Szczególna teoria względności/Lagrangian masowy kinematyczny w mechanice Einsteina i Newtona

Lagrangian masowy kinematyczny w mechanice Einsteina i Newtona

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Szczególne postacie gęstości Lagrangianu

Będziemy tutaj prowadzać szczególne postacie gęstości lagrangianu.

Ogólna gęstość lagrangianu kinematycznego dla szczególnej teorii względności i mechaniki Newtona

Wiedząc jaka jest gęstość lagrangianu w szczególnej teorii względności przedstawionego w punkcie (28.12) w zerowym polu elektromagnetycznym, wtedy przepisując to dla tego przypadku i dokonując przekstałceń, wtedy gęstość lagrangianu kinematyczna dla sygnatury dodatniej:

${\mathfrak {L}}_{k}=-\rho _{0}c^{2}=-\rho _{0}c^{2}u^{\dot {\mu }}u_{\dot {\mu }}=-\left[{{1} \over {2}}\left(\rho _{0}c^{2}+p\right)u^{\dot {\mu }}\eta _{{\dot {\mu }}{\dot {\nu }}}u^{\dot {\nu }}+{{1} \over {2}}(\rho _{0}c^{2}-p)\eta ^{\alpha {\dot {\mu }}}\eta _{{\dot {\mu }}\alpha }\right]\;$

(43.1)

A dla ujemnej, wtedy zamienia się $\eta ^{\mu \nu }\rightarrow -\eta ^{\mu }\;$, zatem:

${\mathfrak {L}}_{k}=-\rho _{0}c^{2}=\rho _{0}c^{2}u^{\dot {\mu }}u_{\dot {\mu }}=-\left[-{{1} \over {2}}\left(\rho _{0}c^{2}+p\right)u^{\dot {\mu }}\eta _{{\dot {\mu }}{\dot {\nu }}}u^{\dot {\nu }}+{{1} \over {2}}(\rho _{0}c^{2}-p)\eta ^{\alpha {\dot {\mu }}}\eta _{{\dot {\mu }}\alpha }\right]\;$

(43.2)

We wzorze (43.1) i (43.2) sumowanie jest tylko po $\mu \;$ i $\nu \;$, a względem $\alpha \;$ już nie, co uwzględnieliśmy za pomocą kropki nad wskaźnikami, jeśli jest kropka to po nim następuje suwanie, a jak nie ma kropki to po nim nie ma sumowania. Gęstość lagrangianu (43.1) i (43.2) są również słuszne w mechanice Newtona przy definicji różniczki interwału czasoprzestrzennego (16.12), nie tylko w szczególnej teorii względności przy definicji różniczki interwału czasoprzestrzennego (16.3). W przypadku wzoru na gęstość lagrangianu, tzn.: (43.1) i (43.2), zakładamy, że jest on również słuszny nie tylko dla układów globalnie (lokalnie) płaskich, ale też dla układów słabozakrzywionych, co nie trudno to udowodnić.

Ogólna gęstość lagrangianu kinematycznego dla mechaniki Newtona

Napiszmy gęstości lagrangianu słuszne dla mechaniki Newtona jako gęstość lagrangianu kinematycznego:

${\mathfrak {L}}_{k}=-\left[{{1} \over {2}}\left(\rho c^{2}+p\right)\left(1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}\right)+{{1} \over {2}}\left(\rho c^{2}-p\right)a^{i{\dot {j}}}a_{{\dot {j}}i}\right]=-{{1} \over {2}}\left(\rho c^{2}+p\right)\left(1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}\right)-{{1} \over {2}}\left(\rho c^{2}-p\right)a^{i{\dot {j}}}a_{{\dot {j}}i}=\;$
$=\rho {{v^{2}} \over {2}}-{{1} \over {2}}\left[\rho c^{2}+p\left(1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}\right)+\left(\rho c^{2}-p\right)a^{i{\dot {j}}}a_{{\dot {j}}i}\right]$

(43.3)

We wzorze (43.3) sumowanie jest tylko po $j\;$, a względem $i\;$ już nie, co uwzględnieliśmy za pomocą kropki nad wskaźnikami, jeśli jest kropka to po nim następuje suwanie, a jak nie ma kropki to po nim nie ma sumowania. W przypadku wzoru na gęstość lagrangianu (43.3) zakładamy, że jest on również słuszny nie tylko dla układów globalnie (lokalnie) płaskich, ale też dla układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne albo we współrzędnych krzywoliniowych lub uogóilnionych, co nie trudno to udowodnić. Wzór (43.3) jest słuszny w mechanice Newtona przy definicji interwału czasoprzestrzennego (16.12). W gęstości lagrangianu kinematycznego (43.3) występuje pierwszy człon $\rho {{v^{2}} \over {2}}\;$, który jest taki sam jak w gęstości lagrangianu dla mechaniki Newtona (28.20) przy globalnie (lokalnie) zerowym polu elektro- i magneto-statycznym, czyli potencjał tensorowy wtedy tam $A^{\mu }\;$ jest globalnie (lokalnie) stały, a więc w nim można pominąć i zostaje człon z gęstością energii kinetycznej tak jak w (43.3), gdzie dodatkowe wyrazy to są globalnie (lokalnie) stałe w układzie globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym wektorze prędkości, bo zachodzi w nim globalna (lokalna) stałość wielkości na podstawie (26.1) (dla ciśnienia) i (26.5) (dla gęstości masy), a więc można je w (28.20) tam włożyć i wtedy wyjdzie gęstość lagrangianu kinematycznego (43.3), który z definicji układu słabozakrzywionego uważane za płaskie ogólnie nieprostokątne albo we współrzędnych krzywoliniowych lub uogólnionych jest również w nim słuszny po przejściu od układu globalnie (lokalnie) płaskiego o globalnie (lokalnie) stałym wektorze prędkości do niego.

Tensor gęstości energii(masy)-pędu kinematyczny dla układów globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych

Wprowadzimy tutaj tensor gęstości energii(masy)-pędu kinematyczny.

Tensor gęstości energii(masy)-pędu kinematyczny dla szczególnej teorii względności

Wykorzystajmy gęstość lagrangianu kinematycznego (43.1) (ostatnia równość - sygnatura dodatnia), wtedy z definicji tensora gęstości energii-pędu (41.16) za pomocą gęstości lagrangianu kinematycznego jest napisana:

$T^{(k)\alpha \beta }=T_{k}^{\alpha \beta }=\left(\rho _{0}c^{2}+p\right)u^{\alpha }u^{\beta }+(\rho _{0}c^{2}-p)\eta ^{\alpha \beta }-{{1} \over {2}}\left(\rho _{0}c^{2}+p\right)\eta ^{\alpha \beta }-{{1} \over {2}}(\rho _{0}c^{2}-p)\eta ^{\alpha \beta }\Rightarrow T_{k}^{\alpha \beta }=\left(\rho _{0}c^{2}+p\right)u^{\alpha }u^{\beta }-p\eta ^{\alpha \beta }$

(43.4)

a dla sygnatury ujemnej (43.2) (ostatni wzór) przedstawiamy:

$T^{(k)\alpha \beta }=T_{k}^{\alpha \beta }=\left(\rho _{0}c^{2}+p\right)u^{\alpha }u^{\beta }-(\rho _{0}c^{2}-p)\eta ^{\alpha \beta }+{{1} \over {2}}\left(\rho _{0}c^{2}+p\right)\eta ^{\alpha \beta }+{{1} \over {2}}(\rho _{0}c^{2}-p)\eta ^{\alpha \beta }\Rightarrow T_{k}^{\alpha \beta }=\left(\rho _{0}c^{2}+p\right)u^{\alpha }u^{\beta }+p\eta ^{\alpha \beta }\;$

(43.5)

Wzory na tensory gęstości energii-pędu kinematyczny (43.4) - sygnatura dodatnia, i (43.5) -sygnatura ujemna, przedstawiające to samo, tylko rózne sygnatury , ale one są razem wzięte takie same jak w punkcie (36.20). Na podstawie (43.4) i (43.5), (wynikający z teorii gęstości lagrangianu) i (36.20) (wynikający z teorii ruchu) przedstawienia gęstości lagrangianu (43.1) i (43.5), wtedy pierwsze i drugie przedstawienie tam tych gęstoci lagrangianu są niefizyczne, a ostatnie są fizyczne.

Tensor gęstości masy-pędu kinematyczny dla mechaniki Newtona jako przybliżenie nierelatywistyczne

Wykorzystajmy gęstość lagrangianu kinematycznego (43.3), wtedy z definicji tensora gęstości masy-pędu (42.5) za pomocą gęstości lagrangianu kinematycznego, wiedząc, że w mechanice Newtona $v\ll c\;$ i (36.22) $\left({{p} \over {c^{2}}}\ll \rho \right)\;$, a także ${{v^{i}} \over {c}}\simeq 0$ (dlatego wyrazy z nimi pomijamy), jest napisana:

$T^{(k)ij}=T_{k}^{ij}=\left(\rho _{0}c^{2}+p\right){{v^{i}} \over {c}}{{v^{j}} \over {c}}-\left(\rho c^{2}-p\right)a^{ij}+{{1} \over {2}}\left(\rho c^{2}+p\right)a^{ij}+{{1} \over {2}}\left(\rho c^{2}-p\right)a^{ij}=$
$=\left(\rho +{{p} \over {c^{2}}}\right)v^{i}v^{j}-\left(\rho c^{2}-p\right)a^{ij}+{{1} \over {2}}\left(\rho c^{2}+p\right)a^{ij}+{{1} \over {2}}\left(\rho c^{2}-p\right)a^{ij}\Rightarrow T_{k}^{ij}=\left(\rho +{{p} \over {c^{2}}}\right)v^{i}v^{j}+pa^{ij}\Rightarrow T_{k}^{ij}\simeq \rho v^{i}v^{j}+pa^{ij}$

(43.6)

Wzór na tensor gęstości masy-pędu kinematyczny (43.6) jest taki sam jak w punkcie (36.21). Na podstawie (43.6) (wynikający z teorii gęstości lagrangianu) i (36.21) (wynikający z teorii ruchu) przedstawienie gęstości lagrangianu (43.3) jest fizyczne w mechanice Newtona. Gęstość wielkości wskaźnikowej gęstości masy-pędu (43.6) jest częścią przestrzenną tensora gęstości masy-pędu (43.4), a współrzędne $T_{k}^{\mu 0}\;$ i $T_{k}^{0\mu }\;$ w tej macierzy nie są podane, jedynie one są uwzględnione one w tensorze gęstości masy-pędu w (36.21), który jest sformułowany dla mechaniki Newtona będąca przybliżeniem tensora gęstości masy-pędu (36.20) po pominięciu wyrazu z $p\;$ w członie z $u^{\mu }u^{\nu }\;$.