Elektrodynamika klasyczna/Promieniowanie elektromagnetyczne

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacja, szukaj

Elektrodynamika klasyczna
Elektrodynamika klasyczna
Autor: Mirosław Makowiecki
Email: miroslaw.makowiecki@gmail.com

Dotychczas mówiliśmy o płaskich falach elektromagnetycznych bez omówienia jak one powstają. Źródłem fal elektromagnetycznych jest rozkład ładunków elektrycznych, który się w czasie zmienia. Ale one muszą poruszać się ruchem przyspieszonym albo w przypadku prądów muszą być to prądy zmienne. Fale elektromagnetyczne rozchodzą się do nieskończoności od ich źródła. Oznaką natężenia energii fali elektromagnetycznej jest wektor Poytinga, którą liczymy dla r→∞. Odległość źródła do odbiornika jest bardzo duża. Całkowita moc przechodząca przez daną powierzchnię określana jest przez:

(23.1)

Całkowitą moc wypromieniowana jest pisana przez (23.1) dla bardzo dużego r, czyli praktycznie dla r, mówiąc matematycznie dążącego do nieskończoności, jako:

(23.2)

Promieniowanie pochodzące od dipola elektrycznego[edytuj]

Promieniowanie elektromagnetyczne pochodzące od dipola elektrycznego

Wyobraźmy sobie taką sytuację, że dwie metalowe sfery są odległe od siebie o odległość równą d. W chwili określonej przez t ładunek na górnej sferze jest równy q(t), a na dolnej -q(t). Ładunek na górnej sferze jest rysowany:

(23.3)

Moment dipolowy elektryczny z jego definicji przedstawiony jest w punkcie (Niedopasowany odsyłacz), stąd jego zależność w czasie na podstawie (23.3) zmienia się w sposób harmoniczny określamy przez:

(23.4)
  • gdzie: p0=q0d, określa maksymalną wartość momentu dipolowego jaką może posiadać nasz rozważany układ elektryczny dipolowy.

Potencjał w punkcie O od dipola elektrycznego jest zależny od odległości poszczególnych ładunków pochodzących od tego dipola, tzn. od R+ i R-, i jest określany wzorem (Niedopasowany odsyłacz). Jeśli do tego wzoru podstawimy wyrażenie (23.3) i zamieniając czas rzeczywisty na czas opóźniony (Niedopasowany odsyłacz):

(23.5)

Następnym naszym krokiem jest wykorzystanie przybliżonego wzoru na odwrotność wielkości R±, czyli wielkości napisanej w (Niedopasowany odsyłacz), a także samej wielkości R±, zatem wyznaczmy wyrażenie pomocnicze w sposób przybliżony:



(23.6)

W naszych obliczeniach zakładamy, że odległość pomiędzy ładunkami w dipolu elektrycznym jest o wiele mniejsza od stosunku wartości prędkości światła i częstotliwości kołowej z jaką zmienia się ładunek na naszym dipolu w czasie, co zapisujemy jako:, stąd wniosek, że ostatni czynnik występującego w punkcie (23.6) spełnia warunek:

(23.7)

zatem możemy dokonać przybliżenia w postaci sinφ≈φ, a także cosφ≈ 1, zatem wyrażenie (23.6) możemy napisać w postaci przybliżonej:

(23.8)

Mając przybliżony wzór (23.8), a także wzór na odwrotność wielkości R± (Niedopasowany odsyłacz), i to wszystko podstawiamy do wzoru (23.5), wtedy dostajemy wyrażenie na wartość przybliżoną potencjału elektrycznego wytwarzanej przez układ dwóch ładunków:






(23.9)

Interesują nas duże odległości, zatem przyjmijmy następne przybliżenie, które spełnia wzór: , zatem we wzorze (23.9) możemy pominąć drugi człon w tej tożsamości, zatem tą wspomnianą równość piszemy:

(23.10)

Znając zależność ładunków q(t) od czasu na końcach dipola elektrycznego wedle zależności (23.3) możemy z definicji natężenia prądu elektrycznego napisać jego wartość:

(23.11)

Ponieważ dipol elektryczny stanowi jakoby drut, w których na końcach znajdują się ładunki. W tym drucie płynie pewny zmienny prąd w czasie rzeczywistym t, zatem potencjał wektorowy na podstawie pierwszej równości (Niedopasowany odsyłacz), bo natężenie elektryczne prądu jest zależne od czasu, przedstawia się:



(23.12)

Interesuje nasz przypadek, gdy zachodzi d<<r, zatem odległość według wzoru (Niedopasowany odsyłacz), a w nim zastępujemy wielkość d przez z, wtedy możemy napisać dwa wzory:

(23.13)
(23.14)

Następnie policzmy wyrażenie pomocnicze występujące w punkcie (23.14) w postaci pewnych kosinusów, korzystając przy tym z przybliżenia (23.13), zatem do dzieła:


(23.15)

Niech mamy przybliżenie będzie takie, że odległość pomiędzy ładunkami w dipolu elektrycznym będzie d, by było o wiele mniejsze od stosunku wartości prędkości światła i częstotliwości z jaką zmienia się ładunek na końcach naszego obiektu lub z jaką częstotliwością zmienia się prąd , czyli , zatem możemy napisać:

(23.16)

Następnym krokiem jest napisanie wyrażenia poniżej występujące pod całką równości (23.12) i korzystać będziemy przy tym z tożsamości przybliżonej (23.16)






(23.17)

Ostatnim krokiem jest wyznaczenie wyrażenia na potencjał wektorowy magnetyczny pola elektromagnetycznego wytwarzanej przez dipol elektryczny (23.12), jeśli przy tym będziemy wykorzystywali przybliżenie (23.17):


(23.18)

Potencjał skalarny zależy tylko od kata zenitalnego, a nie zależy od kąta azymutalnego, zatem gradient potencjału skalarnego napisanej dla dipola elektrycznego w punkcie (23.10) jest w postaci:


(23.19)

Wersor zetowy układu kartezjańskiego układu współrzędnych można rozłożyć w układzie sferycznym następująco:

(23.20)

Potencjał wektorowy pola magnetycznego (23.18) na podstawie tożsamości (23.20) piszemy:

(23.21)

Naszym ostatnim krokiem jest wyznaczenie pochodnej cząstkowej względem czasu potencjału wektorowego zdefiniowanego w punkcie (23.21):

(23.22)

Natężenie pola elektrycznego na podstawie jego definicji (Niedopasowany odsyłacz) możemy napisać, jeśli ściągniemy wyznaczone wcześniej tożsamości dla dipola elektrycznego gradientu pola elektrycznego (23.19) i pochodnej cząstkowej względem czasu potencjału wektorowego (23.21):




(23.23)

Naszym następnym krokiem jest wyznaczenie rotacji potencjału wektorowego (23.21), otrzymujemy:


(23.24)

Drugi człon możemy wyeliminować, ze względu na to, że odległość od dipola elektrycznego punktu O jest o wiele większa niż stosunek wartości prędkości światła i częstotliwości ω z jaką zmienia się ładunek na końcach naszego dipola, czyli, zatem wektor indukcji magnetycznej jest równy:

(23.25)

A teraz troszkę z tożsamości napiszmy poniższe wyrażenie, które jest iloczynem wektorowym wersorów w układzie kulistym wersora φ-tego i θ-owego:

(23.26)

Wektor Poytinga (23.1) przy definicji natężenia pola elektrycznego (23.23) i indukcji pola magnetycznego (23.25), wtedy znając te wielkości pola elektromagnetycznego w próżni pochodzące od dipola elektrycznego, w której ładunek na jego końcach zmienia się harmonicznie, a także w nim płynie prąd harmoniczny, wtedy ten wektor na podstawie tożsamości (23.26) możemy napisać:



(23.27)

Średnia wartość wektora Poytinga względem czasu możemy wyznaczyć z jej wartości chwilowej wedle punktu (23.27) wedle wyglądu:

(23.28)

Całkowita moc promieniowania można obliczyć po sferze o promieniu r, można policzyć jako całkę powierzchniową wyrażenia na średni wektor Poytinga napisanej wedle (23.28):


(23.29)

Wyznaczmy całkę nieoznaczoną wedle praw analizy, korzystając z metody całkowania przez podstawienie, a później z metody całkowania przez części, w ten sposób możemy obliczyć postać zwartą naszej całki nieoznaczonej.


(23.30)

Na podstawie już obliczonej całki (23.30) możemy wyznaczyć całkę występującą w wyrażeniu na całkowitą moc wypromieniowaną (23.29), jeśli najpierw policzymy całkę oznaczoną:

(23.31)

Zatem średnia moc promieniowania dipola elektrycznego (23.29), na podstawie całki oznaczonej (23.31), jest wyrażona wzorem poniżej. Jak się przekonamy, ona jest zależna od częstotliwości kołowej z jaką zmienia się ładunek na końcach tego dipola i od maksymalnej wartości momentu dipolowego p0 jaką może przyjmować nasz dipol.

(23.32)

Widzimy, że średnia moc promieniowania nie zależy od promienia r, co jest zgodne z zasadą zachowania energii.

Promieniowanie pochodzące od dipola magnetycznego[edytuj]

Promieniowanie elektromagnetyczne pochodzące od dipola elektrycznego

Niech mamy pętlę jak na rysunku o promieniu b i niech płynie w nim prąd przemienny o częstości kołowej ω o natężeniu natężeniu prądu zależnym od czasu w sposób harmonicznym:

(23.33)

Moment dipolowy dipola magnetycznego definiujemy jako iloczyn powierzchni jaką tworzy okrągły obwód i natężenia prądu napisanego w punkcie (23.33)

(23.34)
  • gdzie maksymalna wartość momentu dipolowego jest opisana wzorem m0=π b2 I0.

Potencjał wektorowy w odległości R od dipola magnetycznego w czasie t jest opisany na podstawie wzoru ogólnego (Niedopasowany odsyłacz) w sposób:

(23.35)

Załóżmy, że wektor jest nad osią x, to potencjał wektorowy jest skierowany wzdłuż osi y, bo składowe iskowe redukują się razem z jednej i drugiej strony osi x, bo składowa iskowa dla takiego samego y ma przeciwne zwroty, a więc składowa igrekowa wektora jest:

(23.36)

Potencjał wektorowy (23.35), na podstawie obliczeń (23.36) na współrzędną igrekową wektora małego wycinka, w którym płynie prąd o natężeniu (23.33), czyli wielkości ,piszemy:

(23.37)

Według powyższego wzoru można obliczyć odległość od odcinka prądu do punktu, w którym chcemy obliczyć potencjał wektorowy, zatem ta długość R:

(23.38)

Wektor można przedstawić za pomocą składowych we współrzędnych kartezjańskich, a także wektor promienia , w sposobu:

(23.39)
(23.40)

Można policzyć, z definicji iloczynu skalarnego i definicji wektorów i ich iloczyn skalarny, tzn. wielkości (23.39) i (23.40) wedle:

(23.41)

Wielkość R, która jest odległością od dipola, w której wyznaczamy pewne wielkości elektromagnetyczne, czyli (23.38), następnie wykorzystując tożsamość (23.41), tą odległość piszemy jako:

(23.42)

W naszym przypadku zakładamy, że pętla dipola magnetycznego była mała w porównaniu z r, czyli zachodzi:, oczywiste jest, że R w takim przypadku możemy policzyć w sposób przybliżony wykorzystując ostatnio wspomniane związki między promieniem obwodu b a odległością od środka tego obwodu r, zatem na podstawie wspomnianych zależności wielkość (23.42) możemy zapisać jako:

(23.43)

A odwrotność przybliżonej wielkości napisanej w punkcie (23.43) możemy napisać też w bardziej przybliżony sposób:

(23.44)

Następnym krokiem jest wyznaczenie wielkości poniżej wykorzystując wzór na przybliżoną wartość na R wedle (23.43), zatem dokonajmy tychże obliczeń:


(23.45)

Obierzmy przybliżenie, które zachodzi jako, że promień obwodu kołowego dipola magnetycznego b jest o wiele mniejsza od stosunku wartości prędkości światła c przez częstotliwość ω z jaką zmienia się prąd elektryczny (23.33), czyli:, zatem można napisać wedle wyglądu:

(23.46)

Wzór na potencjał wektorowy (23.37) możemy napisać stosując wzór na odwrotność małego wycinka obwodu od punktu, w której wyznaczamy pewne wielkości elektromagnetyczne według (23.44), a także ze wzoru (23.45), a do niego stosujemy przybliżenie w postaci (23.46), zatem tą wielkość piszemy:






(23.47)

Ponieważ zachodzą związki całkowe poniżej, które możemy wyprowadzić poniżej, które będą nam potrzebne do dalszych obliczeń.

(23.48)
(23.49)

Wzór na potencjał wektorowy ostatnio napisanej (23.47), przy wyznaczonych w całkach (23.48) i (23.49), jest wedle wyglądu:

(23.50)

W układzie, gdy jest nad osią x, można przekształcić do układu, gdy tak nie jest, w tym przypadku wektor potencjału wektorowego jest równoległy do wersora sferycznego układu współrzędnych, zatem nasz potencjał wektorowy dla potencjału wektorowego (23.50) jest równy:

(23.51)

Jeśli zastosujmy następne przybliżenie, tzn.:, zatem wzór na potencjał wektorowy (23.51) jest przedstawiony:

(23.52)

Następnym krokiem jest obliczenie natężenia pola elektrycznego w określonym punkcie dla dipola magnetycznego i należy posłużyć się wnioskiem, że potencjał skalarny jest równy zero, a więc jego dywergencja też jest równa zero, zatem jego gradient. Skorzystamy ze wzoru na natężenie pola elektrycznego (Niedopasowany odsyłacz), zatem wyznaczmy tą wielkość:

(23.53)

Jako ostatni krok jest obliczenie indukcji magnetycznej znając potencjał wektorowy (23.52) ze wzoru (Niedopasowany odsyłacz), zatem do dzieła:




(23.54)

Ale mamy odległość r od środka dipola magnetycznego spełniającego warunek, wtedy można pominąć współrzędną radialną wektora indukcji magnetycznej względem współrzędnej φ-ej.

Wiedząc, że zachodzi związek napisanej w punkcie (23.26) w układzie kulistym, wtedy wektor Poytinga (23.1), na podstawie definicji wektora natężenia pola elektrycznego (23.53) i wektora indukcji pola magnetycznego (23.54), jest równy:

(23.55)

Średnia wartość wektora Poytinga policzonej w punkcie (23.55) względem czasu jest wyrysowana:

(23.56)

Średnia moc promieniowania wypromieniowana z dipola magnetycznego, liczymy wychodząc od wzoru (23.56), korzystając przy tym z definicji całki oznaczonej obliczonej wcześniej (23.31), piszemy według jego definicji:


(23.57)

Zatem średnia moc promieniowania dipola magnetycznego (23.57), jak się przekonamy, ona jest zależna od częstotliwości kołowej z jaką zmienia się prąd w tym dipolu i od maksymalnej wartości momentu magnetycznego m0 jaką może przyjmować nasz dipol.

Promieniowanie elektromagnetyczne z dowolnego źródła[edytuj]

Promieniowanie elektromagnetyczne od dowolnego źródła- składanie wektorów.

Potencjał skalarny w odległości od układu współrzędnych jest opisany wzorem (Niedopasowany odsyłacz) dla przejrzystości wykładu:

(23.58)
  • gdzie:
  • jest to odległość danego punktu źródła od początku układu odniesienia,
  • jest to odległość danego punktu źródła do punktu, w którym należy obliczyć potencjał skalarny.

Z twierdzenia o składaniu wektorów według rysunku obok można napisać wzór:

(23.59)

Wykorzystując definicję iloczynu skalarnego, wtedy równanie (23.59) możemy podnieść do kwadratu obie jego strony, wtedy otrzymujemy tożsamość wynikową poniżej, z którego wyznaczymy wyrażenie na sam skalar R:

(23.60)

Dokonajmy przybliżenia wielkości R (23.60), jeśli punkt w którym liczymy potencjał skalarny jest daleko od źródła w porównaniu z rozmiarami tego ciała, czyli:, dochodzimy do wniosku:

(23.61)

Można teraz otrzymać odwrotność odległości wielkości R zdefiniowanej w punkcie (23.61) dokonując odpowiednich przybliżeń:

(23.62)

Również gęstość objętościową ładunku elektrycznego ρ liczoną dla danego położenia względem czasu opóźnionego (Niedopasowany odsyłacz) możemy rozłożyć w szereg Taylora do wyrazów drugiego rzędu włącznie, a dalsze wyrazy oznaczając wielokropkami, co piszemy jako:

(23.63)
  • gdzie .

Całkowity potencjał skalarny (23.58) możemy wyznaczyć, korzystając ze wzoru na gęstość objętościową ładunku ρ (23.63) obcinając w nim wyrazy kwadratowe i wyższe, a także wykorzystując odwrotność R, czyli (23.62), w takim przypadku dostajemy:



(23.64)

Ponieważ wiadomo, że całkowity ładunek Q jest całką objętościową względem funkcji gęstości objętościowejoraz że dipolowy moment elektryczny jest napisany wzorem:, to potencjał skalarny (23.64) w takim przypadku piszemy:

(23.65)

Gdy nasze ciało nie ma momentu dipolowego, to powyższe równania przechodzi w znane równanie z elektrostatyki, tzn.:

Następnym następnym krokiem jest policzenie potencjału wektorowego, co w postaci dokładnej jest napisane według wzoru (Niedopasowany odsyłacz), co przepiszemy tutaj go dla przejrzystości wykładu:

(23.66)

Można powiedzieć, że gęstość objętościowa prądu elektrycznego możemy rozłożyć w szereg Taylora z dokładnością do conaj wyżej pierwszego rzędu wyrazów w nim występujący, co piszemy:

(23.67)

To można powiedzieć, że wzór na potencjał wektorowy (23.66), przy zastosowanym przybliżeniu (23.67), a także z przybliżonego wzoru na odwrotność wielkości R, czyli (23.62), piszemy jako:


(23.68)

Ponieważ w danym punkcie , w źródle mamy ściśle określoną gęstość prądu oraz jego pochodną, a ponieważ mamy do czynienia z ciałem bardzo małym, to w wyrażeniu na potencjał wektorowy możemy pominąć dwa kolejne ostatnie wyrazy, wtedy nasz wzór przyjmuje postać:

(23.69)

W rozdziale o elektrodynamice Maxwella udowodniliśmy, że całkowita gęstość prądu objętościowego ładunków jest równa sumie gęstości objętościowego ładunków swobodnych, rotacji namagnesowania i pochodnej cząstkowej względem czasu polaryzacji elektrycznej, co piszemy wzorem (Niedopasowany odsyłacz)

A ponieważ rozpatrujemy magnetycznie ciało o bardzo małych rozmiarach względem odległości od punktu, w którym liczymy potencjał wektorowy, zatem polaryzacja magnetyczna i prąd swobodny są bardzo małe, zatem całkowita gęstość objętościowa prądu elektrycznego jest pochodną polaryzacji elektrycznej względem czasu:

(23.70)

Nasz przybliżony potencjał wektorowy (23.69) na podstawie wzoru na gęstość prądu elektrycznego dla naszego bardzo małego ciała (23.70) jest zapisana:

(23.71)

Z dokładnością do rzędu , przybliżony potencjał skalarny (23.65) można zapisać jako:

(23.72)

Napiszmy teraz gradient potencjału skalarnego (23.72) jako jedna z wielkości pomocniczych w celu wyznaczenia natężenia pola elektrycznego pochodzącej od naszego ciała:

(23.73)

I kolejno możemy policzyć pochodną cząstkową względem czasu wielkości, która jest potencjałem wektorowym napisanej dla naszego rozważanego ciała w punkcie (23.71), zatem:

(23.74)

W końcu możemy wyznaczyć natężenie pola elektrycznego wychodząc z ogólnego wzoru panującego w elektrodynamice klasycznej (Niedopasowany odsyłacz) wykorzystując już obliczone wyrażenia na gradient potencjału skalarnego (23.73) i pochodnej cząstkowej względem czasu potencjału wektorowego (23.74), zatem do dzieła:


(23.75)

Kolejnym krokiem jest policzenie indukcji pola magnetycznego, korzystając ze wzoru ogólnego (Niedopasowany odsyłacz) znając dla naszego przypadku policzony potencjał wektorowy (23.71):


(23.76)

Ostatecznie dochodzimy do wniosku, że natężenie pola elektrycznego i indukcja pola magnetycznego dla ciała bardzo małego jest powtórzeniem wzorów, tzn. (23.75) i (23.76).

(23.77)
(23.78)

Używając współrzędnych kulistych można zapisać wyrażenia:

(23.79)
(23.80)

A zatem natężenie pola elektrycznego (23.77) i magnetycznego (23.78) we współrzędnych sferycznych są przedstawione:

(23.81)
(23.82)

Ostatnim krokiem jest policzenie wektora Poytinga (23.1) wykorzystując wzory na natężenie pola elektrycznego (23.81) i wzór a indukcję pola magnetycznego (23.82):

(23.83)

Widzimy, że pole elektryczne i magnetyczne są do siebie prostopadłe i są poprzeczne do kierunku rozchodzeni energii promieniowania (do wektora Poytinga).

Całkowita moc promieniowania można policzyć jako całkę powierzchnią po powierzchni zamkniętej wielkości (23.83), wiedząc że mamy już policzoną całkę oznaczoną (23.31).

(23.84)