Elektrodynamika klasyczna/Wektor indukcji magnetycznej

Wektor indukcji magnetycznej

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Poprzednio zdefiniowaliśmy wektor indukcji magnetycznej, ale nie podaliśmy jak je liczyć według jakiego wzoru, co uczynimy poniżej.

Prawo Biota-Savarta

Załóżmy, że mamy stałe prądy, wtedy ten prąd wytwarza ogólnie w nieliniowym przewodniku stałe pola magnetyczne wokół niego. Obliczmy jaki przyczynek wnosi mały przycinek :$d\overrightarrow{B}$, do pola magnetycznego wokół przewodnika w ściśle określonym położeniu. Pole magnetyczne liniowego prądu stałego jest określone przez prawo Biota-Savarta napisana przez:

$\overrightarrow{B}(\overrightarrow{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }I\int \frac{d\overrightarrow{l}\times \hat{\overrightarrow{R}}}{R^2}$

(9.1)

• gdzie R jest to odległość odcinka $d\overrightarrow{l}$ do punktu, w którym liczymy indukcję pola magnetycznego pochodzącą od nieskończenie małych przycinków o długości dl, który to przyczynek ma zwrot zgodny z kierunkiem płynięcia prądu $d\overrightarrow{l}$ do pola magnetycznego.
• I- natężenie prądu stałego w przewodniku
• μ₀ jest to przenikalność magnetyczna próżni równą wartości: $4\pi \cdot 10^{-7}\frac{N}{A^2}$.

Prawo Biota-Savarte zależne od prędkości źródła pola magnetycznego

Mając pierwotny wzór na indukcję pola elektrycznego nieskończonego przewodnika z prądem, w którym płynie prąd o natężeniu I, wtedy wyprowadźmy wzór jakie jest pole magnetyczne wytwarzane przez ładunek q, poruszający się z prędkością $\overrightarrow{v}$:

$\overrightarrow{B}(\overrightarrow{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{dq}{dt}\frac{d\overrightarrow{l}\times \hat{\overrightarrow{R}}}{R^2}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int dq\frac{\overrightarrow{v}\times \hat{\overrightarrow{R}}}{R^2}$

(9.2)

Powyższym prawie wektor indukcji magnetycznej wyznaczamy dla punktu ściśle określonego pochodzącego od ruchu każdego ładunku dq pędzącego z prędkościami $\overrightarrow{v}$ znajdującego się w ogólności w nieskończonym przewodniku, który na przykład może nie być liniowy. Jeśli mamy mały i punktowy ładunek q, który pędzi z prędkością $\overrightarrow{v}$, to wytwarzane przez niego pole magnetyczne w danym punkcie według wzoru (9.2) w odległości od niego o wektor $\overrightarrow{R}$ przedstawia się:

$\overrightarrow{B}(\overrightarrow{R})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{q\overrightarrow{v}\times \hat{\overrightarrow{R}}}{R^2}$

(9.3)

Według tego wzoru, każdy ładunek pędzący z prędkością $\overrightarrow{v}$ wytwarza wokół siebie pole magnetyczne, które wyznaczamy dla każdego punktu według ostatniego wzoru.

Prawo Biota-Savarte dla prądów powierzchniowych

Prawo Biota-Savarte dla prądów powierzchniowych, mając definicję gęstości powierzchniowej prądu, wtedy wzór na wektor indukcji pola magnetycznego wytwarzane przez nieskończony przewodnik z prądem (9.1), jest napisany wedle:

$\overrightarrow{B}(\overrightarrow{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int I\frac{d\overrightarrow{l}\times \hat{\overrightarrow{R}}}{R^2}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int Ka\frac{d\overrightarrow{l}\times \hat{\overrightarrow{R}}}{R^2}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{\overrightarrow{K}\times \overrightarrow{R}}{R^3}dS$

(9.4)

Zatem mając wzór (9.4), który jest w formie całkowej w zależności od gęstości prądu powierzchniowego wytwarzanego przez daną cząstkę powierzchni dS, w której płynie prąd powierzchniowy, a ich całka daje całkowite pole magnetyczne o indukcji $\overrightarrow{B}$ wytwarzaną przez daną powierzchnię, w której płyną pewne prądy.

Prawo Biota-Savarte dla prądów objętościowych

Prawo Biota-Savarte dla prądów objętościowych piszemy, znając definicję gęstości objętościowej prądu (8.6), wtedy wzór (9.1) na całkowity wektor indukcji pola magnetycznego w danym punkcie zapisujemy:

$\overrightarrow{B}(\overrightarrow{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int I\frac{d\overrightarrow{l}\times \hat{\overrightarrow{R}}}{R^2}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int JS\frac{d\overrightarrow{l}\times \hat{\overrightarrow{R}}}{R^2}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{\overrightarrow{J}\times \hat{\overrightarrow{R}}}{R^2}dV$

(9.5)

Mając wzór (9.5) wektor indukcji pola magnetycznego jest całką po objętości, w której w danym punkcie płynie prąd o gęstości prądu $\overrightarrow{J}$ i oddalonym od punktu, w którym wyznaczamy wektor indukcji pola magnetycznego o wektor $\overrightarrow{R}$.

Różniczkowe prawo Gaussa dla pola magnetostatycznego

Wyznaczmy wyrażenie na dywergencję pola magnetycznego $\overrightarrow{B}$ w danym punkcie przestrzeni wytwarzanej przez nieskończony przewodnik z prądem wedle równania (9.1), piszemy ją mając w całce pewne wielkości zależne od przewodnika, które oznaczać je będziemy primami, tzn. gęstość prądu i elementarną objętość:

$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{B}=\frac{1}{4\pi }{\int }_V\mathrm{\nabla }({\overrightarrow{J}}^{\text{'}}\times \frac{\hat{\overrightarrow{R}}}{R^2})d{V}^{\text{'}}=\frac{1}{4\pi }{\int }_V[\frac{\hat{\overrightarrow{R}}}{R^2}(\mathrm{\nabla }\times {\overrightarrow{J}}^{\text{'}})-{\overrightarrow{J}}^{\text{'}}(\mathrm{\nabla }\times \frac{\hat{\overrightarrow{R}}}{R^2})]d{V}^{\text{'}}$

(9.6)

Wyrażenie $\mathrm{\nabla }\times {\overrightarrow{J}}^{\text{'}}$ jest równe zero, ponieważ różniczkujemy po współrzędnych nienależących do wektora gęstości prądu elektrycznego płynącego w danym punkcie. Zatem na podstawie powyższych wywodów i z obliczeń (9.6) i tożsamości (2.20) dostajemy wzór na prawo Gaussa, która jest dywergencją pola magnetycznego w danym punkcie, która jest równa zero.

$\mathrm{div}\overrightarrow{B}=0$

(9.7)

Jest to różniczkowe prawo Gaussa dla magnetostatyki.

Całkowe prawo Gausa dla pola magnetostatycznego

Przecałkujmy obustronnie różniczkowe prawo Gaussa, w lewej jego strony zamieńmy całkowanie po objętości, którą ogranicza pewna zamknięta powierzchnia według twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa zamieniając na całkowanie po tej powierzchni:

${\int }_V\mathrm{div}\overrightarrow{B}dV=0\Rightarrow {\int }_V\mathrm{\nabla }\overrightarrow{B}dV=0\Rightarrow {\int }_S\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{S}=0$

(9.8)

Zatem na podstawie obliczeń (9.8) całka indukcji pola magnetycznego po powierzchni zamkniętej jest równa zero, co znaczy, że pole magnetyczne jest bezźródłowe.

$0={\int }_S\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{S}$

(9.9)

Różniczkowe prawo Stokesa dla pola magnetostatycznego

Wyznaczmy rotację pola magnetycznego wytwarzanej przez nieskończenie duży przewodnik z prądem i oznaczając zmienne zależne primami, które są to tzn. gęstość prądu i infinitezymalna objętość, wtedy korzystając z prawa Biota-Savarte na wektor indukcji pola magnetycznego pochodzącego od tego przewodnika:

$\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\int }_V\mathrm{\nabla }\times ({\overrightarrow{J}}^{\text{'}}\times \frac{\hat{\overrightarrow{R}}}{R^2})d{V}^{\text{'}}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\int }_V{\overrightarrow{J}}^{\text{'}}\left(\mathrm{\nabla }\frac{\hat{\overrightarrow{R}}}{R^2}\right)d{V}^{\text{'}}-\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\int }_V\left({\overrightarrow{J}}^{\text{'}}\mathrm{\nabla }\right)\frac{\hat{\overrightarrow{R}}}{R^2}d{V}^{\text{'}}$

(9.10)

Aby sprawdzić, czy drugi wyraz znika w (9.10) policzmy wyrażenie występujące jako drugi wyraz wspomnianym wyrażeniu:

${\int }_V\left(J^{\text{'}}\mathrm{\nabla }\right)\frac{\hat{\overrightarrow{R}}}{R^2}d{V}^{\text{'}}={\int }_V\left(J_i^{\text{'}}{\mathrm{\nabla }}_i\left({\overrightarrow{k}}_j\frac{{\hat{R}}_j}{R^2}\right)\right)d{V}^{\text{'}}={\int }_V{\overrightarrow{k}}_j\left(J_i^{\text{'}}{\mathrm{\nabla }}_i\left(\frac{{\hat{R}}_j}{R^2}\right)\right)d{V}^{\text{'}}=$
$={\overrightarrow{k}}_j({\int }_V{\mathrm{\nabla }}_i\left(J_i^{\text{'}}\frac{{\hat{R}}_j}{R^2}\right)d{V}^{\text{'}}-{\int }_V\frac{{\hat{R}}_j}{R^2}{\mathrm{\nabla }}_i{J}_i^{\text{'}}dV)$

(9.11)

Drugi wyraz w (9.11) znika, ponieważ różniczkowanie gęstości prądu elektrycznego jest po innych zmiennych niż ona zależy. Dla pierwszego wyrazy wspomnianym równaniu zapisujemy je wedle sposobu:

${\int }_V{\mathrm{\nabla }}_i{J}_i^{\text{'}}\frac{{\hat{R}}_j}{R^2}d{V}^{\text{'}}={\int }_V\mathrm{\nabla }\left(J\frac{{\hat{R}}_j}{R^2}\right)dV={\int }_S\frac{J{R}_j}{R^3}d\overrightarrow{S}$

(9.12)

Określmy powierzchnię S na tyle dużą, w (9.12) tak by ona zawierała wszystkie ładunki i prądy wewnątrz tej powierzchni ale nie na niej, wtedy na tej powierzchni gęstość prądu $\overrightarrow{J}$ jest równa zero. A więc na podstawie powyższych rozważań i z tożsamości (2.14) znanego z wiadomości o dystrybuantach, rotacja indukcji pola magnetycznego (9.10) jest równa prawej stronie poniższej równości:

$\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\int }_V\overrightarrow{J}4\pi {\delta }^3\left(\overrightarrow{R}\right)d{V}^{\text{'}}\Rightarrow \mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{B}={\int }_V{\mu }_0\overrightarrow{J}{\delta }^3\left(\overrightarrow{R}\right)d{V}^{\text{'}}\Rightarrow \mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{B}={\mu }_0\overrightarrow{J}$

(9.13)

Ostatecznie różniczkowe prawo Stokesa mówi, że rotacja indukcji pola magnetycznego w danym punkcie jest równa gęstości prądu panującego w tymże punkcie pomnożona przez przenikalność magnetyczną próżni:

$\mathrm{rot}\overrightarrow{B}={\mu }_0\overrightarrow{J}$

(9.14)

Całkowe prawo Stokesa dla pola magnetostatycznego

Przeprowadźmy obustronne całkowanie po pewnej powierzchni różniczkowego prawa Stokesa (9.14), którego ogranicza pewny zamknięty kontur, korzystając z twierdzenia Stokesa dla jego lewej strony i z definicji gęstości prądu elektrycznego (8.6) jako pochodną malutkiego natężenia prądu elektrycznego płynącego przez malutką powierzchnię, przez którą płynie ten prąd i zwrocie zgodnym z kierunkiem płynięcia rozważanego prądu:

${\int }_S\mathrm{rot}\overrightarrow{B}d\overrightarrow{S}={\mu }_0\int \overrightarrow{J}d\overrightarrow{S}\Rightarrow {\oint }_l\overrightarrow{B}d\overrightarrow{l}={\mu }_0{\int }_{S}dI\Rightarrow {\oint }_l\overrightarrow{B}d\overrightarrow{l}={\mu }_{0}I$

(9.15)

• gdzie:$I=\sum _{i=1}^N{I}_i$ jest to natężenie prądu elektrycznego płynącego przez pewną powierzchnię, którą ogranicza ściśle określony kontur, jest ona sumą wszystkich prądów we wszystkich przewodnikach spełniającego te dysputy.