Elektrodynamika klasyczna/Promieniowanie elektromagnetyczne

Promieniowanie elektromagnetyczne

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Spis treści
1Promieniowanie pochodzące od dipola elektrycznego 2Promieniowanie pochodzące od dipola magnetycznego 3Promieniowanie elektromagnetyczne z dowolnego źródła

Dotychczas mówiliśmy o płaskich falach elektromagnetycznych bez omówienia jak one powstają. Źródłem fal elektromagnetycznych jest rozkład ładunków elektrycznych, który się w czasie zmienia. Ale one muszą poruszać się ruchem przyspieszonym albo w przypadku prądów muszą być to prądy zmienne. Fale elektromagnetyczne rozchodzą się do nieskończoności od ich źródła. Oznaką natężenia energii fali elektromagnetycznej jest wektor Poytinga, którą liczymy dla r→∞. Odległość źródła do odbiornika jest bardzo duża. Całkowita moc przechodząca przez daną powierzchnię określana jest przez:

$P(r)=\oint \overrightarrow{P}\cdot d\overrightarrow{S}=\oint (\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H})d\overrightarrow{S}=\frac{1}{{\mu }_0}\oint (\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{B})\cdot d\overrightarrow{S}$

(23.1)

Całkowitą moc wypromieniowana jest pisana przez (23.1) dla bardzo dużego r, czyli praktycznie dla r, mówiąc matematycznie dążącego do nieskończoności, jako:

$P_{wyp}=\underset{r\to \mathrm{\infty }}{lim}P(r)$

(23.2)

Promieniowanie pochodzące od dipola elektrycznego

(Rys. 23.1) Promieniowanie elektromagnetyczne pochodzące od dipola elektrycznego

Wyobraźmy sobie taką sytuację, że dwie metalowe sfery są odległe od siebie o odległość równą d. W chwili określonej przez t ładunek na górnej sferze jest równy q(t), a na dolnej -q(t). Ładunek na górnej sferze jest rysowany:

$q(t)=q_0\cos (\omega t)$

(23.3)

Moment dipolowy elektryczny z jego definicji przedstawiony jest w punkcie (6.6), stąd jego zależność w czasie na podstawie (23.3) zmienia się w sposób harmoniczny określamy przez:

$\overrightarrow{p}(t)=p_0\cos (\omega t)\hat{\overrightarrow{z}}$

(23.4)

• gdzie: p₀=q₀d, określa maksymalną wartość momentu dipolowego jaką może posiadać nasz rozważany układ elektryczny dipolowy.

Potencjał w punkcie O od dipola elektrycznego jest zależny od odległości poszczególnych ładunków pochodzących od tego dipola, tzn. od R₊ i R_-, i jest określany wzorem (5.1). Jeśli do tego wzoru podstawimy wyrażenie (23.3) i zamieniając czas rzeczywisty na czas opóźniony (21.1):

$\phi (\overrightarrow{r})=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\{\frac{q_0\cos [\omega (t-\frac{R_{+}}{c})]}{R_{+}}-\frac{q_0\cos [\omega (t-\frac{R_{-}}{c})]}{R_{-}}\}$

(23.5)

Następnym naszym krokiem jest wykorzystanie przybliżonego wzoru na odwrotność wielkości R_±, czyli wielkości napisanej w (5.5), a także samej wielkości R_±, zatem wyznaczmy wyrażenie pomocnicze w sposób przybliżony:

$\cos \left[\omega (t-\frac{R_{\pm }}{c})\right]=\cos \left\{\omega [t-\frac{r}{c}(1\mp \frac{d}{2r}\cos \varphi )]\right\}=\cos [\omega (t-\frac{r}{c})\pm \frac{\omega d}{2c}\cos \varphi ]=$
$=\cos \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]\cos (\frac{\omega d}{2c}\cos \varphi )\mp \sin \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]\sin (\frac{\omega d}{2c}\cos \varphi )$

(23.6)

W naszych obliczeniach zakładamy, że odległość pomiędzy ładunkami w dipolu elektrycznym jest o wiele mniejsza od stosunku wartości prędkości światła i częstotliwości kołowej z jaką zmienia się ładunek na naszym dipolu w czasie, co zapisujemy jako: $d<<\frac{c}{\omega }$, stąd wniosek, że ostatni czynnik występującego w punkcie (23.6) spełnia warunek:

$\frac{\omega d}{2c}\cos \varphi <<\frac{\omega }{2c}\frac{c}{\omega }\cos \varphi =\frac{1}{2}\cos \varphi <\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{\omega d}{2c}\cos \varphi <<\frac{1}{2}$

(23.7)

zatem możemy dokonać przybliżenia w postaci sinφ≈φ, a także cosφ≈ 1, zatem wyrażenie (23.6) możemy napisać w postaci przybliżonej:

$\cos \left[\omega (t-\frac{R_{\pm }}{c})\right]\simeq \cos \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]\mp \frac{\omega d}{2c}\cos \varphi \sin \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]$

(23.8)

Mając przybliżony wzór (23.8), a także wzór na odwrotność wielkości R_± (5.5), i to wszystko podstawiamy do wzoru (23.5), wtedy dostajemy wyrażenie na wartość przybliżoną potencjału elektrycznego wytwarzanej przez układ dwóch ładunków:

$\phi (\overrightarrow{r})=\frac{q_0}{4\pi {ϵ}_0}\{\frac{1}{r}(1+\frac{d}{2r}\cos \varphi )\{\cos \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]-\frac{\omega d}{2c}\cos \varphi \sin \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]\}-\frac{1}{r}(1-\frac{d}{2r}\cos \varphi )\cdot$
$\cdot \{\cos \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]+\frac{\omega d}{2c}\sin \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]\}\}=\frac{q_0}{4\pi {ϵ}_0}\{\frac{1}{r}\cos \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right](1+\frac{d}{2r}\cos \varphi -1+\frac{d}{2r}\cos \varphi )+$

$+\frac{\omega d}{2cr}\cos \varphi \sin \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right][-1-\frac{d}{2r}\cos \varphi -1+\frac{d}{2r}\cos \varphi ]\}=\frac{q_{0}d\cos \varphi }{4\pi {ϵ}_{0}r}[-\frac{\omega }{c}\sin \left(\omega (t-\frac{r}{c})\right)+\frac{1}{r}\cos \left(\omega (t-\frac{r}{c})\right)]=$

$=\frac{p_0\cos \varphi }{4\pi {ϵ}_{0}r}[-\frac{\omega }{c}\sin \left(\omega (t-\frac{r}{c})\right)+\frac{1}{r}\cos \left(\omega (t-\frac{r}{c})\right)]$

(23.9)

Interesują nas duże odległości, zatem przyjmijmy następne przybliżenie, które spełnia wzór: $r>>\frac{c}{\omega }\Rightarrow \frac{1}{r}<<\frac{\omega }{c}$, zatem we wzorze (23.9) możemy pominąć drugi człon w tej tożsamości, zatem tą wspomnianą równość piszemy:

$\phi (r,\varphi ,t)=-\frac{p_0\omega }{4\pi {ϵ}_{0}c}\left(\frac{\cos \varphi }{r}\right)\sin \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]$

(23.10)

Znając zależność ładunków q(t) od czasu na końcach dipola elektrycznego wedle zależności (23.3) możemy z definicji natężenia prądu elektrycznego napisać jego wartość:

$\overrightarrow{I}(t)=\frac{dq}{dt}\hat{\overrightarrow{z}}=\hat{\overrightarrow{z}}\frac{d}{dt}{q}_0\cos (\omega t)=-q_0\omega \sin (\omega t)\hat{\overrightarrow{z}}$

(23.11)

Ponieważ dipol elektryczny stanowi jakoby drut, w których na końcach znajdują się ładunki. W tym drucie płynie pewny zmienny prąd w czasie rzeczywistym t, zatem potencjał wektorowy na podstawie pierwszej równości (21.5), bo natężenie elektryczne prądu jest zależne od czasu, przedstawia się:

$\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r},t)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\int }_{-\frac{d}{2}}^{\frac{d}{2}}\frac{-q_0\omega \sin \left[\omega (t-\frac{R(z)}{c})\right]}{R(z)}\hat{\overrightarrow{z}}dz=-\frac{{\mu }_0{q}_0\omega }{4\pi }\{{\int }_0^{\frac{d}{2}}\frac{\sin \left[\omega (t-\frac{R(z)}{c})\right]}{R(z)}dz+{\int }_{-\frac{d}{2}}^0\frac{\sin \left[\omega (t-\frac{R(z)}{c})\right]}{R(z)}dz\}\hat{\overrightarrow{z}}=$
$=-\frac{{\mu }_0{q}_0\omega }{4\pi }\left\{{\int }_0^{\frac{d}{2}}[\frac{\sin \left[\omega (t-\frac{R_{+}(z)}{c})\right]}{R_{+}(z)}+\frac{\sin \left[\omega (t-\frac{R_{-}(z)}{c})\right]}{R_{-}(z)}]\right\}\hat{\overrightarrow{z}}$

(23.12)

Interesuje nasz przypadek, gdy zachodzi d<<r, zatem odległość według wzoru (5.5), a w nim zastępujemy wielkość d przez z, wtedy możemy napisać dwa wzory:

$R_{\pm }(z)\simeq r(1\mp \frac{z}{2r}\cos \varphi )$

(23.13)

$\frac{1}{R_{\pm }(z)}\simeq \frac{1}{r}(1\pm \frac{z}{2r}\cos \varphi )$

(23.14)

Następnie policzmy wyrażenie pomocnicze występujące w punkcie (23.14) w postaci pewnych kosinusów, korzystając przy tym z przybliżenia (23.13), zatem do dzieła:

$\sin \left[\omega (t-\frac{R_{\pm }(z)}{c})\right]\simeq \sin \left\{\omega [t-\frac{r}{c}(1\mp \frac{z}{2rc}\cos \varphi )]\right\}=\sin [\omega (t-\frac{r}{c})\pm \frac{\omega z}{2c}\cos \varphi ]=$
$=\sin \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]\cos (\frac{\omega z}{2c}\cos \varphi )\pm \cos \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]\sin (\frac{\omega z}{2c}\cos \varphi )$

(23.15)

Niech mamy przybliżenie będzie takie, że odległość pomiędzy ładunkami w dipolu elektrycznym będzie d, by było o wiele mniejsze od stosunku wartości prędkości światła i częstotliwości z jaką zmienia się ładunek na końcach naszego obiektu lub z jaką częstotliwością zmienia się prąd , czyli $d<<\frac{c}{\omega }$, zatem możemy napisać:

$\sin \left[\omega (t-\frac{R_{\pm }(z)}{c})\right]\simeq \sin \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]\pm \frac{\omega z}{2c}\cos \varphi \cos \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]$

(23.16)

Następnym krokiem jest napisanie wyrażenia poniżej występujące pod całką równości (23.12) i korzystać będziemy przy tym z tożsamości przybliżonej (23.16)

$\frac{\sin [\omega (t-\frac{R_{+}(z)}{c})]}{R_{+}(z)}+\frac{\sin \left[\omega (t-\frac{R_{-}(z)}{c})\right]}{R_{-}(z)}=\{\sin \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]+\frac{\omega z}{2c}\cos \varphi \cos \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]\}\frac{1}{r}(1+\frac{z}{2r}\cos \varphi )+$

$+\{\sin \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]-\frac{\omega z}{2c}\cos \varphi \cos \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]\}\frac{1}{r}(1-\frac{z}{2r}\cos \varphi )=\frac{\sin \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]}{r}(1+\frac{z}{2r}\cos \varphi +1-\frac{z}{2r}\cos \varphi )+$

$+\frac{\omega z}{2c}\cos \varphi \cos \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]\frac{1}{r}(1+\frac{z}{2r}\cos \varphi -1+\frac{z}{2r}\cos \varphi )=\frac{2\sin \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]}{r}+\frac{\omega z}{2c}\cos \varphi \cos \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]\frac{z}{2r^2}\cos \varphi \simeq$
$\simeq \frac{2\sin \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]}{r}$

(23.17)

Ostatnim krokiem jest wyznaczenie wyrażenia na potencjał wektorowy magnetyczny pola elektromagnetycznego wytwarzanej przez dipol elektryczny (23.12), jeśli przy tym będziemy wykorzystywali przybliżenie (23.17):

$\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r},t)=-\frac{{\mu }_0{q}_0\omega }{4\pi }{\int }_0^{\frac{d}{2}}\frac{2\sin \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]}{r}dz\hat{\overrightarrow{z}}=-\frac{{\mu }_0{q}_{0}d\omega }{4\pi }\frac{2\sin \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]}{r}\frac{d}{2}\hat{\overrightarrow{z}}=-\frac{{\mu }_0{p}_0\omega }{4\pi }\frac{\sin \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]}{r}\hat{\overrightarrow{z}}$

(23.18)

Potencjał skalarny zależy tylko od kata zenitalnego, a nie zależy od kąta azymutalnego, zatem gradient potencjału skalarnego napisanej dla dipola elektrycznego w punkcie (23.10) jest w postaci:

$\mathrm{\nabla }\phi =\frac{\partial \phi }{\partial r}{\overrightarrow{e}}_r+\frac{1}{r}\frac{\partial \phi }{\partial \varphi }{\overrightarrow{e}}_{\varphi }=-\frac{p_0\omega }{4\pi {ϵ}_{0}c}\{-\frac{\cos \varphi }{r^2}\sin \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]-\frac{\omega \cos \varphi }{cr}\cos \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]\}{\overrightarrow{e}}_r+\frac{p_0\omega \sin \varphi }{4\pi {ϵ}_{0}c{r}^2}\cdot$
$\cdot \sin \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]{\overrightarrow{e}}_{\varphi }\simeq \frac{p_0{\omega }^2}{4\pi {ϵ}_0{c}^2}\left(\frac{\cos \varphi }{r}\right)\cos \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]{\overrightarrow{e}}_r$

(23.19)

Wersor zetowy układu kartezjańskiego układu współrzędnych można rozłożyć w układzie sferycznym następująco:

$\hat{\overrightarrow{z}}=\cos \varphi {\overrightarrow{e}}_r-\sin \varphi {\overrightarrow{e}}_{\varphi }$

(23.20)

Potencjał wektorowy pola magnetycznego (23.18) na podstawie tożsamości (23.20) piszemy:

$\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r},t)=-\frac{{\mu }_0{p}_0\omega }{4\pi r}\sin \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right](\cos \varphi {\overrightarrow{e}}_r-\sin \varphi {\overrightarrow{e}}_{\varphi })$

(23.21)

Naszym ostatnim krokiem jest wyznaczenie pochodnej cząstkowej względem czasu potencjału wektorowego zdefiniowanego w punkcie (23.21):

$\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t}=-\frac{{\mu }_0{p}_0{\omega }^2}{4\pi r}\cos \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right](\cos \varphi {\overrightarrow{e}}_r-\sin \varphi {\overrightarrow{e}}_{\varphi })$

(23.22)

Natężenie pola elektrycznego na podstawie jego definicji (20.4) możemy napisać, jeśli ściągniemy wyznaczone wcześniej tożsamości dla dipola elektrycznego gradientu pola elektrycznego (23.19) i pochodnej cząstkowej względem czasu potencjału wektorowego (23.21):

$\overrightarrow{E}=-\mathrm{\nabla }\phi -\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}=-\frac{p_0{\omega }^2}{4\pi {ϵ}_0{c}^2}\left(\frac{\cos \varphi }{r}\right)\cos \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]{\overrightarrow{e}}_r+\frac{{\mu }_0{p}_0{\omega }^2}{4\pi r}\cos \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right](\cos \varphi {\overrightarrow{e}}_r-\sin \varphi {\overrightarrow{e}}_{\varphi })=$
$=-\frac{p_0{\omega }^2{\mu }_0}{4\pi }\left(\frac{\cos \varphi }{r}\right)\cos \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]{\overrightarrow{e}}_r+\frac{{\mu }_0{p}_0{\omega }^2}{4\pi r}\cos \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right](\cos \varphi {\overrightarrow{e}}_r-\sin \varphi {\overrightarrow{e}}_{\varphi })=$
$=-\frac{{\mu }_0{p}_0{\omega }^2}{4\pi }\left(\frac{\sin \varphi }{r}\right)\cos \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]{\overrightarrow{e}}_{\varphi }$

(23.23)

Naszym następnym krokiem jest wyznaczenie rotacji potencjału wektorowego (23.21), otrzymujemy:

$\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{A}=\frac{1}{r}[\frac{\partial }{\partial r}\left(r{A}_{\varphi }\right)-\frac{\partial A_r}{\partial \varphi }]{\overrightarrow{e}}_{\theta }=\frac{1}{r}[\frac{{\mu }_0{p}_0{\omega }^2}{4\pi c}(-\sin \varphi )\cos \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]+\frac{{\mu }_0{p}_0\omega }{4\pi r}\sin \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right](-\sin \varphi )]$

(23.24)

Drugi człon możemy wyeliminować, ze względu na to, że odległość od dipola elektrycznego punktu O jest o wiele większa niż stosunek wartości prędkości światła i częstotliwości ω z jaką zmienia się ładunek na końcach naszego dipola, czyli $r>>\frac{c}{\omega }\Rightarrow \frac{\omega }{c}>>\frac{1}{r}$, zatem wektor indukcji magnetycznej jest równy:

$\overrightarrow{B}=\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{A}=-\frac{{\mu }_0{p}_0{\omega }^2}{4\pi c}\left(\frac{\sin \varphi }{r}\right)\cos \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]{\overrightarrow{e}}_{\theta }$

(23.25)

A teraz troszkę z tożsamości napiszmy poniższe wyrażenie, które jest iloczynem wektorowym wersorów w układzie kulistym wersora φ-tego i θ-owego:

${\overrightarrow{e}}_{\varphi }\times {\overrightarrow{e}}_{\theta }={\overrightarrow{e}}_r$

(23.26)

Wektor Poytinga (23.1) przy definicji natężenia pola elektrycznego (23.23) i indukcji pola magnetycznego (23.25), wtedy znając te wielkości pola elektromagnetycznego w próżni pochodzące od dipola elektrycznego, w której ładunek na jego końcach zmienia się harmonicznie, a także w nim płynie prąd harmoniczny, wtedy ten wektor na podstawie tożsamości (23.26) możemy napisać:

$\overrightarrow{P}=\frac{1}{{\mu }_0}(\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{B})=\frac{1}{{\mu }_0}\left\{[-\frac{{\mu }_0{p}_0{\omega }^2}{4\pi }\left(\frac{\sin \varphi }{r}\right)\cos \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]][-\frac{{\mu }_0{p}_0{\omega }^2}{4\pi c}\left(\frac{\sin \varphi }{r}\right)\cos \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]]\right\}{\overrightarrow{e}}_r=$
$=\frac{{\mu }_0{p}_0^2{\omega }^4}{16{\pi }^{2}c}\left(\frac{{\sin }^2\varphi }{r^2}\right){\cos }^2\left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]{\overrightarrow{e}}_r$

(23.27)

Średnia wartość wektora Poytinga względem czasu możemy wyznaczyć z jej wartości chwilowej wedle punktu (23.27) wedle wyglądu:

$⟨\overrightarrow{P}⟩=\frac{{\mu }_0{p}_0^2{\omega }^4}{16{\pi }^{2}c}\frac{{\sin }^2\varphi }{r^2}\frac{1}{2}{\overrightarrow{e}}_r=\frac{{\mu }_0{p}_0^2{\omega }^4}{32{\pi }^{2}c}\frac{{\sin }^2\varphi }{r^2}{\overrightarrow{e}}_r$

(23.28)

Całkowita moc promieniowania można obliczyć po sferze o promieniu r, można policzyć jako całkę powierzchniową wyrażenia na średni wektor Poytinga napisanej wedle (23.28):

$⟨P⟩=\int ⟨\overrightarrow{P}⟩=\frac{{\mu }_0{p}_0^2{\omega }^4}{32{\pi }^{2}c}\frac{{\sin }^2\varphi }{r^2}{r}^2\sin \varphi d\varphi d\theta =\frac{{\mu }_0{p}_0^2{\omega }^4}{32{\pi }^{2}c}\left({\int }_0^{\pi }{\sin }^3\varphi d\varphi \right){\int }_0^{2\pi }d\theta =\frac{{\mu }_0{p}_0^2{\omega }^4}{16\pi c}{\int }_0^{\pi }{\sin }^3\varphi d\varphi$

(23.29)

Wyznaczmy całkę nieoznaczoną wedle praw analizy, korzystając z metody całkowania przez podstawienie, a później z metody całkowania przez części, w ten sposób możemy obliczyć postać zwartą naszej całki nieoznaczonej.

$\int {\sin }^3\varphi d\varphi =\int (1-{\cos }^2\varphi )\sin \varphi d\varphi =\left\{\begin{array}{c}\cos \varphi =t\\ \sin \varphi d\varphi =-dt\end{array}\right\}=-\int (1-t^2)dt=-\int dt+\int t^{2}dt=-t+\frac{1}{3}{t}^3=$
$=-\cos \varphi +\frac{1}{3}{\cos }^3\varphi$

(23.30)

Na podstawie już obliczonej całki (23.30) możemy wyznaczyć całkę występującą w wyrażeniu na całkowitą moc wypromieniowaną (23.29), jeśli najpierw policzymy całkę oznaczoną:

${\int }_0^{\pi }{\sin }^3\varphi d\varphi ={[-\cos \varphi +\frac{1}{3}{\cos }^3\varphi ]}_0^{\pi }=2-\frac{2}{3}=\frac{6-2}{3}=\frac{4}{3}$

(23.31)

Zatem średnia moc promieniowania dipola elektrycznego (23.29), na podstawie całki oznaczonej (23.31), jest wyrażona wzorem poniżej. Jak się przekonamy, ona jest zależna od częstotliwości kołowej z jaką zmienia się ładunek na końcach tego dipola i od maksymalnej wartości momentu dipolowego p₀ jaką może przyjmować nasz dipol.

$⟨P⟩=\frac{{\mu }_0{p}_0^2{\omega }^4}{16\pi c}\frac{4}{3}=\frac{{\mu }_0{p}_0^2{\omega }^4}{12\pi c}$

(23.32)

Widzimy, że średnia moc promieniowania nie zależy od promienia r, co jest zgodne z zasadą zachowania energii.

Promieniowanie pochodzące od dipola magnetycznego

(Rys. 23.2) Promieniowanie elektromagnetyczne pochodzące od dipola elektrycznego

Niech mamy pętlę jak na rysunku o promieniu b i niech płynie w nim prąd przemienny o częstości kołowej ω o natężeniu natężeniu prądu zależnym od czasu w sposób harmonicznym:

$I(t)=I_0\cos (\omega t)$

(23.33)

Moment dipolowy dipola magnetycznego definiujemy jako iloczyn powierzchni jaką tworzy okrągły obwód i natężenia prądu napisanego w punkcie (23.33)

$\overrightarrow{m}(t)=\pi b^{2}I(t)\hat{\overrightarrow{z}}=m_0\cos (\omega t)\hat{\overrightarrow{z}}$

(23.34)

• gdzie maksymalna wartość momentu dipolowego jest opisana wzorem m₀=π b² I₀.

Potencjał wektorowy w odległości R od dipola magnetycznego w czasie t jest opisany na podstawie wzoru ogólnego (21.5) w sposób:

$\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r},t)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\oint \frac{I_0\cos \left[\omega (t-\frac{R}{c})\right]}{R}d\overrightarrow{l}$

(23.35)

Załóżmy, że wektor $\overrightarrow{r}$ jest nad osią x, to potencjał wektorowy $\overrightarrow{A}$ jest skierowany wzdłuż osi y, bo składowe iskowe redukują się razem z jednej i drugiej strony osi x, bo składowa iskowa dla takiego samego y ma przeciwne zwroty, a więc składowa igrekowa wektora $d\overrightarrow{l}$ jest:

$(d\overrightarrow{l}{)}_y=dl\cos \theta =bd\theta \cos \varphi =b\cos \varphi d\varphi$

(23.36)

Potencjał wektorowy (23.35), na podstawie obliczeń (23.36) na współrzędną igrekową wektora małego wycinka, w którym płynie prąd o natężeniu (23.33), czyli wielkości $d\overrightarrow{l}$, piszemy:

$\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r},t)=\frac{{\mu }_0{I}_{0}b}{4\pi }\hat{\overrightarrow{y}}{\int }_0^{2\pi }\frac{\cos \left[\omega (t-\frac{R}{c})\right]}{R}\cos \theta d\theta$

(23.37)

Według powyższego wzoru można obliczyć odległość od odcinka prądu $d\overrightarrow{l}$ do punktu, w którym chcemy obliczyć potencjał wektorowy, zatem ta długość R:

$R=\sqrt{r^2+b^2-2rb\cos \psi }$

(23.38)

Wektor $\overrightarrow{r}$ można przedstawić za pomocą składowych we współrzędnych kartezjańskich, a także wektor promienia $\overrightarrow{b}$, w sposobu:

$\overrightarrow{r}=(r\sin \varphi ,0,r\cos \varphi )$

(23.39)

$\overrightarrow{b}=(b\cos \theta ,b\sin \theta ,0)$

(23.40)

Można policzyć, z definicji iloczynu skalarnego i definicji wektorów $\overrightarrow{r}$ i $\overrightarrow{b}$ ich iloczyn skalarny, tzn. wielkości (23.39) i (23.40) wedle:

$rb\cos \psi =\overrightarrow{r}\cdot \overrightarrow{b}=rb\sin \varphi \sin \theta$

(23.41)

Wielkość R, która jest odległością od dipola, w której wyznaczamy pewne wielkości elektromagnetyczne, czyli (23.38), następnie wykorzystując tożsamość (23.41), tą odległość piszemy jako:

$R=\sqrt{r^2+b^2-2rb\sin \varphi \sin \theta }$

(23.42)

W naszym przypadku zakładamy, że pętla dipola magnetycznego była mała w porównaniu z r, czyli zachodzi:$b<<r\Rightarrow \frac{b}{r}<<1$, oczywiste jest, że R w takim przypadku możemy policzyć w sposób przybliżony wykorzystując ostatnio wspomniane związki między promieniem obwodu b a odległością od środka tego obwodu r, zatem na podstawie wspomnianych zależności wielkość (23.42) możemy zapisać jako:

$R=r\sqrt{1+{\left(\frac{b}{r}\right)}^2-2\frac{b}{r}\sin \varphi \cos \theta }=\simeq r(1-\frac{1}{2}\frac{2b}{r}\sin \varphi \cos \theta )=r(1-\frac{b}{r}\sin \varphi \cos \theta )$

(23.43)

A odwrotność przybliżonej wielkości napisanej w punkcie (23.43) możemy napisać też w bardziej przybliżony sposób:

$\frac{1}{R}=\frac{1}{r(1-\frac{b}{r}\sin \varphi \cos \theta )}\simeq \frac{1}{r}(1+\frac{b}{r}\sin \varphi \cos \theta )$

(23.44)

Następnym krokiem jest wyznaczenie wielkości poniżej wykorzystując wzór na przybliżoną wartość na R wedle (23.43), zatem dokonajmy tychże obliczeń:

$\cos \left[\omega (t-\frac{R}{c})\right]=\cos \left\{\omega [t-\frac{r}{c}(1-\frac{b}{r}\sin \varphi \cos \theta )]\right\}=\cos [\omega (t-\frac{r}{c})+\frac{\omega b}{c}\sin \varphi \cos \theta ]=$
$=\cos \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]\cos (\frac{\omega b}{c}\sin \varphi \cos \theta )-\sin \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]\sin (\frac{\omega b}{c}\sin \varphi \cos \theta )$

(23.45)

Obierzmy przybliżenie, które zachodzi jako, że promień obwodu kołowego dipola magnetycznego b jest o wiele mniejsza od stosunku wartości prędkości światła c przez częstotliwość ω z jaką zmienia się prąd elektryczny (23.33), czyli: $b<<\frac{c}{\omega }\Rightarrow \frac{b\omega }{c}<<1$, zatem można napisać wedle wyglądu:

$\cos \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]\simeq \cos \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]-\frac{\omega b}{c}\sin \varphi \cos \theta \sin \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]$

(23.46)

Wzór na potencjał wektorowy (23.37) możemy napisać stosując wzór na odwrotność małego wycinka obwodu od punktu, w której wyznaczamy pewne wielkości elektromagnetyczne według (23.44), a także ze wzoru (23.45), a do niego stosujemy przybliżenie w postaci (23.46), zatem tą wielkość piszemy:

$\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r},t)=\frac{{\mu }_0{I}_{0}b}{4\pi }\hat{\overrightarrow{y}}{\int }_0^{2\pi }\{\cos \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]-\frac{\omega b}{c}\sin \varphi \cos \theta \sin \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]\}\frac{1}{r}(1+\frac{b}{r}\sin \varphi \cos \theta )\cos \theta d\theta =$

$=\frac{{\mu }_0{I}_{0}b}{4\pi r}\hat{\overrightarrow{y}}{\int }_0^{2\pi }\{\cos \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]-\frac{\omega b}{c}\sin \varphi \cos \theta \sin \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]+$
$+\frac{b}{r}\sin \varphi \cos \theta \cos \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]-\frac{b}{r}\sin \varphi \cos \theta \frac{\omega b}{c}\sin \varphi \cos \theta \sin \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]\}\cos \theta d\theta =$

$\simeq \frac{{\mu }_0{I}_{0}b}{4\pi r}\hat{\overrightarrow{y}}{\int }_0^{2\pi }\{\cos \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]+b\sin \varphi \cos \theta (-\frac{\omega }{c}\sin \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]+\frac{1}{r}\cos \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right])\}\cos \theta d\theta$

(23.47)

Ponieważ zachodzą związki całkowe poniżej, które możemy wyprowadzić poniżej, które będą nam potrzebne do dalszych obliczeń.

${\int }_0^{2\pi }\cos \theta d\theta =\sin \theta {|}_0^{2\pi }=0$

(23.48)

${\int }_0^{2\pi }{\cos }^2\theta d\theta ={\int }_0^{2\pi }\frac{1}{2}(1+\cos 2\varphi )d\varphi =\pi$

(23.49)

Wzór na potencjał wektorowy ostatnio napisanej (23.47), przy wyznaczonych w całkach (23.48) i (23.49), jest wedle wyglądu:

$\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r},t)=\frac{{\mu }_0{m}_0}{4\pi }\left(\frac{\sin \varphi }{r}\right)\{\frac{1}{r}\cos \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]-\frac{\omega }{c}\sin \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]\}\hat{\overrightarrow{y}}$

(23.50)

W układzie, gdy $\overrightarrow{r}$ jest nad osią x, można przekształcić do układu, gdy tak nie jest, w tym przypadku wektor potencjału wektorowego jest równoległy do wersora ${\overrightarrow{e}}_{\theta }$ sferycznego układu współrzędnych, zatem nasz potencjał wektorowy dla potencjału wektorowego (23.50) jest równy:

$\overrightarrow{A}(r,\varphi ,t)=\frac{{\mu }_0{m}_0}{4\pi }\left(\frac{\sin \varphi }{r}\right)\{\frac{1}{r}\cos \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]-\frac{\omega }{c}\sin \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]\}{\overrightarrow{e}}_{\theta }$

(23.51)

Jeśli zastosujmy następne przybliżenie, tzn.:$r>>\frac{c}{\omega }\Rightarrow \frac{1}{r}<<\frac{\omega }{c}$, zatem wzór na potencjał wektorowy (23.51) jest przedstawiony:

$\overrightarrow{A}(r,\varphi ,t)=-\frac{{\mu }_0{m}_0\omega }{4\pi c}\left(\frac{\sin \varphi }{r}\right)\sin \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]{\overrightarrow{e}}_{\theta }$

(23.52)

Następnym krokiem jest obliczenie natężenia pola elektrycznego w określonym punkcie dla dipola magnetycznego i należy posłużyć się wnioskiem, że potencjał skalarny jest równy zero, a więc jego dywergencja też jest równa zero, zatem jego gradient. Skorzystamy ze wzoru na natężenie pola elektrycznego (20.4), zatem wyznaczmy tą wielkość:

$\overrightarrow{E}=-\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t}=\frac{{\mu }_0{m}_0{\omega }^2}{4\pi c}\left(\frac{\sin \varphi }{r}\right)\cos \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]{\overrightarrow{e}}_{\theta }$

(23.53)

Jako ostatni krok jest obliczenie indukcji magnetycznej znając potencjał wektorowy (23.52) ze wzoru (20.1), zatem do dzieła:

$\overrightarrow{B}=\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{A}=\frac{1}{\sin \varphi }[\frac{\partial }{\partial \varphi }(\sin \varphi A_{\theta })-\frac{\partial A_{\varphi }}{\partial \theta }]{\overrightarrow{e}}_r+\frac{1}{r}[\frac{1}{\sin \varphi }\frac{\partial A_r}{\partial \theta }-\frac{\partial (r{A}_{\theta })}{\partial r}]{\overrightarrow{e}}_{\varphi }=\frac{1}{r\sin \varphi }\frac{\partial (\sin \varphi A_{\theta })}{\partial \varphi }{\overrightarrow{e}}_r-\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}(r{A}_{\theta }){\overrightarrow{e}}_{\varphi }=$
$=-\frac{{\mu }_0{m}_0\omega }{4\pi c{r}^2\sin \varphi }\sin \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]2\sin \varphi \cos \varphi {\overrightarrow{e}}_r-\frac{{\mu }_0{m}_0{\omega }^2}{4\pi c^2}\left(\frac{\sin \varphi }{r}\right)\cos \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]{\overrightarrow{e}}_{\varphi }\simeq$
$\simeq -\frac{{\mu }_0{m}_0{\omega }^2}{4\pi c^2}\left(\frac{\sin \varphi }{r}\right)\cos \left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]{\overrightarrow{e}}_{\varphi }$

(23.54)

Ale mamy odległość r od środka dipola magnetycznego spełniającego warunek $r>>\frac{c}{\omega }$, wtedy można pominąć współrzędną radialną wektora indukcji magnetycznej względem współrzędnej φ-ej.

Wiedząc, że zachodzi związek napisanej w punkcie (23.26) w układzie kulistym, wtedy wektor Poytinga (23.1), na podstawie definicji wektora natężenia pola elektrycznego (23.53) i wektora indukcji pola magnetycznego (23.54), jest równy:

$\overrightarrow{P}=\frac{1}{{\mu }_0}(\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{B})=\frac{1}{{\mu }_0}\frac{{\mu }_0^2{m}_0^2{\omega }^4}{16{\pi }^2{c}^3}\frac{{\sin }^2\varphi }{r}{\cos }^2\left[\omega (t-\frac{r}{c})\right]{\overrightarrow{e}}_r$

(23.55)

Średnia wartość wektora Poytinga policzonej w punkcie (23.55) względem czasu jest wyrysowana:

$⟨\overrightarrow{P}⟩=\frac{{\mu }_0{m}_0^2{\omega }^4}{32{\pi }^2{c}^3}\frac{{\sin }^2\varphi }{r^2}{\overrightarrow{e}}_r$

(23.56)

Średnia moc promieniowania wypromieniowana z dipola magnetycznego, liczymy wychodząc od wzoru (23.56), korzystając przy tym z definicji całki oznaczonej obliczonej wcześniej (23.31), piszemy według jego definicji:

$P=\oint ⟨\overrightarrow{P}⟩d\overrightarrow{S}=\frac{{\mu }_0{m}_0^2{\omega }^4}{32{\pi }^2{c}^3}{\int }_0^{2\pi }({\int }_0^{\pi }\frac{{\sin }^2\varphi }{r^2}{r}^2\sin \varphi d\varphi )d\theta =\frac{{\mu }_0{m}_0^2{\omega }^4}{32{\pi }^2{c}^3}2\pi {\int }_0^{\pi }{\sin }^3\varphi d\varphi =\frac{{\mu }_0{m}_0^2{\omega }^4}{16\pi c^3}\frac{4}{3}=\frac{{\mu }_0{m}_0^2{\omega }^4}{12\pi c^3}$

(23.57)

Zatem średnia moc promieniowania dipola magnetycznego (23.57), jak się przekonamy, ona jest zależna od częstotliwości kołowej z jaką zmienia się prąd w tym dipolu i od maksymalnej wartości momentu magnetycznego m₀ jaką może przyjmować nasz dipol.

Promieniowanie elektromagnetyczne z dowolnego źródła

(Rys. 23.3) Promieniowanie elektromagnetyczne od dowolnego źródła- składanie wektorów.

Potencjał skalarny w odległości $\overrightarrow{r}$ od układu współrzędnych jest opisany wzorem (21.4) dla przejrzystości wykładu:

$\phi (\overrightarrow{r},t)=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\int \frac{\rho ({\overrightarrow{r}}^{\text{'}},t-\frac{R}{c})}{R}dV$

(23.58)

gdzie:

• ${\overrightarrow{r}}^{\text{'}}$ jest to odległość danego punktu źródła od początku układu odniesienia,
• $\overrightarrow{R}$ jest to odległość danego punktu źródła do punktu, w którym należy obliczyć potencjał skalarny.

Z twierdzenia o składaniu wektorów według rysunku obok można napisać wzór:

$\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}^{\text{'}}+\overrightarrow{R}\Rightarrow \overrightarrow{R}=\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\text{'}}$

(23.59)

Wykorzystując definicję iloczynu skalarnego, wtedy równanie (23.59) możemy podnieść do kwadratu obie jego strony, wtedy otrzymujemy tożsamość wynikową poniżej, z którego wyznaczymy wyrażenie na sam skalar R:

$R^2=(\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\text{'}}{)}^2=r^2+r^{\text{'}2}-2\overrightarrow{r}\cdot {\overrightarrow{r}}^{\text{'}}\Rightarrow R=\sqrt{r^2+r^{\text{'}2}-2\overrightarrow{r}\cdot {\overrightarrow{r}}^{\text{'}}}$

(23.60)

Dokonajmy przybliżenia wielkości R (23.60), jeśli punkt w którym liczymy potencjał skalarny jest daleko od źródła w porównaniu z rozmiarami tego ciała, czyli:$r^{\text{'}}<<r\Rightarrow \frac{r^{\text{'}}}{r}<<1$, dochodzimy do wniosku:

$R=r\sqrt{1+{\left(\frac{r^{\text{'}}}{r}\right)}^2-2\frac{\overrightarrow{r}\cdot {\overrightarrow{r}}^{\text{'}}}{r^2}}\simeq r(1-\frac{\overrightarrow{r}\cdot {\overrightarrow{r}}^{\text{'}}}{r^2})$

(23.61)

Można teraz otrzymać odwrotność odległości wielkości R zdefiniowanej w punkcie (23.61) dokonując odpowiednich przybliżeń:

$\frac{1}{R}=\frac{1}{(1-\frac{\overrightarrow{r}\cdot {\overrightarrow{r}}^{\text{'}}}{r^2})}\simeq \frac{1}{r}(1+\frac{\overrightarrow{r}\cdot {\overrightarrow{r}}^{\text{'}}}{r^2})$

(23.62)

Również gęstość objętościową ładunku elektrycznego ρ liczoną dla danego położenia względem czasu opóźnionego (21.1) możemy rozłożyć w szereg Taylora do wyrazów drugiego rzędu włącznie, a dalsze wyrazy oznaczając wielokropkami, co piszemy jako:

$\rho ({\overrightarrow{r}}^{\text{'}},t-\frac{R}{c})\simeq \rho [{\overrightarrow{r}}^{\text{'}},t-\frac{r}{c}(1-\frac{{\overrightarrow{r}}^{\text{'}}\cdot \overrightarrow{r}}{r^2})]=\rho ({\overrightarrow{r}}^{\text{'}},t-\frac{r}{c}+\frac{\hat{\overrightarrow{r}}\cdot \overrightarrow{r}}{c})\simeq \rho ({\overrightarrow{r}}^{\text{'}},t_0)+\dot{\rho }({\overrightarrow{r}}^{\text{'}},t_0)\left(\frac{\hat{\overrightarrow{r}}\cdot {\overrightarrow{r}}^{\text{'}}}{c}\right)+$
$+\frac{1}{2!}\ddot{\rho }{\left(\frac{\hat{\overrightarrow{r}}\cdot {\overrightarrow{r}}^{\text{'}}}{c}\right)}^2+\mathrm{...}$

(23.63)

• gdzie $t_0=t-\frac{r}{c}$.

Całkowity potencjał skalarny (23.58) możemy wyznaczyć, korzystając ze wzoru na gęstość objętościową ładunku ρ (23.63) obcinając w nim wyrazy kwadratowe i wyższe, a także wykorzystując odwrotność R, czyli (23.62), w takim przypadku dostajemy:

$\phi ({\overrightarrow{r}}^{\text{'}},t)\simeq \frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\int [\rho +\dot{\rho }\frac{\hat{\overrightarrow{r}}\cdot {\overrightarrow{r}}^{\text{'}}}{c}]\frac{1}{r}(1+\frac{\overrightarrow{r}\cdot {\overrightarrow{r}}^{\text{'}}}{r^2})dV=\frac{1}{4\pi {ϵ}_{0}r}\int [\rho +\rho \frac{\hat{\overrightarrow{r}}\cdot {\overrightarrow{r}}^{\text{'}}}{r}+\dot{\rho }\frac{\hat{\overrightarrow{r}}\cdot {\overrightarrow{r}}^{\text{'}}}{c}+\dot{\rho }\frac{{(\hat{\overrightarrow{r}}\cdot {\overrightarrow{r}}^{\text{'}})}^2}{cr}]dV\simeq$
$\simeq \frac{1}{4\pi {ϵ}_{0}r}[\int \rho dV+\frac{\hat{\overrightarrow{r}}}{r}\int {\overrightarrow{r}}^{\text{'}}\rho dV+\frac{\hat{\overrightarrow{r}}}{c}\frac{d}{dt}\int {\overrightarrow{r}}^{\text{'}}\rho dV]$

(23.64)

Ponieważ wiadomo, że całkowity ładunek Q jest całką objętościową względem funkcji gęstości objętościowej $Q=\int \rho dV$ oraz że dipolowy moment elektryczny jest napisany wzorem: $\overrightarrow{p}=\int {\overrightarrow{r}}^{\text{'}}\rho dV$, to potencjał skalarny (23.64) w takim przypadku piszemy:

$\phi (\overrightarrow{r},t)=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}[\frac{Q}{r}+\frac{\hat{\overrightarrow{r}}\cdot \overrightarrow{p}(t_0)}{r^2}+\frac{\hat{\overrightarrow{r}}\cdot \dot{\overrightarrow{p}}(t_0)}{cr}]$

(23.65)

Gdy nasze ciało nie ma momentu dipolowego, to powyższe równania przechodzi w znane równanie z elektrostatyki, tzn.:

$\phi (\overrightarrow{r},t)=\frac{Q}{4\pi {ϵ}_{0}r}$

Następnym następnym krokiem jest policzenie potencjału wektorowego, co w postaci dokładnej jest napisane według wzoru (21.5), co przepiszemy tutaj go dla przejrzystości wykładu:

$\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r},t)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{\overrightarrow{J}({\overrightarrow{r}}^{\text{'}},t-\frac{R}{c})}{R}dV$

(23.66)

Można powiedzieć, że gęstość objętościowa prądu elektrycznego możemy rozłożyć w szereg Taylora z dokładnością do conaj wyżej pierwszego rzędu wyrazów w nim występujący, co piszemy:

$\overrightarrow{J}({\overrightarrow{r}}^{\text{'}},t-\frac{R}{c})\simeq \overrightarrow{J}({\overrightarrow{r}}^{\text{'}},t_0)+\dot{\overrightarrow{J}}({\overrightarrow{r}}^{\text{'}},t_0)\left(\frac{\hat{\overrightarrow{r}}\cdot {\overrightarrow{r}}^{\text{'}}}{c}\right)$

(23.67)

To można powiedzieć, że wzór na potencjał wektorowy (23.66), przy zastosowanym przybliżeniu (23.67), a także z przybliżonego wzoru na odwrotność wielkości R, czyli (23.62), piszemy jako:

$\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r},t)=\frac{{\mu }_0}{4\pi r}[\int \overrightarrow{J}({\overrightarrow{r}}^{\text{'}},t_0)dV+\int \frac{\hat{\overrightarrow{r}}\cdot {\overrightarrow{r}}^{\text{'}}}{r}\overrightarrow{J}({\overrightarrow{r}}^{\text{'}},t_0)dV+\int \frac{\hat{\overrightarrow{r}}\cdot {\overrightarrow{r}}^{\text{'}}}{c}\dot{\overrightarrow{J}}({\overrightarrow{r}}^{\text{'}},t_0)dV]=$
$=\frac{{\mu }_0}{4\pi r}[\int \overrightarrow{J}({\overrightarrow{r}}^{\text{'}},t_0)dV+\frac{1}{r}\int \hat{\overrightarrow{r}}\cdot {\overrightarrow{r}}^{\text{'}}\overrightarrow{J}({\overrightarrow{r}}^{\text{'}},t_0)dV+\frac{1}{c}\frac{d}{dt}\int \hat{\overrightarrow{r}}\cdot {\overrightarrow{r}}^{\text{'}}\overrightarrow{J}({\overrightarrow{r}}^{\text{'}},t_0)dV]$

(23.68)

Ponieważ w danym punkcie ${\overrightarrow{r}}^{\text{'}}$, w źródle mamy ściśle określoną gęstość prądu oraz jego pochodną, a ponieważ mamy do czynienia z ciałem bardzo małym, to w wyrażeniu na potencjał wektorowy możemy pominąć dwa kolejne ostatnie wyrazy, wtedy nasz wzór przyjmuje postać:

$\overrightarrow{A}({\overrightarrow{r}}^{\text{'}},t)\simeq \frac{{\mu }_0}{4\pi r}\int \overrightarrow{J}(\overrightarrow{r},t_0)dV$

(23.69)

W rozdziale o elektrodynamice Maxwella udowodniliśmy, że całkowita gęstość prądu objętościowego ładunków jest równa sumie gęstości objętościowego ładunków swobodnych, rotacji namagnesowania i pochodnej cząstkowej względem czasu polaryzacji elektrycznej, co piszemy wzorem (15.31)

A ponieważ rozpatrujemy magnetycznie ciało o bardzo małych rozmiarach względem odległości od punktu, w którym liczymy potencjał wektorowy, zatem polaryzacja magnetyczna $\overrightarrow{M}$ i prąd swobodny są bardzo małe, zatem całkowita gęstość objętościowa prądu elektrycznego jest pochodną polaryzacji elektrycznej względem czasu:

$\overrightarrow{J}=\frac{\partial \overrightarrow{P}}{\partial t}$

(23.70)

Nasz przybliżony potencjał wektorowy (23.69) na podstawie wzoru na gęstość prądu elektrycznego dla naszego bardzo małego ciała (23.70) jest zapisana:

$\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r},t)=\frac{{\mu }_0}{4\pi r}\int \frac{\partial \overrightarrow{P}(t_0)}{\partial t}dV=\frac{{\mu }_0}{4\pi r}\frac{d}{dt}\int \overrightarrow{P}(t_0)dV=\frac{{\mu }_0}{4\pi r}\frac{d}{dt}\overrightarrow{p}(t_0)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{\dot{\overrightarrow{p}}(t_0)}{r}$

(23.71)

Z dokładnością do rzędu $\frac{1}{r}$, przybliżony potencjał skalarny (23.65) można zapisać jako:

$\phi (\overrightarrow{r},t)\simeq \frac{1}{4\pi {ϵ}_0}[\frac{Q}{r}+\frac{\hat{\overrightarrow{r}}\cdot \dot{\overrightarrow{p}}(t_0)}{rc}]$

(23.72)

Napiszmy teraz gradient potencjału skalarnego (23.72) jako jedna z wielkości pomocniczych w celu wyznaczenia natężenia pola elektrycznego pochodzącej od naszego ciała:

$\mathrm{\nabla }\phi \simeq \mathrm{\nabla }{\overrightarrow{k}}_i\frac{\partial }{\partial x_i}\phi =\frac{\partial \phi }{\partial t_0}{\overrightarrow{k}}_i\frac{\partial t_0}{\partial x_i}=\frac{\partial \phi }{\partial t_0}\mathrm{\nabla }{t}_0=\frac{1}{4\pi {ϵ}_{0}c}\frac{\hat{\overrightarrow{r}}\cdot \ddot{\overrightarrow{p}}(t_0)}{rc}(-\frac{1}{c}\mathrm{\nabla }R)=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0{c}^2}\frac{\hat{\overrightarrow{r}}\cdot \ddot{\overrightarrow{p}}(t_0)}{r}\hat{\overrightarrow{r}}$

(23.73)

I kolejno możemy policzyć pochodną cząstkową względem czasu wielkości, która jest potencjałem wektorowym napisanej dla naszego rozważanego ciała w punkcie (23.71), zatem:

$\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{\dot{p}(t_0)}{r}\right)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{\ddot{\overrightarrow{p}}(t_0)}{r}$

(23.74)

W końcu możemy wyznaczyć natężenie pola elektrycznego wychodząc z ogólnego wzoru panującego w elektrodynamice klasycznej (20.4) wykorzystując już obliczone wyrażenia na gradient potencjału skalarnego (23.73) i pochodnej cząstkowej względem czasu potencjału wektorowego (23.74), zatem do dzieła:

$\overrightarrow{E}=-\mathrm{\nabla }\phi -\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0{c}^2}\frac{\hat{\overrightarrow{r}}\cdot \ddot{\overrightarrow{p}}(t_0)}{r}\hat{\overrightarrow{r}}-\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{\ddot{\overrightarrow{p}}(t_0)}{r}=\frac{{\mu }_0}{4\pi r}[(\hat{\overrightarrow{r}}\cdot \ddot{p}(t_0))\hat{\overrightarrow{r}}-\ddot{p}(t_0)(\hat{\overrightarrow{r}}\cdot \hat{\overrightarrow{r}})]=$
$=\frac{{\mu }_0}{4\pi r}[\hat{\overrightarrow{r}}\times (\hat{\overrightarrow{r}}\times \ddot{p})]$

(23.75)

Kolejnym krokiem jest policzenie indukcji pola magnetycznego, korzystając ze wzoru ogólnego (20.1) znając dla naszego przypadku policzony potencjał wektorowy (23.71):

$\overrightarrow{B}=\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{A}={\overrightarrow{k}}_i{ϵ}_{ijk}\frac{\partial }{\partial x_j}{A}_k={\overrightarrow{k}}_i{ϵ}_{ijk}\frac{\partial t_0}{\partial x_i}\frac{\partial A_k}{\partial t_0}=\left(\mathrm{\nabla }{t}_0\right)\times \frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t_0}=-\frac{\hat{\overrightarrow{r}}}{c}\times \frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{\ddot{p}(t_0)}{r}=-\frac{{\mu }_0}{4\pi rc}[\hat{\overrightarrow{r}}\times \ddot{p}(t_0)]$

(23.76)

Ostatecznie dochodzimy do wniosku, że natężenie pola elektrycznego i indukcja pola magnetycznego dla ciała bardzo małego jest powtórzeniem wzorów, tzn. (23.75) i (23.76).

$\overrightarrow{E}=\frac{{\mu }_0}{4\pi r}[\hat{\overrightarrow{r}}\times (\hat{\overrightarrow{r}}\times \ddot{p})]$

(23.77)

$\overrightarrow{B}=-\frac{{\mu }_0}{4\pi rc}[\hat{\overrightarrow{r}}\times \ddot{p}(t_0)]$

(23.78)

Używając współrzędnych kulistych można zapisać wyrażenia:

$\hat{\overrightarrow{r}}\times \ddot{p}=-\ddot{p}\sin \varphi {\overrightarrow{e}}_{\theta }$

(23.79)

$\hat{\overrightarrow{r}}\times (\hat{\overrightarrow{r}}\times \ddot{p})=-\ddot{p}\sin \varphi \hat{\overrightarrow{r}}\times {\overrightarrow{e}}_{\theta }=\ddot{p}\sin \varphi {\overrightarrow{e}}_{\varphi }$

(23.80)

A zatem natężenie pola elektrycznego (23.77) i magnetycznego (23.78) we współrzędnych sferycznych są przedstawione:

$\overrightarrow{E}(r,\varphi ,t)\simeq \frac{{\mu }_0\ddot{p}(t_0)}{4\pi }\left(\frac{\sin \theta }{r}\right){\overrightarrow{e}}_{\varphi }$

(23.81)

$\overrightarrow{B}(r,\varphi ,t)\simeq \frac{{\mu }_0\ddot{p}(t_0)}{4\pi c}\left(\frac{\sin \varphi }{r}\right){\overrightarrow{e}}_{\theta }$

(23.82)

Ostatnim krokiem jest policzenie wektora Poytinga (23.1) wykorzystując wzory na natężenie pola elektrycznego (23.81) i wzór a indukcję pola magnetycznego (23.82):

$\overrightarrow{P}=\frac{1}{{\mu }_0}(\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{B})=\frac{1}{{\mu }_0}\frac{{\mu }_0^2{\ddot{p}}^2(t_0)}{16{\pi }^2}\left(\frac{{\sin }^2\theta }{r^2}\right){\overrightarrow{e}}_r=\frac{{\mu }_0{\ddot{p}}^2(t_0)}{16{\pi }^2}\left(\frac{{\sin }^2\theta }{r^2}\right){\overrightarrow{e}}_r$

(23.83)

Widzimy, że pole elektryczne i magnetyczne są do siebie prostopadłe i są poprzeczne do kierunku rozchodzeni energii promieniowania (do wektora Poytinga).

Całkowita moc promieniowania można policzyć jako całkę powierzchnią po powierzchni zamkniętej wielkości (23.83), wiedząc że mamy już policzoną całkę oznaczoną (23.31).

$P=\oint \overrightarrow{P}d\overrightarrow{S}=\frac{{\mu }_0{\ddot{p}}^2}{16{\pi }^{2}c}{\int }_S\frac{{\sin }^2\varphi }{r^2}{r}^2\sin \varphi d\varphi d\theta =\frac{{\mu }_0{\ddot{p}}^2}{16{\pi }^{2}c}{\int }_S{\sin }^3\varphi d\varphi d\theta =\frac{{\mu }_0{\ddot{p}}^2}{16{\pi }^{2}c}2\pi \frac{4}{3}=\frac{{\mu }_0\ddot{p}}{6\pi c}$

(23.84)