Elektrodynamika klasyczna/Promieniowanie od ładunków punktowych

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Elektrodynamika klasyczna
Elektrodynamika klasyczna
Promieniowanie od ładunków punktowych

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw.makowiecki@gmail.com
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Tutaj zajmiemy się promieniowaniem pochodzącego od ładunków punktowych.

Pole prędkościowe, pole przyspieszone[edytuj]

Wykazaliśmy, że pole elektryczne wytwarzane przez ładunek punktowy poruszający się z pewną prędkością i przyspieszeniem wyraża się według wzoru (22.47). W tym wzorze można wyróżnić pole prędkościowe i pole przyspieszone , ich przepisy są:

(24.1)
(24.2)

Pole magnetyczne dla ładunków punktowych jest opisany przez wzór (22.50), zatem na podstawie tychże rozważań można zdefiniować dla tego przypadku wektor Poyntinga, który to dalej go przekształcimy:

(24.3)

Pole prędkościowe (24.1) nie wchodzi w skład promieniowania ładunku q, bo zachodzi i , co stąd wynika, że energia wypromieniowana w nieskończoności jest równa zero, czyli pole prędkościowe nie jest promieniowaniem. Zatem rozważając pole przyspieszone natężenia pola elektrycznego (24.2), dochodzimy do wniosku, że to pole jest prostopadłe do wektora , zatem dochodzimy do wniosku, że w nieskończoności wektor Poytinga jest zdefiniowany wzorem na podstawie (24.3).

(24.4)

Załóżmy, że nasz ładunek jest w spoczynku, zatem pole promieniowania, na podstawie (22.46) przyjmuje postać:

(24.5)

Wektor Poyntinga dla pola przyspieszonego w takim przypadku wyraża się podobnie, korzystając dla (24.5), czyli , zatem przyjmuje postać:


(24.6)

Całkowita moc promieniowania przez przyspieszoną cząstkę na podstawie definicji wektora Poytinga (24.6) wyraża się wzorem:

(24.7)

Powyższy wzór nosi nazwę wzoru Larmora.

Zatem drugi człon natężenia pola elektrycznego, czyli (24.2) jest jednak promieniowaniem, bo ta energia ucieka do nieskończoności, i jednocześnie na podstawie (24.7) zachodzi .

Moc promieniowania dla cząstki o prędkości niezerowej[edytuj]

Wcześniej policzyliśmy moc promieniowania (24.7), gdy cząstka chwilowo spoczywa, a teraz wyznaczymy tą właśnie moc gdy cząstka , która jest źródłem promieniowania, porusza się z pewną skończoną prędkością i z przyspieszeniem w zależności od mocy promieniowania, gdy cząstka spoczywa . Zauważmy zatem tożsamość wiedząc, że zachodzi (22.42) oraz (22.46).

(24.8)

Ponieważ jak wcześniej powiedzieliśmy moc promieniowania dla cząstki spoczywającej możemy wyrazić wzorem (24.4), zatem w takim przypadku wzór (24.8) jako natężenie promieniowania dla cząstki poruszającej przedstawia się wzorem:

(24.9)

Do wzoru na natężenie promieniowania (24.9) podstawiamy wzór na natężenie pola elektrycznego przyspieszonego (24.2), która jest słuszna, gdy cząstka spoczywa, wtedy dostajemy wzór:

(24.10)

Całkowita moc wypromieniowana pochodząca od przyspieszonego ładunku (24.10) piszemy jako całkę wielkości (24.10) względem nieskończenie małego kąta bryłowego, w której to dotyczy, zatem możemy napisać:

(24.11)

Wyznaczmy wyrażenie pomocnicze występujące we wzorze (24.11), zatem do dzieła:






(24.12)

Teraz policzymy całki pomocnicze, zatem zajmijmy się tą pierwszą:



(24.13)

Następnie zajmijmy się liczeniem drugiej całki:




(24.14)

A na sam koniec wyznaczmy trzecią całkę:






(24.15)

Użyjmy podstawienia w postaci z=cosφ do obliczania całki poniżej (24.11), w którym kąt bryłowy możemy zapisać jako dΩ=-dz dθ. Weźmy, że wektor jednostkowy jest zdefiniowany: , i dodatkowo obierzmy, że . Następnie wyznaczmy dwie kolejne następne całki:

(24.16)
(24.17)

Następnie dokonajmy kolejnych obliczeń:

  • Wyrażenie pierwsze, korzystając przy tym z obliczonej całki oznaczonej (24.13):

(24.18)
  • Wyrażenie drugie, korzystając przy tym z obliczonej całki oznaczonej (24.14):

(24.19)
  • Wyrażenie trzecie, korzystając przy tym z obliczonej całki oznaczonej (24.15):







(24.20)
  • Wyrażenie czwarte, korzystając przy tym ze wzoru na policzone wcześniej całek oznaczonych (24.13) i (24.15):




(24.21)

Ostatnim krokiem jest policzenie całkowitej mocy promieniowania (24.11) dla cząstki poruszającej się z pewną dowolną prędkością i z pewnym przyspieszeniem, korzystając przy tym ze wzorów (24.18), (24.19), (24.20) oraz (24.21). Zatem dokonajmy wyznaczenia tejże wielkości.










(24.22)

Uogólnieniem Liénarda wzoru Larmora nazywamy na podstawie obliczeń (24.22) wzór w postaci:

(24.23)

Widzimy, że gdy v<c i v→ c otrzymujemy wtedy γ→∞, czyli moc promieniowania dla tego przypadku jest nieskończenie duża. Gdy v<<c, wtedy zachodzi przybliżona tożsamość γ≈ 1, zatem otrzymujemy wzór Larmora (24.7). Dochodzimy więc do wniosku, że wzór Larmora jest spełniony w przypadku nierelatywistycznym.