Przejdź do zawartości

Szczególna teoria względności/Lokalna zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu z teorii gęstości lagrangianu

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Szczególna teoria względności
Szczególna teoria względności
Lokalna zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu z teorii gęstości lagrangianu

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Wyprowadzimy tutaj lokalną zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu z zasady wariacyjnej i inne wynikające z niej stąd wnioski.

Lokalna zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu, a zasada wariacyjna[edytuj]

Na sam początek zdefiniujmy, co to jest przestrzeń ortonormalna, czyli jest to przestrzeń z układem wersorów ortogonalnych względem siebie z długościamy wersorów o module równym jeden. Określmy gęstość lagrangianu w przestrzeni globalnie (lokalnie) płaskiej euklidesowym, który jest funkcją współrzędnych uogólnionych i pierwszych pochodnych cząstkowych względem współrzędnych przestrzennych Minkowskiego ogólnie nieprostokątnej zmiennej xμ, i jego miano jest takie J/mn, ale aby policzyć właściwy Lagrangian należy gęstość Lagrangianu przecałkować po całej przestrzeni zwykłej euklidesowej n-wymiarowej ortonormalnej, a całkę działania tego lagrangianu jeszcze po zmiennej , zapisaną wedle sposobu w układzie globalnie (lokalnie) płaskim euklidesowym:


(41.1)
  • gdzie:
jest to nieskończenie mała objetość w przestrzeni zwykłej n-wymiarowej euklideowej ortonormalnej. Równa z definicji tensora metrycznego Minkowkiego (16.4) niekończenie małej objętości w przestrzeni zwykłej czasoprzestrzeni Minkowkiego ortonormalnej z definicji zamiany zmiennych.
jest to różniczka współrzędnej czasowej liczona w metrach, która jest jako iloczyn prędkości światła i różniczki czasu znanej z codziennego życia, która jest mierzona w sekundach. Ta różniczka z definicji tensora metrycznego Minkowkiego jest taka sama w przestrzeni euklidesowej jak i Minkowkiego.
jest to nieskończenie małą objętość w przestrzeni (n+1)-wymiarowej euklidesowej ortonormalnej. Równa z definicji tensora metrycznego Minkowkiego (16.4) niekończenie małej objętości w czasoprzestrzeni (n+1)-wymiarowej Minkowkiego ortonormalnej z definicji zamiany zmiennych.
to są współrzędne przestrzenne w układzie euklidesowym ortonormalnym liczone tylko w metrach.
to są współrzędne przestrzenne w układzie Minkowskiego liczone tylko w metrach.
jest to pochodna współrzędnej względem współrzędnej .

Transformacja pomiędzy wyznacznikiem macierzy iloczynu skalarnego (tutaj tensora metrycznego) przestrzeni Minkowskiego ogólnie nieprostokątnej, a macierzą iloczynu skalarnego przestrzeni euklidesowej ortonormalnej, przedstawiamy poniżej, co później biorąc wyznacznik obu jego stron, wtedy moduł macierzy transformacji jest równy modułowi pierwiastka z minus wyznacznika tenora metrycznego przestrzeni Minkowskiego:

(41.2)

Na podstawie (41.2) wzór na nieskończenie małą objętość w przestrzeni (n+1)-wymiarowej układu euklidesowego ortonormalnego w zależności od nieskończenie małej objętości w układzie Minkowskiego ogólnie nieprostokątnym przedstawiamy:

(41.3)
  • jest to nieskończenie mała objętość w przestrzeni (n+1)-wymiarowej euklidesowej ortonormalnej.

W (41.3) na podstawie definicji tensora Minkowkiego układu ortonormalnego (16.4) według (41.3) dochodzimy do wniosku, że . Aby policzyć objetość w układzie euklidesowym ortonormalnym względem układu Minkowskiego ogólnie nieprostokątnego wykorzystajmy (41.3), więc:

(41.4)

Po powyższych przekształceniach wiedząc na oznaczenie w elementarnej infinitezymalnej objętości (41.3) w układzie euklidesowym, wtedy całkę działania (41.1) można przedstawić wychodząc od układu ortonormalnego euklidesowego przechodząc do układu Minkowskiego ogólnie nieprostokatnego wykorzystując (41.3):

(41.5)

W powyższym wzorze oznaczeniem qμ oznaczyliśmy współrzędne uogólnione, które opisują układ Minkowskiego zanurzony w euklideowym układzie współrzędnych. Napiszmy całkę działania funkcjonału (41.5) wiedząc, że dla układów globalnie (lokalnie) płaskich w przestrzeni Minkowkiego, nie eukliedowego, tensor metryczny ( tylko zależy od zmiennych ), , i są zmiennymi niezależnymi względem siebie, czyli:


(41.6)

Znając całkę działania (41.5) wychodzące z (41.1) możemy napisać równanie Eulera-Lagrange'a pamiętając o niezależności pewnych zmiennych względem siebie pamiętając o (41.6) jako wniosek z (41.5) piszemy:

(41.7)

Rozpiszmy teraz z definicji różniczki zupełnej pochodną cząstkową Lagrangianu względem współrzędnej kontrawariantnej qβ w przestrzeni Minkowskiego na wyrażenie zapisaną za pomocą pochodnej tego samego lagrangianu względem współrzędnej uogólnionej xμ i względem pochodnej wspomnianej współrzędnej względem współrzędnej uogólnionej qα, czyli xμ:

(41.8)

Z zasady wariacyjnej (41.7) można napisać tak by po przenoszeniu drugiego wyrazu na prawą stronę i odwracając stronami, po tej operacji dostajemy:

(41.9)

Podstawiamy równanie (41.9) do pierwszego wyrazu z prawej strony równania (41.8) i dokonując zwinięcia pewnych wyrazów, w której wystepują pod pochodną względem jakieś współrzędnej:

(41.10)

Wiemy jednak, z definicji delty Kroneckera możemy zapisać pochodną lagrangianu względem zmiennej qβ troszkę w innej postaci przy pomocy ostatnio wspomnianego obiektu.

(41.11)

Równanie (41.10) możemy napisać po podstawieniu do niego udowodnionej tożsamości (41.11), wtedy otrzymujemy równanie wyłączając operator pochodnej cząstkowej względem xα, zatem:

(41.12)

Równanie (41.12) mnożymy przez ηβγ, otrzymujemy:

(41.13)

Udowodnijmy lokalną zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu (41.16) wychodząc z przedstawienia (41.13) pod nawiasem, zatem przekształcajmy pierwszy wyraz pod pochodną w (41.13) wiedząc, że tensor metryczny podwójnie kontrawariantny jest zapisany jako , otrzymujemy:


(41.14)

A więc na podstawie obliczeń na liczbach ogólnych tożsamość (41.17) podstawiamy do wzoru (41.13), wtedy:

(41.15)

Prawo (41.15) jest treścią wynikający z zasady najmniejszego działania.

Lokalna zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu ewentualnie z gęstością tensora siły zewnętrznej[edytuj]

Dla tych układów na podstawie (41.15) tensor gęstości energii(masy)-pędu podwójnie kontrawariantny możemy przedstawić względem lagrangianu i tensora metrycznego Minkowskiego prostego i odwrotnego:

(41.16)

Wtedy lokalna zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu w układach płaskich ogólnie nieprostokątnych i we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych) piszemy w postaci:

(41.17)
(41.18)

Zdefiniujmy gęstość lagrangianu i wynikający z tego tensor gęstości energii(masy)-pędu zastępując według:

(41.19)
(41.20)

Wtedy równanie (41.18) na podstawie (41.19) i (41.20) wiedząc jaka jest definicji tensora gęstości energii(masy)-pędu przyjmuje postać we współrzędnych układów płaskich ogólnie nieprostokątnych:

(41.21)

Wtedy równanie (41.17) na podstawie (41.19) i (41.20) wiedząc jaka jest definicji tensora gęstości energii(masy)-pędu przyjmuje postać we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych):

(41.22)

Wtedy lokalna zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu w układach globalnie (lokalnie) płaskich jest kolejno w postaci we współrzędnych układu płaskiego ogólnie nieprostokątnego i krzywoliniowego (uogólnionego):

(41.23)
(41.24)

Widzimy, że kolejno wzory (41.23) i (41.24) są takie same jak (36.26) i (36.27) z dokładnością do nadkreśleń nad wielkościami tensorowymi, te wzory dla układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne, płaskie krzywoliniowe i we współrzędnych uogólnionych udowadnia się wychodząc od układów globalnie (lokalnie) płaskich, po tej operacji te wzory przechodzą kolejno w (41.23) i (41.24).

Lokalna zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu wyrażona przez tensor gęstości energii(masy)-pędu masowy kinematyczny[edytuj]

Przedstawmy gęstość lagrangianu w postaci sumy gęstości lagrangianu kinematycznego (43.1) i gęstości lagrangianu opisująca oddziaływania inne niż w członie odpowiedzialnej za oddziaływania od zewnątrz (prawa strona równości w (41.23)) w postaci:

(41.25)

gdzie przedstawiamy w zależności od gęstości spoczynkowej, ciśnienia i tensora prędkości wzorem (43.1) (gęstość lagrangianu kinematycznego). Napiszemy tensor gęstości energii(masy)-pędu (41.16), wtedy dowiemy się, że jest ona równa sumie tensorów gęstości energii(masy)-pędu kinematycznego i jego odpowiednika odpowiedzialnego za oddziaływania, więc napiszmy wykorzystując (41.25):

(41.26)
  • gdzie wzór na tensor gęstości energii-pędu członu kinematycznego i tensor gęstości-pędu od członu odpowiedzialnej za oddziaływania przedstawiamy:
(41.27)
(41.28)

Weźmy pod uwagę wzór na lokalną zachowawczość tensora gęstości energii-pędu (41.23) wykorzystując wzór na tensor gęstości energii(masy)-pędu jako sumę dwóch członów (41.26), czyli (41.27) i (41.28), wtedy w układach płaskich ogólnie nieprostokątnych:

(41.29)

W układach płaskich we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych) w (41.30) zamiast przecinka jest średnik, tzn. piszemy to w postaci:

(41.30)

Na podstawie (41.30) wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły odpowiedzialnej za oddziaływania inne niż w członie odpowiedzialnej za oddziaływania od zewnątrz (prawa strona równości w (41.23)) jest równy w układach płaskich ogólnie nieprostokątnych:

(41.31)

Wzór (41.31) w układach o współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych) po transformacji do tego układu jest:


(41.32)

Wtedy mając wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły pochodzącej od oddziaływania (41.31) i wzór na lokalną zachowawczość energii-pędu w układach płaskich ogólnie nieprostokątnych (41.29), piszemy:

(41.33)

Wtedy mając wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły pochodzącej od oddziaływania (41.32) i wzór na lokalną zachowawczość energii-pędu w układach płaskich we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych) (41.29), piszemy:

(41.34)

Gdzie ostatni wzór (41.34) jest zgodny ze formułą (41.23), gdzie wzór na tensor gęstości energii(masy)-pędu (człon kinematyczny) (41.27) przedstawiamy w zależności od gęstości lagrangianu kinematycznego (43.1), którego wielkość jest równa sumie gęstości wielkości wskaźnikowej siły odpowiedzialnej za oddziaływania i gęstości wielkości wskaźnikowej siły odpowiedzialnej za oddziaływania inne niż uwzględniono w członie na gęstość wielkości wskaźnikowej siły oddziaływania (41.31).