Elektrodynamika klasyczna/Wektor indukcji magnetycznej

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Elektrodynamika klasyczna
Elektrodynamika klasyczna
Wektor indukcji magnetycznej

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw.makowiecki@gmail.com
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Poprzednio zdefiniowaliśmy wektor indukcji magnetycznej, ale nie podaliśmy jak je liczyć według jakiego wzoru, co uczynimy poniżej.

Prawo Biota-Savarta[edytuj]

Załóżmy, że mamy stałe prądy, wtedy ten prąd wytwarza ogólnie w nieliniowym przewodniku stałe pola magnetyczne wokół niego. Obliczmy jaki przyczynek wnosi mały przycinek :, do pola magnetycznego wokół przewodnika w ściśle określonym położeniu. Pole magnetyczne liniowego prądu stałego jest określone przez prawo Biota-Savarta napisana przez:

(9.1)
  • gdzie R jest to odległość odcinka do punktu, w którym liczymy indukcję pola magnetycznego pochodzącą od nieskończenie małych przycinków o długości dl, który to przyczynek ma zwrot zgodny z kierunkiem płynięcia prądu do pola magnetycznego.
  • I- natężenie prądu stałego w przewodniku
  • μ0 jest to przenikalność magnetyczna próżni równą wartości: .

Prawo Biota-Savarte zależne od prędkości źródła pola magnetycznego[edytuj]

Mając pierwotny wzór na indukcję pola elektrycznego nieskończonego przewodnika z prądem, w którym płynie prąd o natężeniu I, wtedy wyprowadźmy wzór jakie jest pole magnetyczne wytwarzane przez ładunek q, poruszający się z prędkością :

(9.2)

Powyższym prawie wektor indukcji magnetycznej wyznaczamy dla punktu ściśle określonego pochodzącego od ruchu każdego ładunku dq pędzącego z prędkościami znajdującego się w ogólności w nieskończonym przewodniku, który na przykład może nie być liniowy. Jeśli mamy mały i punktowy ładunek q, który pędzi z prędkością , to wytwarzane przez niego pole magnetyczne w danym punkcie według wzoru (9.2) w odległości od niego o wektor przedstawia się:

(9.3)

Według tego wzoru, każdy ładunek pędzący z prędkością wytwarza wokół siebie pole magnetyczne, które wyznaczamy dla każdego punktu według ostatniego wzoru.

Prawo Biota-Savarte dla prądów powierzchniowych[edytuj]

Prawo Biota-Savarte dla prądów powierzchniowych, mając definicję gęstości powierzchniowej prądu, wtedy wzór na wektor indukcji pola magnetycznego wytwarzane przez nieskończony przewodnik z prądem (9.1), jest napisany wedle:

(9.4)

Zatem mając wzór (9.4), który jest w formie całkowej w zależności od gęstości prądu powierzchniowego wytwarzanego przez daną cząstkę powierzchni dS, w której płynie prąd powierzchniowy, a ich całka daje całkowite pole magnetyczne o indukcji wytwarzaną przez daną powierzchnię, w której płyną pewne prądy.

Prawo Biota-Savarte dla prądów objętościowych[edytuj]

Prawo Biota-Savarte dla prądów objętościowych piszemy, znając definicję gęstości objętościowej prądu (8.6), wtedy wzór (9.1) na całkowity wektor indukcji pola magnetycznego w danym punkcie zapisujemy:

(9.5)

Mając wzór (9.5) wektor indukcji pola magnetycznego jest całką po objętości, w której w danym punkcie płynie prąd o gęstości prądu i oddalonym od punktu, w którym wyznaczamy wektor indukcji pola magnetycznego o wektor .

Różniczkowe prawo Gaussa dla pola magnetostatycznego[edytuj]

Wyznaczmy wyrażenie na dywergencję pola magnetycznego w danym punkcie przestrzeni wytwarzanej przez nieskończony przewodnik z prądem wedle równania (9.1), piszemy ją mając w całce pewne wielkości zależne od przewodnika, które oznaczać je będziemy primami, tzn. gęstość prądu i elementarną objętość:

(9.6)

Wyrażenie jest równe zero, ponieważ różniczkujemy po współrzędnych nienależących do wektora gęstości prądu elektrycznego płynącego w danym punkcie. Zatem na podstawie powyższych wywodów i z obliczeń (9.6) i tożsamości (2.20) dostajemy wzór na prawo Gaussa, która jest dywergencją pola magnetycznego w danym punkcie, która jest równa zero.

(9.7)

Jest to różniczkowe prawo Gaussa dla magnetostatyki.

Całkowe prawo Gausa dla pola magnetostatycznego[edytuj]

Przecałkujmy obustronnie różniczkowe prawo Gaussa, w lewej jego strony zamieńmy całkowanie po objętości, którą ogranicza pewna zamknięta powierzchnia według twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa zamieniając na całkowanie po tej powierzchni:

(9.8)

Zatem na podstawie obliczeń (9.8) całka indukcji pola magnetycznego po powierzchni zamkniętej jest równa zero, co znaczy, że pole magnetyczne jest bezźródłowe.

(9.9)

Różniczkowe prawo Stokesa dla pola magnetostatycznego[edytuj]

Wyznaczmy rotację pola magnetycznego wytwarzanej przez nieskończenie duży przewodnik z prądem i oznaczając zmienne zależne primami, które są to tzn. gęstość prądu i infinitezymalna objętość, wtedy korzystając z prawa Biota-Savarte na wektor indukcji pola magnetycznego pochodzącego od tego przewodnika:

(9.10)

Aby sprawdzić, czy drugi wyraz znika w (9.10) policzmy wyrażenie występujące jako drugi wyraz wspomnianym wyrażeniu:

(9.11)

Drugi wyraz w (9.11) znika, ponieważ różniczkowanie gęstości prądu elektrycznego jest po innych zmiennych niż ona zależy. Dla pierwszego wyrazy wspomnianym równaniu zapisujemy je wedle sposobu:

(9.12)

Określmy powierzchnię S na tyle dużą, w (9.12) tak by ona zawierała wszystkie ładunki i prądy wewnątrz tej powierzchni ale nie na niej, wtedy na tej powierzchni gęstość prądu jest równa zero. A więc na podstawie powyższych rozważań i z tożsamości (2.14) znanego z wiadomości o dystrybuantach, rotacja indukcji pola magnetycznego (9.10) jest równa prawej stronie poniższej równości:

(9.13)

Ostatecznie różniczkowe prawo Stokesa mówi, że rotacja indukcji pola magnetycznego w danym punkcie jest równa gęstości prądu panującego w tymże punkcie pomnożona przez przenikalność magnetyczną próżni:

(9.14)

Całkowe prawo Stokesa dla pola magnetostatycznego[edytuj]

Przeprowadźmy obustronne całkowanie po pewnej powierzchni różniczkowego prawa Stokesa (9.14), którego ogranicza pewny zamknięty kontur, korzystając z twierdzenia Stokesa dla jego lewej strony i z definicji gęstości prądu elektrycznego (8.6) jako pochodną malutkiego natężenia prądu elektrycznego płynącego przez malutką powierzchnię, przez którą płynie ten prąd i zwrocie zgodnym z kierunkiem płynięcia rozważanego prądu:

(9.15)
  • gdzie: jest to natężenie prądu elektrycznego płynącego przez pewną powierzchnię, którą ogranicza ściśle określony kontur, jest ona sumą wszystkich prądów we wszystkich przewodnikach spełniającego te dysputy.

Następny rozdział: Magnetyczny potencjał wektorowy Poprzedni rozdział: Magnetostatyka

Podręcznik: Elektrodynamika klasyczna