Elektrodynamika klasyczna/Promieniowanie elektromagnetyczne

Promieniowanie elektromagnetyczne

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Spis treści
1Promieniowanie pochodzące od dipola elektrycznego 2Promieniowanie pochodzące od dipola magnetycznego 3Promieniowanie elektromagnetyczne z dowolnego źródła

Dotychczas mówiliśmy o płaskich falach elektromagnetycznych bez omówienia jak one powstają. Źródłem fal elektromagnetycznych jest rozkład ładunków elektrycznych, który się w czasie zmienia. Ale one muszą poruszać się ruchem przyspieszonym albo w przypadku prądów muszą być to prądy zmienne. Fale elektromagnetyczne rozchodzą się do nieskończoności od ich źródła. Oznaką natężenia energii fali elektromagnetycznej jest wektor Poytinga, którą liczymy dla r→∞. Odległość źródła do odbiornika jest bardzo duża. Całkowita moc przechodząca przez daną powierzchnię określana jest przez:

$P(r)=\oint {\vec {P}}\cdot d{\vec {S}}=\oint ({\vec {E}}\times {\vec {H}})d{\vec {S}}={{1} \over {\mu _{0}}}\oint ({\vec {E}}\times {\vec {B}})\cdot d{\vec {S}}\;$

(23.1)

Całkowitą moc wypromieniowana jest pisana przez (23.1) dla bardzo dużego r, czyli praktycznie dla r, mówiąc matematycznie dążącego do nieskończoności, jako:

$P_{wyp}=\lim _{r\rightarrow \infty }P(r)$

(23.2)

Promieniowanie pochodzące od dipola elektrycznego

(Rys. 23.1) Promieniowanie elektromagnetyczne pochodzące od dipola elektrycznego

Wyobraźmy sobie taką sytuację, że dwie metalowe sfery są odległe od siebie o odległość równą d. W chwili określonej przez t ładunek na górnej sferze jest równy q(t), a na dolnej -q(t). Ładunek na górnej sferze jest rysowany:

$q(t)=q_{0}\cos(\omega t)\;$

(23.3)

Moment dipolowy elektryczny z jego definicji przedstawiony jest w punkcie (6.6), stąd jego zależność w czasie na podstawie (23.3) zmienia się w sposób harmoniczny określamy przez:

${\vec {p}}(t)=p_{0}\cos(\omega t){\hat {\vec {z}}}\;$

(23.4)

• gdzie: p₀=q₀d, określa maksymalną wartość momentu dipolowego jaką może posiadać nasz rozważany układ elektryczny dipolowy.

Potencjał w punkcie O od dipola elektrycznego jest zależny od odległości poszczególnych ładunków pochodzących od tego dipola, tzn. od R₊ i R_-, i jest określany wzorem (5.1). Jeśli do tego wzoru podstawimy wyrażenie (23.3) i zamieniając czas rzeczywisty na czas opóźniony (21.1):

$\varphi ({\vec {r}})={{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}\left\{{{q_{0}\cos \left[\omega (t-{{R_{+}} \over {c}})\right]} \over {R_{+}}}-{{q_{0}\cos \left[\omega (t-{{R_{-}} \over {c}})\right]} \over {R_{-}}}\right\}\;$

(23.5)

Następnym naszym krokiem jest wykorzystanie przybliżonego wzoru na odwrotność wielkości R_±, czyli wielkości napisanej w (5.5), a także samej wielkości R_±, zatem wyznaczmy wyrażenie pomocnicze w sposób przybliżony:

$\cos \left[\omega \left(t-{{R_{\pm }} \over {c}}\right)\right]=\cos \left\{\omega \left[t-{{r} \over {c}}\left(1\mp {{d} \over {2r}}\cos \phi \right)\right]\right\}=\cos \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\pm {{\omega d} \over {2c}}\cos \phi \right]=\;$
$=\cos \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]\cos \left({{\omega d} \over {2c}}\cos \phi \right)\mp \sin \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]\sin \left({{\omega d} \over {2c}}\cos \phi \right)\;$

(23.6)

W naszych obliczeniach zakładamy, że odległość pomiędzy ładunkami w dipolu elektrycznym jest o wiele mniejsza od stosunku wartości prędkości światła i częstotliwości kołowej z jaką zmienia się ładunek na naszym dipolu w czasie, co zapisujemy jako: $d<<{{c} \over {\omega }}\;$, stąd wniosek, że ostatni czynnik występującego w punkcie (23.6) spełnia warunek:

${{\omega d} \over {2c}}\cos \phi <<{{\omega } \over {2c}}{{c} \over {\omega }}\cos \phi ={{1} \over {2}}\cos \phi <{{1} \over {2}}\Rightarrow {{\omega d} \over {2c}}\cos \phi <<{{1} \over {2}}\;$

(23.7)

zatem możemy dokonać przybliżenia w postaci sinφ≈φ, a także cosφ≈ 1, zatem wyrażenie (23.6) możemy napisać w postaci przybliżonej:

$\cos \left[\omega \left(t-{{R_{\pm }} \over {c}}\right)\right]\simeq \cos \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]\mp {{\omega d} \over {2c}}\cos \phi \sin \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]\;$

(23.8)

Mając przybliżony wzór (23.8), a także wzór na odwrotność wielkości R_± (5.5), i to wszystko podstawiamy do wzoru (23.5), wtedy dostajemy wyrażenie na wartość przybliżoną potencjału elektrycznego wytwarzanej przez układ dwóch ładunków:

$\varphi ({\vec {r}})={{q_{0}} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{\Bigg \{}{{1} \over {r}}\left(1+{{d} \over {2r}}\cos \phi \right)\left\{\cos \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]-{{\omega d} \over {2c}}\cos \phi \sin \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]\right\}-{{1} \over {r}}\left(1-{{d} \over {2r}}\cos \phi \right)\cdot \;$
$\cdot \left\{\cos \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]+{{\omega d} \over {2c}}\sin \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]\right\}{\Bigg \}}={{q_{0}} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{\Bigg \{}{{1} \over {r}}\cos \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]\left(1+{{d} \over {2r}}\cos \phi -1+{{d} \over {2r}}\cos \phi \right)+$

$+{{\omega d} \over {2cr}}\cos \phi \sin \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]\left[-1-{{d} \over {2r}}\cos \phi -1+{{d} \over {2r}}\cos \phi \right]{\Bigg \}}={{q_{0}d\cos \phi } \over {4\pi \epsilon _{0}r}}\left[-{{\omega } \over {c}}\sin \left(\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right)+{{1} \over {r}}\cos \left(\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right)\right]=$

$={{p_{0}\cos \phi } \over {4\pi \epsilon _{0}r}}\left[-{{\omega } \over {c}}\sin \left(\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right)+{{1} \over {r}}\cos \left(\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right)\right]$

(23.9)

Interesują nas duże odległości, zatem przyjmijmy następne przybliżenie, które spełnia wzór: $r>>{{c} \over {\omega }}\Rightarrow {{1} \over {r}}<<{{\omega } \over {c}}$, zatem we wzorze (23.9) możemy pominąć drugi człon w tej tożsamości, zatem tą wspomnianą równość piszemy:

$\varphi (r,\phi ,t)=-{{p_{0}\omega } \over {4\pi \epsilon _{0}c}}\left({{\cos \phi } \over {r}}\right)\sin \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]$

(23.10)

Znając zależność ładunków q(t) od czasu na końcach dipola elektrycznego wedle zależności (23.3) możemy z definicji natężenia prądu elektrycznego napisać jego wartość:

${\vec {I}}(t)={{dq} \over {dt}}{\hat {\vec {z}}}={\hat {\vec {z}}}{{d} \over {dt}}q_{0}\cos(\omega t)=-q_{0}\omega \sin(\omega t){\hat {\vec {z}}}$

(23.11)

Ponieważ dipol elektryczny stanowi jakoby drut, w których na końcach znajdują się ładunki. W tym drucie płynie pewny zmienny prąd w czasie rzeczywistym t, zatem potencjał wektorowy na podstawie pierwszej równości (21.5), bo natężenie elektryczne prądu jest zależne od czasu, przedstawia się:

${\vec {A}}({\vec {r}},t)={{\mu _{0}} \over {4\pi }}\int _{-{{d} \over {2}}}^{{d} \over {2}}{{-q_{0}\omega \sin \left[\omega \left(t-{{R(z)} \over {c}}\right)\right]} \over {R(z)}}{\hat {\vec {z}}}dz=-{{\mu _{0}q_{0}\omega } \over {4\pi }}\left\{\int _{0}^{{d} \over {2}}{{\sin \left[\omega \left(t-{{R(z)} \over {c}}\right)\right]} \over {R(z)}}dz+\int _{-{{d} \over {2}}}^{0}{{\sin \left[\omega \left(t-{{R(z)} \over {c}}\right)\right]} \over {R(z)}}dz\right\}{\hat {\vec {z}}}=$
$=-{{\mu _{0}q_{0}\omega } \over {4\pi }}\left\{\int _{0}^{{d} \over {2}}\left[{{\sin \left[\omega \left(t-{{R_{+}(z)} \over {c}}\right)\right]} \over {R_{+}(z)}}+{{\sin \left[\omega \left(t-{{R_{-}(z)} \over {c}}\right)\right]} \over {R_{-}(z)}}\right]\right\}{\hat {\vec {z}}}$

(23.12)

Interesuje nasz przypadek, gdy zachodzi d<<r, zatem odległość według wzoru (5.5), a w nim zastępujemy wielkość d przez z, wtedy możemy napisać dwa wzory:

$R_{\pm }(z)\simeq r\left(1\mp {{z} \over {2r}}\cos \phi \right)$

(23.13)

${{1} \over {R_{\pm }(z)}}\simeq {{1} \over {r}}\left(1\pm {{z} \over {2r}}\cos \phi \right)$

(23.14)

Następnie policzmy wyrażenie pomocnicze występujące w punkcie (23.14) w postaci pewnych kosinusów, korzystając przy tym z przybliżenia (23.13), zatem do dzieła:

$\sin \left[\omega \left(t-{{R_{\pm }(z)} \over {c}}\right)\right]\simeq \sin \left\{\omega \left[t-{{r} \over {c}}\left(1\mp {{z} \over {2rc}}\cos \phi \right)\right]\right\}=\sin \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\pm {{\omega z} \over {2c}}\cos \phi \right]=$
$=\sin \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]\cos \left({{\omega z} \over {2c}}\cos \phi \right)\pm \cos \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]\sin \left({{\omega z} \over {2c}}\cos \phi \right)$

(23.15)

Niech mamy przybliżenie będzie takie, że odległość pomiędzy ładunkami w dipolu elektrycznym będzie d, by było o wiele mniejsze od stosunku wartości prędkości światła i częstotliwości z jaką zmienia się ładunek na końcach naszego obiektu lub z jaką częstotliwością zmienia się prąd , czyli $d<<{{c} \over {\omega }}$, zatem możemy napisać:

$\sin \left[\omega \left(t-{{R_{\pm }(z)} \over {c}}\right)\right]\simeq \sin \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]\pm {{\omega z} \over {2c}}\cos \phi \cos \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]$

(23.16)

Następnym krokiem jest napisanie wyrażenia poniżej występujące pod całką równości (23.12) i korzystać będziemy przy tym z tożsamości przybliżonej (23.16)

${{\sin \left[\omega (t-{{R_{+}(z)} \over {c}})\right]} \over {R_{+}(z)}}+{{\sin \left[\omega \left(t-{{R_{-}(z)} \over {c}}\right)\right]} \over {R_{-}(z)}}=\left\{\sin \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]+{{\omega z} \over {2c}}\cos \phi \cos \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]\right\}{{1} \over {r}}\left(1+{{z} \over {2r}}\cos \phi \right)+$

$+\left\{\sin \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]-{{\omega z} \over {2c}}\cos \phi \cos \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]\right\}{{1} \over {r}}\left(1-{{z} \over {2r}}\cos \phi \right)={{\sin \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]} \over {r}}\left(1+{{z} \over {2r}}\cos \phi +1-{{z} \over {2r}}\cos \phi \right)+$

$+{{\omega z} \over {2c}}\cos \phi \cos \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]{{1} \over {r}}\left(1+{{z} \over {2r}}\cos \phi -1+{{z} \over {2r}}\cos \phi \right)={{2\sin \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]} \over {r}}+{{\omega z} \over {2c}}\cos \phi \cos \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]{{z} \over {2r^{2}}}\cos \phi \simeq \;$
$\simeq {{2\sin \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]} \over {r}}$

(23.17)

Ostatnim krokiem jest wyznaczenie wyrażenia na potencjał wektorowy magnetyczny pola elektromagnetycznego wytwarzanej przez dipol elektryczny (23.12), jeśli przy tym będziemy wykorzystywali przybliżenie (23.17):

${\vec {A}}({\vec {r}},t)=-{{\mu _{0}q_{0}\omega } \over {4\pi }}\int _{0}^{{d} \over {2}}{{2\sin \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]} \over {r}}dz{\hat {\vec {z}}}=-{{\mu _{0}q_{0}d\omega } \over {4\pi }}{{2\sin \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]} \over {r}}{{d} \over {2}}{\hat {\vec {z}}}=-{{\mu _{0}p_{0}\omega } \over {4\pi }}{{\sin \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]} \over {r}}{\hat {\vec {z}}}$

(23.18)

Potencjał skalarny zależy tylko od kata zenitalnego, a nie zależy od kąta azymutalnego, zatem gradient potencjału skalarnego napisanej dla dipola elektrycznego w punkcie (23.10) jest w postaci:

$\nabla \varphi ={{\partial \varphi } \over {\partial r}}{\vec {e}}_{r}+{{1} \over {r}}{{\partial \varphi } \over {\partial \phi }}{\vec {e}}_{\phi }=-{{p_{0}\omega } \over {4\pi \epsilon _{0}c}}\left\{-{{\cos \phi } \over {r^{2}}}\sin \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]-{{\omega \cos \phi } \over {cr}}\cos \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]\right\}{\vec {e}}_{r}+{{p_{0}\omega \sin \phi } \over {4\pi \epsilon _{0}cr^{2}}}\cdot \;$
$\cdot \sin \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]{\vec {e}}_{\phi }\simeq {{p_{0}\omega ^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}c^{2}}}\left({{\cos \phi } \over {r}}\right)\cos \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]{\vec {e}}_{r}$

(23.19)

Wersor zetowy układu kartezjańskiego układu współrzędnych można rozłożyć w układzie sferycznym następująco:

${\hat {\vec {z}}}=\cos \phi {\vec {e}}_{r}-\sin \phi {\vec {e}}_{\phi }$

(23.20)

Potencjał wektorowy pola magnetycznego (23.18) na podstawie tożsamości (23.20) piszemy:

${\vec {A}}({\vec {r}},t)=-{{\mu _{0}p_{0}\omega } \over {4\pi r}}\sin \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]\left(\cos \phi {\vec {e}}_{r}-\sin \phi {\vec {e}}_{\phi }\right)$

(23.21)

Naszym ostatnim krokiem jest wyznaczenie pochodnej cząstkowej względem czasu potencjału wektorowego zdefiniowanego w punkcie (23.21):

${{\partial {\vec {A}}} \over {\partial t}}=-{{\mu _{0}p_{0}\omega ^{2}} \over {4\pi r}}\cos \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]\left(\cos \phi {\vec {e}}_{r}-\sin \phi {\vec {e}}_{\phi }\right)$

(23.22)

Natężenie pola elektrycznego na podstawie jego definicji (20.4) możemy napisać, jeśli ściągniemy wyznaczone wcześniej tożsamości dla dipola elektrycznego gradientu pola elektrycznego (23.19) i pochodnej cząstkowej względem czasu potencjału wektorowego (23.21):

${\vec {E}}=-\nabla \varphi -{{\partial {\vec {E}}} \over {\partial t}}=-{{p_{0}\omega ^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}c^{2}}}\left({{\cos \phi } \over {r}}\right)\cos \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]{\vec {e}}_{r}+{{\mu _{0}p_{0}\omega ^{2}} \over {4\pi r}}\cos \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]\left(\cos \phi {\vec {e}}_{r}-\sin \phi {\vec {e}}_{\phi }\right)=$
$=-{{p_{0}\omega ^{2}\mu _{0}} \over {4\pi }}\left({{\cos \phi } \over {r}}\right)\cos \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]{\vec {e}}_{r}+{{\mu _{0}p_{0}\omega ^{2}} \over {4\pi r}}\cos \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]\left(\cos \phi {\vec {e}}_{r}-\sin \phi {\vec {e}}_{\phi }\right)=\;$
$=-{{\mu _{0}p_{0}\omega ^{2}} \over {4\pi }}\left({{\sin \phi } \over {r}}\right)\cos \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]{\vec {e}}_{\phi }$

(23.23)

Naszym następnym krokiem jest wyznaczenie rotacji potencjału wektorowego (23.21), otrzymujemy:

$\nabla \times {\vec {A}}={{1} \over {r}}\left[{{\partial } \over {\partial r}}\left(rA_{\phi }\right)-{{\partial A_{r}} \over {\partial \phi }}\right]{\vec {e}}_{\theta }={{1} \over {r}}\left[{{\mu _{0}p_{0}\omega ^{2}} \over {4\pi c}}(-\sin \phi )\cos \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]+{{\mu _{0}p_{0}\omega } \over {4\pi r}}\sin \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right](-\sin \phi )\right]$

(23.24)

Drugi człon możemy wyeliminować, ze względu na to, że odległość od dipola elektrycznego punktu O jest o wiele większa niż stosunek wartości prędkości światła i częstotliwości ω z jaką zmienia się ładunek na końcach naszego dipola, czyli $r>>{{c} \over {\omega }}\Rightarrow {{\omega } \over {c}}>>{{1} \over {r}}$, zatem wektor indukcji magnetycznej jest równy:

${\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}}=-{{\mu _{0}p_{0}\omega ^{2}} \over {4\pi c}}\left({{\sin \phi } \over {r}}\right)\cos \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]{\vec {e}}_{\theta }$

(23.25)

A teraz troszkę z tożsamości napiszmy poniższe wyrażenie, które jest iloczynem wektorowym wersorów w układzie kulistym wersora φ-tego i θ-owego:

${\vec {e}}_{\phi }\times {\vec {e}}_{\theta }={\vec {e}}_{r}$

(23.26)

Wektor Poytinga (23.1) przy definicji natężenia pola elektrycznego (23.23) i indukcji pola magnetycznego (23.25), wtedy znając te wielkości pola elektromagnetycznego w próżni pochodzące od dipola elektrycznego, w której ładunek na jego końcach zmienia się harmonicznie, a także w nim płynie prąd harmoniczny, wtedy ten wektor na podstawie tożsamości (23.26) możemy napisać:

${\vec {P}}={{1} \over {\mu _{0}}}\left({\vec {E}}\times {\vec {B}}\right)={{1} \over {\mu _{0}}}\left\{\left[-{{\mu _{0}p_{0}\omega ^{2}} \over {4\pi }}\left({{\sin \phi } \over {r}}\right)\cos \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]\right]\left[-{{\mu _{0}p_{0}\omega ^{2}} \over {4\pi c}}\left({{\sin \phi } \over {r}}\right)\cos \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]\right]\right\}{\vec {e}}_{r}=$
$={{\mu _{0}p_{0}^{2}\omega ^{4}} \over {16\pi ^{2}c}}\left({{\sin ^{2}\phi } \over {r^{2}}}\right)\cos ^{2}\left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]{\vec {e}}_{r}$

(23.27)

Średnia wartość wektora Poytinga względem czasu możemy wyznaczyć z jej wartości chwilowej wedle punktu (23.27) wedle wyglądu:

$\langle {\vec {P}}\rangle ={{\mu _{0}p_{0}^{2}\omega ^{4}} \over {16\pi ^{2}c}}{{\sin ^{2}\phi } \over {r^{2}}}{{1} \over {2}}{\vec {e}}_{r}={{\mu _{0}p_{0}^{2}\omega ^{4}} \over {32\pi ^{2}c}}{{\sin ^{2}\phi } \over {r^{2}}}{\vec {e}}_{r}$

(23.28)

Całkowita moc promieniowania można obliczyć po sferze o promieniu r, można policzyć jako całkę powierzchniową wyrażenia na średni wektor Poytinga napisanej wedle (23.28):

$\langle P\rangle =\int \langle {\vec {P}}\rangle ={{\mu _{0}p_{0}^{2}\omega ^{4}} \over {32\pi ^{2}c}}{{\sin ^{2}\phi } \over {r^{2}}}r^{2}\sin \phi d\phi d\theta ={{\mu _{0}p_{0}^{2}\omega ^{4}} \over {32\pi ^{2}c}}\left(\int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\phi d\phi \right)\int _{0}^{2\pi }d\theta ={{\mu _{0}p_{0}^{2}\omega ^{4}} \over {16\pi c}}\int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\phi d\phi$

(23.29)

Wyznaczmy całkę nieoznaczoną wedle praw analizy, korzystając z metody całkowania przez podstawienie, a później z metody całkowania przez części, w ten sposób możemy obliczyć postać zwartą naszej całki nieoznaczonej.

$\int \sin ^{3}\phi d\phi =\int (1-\cos ^{2}\phi )\sin \phi d\phi ={\begin{Bmatrix}\cos \phi =t\\\sin \phi d\phi =-dt\end{Bmatrix}}=-\int (1-t^{2})dt=-\int dt+\int t^{2}dt=-t+{{1} \over {3}}t^{3}=\;$
$=-\cos \phi +{{1} \over {3}}\cos ^{3}\phi$

(23.30)

Na podstawie już obliczonej całki (23.30) możemy wyznaczyć całkę występującą w wyrażeniu na całkowitą moc wypromieniowaną (23.29), jeśli najpierw policzymy całkę oznaczoną:

$\int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\phi d\phi =\left[-\cos \phi +{{1} \over {3}}\cos ^{3}\phi \right]_{0}^{\pi }=2-{{2} \over {3}}={{6-2} \over {3}}={{4} \over {3}}$

(23.31)

Zatem średnia moc promieniowania dipola elektrycznego (23.29), na podstawie całki oznaczonej (23.31), jest wyrażona wzorem poniżej. Jak się przekonamy, ona jest zależna od częstotliwości kołowej z jaką zmienia się ładunek na końcach tego dipola i od maksymalnej wartości momentu dipolowego p₀ jaką może przyjmować nasz dipol.

$\langle P\rangle ={{\mu _{0}p_{0}^{2}\omega ^{4}} \over {16\pi c}}{{4} \over {3}}={{\mu _{0}p_{0}^{2}\omega ^{4}} \over {12\pi c}}$

(23.32)

Widzimy, że średnia moc promieniowania nie zależy od promienia r, co jest zgodne z zasadą zachowania energii.

Promieniowanie pochodzące od dipola magnetycznego

(Rys. 23.2) Promieniowanie elektromagnetyczne pochodzące od dipola elektrycznego

Niech mamy pętlę jak na rysunku o promieniu b i niech płynie w nim prąd przemienny o częstości kołowej ω o natężeniu natężeniu prądu zależnym od czasu w sposób harmonicznym:

$I(t)=I_{0}\cos(\omega t)\;$

(23.33)

Moment dipolowy dipola magnetycznego definiujemy jako iloczyn powierzchni jaką tworzy okrągły obwód i natężenia prądu napisanego w punkcie (23.33)

${\vec {m}}(t)=\pi b^{2}I(t){\hat {\vec {z}}}=m_{0}\cos(\omega t){\hat {\vec {z}}}\;$

(23.34)

• gdzie maksymalna wartość momentu dipolowego jest opisana wzorem m₀=π b² I₀.

Potencjał wektorowy w odległości R od dipola magnetycznego w czasie t jest opisany na podstawie wzoru ogólnego (21.5) w sposób:

${\vec {A}}({\vec {r}},t)={{\mu _{0}} \over {4\pi }}\oint {{I_{0}\cos \left[\omega \left(t-{{R} \over {c}}\right)\right]} \over {R}}d{\vec {l}}\;$

(23.35)

Załóżmy, że wektor ${\vec {r}}$ jest nad osią x, to potencjał wektorowy ${\vec {A}}$ jest skierowany wzdłuż osi y, bo składowe iskowe redukują się razem z jednej i drugiej strony osi x, bo składowa iskowa dla takiego samego y ma przeciwne zwroty, a więc składowa igrekowa wektora $d{\vec {l}}$ jest:

$(d{\vec {l}})_{y}=dl\cos \theta =bd\theta \cos \phi =b\cos \phi d\phi$

(23.36)

Potencjał wektorowy (23.35), na podstawie obliczeń (23.36) na współrzędną igrekową wektora małego wycinka, w którym płynie prąd o natężeniu (23.33), czyli wielkości $d{\vec {l}}\;$, piszemy:

${\vec {A}}({\vec {r}},t)={{\mu _{0}I_{0}b} \over {4\pi }}{\hat {\vec {y}}}\int _{0}^{2\pi }{{\cos \left[\omega \left(t-{{R} \over {c}}\right)\right]} \over {R}}\cos \theta d\theta$

(23.37)

Według powyższego wzoru można obliczyć odległość od odcinka prądu $d{\vec {l}}$ do punktu, w którym chcemy obliczyć potencjał wektorowy, zatem ta długość R:

$R={\sqrt {r^{2}+b^{2}-2rb\cos \psi }}$

(23.38)

Wektor ${\vec {r}}$ można przedstawić za pomocą składowych we współrzędnych kartezjańskich, a także wektor promienia ${\vec {b}}\;$, w sposobu:

${\vec {r}}=(r\sin \phi ,0,r\cos \phi )$

(23.39)

${\vec {b}}=(b\cos \theta ,b\sin \theta ,0)$

(23.40)

Można policzyć, z definicji iloczynu skalarnego i definicji wektorów ${\vec {r}}$ i ${\vec {b}}$ ich iloczyn skalarny, tzn. wielkości (23.39) i (23.40) wedle:

$rb\cos \psi ={\vec {r}}\cdot {\vec {b}}=rb\sin \phi \sin \theta$

(23.41)

Wielkość R, która jest odległością od dipola, w której wyznaczamy pewne wielkości elektromagnetyczne, czyli (23.38), następnie wykorzystując tożsamość (23.41), tą odległość piszemy jako:

$R={\sqrt {r^{2}+b^{2}-2rb\sin \phi \sin \theta }}$

(23.42)

W naszym przypadku zakładamy, że pętla dipola magnetycznego była mała w porównaniu z r, czyli zachodzi:$b<<r\Rightarrow {{b} \over {r}}<<1$, oczywiste jest, że R w takim przypadku możemy policzyć w sposób przybliżony wykorzystując ostatnio wspomniane związki między promieniem obwodu b a odległością od środka tego obwodu r, zatem na podstawie wspomnianych zależności wielkość (23.42) możemy zapisać jako:

$R=r{\sqrt {1+\left({{b} \over {r}}\right)^{2}-2{{b} \over {r}}\sin \phi \cos \theta }}=\simeq r\left(1-{{1} \over {2}}{{2b} \over {r}}\sin \phi \cos \theta \right)=r\left(1-{{b} \over {r}}\sin \phi \cos \theta \right)$

(23.43)

A odwrotność przybliżonej wielkości napisanej w punkcie (23.43) możemy napisać też w bardziej przybliżony sposób:

${{1} \over {R}}={{1} \over {r\left(1-{{b} \over {r}}\sin \phi \cos \theta \right)}}\simeq {{1} \over {r}}\left(1+{{b} \over {r}}\sin \phi \cos \theta \right)$

(23.44)

Następnym krokiem jest wyznaczenie wielkości poniżej wykorzystując wzór na przybliżoną wartość na R wedle (23.43), zatem dokonajmy tychże obliczeń:

$\cos \left[\omega \left(t-{{R} \over {c}}\right)\right]=\cos \left\{\omega \left[t-{{r} \over {c}}\left(1-{{b} \over {r}}\sin \phi \cos \theta \right)\right]\right\}=\cos \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)+{{\omega b} \over {c}}\sin \phi \cos \theta \right]=$
$=\cos \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]\cos \left({{\omega b} \over {c}}\sin \phi \cos \theta \right)-\sin \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]\sin \left({{\omega b} \over {c}}\sin \phi \cos \theta \right)$

(23.45)

Obierzmy przybliżenie, które zachodzi jako, że promień obwodu kołowego dipola magnetycznego b jest o wiele mniejsza od stosunku wartości prędkości światła c przez częstotliwość ω z jaką zmienia się prąd elektryczny (23.33), czyli: $b<<{{c} \over {\omega }}\Rightarrow {{b\omega } \over {c}}<<1$, zatem można napisać wedle wyglądu:

$\cos \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]\simeq \cos \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]-{{\omega b} \over {c}}\sin \phi \cos \theta \sin \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]$

(23.46)

Wzór na potencjał wektorowy (23.37) możemy napisać stosując wzór na odwrotność małego wycinka obwodu od punktu, w której wyznaczamy pewne wielkości elektromagnetyczne według (23.44), a także ze wzoru (23.45), a do niego stosujemy przybliżenie w postaci (23.46), zatem tą wielkość piszemy:

${\vec {A}}({\vec {r}},t)={{\mu _{0}I_{0}b} \over {4\pi }}{\hat {\vec {y}}}\int _{0}^{2\pi }\left\{\cos \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]-{{\omega b} \over {c}}\sin \phi \cos \theta \sin \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]\right\}{{1} \over {r}}\left(1+{{b} \over {r}}\sin \phi \cos \theta \right)\cos \theta d\theta =$

$={{\mu _{0}I_{0}b} \over {4\pi r}}{\hat {\vec {y}}}\int _{0}^{2\pi }{\Bigg \{}\cos \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]-{{\omega b} \over {c}}\sin \phi \cos \theta \sin \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]+$
$+{{b} \over {r}}\sin \phi \cos \theta \cos \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]-{{b} \over {r}}\sin \phi \cos \theta {{\omega b} \over {c}}\sin \phi \cos \theta \sin \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]{\Bigg \}}\cos \theta d\theta =$

$\simeq {{\mu _{0}I_{0}b} \over {4\pi r}}{\hat {\vec {y}}}\int _{0}^{2\pi }{\Bigg \{}\cos \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]+b\sin \phi \cos \theta \left(-{{\omega } \over {c}}\sin \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]+{{1} \over {r}}\cos \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]\right){\Bigg \}}\cos \theta d\theta$

(23.47)

Ponieważ zachodzą związki całkowe poniżej, które możemy wyprowadzić poniżej, które będą nam potrzebne do dalszych obliczeń.

$\int _{0}^{2\pi }\cos \theta d\theta =\sin \theta |_{0}^{2\pi }=0$

(23.48)

$\int _{0}^{2\pi }\cos ^{2}\theta d\theta =\int _{0}^{2\pi }{{1} \over {2}}(1+\cos 2\phi )d\phi =\pi$

(23.49)

Wzór na potencjał wektorowy ostatnio napisanej (23.47), przy wyznaczonych w całkach (23.48) i (23.49), jest wedle wyglądu:

${\vec {A}}({\vec {r}},t)={{\mu _{0}m_{0}} \over {4\pi }}\left({{\sin \phi } \over {r}}\right)\left\{{{1} \over {r}}\cos \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]-{{\omega } \over {c}}\sin \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]\right\}{\hat {\vec {y}}}$

(23.50)

W układzie, gdy ${\vec {r}}$ jest nad osią x, można przekształcić do układu, gdy tak nie jest, w tym przypadku wektor potencjału wektorowego jest równoległy do wersora ${\vec {e}}_{\theta }$ sferycznego układu współrzędnych, zatem nasz potencjał wektorowy dla potencjału wektorowego (23.50) jest równy:

${\vec {A}}(r,\phi ,t)={{\mu _{0}m_{0}} \over {4\pi }}\left({{\sin \phi } \over {r}}\right)\left\{{{1} \over {r}}\cos \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]-{{\omega } \over {c}}\sin \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]\right\}{\vec {e}}_{\theta }$

(23.51)

Jeśli zastosujmy następne przybliżenie, tzn.:$r>>{{c} \over {\omega }}\Rightarrow {{1} \over {r}}<<{{\omega } \over {c}}$, zatem wzór na potencjał wektorowy (23.51) jest przedstawiony:

${\vec {A}}(r,\phi ,t)=-{{\mu _{0}m_{0}\omega } \over {4\pi c}}\left({{\sin \phi } \over {r}}\right)\sin \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]{\vec {e}}_{\theta }$

(23.52)

Następnym krokiem jest obliczenie natężenia pola elektrycznego w określonym punkcie dla dipola magnetycznego i należy posłużyć się wnioskiem, że potencjał skalarny jest równy zero, a więc jego dywergencja też jest równa zero, zatem jego gradient. Skorzystamy ze wzoru na natężenie pola elektrycznego (20.4), zatem wyznaczmy tą wielkość:

${\vec {E}}=-{{\partial {\vec {A}}} \over {\partial t}}={{\mu _{0}m_{0}\omega ^{2}} \over {4\pi c}}\left({{\sin \phi } \over {r}}\right)\cos \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]{\vec {e}}_{\theta }$

(23.53)

Jako ostatni krok jest obliczenie indukcji magnetycznej znając potencjał wektorowy (23.52) ze wzoru (20.1), zatem do dzieła:

${\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}}={{1} \over {\sin \phi }}\left[{{\partial } \over {\partial \phi }}\left(\sin \phi A_{\theta }\right)-{{\partial A_{\phi }} \over {\partial \theta }}\right]{\vec {e}}_{r}+{{1} \over {r}}\left[{{1} \over {\sin \phi }}{{\partial A_{r}} \over {\partial \theta }}-{{\partial (rA_{\theta })} \over {\partial r}}\right]{\vec {e}}_{\phi }={{1} \over {r\sin \phi }}{{\partial \left(\sin \phi A_{\theta }\right)} \over {\partial \phi }}{\vec {e}}_{r}-{{1} \over {r}}{{\partial } \over {\partial r}}(rA_{\theta }){\vec {e}}_{\phi }=$
$=-{{\mu _{0}m_{0}\omega } \over {4\pi cr^{2}\sin \phi }}\sin \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]2\sin \phi \cos \phi {\vec {e}}_{r}-{{\mu _{0}m_{0}\omega ^{2}} \over {4\pi c^{2}}}\left({{\sin \phi } \over {r}}\right)\cos \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]{\vec {e}}_{\phi }\simeq \;$
$\simeq -{{\mu _{0}m_{0}\omega ^{2}} \over {4\pi c^{2}}}\left({{\sin \phi } \over {r}}\right)\cos \left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]{\vec {e}}_{\phi }$

(23.54)

Ale mamy odległość r od środka dipola magnetycznego spełniającego warunek $r>>{{c} \over {\omega }}$, wtedy można pominąć współrzędną radialną wektora indukcji magnetycznej względem współrzędnej φ-ej.

Wiedząc, że zachodzi związek napisanej w punkcie (23.26) w układzie kulistym, wtedy wektor Poytinga (23.1), na podstawie definicji wektora natężenia pola elektrycznego (23.53) i wektora indukcji pola magnetycznego (23.54), jest równy:

${\vec {P}}={{1} \over {\mu _{0}}}({\vec {E}}\times {\vec {B}})={{1} \over {\mu _{0}}}{{\mu _{0}^{2}m_{0}^{2}\omega ^{4}} \over {16\pi ^{2}c^{3}}}{{\sin ^{2}\phi } \over {r}}\cos ^{2}\left[\omega \left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]{\vec {e}}_{r}$

(23.55)

Średnia wartość wektora Poytinga policzonej w punkcie (23.55) względem czasu jest wyrysowana:

$\langle {\vec {P}}\rangle ={{\mu _{0}m_{0}^{2}\omega ^{4}} \over {32\pi ^{2}c^{3}}}{{\sin ^{2}\phi } \over {r^{2}}}{\vec {e}}_{r}$

(23.56)

Średnia moc promieniowania wypromieniowana z dipola magnetycznego, liczymy wychodząc od wzoru (23.56), korzystając przy tym z definicji całki oznaczonej obliczonej wcześniej (23.31), piszemy według jego definicji:

$P=\oint \langle {\vec {P}}\rangle d{\vec {S}}={{\mu _{0}m_{0}^{2}\omega ^{4}} \over {32\pi ^{2}c^{3}}}\int _{0}^{2\pi }\left(\int _{0}^{\pi }{{\sin ^{2}\phi } \over {r^{2}}}r^{2}\sin \phi d\phi \right)d\theta ={{\mu _{0}m_{0}^{2}\omega ^{4}} \over {32\pi ^{2}c^{3}}}2\pi \int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\phi d\phi ={{\mu _{0}m_{0}^{2}\omega ^{4}} \over {16\pi c^{3}}}{{4} \over {3}}={{\mu _{0}m_{0}^{2}\omega ^{4}} \over {12\pi c^{3}}}$

(23.57)

Zatem średnia moc promieniowania dipola magnetycznego (23.57), jak się przekonamy, ona jest zależna od częstotliwości kołowej z jaką zmienia się prąd w tym dipolu i od maksymalnej wartości momentu magnetycznego m₀ jaką może przyjmować nasz dipol.

Promieniowanie elektromagnetyczne z dowolnego źródła

(Rys. 23.3) Promieniowanie elektromagnetyczne od dowolnego źródła- składanie wektorów.

Potencjał skalarny w odległości ${\vec {r}}$ od układu współrzędnych jest opisany wzorem (21.4) dla przejrzystości wykładu:

$\varphi ({\vec {r}},t)={{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}\int {{\rho ({\vec {r}}^{'},t-{{R} \over {c}})} \over {R}}dV$

(23.58)

• gdzie:
• ${\vec {r}}^{'}$ jest to odległość danego punktu źródła od początku układu odniesienia,
• ${\vec {R}}$ jest to odległość danego punktu źródła do punktu, w którym należy obliczyć potencjał skalarny.

Z twierdzenia o składaniu wektorów według rysunku obok można napisać wzór:

${\vec {r}}={\vec {r}}^{'}+{\vec {R}}\Rightarrow {\vec {R}}={\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}$

(23.59)

Wykorzystując definicję iloczynu skalarnego, wtedy równanie (23.59) możemy podnieść do kwadratu obie jego strony, wtedy otrzymujemy tożsamość wynikową poniżej, z którego wyznaczymy wyrażenie na sam skalar R:

$R^{2}=({\vec {r}}-{\vec {r}}^{'})^{2}=r^{2}+r^{'2}-2{\vec {r}}\cdot {\vec {r}}^{'}\Rightarrow R={\sqrt {r^{2}+r^{'2}-2{\vec {r}}\cdot {\vec {r}}^{'}}}$

(23.60)

Dokonajmy przybliżenia wielkości R (23.60), jeśli punkt w którym liczymy potencjał skalarny jest daleko od źródła w porównaniu z rozmiarami tego ciała, czyli:$r^{'}<<r\Rightarrow {{r^{'}} \over {r}}<<1$, dochodzimy do wniosku:

$R=r{\sqrt {1+\left({{r^{'}} \over {r}}\right)^{2}-2{{{\vec {r}}\cdot {\vec {r}}^{'}} \over {r^{2}}}}}\simeq r\left(1-{{{\vec {r}}\cdot {\vec {r}}^{'}} \over {r^{2}}}\right)$

(23.61)

Można teraz otrzymać odwrotność odległości wielkości R zdefiniowanej w punkcie (23.61) dokonując odpowiednich przybliżeń:

${{1} \over {R}}={{1} \over {\left(1-{{{\vec {r}}\cdot {\vec {r}}^{'}} \over {r^{2}}}\right)}}\simeq {{1} \over {r}}\left(1+{{{\vec {r}}\cdot {\vec {r}}^{'}} \over {r^{2}}}\right)$

(23.62)

Również gęstość objętościową ładunku elektrycznego ρ liczoną dla danego położenia względem czasu opóźnionego (21.1) możemy rozłożyć w szereg Taylora do wyrazów drugiego rzędu włącznie, a dalsze wyrazy oznaczając wielokropkami, co piszemy jako:

$\rho \left({\vec {r}}^{'},t-{{R} \over {c}}\right)\simeq \rho \left[{\vec {r}}^{'},t-{{r} \over {c}}\left(1-{{{\vec {r}}^{'}\cdot {\vec {r}}} \over {r^{2}}}\right)\right]=\rho \left({\vec {r}}^{'},t-{{r} \over {c}}+{{{\hat {\vec {r}}}\cdot {\vec {r}}} \over {c}}\right)\simeq \rho ({\vec {r}}^{'},t_{0})+{\dot {\rho }}({\vec {r}}^{'},t_{0})\left({{{\hat {\vec {r}}}\cdot {\vec {r}}^{'}} \over {c}}\right)+\;$
$+{{1} \over {2!}}{\ddot {\rho }}\left({{{\hat {\vec {r}}}\cdot {\vec {r}}^{'}} \over {c}}\right)^{2}+...$

(23.63)

• gdzie $t_{0}=t-{{r} \over {c}}$.

Całkowity potencjał skalarny (23.58) możemy wyznaczyć, korzystając ze wzoru na gęstość objętościową ładunku ρ (23.63) obcinając w nim wyrazy kwadratowe i wyższe, a także wykorzystując odwrotność R, czyli (23.62), w takim przypadku dostajemy:

$\varphi ({\vec {r}}^{'},t)\simeq {{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}\int \left[\rho +{\dot {\rho }}{{{\hat {\vec {r}}}\cdot {\vec {r}}^{'}} \over {c}}\right]{{1} \over {r}}\left(1+{{{\vec {r}}\cdot {\vec {r}}^{'}} \over {r^{2}}}\right)dV={{1} \over {4\pi \epsilon _{0}r}}\int \left[\rho +\rho {{{\hat {\vec {r}}}\cdot {\vec {r}}^{'}} \over {r}}+{\dot {\rho }}{{{\hat {\vec {r}}}\cdot {\vec {r}}^{'}} \over {c}}+{\dot {\rho }}{{\left({\hat {\vec {r}}}\cdot {\vec {r}}^{'}\right)^{2}} \over {cr}}\right]dV\simeq \;$
$\simeq {{1} \over {4\pi \epsilon _{0}r}}\left[\int \rho dV+{{\hat {\vec {r}}} \over {r}}\int {\vec {r}}^{'}\rho dV+{{\hat {\vec {r}}} \over {c}}{{d} \over {dt}}\int {\vec {r}}^{'}\rho dV\right]$

(23.64)

Ponieważ wiadomo, że całkowity ładunek Q jest całką objętościową względem funkcji gęstości objętościowej $Q=\int \rho dV$ oraz że dipolowy moment elektryczny jest napisany wzorem: ${\vec {p}}=\int {\vec {r}}^{'}\rho dV$, to potencjał skalarny (23.64) w takim przypadku piszemy:

$\varphi ({\vec {r}},t)={{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}\left[{{Q} \over {r}}+{{{\hat {\vec {r}}}\cdot {\vec {p}}(t_{0})} \over {r^{2}}}+{{{\hat {\vec {r}}}\cdot {\dot {\vec {p}}}(t_{0})} \over {cr}}\right]$

(23.65)

Gdy nasze ciało nie ma momentu dipolowego, to powyższe równania przechodzi w znane równanie z elektrostatyki, tzn.:

$\varphi ({\vec {r}},t)={{Q} \over {4\pi \epsilon _{0}r}}$

Następnym następnym krokiem jest policzenie potencjału wektorowego, co w postaci dokładnej jest napisane według wzoru (21.5), co przepiszemy tutaj go dla przejrzystości wykładu:

${\vec {A}}({\vec {r}},t)={{\mu _{0}} \over {4\pi }}\int {{{\vec {J}}\left({\vec {r}}^{'},t-{{R} \over {c}}\right)} \over {R}}dV$

(23.66)

Można powiedzieć, że gęstość objętościowa prądu elektrycznego możemy rozłożyć w szereg Taylora z dokładnością do conaj wyżej pierwszego rzędu wyrazów w nim występujący, co piszemy:

${\vec {J}}\left({\vec {r}}^{'},t-{{R} \over {c}}\right)\simeq {\vec {J}}({\vec {r}}^{'},t_{0})+{\dot {\vec {J}}}({\vec {r}}^{'},t_{0})\left({{{\hat {\vec {r}}}\cdot {\vec {r}}^{'}} \over {c}}\right)$

(23.67)

To można powiedzieć, że wzór na potencjał wektorowy (23.66), przy zastosowanym przybliżeniu (23.67), a także z przybliżonego wzoru na odwrotność wielkości R, czyli (23.62), piszemy jako:

${\vec {A}}({\vec {r}},t)={{\mu _{0}} \over {4\pi r}}\left[\int {\vec {J}}({\vec {r}}^{'},t_{0})dV+\int {{{\hat {\vec {r}}}\cdot {\vec {r}}^{'}} \over {r}}{\vec {J}}({\vec {r}}^{'},t_{0})dV+\int {{{\hat {\vec {r}}}\cdot {\vec {r}}^{'}} \over {c}}{\dot {\vec {J}}}({\vec {r}}^{'},t_{0})dV\right]=$
$={{\mu _{0}} \over {4\pi r}}\left[\int {\vec {J}}({\vec {r}}^{'},t_{0})dV+{{1} \over {r}}\int {\hat {\vec {r}}}\cdot {\vec {r}}^{'}{\vec {J}}({\vec {r}}^{'},t_{0})dV+{{1} \over {c}}{{d} \over {dt}}\int {\hat {\vec {r}}}\cdot {\vec {r}}^{'}{\vec {J}}({\vec {r}}^{'},t_{0})dV\right]$

(23.68)

Ponieważ w danym punkcie ${\vec {r}}^{'}$, w źródle mamy ściśle określoną gęstość prądu oraz jego pochodną, a ponieważ mamy do czynienia z ciałem bardzo małym, to w wyrażeniu na potencjał wektorowy możemy pominąć dwa kolejne ostatnie wyrazy, wtedy nasz wzór przyjmuje postać:

${\vec {A}}({\vec {r}}^{'},t)\simeq {{\mu _{0}} \over {4\pi r}}\int {\vec {J}}({\vec {r}},t_{0})dV$

(23.69)

W rozdziale o elektrodynamice Maxwella udowodniliśmy, że całkowita gęstość prądu objętościowego ładunków jest równa sumie gęstości objętościowego ładunków swobodnych, rotacji namagnesowania i pochodnej cząstkowej względem czasu polaryzacji elektrycznej, co piszemy wzorem (15.31)

A ponieważ rozpatrujemy magnetycznie ciało o bardzo małych rozmiarach względem odległości od punktu, w którym liczymy potencjał wektorowy, zatem polaryzacja magnetyczna ${\vec {M}}$ i prąd swobodny są bardzo małe, zatem całkowita gęstość objętościowa prądu elektrycznego jest pochodną polaryzacji elektrycznej względem czasu:

${\vec {J}}={{\partial {\vec {P}}} \over {\partial t}}$

(23.70)

Nasz przybliżony potencjał wektorowy (23.69) na podstawie wzoru na gęstość prądu elektrycznego dla naszego bardzo małego ciała (23.70) jest zapisana:

${\vec {A}}({\vec {r}},t)={{\mu _{0}} \over {4\pi r}}\int {{\partial {\vec {P}}(t_{0})} \over {\partial t}}dV={{\mu _{0}} \over {4\pi r}}{{d} \over {dt}}\int {\vec {P}}(t_{0})dV={{\mu _{0}} \over {4\pi r}}{{d} \over {dt}}{\vec {p}}(t_{0})={{\mu _{0}} \over {4\pi }}{{{\dot {\vec {p}}}(t_{0})} \over {r}}$

(23.71)

Z dokładnością do rzędu ${{1} \over {r}}$, przybliżony potencjał skalarny (23.65) można zapisać jako:

$\varphi ({\vec {r}},t)\simeq {{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}\left[{{Q} \over {r}}+{{{\hat {\vec {r}}}\cdot {\dot {\vec {p}}}(t_{0})} \over {rc}}\right]$

(23.72)

Napiszmy teraz gradient potencjału skalarnego (23.72) jako jedna z wielkości pomocniczych w celu wyznaczenia natężenia pola elektrycznego pochodzącej od naszego ciała:

$\nabla \varphi \simeq \nabla {\vec {k}}_{i}{{\partial } \over {\partial x_{i}}}\varphi ={{\partial \varphi } \over {\partial t_{0}}}{\vec {k}}_{i}{{\partial t_{0}} \over {\partial x_{i}}}={{\partial \varphi } \over {\partial t_{0}}}\nabla t_{0}={{1} \over {4\pi \epsilon _{0}c}}{{{\hat {\vec {r}}}\cdot {\ddot {\vec {p}}}(t_{0})} \over {rc}}\left(-{{1} \over {c}}\nabla R\right)={{1} \over {4\pi \epsilon _{0}c^{2}}}{{{\hat {\vec {r}}}\cdot {\ddot {\vec {p}}}(t_{0})} \over {r}}{\hat {\vec {r}}}$

(23.73)

I kolejno możemy policzyć pochodną cząstkową względem czasu wielkości, która jest potencjałem wektorowym napisanej dla naszego rozważanego ciała w punkcie (23.71), zatem:

${{\partial {\vec {A}}} \over {\partial t}}={{\partial } \over {\partial t}}\left({{\mu _{0}} \over {4\pi }}{{{\dot {p}}(t_{0})} \over {r}}\right)={{\mu _{0}} \over {4\pi }}{{{\ddot {\vec {p}}}(t_{0})} \over {r}}$

(23.74)

W końcu możemy wyznaczyć natężenie pola elektrycznego wychodząc z ogólnego wzoru panującego w elektrodynamice klasycznej (20.4) wykorzystując już obliczone wyrażenia na gradient potencjału skalarnego (23.73) i pochodnej cząstkowej względem czasu potencjału wektorowego (23.74), zatem do dzieła:

${\vec {E}}=-\nabla \varphi -{{\partial {\vec {A}}} \over {\partial t}}={{1} \over {4\pi \epsilon _{0}c^{2}}}{{{\hat {\vec {r}}}\cdot {\ddot {\vec {p}}}(t_{0})} \over {r}}{\hat {\vec {r}}}-{{\mu _{0}} \over {4\pi }}{{{\ddot {\vec {p}}}(t_{0})} \over {r}}={{\mu _{0}} \over {4\pi r}}\left[\left({\hat {\vec {r}}}\cdot {\ddot {p}}(t_{0})\right){\hat {\vec {r}}}-{\ddot {p}}(t_{0})\left({\hat {\vec {r}}}\cdot {\hat {\vec {r}}}\right)\right]=$
$={{\mu _{0}} \over {4\pi r}}\left[{\hat {\vec {r}}}\times \left({\hat {\vec {r}}}\times {\ddot {p}}\right)\right]$

(23.75)

Kolejnym krokiem jest policzenie indukcji pola magnetycznego, korzystając ze wzoru ogólnego (20.1) znając dla naszego przypadku policzony potencjał wektorowy (23.71):

${\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}}={\vec {k}}_{i}\epsilon _{ijk}{{\partial } \over {\partial x_{j}}}A_{k}={\vec {k}}_{i}\epsilon _{ijk}{{\partial t_{0}} \over {\partial x_{i}}}{{\partial A_{k}} \over {\partial t_{0}}}=\left(\nabla t_{0}\right)\times {{\partial {\vec {A}}} \over {\partial t_{0}}}=-{{\hat {\vec {r}}} \over {c}}\times {{\mu _{0}} \over {4\pi }}{{{\ddot {p}}(t_{0})} \over {r}}=-{{\mu _{0}} \over {4\pi rc}}\left[{\hat {\vec {r}}}\times {\ddot {p}}(t_{0})\right]$

(23.76)

Ostatecznie dochodzimy do wniosku, że natężenie pola elektrycznego i indukcja pola magnetycznego dla ciała bardzo małego jest powtórzeniem wzorów, tzn. (23.75) i (23.76).

${\vec {E}}={{\mu _{0}} \over {4\pi r}}\left[{\hat {\vec {r}}}\times \left({\hat {\vec {r}}}\times {\ddot {p}}\right)\right]$

(23.77)

${\vec {B}}=-{{\mu _{0}} \over {4\pi rc}}\left[{\hat {\vec {r}}}\times {\ddot {p}}(t_{0})\right]$

(23.78)

Używając współrzędnych kulistych można zapisać wyrażenia:

${\hat {\vec {r}}}\times {\ddot {p}}=-{\ddot {p}}\sin \phi {\vec {e}}_{\theta }$

(23.79)

${\hat {\vec {r}}}\times \left({\hat {\vec {r}}}\times {\ddot {p}}\right)=-{\ddot {p}}\sin \phi {\hat {\vec {r}}}\times {\vec {e}}_{\theta }={\ddot {p}}\sin \phi {\vec {e}}_{\phi }$

(23.80)

A zatem natężenie pola elektrycznego (23.77) i magnetycznego (23.78) we współrzędnych sferycznych są przedstawione:

${\vec {E}}(r,\phi ,t)\simeq {{\mu _{0}{\ddot {p}}(t_{0})} \over {4\pi }}\left({{\sin \theta } \over {r}}\right){\vec {e}}_{\phi }$

(23.81)

${\vec {B}}(r,\phi ,t)\simeq {{\mu _{0}{\ddot {p}}(t_{0})} \over {4\pi c}}\left({{\sin \phi } \over {r}}\right){\vec {e}}_{\theta }$

(23.82)

Ostatnim krokiem jest policzenie wektora Poytinga (23.1) wykorzystując wzory na natężenie pola elektrycznego (23.81) i wzór a indukcję pola magnetycznego (23.82):

${\vec {P}}={{1} \over {\mu _{0}}}\left({\vec {E}}\times {\vec {B}}\right)={{1} \over {\mu _{0}}}{{\mu _{0}^{2}{\ddot {p}}^{2}(t_{0})} \over {16\pi ^{2}}}\left({{\sin ^{2}\theta } \over {r^{2}}}\right){\vec {e}}_{r}={{\mu _{0}{\ddot {p}}^{2}(t_{0})} \over {16\pi ^{2}}}\left({{\sin ^{2}\theta } \over {r^{2}}}\right){\vec {e}}_{r}$

(23.83)

Widzimy, że pole elektryczne i magnetyczne są do siebie prostopadłe i są poprzeczne do kierunku rozchodzeni energii promieniowania (do wektora Poytinga).

Całkowita moc promieniowania można policzyć jako całkę powierzchnią po powierzchni zamkniętej wielkości (23.83), wiedząc że mamy już policzoną całkę oznaczoną (23.31).

$P=\oint {\vec {P}}d{\vec {S}}={{\mu _{0}{\ddot {p}}^{2}} \over {16\pi ^{2}c}}\int _{S}{{\sin ^{2}\phi } \over {r^{2}}}r^{2}\sin \phi d\phi d\theta ={{\mu _{0}{\ddot {p}}^{2}} \over {16\pi ^{2}c}}\int _{S}\sin ^{3}\phi d\phi d\theta ={{\mu _{0}{\ddot {p}}^{2}} \over {16\pi ^{2}c}}2\pi {{4} \over {3}}={{\mu _{0}{\ddot {p}}} \over {6\pi c}}$

(23.84)