Autor:Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna:Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.
Poniższe rozważania są słuszne dla cząstek o spinie połówkowym, którego wiernym przykładem jest elektron.
W naszych rozważaniach często pomijano spin elektronu. A w atomach wodoropodobnych stwierdzono rozszczepienie poziomów energetycznych dla l=1,2,3,.., ale nie l=0.
Wprowadzając operatory spinu elektronu sx,sy,sz, to warunki komutacji przyjmują taką samą postać co dla zwykłych operatorów momentów pędu, które udowodnialiśmy w punkcie (7.13), tylko zamiast operatora momentu pędu orbitalnego mamy operatory momentu pędu spinowego, co warunki komutacji:
Ogólnie warunki komutacji operatorów spinu (15.2), (15.3) i (15.4) możemy zapisać wedle schematu poniżej, wiedząc jednocześnie, że otrzymamy bardzo podobny związek jak dla operatorów momentu pędu.
(15.5)
Wzór na operator spinu w zależności od operatorów (macierzy) Pauliego[edytuj]
Operatory Pauliego σ spełniają z operatorami spinu zależność poniżej, którym to operator spinu jest równy macierzowi Pauliego pomnożonej przez połowę wartości stałej kreślonej Plancka:
(15.6)
Warunki komutacji operatorów (macierzy) Pauliego[edytuj]
Warunki komutacji macierzy Pauliego przestawionych na podstawie (15.5) i definicji operatorów spinu (15.5) możemy wywnioskować, że warunki komutacji macierzy Pauliego spełniają związki:
Dochodzimy do wniosku na podstawie przeprowadzonych obliczeń w punkcie (15.7), że ogólna zależność dla macierzy Pauliego opisujący spin eletronu, czyli (15.6), przedstawiana jest według wzoru poniżej, której postać komutacyjna jest bardzo podobna jak przy komutacji macierzy spinowych:
Wzór (15.8) bardziej szczegółowo można przedstawić dla trzech szczególnych przypadków w sposób poniżej. Widzimy, że za każdym razem komutator dwóch różnych wielkości jest równy trzeciemu innemu komutatorowi, ze stałą proporcjonalności równej 2i.
(15.9)
(15.10)
(15.11)
Wyznaczanie warunków antykomutacyjnych macierzy Pauliego[edytuj]
Wprowadźmy bazę ortonormalnym wektorów własnych χ1, oraz χ2, tak że zachodzą warunki działania operatora σz na odpowiednie wektory wspomnianej bazy ortonormalnej, których to zapis jest:
Według wzorów (15.12) i (15.13) zachodzą podobne warunki dla kwadratu zetowej współrzędnej wektora Pauliego, i w ten sposób otrzymujemy, że kwadrat operatora σz jest operatorem jednostkowym, co dowód tego:
(15.14)
(15.15)
Na podstawie (15.14) i (15.15) dla kombinacji liniowej wektorów χ1 i χ2 zachodzi warunek, którego zapis:
(15.16)
Operator w działaniu na wektory przestrzeni spinowych jest operatorem mnożenia przez jeden, bo na podstawie (15.16). Podobnie wnioski można otrzymać dla innych macierzy Paulliego, zatem zbierając te wnioski razem:
(15.17)
Policzmy teraz antykomutator operatorów spinowych, korzystamy przy tym ze wzorów na warunki komutacji macierzy Pauliego ze wzorów (15.11) i (15.17):
(15.18)
Policzmy teraz antykomutator operatorów spinowych, korzystamy przy tym ze wzorów na warunki komutacji macierzy Pauliego ze wzorów (15.9) i (15.17):
(15.19)
Policzmy teraz antykomutator operatorów spinowych, korzystamy przy tym ze wzorów na warunki komutacji macierzy Pauliego ze wzorów (15.9) i (15.17):
(15.20)
Na podstawie obliczeń (15.18), (15.21) i (15.22) zachodzą szczególne związki na antykomutacje dwóch dowolnych różnych macierzy Pauliego:
(15.21)
(15.22)
(15.23)
Postać ogólna antykomutacji macierzy Pauliego[edytuj]
Na podstawie kwadratów macierzy Pauliego (15.17) oraz szczególnych przypadków antykomutacji dwóch dowolnych różnych macierzy Pauiliego przedstawionych w formie (15.21), (15.22) i (15.23) postać ogólną antykomutacji zapisujemy:
Z warunku komutacji wynikających z twierdzenia (15.9) na pewno możemy napisać tożsamość, którą piszemy po rozwinięciu naszego komutatora:
(15.25)
Z warunku antykomutacji otrzymanych w punkcie (15.21), którą piszemy po rozpisaniu w sposób pełny antykomutatora:
(15.26)
Na podstawie tych dwóch zależności, tzn. warunku komutacyjnego (15.25) i warunku antykomutacyjnego (15.26) udowodnionych wcześniej, otrzymujemy równanie macierzowe na macierzach Pauliego:
(15.27)
Po dalszych przekształceniach wynikłych z punktu (15.27) możemy powiedzieć, że na pewno zachodzi tożsamość:
(15.28)
Podobnie jak otrzymaliśmy zależność (15.28), otrzymujemy dwa pozostałe związki dla innych wektorów Pauliego, zatem nasza tabela zależności na tych wspomnianych macierzach jest:
(15.29)
(15.30)
(15.31)
Wprowadzana baza funkcji ortonormalnych wektorów i jest napisana:
(15.32)
(15.33)
Łatwo sprawdzić, że zachodzą warunki zwane warunkami ortogonalności wektorów bazowych napisanych w punktach, tzn.: (15.32), (15.33):
(15.34)
(15.35)
(15.36)
Czyli rzeczywiście nasza baza wektorów złożonych z wektora (15.32), (15.33) jest bazą ortonormalną.
Na podstawie rozważań (15.12) i (15.13) i z warunków ortonormalizacji wybranej bazy, to macierz operatora σz przedstawia się:
(15.37)
Operatory σx i σy nie są diagonalne, gdyż nie komutują z operatorem σz, zatem z drugiej jednak strony możemy napisać:
(15.38)
(15.39)
Z ostatnich dwóch równań, tzn. (15.38) i (15.39) mamy operator σx, który jest przedstawiony w sposób poniżej, który jest zależny od stałych a,b,c,d.
(15.40)
Warunki działania operatora σx na wektor χ1 opisujemy równaniem operatorowym (15.38), a także wynik działania tego samego co poprzednio operatora, ale tym razem na wektor χ2 opisujemy równaniem operatorowym (15.39), wtedy:
(15.41)
(15.42)
Podziałajmy operatorem σz na wyrażenie σxχ1 korzystając z warunków antykomutacji (15.23) oraz z warunku (15.12), otrzymujemy:
(15.43)
Wynika stąd na podstawie (15.43), że σxχ1 jest proporcjonalny do χ2, gdyż wartość własna σz wynosi -1, zatem jest to przypadek niezdegenerowany, stąd wynika według (15.13) proporcjonalność pomiędzy σxχ1 a χ2:
(15.44)
Wektor σxχ1 jest wektorem unormowanym do jedynki, bo można to udowodnić pisząc przekształcenia:
(15.45)
Zatem współczynnik stojący przy χ2 w (15.44) musi być taki by jego moduł był równy jedności na podstawie (15.38):
(15.46)
Podziałajmy operatorem σz na wyrażenie σxχ2 korzystając z warunków antykomutacji (15.23) oraz z warunku (15.12), otrzymujemy:
(15.47)
Wynika stąd na podstawie (15.47), że σxχ2 jest proporcjonalny do χ1, gdyż wartość własna σz wynosi 1, zatem jest to przypadek niezdegenerowany, stąd wynika według (15.13) proporcjonalność pomiędzy σxχ2 a χ1:
(15.48)
Wektor σxχ2 jest wektorem unormowanym do jedynki, bo można to udowodnić pisząc przekształcenia:
(15.49)
Zatem współczynnik proporcjonalności stojący przy χ1 w (15.48) musi być taki by jego moduł był równy jedności na podstawie (15.49), a zatem powinno być.
(15.50)
Z tych dwóch ostatnich zależności otrzymamy jedną zależność:
(15.51)
Ze wzoru (15.51) wynika, że zachodzi warunek α=-β i można przyjąć, że te współczynniki są równe zero, a zatem prawdziwe są związki na podstawie (15.46) i (15.50):
Po długim wysiłku na podstawie udowodnionych zalezności, tzn. (15.52) i (15.53) otrzymujemy macierz σx, która nie jest macierzą jednostkową, ale podobną bardzo do niej, bo ma ona elementy pozadiagonalne:
Następnie wyprowadźmy operator σy, korzystając z rozwinięcia σz z warunku na operatorach Pauliego (15.31) i antykomutacyjnego (15.22), dochodzimy więc do wniosku, że spełniona jest na pewno tożsamość:
(15.55)
A także zachodzi druga tożsamość, która dla nas jest warta zachodu, by można było wyznaczyć elementy macierzy σy:
(15.56)
Dla równań operatorowych (15.55) i (15.56), który opisują operator σy, stąd na podstawie tego ten operator jest przedstawiony w sposób macierzowy:
(15.57)
Postacie trzech macierzy Pauliego σx, σy i σz[edytuj]
Teraz zbierzemy wszystkie trzy macierze Pauliego do kupy i podamy je w jednej linijce, te macierze są zapisane:
Sprawdźmy czy zachodzą komutacje szczególne (15.9), (15.10) i (15.11), które są równoważne komutacji ogólnej (15.8), a więc zbadajmy czemu jest równa komutacja macierzy Pauliego i :
(15.62)
Zbadajmy czemu jest równa komutacja macierzy Pauliego i :
(15.63)
Zbadajmy czemu jest równa komutacja macierzy Pauliego i :
(15.64)
Stąd na podstawie (15.62), (15.63) i (15.64) zachodzi komutacja ogólna (15.8).
Mając operatory (15.58), (15.59) i (15.60) sprawdźmy, czy zachodzą warunki antykomutacyjne szczególne (15.21), (15.22) i (15.23), wtedy napiszmy tożsamości operatorowe, zatem kwadrat macierzy Pauliego wynosi:
(15.65)
Kwadrat macierzy wynosi jeden jak udowodnimy poniżej:
(15.66)
Kwadrat macierzy wynosi jeden jak udowodnimy poniżej:
(15.67)
Zbadajmy czemu jest równa antykomutacja macierzy Pauliego i , co jak udowodnimy jest równa zero:
(15.68)
Zbadajmy czemu jest równa antykomutacja macierzy Pauliego i , co jak udowodnimy jest równa zero:
(15.69)
Zbadajmy czemu jest równa antykomutacja macierzy Pauliego i , co jak udowodnimy jest równa zero:
Wyznaczanie trzech macierzy Pauliego σ+, σ- i σ0[edytuj]
Zdefiniujmy, trzy inne operatory w oparciu o macierze Pauliego, tak jak definiowaliśmy kombinacje operatorów dla , oraz , dla których można również skonstruować inne operatory dla operatorów Pauliego dla spinów:
(15.71)
(15.72)
(15.73)
Wyznaczanie warunków komutacyjnych macierzy σ+, σ- i σ0[edytuj]
Pomocnicze operatory skonstruowane o operatory Pauliego w przedstawieniu macierzowym, wyglądają:
(15.74)
(15.75)
(15.76)
Zbadajmy zależności komutacyjne dla operatorów (15.74) () i (15.74) (), ale korzystając przy tym z definicji komutatora dla operatorów Pauliego, ale my ograniczymy się tutaj do (15.9), dla pierwszego komutatora:
(15.77)
Zbadajmy zależności komutacyjne dla operatorów (15.74) () i (15.75) (), ale korzystając przy tym z definicji komutatora dla operatorów Pauliego, ale my ograniczymy się tutaj do (15.11), dla drugiego komutatora:
(15.78)
Zbadajmy zależności komutacyjne dla operatorów (15.74) () i (15.75) (), ale korzystając przy tym z definicji komutatora dla operatorów Pauliego, ale my ograniczymy się tutaj do (15.10), dla pierwszego komutatora:
(15.79)
Szczególne warunki komutacji macierzy σ+, σ- i σ0[edytuj]
Zbierzmy wszystkie trzy komutatory do kupy, tzn. równości (15.77), (15.78), (15.79):
(15.80)
(15.81)
(15.82)
Widzimy, że zależności komutacyjne są podobne jak dla zwykłych kombinacji operatorów momentów pędu.
Własności działania operatorów σ+, σ- i σ0 na wektory pionowe dwuwymiarowe χ1 i χ2[edytuj]
Na samym końcu przedstawmy właściwości operatorów σ+ i σ- na wektory własne operatora σz, czyli na wektory ortonormalne χ1 i χ2.