Przejdź do zawartości

Szczególna teoria względności/Lokalna zasada zachowania tensora pędu, z teorii gęstości lagrangianu

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Szczególna teoria względności
Szczególna teoria względności
Lokalna zasada zachowania tensora pędu, z teorii gęstości lagrangianu

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Lokalna zasada zachowania tensora pędu z tensorem pędu mechanicznym i oddziaływań[edytuj]

Wnioski wspólne w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona[edytuj]

Wzór na tensor gęstości energii-pędu przedstawiamy wzorem (41.16), który jest w prawie jak (42.8), tylko, że z gęstością wielkości wskaźnikowej siły zewnętrznej. Zróbmy definiując gęstość lagrangianu i z niego wynikający tensor gęstości energii-pędu zastępując według (41.19) i (41.20), wtedy prawo (42.8) przedstawia się:

(42.1)
  • gdzie:
jest to gęstość pędu mechanicznego, który jest równy .
jest to gęstość pędu związanego z oddziaływaniami.

Przedstawienie (42.1) wynika zachowawczości tensora gęstości energii(masy)-pędu (41.17), bo zachodzi (41.20) na podstawie (41.19) i (41.16), a to udowodnimy rachunkiem:

(42.2)

Ale po prawej stronie zachodzi na podstawie (41.21), a człon po jego lewej stronie (część kinematyczna) zachodzi według (37.2) (szczególna teoria względności) i (37.3) (mechanika Newtona) przy definicji (część kinematyczna) w postaci (36.20) (szczególna teoria względności) i (36.21) (mechanika Newtona) (jeśli uwzględnić, że czas to współrzędna w mechanice Newtona o wartości absolutnej) wynikający z gęstości lagrangianu kinematycznego (43.1), a wzór (42.2) jest podobny do wzoru (37.1) (tutaj nie chodzi o tensory gęstości energii(masy)-pędu kinematyczne, tylko niekinematyczne) po scałkowaniu obustronnym przy wykorzystanej definicji na gęstość wielkości wskaźnikowej siły zewnętrznej (41.21), stąd prawo (42.1) (końcowy wzór) przy zerowych oddziaływaniach jest takie samo jak (37.12) przy definicji tensora gęstości energii-pędu (41.16) (jeśli tutaj jest to człon kinematyczny) i przy gęstości wielkości wskaźnikowej siły zewnętrznej uwzględniony w całkowitej tensorze gęstości energii(masy)-pędu jest takie samo jak prawo (42.8). Całkowa wersja prawa (42.1) jest w postaci:

(42.3)

Prawo (42.3) (końcowy wzór) jest takie samo jak (37.13) przy zerowym oddziaływaniach i przy zerowej sile zewnętrznej jest takie samo jak prawo (42.9).

Mechanika Newtona[edytuj]

Wzór na gęstość wektora siły od siły zewnętrznej (41.21) dla przy transformacjach Galileusza jest spełniony i jest w postaci:

(42.4)

Dla mechaniki Newtona prawo (42.1) jest również spełnione przy definicji tensora gęstości energii-pędu:

(42.5)

A to prawo dla omawianej teorii dla w wersji różniczkowej (42.1) i całkowej (42.3) przepisując dla jest jako wersja różniczkowa:

(42.6)

i jako wersja całkowa zapisana za pomocą całki objętościowej i powierzchniowej (gdzie całkowanie jest po powierzchni zamkniętej):

(42.7)
  • gdzie:
jest to gęstość pędu mechanicznego, który jest równy .
jest to gęstość pędu od oddziaływań.

Wnioski dla wzoru (42.6) dla są takie same jak dla (37.15) przy zerowych oddziaływaniach i siły zewnętrznej, zatem przy transfromacjach Galileusza prawa (42.1) (wersja różniczkowa) i (42.3) (wersja całkowa) przedstawiamy kolejno w postaci (42.6) i (42.7) dla przy definicji tensora gęstości masy-pędu (42.5). Widzmy, że prawa (42.6) i (42.7) są takie same jak (42.10) i (42.11) przy zerowej gęstości wektora siły zewnętrznej i wektora siły .

Lokalna zasada zachowania tensora pędu z tensorem pędu mechanicznym, oddziaływań i siły zewnętrznej[edytuj]

Wnioski wspólne w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona[edytuj]

Dla szczególnej teorii względności i mechaniki Newtona narazie bez dowodu przy definicji tensora metrycznego Minkowskiego (16.4):

(42.8)
  • gdzie:
- jest to gęstość pędu mechanicznego równą .
- jest to gęstość pędu związanego z oddziaływaniami i siłą zewnętrzną równą sumie gęstości pędów od oddziaływań i siły zewnętrznej, czyli .

Widzimy, że wzór końcowy w (42.8) (postać różniczkowa) jest bardzo podobny do (37.12) przy zerowej sile zewnętrznej i oddziaływaniach, bo wtedy tensor gęstości energii(masy)-pędu przedstawiana według definicji (41.16) ((42.5) dla ), który otrzymujemy z gęstości lagrangianu kinematycznego (43.1) ((43.3) dla ) (gęstość lagrangianu oddziaływań i siłę zewnętrzną przyrównamy do zera, bo oddziaływań i siły zewnętrznej wtedy nie ma), z którego wychodzi po tym podstawieniu wzór na tensor gęstości energii(masy)-pędu w postaci (36.20) ((36.21) dla ), który jest taki sam jak tensor gęstości energii(masy)-pędu (43.4) ((43.6) dla ), który chcemy w tym przypadku wykorzystać. Ze wzoru (42.8) możemy otrzymać wersję całkową równania (42.8) w postaci:

(42.9)

Otrzymany wzór (42.9) jest bardzo podobny do wzoru na wersję całkową strumienia energii(masy)-pędu (37.13) ((37.15)), gdy oodziaływań i siły zewnętrznej nie ma, wtedy gęstość pędu od tego jest równa zero.

Mechanika Newtona[edytuj]

Przepiszmy wzór (42.8) (dla ) w postaci różniczkowej, który również jest słuszny w mechanice Newtona, przy definicji tensora metrycznego Minkowskiego (16.4), gdzie , który jest macierzą iloczynu skalarnego przestrzeni zwykłej, w postaci: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.

  • gdzie:
Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. - jest to gęstość pędu mechanicznego równą Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów..
Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. - jest to gęstość pędu związanego z oddziaływaniami i siłą zewnętrzną równą sumie gęstości pędów od oddziaływań i siły zewnętrznej, czyli Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów..

Widzimy, że wzór Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. jest uderzejąco podobny do Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. dla Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. przy zerowej sile zewnętrznej i oddziaływań, wtedy od nich gstości pędów są równe zero. Napiszmy postać całkową równości Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. przepisując wzór Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. dla Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., czyli: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Wzór Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. jest taki sam jak wzór na wersję całkową na strumień masy-pędu Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów..

Lokalna zasada zachowania tensora pędu z tensorem pędu mechanicznym[edytuj]

Wnioski wspólne w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona[edytuj]

Przedstawmy różniczkową wersję prawa Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. słuszną w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona oraz dodajmy człon odpowiedzialny za oddziaływania w drugim równaniu wynikającym z pierwszego w Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. wydzieloną z tensora gęstości energii(masy)-pędu i połączoną z tensorem pędu odpowiedzialną za oddziałania znając definicję tensora gęstości pędu odpowiedzialnego za oddziaływania, stąd: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Wzór Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., w którym wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły odpowiedzialnej za oddziaływania inne niż w członie odpowiedzialnej za oddziaływania od zewnątrz (prawa strona równości w Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.) jest równy formule Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., wtedy to prawo przedstawiamy: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Prawo Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. możemy przedstawić w postaci całkowej w postaci: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Wzory Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. są takie same jak kolejno wzory Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., a więc są spełnione.

Mechanika Newtona[edytuj]

Wzór na gęstość wektora siły od oddziaływania Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. dla Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. przy transformacjach Galileusza jest spełniony i jest w postaci: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. A wersja różniczkowa i całkowa prawa na strumień masy-pędu koleino Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. dla naszej klasy transformacji w mechanice Newtona są:

Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.

Wzory Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. są takie same jak kolejno wzory Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., czyli kolejno formuły Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. oraz Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., a także wzory z nich wynikające są spełnione, bo udowadnia się je podobnie jak Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. oraz Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. według poprzednich dwóch rozdziałów.

Lokalna zasada zachowania tensora pędu - z przejściem pomiędzy jego równaniami, równoważność równań[edytuj]

Lokalna zasada zachowania tensora pędu sumy pędu mechanicznego, od oddziaływań i tensora siły zewnętrznej[edytuj]

Kolejno formuły Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. oraz Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., a także wzory z nich wynikające są spełnione, bo przecież zachodzi wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły zewnętrznej Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i odpowiedzialnej za oddziaływania Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., wtedy z: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.. Wykorzystując Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., mamy: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Wersja całkowa wzoru Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. jest przedstawiona w Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., a jego dowód z Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. jest oczywisty. A więc podtwierdza to naszą tezę o prawdziwości równań Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów..

Lokalna zasada zachowania tensora pędu sumy pędu mechanicznego i od oddziaływań[edytuj]

Inaczej pisząc tensor gęstości energii(masy)-pędu Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. niż w Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., wtedy: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Wykorzystując Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. oraz wzór na wielkość wskaźnikową siły odpowiedzialnej za oddziaływania Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., mamy: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Wersja całkowa wzoru Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. jest przedstawiona w Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., a jego dowód z Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. jest oczywisty. A więc podtwierdza to naszą tezę o prawdziwości równań Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów..