Szczególna teoria względności/Oddziaływanie elektromagnetyczne ogólnie zmienne i statyczne (pole elektromagnetyczne) z teorii gęstości lagrangianu

Oddziaływanie elektromagnetyczne ogólnie zmienne i statyczne (pole elektromagnetyczne) z teorii gęstości lagrangianu

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Będziemy tutaj rozważać oddziaływania elektromagnetyczne o polu ogólnie zmiennym i statycznym.

Siła odpowiedzialna za oddziaływania w elektromagnetostatyce

Będziemy badać tutaj jaka jest gęstość wielkości wskaźnikowej siły pochodzącej od oddziaływania elektro- i magneto-statycznego.

Gęstość lagrangianu od pola elektromagnetostatycznego w szczególnej teorii względności, a jego postać dla tych pól w mechanice Newtona

Wprowadzimy tutaj wnioski dotyczące gęstości lagrangianu od pola elektromagnetostatycznego i wynikający z niego zbiór tensorów gęstości energii(masy)-pędu dla szczególnej teorii względności, które jak się okaże są również prawdziwe w mechanice Newtona dla $\mu =i\;$ w lokalnej zasadzie zachowania tensora gęstości energii-pędu (42.8), (42.1) i (42.13). Patrząc na wzór na gęstość lagrangianu (41.25) i gęstość lagrangianu w polu elektro- i magneto-statycznych (28.12) (szczególna teoria względności) to gęstość lagrangianu odpowiedzialnego za oddziaływanie w układzie globalnie (lokalnie) płaskim i słabozakrzywionym jest w postaci:

${\mathfrak {L}}_{o}=\mp A^{\mu }J_{\mu }=\mp J^{\mu }A_{\mu }=\mp {{1} \over {2}}\left(A^{\mu }J_{\mu }+J^{\mu }A_{\mu }\right)=\mp \left[rA^{\mu }J_{\mu }+(1-r)J^{\mu }A_{\mu }\right]=\mp \left[rJ^{\mu }A_{\mu }+(1-r)A^{\mu }J_{\mu }\right]=\;$
$=\mp \left[\left(r-{{1} \over {2}}\right)\left(J^{\mu }A_{\mu }-A^{\mu }J_{\mu }\right)+{{1} \over {2}}\left(A^{\mu }J_{\mu }+J^{\mu }A_{\mu }\right)\right]\;$

(44.1)

• gdzie $r=r(x^{\mu },r^{\alpha \beta })\;$ jest to dowolna funkcja.

Wtedy tensor gęstości energii(masy)-pędu dla oddziaływania elektromagnetostatycznego jest w postaci (41.28), do którego podstawiamy (44.1), wtedy licząc ${T^{(p)\mu \nu }}\;$ dla tych samym układów, co jego odpowiednik gęstość lagrangianu odpowiedzialnej za oddziaływanie elektromagnetostatyczne, otrzymujemy:

${T^{(p)\mu \nu }}=2\left[rJ^{\mu }A^{\nu }+(1-r)A^{\mu }J^{\nu }\right]-\eta ^{\mu \nu }J^{\alpha }A_{\alpha }\Rightarrow {{T^{(p)}}_{\mu }}^{\nu }=2\left[rJ_{\mu }A^{\nu }+(1-r)A_{\mu }J^{\nu }\right]-{\delta _{\mu }}^{\nu }J^{\alpha }A_{\alpha }=\;$
$=2r\left(J_{\mu }A^{\nu }-A_{\mu }J^{\nu }\right)+2A_{\mu }J^{\nu }-{\delta _{\mu }}^{\nu }J^{\alpha }A_{\alpha }\Rightarrow {{T^{(p)}}_{\mu }}^{\nu }={{T^{(d)}}_{\mu }}^{\nu }+2A_{\mu }J^{\nu }-{\delta _{\mu }}^{\nu }J^{\alpha }A_{\alpha }\;$

(44.2)

• gdzie $T^{(d)\mu \nu }=2r\left(J^{\mu }A^{\nu }-A^{\mu }J^{\nu }\right)\;$ nazywamy tensorem gęstości energii(masy)-pędu dodatkowym.

Napiszmy wzór (44.2) na tensor gęstości energii-pędu dla pola elektromagnetostatycznego:

${T^{(p)\mu \nu }}={T^{(d)\mu \nu }}+2A^{\mu }J^{\nu }-\eta ^{\mu \nu }J^{\alpha }A_{\alpha }=\left({T^{(d)\mu \nu }}+A^{\mu }J^{\nu }-J^{\mu }A^{\nu }\right)+A^{\mu }J^{\nu }+J^{\mu }A^{\nu }-\eta ^{\mu \nu }A^{\alpha }J_{\alpha }=\;$
$=(2r-1)\left(J^{\mu }A^{\nu }-A^{\mu }J^{\nu }\right)+A^{\mu }J^{\nu }+J^{\mu }A^{\nu }-\eta ^{\mu \nu }A^{\alpha }J_{\alpha }=T^{(a)\mu \nu }+A^{\mu }J^{\nu }+J^{\mu }A^{\nu }-\eta ^{\mu \nu }A^{\alpha }J_{\alpha }=T^{(a)\mu \nu }+T^{(s)\mu \nu }\;$

(44.3)

• człon $T^{(a)\mu \nu }={T^{(d)\mu \nu }}+A^{\mu }J^{\nu }-J^{\mu }A^{\nu }=(2r-1)\left(J^{\mu }A^{\nu }-A^{\mu }J^{\nu }\right)\;$ jest związany z asymetrią tensora gęstości energii(masy)-pędu, a on jest równy zero, gdy $r={{1} \over {2}}\;$, ten człon nazywamy tensorem gęstości energii(masy)-pędu asymetrycznym.
• człon $T^{(s)\mu \nu }=A^{\mu }J^{\nu }+J^{\mu }A^{\nu }-\eta ^{\mu \nu }A^{\mu }J_{\mu }\;$, ten człon nazywamy tensorem gęstości energii(masy)-pędu symetrycznym.

Niech mamy kolejno $r={{1} \over {2}}\;$, $r=0\;$ i $r=1\;$, wtedy tensor gęstości energii(masy)-pędu kolejno dla nich piszemy:

${T^{(p)\mu \nu }}=A^{\mu }J^{\nu }+J^{\mu }A^{\nu }-\eta ^{\mu \nu }A^{\alpha }J_{\alpha }\;$

(44.4)

${T^{(p)\mu \nu }}=2A^{\mu }J^{\nu }-\eta ^{\mu \nu }A^{\alpha }J_{\alpha }\;$

(44.5)

${T^{(p)\mu \nu }}=2J^{\mu }A^{\nu }-\eta ^{\mu \nu }A^{\alpha }J_{\alpha }\;$

(44.6)

Tensory gęstości energii(masy)-pędu wynikajce z gęstości lagrangianów od pola elektromagnetostatycznego są również prawdziwe w mechanice Newtona dla $\mu =i\;$ i $\nu =j\;$, a dla współrzędnej $\mu =0\;$ tensor siły wynikający z niego jest równy zero, bo przyjmujemy w tej teorii, że $c\rightarrow \infty \;$, lub $v^{i}\ll c\;$. A gęstość pędu w szczególnej teorii względności dla tego pola liczymy jako ${\mathfrak {p}}^{\mu }={{1} \over {c}}T^{\mu 0}\;$, a dla mechaniki Newtona jako ${\mathfrak {p}}^{i}={{1} \over {c}}T^{i0}\;$.

Całkowity tensor gęstości energii-pędu jako suma tego tensora gęstości energii(masy)-pędu kinematycznego i elektromagnetostatycznego

Podamy tutaj całkowitą gęstość energii(masy)-pędu w dwóch teoriach, tzn.: w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona.

Szczególna teoria względności

Całkowity tensor gęstości energii-pędu jest sumą tensora gęstości energii-pędu kinematycznego (36.20) i tensora gęstości energii-pędu (44.2) odpowiedzialnej za pole elektromagnetostatyczne, wtedy:

$T^{\mu \nu }=T^{(k)\mu \nu }+T^{(p)\mu \nu }=(\rho _{0}c^{2}+p)u^{\mu }u^{\nu }\mp p\eta ^{\mu \nu }+\left\{2\left[rJ^{\mu }A^{\nu }+(1-r)A^{\mu }J^{\nu }\right]\mp \eta ^{\mu \nu }J^{\alpha }A_{\alpha }\right\}\;$

(44.7)

Mechanika Newtona

A w mechanice Newtona korzystając z definicji tensora gęstości masy-pędu (36.21) i tensora gęstości masy-pędu elektromagnetycznego (44.2), odpowiedzialnej za pole elektromagnetostatyczne, wtedy:

$T^{\mu \nu }=T^{(k)\mu \nu }+T^{(p)\mu \nu }=\rho _{0}v^{\mu }v^{\nu }\mp p\eta ^{\mu \nu }+\left\{2\left[rJ^{\mu }A^{\nu }+(1-r)A^{\mu }J^{\nu }\right]\mp \eta ^{\mu \nu }J^{\alpha }A_{\alpha }\right\}\;$

(44.8)

Wnioski w szczególna teoria względności, czyli mechanice Einsteina dla prędkości relatywistycznych dla pola elektromagnetostatycznego

Podamy tutaj cechowanie dla pola elektromagnostatycznego i udowodnimy na podstawie tego, że jest spełniony wzór na gęstość tensora siły Lorentza. Na podstawie (44.3) policzmy pochodną cząstkową po wskaźnikach niemych $T\!^{(p)}\!_{\mu }\!^{\nu }\!_{,\nu }\;$, w takiej sytuacji dla $\mu =i\;$ otrzymujemy wykorzystując przy okazji definicję potencjału tensorowego (28.10) i definicję tensora gęstości prądu elektrycznego (28.11), a także korzystając z definicji lokalnego prawa zachowania ładunku znane z elektrodynamiki klasycznej ${J^{\nu }}_{,\nu }=0\;$ (44.35) i cechowania ${A^{\nu }}_{,\nu }=0\;$ (44.34), wtedy dla układu globalnie (lokalnie) płaskiego ortonormalnego lub słabozakrzywionego uważanego za płaskie prostokątne ortonormalne:

$T\!^{(p)}\!_{i}\!^{\nu }\!_{,\nu }=\left(T\!^{(a)}\!_{i}\!^{\nu }+J^{\nu }A_{i}+A^{\nu }J_{i}-{\delta _{i}}^{\nu }J^{\alpha }A_{\alpha }\right)_{,\nu }=T\!^{(a)}\!_{i}\!^{\nu }\!_{,\nu }+\left(J^{\nu }A_{i}+A^{\nu }J_{i}\right)_{,\nu }-\left(J^{\alpha }A_{\alpha }\right)_{,i}=T\!^{(a)}\!_{i}\!^{\nu }\!_{,\nu }+{J^{\nu }}_{,\nu }A_{i}+\;$
$+J^{\nu }A_{i,\nu }+{A^{\nu }}_{,\nu }J_{i}+A^{\nu }J_{i,\nu }-{J^{\alpha }}_{,i}A_{\alpha }-J^{\alpha }A_{\alpha ,i}=T\!^{(a)}\!_{i}\!^{\nu }\!_{,\nu }+J^{\nu }A_{i,\nu }+A^{\nu }J_{i,\nu }-{J^{\alpha }}_{,i}A_{\alpha }-J^{\alpha }A_{\alpha ,i}=\mp \rho _{q}c{A^{i}}_{,0}\mp \rho _{q}v^{k}{A^{i}}_{,k}+\;$
$\mp \rho _{q}\varphi _{,i}\pm \rho _{q}v^{k}{A^{k}}_{,i}+T\!^{(a)}\!_{i}\!^{\nu }\!_{,\nu }+A^{\nu }J_{i,\nu }-{J^{\alpha }}_{,i}A_{\alpha }=\mp \rho _{q}\nabla \varphi \mp \rho _{q}{{\partial {\vec {A}}} \over {\partial t}}\mp \rho _{q}({\vec {v}}\nabla ){\vec {A}}\pm \rho _{q}v^{k}\nabla A^{k}+T\!^{(a)}\!_{i}\!^{\nu }\!_{,\nu }+A^{\nu }J_{i,\nu }-{J^{\alpha }}_{,i}A_{\alpha }=\;$
$=\pm \rho _{q}\left(-\nabla \varphi -{{\partial {\vec {A}}} \over {\partial t}}\right)\pm \rho _{q}{\vec {v}}\times (\nabla \times {\vec {A}})+T\!^{(a)}\!_{i}\!^{\nu }\!_{,\nu }+A^{\nu }J_{i,\nu }-{J^{\alpha }}_{,i}A_{\alpha }=\pm \rho _{q}{\vec {E}}\pm \rho _{q}{\vec {v}}\times {\vec {B}}+T\!^{(a)}\!_{i}\!^{\nu }\!_{,\nu }+A^{\nu }J_{i,\nu }-{J^{\alpha }}_{,i}A_{\alpha }=\pm {\vec {\mathcal {F}}}_{el}+\;$
$\pm {\vec {\mathcal {F}}}_{mag}+T\!^{(a)}\!_{i}\!^{\nu }\!_{,\nu }+A^{\nu }J_{i,\nu }-{J^{\alpha }}_{,i}A_{\alpha }\Rightarrow T\!^{(p)}\!^{\nu }\!_{i}\!_{,\nu }=\pm ({\vec {\mathcal {F}}}_{el}+{\vec {\mathcal {F}}}_{mag})+T\!^{(a)}\!_{i}\!^{\nu }\!_{,\nu }+A^{\nu }J_{i,\nu }-{J^{\alpha }}_{,i}A_{\alpha }\;$

(44.9)

W obliczeniach korzystaliśmy z tożsamości (28.35) (ostatni wzór). Wprowadźmy cechowanie dla układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne o postaci:

$T\!^{(a)}\!_{\mu }\!^{\nu }\!_{,\nu }+A^{\nu }J_{\mu ,\nu }-{J^{\alpha }}_{,\mu }A_{\alpha }=0\;$

(44.10)

A we współrzędnych układu słabozakrzywionego uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne albo we współrzędnych krzywoliniowych lub uogólnionych wzór (44.10) przedstawia się z teorii transformacji tensorowej:

$T\!^{(a)}\!_{\mu }\!^{\nu }\!_{;\nu }+A^{\nu }J_{\mu ;\nu }-{J^{\alpha }}_{;\mu }A_{\alpha }=0\;$

(44.11)

Cechowanie (44.11) w układach globalnie (lokalnie) płaskich i dowolnym układzie współrzędnych słabozakrzywionego jest spełnione. Stosując cechowanie (44.11), wtedy możemy napisać formułę przedstawioną w (44.9), dalej przenosząc w nim wskaźnik $i\;$ do góry, otrzymujemy:

$T\!^{(p)}\!_{i}\!^{\nu }\!_{,\nu }=\pm ({\vec {\mathcal {F}}}_{el}+{\vec {\mathcal {F}}}_{mag})\Rightarrow -T\!^{(p)i\nu }\!_{,\nu }={\vec {\mathcal {F}}}_{el}+{\vec {\mathcal {F}}}_{mag}\;$

(44.12)

Policzmy teraz dla tego samego układu wyrażenie tensorowe korzystając z tym samych wzorów, co poprzednio, dla $\mu =0\;$ dla tych samych układów współrzędnych:

$T\!^{(p)}\!_{0}\!^{\nu }\!_{,\nu }=\left({{T^{(a)}}_{0}}^{\nu }+J^{\nu }A_{0}+A^{\nu }J_{0}-{\delta _{0}}^{\nu }J^{\alpha }A_{\alpha }\right)_{,\nu }=T\!^{(a)}\!_{0}\!^{\nu }\!_{,\nu }+\left(J^{\nu }A_{0}+A^{\nu }J_{0}\right)_{,\nu }-\left(J^{\alpha }A_{\alpha }\right)_{,0}=T\!^{(a)}\!_{0}\!^{\nu }\!_{,\nu }+{J^{\nu }}_{,\nu }A_{0}+\;$
$+J^{\nu }A_{0,\nu }+{A^{\nu }}_{,\nu }J_{0}+A^{\nu }J_{0,\nu }-{J^{\alpha }}_{,0}A_{\alpha }-J^{\alpha }A_{\alpha ,0}=\pm \rho _{q}\varphi _{,0}\pm \rho _{q}{{v^{k}} \over {c}}\varphi _{,k}\mp \rho _{q}\varphi _{,0}\pm \rho _{q}v^{k}A_{k,0}+T\!^{(a)}\!_{0}\!^{\nu }\!_{,\nu }+A^{\nu }J_{0,\nu }-{J^{\alpha }}_{,0}A_{\alpha }=\;$
$=\mp \rho _{q}\left({{\vec {v}} \over {c}},{\vec {E}}\right)+T\!^{(a)}\!_{0}\!^{\nu }\!_{,\nu }+A^{\nu }J_{0,\nu }-{J^{\alpha }}_{,0}A_{\alpha }=\mp \rho _{q}\left({{\vec {v}} \over {c}},{\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right)+T\!^{(a)}\!_{0}\!^{\nu }\!_{,\nu }+A^{\nu }J_{0,\nu }-{J^{\alpha }}_{,0}A_{\alpha }=\;$
$=\mp \left({{\vec {v}} \over {c}},{\vec {\mathcal {F}}}_{el}+{\vec {\mathcal {F}}}_{mag}\right)+T\!^{(a)}\!_{0}\!^{\nu }\!_{,\nu }+A^{\nu }J_{0,\nu }-{J^{\alpha }}_{,0}A_{\alpha }\Rightarrow T\!^{(p)}\!_{0}\!^{\nu }\!_{,\nu }=\mp \left({{\vec {v}} \over {c}},{\vec {\mathcal {F}}}_{el}+{\vec {\mathcal {F}}}_{mag}\right)+T\!^{(a)}\!_{0}\!^{\nu }\!_{,\nu }+A^{\nu }J_{0,\nu }-{J^{\alpha }}_{,0}A_{\alpha }\;$

(44.13)

Wprowadźmy cechowanie, które należy zastosować w punkcie (44.13) dla naszego przypadku, o wyglądzie (44.11), zatem wspomniany punkt przepiszmy przenosząc wskaźnik $0\;$ do góry stosując to cechowanie i przenosząc minus z prawej na lewą stronę:

${T^{(p)\nu }}_{0,\nu }=\mp \left({{\vec {v}} \over {c}},{\vec {\mathcal {F}}}_{el}+{\vec {\mathcal {F}}}_{mag}\right)\Rightarrow -{T^{(p)0\nu }}_{,\nu }=\left({{\vec {v}} \over {c}},{\vec {\mathcal {F}}}_{el}+{\vec {\mathcal {F}}}_{mag}\right)\;$

(44.14)

Łączymy wzory (44.12) i (44.14) w jedną całość otrzymując też na podstawie definicji na gęstość wielkości wskaźnikowej siły pochodzącej od oddziaływania elektromagnetostatycznego (41.31) i wynikającej stąd definicji gęstości tensora siły:

${{dF_{o}^{\mu }} \over {dV}}={\begin{bmatrix}\left({{\vec {v}} \over {c}},{\vec {\mathcal {F}}}_{el}+{\vec {\mathcal {F}}}_{mag}\right)\\{\vec {\mathcal {F}}}_{el}+{\vec {\mathcal {F}}}_{mag}\end{bmatrix}}\Rightarrow {{dK_{o}^{\mu }} \over {dV}}=-{{\gamma } \over {c}}{T^{(p)\mu \nu }}_{,\nu }={{\gamma } \over {c}}{\begin{bmatrix}\left({{\vec {v}} \over {c}},{\vec {\mathcal {F}}}_{el}+{\vec {\mathcal {F}}}_{mag}\right)\\{\vec {\mathcal {F}}}_{el}+{\vec {\mathcal {F}}}_{mag}\end{bmatrix}}\;$

(44.15)

Czyli wzór (44.15) przedstawia formułę na gęstość tensora siły Lorentza. Gęstość tensora siły oddziaływania elektromagnetostatycznego (44.15) i cechowanie (44.11) na mocy twierdzenia o transformacji jest również spełnione dla dowolnego układu współrzędnych słabozakrzywionego przechodząc z układów globalnie (lokalnie) płaskich lub dokonując przejścia odwrotnego. Wzór (44.15) jest zgodny ze wzorem na gęstość tensora siły odpowiedzialnej za oddziaływania (39.3), tzn. z gęstością tensora siły odpowiedzialnej za oddziaływania równej wyrażeniu po drugiej i przed trzecią równością w następniku implikacji.

Mechanika Newtona

W mechanice Newtona wzór na gęstość lagrangianu odpowiedzialne za oddziaływania elektromagnetostatyczne jest w postaci (44.1). Jeśli traktować czas jako współrzędną zerową absolutną, wtedy tensor gęstości masy-pędu przedstawiamy według (44.3). Wzór (44.15) jest dla szczególnej teorii względności (tzn. dla $v<c\;$), ale dla mechaniki Newtona (tzn. dla $v<<c\;$) (wtedy część jego czasowa jest w przybliżeniu równa zero przy transformacjach Lorentza) przyjmuje on formę przy cechowaniu (44.11) przy wzorze na gęstość wielkości wskaźnikowej siły od oddziaływania elektromagnetostatycznego (42.15), wiedząc, że część czasowa gęstości wielkości wskaźnikowej siły w tym oddziaływaniu jest równa zero, stąd:

${{dF_{o}^{\mu }} \over {dV}}=-{T^{(p)\mu \nu }}_{,\nu }={\begin{bmatrix}0\\{\vec {\mathcal {F}}}_{el}+{\vec {\mathcal {F}}}_{mag}\end{bmatrix}}\Rightarrow {{dK_{o}^{\mu }} \over {dV}}=-{{1} \over {c}}{T^{(p)\mu \nu }}_{,\nu }={{1} \over {c}}{\begin{bmatrix}0\\{\vec {\mathcal {F}}}_{el}+{\vec {\mathcal {F}}}_{mag}\end{bmatrix}}\;$

(44.16)

Wzór (44.16) jest zgodny z (39.7) i jest równy sile odpowiedzialnej za oddziaływania w postaci wyrażenia po pierwszej i przed drugą równością. Z takiej racji (44.16) jest spełniony, bo w układzie globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości gęstości siły elektrycznej i magnetycznej są równe zero, bo tensor potencjału tensorowego $A^{\mu }\;$ (28.10) jest wtedy globalnie (lokalnie) stały, co według transformacji Galileusza z tych układów przechodzimy do układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne albo we współrzędnych krzywoliniowych lub uogólnionych za pomocą transformacji (wtedy jego część czasowa jest dokładnie równa zero, ale nie dla transformacji Lorentza), których macierze transformacji są funkcjami uogólnionymi, w wzór w postaci (44.16). Jeżeli policzone wyrażenie (44.16) na $-{T^{(p)\mu \nu }}_{,\mu }\;$ podstawimy do (41.31) dostajemy, że wielkość wskaźnikowa siły sumy sił elektro- i magneto-statycznych jest równa gęstości wielkości wskaźnikowej siły odpowiedzialnej za oddziaływania. Z definicji transformacji wzór (44.16) i cechowanie (44.11) są też spełnione w układach ogólnie nieprostokątnych w układach globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych.

Elektromagnetodynamika według szczególnej teorii względności

Będziemy się tutaj zajmowali elektromagnetodynamiką, czyli polami elektromagnetycznymi ogólnie zmiennymi.

Gęstość lagrangianu i tensor gęstości energii-pędu

Lagrangian pola elektromagnetycznego, który jest zależny od tensora pola elektromagnetycznego (EK-26.9) i to przepiszemy używając definicji tensora metrycznego, a także z postulatu, że lagrangian pola elektromagnetycznego (EK-27.1) (lub według (28.14)) jest słuszna również dla słabozakrzywionej czasoprzestrzeni, i zakładając, że w przestrzeni istnieje ogólnie niestałe pole elektromagnetyczne, zatem na podstawie tego możemy powiedzieć:

${\mathfrak {L}}_{o}=-{{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\omega \gamma }F^{\omega \gamma }\mp J^{\mu }A_{\mu }=-{{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\omega \gamma }F^{\omega \gamma }\mp A^{\mu }J_{\mu }=-{{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\omega \gamma }F^{\omega \gamma }\mp \left[sA^{\mu }J_{\mu }+(1-s)J^{\mu }A_{\mu }\right]=\;$
$=-{{1} \over {4\mu _{0}}}F^{\omega \gamma }\eta _{\omega \alpha }\eta _{\gamma \beta }F^{\alpha \beta }\mp \left[sA^{\mu }\eta _{\mu \nu }J^{\nu }+(1-s)J^{\mu }\eta _{\mu \nu }A^{\nu }\right]=-{{1} \over {4\mu _{0}}}F^{\omega \gamma }\eta _{\omega \alpha }\eta _{\gamma \beta }F^{\alpha \beta }\mp {\Bigg [}\left(s-{{1} \over {2}}\right)\left(J^{\mu }\eta _{\mu \nu }A^{\nu }-A^{\mu }\eta _{\mu \nu }J^{\nu }\right)+\;$
$+{{1} \over {2}}\left(A^{\mu }\eta _{\mu \nu }J^{\nu }+J^{\mu }\eta _{\mu \nu }A^{\nu }\right){\Bigg ]}\;$

(44.17)

Następnym krokiem jest wyznaczenie tensora energii-pędu wykorzystując przy tym wzór (41.16), zatem w takim razie możemy powiedzieć, że licząc najpierw pierwszy wyraz tego tensora gęstości energii-pędu:

$\mp 2{{\partial {\mathfrak {L}}_{o}} \over {\partial \eta _{\mu \nu }}}=\pm 2{{\partial } \over {\partial \eta _{\mu \nu }}}\left[{{1} \over {4\mu _{0}}}F^{\omega \gamma }\eta _{\omega \alpha }\eta _{\gamma \beta }F^{\alpha \beta }\right]+{T^{(a)}}^{\mu \nu }+A^{\mu }J^{\nu }+J^{\mu }A^{\nu }=\pm 2{{1} \over {4\mu _{0}}}\left[F^{\mu \gamma }\eta _{\gamma \beta }F^{\nu \beta }+F^{\omega \mu }\eta _{\omega \alpha }F^{\alpha \nu }\right]+{T^{(a)}}^{\mu \nu }+\;$
$+A^{\mu }J^{\nu }+J^{\mu }A^{\nu }=\pm {{1} \over {2\mu _{0}}}\left[{F^{\mu }}_{\beta }F^{\nu \beta }+{F_{\alpha }}^{\mu }F^{\alpha \nu }\right]+{T^{(a)}}^{\mu \nu }+A^{\mu }J^{\nu }+J^{\mu }A^{\nu }=\pm {{1} \over {\mu _{0}}}{F^{\mu }}_{\beta }F^{\nu \beta }+{T^{(a)}}^{\mu \nu }+A^{\mu }J^{\nu }+J^{\mu }A^{\nu }$

(44.18)

Wtedy całe wyrażenie na tensor gęstości energii-pędu przyjmuje następującą postać matematyczną na podstawie wcześniej podanego wzoru wykorzystując wyliczony fakt (44.18), zatem wtedy dochodzimy do wniosku:

$T^{(p)\mu \nu }=\pm {{1} \over {\mu _{0}}}{F^{\mu }}_{\beta }F^{\nu \beta }+T^{(a)\mu \nu }+A^{\mu }J^{\nu }+J^{\mu }A^{\nu }\mp \eta ^{\mu \nu }\left({{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\pm J^{\alpha }A_{\alpha }\right)\;$

(44.19)

Widzmimy, że tensor (44.19) jest taki sam nawet po przedstawieniu wskaźników, gdy $p={{1} \over {2}}\;$, a gdy $p\;$ temu nie jest równe to tak nie zachodzi. Ten tensor gęstości energii-pędu oddziaływania elektromagnetodynamicznego jest słuszny w układach globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych. Policzmy w tych układach ślad tensora gęstości energii pędu:

${T^{(p)\mu }}_{\mu }=T\!^{(p)}\!_{\mu }\!^{\mu }=\pm {{1} \over {\mu _{0}}}F^{\mu \beta }F_{\mu \beta }+{T^{(a)\mu }}_{\mu }+A^{\mu }J_{\mu }+J^{\mu }A_{\mu }\mp {\delta ^{\mu }}_{\mu }\left({{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\pm J^{\alpha }A_{\alpha }\right)=\;$
$=\pm {{1} \over {\mu _{0}}}\left[F^{\mu \beta }F_{\mu \beta }-{{n+1} \over {4}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right]+2J^{\mu }A_{\mu }-(n+1)J^{\mu }A_{\mu }=\mp {{n-3} \over {4\mu _{0}}}F^{\mu \beta }F_{\mu \beta }-(n-1)J^{\mu }A_{\mu }\;$

(44.20)

A jeżeli w danym punkcie nie płyną prądy to według (44.20) ślad tensora gęstości energii pędu (44.19) jest równy zero w czasoprzestrzeni cztero-wymiarowej, bo wtedy $n=3\;$.

Zachowawczość tensora gęstości energii-pędu w układach globalnie (lokalnie) płaskich według szczególnej teorii względności

Napiszmy zachowawczość tensora gęstości energii-pędu w układzie globalnie (lokalnie) płaskim. Tensor napięć-energii w postaci kontrawariantno-kowariantnego piszemy w postaci matematycznej wychodząc od końcowego wzoru (44.19) wedle następującego sposobu:

$T\!^{(p)}\!_{\mu }\!^{\nu }\!_{,\nu }={{1} \over {\mu _{0}}}\left[\pm F^{\nu \beta }F_{\mu \beta }\mp {{1} \over {4}}{\delta _{\mu }}^{\nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right]+T\!^{(a)}\!_{\mu }\!^{\nu }\!_{,\nu }+A_{\mu }J^{\nu }+J_{\mu }A^{\nu }-{\delta _{\mu }}^{\nu }A^{\alpha }J_{\alpha }\;$

(44.21)

Zróżniczkujmy wyrażenie napisane wzorem (44.21) względem współrzędnej kowariantnej, i korzystając z twierdzenia o pochodnej iloczynu, zatem wtedy dochodzimy do następującego wniosku:

$T\!^{(p)}\!_{\mu }\!^{\nu }\!_{,\nu }={{1} \over {\mu _{0}}}\left[\mp {{1} \over {2}}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta ,\mu }\pm {F^{\nu \beta }}_{,\nu }F_{\mu \beta }\pm F^{\nu \beta }F_{\mu \beta ,\nu }\right]+T\!^{(a)}\!_{\mu }\!^{\nu }\!_{,\nu }+A_{\mu ,\nu }J^{\nu }+A_{\mu }{J^{\nu }}_{,\nu }+J_{\mu ,\nu }A^{\nu }+J_{\mu }{A^{\nu }}_{,\nu }-{\delta _{\mu }}^{\nu }(A^{\alpha }J_{\alpha })_{,\nu }=\;$
$={{1} \over {\mu _{0}}}\left[\mp {{1} \over {2}}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta ,\mu }\pm {F^{\nu \beta }}_{,\nu }F_{\mu \beta }\pm F^{\nu \beta }F_{\mu \beta ,\nu }\right]+T\!^{(a)}\!_{\mu }\!^{\nu }\!_{,\nu }+A_{\mu ,\nu }J^{\nu }+J_{\mu ,\nu }A^{\nu }-(A^{\alpha }J_{\alpha })_{,\mu }=$
$={{1} \over {\mu _{0}}}\left[\mp {{1} \over {2}}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta ,\mu }\pm {F^{\nu \beta }}_{,\nu }F_{\mu \beta }\pm F^{\nu \beta }F_{\mu \beta ,\nu }\right]+T\!^{(a)}\!_{\mu }\!^{\nu }\!_{,\nu }+A_{\mu ,\nu }J^{\nu }+J_{\mu ,\nu }A^{\nu }-{A^{\alpha }}_{,\mu }J_{\alpha }-A^{\alpha }J_{\alpha ,\mu }\;$

(44.22)

Następnie należy skorzystać ze wzoru (EK-26.95) i ze wzoru (EK-26.14), czyli są to związki zapisane wzorami wedle poniższych schematów:

${F^{\beta \nu }}_{,\nu }=\pm \mu _{0}J^{\beta }\;$

(44.23)

$F_{\alpha \beta ,\mu }=-F_{\mu \alpha ,\beta }-F_{\beta \mu ,\alpha }\;$

(44.24)

Możemy wykorzystać związki na tensorowe równanie Maxwella (44.23) i tożsamości (44.24) i w ten sposób korzystając ze wzoru (44.22) i wykorzystując te związki dochodzimy do następującego wniosku matematycznego:

$T\!^{(p)}\!_{\mu }\!^{\nu }\!_{,\nu }={{1} \over {\mu _{0}}}\left[\pm {{1} \over {2}}\left(F^{\alpha \beta }F_{\mu \alpha ,\beta }+F^{\alpha \beta }F_{\beta \mu ,\alpha }\right)-\mu _{0}J^{\beta }F_{\mu \beta }\pm F^{\nu \beta }F_{\mu \beta ,\nu }\right]+T\!^{(a)\mu \nu }\!_{,\nu }+A_{\mu ,\nu }J^{\nu }+J_{\mu ,\nu }A^{\nu }-{J^{\alpha }}_{,\mu }A_{\alpha }-J^{\alpha }A_{\alpha ,\mu }\;$

(44.25)

Można udowodnić, że zmieniając rolami wskaźniki we wzorze (44.25), że pierwszy, drugi i czwarty wyraz się ze sobą redukują do zera, wtedy na podstawie tego możemy napisać, że wspomniana tożsamość:

$T\!^{(p)}\!_{\mu }\!^{\nu }\!_{,\nu }=-F_{\mu \beta }J^{\beta }+T\!^{(a)}\!_{\mu }\!^{\nu }\!_{,\nu }+A_{\mu ,\nu }J^{\nu }+J_{\mu ,\nu }A^{\nu }-{A^{\alpha }}_{,\mu }J_{\alpha }-A^{\alpha }J_{\alpha ,\mu }=-F_{\gamma \beta }J^{\beta }+T\!^{(a)}\!_{\mu }\!^{\nu }\!_{,\nu }+J^{\nu }\left(A_{\mu ,\nu }-A_{\nu ,\mu }\right)+J_{\mu ,\nu }A^{\nu }+\;$
$-A^{\alpha }J_{\alpha ,\mu }=-F_{\mu \beta }J^{\beta }+T\!^{(a)}\!_{\mu }\!^{\nu }\!_{,\nu }+J^{\nu }F_{\mu \nu }+J_{\mu ,\nu }A^{\nu }-A^{\alpha }J_{\alpha ,\mu }=T\!^{(a)}\!_{\mu }\!^{\nu }\!_{,\nu }+J_{\mu ,\nu }A^{\nu }-A^{\alpha }J_{\alpha ,\mu }\;$

(44.26)

Ale weźmy układ globalnie (lokalnie) płaski o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości, wtedy gęstość prądu jest wielkością globalnie (lokalnie) stałą ${J^{\mu }}_{,\nu }=0\;$, a potencjał tensorowy elektromagnetyczny jest globalnie (lokalnie) stały ${A^{\mu }}_{,\nu }=0\;$, które zachodzą w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości przy stałym $g\;$, albo globalnie (lokalnie) $A^{\gamma }=0\;$ lub $J^{\gamma }=0\;$ spełnione dodatkowo przy $g\;$, gdy jest funkcją, stąd zachowawczość tensora gęstości energii-pędu pola elektromagnetodynamicznego na podstawie (44.26) jest w tych układach spełniona i zachodzi:

$T\!^{(p)}\!_{\mu }\!^{\nu }\!_{,\nu }=0$

(44.27)

Całkowity tensor gęstości energii-pędu

Całkowity tensor gęstości energii-pędu jest sumą tensora gęstości energii-pędu kinematycznego (36.20) i tensora gęstości gęstości energii-pędu elektromagnetycznego (44.19), wtedy:

$T^{\mu \nu }=T^{(k)\mu \nu }+T^{(p)\mu \nu }=(\rho _{0}c^{2}+p)u^{\mu }u^{\nu }\mp p\eta ^{\mu \nu }+{\Bigg [}\pm {{1} \over {\mu _{0}}}F^{\mu \beta }{F^{\nu }}_{\beta }+2\left[rJ^{\mu }A^{\nu }+(1-r)A^{\mu }J^{\nu }\right]\mp \eta ^{\mu \nu }\left({{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\pm J^{\alpha }A_{\alpha }\right){\Bigg ]}\;$

(44.28)

Tensor gęstości energii-pędu (44.28) jest słuszny w układach globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych. Zachowawczość lokalną tensora gęstości energii-pędu (44.28) piszemy w skrócie w układach globalnie (lokalnie) płaskich:

${{\gamma } \over {c}}{T^{\mu \nu }}_{,\nu }={{dK^{\mu }} \over {dV}}\;$

(44.29)

Równanie (44.29) zawiera w sobie zachowanie energii i pędu w elektrodynamice dla układów globalnie (lokalnie) płaskich będące również słuszne, ale w przybliżeniu, dla układów słabozakrzywionych.

Równania dla elektromagnetyzmu dla ciał rozciągłych dla układów słabozakrzywionych

Jeżeli jest spełniona własność (44.29) (zachowawczość tensora gęstości energii-pędu) przy tensorze gęstości energii-pędu (44.28) dla układów globalnie (lokalnie) płaskich, to dla układów słabozakrzywionych (wtedy macierz transformacji jest (21.19)), wiedząc, że symbole Christoffela uważamy za równe zero w tych układach uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne według procedury (Proc. 21.1), wtedy:

${{\gamma } \over {c}}{T^{\mu \nu }}_{;\nu }={{dK^{\mu }} \over {dV}}\Rightarrow {{\gamma } \over {c}}\left({T^{\mu \nu }}_{,\nu }+T^{\mu \alpha }{\Gamma ^{\nu }}_{\alpha \nu }+T^{\alpha \nu }{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \nu }\right)={{dK^{\mu }} \over {dV}}\Rightarrow {{\gamma } \over {c}}{T^{\mu \nu }}_{,\nu }={{dK^{\mu }} \over {dV}}\;$

(44.30)

A w przejściu z układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne (44.30) (końcowy wzór) do układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych lub uogólnionych przedstawiają się w formie po zastąpieniu przecinka średnikiem (pierwszy wzór tam) według procedury (Proc. 21.1). Jest spełniona własność dla czasoprzestrzeni słabozakrzywionej na tensor pola elektromagnetycznego (EK-26.34):

$F_{\mu \nu }=A_{\mu ;\nu }-A_{\nu ;\mu }=A_{\mu ,\nu }-A_{\alpha }{\Gamma ^{\alpha }}_{\mu \nu }-A_{\nu ,\mu }+A_{\alpha }{\Gamma ^{\alpha }}_{\nu \mu }=A_{\mu ,\nu }-A_{\nu ,\mu }\Rightarrow F_{\mu \nu }=A_{\mu ,\nu }-A_{\nu ,\mu }\;$

(44.31)

Równania pola przy tensorze pola elektromagnetycznego (EK-26.9) i tensorze dualnym (EK-26.11) według spełnionych równań w układach globalnie (lokalnie) płaskich (EK-26.12) i (EK-26.13) są w układach słabozakrzywionych, wiedząc, że symbole Christoffela uważamy za równe zero w tych układach uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne według procedury (Proc. 21.1):

${F^{\mu \nu }}_{;\nu }=\pm \mu _{0}J^{\mu }\Rightarrow {F^{\mu \nu }}_{,\nu }+{F^{\mu \alpha }}{\Gamma ^{\nu }}_{\alpha \nu }+F^{\alpha \nu }{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \nu }=\pm \mu _{0}J^{\mu }\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {F^{\mu \nu }}_{,\nu }=\pm \mu _{0}J^{\mu }\;$

(44.32)

${G^{\mu \nu }}_{;\nu }=0\Rightarrow {G^{\mu \nu }}_{,\nu }+{G^{\mu \alpha }}{\Gamma ^{\nu }}_{\alpha \nu }+G^{\alpha \nu }{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \nu }=0\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {G^{\mu \nu }}_{,\nu }=0\;$

(44.33)

A w przejściu z układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne (końcowe równości) (44.32) i (44.33) do układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych lub uogólnionych przedstawiają się w formie po zastąpieniu przecinka średnikiem (pierwsze wzory tam) według procedury (Proc. 21.1). Jest również spełnione cechowanie Lorentza na podstawie cechowania Lorentza (EK-26.58) w układach globalnie (lokalnie) płaskich jak i również w układach słabozakrzywionych, wiedząc, że symbole Christoffela uważamy za równe zero w tych układach uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne według procedury (Proc. 21.1):

${A^{\mu }}_{;\mu }=0\Rightarrow {A^{\mu }}_{,\mu }+A^{\alpha }{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \mu }=0\Rightarrow {A^{\mu }}_{,\mu }=0\;$

(44.34)

A w przejściu z układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne (44.34) (końcowy wzór) do układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych lub uogólnionych przedstawiają się w formie po zastąpieniu przecinka średnikiem (pierwszy wzór tam) według procedury (Proc. 21.1). A także uwzględniając równanie ciągłości z (EK-26.8) w układach globalnie (lokalnie) płaskich, wtedy w układach słabozakrzywionych, wiedząc, że symbole Christoffela uważamy za równe zero w tych układach uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne według procedury (Proc. 21.1):

${J^{\mu }}_{;\mu }=0\Rightarrow {J^{\mu }}_{,\mu }+J^{\alpha }{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \mu }=0\Rightarrow {J^{\mu }}_{,\mu }=0\;$

(44.35)

A w przejściu z układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne (44.35) (końcowy wzór) do układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych lub uogólnionych przedstawiają się w formie po zastąpieniu przecinka średnikiem (pierwszy wzór tam) według procedury (Proc. 21.1). Na tym skończyliśmy wykład podstawowych równań elektrodynamiki Maxwella w postaci tensorowej dla czasoprzestrzeni słabozakrzywionych uważanych za układy według procedury (Proc. 21.1).

Siła odpowiedzialna za oddziaływanie w elektromagnetodynamice

Weźmy w przedstawieniu (44.26) (po pierwszej i przed drugą równością przedstawienie na wielkość ${T^{(p)\omega }}_{\gamma ,\omega }\;$), wtedy dla układu globalnie (lokalnie) płaskiego ortonormalnego lub słabozakrzywionego uważanych za płaskie ortonormalne, patrząc na wyprowadzenia w punktach: (44.9) i (44.13) dla elektromagnetostatyki:

$T\!^{(p)}\!_{\mu }\!^{\nu }\!_{,\nu }=-F_{\mu \nu }J^{\nu }+T\!^{(a)}\!_{\mu }\!^{\nu }\!_{,\nu }+A_{\mu ,\nu }J^{\nu }+J_{\mu ,\nu }A^{\nu }-{A^{\nu }}_{,\mu }J_{\nu }-A^{\nu }J_{\nu ,\mu }\Rightarrow T\!^{(p)}\!_{i}\!^{\nu }\!_{,\nu }=-F_{i\nu }J^{\nu }\pm ({\vec {\mathcal {F}}}_{el}+{\vec {\mathcal {F}}}_{mag})+T^{(a)}\!_{i}\!^{\nu }\!_{,\nu }+A^{\nu }J_{i,\nu }+\;$
$-{J^{\nu }}_{,i}A_{\nu }\wedge T\!^{(p)}\!_{0}\!^{\nu }\!_{,\nu }=-F_{0\nu }J^{\nu }\mp \left({{\vec {v}} \over {c}},{\vec {\mathcal {F}}}_{el}+{\vec {\mathcal {F}}}_{mag}\right)+T^{(a)}\!_{0}\!^{\nu }\!_{,\nu }+A^{\nu }J_{0,\nu }-{J^{\nu }}_{,0}A_{\nu }\;$

(44.36)

Wtedy wzór na cechowanie w (44.36) w układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne przedstawiamy w postaci:

$-F_{\mu \beta }J^{\beta }+T^{(a)}\!_{\mu }\!^{\nu }\!_{,\nu }+A^{\nu }J_{\mu ,\nu }-{J^{\alpha }}_{,\mu }A_{\alpha }=0\;$

(44.37)

A w układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne albo we współrzędnych krzywoliniowych lub uogólnionych prawo (44.37) przedstawia się z teorii transformacji tensorowej:

$-F_{\mu \beta }J^{\beta }+T^{(a)}\!_{\mu }\!^{\nu }\!_{;\nu }+A^{\nu }J_{\mu ;\nu }-{J^{\alpha }}_{;\mu }A_{\alpha }=0\;$

(44.38)

Cechowanie (44.38) na mocy twierdzenia o transformacji jest również spełnione dla dowolnego układu współrzędnych słabozakrzywionego. A zatem na podstawie formuły na wielkość (44.36) i cechowanie (44.38) wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły i wynikający z stąd gęstość tensora siły przedstawiamy wzorem:

${{dF_{o}^{\mu }} \over {dV}}=-T\!^{(p)\mu \nu }\!_{,\nu }={\begin{bmatrix}\left({{\vec {v}} \over {c}},{\vec {\mathcal {F}}}_{el}+{\vec {\mathcal {F}}}_{mag}\right)\\{\vec {\mathcal {F}}}_{el}+{\vec {\mathcal {F}}}_{mag}\end{bmatrix}}\Rightarrow {{dK_{o}^{\mu }} \over {dV}}=-{{\gamma } \over {c}}T^{(p)\mu \nu }\!_{,\nu }={{\gamma } \over {c}}{\begin{bmatrix}\left({{\vec {v}} \over {c}},{\vec {\mathcal {F}}}_{el}+{\vec {\mathcal {F}}}_{mag}\right)\\{\vec {\mathcal {F}}}_{el}+{\vec {\mathcal {F}}}_{mag}\end{bmatrix}}\;$

(44.39)

Gęstość tensora siły oddziaływania elektromagnetodynamicznego (44.39) na mocy twierdzenia o transformacji jest również spełnione dla dowolnego układu współrzędnych słabozakrzywionego uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne albo krzywoliniowe lub we współrzędnych uogólnionych. Gdy równanie (44.38) przecałkujemy obustronnie, wtedy dla pola elektromagnetostatycznego pierwszy wyraz w (44.38) jest równy stałej (bo potencjał elektromagnetyczny podwójnie kowariantny $F_{\gamma \beta }\;$ i gęstość prądu kontrawariantny $J^{\beta }\;$ są stałe w czasie), a więc pozostaje całka:

$\int _{V}\left(T^{(a)}\!_{\mu }\!^{\nu }\!_{,\nu }+A^{\nu }J_{\mu ,\nu }-{J^{\alpha }}_{,\mu }A_{\alpha }\right)dV=\operatorname {const} \;$

(44.40)

A więc, wtedy równanie (44.40) możemy przepisać dla dowolnej objętości, wtedy mamy cechowanie:

$T^{(a)}\!_{\mu }\!^{\nu }\!_{,\nu }+A^{\nu }J_{\mu ,\nu }-{J^{\alpha }}_{,\mu }A_{\alpha }=\operatorname {const} \;$

(44.41)

Ta stała jest taka sama w układzie globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości oraz słabozakrzywionym, stąd na podstawie tego w tym pierwszym układzie wielkości są globalnie (lokalnie) stałe, zatem ta stała w (44.41) jest równa zero, czyli w tym przypadku cechowanie jest takie samo, co w (44.11), a ono wynosi:

$T^{(a)}\!_{\mu }\!^{\nu }\!_{,\nu }+A^{\nu }J_{\mu ,\nu }-{J^{\alpha }}_{,\mu }A_{\alpha }=0\;$

(44.42)

Jak w (44.40), (44.41) i (44.42) dla przypadku układów płaskich ogólnie nieprostokątnych jest podobnie dla układów we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych) po zastąpieniu przecinka przez średnik. Zatem cechowanie (44.37) ((44.38)) w elektromagnetodynamice przechodzi w cechowanie (44.10) ((44.11)) (patrz: (44.42) dla przypadku układu płaskiego ogólnie nieprostokątnego) w elektromagnetostatyce, czyli elektromagnetostatyka w jego zakresie stosowalności jest szczególnym przypadkiem elektromagnetodynamiki. Patrząc na (44.10) ((44.11)) (elektromagnetostatyka) i (44.37) ((44.38)) (elektromagnetodynamika) pole elektromagnetostatyczne istnieje dla słabych pól elektromagnetycznych i małych gęstości prądów ładunków elektrycznych.

Tensorowe przedstawienie gęstości tensora siły pola elektromagnetodynamicznego

Weźmy wzór (44.26) (ostatnie przedstawienie na $T^{(p)}\!_{\mu }\!^{\nu }\!_{,\nu }\;$) i cechowanie dla pola elektromagnetodynamicznego (44.38) oraz przedstawienie tensora prądu ładunku elektrycznego (28.11), a także biorąc definicję gęstości tensora siły pochodzących od oddziaływania (tu pola elektromagnetodynamicznego) (41.31) otrzymujemy wzór na gęstość tensora siły w układach globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne albo krzywoliniowe lub we współrzędnych krzywoliniowych:

${{dK_{o\mu }} \over {dV}}=-{{\gamma } \over {c}}T^{(p)}\!_{\mu }\!^{\nu }\!_{;\nu }=-{{\gamma } \over {c}}\left(T^{(a)}\!_{\mu }\!^{\nu }\!_{;\nu }+A^{\nu }J_{\mu ;\nu }-{J^{\alpha }}_{;\mu }A_{\alpha }\right)=-{{\gamma } \over {c}}F_{\mu \nu }J^{\nu }\Rightarrow {{dK_{o}^{\mu }} \over {dV}}=-{{\gamma } \over {c}}F^{\mu \nu }J_{\nu }=-{{\gamma } \over {c}}F^{\mu \nu }c\rho _{0q}u_{\nu }=\;$
$=-{{\gamma } \over {c}}F^{\mu \nu }c{{1} \over {\gamma }}\rho _{q}u_{\nu }=-\rho _{q}F^{\mu \nu }u_{\nu }\Rightarrow \left({{dK_{o}^{\mu }} \over {dV}}=-\rho _{q}F^{\mu \nu }u_{\nu }\Rightarrow {{dF_{o}^{\mu }} \over {dV}}=-\rho _{q}F^{\mu \nu }v_{\nu }\right)\Rightarrow {\big (}{dK_{o}^{\mu }}=-dqF^{\mu \nu }u_{\nu }\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {dF_{o}^{\mu }}=-dqF^{\mu \nu }v_{\nu }{\big )}\;$

(44.43)

Jak widzimy wzór na różniczkę tensora siły (44.43) powstałych w wyniku obliczeń w elektromagnetodynamice jest prawdziwy, bo go udowodnilimy w (EK-26.61).

Cechowanie w elektromagnetostatyce i elektromagnetodynamice w szczególnej teorii względności, asymetryczność tensora gęstości energii(masy)-pędu, a mechanika Newtona

Weźmy tensor gęstości energii(masy)-pędu część asymetryczna, wtedy cechowanie (44.11) policzmy wiedząc, że w mechanice Newtona są tylko oddziaływania elektromagnetostatyczne, wtedy piszmy jego lewą stronę zakładając, że $r=r(x^{\mu },g^{\mu \nu })\;$ lub jest stałą, co na podstawie tego wyrażenie w nim stosując cechowanie (44.34) i lokalną zasadę zachowania ładunku (44.35), mamy:

$T\!^{(a)}\!_{\mu }\!^{\nu }\!_{,\nu }+A^{\nu }J_{\mu ,\nu }-{J^{\alpha }}_{,\mu }A_{\alpha }=\left[(2r-1)\left(J_{\mu }A^{\nu }-A_{\mu }J^{\nu }\right)\right]_{,\nu }+A^{\nu }J_{\mu ,\nu }-{J^{\alpha }}_{,\mu }A_{\alpha }=\;$
$=2r_{,\nu }\left(J_{\mu }A^{\nu }-A_{\mu }J^{\nu }\right)+(2r-1)\left(J_{\mu ,\nu }A^{\nu }-A_{\mu ,\nu }J^{\nu }\right)+A^{\nu }J_{\mu ,\nu }-{J^{\alpha }}_{,\mu }A_{\alpha }\;$

(44.44)

Gdy $r\neq 0\;$, wtedy (44.44) dla $c\rightarrow \infty \;$ dąży z dokładnością do znaku do nieskończoności przy $\mu =0\;$ (tak zachodzi w mechanice Newtona, tzn. dla tego przypadku mechanika Einsteina przechodzi w mechanikę Newtona), to napiszmy rachunkiem poniżej i dowiemy się, aby nie wychodziły w nim z dokładnością do znaku nieskończoności, to musi być $r=0\;$ stosując tutaj definicję tensora potencjału tensorowego (28.10)) i tensora prądu elektrycznego (28.11), wtedy:

$2r_{,\nu }\left(J_{0}A^{\nu }-A_{0}J^{\nu }\right)+(2r-1)\left(J_{0,\nu }A^{\nu }-A_{0,\nu }J^{\nu }\right)+A^{\nu }J_{0,\nu }-{J^{\alpha }}_{,0}A_{\alpha }\;$

(44.45)

Wtedy dla $r=0\;$ na podstawie wcześniejszych wniosków:

$T\!^{(a)}\!_{\mu }\!^{\nu }\!_{,\nu }+A^{\nu }J_{\mu ,\nu }-{J^{\alpha }}_{,\mu }A_{\alpha }=A_{\mu ,\nu }J^{\nu }-{J^{\alpha }}_{,\mu }A_{\alpha }\;$

(44.46)

Wzór (44.46) będziemy stosowali w elektromagnetostatyce i elektromagnetodynamice.

Cechowanie w elektromagnetyzmie

Podamy jakie cechowania rządzą w elektromagnetyzmie dla pola statycznego i dynamicznego.

Cechowanie w elektromagnetostatyce

Wtedy na podstawie (44.44) i (44.45) cechowanie (44.11) w elektromagnetostatyce po zastosowaniu tego udowodnionego $r\;$, stosujemy tutaj definicję tensora potencjału tensorowego (28.10)) i tensora prądu elektrycznego (28.11), jest równe kolejno w układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne (44.47) i we współrzędnych krzywoliniowych lub uogólnionych (44.48) (z teorii transformacji tensorowej):

$A_{\mu ,\nu }J^{\nu }-{J^{\alpha }}_{,\mu }A_{\alpha }=0\;$

(44.47)

$A_{\mu ;\nu }J^{\nu }-{J^{\alpha }}_{;\mu }A_{\alpha }=0\;$

(44.48)

Cechowanie w elektromagnetodynamice

Na podstawie cechowania (44.11) spełnione w elektromagnetostatyce jest podobnie dla cechowania w elektromagnetodynamice, tzn.: (44.38) przy $r=0\;$, tutaj stosujemy definicję tensora potencjału tensorowego (28.10)) i tensora prądu elektrycznego (28.11), przechodzi w wzór (44.49), wtedy w nim już nie występuje to, tzn.: dąży z dokładnością do znaku nieskończoności przy $\mu =0\;$ (a przy $r\neq 0\;$ występuje, tzn.: dąży z dokładnością do znaku nieskończoności przy $\mu =0\;$), jest równe w układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne i we współrzędnych krzywoliniowych lub uogólnionych (z teorii transformacji tensorowej) równaniu tensorowemu:

$-F_{\mu \beta }J^{\beta }+A_{\mu ,\nu }J^{\nu }-{J^{\alpha }}_{,\mu }A_{\alpha }=0\;$

(44.49)

Tensor gęstości energii(masy)-pędu odpowiedzialnej za pole elektromagnetyczne

Podamy tutaj tensor gęstości energii(masy)-pędu dla pola statycznego i dynamicznego.

Elektromagnetostatyka

Powyżej udowodniliśmy, że aby nie było dąży z dokładnością do znaku nieskończoności w cechowaniu (44.11) to musi być $r=0\;$, wtedy całkowity tensor gęstości energii(masy)-pędu odpowiedzialnej za oddziaływanie elektromagnetostatyczne jest na podstawie jego definicji (44.3), stosujemy tutaj (44.5), zatem:

$T^{(p)\mu \nu }=2A^{\mu }J^{\nu }-\eta ^{\mu \nu }A^{\alpha }J_{\alpha }\;$

(44.50)

Widzimy w (44.50), że tensor gęstości energii(masy)-pędu odpowiedzialnej za oddziaływanie elektromagnetostatyczne jest niesymetryczne ze względu na przestawienie wskaźników.

Elektromagnetodynamika

Powyżej udowodniliśmy, że aby nie było dąży z dokładnością do znaku nieskończoności w cechowaniu (44.38) to musi być $r=0\;$, wtedy całkowity tensor gęstości energii-pędu odpowiedzialnej za oddziaływanie elektromagnetodynamiczne jest na podstawie jego definicji (44.19), stosujemy tutaj (44.5) dla części nie z tensorem elektromagnetycznym $F^{\alpha \beta }\;$, zatem:

$T^{(p)\mu \nu }=\pm {{1} \over {\mu _{0}}}F^{\mu \beta }{F^{\nu }}_{\beta }+2A^{\mu }J^{\nu }\mp \eta ^{\mu \nu }\left({{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\pm A^{\alpha }J_{\alpha }\right)\;$

(44.51)

Widzimy w (44.51), że tensor gęstości energii-pędu odpowiedzialnej za oddziaływanie elektromagnetodynamiczne jest niesymetryczne ze względu na przestawienie wskaźników.

Całkowity tensor gęstości energii(masy)-pędu

Podamy tutaj całkowitą gęstość tensora energii(masy)-pędu w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona jako sumę tych tensorów, ale kinematycznego i samego rozważanego pola.

Szczególna teoria względności

Podamy tutaj tensory gęstości energii-pędu dla oddziaływania elektromagnetostatycznego i elektromagnetodynamicznego.

Elektromagnetostatyka

Wykorzystamy tutaj wzór na całkowity tensor gęstości energii-pędu dla pola elektromagnetostatycznego (44.7) podstawiając w nim udowodnione $r=0\;$:

$T^{\mu \nu }=T^{(k)\mu \nu }+T^{(p)\mu \nu }=(\rho _{0}c^{2}+p)u^{\mu }u^{\nu }\mp p\eta ^{\mu \nu }+2A^{\mu }J^{\nu }-\eta ^{\mu \nu }A^{\alpha }J_{\alpha }\;$

(44.52)

Widzimy w (44.52), że całkowity tensor gęstości energii-pędu dla oddziaływanie elektromagnetostatyczne w szczególnej teorii względności jest niesymetryczny ze względu na przestawienie wskaźników.

Elektromagnetodynamika

Wykorzystamy tutaj wzór na całkowity tensor gęstości energii-pędu dla pola elektromagnetostatycznego (44.28) podstawiając w nim udowodnione $r=0\;$:

$T^{\mu \nu }=T^{(k)\mu \nu }+T^{(p)\mu \nu }=(\rho _{0}c^{2}+p)u^{\mu }u^{\nu }\mp p\eta ^{\mu \nu }\pm {{1} \over {\mu _{0}}}{F^{\mu }}_{\beta }F^{\nu \beta }+2A^{\mu }J^{\nu }\mp \eta ^{\mu \nu }\left({{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\pm A^{\alpha }J_{\alpha }\right)\;$

(44.53)

Widzimy w (44.53), że całkowity tensor gęstości energii-pędu dla oddziaływanie elektromagnetodynamiczne w szczególnej teorii względności jest niesymetryczny ze względu na przestawienie wskaźników.

Mechanika Newtona

Wykorzystamy tutaj wzór na całkowitą gęstość masy-pędu dla pola elektromagnetostatycznego (44.8) podstawiając w nim udowodnione $r=0\;$:

$T^{\mu \nu }=T^{(k)\mu \nu }+T^{(p)\mu \nu }=\rho _{0}v^{\mu }v^{\nu }\mp p\eta ^{\mu \nu }+2A^{\mu }J^{\nu }-\eta ^{\mu \nu }A^{\alpha }J_{\alpha }\;$

(44.54)

Widzimy w (44.54), że całkowity tensor gęstości masy-pędu dla oddziaływanie elektromagnetostatyczne w mechanice Newtona jest niesymetryczny ze względu na przestawienie wskaźników.