz prawej strony tożsamości (22.28), wykorzystując przy tym definicję prędkości cząstki w czasie opóźnionym (22.18), a przedtem z (21.7), by potem policzyć tą wspomnianą wielkość. Jak się przekonamy ta wielkość jest zależna od gradientu czasu opóźnionego t_r i od prędkości cząstki o ładunku Q, czyli źródła pola elektromagnetycznego.

$\nabla \times {\vec {w}}=\epsilon _{ijk}\nabla _{j}w_{k}=\epsilon _{ijk}{{\partial w_{k}} \over {\partial _{r}}}{{\partial t_{r}} \over {\partial x_{j}}}=-\epsilon _{ikj}{{\partial w_{k}} \over {\partial _{r}}}{{\partial t_{r}} \over {\partial x_{j}}}=-{\vec {v}}\times \nabla t_{r}$

(22.30)

Wszystkie wyniki wyznaczone wcześniej w tym podrozdziale wstawiamy do rozważanego pierwotnie wyrażenia (22.23), wtedy dochodzimy do wniosku, że tą tożsamość zapisujemy wedle:

$\nabla ({\vec {R}}\cdot {\vec {v}})={\vec {a}}\left({\vec {R}}\cdot \nabla t_{r}\right)+{\vec {v}}-{\vec {v}}\left({\vec {v}}\cdot \nabla t_{r}\right)-{\vec {R}}\times ({\vec {a}}\times \nabla t_{r})+{\vec {v}}\times \left({\vec {v}}\times \nabla t_{r}\right)=$
$={\vec {a}}\left({\vec {R}}\cdot \nabla t_{r}\right)+{\vec {v}}-{\vec {v}}({\vec {v}}\cdot \nabla t_{r})-{\vec {a}}({\vec {R}}\cdot \nabla t_{r})+\nabla t_{r}({\vec {R}}\cdot {\vec {a}})+{\vec {v}}({\vec {v}}\cdot \nabla t_{r})-v^{2}\nabla t_{r}={\vec {v}}+\left({\vec {R}}\cdot {\vec {a}}-v^{2}\right)\nabla t_{r}$

(22.31)

Aby dokończyć obliczenie tożsamości (22.31), musimy wyznaczyć gradient czasu opóźnionego t_r, korzystając z definicji czasu opóźnionego (21.1), wtedy przejdźmy do dalszej części tego dowodu.

$-c\nabla t_{r}=\nabla R=\nabla {\sqrt {{\vec {R}}\cdot {\vec {R}}}}={\vec {k}}_{i}{{\partial } \over {\partial x_{i}}}{\sqrt {{\vec {R}}\cdot {\vec {R}}}}={\vec {k}}_{i}{{{{\partial } \over {\partial x_{i}}}({\vec {R}}\cdot {\vec {R}})} \over {2{\sqrt {{\vec {R}}\cdot {\vec {R}}}}}}={{\nabla ({\vec {R}}\cdot {\vec {R}})} \over {2R}}$

(22.32)

Rozpiszmy gradient długości wektora ${\vec {R}}\;$ na sześć składników, ta tożsamość jest szczególnym przypadkiem znanej tożsamości z analizy różniczkowej z matematyki, zatem napiszmy tą tożsamość:

$\nabla ({\vec {R}}\cdot {\vec {R}})=({\vec {R}}\cdot \nabla ){\vec {R}}+({\vec {R}}\cdot \nabla ){\vec {R}}+{\vec {R}}\times (\nabla \times {\vec {R}})+{\vec {R}}\times (\nabla \times {\vec {R}})=2({\vec {R}}\cdot \nabla ){\vec {R}}+2{\vec {R}}\times (\nabla \times {\vec {R}})$

(22.33)

Zatem możemy dokończyć wyznaczenie tożsamości (22.32), korzystając przy tym z obliczonej dla naszego przypadku wyrażenia (22.33), zatem przejdźmy do wyznaczenia tego wyrażenia:

$-c\nabla t_{r}={{1} \over {R}}\left[\left({\vec {R}}\cdot \nabla \right){\vec {R}}+{\vec {R}}\times \left(\nabla \times {\vec {R}}\right)\right]$

(22.34)

Aby powyższe wyrażenie (22.34) dokończyć satysfakcjonująco wykorzystajmy tożsamość (22.16) do składnika pierwszego występująca wspomnianej tożsamości pod znakiem różniczkowania, zatem dokonajmy pewnych obliczeń pomocniczych wedle sposobu przestawionego poniżej:

$({\vec {R}}\cdot \nabla ){\vec {R}}=({\vec {R}}\cdot \nabla )r-({\vec {R}}\cdot \nabla ){\vec {w}}$

(22.35)

Wyznaczmy pierwszy wyraz występujący po prawej stronie obliczonej tożsamości (22.35)

$({\vec {R}}\cdot \nabla ){\vec {r}}=(R_{x}{{\partial } \over {\partial x}}+R_{y}{{\partial } \over {\partial y}}+R_{z}{{\partial } \over {\partial z}})(x{\hat {\vec {x}}}+y{\hat {\vec {y}}}+z{\hat {\vec {z}}})={\vec {R}}$

(22.36)

A także napiszmy drugi wyraz czemu jest on równy w prawej stronie tej samej co poprzednio tożsamości, wtedy wykorzystując tożsamość (21.7), a także wzór na prędkość cząstki (22.18), zatem dostajemy wzór, w której nie znamy jeszcze gradientu czasu opóźnionego t_r.

$({\vec {R}}\cdot \nabla ){\vec {w}}=\left(R_{x}{{\partial } \over {\partial x}}+R_{y}{{\partial } \over {\partial y}}+R_{z}{{\partial } \over {\partial z}}\right){\vec {w}}=\left(R_{x}{{\partial t_{r}} \over {\partial x}}{{\partial } \over {\partial t_{r}}}+R_{y}{{\partial t_{r}} \over {\partial y}}{{\partial } \over {\partial t_{r}}}+R_{z}{{\partial t_{r}} \over {\partial z}}{{\partial } \over {\partial t_{r}}}\right){\vec {w}}=\left({\vec {R}}\nabla t_{r}\right){\vec {v}}$

(22.37)

Mając te wszystkie dane możemy wrócić do wyznaczenia wyrażenia (22.34) mając już wcześniej obliczone wyrażenia, będziemy mogli wyznaczyć czemu jest równy gradient czasu opóźnionego t_r.

$-c\nabla t_{r}={{1} \over {R}}\left[{\vec {R}}-v({\vec {R}}\cdot \nabla t_{r})+{\vec {R}}\times ({\vec {v}}\times \nabla t_{r})\right]={{1} \over {R}}\left[{\vec {R}}-{\vec {v}}({\vec {R}}\cdot \nabla t_{r})+{\vec {v}}({\vec {R}}\nabla t_{r})-\nabla t_{r}({\vec {R}}{\vec {v}})\right]={{1} \over {R}}\left[{\vec {R}}-({\vec {R}}{\vec {v}})\nabla t_{r}\right]$

(22.38)

Z obliczeń przeprowadzonych w punkcie (22.38) możemy wyznaczyć wtedy gradient czasu opóźnionego t_r jako funkcję wektora prędkości ładunku Q i wektora łączącego ładunek Q z punktem, w której będziemy wyznaczać pewne wielkości elektromagnetyczne, o zwrocie do tego punktu, zatem ten gradient wspomnianej wielkości fizycznej piszemy wedle sposobu.

$\nabla t_{r}\left((-c+{{1} \over {R}}({\vec {R}}{\vec {v}})\right)={{1} \over {R}}{\vec {R}}\Rightarrow \nabla t_{r}\left(-cR+{\vec {R}}\cdot {\vec {v}}\right)={\vec {R}}\Rightarrow \nabla t_{r}={{\vec {R}} \over {-cR+{\vec {R}}\cdot {\vec {v}}}}={{-{\vec {R}}} \over {cR-{\vec {R}}\cdot {\vec {v}}}}$

(22.39)

Zatem już możemy dokończyć obliczenie gradientu potencjału skalarnego, znając już policzony gradient czasu opóźnionego napisaną we końcowym wniosku w punkcie (22.39), zatem ostateczna wersja tego gradientu piszemy w postaci:

$\nabla \varphi ={{qc} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{-1} \over {\left(Rc-{\vec {R}}\cdot {\vec {v}}\right)^{2}}}\left[-c^{2}\nabla t_{r}-{\vec {v}}-({\vec {R}}\cdot {\vec {a}}-v^{2})\nabla t_{r}\right]={{qc} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{1} \over {\left(Rc-{\vec {R}}\cdot {\vec {v}}\right)^{2}}}\left[{\vec {v}}+\left(c^{2}-v^{2}+{\vec {R}}\cdot {\vec {a}}\right)\nabla t_{r}\right]=\;$
$={{qc} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{1} \over {\left(Rc-{\vec {R}}\cdot {\vec {v}}\right)^{2}}}\left[{\vec {v}}+\left(c^{2}-v^{2}+{\vec {R}}\cdot {\vec {a}}\right){{-{\vec {R}}} \over {Rc-{\vec {R}}\cdot {\vec {v}}}}\right]={{qc} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{1} \over {\left(Rc-{\vec {R}}{\vec {v}}\right)^{3}}}\left[{\vec {v}}(Rc-{\vec {R}}\cdot {\vec {v}})-(c^{2}-v^{2}+{\vec {R}}{\vec {a}}){\vec {R}}\right]$

(22.40)

Następnie policzmy pochodną cząstkową potencjału wektorowego, korzystając przy tym ze wzoru na potencjał wektorowy zdefiniowanej poprzez potencjał skalarny (22.18), dalej wykorzystujemy twierdzenie o pochodnej iloczynu dla wyrażenia pewnego wektorowego.

${{\partial {\vec {A}}} \over {\partial t}}={{\partial } \over {\partial t}}\left({{\vec {v}} \over {c^{2}}}\varphi \right)={{{\partial {\vec {v}}} \over {\partial t}} \over {c^{2}}}\varphi +{{\vec {v}} \over {c^{2}}}{{\partial \varphi } \over {\partial t}}={{\vec {a}} \over {c^{2}}}{{\partial t_{r}} \over {\partial t}}\varphi +{{\vec {v}} \over {c^{2}}}{{\partial \varphi } \over {\partial t}}$

(22.41)

Policzmy pochodną cząstkową czasu opóźnionego t_r względem czasu t, wykorzystując jego definicję napisaną w (21.1):

${{\partial t_{r}} \over {\partial t}}={{\partial t} \over {\partial t}}-{{1} \over {c}}{{\partial R} \over {\partial t}}=1-{{1} \over {c}}{{\partial R} \over {\partial x_{i}}}{{\partial x_{i}} \over {\partial t}}=1-{{1} \over {c}}\nabla R{\vec {v}}=1+\nabla t_{r}{\vec {v}}=1-{{-{\vec {R}}} \over {Rc-{\vec {R}}\cdot {\vec {v}}}}{\vec {v}}=1+{{{\vec {R}}{\vec {v}}} \over {Rc-{\vec {R}}\cdot {\vec {v}}}}=\;$
$={{Rc-{\vec {R}}\cdot {\vec {v}}+{\vec {R}}\cdot {\vec {v}}} \over {Rc-{\vec {R}}\cdot {\vec {v}}}}={{Rc} \over {Rc-{\vec {R}}\cdot {\vec {v}}}}$

(22.42)

Następnie wyznaczmy cząstkową pochodną potencjału skalarnego zdefiniowanej w linijce (22.18) względem czasu rzeczywistego t znając już obliczoną pochodną cząstkową czasu opóźnionego t_r względem czasu rzeczywistego t, zatem do dzieła.

${{\partial \varphi } \over {\partial t}}={{-1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{qc} \over {\left(Rc-{\vec {R}}\cdot {\vec {v}}\right)^{2}}}\left[c{{\partial R} \over {\partial t}}-{{\partial {\vec {R}}} \over {\partial t}}\cdot {\vec {v}}-{\vec {R}}\cdot {{\partial v} \over {\partial t}}\right]={{-1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{qc} \over {\left(Rc-{\vec {R}}\cdot {\vec {v}}\right)^{2}}}{\Bigg [}c^{2}\left(1-{{\partial t_{r}} \over {\partial t}}\right)-{\vec {v}}{{\partial } \over {\partial t_{r}}}\left({\vec {r}}-{\vec {w}}\right){{\partial t_{r}} \over {\partial t}}\;$
$-{\vec {R}}{{\partial {\vec {v}}} \over {\partial t_{r}}}{{\partial t_{r}} \over {\partial t}}{\Bigg ]}={{-1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{qc} \over {\left(Rc-{\vec {R}}\cdot {\vec {v}}\right)^{2}}}\left[c^{2}\left(1-{{Rc} \over {Rc-{\vec {R}}\cdot {\vec {v}}}}\right)+{\vec {v}}^{2}{{Rc} \over {Rc-{\vec {v}}\cdot {\vec {R}}}}-{\vec {R}}{\vec {a}}{{Rc} \over {Rc-{\vec {R}}\cdot {\vec {v}}}}\right]={{-1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}\cdot \;$
$\cdot {{qc} \over {\left(Rc-{\vec {R}}\cdot {\vec {v}}\right)^{3}}}\left[-c^{2}{\vec {R}}\cdot {\vec {v}}+v^{2}Rc-Rc{\vec {R}}\cdot {\vec {a}}\right]$

(22.43)

Wyznaczmy pochodną cząstkową względem czasu rzeczywistego wielkości fizycznej zwanej potencjałem wektorowym, przy tym korzystając z pochodnej cząstkowej względem czasu rzeczywistego t wielkości czasu opóźnionego t_r.

${{\partial {\vec {A}}} \over {\partial t}}={{\vec {a}} \over {c^{2}}}{{\partial t_{r}} \over {\partial t}}\varphi +{{\vec {v}} \over {c^{2}}}{{\partial \varphi } \over {\partial t}}=-{{{\vec {a}}Rc} \over {c^{2}(Rc-{\vec {R}}\cdot {\vec {v}})}}{{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{qc} \over {Rc-{\vec {R}}\cdot {\vec {v}}}}+{{\vec {v}} \over {c^{2}}}{{-1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{qc} \over {\left(Rc-{\vec {R}}\cdot {\vec {v}}\right)^{3}}}\left[-c^{2}{\vec {R}}\cdot {\vec {v}}+v^{2}Rc-Rc{\vec {R}}\cdot {\vec {a}}\right]=$

$={{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{qc} \over {c^{2}\left(Rc-{\vec {R}}\cdot {\vec {v}}\right)^{3}}}\left[{\vec {a}}Rc(Rc-{\vec {R}}{\vec {v}})+c^{2}{\vec {v}}({\vec {R}}\cdot {\vec {v}})-v^{2}Rc{\vec {v}}+{\vec {v}}Rc({\vec {R}}\cdot {\vec {a}})\right]=$
$={{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{qc} \over {c^{2}\left(Rc-{\vec {R}}\cdot {\vec {v}}\right)^{3}}}{\Big [}{\vec {a}}Rc(Rc-{\vec {R}}\cdot {\vec {v}})-c^{2}{\vec {v}}Rc+c^{2}{\vec {v}}Rc+c^{2}{\vec {v}}\left({\vec {R}}\cdot {\vec {v}}\right)-v^{2}Rc{\vec {v}}+{\vec {v}}Rc({\vec {R}}\cdot {\vec {a}}){\Bigg ]}=\;$
$={{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{qc} \over {c^{2}\left(Rc-{\vec {R}}\cdot {\vec {v}}\right)^{3}}}{\Bigg [}{\vec {a}}Rc\left(Rc-{\vec {R}}\cdot {\vec {v}}\right)-c^{2}{\vec {v}}(Rc-{\vec {R}}\cdot {\vec {v}})+{\vec {v}}\left(c^{2}Rc-v^{2}Rc+{\vec {R}}\cdot {\vec {a}}Rc\right){\Bigg ]}=$
$={{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{qc} \over {c^{2}\left(Rc-{\vec {R}}\cdot {\vec {v}}\right)^{3}}}{\Bigg [}(Rc-{\vec {R}}\cdot {\vec {v}})({\vec {a}}Rc-c^{2}{\vec {v}})+{\vec {v}}R\left(c^{3}-v^{2}c+{\vec {R}}\cdot {\vec {a}}c\right){\Bigg ]}=$

$={{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{qc} \over {\left(Rc-{\vec {R}}\cdot {\vec {v}}\right)^{3}}}\left[(Rc-{\vec {R}}\cdot {\vec {v}})(-{\vec {v}}+{{{\vec {a}}R} \over {c}})+{\vec {v}}{{R} \over {c}}\left(c^{2}-v^{2}+{\vec {R}}\cdot {\vec {a}}\right)\right]$

(22.44)

Mając już obliczone gradient potencjału elektrycznego (22.40), a także możemy otrzymać pierwszą pochodną cząstkową potencjału wektorowego względem czasu (22.41), co do którego podstawiamy wzory pochodną cząstkową czasu opóźnionego t_r względem czasu t (22.42), a także następną policzoną tożsamość (22.43), zatem natężenie pola elektrycznego z jego definicji (20.4) poprzez potencjał skalarny i wektorowy możemy napisać wedle:

${\vec {E}}=-\nabla \varphi -{{\partial {\vec {A}}} \over {\partial t}}=-{{qc} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{1} \over {\left(Rc-{\vec {R}}{\vec {v}}\right)^{3}}}\left[{\vec {v}}(Rc-{\vec {R}}\cdot {\vec {v}})-(c^{2}-v^{2}+{\vec {R}}{\vec {a}}){\vec {R}}\right]+$

$-{{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{qc} \over {\left(Rc-{\vec {R}}\cdot {\vec {v}}\right)^{3}}}\left[(Rc-{\vec {R}}\cdot {\vec {v}})(-{\vec {v}}+{{{\vec {a}}R} \over {c}})+{\vec {v}}{{R} \over {c}}\left(c^{2}-v^{2}+{\vec {R}}\cdot {\vec {a}}\right)\right]=$
$={{-1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{qc} \over {\left(Rc-{\vec {R}}\cdot {\vec {v}}\right)^{3}}}\left[(Rc-{\vec {R}}\cdot {\vec {v}})\left({\vec {v}}-{\vec {v}}+{{{\vec {a}}R} \over {c}}\right)+\left(c^{2}-v^{2}+{\vec {R}}\cdot {\vec {a}}\right))\left(-{\vec {R}}+{\vec {v}}{{R} \over {c}}\right)\right]=$
$={{-1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{qc} \over {\left(Rc-{\vec {R}}\cdot {\vec {v}}\right)^{3}}}\left[\left(Rc-{\vec {R}}\cdot {\vec {v}}\right){{{\vec {a}}R} \over {c}}-\left(c^{2}-v^{2}+{\vec {R}}\cdot {\vec {a}}\right)\left({\vec {R}}-{\vec {v}}{{R} \over {c}}\right)\right]=$
$={{-1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{qc} \over {\left(Rc-{\vec {R}}\cdot {\vec {v}}\right)^{3}}}\left[-{{R} \over {c}}\left(c^{2}-v^{2}\right)\left(c{\hat {\vec {R}}}-{\vec {v}}\right)-{\vec {R}}\cdot {\vec {a}}\left({\vec {R}}-{\vec {v}}{{R} \over {c}}\right)+\left(Rc-{\vec {R}}\cdot {\vec {v}}\right){{{\vec {a}}R} \over {c}}\right]=$

$={{-1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{qc} \over {\left({\vec {R}}\cdot \left({\hat {\vec {R}}}c-{\vec {v}}\right)\right)^{3}}}\left[-{{R} \over {c}}\left(c^{2}-v^{2}\right)\left(c{\hat {\vec {R}}}-{\vec {v}}\right)-{{R} \over {c}}\left({\vec {R}}\cdot {\vec {a}}\right)\left({\hat {\vec {R}}}c-{\vec {v}}\right)+{\vec {R}}\cdot \left({\hat {\vec {R}}}c-{\vec {v}}\right){{{\vec {a}}R} \over {c}}\right]$

(22.45)

Wprowadźmy nową zmienną wektorową nazywijmy go ${\vec {u}}\;$, którego definicja jest napisana poprzez odległość ładunku q od ładunku Q w czasie opóźnionym, zależna jest ona też od prędkości małego ładunku q.

${\vec {u}}=c{\hat {\vec {R}}}-{\vec {v}}$

(22.46)

Możemy wykorzystać podstawienie (22.46), które wykorzystamy we wzorze na natężenie pola elektrycznego we wzorze o numerze (22.45), by potem dostać bardziej uproszczoną równość:

${\vec {E}}={{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{qR} \over {({\vec {R}}\cdot {\vec {u}})^{3}}}\left[(c^{2}-v^{2}){\vec {u}}+({\vec {R}}\cdot {\vec {a}}){\vec {u}}-({\vec {R}}\cdot {\vec {u}}){\vec {a}}\right]={{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{qR} \over {\left({\vec {R}}\cdot {\vec {u}}\right)^{3}}}\left[(c^{2}-v^{2}){\vec {u}}+{\vec {R}}\times \left({\vec {u}}\times {\vec {a}}\right)\right]$

(22.47)

Następnym krokiem jest obliczenie indukcji magnetycznej pola magnetycznego, korzystając przy tym z definicji indukcji pola magnetycznego poprzez potencjał wektorowy magnetyczny, co jego definicję piszemy wzorem (20.1), dalej podstawiając do tej definicji definicję potencjału wektorowego napisanego dla naszego przypadku w punkcie (22.19), co do którego tego ostatniego podstawiamy definicję potencjału skalarnego napisaną w linijce (22.16).

${\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}}=\nabla \times \left({{\vec {v}} \over {c^{2}}}\varphi \right)={{1} \over {c^{2}}}{\vec {k}}_{i}\epsilon _{ijk}\nabla _{j}(v_{k}\varphi )={{1} \over {c^{2}}}{\vec {k}}_{i}\epsilon _{ijk}v_{k}\nabla _{j}\varphi +{{1} \over {c^{2}}}{\vec {k}}_{i}\epsilon _{ijk}\varphi \nabla _{j}v_{k}=$

$=-{{1} \over {c^{2}}}{\vec {k}}_{i}\epsilon _{ikj}v_{k}\nabla _{j}\varphi +{{1} \over {c^{2}}}{\vec {k}}_{i}\epsilon _{ijk}\varphi \nabla _{j}v_{k}=-{{1} \over {c^{2}}}{\vec {v}}\times (\nabla \varphi )+{{1} \over {c^{2}}}\varphi \nabla \times {\vec {v}}={{1} \over {c^{2}}}\varphi \nabla \times {\vec {v}}-{{1} \over {c^{2}}}{\vec {v}}\times (\nabla \varphi )=$
$={{1} \over {c^{2}}}{{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{qc} \over {Rc-{\vec {R}}\cdot {\vec {v}}}}{\vec {a}}\times {{\vec {R}} \over {Rc-{\vec {R}}\cdot {\vec {v}}}}-{{1} \over {c^{2}}}{\vec {v}}\times \left\{{{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{qc} \over {\left(Rc-{\vec {R}}\cdot {\vec {v}}\right)^{3}}}\left[(Rc-{\vec {R}}\cdot {\vec {v}}){\vec {v}}-(c^{2}-v^{2}+{\vec {R}}\cdot {\vec {a}}){\vec {R}}\right]\right\}=$
$={{1} \over {4\pi \epsilon _{0}c}}{{q} \over {({\vec {R}}\cdot {\vec {u}})^{3}}}\left[(Rc-{\vec {R}}\cdot {\vec {v}}){\vec {a}}\times {\vec {R}}-{\vec {v}}\times {\vec {v}}(Rc-{\vec {R}}\cdot {\vec {v}})+{\vec {v}}\times {\vec {R}}(c^{2}-v^{2}+{\vec {R}}\cdot {\vec {a}}\right]=$

$={{1} \over {4\pi \epsilon _{0}c}}{{q} \over {({\vec {R}}\cdot {\vec {u}})^{3}}}\left[({\vec {R}}\cdot {\vec {u}}){\vec {a}}\times {\vec {R}}+({\vec {v}}\times {\vec {R}})(c^{2}-v^{2}+{\vec {R}}\cdot {\vec {a}})\right]=-{{1} \over {4\pi \epsilon _{0}c}}{{q} \over {({\vec {R}}\cdot {\vec {u}})^{3}}}{\vec {R}}\times \left[{\vec {a}}({\vec {R}}\cdot {\vec {u}})+{\vec {v}}(c^{2}-v^{2})+{\vec {v}}({\vec {R}}\cdot {\vec {a}})\right]$

(22.48)

Wyznaczmy wyrażenie poniżej, które jest wprost proporcjonalne do iloczynu wektorowego położenia ładunku q względem ładunku Q w czasie opóźnionym i natężenia pola elektrycznego napisaną w (22.42), i przekonamy się, że ta wielkość jest to po prostu wektor indukcji pola magnetycznego napisanej dla nas w punkcie (22.45).

${{1} \over {c}}{\hat {\vec {R}}}\times {\vec {E}}={{1} \over {c}}{\hat {\vec {R}}}\times \left\{{{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{qR} \over {\left({\vec {R}}\cdot {\vec {u}}\right)^{3}}}\left[(c^{2}-v^{2}){\vec {u}}+{\vec {R}}\times \left({\vec {u}}\times {\vec {a}}\right)\right]\right\}={{1} \over {4\pi \epsilon _{0}c}}{{q} \over {({\vec {R}}\cdot {\vec {u}})}}{\vec {R}}\times \left[(c^{2}-v^{2}){\vec {u}}+{\vec {R}}\times ({\vec {u}}\times {\vec {a}})\right]=$
$={{1} \over {4\pi \epsilon _{0}c}}{{q} \over {({\vec {R}}\cdot {\vec {u}})^{2}}}{\vec {R}}\times \left[(c^{2}-v^{2})c{\hat {\vec {R}}}-(c^{2}-v^{2}){\vec {v}}+{\vec {u}}({\vec {R}}\cdot {\vec {a}})-{\vec {a}}({\vec {R}}\cdot {\vec {u}})\right]=\;$
${{1} \over {4\pi \epsilon _{0}c}}{{q} \over {\left({\vec {R}}\cdot {\vec {u}}\right)^{3}}}{\vec {R}}\times \left[(c^{2}-v^{2})c{\hat {\vec {R}}}-(c^{2}-v^{2}){\vec {v}}+c{\hat {\vec {R}}}({\vec {R}}\cdot {\vec {a}})-{\vec {v}}({\vec {R}}\cdot {\vec {a}})-a({\vec {R}}\cdot {\vec {u}})\right]=$
$={{1} \over {4\pi \epsilon _{0}c}}{{q} \over {\left({\vec {R}}\cdot {\vec {u}}\right)^{3}}}\left[-(c^{2}-v^{2}){\vec {v}}-{\vec {v}}({\vec {R}}\cdot {\vec {a}})-{\vec {a}}({\vec {R}}\cdot {\vec {u}})\right]=-{{1} \over {4\pi \epsilon _{0}c}}{{q} \over {({\vec {R}}\cdot {\vec {u}})^{3}}}{\vec {R}}\times \left[(c^{2}-v^{2}){\vec {v}}+{\vec {v}}({\vec {R}}\cdot {\vec {a}})+{\vec {a}}({\vec {R}}\cdot {\vec {u}})\right]={\vec {B}}$

(22.49)

Udowodniliśmy według przeprowadzonych obliczeń (22.49), że indukcja pola magnetycznego napisana w punkcie (22.48) jest wektorem prostopadłym do wektora natężenia pola elektrycznego (22.45):

${\vec {B}}={{1} \over {c}}{\hat {\vec {R}}}\times {\vec {E}}$

(22.50)

Napiszmy siłę Lorentza (8.3) działający na ładunek Q poruszający się z prędkością ${\vec {V}}$, w którym natężenie pola elektrycznego jest napisane wzorem (22.45), a indukcja pola magnetycznego wzorem (22.48), zatem podstawiając te wielkości na definicję siły Lorentza w elektromagnetyzmie, w ten sposób dostajemy wzór na tą opisywaną tutaj wielkość.

${\vec {F}}={{qQ} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{R} \over {({\vec {R}}\cdot {\vec {u}})^{3}}}\left\{\left[(c^{2}-v^{2}){\vec {u}}+{\vec {R}}\times ({\vec {u}}\times {\vec {a}})\right]+{{\vec {V}} \over {c}}\times \left[(c^{2}-v^{2}){\vec {u}}+{\vec {R}}\times ({\vec {u}}\times {\vec {a}})\right]\right\}$

(22.51)

Powyższa siła jest obliczona w czasie opóźnionym, powyższy wzór wynika z praw elektrodynamiki Maxwella i siły Lorentza, a więc cała elektrodynamika zawarta jest w tym równaniu, jak widzimy zależy ona od przyspieszenia cząstki naładowanej ${\vec {a}}$ i jej prędkości ${\vec {v}}$ i jego ładunku q, oraz prędkości cząstki ${\vec {V}}$ na którą działa pole pochodząca od ładunku Q, który jest jakoby źródłem pola elektromagnetycznego.