Elektrodynamika klasyczna/Oddziaływanie promieniowania na materię

Oddziaływanie promieniowania na materię

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Spis treści
1Pole promieniowania a reakcja odrzutu przez tą samą cząstkę 2Wpływ reakcji promieniowania a jego fizyczne podstawy

Będziemy się zajmować oddziaływaniem samego promieniowania na materię, najpierw z zasady zachowania energii, a później będziemy się zajmować jego mechanizmem.

Pole promieniowania a reakcja odrzutu przez tą samą cząstkę

Jak wiadomo pole prędkościowe przenosi energię, ale nie do nieskończoności, energia pola prędkościowego jest wymieniana między tym polem tej cząstki a tą samą cząstką. Należy tu rozważyć, że pole promieniowania, za którego odpowiedzialne jest przyspieszenie cząstki, średnia moc wypromieniowana do nieskończoności jest równa mocy traconej przez cząstkę, czyli powinno zachodzić:

${\vec {F}}_{rad}\cdot {\vec {v}}=-{{\mu _{0}q^{2}} \over {6\pi c}}a^{2}\;$

(25.1)

Uwzględnialiśmy tu wzór Larmora (24.7), które jest słuszne w przypadku nierelatywistycznym Uśrednijmy siłę ${{\vec {F}}_{rad}}\;$, względem czasu t₂-t₁.

Praca tracona nieodwracalnie przez cząstkę w tym przedziale czasu i energia tracona przez promieniowanie pola przyspieszonego są wyrażone przez:

$P_{1}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\vec {F}}_{rad}\cdot {\vec {v}}dt\;$

(25.2)

$P_{2}=-{{\mu _{0}q^{2}} \over {6\pi c}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}a^{2}dt\;$

(25.3)

Policzmy wyrażenie poniżej, które będzie nam potrzebne w dalszych obliczeniach, w tym celu zauważmy, że w czasach t₁ i t₂ sam układu jest identyczny, wtedy mamy ${\vec {v}}\cdot {{d{\vec {v}}} \over {dt}}|_{t_{1}}^{t_{2}}=0\;$, co dalej można dokonać obliczeń:

$\int _{t_{1}}^{t_{2}}a^{2}dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{{d{\vec {v}}} \over {dt}}\cdot {{d{\vec {v}}} \over {dt}}dt={\vec {v}}\cdot {{d{\vec {v}}} \over {dt}}{\Bigg |}_{t_{1}}^{t_{2}}-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\vec {v}}\cdot {{d^{2}{\vec {v}}} \over {dt^{2}}}dt=-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{{d^{2}{\vec {v}}} \over {dt^{2}}}\cdot {\vec {v}}dt=-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\dot {\vec {a}}}\cdot {\vec {v}}dt\;$

(25.4)

Dochodzimy do wniosku, że moc promieniowania wysyłanego przez cząstkę poruszającą z pewnym przyspieszeniem (25.1) na podstawie obliczeń (25.4) jest wyrażona:

$P_{2}={{\mu _{0}q^{2}} \over {6\pi c}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\dot {\vec {a}}}\cdot {\vec {v}}dt\;$

(25.5)

Ponieważ zachodzi P₁=P₂ oczywiste jest, że możemy przyrównać wielkość (25.2) z (25.3), wtedy dostajemy równanie poniżej, by potem wszystko przenieść na jedną stronę pod całkę oznaczoną, zatem dochodzimy do wniosku:

$\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\vec {F}}_{rad}\cdot {\vec {v}}dt={{\mu _{0}q^{2}} \over {6\pi c}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\dot {\vec {a}}}\cdot {\vec {v}}dt\Rightarrow \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\vec {F}}_{rad}-{{\mu _{0}q^{2}} \over {6\pi c}}{\dot {\vec {a}}}\right)\cdot {\vec {v}}dt=0\;$

(25.6)

Zakładamy tutaj w najprostszym przypadku, że wielkość o wymiarze siły występująca w nawiasie pod całką w końcowej tożsamości (25.6) nie jest prostopadła do prędkości rozważanej cząstki, czyli do ${\vec {v}}\;$, zatem ostatecznie siła działająca na poruszającą cząstkę jest napisana:

${\vec {F}}_{rad}={{\mu _{0}q^{2}} \over {6\pi c}}{\dot {\vec {a}}}\;$

(25.7)

Wzór (25.7) nazywamy wzorem Abrahama-Lorentza na siłę reakcji promieniowania.

Jeśli na cząstkę nie działają żadne siły zewnętrzne, to mamy zgodnie z drugą zasadą Newtona i z definicją siły (25.7) działającą przez promieniowanie:

${{\mu _{0}q^{2}} \over {6\pi c}}{\dot {\vec {a}}}=m{\vec {a}}\;$

(25.8)

Obierzmy rozwiązanie równania (25.8) w postaci:

${\vec {a}}(t)={\vec {a}}_{0}e^{{t} \over {\tau }}\;$

(25.9)

to oczywiste jest, że że pierwsza pochodna zupełna względem czasu rozwiązania (25.9) równania (25.9) jest w postaci ${\dot {\vec {a}}}={\vec {a}}_{0}{{1} \over {\tau }}e^{{t} \over {\tau }}\;$, zatem tą pierwszą pochodną wektora przyspieszenie i (25.9) podstawiamy do równania różniczkowego (25.8), wtedy otrzymujemy tożsamość, z którego będziemy mogli wyznaczać τ, zatem do dzieła:

${{\mu _{0}q^{2}} \over {6\pi c}}{\vec {a}}_{0}{{1} \over {\tau }}e^{{t} \over {\tau }}=m{\vec {a}}_{0}e^{{t} \over {\tau }}\;$

(25.10)

Co tożsamość (25.10) jest równoważne równaniu:

${{\mu _{0}q^{2}} \over {6\pi c}}{{1} \over {\tau }}=m\Rightarrow \tau ={{\mu _{0}q^{2}} \over {6\pi cm}}\;$

(25.11)

Widzimy, że wartość wektora przyspieszenia rośnie samorzutnie bez udziału siły zewnętrznej, ten absurd można uniknąć, gdy przyjmować będziemy, że: ${\vec {a}}_{0}={\vec {0}}\;$.

Jeśli przyspieszenie cząstki rośnie z czasem wykładniczo, to tak jak by cząstka reagowała na pole wysłane z przyszłości wysłane przez tą samą cząstkę, co jest niezgodne z zasadą przyczynowości, tzn. przyczyna poprzedza skutek, a w naszym przypadku tak nie jest, a więc wyzerowanie stałej ${\vec {a}}_{0}\;$ jest uzasadnione.

Wpływ reakcji promieniowania a jego fizyczne podstawy

(Rys. 25.1) Reakcja pola promieniowania na samą siebie

Według zasady zachowania energii cząstka poruszająca się z przyspieszeniem emituje pewną energię przez pole promieniowania do nieskończoności, w ten sposób cząstka traci energię, dotychczas nie rozważaliśmy, czy cząstka na samą siebie działa pewną siłą zwaną siłą odrzutu, rozważając czysto fizyczne mechanizmy tego zjawiska. Wiemy jednak, że cząstka oddziaływając na drugą cząstkę nie spełnia trzeciej zasady dynamiki Newtona, a w wersji relatywistycznej trzeciej zasady dynamiki Einsteina. Ale w rzeczywistości wydaje spełniona jest trzecia zasada dynamiki, w tym celu oprócz sił z jakimi oddziaływają obie cząstki należy rozważyć siłę odrzutu promieniowania od pierwszej cząstki przez promieniowanie i od drugiej cząstki. Natężenie pola elektrycznego wyemitowanej przez ładunek ${{q} \over {2}}\;$ jest równe w postaci:

${\vec {E}}={{q/2} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{R} \over {({\vec {R}}\cdot {\vec {u}})^{3}}}\left[(c^{2}-v^{2}){\vec {u}}+{\vec {R}}\times \left({\vec {u}}\times {\vec {a}}\right)\right]=$

$={{q/2} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{R} \over {({\vec {R}}\cdot {\vec {u}})^{3}}}\left[(c^{2}-v^{2}){\vec {u}}+{\vec {u}}({\vec {R}}\cdot {\vec {a}})-{\vec {a}}({\vec {R}}\cdot {\vec {a}})\right]=$

$={{q/2} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{R} \over {({\vec {R}}\cdot {\vec {u}})^{3}}}\left[(c^{2}-v^{2}+{\vec {R}}\cdot {\vec {a}}){\vec {u}}-({\vec {R}}\cdot {\vec {u}}){\vec {a}}\right]$

(25.12)

Ponieważ rozważany cząstkę, która nie porusza się chwilowo, czyli zachodzi wtedy ${\vec {v}}=0$, zatem wzór na natężenie pola magnetycznego (25.12) wyraża się:

${\vec {E}}={{q} \over {8\pi \epsilon _{0}}}{{R} \over {({\vec {R}}\cdot {\vec {u}})^{3}}}\left[(c^{2}+{\vec {R}}\cdot {\vec {a}}){\vec {u}}-({\vec {R}}\cdot {\vec {u}}){\vec {a}}\right]$

(25.13)

Ależ prędkość chwilowa handli jest równa zero, to siła magnetyczna działająca na handlę jest równa zero, więc nie rozpatrujemy pola magnetycznego wytwarzane przez rozpatrywany układ ładunków.

Interesuje nas składowa iksowa, bo igrekowa znika po sumowaniu od dwóch końców o ładunku ${{q} \over {2}}$. Ponieważ rozważamy prędkość początkową cząstki, zatem można powiedzieć:

${\vec {u}}=c{\vec {R}}$

(25.14)

${\vec {R}}=l{\hat {x}}+d{\hat {y}}\Rightarrow R={\sqrt {l^{2}+d^{2}}}$

(25.15)

Na podstawie rozważań (25.14) i (25.15) możemy napisać tożsamości, które później zastosujemy:

${\vec {R}}\cdot {\vec {a}}=[l,d][a,0]=la$

(25.16)

${\vec {R}}\cdot {\vec {u}}={\vec {R}}c{\hat {\vec {R}}}=cR=c{\sqrt {l^{2}+d^{2}}}$

(25.17)

$u_{x}=c{{l} \over {R}}=c{{l} \over {\sqrt {l^{2}+d^{2}}}}$

(25.18)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punktach (25.16), (25.17) oraz (25.18) współrzędną iksową natężenia pola elektrycznego (25.13) piszemy:

$E_{x}={{q{\sqrt {l^{2}+d^{2}}}} \over {8\pi \epsilon _{0}(l^{2}+d^{2})^{{3} \over {2}}c^{3}}}\left[(c^{2}+la){{cl} \over {\sqrt {l^{2}+d^{2}}}}-c{\sqrt {l^{2}+d^{2}}}a\right]={{q} \over {8\pi \epsilon _{0}c^{2}(l^{2}+d^{2})}}{{(c^{2}+la)l-(l^{2}+d^{2})a} \over {\sqrt {l^{2}+d^{2}}}}=$
$={{q} \over {8\pi \epsilon _{0}c^{2}(l^{2}+d^{2})^{{3} \over {2}}}}\left[c^{2}l+l^{2}a-l^{2}a-d^{2}a\right]={{q} \over {8\pi \epsilon _{0}(l^{2}+d^{2})^{{3} \over {2}}}}\left[c^{2}l-d^{2}a\right]$

(25.19)

Ponieważ mamy według rysunku powyżej l=x(t)-x(t_r) i rozłóżmy wyrażenie x(t) względem w otoczeniu punktu t_r w szereg Taylora oznaczając przy tym za wielkość równą T wedle sposobu T=-t-t_r, zatem wyrażenie na wielkość x(t), która jest iksowym położeniem cząstki, jest napisana:

$x(t)=x(t_{r})+{\dot {x}}(t_{r})(t-t_{r})+{{1} \over {2}}{\ddot {x}}(t_{r})(t-t_{r})^{2}+()(t-t_{r})^{3}+...$

(25.20)

Zatem mamy, wiedząc, że zachodzi w naszym przypadku ${\dot {x}}=v=0$, zatem wyrażenie (25.20) w sposób równoważy możemy zapisać:

$l=x(t)-x(t_{r})={{1} \over {2}}aT^{2}+{{1} \over {6}}{\dot {a}}T^{2}+...$

(25.21)

Jeśli wiadomo, że zachodzi (25.15) i z definicji czasu opóźnionego (21.1), mamy:

$t_{r}=t-{{R} \over {c}}\Rightarrow R=c(t-t_{r})\Rightarrow R=cT$

(25.22)

Z wyrażenia (25.15) możemy wyznaczyć wyrażenie na d a potem podstawić do niego przybliżony wzór na l wyznaczony w punkcie (25.21), zatem po tej operacji dokonajmy przybliżenia pierwiastka w naszym wyrażeniu pewnym wyrażeniem algebraicznym, który jest zależny od parametru T, którego definicja jest podana poprzez wyrażenie (25.22).

$d={\sqrt {R^{2}-l^{2}}}={\sqrt {c^{2}T^{2}-l^{2}}}={\sqrt {c^{2}T^{2}-\left({{1} \over {2}}aT^{2}+{{1} \over {6}}{\dot {a}}T^{3}+...\right)^{2}}}=cT{\sqrt {1-\left({{aT} \over {2c}}+{{{\dot {a}}T^{2}} \over {6c}}+...\right)^{2}}}=\;$
$=cT\left[1-{{1} \over {2}}\left({{aT} \over {2c}}+{{{\dot {a}}T^{2}} \over {6c}}+...\right)^{2}+...\right]=cT\left[1-{{a^{2}T^{2}} \over {8c^{2}}}+...\right]=cT-{{a^{2}T^{3}} \over {8c}}+...$

(25.23)

Zaniedbując wszystkie wyższe niż liniowe w końcowym wniosku (25.23), czyli wtedy $d\simeq cT\Rightarrow T\simeq {{d} \over {c}}$, to wyrażenie (25.23) z dokładnością do drugiego wyrazu w tym wspomnianym równaniu przy wykorzystaniu wcześniejszym przybliżonych wniosków na T, wtedy dochodzimy do wniosku, że zachodzi związek poniżej, z którego możemy wyznaczyć wyrażenie na T, wtedy mamy:

$d\simeq cT-{{a^{2}T^{3}} \over {8c}}T^{3}\wedge T\simeq {{d} \over {c}}\Rightarrow d\simeq cT-{{a^{2}} \over {8c}}{{d^{3}} \over {c^{3}}}\Rightarrow T\simeq {{d} \over {c}}+{{a^{2}d^{3}} \over {8c^{5}}}\Rightarrow T={{1} \over {c}}d+{{a^{2}} \over {8c^{5}}}d^{3}+()d^{4}+...$

(25.24)

Mając wyrażenie na T (25.24), możemy przepisać tożsamość (25.21) podstawiając do niego wyrażenie na T wspomniane wcześniej, otrzymujemy:

$l={{1} \over {2}}a\left({{1} \over {c}}d+{{a^{2}} \over {8c^{5}}}d^{3}+()d^{4}+...\right)^{2}+{{1} \over {6}}{\dot {a}}({{1} \over {c}}d+{{a^{2}} \over {8c^{5}}}d^{3}+()d^{4}+...)^{3}+...={{a} \over {2c^{2}}}d^{2}+{{\dot {a}} \over {6c^{2}}}d^{3}+()d^{4}+...$

(25.25)

Z równania (25.25) możemy napisać własność zachodzącej dla d→ 0, powstałą przez podzieleniu tego wyrażenia przez wielkość d zdefiniowanej na rysunku powyżej, otrzymujemy warunek:

${{l} \over {d}}={{a} \over {2c^{2}}}d+{{\dot {a}} \over {6c^{3}}}d^{2}+()d^{3}+...<<1$

(25.26)

Współrzędna iksowa natężenia pola elektrycznego (25.19), wtedy możemy dokonać dalszych obliczeń otrzymując:

$E_{x}={{q} \over {8\pi \epsilon _{0}c^{2}}}{{d({{l} \over {d}}c^{2}-ad)} \over {d^{3}({{l^{2}} \over {d^{2}}}+1)^{{3} \over {2}}}}={{q} \over {8\pi \epsilon _{0}c^{2}}}{{{{l} \over {d}}c^{2}-ad} \over {d^{2}({{l^{2}} \over {d^{2}}}+1)^{{3} \over {2}}}}\simeq {{q} \over {8\pi \epsilon _{0}c^{2}d^{2}}}\left({{l} \over {d}}c^{2}-ad\right)\left(1-{{3l^{2}} \over {2d^{2}}}\right)=$
$={{q} \over {8\pi \epsilon _{0}c^{2}d^{2}}}\left({{l} \over {d}}c^{2}-ad-{{3l^{3}c^{2}} \over {2d^{3}}}+{{3l^{2}a} \over {2d}}\right)={{q} \over {4\pi \epsilon _{0}}}\left(-{{a} \over {2c^{2}d}}+{{l} \over {2d}}{{1} \over {d^{2}}}-{{3} \over {4}}\left({{l} \over {d}}\right)^{3}{{c^{2}} \over {d^{2}}}+{{3a} \over {4d}}\left({{l} \over {d}}\right)^{2}\right)$

(25.27)

Na podstawie tożsamości i warunku jednocześnie (25.26), zachodzą warunki przybliżone $\left({{l} \over {d}}\right)^{3}\sim d^{3}\Rightarrow {{3} \over {4}}\left({{l} \over {d}}\right)^{3}{{1} \over {d^{2}}}\simeq 0$, a także też: $\left({{l} \over {d}}\right)^{2}\sim d^{2}\Rightarrow {{3a} \over {4d}}\left({{l} \over {d}}\right)^{2}\simeq 0$. Wartość iskowa natężenia pola elektrycznego napisanej ostatnio w punkcie (25.27) i podstawieniu do niego (25.26) dostajemy następną przybliżoną wartość na tą wielkość:

$E_{x}\simeq {{q} \over {4\pi \epsilon _{0}}}\left(-{{a} \over {2c^{2}d}}+{{1} \over {2d^{2}}}{{l} \over {d}}\right)={{q} \over {4\pi \epsilon _{0}}}\left[-{{a} \over {2c^{2}d}}+{{1} \over {2d^{2}}}\left({{a} \over {2c^{2}}}d+{{\dot {a}} \over {6c^{3}}}d^{2}+()d^{3}+...\right)\right]=\;$
$={{q} \over {4\pi \epsilon _{0}}}\left(-{{a} \over {4c^{2}d}}+{{\dot {a}} \over {12c^{3}}}+()d+...\right)$

(25.28)

Wielkości przyspieszenia a i pochodnej przyspieszenia ${\dot {a}}$ są obliczone w czasie opóźnionym, zatem możemy wyrazić je poprzez czas rzeczywisty t i wyrazić w sposób przybliżony tą wielkość pomijając wyrazy wyższe niż pierwszego rzędu, zatem dostajemy schemat:

$a(t_{r})=a(t)+{\dot {a}}(t)(t_{r}-t)+...=a(t)-{\dot {a}}T+...=a(t)-{\dot {a}}{{d} \over {c}}+...\Rightarrow {\dot {a}}(t_{r})\simeq {\dot {a}}(t)-{\ddot {a}}(t){{d} \over {c}}$

(25.29)

Do wzoru na natężenie pola elektrycznego dla jej współrzędnej iksowej (25.28) podstawiamy do niego wzór (25.29), by wyrazić tą wielkość poprzez wielkości wyrażone w czasie rzeczywistym charakteryzujące naszą badaną cząstkę.

$E_{x}={{q} \over {4\pi \epsilon _{0}}}\left[-{{1} \over {4c^{2}d}}\left(a(t)-{\dot {a}}(t){{d} \over {c}}\right)+{{1} \over {12c^{3}}}\left({\dot {a}}(t)-{\ddot {a}}(t){{d} \over {c}}\right)\right]={{q} \over {4\pi \epsilon _{0}}}\left[-{{a(t)} \over {4c^{2}d}}+{{{\dot {a}}(t)} \over {4c^{3}}}+{{{\dot {a}}(t)} \over {12c^{3}}}+()d+...\right]=$
$={{q} \over {4\pi \epsilon _{0}}}\left[-{{a(t)} \over {4c^{2}d}}+{{{\dot {a}}(t)} \over {3c^{3}}}+()d+...\right]$

(25.30)

Siła działająca na ładunek pierwszy lub drugi wyrażamy na podstawie wzoru wynikającego z (1.2) i obliczonej współrzędnej iksowej natężenia pola elektrycznego (25.30), co piszemy:

$F_{x}=E_{x}{{q} \over {2}}={{q} \over {8\pi \epsilon _{0}}}\left[-{{a(t)} \over {4c^{2}d}}+{{{\dot {a}}(t)} \over {3c^{3}}}+()d+...\right]$

(25.31)

Całkowita siła działająca na dwa ładunki jednocześnie jest równa przy d→ 0 jest napisana jako podwojona siła napisanej wedle tożsamości (25.31):

$F_{x}^{c}=2F_{x}={{q} \over {4\pi \epsilon _{0}}}\left(-{{a(t)} \over {4c^{2}d}}+{{{\dot {a}}(t)} \over {3c^{3}}}\right)$

(25.32)

Pierwszy człon w nawiasie kwadratowym jest proporcjonalny do przyspieszenia cząstki i można ją przenieść na lewą stronę równania napisanego poniżej i oraz wiedząc, że z drugiego prawa Newtona zachodzi F_x=2m₀a, które są słuszne dla dwóch ładunków osobnych wziętych razem:

$\left(2m_{0}+{{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{q^{2}} \over {4c^{2}d}}\right)a={{q} \over {12\pi \epsilon _{0}c^{2}}}{\dot {a}}$

(25.33)

Oznaczmy przez wyrażenie występujące w punkcie (25.33) jako nową efektywną masę jaką posiada naładowana cząstka o ładunku q:

$m=2m_{0}+{{q} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{q^{2}} \over {4c^{2}d}}$

(25.34)

Zatem energia takiej handli jest równa $E=2m_{0}c^{2}+{{q} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{q^{2}} \over {4d}}$, gdzie drugi człon jest energią potencjalną dwóch ładunków ${{q} \over {2}}$ znanej z elektrostatyki. Jeśli wykorzystamy tożsamość (17.11), co stąd wyznaczymy przenikalność magnetyczną w próżni $\mu _{0}={{1} \over {c^{2}\epsilon _{0}}}$ i podstawić do (25.33), a także wzór na efektywną masę (25.34), to wtedy wspomniane wcześniej drugie prawo Newtona można zapisać:

$ma={{q} \over {12\pi \epsilon _{0}c^{2}}}{\dot {a}}$

(25.35)

Siła reakcji promieniowania występująca we wzorze (25.35) jest wyrażona przez:

$F_{rad}={{\mu _{0}q^{2}{\dot {a}}} \over {12\pi c}}$

(25.36)

Jest to siła oddziaływania pomiędzy ładunkami 1-2 o ładunku ${{q} \over {2}}$.

Teraz podzielmy nasz ładunek na części na odcinku o pewnej długości na bardzo małe ładunki $\Delta q={{q} \over {n}}$, który jest podzielony na n części, gdzie n→∞,a więc siła działająca na dwa dowolne ładunki jest równa:

$\Delta F_{rad}={{\mu _{0}(2q/n)^{2}{\dot {a}}} \over {12\pi c}}={{4\mu _{0}q^{2}{\dot {a}}} \over {12\pi cn^{2}}}$

(25.37)

Całkowita siła odrzutu promieniowania elektromagnetycznego jest wyrażona:

$F_{rad}=\lim _{n\rightarrow \infty }{{1} \over {2}}(n-1){{\mu _{0}(2q/n)^{2}{\dot {a}}} \over {12\pi c}}\sum _{i=1}^{n}1={{\mu _{0}q^{2}{\dot {a}}} \over {6\pi c}}\lim _{n\rightarrow \infty }{{(n-1)\cdot n} \over {n^{2}}}={{\mu _{0}q^{2}{\dot {a}}} \over {6\pi c}}$

(25.38)

Powyżej występuje czynnik ${{1} \over {2}}$, bo rozpatrujemy podwójnie oddziaływania infinitezymalnych dwóch ładunków, bo raz z "i" na "k", a za drugim razem z "k" na "i", ale, ależ wiadomo, że infinitezymalne ładunki nie oddziaływają na siebie, bo n→∞, więc stąd wynika, że k≠ i, gdzie "k" i "i" to są numery ładunków ${{q} \over {n}}$ dla rozciągłego rozkładu ładunków na handli, oraz mamy n-1 par z ładunkiem o numerze "i".

Rozpatrując rozciągły rozkład ładunku o gęstości liniowej na handli: ${{q} \over {n\Delta d}}$, czyli rozważając siły działające na wszystkie infinitezymalne ładunki, wtedy ta siła jest o wartości:

$F_{rad}={{\mu _{0}q^{2}{\dot {a}}} \over {6\pi c}}$

(25.39)

Wektorowo otrzymujemy wiec ostatecznie wektorowy odpowiednim wzoru (25.39), mając na uwadze, że wektor pochodnej przyspieszenia i wektor siły reakcji promieniowania na cząstkę są współliniowe.

${\vec {F}}_{rad}={{\mu _{0}q^{2}} \over {6\pi c}}{\dot {\vec {a}}}$

(25.40)

Ostatni wzór jest to wzór Abrahama-Lorentza na reakcję promieniowania ładunku q o bardzo małych rozmiarach.