Mechanika kwantowa/Cząstki o spinie połówkowym

Cząstki o spinie połówkowym

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Poniższe rozważania są słuszne dla cząstek o spinie połówkowym, którego wiernym przykładem jest elektron. W naszych rozważaniach często pomijano spin elektronu. A w atomach wodoropodobnych stwierdzono rozszczepienie poziomów energetycznych dla l=1,2,3,.., ale nie l=0.

Moment magnetyczny, a spin

Zależność między momentem magnetycznym, a spinem przyjmuje postać:

${\vec {\mu }}=2g{\vec {s}}\Rightarrow {\vec {\mu }}=2\underbrace {{q} \over {2m_{0}}} _{g}{\vec {s}}\Rightarrow {\vec {\mu }}=\underbrace {{q} \over {m_{0}}} _{g_{s}}{\vec {s}}\;$

(15.1)

Warunki komutacji operatorów spinu

Wprowadzając operatory spinu elektronu s_x,s_y,s_z, to warunki komutacji przyjmują taką samą postać co dla zwykłych operatorów momentów pędu, które udowodnialiśmy w punkcie (7.13), tylko zamiast operatora momentu pędu orbitalnego mamy operatory momentu pędu spinowego, co warunki komutacji:

$[s_{x},s_{y}]=i\hbar s_{z}\;$

(15.2)

$[s_{y},s_{z}]=i\hbar s_{x}\;$

(15.3)

$[s_{z},s_{x}]=i\hbar s_{y}\;$

(15.4)

Ogólne warunki komutacji spinu

Ogólnie warunki komutacji operatorów spinu (15.2), (15.3) i (15.4) możemy zapisać wedle schematu poniżej, wiedząc jednocześnie, że otrzymamy bardzo podobny związek jak dla operatorów momentu pędu.

$[s_{i},s_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}s_{k}\;$

(15.5)

Wzór na operator spinu w zależności od operatorów (macierzy) Pauliego

Operatory Pauliego σ spełniają z operatorami spinu zależność poniżej, którym to operator spinu jest równy macierzowi Pauliego pomnożonej przez połowę wartości stałej kreślonej Plancka:

$s={{1} \over {2}}\hbar \sigma \;$

(15.6)

Warunki komutacji operatorów (macierzy) Pauliego

Warunki komutacji macierzy Pauliego przestawionych na podstawie (15.5) i definicji operatorów spinu (15.5) możemy wywnioskować, że warunki komutacji macierzy Pauliego spełniają związki:

$[\sigma _{i},\sigma _{j}]=\left[{{2} \over {\hbar }}s_{i},{{2} \over {\hbar }}s_{j}\right]={{4} \over {\hbar ^{2}}}\left[s_{i},s_{j}\right]={{4} \over {\hbar ^{2}}}i\hbar \epsilon _{ijk}s_{k}=i{{4} \over {\hbar }}\epsilon _{ijk}s_{k}=2i\epsilon _{ijk}\sigma _{k}\;$

(15.7)

Ogólna postać komutacji macierzy Pauliego

Dochodzimy do wniosku na podstawie przeprowadzonych obliczeń w punkcie (15.7), że ogólna zależność dla macierzy Pauliego opisujący spin eletronu, czyli (15.6), przedstawiana jest według wzoru poniżej, której postać komutacyjna jest bardzo podobna jak przy komutacji macierzy spinowych:

$[\sigma _{i},\sigma _{j}]=2i\epsilon _{ijk}\sigma _{k}\;$

(15.8)

Szczególne postacje komutacji macierzy Pauliego

Wzór (15.8) bardziej szczegółowo można przedstawić dla trzech szczególnych przypadków w sposób poniżej. Widzimy, że za każdym razem komutator dwóch różnych wielkości jest równy trzeciemu innemu komutatorowi, ze stałą proporcjonalności równej 2i.

$[\sigma _{x},\sigma _{y}]=2i\sigma _{z}\;\;$

(15.9)

$[\sigma _{y},\sigma _{z}]=2i\sigma _{x}\;\;$

(15.10)

$[\sigma _{z},\sigma _{x}]=2i\sigma _{y}\;\;$

(15.11)

Wyznaczanie warunków antykomutacyjnych macierzy Pauliego

Wprowadźmy bazę ortonormalnym wektorów własnych χ₁, oraz χ₂, tak że zachodzą warunki działania operatora σ_z na odpowiednie wektory wspomnianej bazy ortonormalnej, których to zapis jest:

$\sigma _{z}\chi _{1}=\chi _{1}\;$

(15.12)

$\sigma _{z}\chi _{2}=-\chi _{2}\;$

(15.13)

Postacie szczególne antykomutacji macierzy Pauliego

Według wzorów (15.12) i (15.13) zachodzą podobne warunki dla kwadratu zetowej współrzędnej wektora Pauliego, i w ten sposób otrzymujemy, że kwadrat operatora σ_z jest operatorem jednostkowym, co dowód tego:

$\sigma _{z}^{2}\chi _{1}=\sigma _{z}\sigma _{z}\chi _{1}=\sigma _{z}\chi _{1}=\chi _{1}\;$

(15.14)

$\sigma _{z}^{2}\chi _{2}=\sigma _{z}\sigma _{z}\chi _{2}=-\sigma _{z}\chi _{2}=\chi _{2}\;$

(15.15)

Na podstawie (15.14) i (15.15) dla kombinacji liniowej wektorów χ₁ i χ₂ zachodzi warunek, którego zapis:

$\sigma _{z}^{2}(a\chi _{1}+b\chi _{2})=a\chi _{1}+b\chi _{2}\;$

(15.16)

Operator $\sigma _{z}^{2}\;$ w działaniu na wektory przestrzeni spinowych jest operatorem mnożenia przez jeden, bo $\sigma _{z}^{2}=1\;$ na podstawie (15.16). Podobnie wnioski można otrzymać dla innych macierzy Paulliego, zatem zbierając te wnioski razem:

$\sigma _{x}^{2}=\sigma _{y}^{2}=\sigma _{z}^{2}=1\;$

(15.17)

Policzmy teraz antykomutator operatorów spinowych, korzystamy przy tym ze wzorów na warunki komutacji macierzy Pauliego ze wzorów (15.11) i (15.17):

$\{\sigma _{x},\sigma _{y}\}=\sigma _{x}\sigma _{y}+\sigma _{y}\sigma _{x}={{1} \over {2i}}\sigma _{x}(\sigma _{z}\sigma _{x}-\sigma _{x}\sigma _{z})+{{1} \over {2i}}(\sigma _{z}\sigma _{x}-\sigma _{x}\sigma _{z})\sigma _{x}={{1} \over {2i}}(\sigma _{x}\sigma _{z}\sigma _{x}-\sigma _{x}^{2}\sigma _{z}+\sigma _{z}\sigma _{x}^{2}-\sigma _{x}\sigma _{z}\sigma _{x})=\;$
$={{1} \over {2i}}(-\sigma _{z}+\sigma _{z})=0\;\;$

(15.18)

Policzmy teraz antykomutator operatorów spinowych, korzystamy przy tym ze wzorów na warunki komutacji macierzy Pauliego ze wzorów (15.9) i (15.17):

$\{\sigma _{z},\sigma _{x}\}=\sigma _{z}\sigma _{x}+\sigma _{x}\sigma _{z}={{1} \over {2i}}(\sigma _{x}\sigma _{y}-\sigma _{y}\sigma _{x})\sigma _{x}+{{1} \over {2i}}\sigma _{x}(\sigma _{x}\sigma _{y}-\sigma _{y}\sigma _{z})={{1} \over {2i}}(\sigma _{x}\sigma _{y}\sigma _{x}-\sigma _{y}\sigma _{x}^{2}+\sigma _{x}^{2}\sigma _{y}-\sigma _{x}\sigma _{y}\sigma _{z})=\;$
$={{1} \over {2i}}(-\sigma _{y}+\sigma _{y})=0$

(15.19)

Policzmy teraz antykomutator operatorów spinowych, korzystamy przy tym ze wzorów na warunki komutacji macierzy Pauliego ze wzorów (15.9) i (15.17):

$\{\sigma _{y},\sigma _{z}\}=\sigma _{y}\sigma _{z}+\sigma _{z}\sigma _{y}={{1} \over {2i}}\sigma _{y}(\sigma _{x}\sigma _{y}-\sigma _{y}\sigma _{x})+{{1} \over {2i}}(\sigma _{x}\sigma _{y}-\sigma _{y}\sigma _{x})\sigma _{y}={{1} \over {2i}}(\sigma _{y}\sigma _{x}\sigma _{y}-\sigma _{y}^{2}\sigma _{x}+\sigma _{x}\sigma _{y}^{2}-\sigma _{y}\sigma _{x}\sigma _{y})=\;$
$={{1} \over {2i}}(-\sigma _{x}+\sigma _{x})=0$

(15.20)

Na podstawie obliczeń (15.18), (15.21) i (15.22) zachodzą szczególne związki na antykomutacje dwóch dowolnych różnych macierzy Pauliego:

$\{\sigma _{x},\sigma _{y}\}=0\;\;$

(15.21)

$\{\sigma _{y},\sigma _{z}\}=0\;$

(15.22)

$\{\sigma _{z},\sigma _{x}\}=0\;$

(15.23)

Postać ogólna antykomutacji macierzy Pauliego

Na podstawie kwadratów macierzy Pauliego (15.17) oraz szczególnych przypadków antykomutacji dwóch dowolnych różnych macierzy Pauiliego przedstawionych w formie (15.21), (15.22) i (15.23) postać ogólną antykomutacji zapisujemy:

$\{\sigma _{i},\sigma _{j}\}=2\delta _{ij}\;$

(15.24)

Wyznaczanie macierzy Pauliego

Z warunku komutacji wynikających z twierdzenia (15.9) na pewno możemy napisać tożsamość, którą piszemy po rozwinięciu naszego komutatora:

$\sigma _{x}\sigma _{y}-\sigma _{y}\sigma _{x}=2i\sigma _{z}\;$

(15.25)

Z warunku antykomutacji otrzymanych w punkcie (15.21), którą piszemy po rozpisaniu w sposób pełny antykomutatora:

$\sigma _{x}\sigma _{y}+\sigma _{y}\sigma _{x}=0\;$

(15.26)

Na podstawie tych dwóch zależności, tzn. warunku komutacyjnego (15.25) i warunku antykomutacyjnego (15.26) udowodnionych wcześniej, otrzymujemy równanie macierzowe na macierzach Pauliego:

$\sigma _{x}\sigma _{y}-(-\sigma _{x}\sigma _{y})=2i\sigma _{z}\;$

(15.27)

Po dalszych przekształceniach wynikłych z punktu (15.27) możemy powiedzieć, że na pewno zachodzi tożsamość:

$2\sigma _{x}\sigma _{y}=2i\sigma _{z}\Rightarrow \sigma _{x}\sigma _{y}=i\sigma _{x}\;\;$

(15.28)

Podobnie jak otrzymaliśmy zależność (15.28), otrzymujemy dwa pozostałe związki dla innych wektorów Pauliego, zatem nasza tabela zależności na tych wspomnianych macierzach jest:

$\sigma _{x}\sigma _{y}=i\sigma _{z}\;$

(15.29)

$\sigma _{y}\sigma _{z}=i\sigma _{x}\;$

(15.30)

$\sigma _{z}\sigma _{x}=i\sigma _{y}\;$

(15.31)

Wprowadzana baza funkcji ortonormalnych wektorów $\chi _{1}\;\;$ i $\chi _{2}\;\;$ jest napisana:

$\chi _{1}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\;$

(15.32)

$\chi _{2}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\;$

(15.33)

Łatwo sprawdzić, że zachodzą warunki zwane warunkami ortogonalności wektorów bazowych napisanych w punktach, tzn.: (15.32), (15.33):

$\chi _{1}^{+}\chi _{1}={\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=1\;$

(15.34)

$\chi _{2}^{+}\chi _{2}={\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}=1\;$

(15.35)

$\chi _{1}^{+}\chi _{2}={\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}=0\;$

(15.36)

Czyli rzeczywiście nasza baza wektorów złożonych z wektora (15.32), (15.33) jest bazą ortonormalną. Na podstawie rozważań (15.12) i (15.13) i z warunków ortonormalizacji wybranej bazy, to macierz operatora σ_z przedstawia się:

$\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\;$

(15.37)

Operatory σ_x i σ_y nie są diagonalne, gdyż nie komutują z operatorem σ_z, zatem z drugiej jednak strony możemy napisać:

$\sigma _{x}\chi _{1}=a\chi _{1}+b\chi _{2}\;$

(15.38)

$\sigma _{x}\chi _{2}=c\chi _{1}+d\chi _{2}\;$

(15.39)

Z ostatnich dwóch równań, tzn. (15.38) i (15.39) mamy operator σ_x, który jest przedstawiony w sposób poniżej, który jest zależny od stałych a,b,c,d.

$\sigma _{x}={\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\;$

(15.40)

Warunki działania operatora σ_x na wektor χ₁ opisujemy równaniem operatorowym (15.38), a także wynik działania tego samego co poprzednio operatora, ale tym razem na wektor χ₂ opisujemy równaniem operatorowym (15.39), wtedy:

${\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\;$

(15.41)

${\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}}\;$

(15.42)

Podziałajmy operatorem σ_z na wyrażenie σ_xχ₁ korzystając z warunków antykomutacji (15.23) oraz z warunku (15.12), otrzymujemy:

$\sigma _{z}\sigma _{x}\chi _{1}=-\sigma _{x}\sigma _{z}\chi _{1}=-\sigma _{x}\chi _{1}\;$

(15.43)

Wynika stąd na podstawie (15.43), że σ_xχ₁ jest proporcjonalny do χ₂, gdyż wartość własna σ_z wynosi -1, zatem jest to przypadek niezdegenerowany, stąd wynika według (15.13) proporcjonalność pomiędzy σ_xχ₁ a χ₂:

$\sigma _{x}\chi _{1}\sim \chi _{2}\;\;$

(15.44)

Wektor σ_xχ₁ jest wektorem unormowanym do jedynki, bo można to udowodnić pisząc przekształcenia:

$(\sigma _{x}\chi _{1})^{+}(\sigma _{x}\chi _{1})=\chi _{1}^{+}\sigma _{x}^{+}\sigma _{x}\chi _{1}=\chi _{1}^{+}\chi _{1}=1\;$

(15.45)

Zatem współczynnik stojący przy χ₂ w (15.44) musi być taki by jego moduł był równy jedności na podstawie (15.38):

$\sigma _{x}\chi _{1}=e^{i\alpha }\chi _{2}\;$

(15.46)

Podziałajmy operatorem σ_z na wyrażenie σ_xχ₂ korzystając z warunków antykomutacji (15.23) oraz z warunku (15.12), otrzymujemy:

$\sigma _{z}\sigma _{x}\chi _{2}=-\sigma _{x}\sigma _{z}\chi _{2}=\sigma _{x}\chi _{2}\;$

(15.47)

Wynika stąd na podstawie (15.47), że σ_xχ₂ jest proporcjonalny do χ₁, gdyż wartość własna σ_z wynosi 1, zatem jest to przypadek niezdegenerowany, stąd wynika według (15.13) proporcjonalność pomiędzy σ_xχ₂ a χ₁:

$\sigma _{x}\chi _{2}\sim \chi _{1}\;$

(15.48)

Wektor σ_xχ₂ jest wektorem unormowanym do jedynki, bo można to udowodnić pisząc przekształcenia:

$(\sigma _{x}\chi _{2})^{+}\sigma _{x}\chi _{2}=\chi _{2}^{+}\sigma _{x}^{+}\sigma _{x}\chi _{2}=\chi _{2}^{+}\chi _{2}=1\;$

(15.49)

Zatem współczynnik proporcjonalności stojący przy χ₁ w (15.48) musi być taki by jego moduł był równy jedności na podstawie (15.49), a zatem powinno być.

$\sigma _{x}\chi _{2}=e^{i\beta }\chi _{1}\;$

(15.50)

Z tych dwóch ostatnich zależności otrzymamy jedną zależność:

$e^{i\alpha }\chi _{2}=\sigma _{x}\chi _{1}=\sigma _{x}(e^{-i\beta }\sigma _{x}\chi _{2})=\sigma _{x}^{2}e^{-i\beta }\chi _{2}=e^{-i\beta }\chi _{2}\;$

(15.51)

Ze wzoru (15.51) wynika, że zachodzi warunek α=-β i można przyjąć, że te współczynniki są równe zero, a zatem prawdziwe są związki na podstawie (15.46) i (15.50):

$\sigma _{x}\chi _{1}=\chi _{2}\;$

(15.52)

$\sigma _{x}\chi _{2}=\chi _{1}\;$

(15.53)

Postać macierzy Pauliego σ_x

Po długim wysiłku na podstawie udowodnionych zalezności, tzn. (15.52) i (15.53) otrzymujemy macierz σ_x, która nie jest macierzą jednostkową, ale podobną bardzo do niej, bo ma ona elementy pozadiagonalne:

$\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\;$

(15.54)

Wyznaczanie dalszych macierzy Pauliego

Następnie wyprowadźmy operator σ_y, korzystając z rozwinięcia σ_z z warunku na operatorach Pauliego (15.31) i antykomutacyjnego (15.22), dochodzimy więc do wniosku, że spełniona jest na pewno tożsamość:

$\sigma _{y}\chi _{1}=-i\sigma _{z}\sigma _{x}\chi _{1}=i\sigma _{x}\sigma _{z}\chi _{1}=i\sigma _{x}\chi _{1}=i\chi _{2}\;\;$

(15.55)

A także zachodzi druga tożsamość, która dla nas jest warta zachodu, by można było wyznaczyć elementy macierzy σ_y:

$\sigma _{y}\chi _{2}=-i\sigma _{z}\sigma _{x}\chi _{2}=i\sigma _{x}\sigma _{z}\chi _{2}=-i\sigma _{x}\chi _{2}=-i\chi _{1}\;\;$

(15.56)

Dla równań operatorowych (15.55) i (15.56), który opisują operator σ_y, stąd na podstawie tego ten operator jest przedstawiony w sposób macierzowy:

$\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\;$

(15.57)

Postacie trzech macierzy Pauliego σ_x, σ_y i σ_z

Teraz zbierzemy wszystkie trzy macierze Pauliego do kupy i podamy je w jednej linijce, te macierze są zapisane:

$\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\;$

(15.58)

$\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\;$

(15.59)

$\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\;$

(15.60)

Operatory σ_i jako operatory hermitowskie

Operatory (15.58), (15.59) i (15.60) są to operatory hermitowskie, bo zachodzi:

$\sigma _{i}^{+}=(\sigma _{i}^{*})^{T}=\sigma _{i}\;$

(15.61)

Sprawdzenie własności macierzowych na macierzach Pauliego

Sprawdzenie komutacji macierzy Pauliego σ_i

Sprawdźmy czy zachodzą komutacje szczególne (15.9), (15.10) i (15.11), które są równoważne komutacji ogólnej (15.8), a więc zbadajmy czemu jest równa komutacja macierzy Pauliego $\sigma _{x}\;$ i $\sigma _{y}\;$:

$[\sigma _{x},\sigma _{y}]=\sigma _{x}\sigma _{y}-\sigma _{y}\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}-i&0\\0&i\end{pmatrix}}=2i{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}=2i\sigma _{z}=\;$
$=2i\epsilon _{xyz}\sigma _{z}\;$

(15.62)

Zbadajmy czemu jest równa komutacja macierzy Pauliego $\sigma _{x}\;$ i $\sigma _{z}\;$:

$[\sigma _{x},\sigma _{z}]=\sigma _{x}\sigma _{z}-\sigma _{z}\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}=-2i{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}=-2i\sigma _{y}=\;$
$=2i\epsilon _{xzy}\sigma _{y}$

(15.63)

Zbadajmy czemu jest równa komutacja macierzy Pauliego $\sigma _{y}\;$ i $\sigma _{z}\;$:

$[\sigma _{y},\sigma _{z}]=\sigma _{y}\sigma _{z}-\sigma _{z}\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0&-i\\-i&0\end{pmatrix}}=2i{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}=2i\sigma _{x}=\;$
$=2i\epsilon _{yzx}\sigma _{x}\;$

(15.64)

Stąd na podstawie (15.62), (15.63) i (15.64) zachodzi komutacja ogólna (15.8).

Sprawdzenie antykomutacji macierzy Pauliego σ_i

Mając operatory (15.58), (15.59) i (15.60) sprawdźmy, czy zachodzą warunki antykomutacyjne szczególne (15.21), (15.22) i (15.23), wtedy napiszmy tożsamości operatorowe, zatem kwadrat macierzy Pauliego $\sigma _{x}\;$ wynosi:

$\sigma _{x}^{2}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=1\;$

(15.65)

Kwadrat macierzy $\sigma _{y}\;$ wynosi jeden jak udowodnimy poniżej:

$\sigma _{y}^{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=1\;$

(15.66)

Kwadrat macierzy $\sigma _{z}\;$ wynosi jeden jak udowodnimy poniżej:

$\sigma _{z}^{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=1\;$

(15.67)

Zbadajmy czemu jest równa antykomutacja macierzy Pauliego $\sigma _{x}\;$ i $\sigma _{y}\;$, co jak udowodnimy jest równa zero:

$\{\sigma _{x},\sigma _{y}\}=\sigma _{x}\sigma _{y}+\sigma _{y}\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-i&0\\0&i\end{pmatrix}}=0\;$

(15.68)

Zbadajmy czemu jest równa antykomutacja macierzy Pauliego $\sigma _{x}\;$ i $\sigma _{z}\;$, co jak udowodnimy jest równa zero:

$\{\sigma _{x},\sigma _{z}\}=\sigma _{x}\sigma _{z}+\sigma _{z}\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}=0$

(15.69)

Zbadajmy czemu jest równa antykomutacja macierzy Pauliego $\sigma _{y}\;$ i $\sigma _{y}\;$, co jak udowodnimy jest równa zero:

$\{\sigma _{y},\sigma _{z}\}=\sigma _{y}\sigma _{z}+\sigma _{z}\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&-i\\-i&0\end{pmatrix}}=0\;$

(15.70)

Na podstawie wniosków macierzowych (15.65), (15.66), (15.67), (15.68), (15.69) i (15.70) mamy (15.24).

Wyznaczanie trzech macierzy Pauliego σ₊, σ_- i σ₀

Zdefiniujmy, trzy inne operatory w oparciu o macierze Pauliego, tak jak definiowaliśmy kombinacje operatorów dla $l_{x}\;$, $l_{y}\;$ oraz $l_{z}\;$, dla których można również skonstruować inne operatory dla operatorów Pauliego dla spinów:

$\sigma _{+}={{1} \over {2}}(\sigma _{x}+i\sigma _{y})\;\;$

(15.71)

$\sigma _{-}={{1} \over {2}}(\sigma _{x}-i\sigma _{y})\;\;$

(15.72)

$\sigma _{0}={{1} \over {2}}\sigma _{z}\;\;$

(15.73)

Wyznaczanie warunków komutacyjnych macierzy σ₊, σ_- i σ₀

Pomocnicze operatory skonstruowane o operatory Pauliego w przedstawieniu macierzowym, wyglądają:

$\sigma _{+}={{1} \over {2}}\left({\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}+i{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\right)=\;$
$={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\;$

(15.74)

$\sigma _{-}={{1} \over {2}}\left({\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}-i{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\right)=\;$
$={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}\;$

(15.75)

$\sigma _{0}={{1} \over {2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\;$

(15.76)

Zbadajmy zależności komutacyjne dla operatorów (15.74) ($\sigma _{+}\;$) i (15.74) ($\sigma _{-}\;$), ale korzystając przy tym z definicji komutatora dla operatorów Pauliego, ale my ograniczymy się tutaj do (15.9), dla pierwszego komutatora:

$[\sigma _{+},\sigma _{-}]={{1} \over {4}}\left(\sigma _{x}+i\sigma _{y})(\sigma _{x}-i\sigma _{y})-(\sigma _{x}-i\sigma _{y})(\sigma _{x}+i\sigma _{y})\right)={{1} \over {4}}\left(\sigma _{x}^{2}-i\sigma _{x}\sigma _{y}+i\sigma _{y}\sigma _{x}+\sigma _{y}^{2}-\sigma _{x}^{2}-i\sigma _{x}\sigma _{y}+i\sigma _{y}\sigma _{x}-\sigma _{y}^{2}\right)=\;$
$=-{{1} \over {4}}2i[\sigma _{x},\sigma _{y}]=-{{1} \over {2}}i2i\sigma _{z}=\sigma _{z}=2{{1} \over {2}}\sigma _{z}=2\sigma _{0}\;$

(15.77)

Zbadajmy zależności komutacyjne dla operatorów (15.74) ($\sigma _{0}\;$) i (15.75) ($\sigma _{+}\;$), ale korzystając przy tym z definicji komutatora dla operatorów Pauliego, ale my ograniczymy się tutaj do (15.11), dla drugiego komutatora:

$[\sigma _{0},\sigma _{+}]={{1} \over {4}}\left(\sigma _{z}(\sigma _{x}+i\sigma _{y})-(\sigma _{x}+i\sigma _{y})\sigma _{z}\right)={{1} \over {4}}\left(\sigma _{z}\sigma _{x}+i\sigma _{z}\sigma _{y}-\sigma _{x}\sigma _{z}-i\sigma _{y}\sigma _{z}\right)={{1} \over {4}}\left([\sigma _{z},\sigma _{x}]-i[\sigma _{y},\sigma _{z}]\right)=\;$
$={{1} \over {4}}\left(2i\sigma _{y}-i2i\sigma _{x}\right)={{1} \over {2}}\left(\sigma _{x}+i\sigma _{y}\right)=\sigma _{+}\;$

(15.78)

Zbadajmy zależności komutacyjne dla operatorów (15.74) ($\sigma _{0}\;$) i (15.75) ($\sigma _{-}\;$), ale korzystając przy tym z definicji komutatora dla operatorów Pauliego, ale my ograniczymy się tutaj do (15.10), dla pierwszego komutatora:

$[\sigma _{0},\sigma _{-}]={{1} \over {4}}\left(\sigma _{z}(\sigma _{x}-i\sigma _{y})-(\sigma _{x}-i\sigma _{y})\sigma _{z}\right)={{1} \over {4}}\left(\sigma _{z}\sigma _{x}-i\sigma _{z}\sigma _{y}-\sigma _{x}\sigma _{z}+i\sigma _{y}\sigma _{z}\right)={{1} \over {4}}\left([\sigma _{z},\sigma _{x}]+i[\sigma _{y},\sigma _{z}]\right)=\;$
$={{1} \over {4}}\left(2i\sigma _{y}+i2i\sigma _{x}\right)=-{{1} \over {2}}\left(\sigma _{x}-i\sigma _{y}\right)=-\sigma _{-}\;$

(15.79)

Szczególne warunki komutacji macierzy σ₊, σ_- i σ₀

Zbierzmy wszystkie trzy komutatory do kupy, tzn. równości (15.77), (15.78), (15.79):

$[\sigma _{+},\sigma _{-}]=2\sigma _{0}\;\;$

(15.80)

$[\sigma _{0},\sigma _{+}]=\sigma _{+}\;\;$

(15.81)

$[\sigma _{0},\sigma _{-}]=-\sigma _{-}\;\;$

(15.82)

Widzimy, że zależności komutacyjne są podobne jak dla zwykłych kombinacji operatorów momentów pędu.

Własności działania operatorów σ₊, σ_- i σ₀ na wektory pionowe dwuwymiarowe χ₁ i χ₂

Na samym końcu przedstawmy właściwości operatorów σ₊ i σ_- na wektory własne operatora σ_z, czyli na wektory ortonormalne χ₁ i χ₂.

$\sigma _{+}\chi _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=0\;$

(15.83)

$\sigma _{+}\chi _{2}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=\chi _{1}\;$

(15.84)

$\sigma _{-}\chi _{1}={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}=\chi _{2}\;$

(15.85)

$\sigma _{-}\chi _{2}={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}=0\;$

(15.86)