Elektrodynamika klasyczna/Promieniowanie od ładunków punktowych

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacja, szukaj

Elektrodynamika klasyczna
Elektrodynamika klasyczna
Autor: Mirosław Makowiecki
Email: miroslaw.makowiecki@gmail.com

Tutaj zajmiemy się promieniowaniem pochodzącego od ładunków punktowych.

Pole prędkościowe, pole przyspieszone[edytuj]

Wykazaliśmy, że pole elektryczne wytwarzane przez ładunek punktowy poruszający się z pewną prędkością i przyspieszeniem wyraża się według wzoru (Niedopasowany odsyłacz). W tym wzorze można wyróżnić pole prędkościowe i pole przyspieszone , ich przepisy są:

(24.1)
(24.2)

Pole magnetyczne dla ładunków punktowych jest opisany przez wzór (Niedopasowany odsyłacz), zatem na podstawie tychże rozważań można zdefiniować dla tego przypadku wektor Poyntinga, który to dalej go przekształcimy:

(24.3)

Pole prędkościowe (24.1) nie wchodzi w skład promieniowania ładunku q, bo zachodzi i , co stąd wynika, że energia wypromieniowana w nieskończoności jest równa zero, czyli pole prędkościowe nie jest promieniowaniem. Zatem rozważając pole przyspieszone natężenia pola elektrycznego (24.2), dochodzimy do wniosku, że to pole jest prostopadłe do wektora , zatem dochodzimy do wniosku, że w nieskończoności wektor Poytinga jest zdefiniowany wzorem na podstawie (24.3).

(24.4)

Załóżmy, że nasz ładunek jest w spoczynku, zatem pole promieniowania, na podstawie (22.46) przyjmuje postać:

(24.5)

Wektor Poyntinga dla pola przyspieszonego w takim przypadku wyraża się podobnie, korzystając dla (24.5), czyli , zatem przyjmuje postać:


(24.6)

Całkowita moc promieniowania przez przyspieszoną cząstkę na podstawie definicji wektora Poytinga (24.6) wyraża się wzorem:

(24.7)

Powyższy wzór nosi nazwę wzoru Larmora.

Zatem drugi człon natężenia pola elektrycznego, czyli (24.2) jest jednak promieniowaniem, bo ta energia ucieka do nieskończoności, i jednocześnie na podstawie (24.7) zachodzi .

Moc promieniowania dla cząstki o prędkości niezerowej[edytuj]

Wcześniej policzyliśmy moc promieniowania (24.7), gdy cząstka chwilowo spoczywa, a teraz wyznaczymy tą właśnie moc gdy cząstka , która jest źródłem promieniowania, porusza się z pewną skończoną prędkością i z przyspieszeniem w zależności od mocy promieniowania, gdy cząstka spoczywa. Zauważmy zatem tożsamość wiedząc, że zachodzi (Niedopasowany odsyłacz) oraz (Niedopasowany odsyłacz).

(24.8)

Ponieważ jak wcześniej powiedzieliśmy moc promieniowania dla cząstki spoczywającej możemy wyrazić wzorem (24.4), zatem w takim przypadku wzór (24.8) jako natężenie promieniowania dla cząstki poruszającej przedstawia się wzorem:

(24.9)

Do wzoru na natężenie promieniowania (24.9) podstawiamy wzór na natężenie pola elektrycznego przyspieszonego (24.2), która jest słuszna, gdy cząstka spoczywa, wtedy dostajemy wzór:

(24.10)

Całkowita moc wypromieniowana pochodząca od przyspieszonego ładunku (24.10) piszemy jako całkę wielkości (24.10) względem nieskończenie małego kąta bryłowego, w której to dotyczy, zatem możemy napisać:

(24.11)

Wyznaczmy wyrażenie pomocnicze występujące we wzorze (24.11), zatem do dzieła:







(24.12)

Teraz policzymy całki pomocnicze, zatem zajmijmy się tą pierwszą:




(24.13)

Następnie zajmijmy się liczeniem drugiej całki:





(24.14)

A na sam koniec wyznaczmy trzecią całkę:










(24.15)

Użyjmy podstawienia w postaci z=cosφ do obliczania całki poniżej (24.11), w którym kąt bryłowy możemy zapisać jako dΩ=-dz dθ. Weźmy, że wektor jednostkowy jes zdefiniowany:, i dodatkowo obierzmy że :. Następnie wyznaczmy dwie kolejne następne całki:

(24.16)
(24.17)

Następnie dokonajmy kolejnych obliczeń:

  • Wyrażenie pierwsze, korzystając przy tym z obliczonej całki oznaczonej (24.13):

(24.18)
  • Wyrażenie drugie, korzystając przy tym z obliczonej całki oznaczonej (24.14):


(24.19)
  • Wyrażenie trzecie, korzystając przy tym z obliczonej całki oznaczonej (24.15):








(24.20)
  • Wyrażenie czwarte, korzystając przy tym ze wzoru na policzone wcześniej całek oznaczonych (24.13) i (24.15):




(24.21)

Ostatnim krokiem jest policzenie całkowitej mocy promieniowania (24.11) dla cząstki poruszającej się z pewną dowolną prędkością i z pewnym przyspieszeniem, korzystając przy tym ze wzorów (24.18), (24.19), (24.20) oraz (24.21). Zatem dokonajmy wyznaczenia tejże wielkości.











(24.22)

Uogólnieniem Liénarda wzoru Larmora nazywamy na podstawie obliczeń (24.22) wzór w postaci:

(24.23)

Widzimy, że gdy v<c i v→ c otrzymujemy wtedy γ→∞, czyli moc promieniowania dla tego przypadku jest nieskończenie duża. Gdy v<<c, wtedy zachodzi przybliżona tożsamość γ≈ 1, zatem otrzymujemy wzór Larmora (24.7). Dochodzimy więc do wniosku, że wzór Larmora jest spełniony w przypadku nierelatywistycznym.