Szczególna teoria względności/Lokalna zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu z teorii gęstości lagrangianu

Lokalna zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu z teorii gęstości lagrangianu

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Spis treści
1Lokalna zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu, a zasada wariacyjna 2Lokalna zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu ewentualnie z gęstością tensora siły zewnętrznej 3Lokalna zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu wyrażona przez tensor gęstości energii(masy)-pędu masowy kinematyczny

Wyprowadzimy tutaj lokalną zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu z zasady wariacyjnej i inne wynikające z niej stąd wnioski.

Lokalna zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu, a zasada wariacyjna

Na sam początek zdefiniujmy, co to jest przestrzeń ortonormalna, czyli jest to przestrzeń z układem wersorów ortogonalnych względem siebie z długościamy wersorów o module równym jeden. Określmy gęstość lagrangianu w przestrzeni globalnie (lokalnie) płaskiej euklidesowym, który jest funkcją współrzędnych uogólnionych i pierwszych pochodnych cząstkowych względem współrzędnych przestrzennych Minkowskiego ogólnie nieprostokątnej zmiennej x^μ, i jego miano jest takie J/mⁿ, ale aby policzyć właściwy Lagrangian $L\;$ należy gęstość Lagrangianu przecałkować po całej przestrzeni zwykłej euklidesowej n-wymiarowej ortonormalnej, a całkę działania $S\;$ tego lagrangianu jeszcze po zmiennej $x^{0}=ct\;$, zapisaną wedle sposobu w układzie globalnie (lokalnie) płaskim euklidesowym:

$S=c\int _{t_{1}}^{t_{2}}dtL=c\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt\int _{V}{\mathfrak {L}}({x^{\mu }},{x^{\mu }}_{,\alpha },q^{\alpha })dV=\int _{\tau }{\mathfrak {L}}({x^{\mu }},{x^{\mu }}_{,\alpha },q^{\alpha })d^{n}x^{i}d(ct)=\int _{\tau }{\mathfrak {L}}({x^{\mu }},{x^{\mu }}_{,\alpha },q^{\alpha })d^{n+1}x^{\mu }\Rightarrow \;$
$\Rightarrow S=\int _{\tau }{\mathfrak {L}}({x^{\mu }},{x^{\mu }}_{,\alpha },q^{\alpha })d\tau$

(41.1)

• gdzie:

$dV=dx^{1}dx^{2}...dx^{i}..dx^{n}\;$ jest to nieskończenie mała objetość w przestrzeni zwykłej n-wymiarowej euklideowej ortonormalnej. Równa z definicji tensora metrycznego Minkowkiego (16.4) niekończenie małej objętości w przestrzeni zwykłej czasoprzestrzeni Minkowkiego ortonormalnej z definicji zamiany zmiennych.

$dx^{0}=cdt\;$ jest to różniczka współrzędnej czasowej liczona w metrach, która jest jako iloczyn prędkości światła i różniczki czasu znanej z codziennego życia, która jest mierzona w sekundach. Ta różniczka z definicji tensora metrycznego Minkowkiego jest taka sama w przestrzeni euklidesowej jak i Minkowkiego.

$d\tau =dVdct=dx^{0}dx^{1}dx^{2}...dx^{i}..dx^{n-1}dx^{n}=dx^{0}d^{n}x^{i}=d^{n+1}x^{\mu }\;$ jest to nieskończenie małą objętość w przestrzeni (n+1)-wymiarowej euklidesowej ortonormalnej. Równa z definicji tensora metrycznego Minkowkiego (16.4) niekończenie małej objętości w czasoprzestrzeni (n+1)-wymiarowej Minkowkiego ortonormalnej z definicji zamiany zmiennych.

$x^{\mu }\;$ to są współrzędne przestrzenne w układzie euklidesowym ortonormalnym liczone tylko w metrach.

$q^{\alpha }\;$ to są współrzędne przestrzenne w układzie Minkowskiego liczone tylko w metrach.

${x^{\mu }}_{,\alpha }\;$ jest to pochodna współrzędnej $x^{\mu }\;$ względem współrzędnej $q^{\alpha }$.

Transformacja pomiędzy wyznacznikiem macierzy iloczynu skalarnego (tutaj tensora metrycznego) przestrzeni Minkowskiego ogólnie nieprostokątnej, a macierzą iloczynu skalarnego przestrzeni euklidesowej ortonormalnej, przedstawiamy poniżej, co później biorąc wyznacznik obu jego stron, wtedy moduł macierzy transformacji jest równy modułowi pierwiastka z minus wyznacznika tenora metrycznego przestrzeni Minkowskiego:

$(\eta )={\Lambda ^{'}}^{T}(A=I){\Lambda ^{'}}\Rightarrow (\eta )={\Lambda ^{'}}^{T}{\Lambda ^{'}}\Rightarrow \eta =|\Lambda ^{'}|^{2}\Rightarrow |\Lambda ^{'}|={\sqrt {\eta }}\Rightarrow |\Lambda ^{'}|={\sqrt {-1}}{\sqrt {-\eta }}\Rightarrow |\Lambda ^{'}|=i{\sqrt {-\eta }}\Rightarrow ||\Lambda ^{'}||=|{\sqrt {-\eta }}|\;$

(41.2)

Na podstawie (41.2) wzór na nieskończenie małą objętość w przestrzeni (n+1)-wymiarowej układu euklidesowego ortonormalnego w zależności od nieskończenie małej objętości w układzie Minkowskiego ogólnie nieprostokątnym przedstawiamy:

$d\tau =d^{n+1}x^{\mu }=||\Lambda ^{'}||d^{n+1}q^{\alpha }=|{\sqrt {-\eta }}|d^{n+1}q^{\alpha }\;$

(41.3)

• $d\tau \;$ jest to nieskończenie mała objętość w przestrzeni (n+1)-wymiarowej euklidesowej ortonormalnej.

W (41.3) na podstawie definicji tensora Minkowkiego układu ortonormalnego (16.4) według (41.3) dochodzimy do wniosku, że $d\tau =d^{n+1}x^{\mu }=d^{n+1}q^{\alpha }\;$. Aby policzyć objetość w układzie euklidesowym ortonormalnym względem układu Minkowskiego ogólnie nieprostokątnego wykorzystajmy (41.3), więc:

$\tau =\int _{\tau }d\tau =\int _{\tau }|{\sqrt {-\eta }}|d^{n+1}q^{\alpha }\;$

(41.4)

Po powyższych przekształceniach wiedząc na oznaczenie w elementarnej infinitezymalnej objętości $d\tau \;$ (41.3) w układzie euklidesowym, wtedy całkę działania (41.1) można przedstawić wychodząc od układu ortonormalnego euklidesowego przechodząc do układu Minkowskiego ogólnie nieprostokatnego wykorzystując (41.3):

$S=\int _{\tau }{\mathfrak {L}}({x^{\mu }},{x^{\mu }}_{,\alpha },q^{\alpha })d\tau =\int _{\tau }|{\sqrt {-\eta }}|{\mathfrak {L}}({x^{\mu }},{x^{\mu }}_{,\alpha },q^{\alpha })d^{n+1}q^{\alpha }$

(41.5)

W powyższym wzorze oznaczeniem q^μ oznaczyliśmy współrzędne uogólnione, które opisują układ Minkowskiego zanurzony w euklideowym układzie współrzędnych. Napiszmy całkę działania funkcjonału $S\;$ (41.5) wiedząc, że dla układów globalnie (lokalnie) płaskich w przestrzeni Minkowkiego, nie eukliedowego, tensor metryczny $\eta _{\mu \nu }\;$ ($\eta \;$ tylko zależy od zmiennych $\eta _{\mu \nu }\;$), ${x^{\mu }}\;$, ${x^{\mu }}_{,\alpha }\;$ i $q^{\alpha }\;$ są zmiennymi niezależnymi względem siebie, czyli:

$\delta S=\delta \int _{\tau }|{\sqrt {-\eta }}|{\mathfrak {L}}({x^{\mu }},{x^{\mu }}_{,\alpha },q^{\alpha })d^{n+1}q^{\alpha }=\int _{\tau }\delta \left[|{\sqrt {-\eta }}|{\mathfrak {L}}({x^{\mu }},{x^{\mu }}_{,\alpha },q^{\alpha })\right]d^{n+1}q^{\alpha }=\int _{\tau }{\Bigg (}{{\partial |{\sqrt {-\eta }}|{\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}}}+\;$
$-{{\partial } \over {\partial q^{\alpha }}}{{\partial |{\sqrt {-\eta }}|{\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}_{,\alpha }}}{\Bigg )}d^{n+1}q^{\alpha }\delta x^{\mu }=\int _{\tau }|{\sqrt {-\eta }}|\left({{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}}}-{{\partial } \over {\partial q^{\alpha }}}{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}_{,\alpha }}}\right)d^{n+1}q^{\alpha }\delta x^{\mu }=0\;$

(41.6)

Znając całkę działania (41.5) wychodzące z (41.1) możemy napisać równanie Eulera-Lagrange'a pamiętając o niezależności pewnych zmiennych względem siebie pamiętając o (41.6) jako wniosek z (41.5) piszemy:

${{\partial } \over {\partial q^{\alpha }}}{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}_{,\alpha }}}-{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}}}=0$

(41.7)

Rozpiszmy teraz z definicji różniczki zupełnej pochodną cząstkową Lagrangianu względem współrzędnej kontrawariantnej q^β w przestrzeni Minkowskiego na wyrażenie zapisaną za pomocą pochodnej tego samego lagrangianu względem współrzędnej uogólnionej x^μ i względem pochodnej wspomnianej współrzędnej względem współrzędnej uogólnionej q^α, czyli x^μ_,α:

${{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial q^{\beta }}}={{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}}}{x^{\mu }}_{,\beta }+{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}_{,\alpha }}}{x^{\mu }}_{,\alpha ,\beta }$

(41.8)

Z zasady wariacyjnej (41.7) można napisać tak by po przenoszeniu drugiego wyrazu na prawą stronę i odwracając stronami, po tej operacji dostajemy:

${{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}}}={{\partial } \over {\partial q^{\alpha }}}{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}_{,\alpha }}}$

(41.9)

Podstawiamy równanie (41.9) do pierwszego wyrazu z prawej strony równania (41.8) i dokonując zwinięcia pewnych wyrazów, w której wystepują pod pochodną względem jakieś współrzędnej:

${{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial q^{\beta }}}={{\partial } \over {\partial q^{\alpha }}}{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}_{,\alpha }}}{x^{\mu }}_{,\beta }+{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}_{,\alpha }}}{x^{\mu }}_{,\alpha ,\beta }\Rightarrow {{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial q^{\beta }}}={{\partial } \over {\partial q^{\alpha }}}\left({{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}_{,\alpha }}}{x^{\mu }}_{,\beta }\right)$

(41.10)

Wiemy jednak, z definicji delty Kroneckera możemy zapisać pochodną lagrangianu względem zmiennej q^β troszkę w innej postaci przy pomocy ostatnio wspomnianego obiektu.

${{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial q^{\beta }}}={\delta ^{\alpha }}_{\beta }{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial q^{\alpha }}}$

(41.11)

Równanie (41.10) możemy napisać po podstawieniu do niego udowodnionej tożsamości (41.11), wtedy otrzymujemy równanie wyłączając operator pochodnej cząstkowej względem x^α, zatem:

$0={{\partial } \over {\partial q^{\alpha }}}\left({{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}_{,\alpha }}}{x^{\mu }}_{,\beta }-{\delta ^{\alpha }}_{\beta }{\mathfrak {L}}\right)$

(41.12)

Równanie (41.12) mnożymy przez η^βγ, otrzymujemy:

$0={{\partial } \over {\partial q^{\alpha }}}\left({{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}_{,\alpha }}}{x^{\mu }}_{,\beta }\eta ^{\gamma \beta }-\eta ^{\gamma \alpha }{\mathfrak {L}}\right)\;$

(41.13)

Udowodnijmy lokalną zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu (41.16) wychodząc z przedstawienia (41.13) pod nawiasem, zatem przekształcajmy pierwszy wyraz pod pochodną w (41.13) wiedząc, że tensor metryczny podwójnie kontrawariantny jest zapisany jako $\eta _{\epsilon \xi }={x^{\nu }}_{,\epsilon }x_{\nu ,\xi }\;$, otrzymujemy:

${{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}_{,\alpha }}}{x^{\mu }}_{,\beta }\eta ^{\gamma \beta }={{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial \eta _{\epsilon \xi }}}{{\partial \eta _{\epsilon \xi }} \over {\partial {x^{\mu }}_{,\alpha }}}{x^{\mu }}_{,\beta }\eta ^{\gamma \beta }={{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial \eta _{\epsilon \xi }}}{{\partial \left({x^{\nu }}_{,\epsilon }x_{\nu ,\xi }\right)} \over {{\partial x^{\mu }}_{,\alpha }}}{x^{\mu }}_{,\beta }\eta ^{\gamma \beta }=2{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial \eta _{\alpha \xi }}}{x_{\mu ,\xi }}{x^{\mu }}_{,\beta }\eta ^{\gamma \beta }=2{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial \eta _{\alpha \xi }}}\eta _{\xi \beta }\eta ^{\gamma \beta }=2{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial \eta _{\alpha \xi }}}{\delta ^{\gamma }}_{\xi }=\;$
$=2{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial \eta _{\alpha \gamma }}}\;$

(41.14)

A więc na podstawie obliczeń na liczbach ogólnych tożsamość (41.17) podstawiamy do wzoru (41.13), wtedy:

$0={{\partial } \over {\partial q^{\alpha }}}\left(2{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial \eta _{\alpha \gamma }}}-\eta ^{\alpha \gamma }{\mathfrak {L}}\right)\;$

(41.15)

Prawo (41.15) jest treścią wynikający z zasady najmniejszego działania.

Lokalna zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu ewentualnie z gęstością tensora siły zewnętrznej

Dla tych układów na podstawie (41.15) tensor gęstości energii(masy)-pędu podwójnie kontrawariantny możemy przedstawić względem lagrangianu i tensora metrycznego Minkowskiego prostego i odwrotnego:

$T^{\mu \nu }=\mp 2{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial \eta _{\mu \nu }}}\pm \eta ^{\mu \nu }{\mathfrak {L}}\;$

(41.16)

Wtedy lokalna zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu w układach płaskich ogólnie nieprostokątnych i we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych) piszemy w postaci:

${{\partial } \over {\partial q^{\nu }}}T^{\mu \nu }=0\Rightarrow {T^{\mu \nu }}_{,\nu }=0\;$

(41.17)

${T^{\mu \nu }}_{,\nu }=0\Rightarrow {{\overline {\Lambda }}^{\alpha }}_{\mu }{T^{\mu \nu }}_{,\gamma }{{\overline {\Lambda }}^{\beta }}_{\nu }{\Lambda ^{\gamma }}_{\nu }=0\Rightarrow {T^{\mu \nu }}_{;\nu }=0\;$

(41.18)

Zdefiniujmy gęstość lagrangianu i wynikający z tego tensor gęstości energii(masy)-pędu zastępując według:

${\mathfrak {L}}\rightarrow {\mathfrak {L}}+{\mathfrak {L}}_{z}\;$

(41.19)

$T^{\mu \nu }\rightarrow T^{\mu \nu }+T_{z}^{\mu \nu }\;$

(41.20)

Wtedy równanie (41.18) na podstawie (41.19) i (41.20) wiedząc jaka jest definicji tensora gęstości energii(masy)-pędu przyjmuje postać we współrzędnych układów płaskich ogólnie nieprostokątnych:

$\left(T^{\mu \nu }+T_{z}^{\mu \nu }\right)_{,\nu }=0\Rightarrow {T^{\mu \nu }}_{,\nu }=\underbrace {-{T_{z}^{\mu \nu }}_{,\nu }} _{{dF_{z}^{\mu }} \over {dV}}\Rightarrow {T^{\mu \nu }}_{,\nu }={{dF_{z}^{\mu }} \over {dV}}\wedge {{dF_{z}^{\mu }} \over {dV}}=-{T_{z}^{\mu \nu }}_{,\nu }\Rightarrow -{{\gamma } \over {c}}{T_{z}^{\mu \nu }}_{,\nu }={{dK_{z}^{\mu }} \over {dV}}\;$

(41.21)

Wtedy równanie (41.17) na podstawie (41.19) i (41.20) wiedząc jaka jest definicji tensora gęstości energii(masy)-pędu przyjmuje postać we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych):

$\left(T^{\mu \nu }+T_{z}^{\mu \nu }\right)_{;\nu }=0\Rightarrow {T^{\mu \nu }}_{;\nu }=\underbrace {-{T_{z}^{\mu \nu }}_{;\nu }} _{{dF_{z}^{\mu }} \over {dV}}\Rightarrow {T^{\mu \nu }}_{;\nu }={{dF_{z}^{\mu }} \over {dV}}\wedge {{dF_{z}^{\mu }} \over {dV}}=-{T_{z}^{\mu \nu }}_{;\nu }\Rightarrow -{{\gamma } \over {c}}{T_{z}^{\mu \nu }}_{;\nu }={{dK_{z}^{\mu }} \over {dV}}\;$

(41.22)

Wtedy lokalna zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu w układach globalnie (lokalnie) płaskich jest kolejno w postaci we współrzędnych układu płaskiego ogólnie nieprostokątnego i krzywoliniowego (uogólnionego):

${{\partial } \over {\partial q^{\nu }}}T^{\mu \nu }={{dF_{z}^{\mu }} \over {dV}}\Rightarrow {T^{\mu \nu }}_{,\nu }={{dF_{z}^{\mu }} \over {dV}}\Rightarrow {{\gamma } \over {c}}{T^{\mu \nu }}_{,\nu }={{dK_{z}^{\mu }} \over {dV}}\;$

(41.23)

${T^{\mu \nu }}_{;\nu }={{dF_{z}^{\mu }} \over {dV}}\Rightarrow {{\gamma } \over {c}}{T^{\mu \nu }}_{;\nu }={{dK_{z}^{\mu }} \over {dV}}\;$

(41.24)

Widzimy, że kolejno wzory (41.23) i (41.24) są takie same jak (36.26) i (36.27) z dokładnością do nadkreśleń nad wielkościami tensorowymi, te wzory dla układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne, płaskie krzywoliniowe i we współrzędnych uogólnionych udowadnia się wychodząc od układów globalnie (lokalnie) płaskich, po tej operacji te wzory przechodzą kolejno w (41.23) i (41.24).

Lokalna zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu wyrażona przez tensor gęstości energii(masy)-pędu masowy kinematyczny

Przedstawmy gęstość lagrangianu w postaci sumy gęstości lagrangianu kinematycznego (43.1) i gęstości lagrangianu opisująca oddziaływania inne niż w członie odpowiedzialnej za oddziaływania od zewnątrz (prawa strona równości w (41.23)) w postaci:

${\mathfrak {L}}={\mathfrak {L}}_{k}+{\mathfrak {L}}_{o}\;$

(41.25)

gdzie ${\mathfrak {L}}_{k}\;$ przedstawiamy w zależności od gęstości spoczynkowej, ciśnienia i tensora prędkości wzorem (43.1) (gęstość lagrangianu kinematycznego). Napiszemy tensor gęstości energii(masy)-pędu (41.16), wtedy dowiemy się, że jest ona równa sumie tensorów gęstości energii(masy)-pędu kinematycznego i jego odpowiednika odpowiedzialnego za oddziaływania, więc napiszmy wykorzystując (41.25):

$T^{\alpha \beta }=-2{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial \eta _{\mu \nu }}}+\eta ^{\mu \nu }{\mathfrak {L}}=-2{{\partial {\mathfrak {L}}_{k}} \over {\partial \eta _{\mu \nu }}}+\eta ^{\mu \nu }{\mathfrak {L}}_{k}-2{{\partial {\mathfrak {L_{o}}}} \over {\partial \eta _{\mu \nu }}}+\eta ^{\mu \nu }{\mathfrak {L}}_{0}=T_{k}^{\alpha \beta }+T_{o}^{\alpha \beta }\Rightarrow T^{\alpha \beta }=T_{k}^{\alpha \beta }+T_{o}^{\alpha \beta }\;$

(41.26)

• gdzie wzór na tensor gęstości energii-pędu członu kinematycznego i tensor gęstości-pędu od członu odpowiedzialnej za oddziaływania przedstawiamy:

$T_{k}^{\alpha \beta }=-2{{\partial {\mathfrak {L}}_{k}} \over {\partial \eta _{\mu \nu }}}+\eta ^{\mu \nu }{\mathfrak {L}}_{k}\;$

(41.27)

$T_{o}^{\alpha \beta }=-2{{\partial {\mathfrak {L}}_{o}} \over {\partial \eta _{\mu \nu }}}+\eta ^{\mu \nu }{\mathfrak {L}}_{o}\;$

(41.28)

Weźmy pod uwagę wzór na lokalną zachowawczość tensora gęstości energii-pędu (41.23) wykorzystując wzór na tensor gęstości energii(masy)-pędu jako sumę dwóch członów (41.26), czyli $T_{k}^{\alpha \beta }\;$ (41.27) i $T_{o}^{\alpha \beta }\;$ (41.28), wtedy w układach płaskich ogólnie nieprostokątnych:

${T^{\mu \nu }}_{,\nu }={{dF_{z}^{\mu }} \over {dV}}\Rightarrow \Rightarrow \left(T_{k}^{\alpha \beta }+T_{o}^{\alpha \beta }\right)_{,\nu }={{dF_{z}^{\mu }} \over {dV}}\Rightarrow {T_{k}^{\mu \nu }}_{,\nu }+{T_{o}^{\mu \nu }}_{,\nu }={{dF_{z}^{\mu }} \over {dV}}\Rightarrow {T_{k}^{\mu \nu }}_{,\nu }=-{T_{o}^{\mu \nu }}_{,\nu }+{{dF_{z}^{\mu }} \over {dV}}\;$

(41.29)

W układach płaskich we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych) w (41.30) zamiast przecinka jest średnik, tzn. piszemy to w postaci:

${{1} \over {c}}{T^{\mu \nu }}_{;\nu }={{dK_{z}^{\mu }} \over {dV_{0}}}\Rightarrow {{1} \over {c}}\left(T_{k}^{\alpha \beta }+T_{o}^{\alpha \beta }\right)_{;\nu }={{dF_{z}^{\mu }} \over {dV}}\Rightarrow {{1} \over {c}}\left({T_{k}^{\mu \nu }}_{;\nu }+{T_{o}^{\mu \nu }}_{;\nu }\right)={{dK_{z}^{\mu }} \over {dV_{0}}}\Rightarrow {{1} \over {c}}{T_{k}^{\mu \nu }}_{;\nu }=-{{1} \over {c}}{T_{o}^{\mu \nu }}_{;\nu }+{{dK_{z}^{\mu }} \over {dV_{0}}}\;$

(41.30)

Na podstawie (41.30) wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły odpowiedzialnej za oddziaływania inne niż w członie odpowiedzialnej za oddziaływania od zewnątrz (prawa strona równości w (41.23)) jest równy w układach płaskich ogólnie nieprostokątnych:

$-{{\gamma } \over {c}}{T_{o}^{\mu \nu }}_{,\nu }={{dK_{o}^{\mu }} \over {dV}}\wedge -{T_{o}^{\mu \nu }}_{,\nu }={{dF_{o}^{\mu }} \over {dV}}\;$

(41.31)

Wzór (41.31) w układach o współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych) po transformacji do tego układu jest:

$-{T_{o}^{\mu \nu }}_{,\nu }={{dF_{o}^{\mu }} \over {dV}}\Rightarrow -{{\gamma } \over {c}}{T_{o}^{\mu \nu }}_{,\nu }={{dK_{o}^{\mu }} \over {dV}}\Rightarrow -{{1} \over {c}}{T_{o}^{\mu \nu }}_{,\nu }={{dK_{o}^{\mu }} \over {dV_{0}}}\Rightarrow -{{1} \over {c}}{{\overline {\Lambda }}^{\alpha }}_{\mu }{T_{o}^{\mu \gamma }}_{,\beta }{{\overline {\Lambda }}^{\beta }}_{\nu }{\Lambda ^{\nu }}_{\gamma }={{\overline {\Lambda }}^{\alpha }}_{\mu }{{dK_{o}^{\mu }} \over {dV_{0}}}\Rightarrow -{{1} \over {c}}{{\overline {T}}_{o}^{\mu \nu }}_{;\nu }={{d{\overline {K}}_{o}^{\mu }} \over {dV_{0}}}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow -{{\overline {\gamma }} \over {c}}{T_{o}^{\mu \nu }}_{;\nu }={{d{\overline {K}}_{o}^{\mu }} \over {d{\overline {V}}}}\Rightarrow -{{\overline {T}}_{o}^{\mu \nu }}_{;\nu }={{d{\overline {F}}_{o}^{\mu }} \over {d{\overline {V}}}}\;$

(41.32)

Wtedy mając wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły pochodzącej od oddziaływania (41.31) i wzór na lokalną zachowawczość energii-pędu w układach płaskich ogólnie nieprostokątnych (41.29), piszemy:

${T_{k}^{\mu \nu }}_{,\nu }={{dF_{o}^{\mu }} \over {dV}}+{{dF_{z}^{\mu }} \over {dV}}\Rightarrow {T_{k}^{\mu \nu }}_{,\nu }={{dF_{oiz}^{\mu }} \over {dV}}\Rightarrow {{\gamma } \over {c}}{T_{k}^{\mu \nu }}_{,\nu }={{dK_{oiz}^{\mu }} \over {dV}}\;$

(41.33)

Wtedy mając wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły pochodzącej od oddziaływania (41.32) i wzór na lokalną zachowawczość energii-pędu w układach płaskich we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych) (41.29), piszemy:

${T_{k}^{\mu \nu }}_{;\nu }={{dF_{o}^{\mu }} \over {dV}}+{{dF_{z}^{\mu }} \over {dV}}\Rightarrow {T_{k}^{\mu \nu }}_{;\nu }={{dF_{oiz}^{\mu }} \over {dV}}\Rightarrow {{\gamma } \over {c}}{T_{k}^{\mu \nu }}_{;\nu }={{dK_{oiz}^{\mu }} \over {dV}}\;$

(41.34)

Gdzie ostatni wzór (41.34) jest zgodny ze formułą (41.23), gdzie wzór na tensor gęstości energii(masy)-pędu (człon kinematyczny) $T_{k}^{\mu \nu }\;$ (41.27) przedstawiamy w zależności od gęstości lagrangianu kinematycznego (43.1), którego wielkość ${T_{k}^{\mu \nu }}_{,\nu }\;$ jest równa sumie gęstości wielkości wskaźnikowej siły odpowiedzialnej za oddziaływania i gęstości wielkości wskaźnikowej siły odpowiedzialnej za oddziaływania inne niż uwzględniono w członie na gęstość wielkości wskaźnikowej siły oddziaływania (41.31).