Mechanika kwantowa/Cząstki o spinie połówkowym

Cząstki o spinie połówkowym

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Poniższe rozważania są słuszne dla cząstek o spinie połówkowym, którego wiernym przykładem jest elektron. W naszych rozważaniach często pomijano spin elektronu. A w atomach wodoropodobnych stwierdzono rozszczepienie poziomów energetycznych dla l=1,2,3,.., ale nie l=0.

Moment magnetyczny, a spin

Zależność między momentem magnetycznym, a spinem przyjmuje postać:

$\overrightarrow{\mu }=2g\overrightarrow{s}\Rightarrow \overrightarrow{\mu }=2\underset{g}{\underbrace{\frac{q}{2m_0}}}\overrightarrow{s}\Rightarrow \overrightarrow{\mu }=\underset{g_s}{\underbrace{\frac{q}{m_0}}}\overrightarrow{s}$

(15.1)

Warunki komutacji operatorów spinu

Wprowadzając operatory spinu elektronu s_x,s_y,s_z, to warunki komutacji przyjmują taką samą postać co dla zwykłych operatorów momentów pędu, które udowodnialiśmy w punkcie (7.13), tylko zamiast operatora momentu pędu orbitalnego mamy operatory momentu pędu spinowego, co warunki komutacji:

$[s_x,s_y]=i\hslash s_z$

(15.2)

$[s_y,s_z]=i\hslash s_x$

(15.3)

$[s_z,s_x]=i\hslash s_y$

(15.4)

Ogólne warunki komutacji spinu

Ogólnie warunki komutacji operatorów spinu (15.2), (15.3) i (15.4) możemy zapisać wedle schematu poniżej, wiedząc jednocześnie, że otrzymamy bardzo podobny związek jak dla operatorów momentu pędu.

$[s_i,s_j]=i\hslash {ϵ}_{ijk}{s}_k$

(15.5)

Wzór na operator spinu w zależności od operatorów (macierzy) Pauliego

Operatory Pauliego σ spełniają z operatorami spinu zależność poniżej, którym to operator spinu jest równy macierzowi Pauliego pomnożonej przez połowę wartości stałej kreślonej Plancka:

$s=\frac{1}{2}\hslash \sigma$

(15.6)

Warunki komutacji operatorów (macierzy) Pauliego

Warunki komutacji macierzy Pauliego przestawionych na podstawie (15.5) i definicji operatorów spinu (15.5) możemy wywnioskować, że warunki komutacji macierzy Pauliego spełniają związki:

$[{\sigma }_i,{\sigma }_j]=[\frac{2}{\hslash }{s}_i,\frac{2}{\hslash }{s}_j]=\frac{4}{{\hslash }^2}[s_i,s_j]=\frac{4}{{\hslash }^2}i\hslash {ϵ}_{ijk}{s}_k=i\frac{4}{\hslash }{ϵ}_{ijk}{s}_k=2i{ϵ}_{ijk}{\sigma }_k$

(15.7)

Ogólna postać komutacji macierzy Pauliego

Dochodzimy do wniosku na podstawie przeprowadzonych obliczeń w punkcie (15.7), że ogólna zależność dla macierzy Pauliego opisujący spin eletronu, czyli (15.6), przedstawiana jest według wzoru poniżej, której postać komutacyjna jest bardzo podobna jak przy komutacji macierzy spinowych:

$[{\sigma }_i,{\sigma }_j]=2i{ϵ}_{ijk}{\sigma }_k$

(15.8)

Szczególne postacje komutacji macierzy Pauliego

Wzór (15.8) bardziej szczegółowo można przedstawić dla trzech szczególnych przypadków w sposób poniżej. Widzimy, że za każdym razem komutator dwóch różnych wielkości jest równy trzeciemu innemu komutatorowi, ze stałą proporcjonalności równej 2i.

$[{\sigma }_x,{\sigma }_y]=2i{\sigma }_z$

(15.9)

$[{\sigma }_y,{\sigma }_z]=2i{\sigma }_x$

(15.10)

$[{\sigma }_z,{\sigma }_x]=2i{\sigma }_y$

(15.11)

Wyznaczanie warunków antykomutacyjnych macierzy Pauliego

Wprowadźmy bazę ortonormalnym wektorów własnych χ₁, oraz χ₂, tak że zachodzą warunki działania operatora σ_z na odpowiednie wektory wspomnianej bazy ortonormalnej, których to zapis jest:

${\sigma }_z{\chi }_1={\chi }_1$

(15.12)

${\sigma }_z{\chi }_2=-{\chi }_2$

(15.13)

Postacie szczególne antykomutacji macierzy Pauliego

Według wzorów (15.12) i (15.13) zachodzą podobne warunki dla kwadratu zetowej współrzędnej wektora Pauliego, i w ten sposób otrzymujemy, że kwadrat operatora σ_z jest operatorem jednostkowym, co dowód tego:

${\sigma }_z^2{\chi }_1={\sigma }_z{\sigma }_z{\chi }_1={\sigma }_z{\chi }_1={\chi }_1$

(15.14)

${\sigma }_z^2{\chi }_2={\sigma }_z{\sigma }_z{\chi }_2=-{\sigma }_z{\chi }_2={\chi }_2$

(15.15)

Na podstawie (15.14) i (15.15) dla kombinacji liniowej wektorów χ₁ i χ₂ zachodzi warunek, którego zapis:

${\sigma }_z^2(a{\chi }_1+b{\chi }_2)=a{\chi }_1+b{\chi }_2$

(15.16)

Operator ${\sigma }_z^2$ w działaniu na wektory przestrzeni spinowych jest operatorem mnożenia przez jeden, bo ${\sigma }_z^2=1$ na podstawie (15.16). Podobnie wnioski można otrzymać dla innych macierzy Paulliego, zatem zbierając te wnioski razem:

${\sigma }_x^2={\sigma }_y^2={\sigma }_z^2=1$

(15.17)

Policzmy teraz antykomutator operatorów spinowych, korzystamy przy tym ze wzorów na warunki komutacji macierzy Pauliego ze wzorów (15.11) i (15.17):

$\{{\sigma }_x,{\sigma }_y\}={\sigma }_x{\sigma }_y+{\sigma }_y{\sigma }_x=\frac{1}{2i}{\sigma }_x({\sigma }_z{\sigma }_x-{\sigma }_x{\sigma }_z)+\frac{1}{2i}({\sigma }_z{\sigma }_x-{\sigma }_x{\sigma }_z){\sigma }_x=\frac{1}{2i}({\sigma }_x{\sigma }_z{\sigma }_x-{\sigma }_x^2{\sigma }_z+{\sigma }_z{\sigma }_x^2-{\sigma }_x{\sigma }_z{\sigma }_x)=$
$=\frac{1}{2i}(-{\sigma }_z+{\sigma }_z)=0$

(15.18)

Policzmy teraz antykomutator operatorów spinowych, korzystamy przy tym ze wzorów na warunki komutacji macierzy Pauliego ze wzorów (15.9) i (15.17):

$\{{\sigma }_z,{\sigma }_x\}={\sigma }_z{\sigma }_x+{\sigma }_x{\sigma }_z=\frac{1}{2i}({\sigma }_x{\sigma }_y-{\sigma }_y{\sigma }_x){\sigma }_x+\frac{1}{2i}{\sigma }_x({\sigma }_x{\sigma }_y-{\sigma }_y{\sigma }_z)=\frac{1}{2i}({\sigma }_x{\sigma }_y{\sigma }_x-{\sigma }_y{\sigma }_x^2+{\sigma }_x^2{\sigma }_y-{\sigma }_x{\sigma }_y{\sigma }_z)=$
$=\frac{1}{2i}(-{\sigma }_y+{\sigma }_y)=0$

(15.19)

Policzmy teraz antykomutator operatorów spinowych, korzystamy przy tym ze wzorów na warunki komutacji macierzy Pauliego ze wzorów (15.9) i (15.17):

$\{{\sigma }_y,{\sigma }_z\}={\sigma }_y{\sigma }_z+{\sigma }_z{\sigma }_y=\frac{1}{2i}{\sigma }_y({\sigma }_x{\sigma }_y-{\sigma }_y{\sigma }_x)+\frac{1}{2i}({\sigma }_x{\sigma }_y-{\sigma }_y{\sigma }_x){\sigma }_y=\frac{1}{2i}({\sigma }_y{\sigma }_x{\sigma }_y-{\sigma }_y^2{\sigma }_x+{\sigma }_x{\sigma }_y^2-{\sigma }_y{\sigma }_x{\sigma }_y)=$
$=\frac{1}{2i}(-{\sigma }_x+{\sigma }_x)=0$

(15.20)

Na podstawie obliczeń (15.18), (15.21) i (15.22) zachodzą szczególne związki na antykomutacje dwóch dowolnych różnych macierzy Pauliego:

$\{{\sigma }_x,{\sigma }_y\}=0$

(15.21)

$\{{\sigma }_y,{\sigma }_z\}=0$

(15.22)

$\{{\sigma }_z,{\sigma }_x\}=0$

(15.23)

Postać ogólna antykomutacji macierzy Pauliego

Na podstawie kwadratów macierzy Pauliego (15.17) oraz szczególnych przypadków antykomutacji dwóch dowolnych różnych macierzy Pauiliego przedstawionych w formie (15.21), (15.22) i (15.23) postać ogólną antykomutacji zapisujemy:

$\{{\sigma }_i,{\sigma }_j\}=2{\delta }_{ij}$

(15.24)

Wyznaczanie macierzy Pauliego

Z warunku komutacji wynikających z twierdzenia (15.9) na pewno możemy napisać tożsamość, którą piszemy po rozwinięciu naszego komutatora:

${\sigma }_x{\sigma }_y-{\sigma }_y{\sigma }_x=2i{\sigma }_z$

(15.25)

Z warunku antykomutacji otrzymanych w punkcie (15.21), którą piszemy po rozpisaniu w sposób pełny antykomutatora:

${\sigma }_x{\sigma }_y+{\sigma }_y{\sigma }_x=0$

(15.26)

Na podstawie tych dwóch zależności, tzn. warunku komutacyjnego (15.25) i warunku antykomutacyjnego (15.26) udowodnionych wcześniej, otrzymujemy równanie macierzowe na macierzach Pauliego:

${\sigma }_x{\sigma }_y-(-{\sigma }_x{\sigma }_y)=2i{\sigma }_z$

(15.27)

Po dalszych przekształceniach wynikłych z punktu (15.27) możemy powiedzieć, że na pewno zachodzi tożsamość:

$2{\sigma }_x{\sigma }_y=2i{\sigma }_z\Rightarrow {\sigma }_x{\sigma }_y=i{\sigma }_x$

(15.28)

Podobnie jak otrzymaliśmy zależność (15.28), otrzymujemy dwa pozostałe związki dla innych wektorów Pauliego, zatem nasza tabela zależności na tych wspomnianych macierzach jest:

${\sigma }_x{\sigma }_y=i{\sigma }_z$

(15.29)

${\sigma }_y{\sigma }_z=i{\sigma }_x$

(15.30)

${\sigma }_z{\sigma }_x=i{\sigma }_y$

(15.31)

Wprowadzana baza funkcji ortonormalnych wektorów ${\chi }_1$ i ${\chi }_2$ jest napisana:

${\chi }_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$

(15.32)

${\chi }_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$

(15.33)

Łatwo sprawdzić, że zachodzą warunki zwane warunkami ortogonalności wektorów bazowych napisanych w punktach, tzn.: (15.32), (15.33):

${\chi }_1^{+}{\chi }_1=\left(\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=1$

(15.34)

${\chi }_2^{+}{\chi }_2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)=1$

(15.35)

${\chi }_1^{+}{\chi }_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)=0$

(15.36)

Czyli rzeczywiście nasza baza wektorów złożonych z wektora (15.32), (15.33) jest bazą ortonormalną. Na podstawie rozważań (15.12) i (15.13) i z warunków ortonormalizacji wybranej bazy, to macierz operatora σ_z przedstawia się:

${\sigma }_z=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$

(15.37)

Operatory σ_x i σ_y nie są diagonalne, gdyż nie komutują z operatorem σ_z, zatem z drugiej jednak strony możemy napisać:

${\sigma }_x{\chi }_1=a{\chi }_1+b{\chi }_2$

(15.38)

${\sigma }_x{\chi }_2=c{\chi }_1+d{\chi }_2$

(15.39)

Z ostatnich dwóch równań, tzn. (15.38) i (15.39) mamy operator σ_x, który jest przedstawiony w sposób poniżej, który jest zależny od stałych a,b,c,d.

${\sigma }_x=\left(\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right)$

(15.40)

Warunki działania operatora σ_x na wektor χ₁ opisujemy równaniem operatorowym (15.38), a także wynik działania tego samego co poprzednio operatora, ale tym razem na wektor χ₂ opisujemy równaniem operatorowym (15.39), wtedy:

$\left(\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$

(15.41)

$\left(\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right)$

(15.42)

Podziałajmy operatorem σ_z na wyrażenie σ_xχ₁ korzystając z warunków antykomutacji (15.23) oraz z warunku (15.12), otrzymujemy:

${\sigma }_z{\sigma }_x{\chi }_1=-{\sigma }_x{\sigma }_z{\chi }_1=-{\sigma }_x{\chi }_1$

(15.43)

Wynika stąd na podstawie (15.43), że σ_xχ₁ jest proporcjonalny do χ₂, gdyż wartość własna σ_z wynosi -1, zatem jest to przypadek niezdegenerowany, stąd wynika według (15.13) proporcjonalność pomiędzy σ_xχ₁ a χ₂:

${\sigma }_x{\chi }_1\sim {\chi }_2$

(15.44)

Wektor σ_xχ₁ jest wektorem unormowanym do jedynki, bo można to udowodnić pisząc przekształcenia:

$({\sigma }_x{\chi }_1{)}^{+}({\sigma }_x{\chi }_1)={\chi }_1^{+}{\sigma }_x^{+}{\sigma }_x{\chi }_1={\chi }_1^{+}{\chi }_1=1$

(15.45)

Zatem współczynnik stojący przy χ₂ w (15.44) musi być taki by jego moduł był równy jedności na podstawie (15.38):

${\sigma }_x{\chi }_1=e^{i\alpha }{\chi }_2$

(15.46)

Podziałajmy operatorem σ_z na wyrażenie σ_xχ₂ korzystając z warunków antykomutacji (15.23) oraz z warunku (15.12), otrzymujemy:

${\sigma }_z{\sigma }_x{\chi }_2=-{\sigma }_x{\sigma }_z{\chi }_2={\sigma }_x{\chi }_2$

(15.47)

Wynika stąd na podstawie (15.47), że σ_xχ₂ jest proporcjonalny do χ₁, gdyż wartość własna σ_z wynosi 1, zatem jest to przypadek niezdegenerowany, stąd wynika według (15.13) proporcjonalność pomiędzy σ_xχ₂ a χ₁:

${\sigma }_x{\chi }_2\sim {\chi }_1$

(15.48)

Wektor σ_xχ₂ jest wektorem unormowanym do jedynki, bo można to udowodnić pisząc przekształcenia:

$({\sigma }_x{\chi }_2{)}^{+}{\sigma }_x{\chi }_2={\chi }_2^{+}{\sigma }_x^{+}{\sigma }_x{\chi }_2={\chi }_2^{+}{\chi }_2=1$

(15.49)

Zatem współczynnik proporcjonalności stojący przy χ₁ w (15.48) musi być taki by jego moduł był równy jedności na podstawie (15.49), a zatem powinno być.

${\sigma }_x{\chi }_2=e^{i\beta }{\chi }_1$

(15.50)

Z tych dwóch ostatnich zależności otrzymamy jedną zależność:

$e^{i\alpha }{\chi }_2={\sigma }_x{\chi }_1={\sigma }_x(e^{-i\beta }{\sigma }_x{\chi }_2)={\sigma }_x^2{e}^{-i\beta }{\chi }_2=e^{-i\beta }{\chi }_2$

(15.51)

Ze wzoru (15.51) wynika, że zachodzi warunek α=-β i można przyjąć, że te współczynniki są równe zero, a zatem prawdziwe są związki na podstawie (15.46) i (15.50):

${\sigma }_x{\chi }_1={\chi }_2$

(15.52)

${\sigma }_x{\chi }_2={\chi }_1$

(15.53)

Postać macierzy Pauliego σ_x

Po długim wysiłku na podstawie udowodnionych zalezności, tzn. (15.52) i (15.53) otrzymujemy macierz σ_x, która nie jest macierzą jednostkową, ale podobną bardzo do niej, bo ma ona elementy pozadiagonalne:

${\sigma }_x=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$

(15.54)

Wyznaczanie dalszych macierzy Pauliego

Następnie wyprowadźmy operator σ_y, korzystając z rozwinięcia σ_z z warunku na operatorach Pauliego (15.31) i antykomutacyjnego (15.22), dochodzimy więc do wniosku, że spełniona jest na pewno tożsamość:

${\sigma }_y{\chi }_1=-i{\sigma }_z{\sigma }_x{\chi }_1=i{\sigma }_x{\sigma }_z{\chi }_1=i{\sigma }_x{\chi }_1=i{\chi }_2$

(15.55)

A także zachodzi druga tożsamość, która dla nas jest warta zachodu, by można było wyznaczyć elementy macierzy σ_y:

${\sigma }_y{\chi }_2=-i{\sigma }_z{\sigma }_x{\chi }_2=i{\sigma }_x{\sigma }_z{\chi }_2=-i{\sigma }_x{\chi }_2=-i{\chi }_1$

(15.56)

Dla równań operatorowych (15.55) i (15.56), który opisują operator σ_y, stąd na podstawie tego ten operator jest przedstawiony w sposób macierzowy:

${\sigma }_y=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right)$

(15.57)

Postacie trzech macierzy Pauliego σ_x, σ_y i σ_z

Teraz zbierzemy wszystkie trzy macierze Pauliego do kupy i podamy je w jednej linijce, te macierze są zapisane:

${\sigma }_x=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$

(15.58)

${\sigma }_y=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right)$

(15.59)

${\sigma }_z=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$

(15.60)

Operatory σ_i jako operatory hermitowskie

Operatory (15.58), (15.59) i (15.60) są to operatory hermitowskie, bo zachodzi:

${\sigma }_i^{+}=({\sigma }_i^{\ast }{)}^T={\sigma }_i$

(15.61)

Sprawdzenie własności macierzowych na macierzach Pauliego

Sprawdzenie komutacji macierzy Pauliego σ_i

Sprawdźmy czy zachodzą komutacje szczególne (15.9), (15.10) i (15.11), które są równoważne komutacji ogólnej (15.8), a więc zbadajmy czemu jest równa komutacja macierzy Pauliego ${\sigma }_x$ i ${\sigma }_y$:

$[{\sigma }_x,{\sigma }_y]={\sigma }_x{\sigma }_y-{\sigma }_y{\sigma }_x=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}i& 0\\ 0& -i\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}-i& 0\\ 0& i\end{array}\right)=2i\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)=2i{\sigma }_z=$
$=2i{ϵ}_{xyz}{\sigma }_z$

(15.62)

Zbadajmy czemu jest równa komutacja macierzy Pauliego ${\sigma }_x$ i ${\sigma }_z$:

$[{\sigma }_x,{\sigma }_z]={\sigma }_x{\sigma }_z-{\sigma }_z{\sigma }_x=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)=-2i\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right)=-2i{\sigma }_y=$
$=2i{ϵ}_{xzy}{\sigma }_y$

(15.63)

Zbadajmy czemu jest równa komutacja macierzy Pauliego ${\sigma }_y$ i ${\sigma }_z$:

$[{\sigma }_y,{\sigma }_z]={\sigma }_y{\sigma }_z-{\sigma }_z{\sigma }_y=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& i\\ i& 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ -i& 0\end{array}\right)=2i\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)=2i{\sigma }_x=$
$=2i{ϵ}_{yzx}{\sigma }_x$

(15.64)

Stąd na podstawie (15.62), (15.63) i (15.64) zachodzi komutacja ogólna (15.8).

Sprawdzenie antykomutacji macierzy Pauliego σ_i

Mając operatory (15.58), (15.59) i (15.60) sprawdźmy, czy zachodzą warunki antykomutacyjne szczególne (15.21), (15.22) i (15.23), wtedy napiszmy tożsamości operatorowe, zatem kwadrat macierzy Pauliego ${\sigma }_x$ wynosi:

${\sigma }_x^2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=1$

(15.65)

Kwadrat macierzy ${\sigma }_y$ wynosi jeden jak udowodnimy poniżej:

${\sigma }_y^2=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=1$

(15.66)

Kwadrat macierzy ${\sigma }_z$ wynosi jeden jak udowodnimy poniżej:

${\sigma }_z^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=1$

(15.67)

Zbadajmy czemu jest równa antykomutacja macierzy Pauliego ${\sigma }_x$ i ${\sigma }_y$, co jak udowodnimy jest równa zero:

$\{{\sigma }_x,{\sigma }_y\}={\sigma }_x{\sigma }_y+{\sigma }_y{\sigma }_x=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}i& 0\\ 0& -i\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}-i& 0\\ 0& i\end{array}\right)=0$

(15.68)

Zbadajmy czemu jest równa antykomutacja macierzy Pauliego ${\sigma }_x$ i ${\sigma }_z$, co jak udowodnimy jest równa zero:

$\{{\sigma }_x,{\sigma }_z\}={\sigma }_x{\sigma }_z+{\sigma }_z{\sigma }_x=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)=0$

(15.69)

Zbadajmy czemu jest równa antykomutacja macierzy Pauliego ${\sigma }_y$ i ${\sigma }_y$, co jak udowodnimy jest równa zero:

$\{{\sigma }_y,{\sigma }_z\}={\sigma }_y{\sigma }_z+{\sigma }_z{\sigma }_y=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& i\\ i& 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ -i& 0\end{array}\right)=0$

(15.70)

Na podstawie wniosków macierzowych (15.65), (15.66), (15.67), (15.68), (15.69) i (15.70) mamy (15.24).

Wyznaczanie trzech macierzy Pauliego σ₊, σ_- i σ₀

Zdefiniujmy, trzy inne operatory w oparciu o macierze Pauliego, tak jak definiowaliśmy kombinacje operatorów dla $l_x$, $l_y$ oraz $l_z$, dla których można również skonstruować inne operatory dla operatorów Pauliego dla spinów:

${\sigma }_{+}=\frac{1}{2}({\sigma }_x+i{\sigma }_y)$

(15.71)

${\sigma }_{-}=\frac{1}{2}({\sigma }_x-i{\sigma }_y)$

(15.72)

${\sigma }_0=\frac{1}{2}{\sigma }_z$

(15.73)

Wyznaczanie warunków komutacyjnych macierzy σ₊, σ_- i σ₀

Pomocnicze operatory skonstruowane o operatory Pauliego w przedstawieniu macierzowym, wyglądają:

${\sigma }_{+}=\frac{1}{2}(\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)+i\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right))=$
$=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$

(15.74)

${\sigma }_{-}=\frac{1}{2}(\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)-i\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right))=$
$=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)$

(15.75)

${\sigma }_0=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$

(15.76)

Zbadajmy zależności komutacyjne dla operatorów (15.74) (${\sigma }_{+}$) i (15.74) (${\sigma }_{-}$), ale korzystając przy tym z definicji komutatora dla operatorów Pauliego, ale my ograniczymy się tutaj do (15.9), dla pierwszego komutatora:

$[{\sigma }_{+},{\sigma }_{-}]=\frac{1}{4}({\sigma }_x+i{\sigma }_y)({\sigma }_x-i{\sigma }_y)-({\sigma }_x-i{\sigma }_y)({\sigma }_x+i{\sigma }_y))=\frac{1}{4}({\sigma }_x^2-i{\sigma }_x{\sigma }_y+i{\sigma }_y{\sigma }_x+{\sigma }_y^2-{\sigma }_x^2-i{\sigma }_x{\sigma }_y+i{\sigma }_y{\sigma }_x-{\sigma }_y^2)=$
$=-\frac{1}{4}2i[{\sigma }_x,{\sigma }_y]=-\frac{1}{2}i2i{\sigma }_z={\sigma }_z=2\frac{1}{2}{\sigma }_z=2{\sigma }_0$

(15.77)

Zbadajmy zależności komutacyjne dla operatorów (15.74) (${\sigma }_0$) i (15.75) (${\sigma }_{+}$), ale korzystając przy tym z definicji komutatora dla operatorów Pauliego, ale my ograniczymy się tutaj do (15.11), dla drugiego komutatora:

$[{\sigma }_0,{\sigma }_{+}]=\frac{1}{4}({\sigma }_z({\sigma }_x+i{\sigma }_y)-({\sigma }_x+i{\sigma }_y){\sigma }_z)=\frac{1}{4}({\sigma }_z{\sigma }_x+i{\sigma }_z{\sigma }_y-{\sigma }_x{\sigma }_z-i{\sigma }_y{\sigma }_z)=\frac{1}{4}([{\sigma }_z,{\sigma }_x]-i[{\sigma }_y,{\sigma }_z])=$
$=\frac{1}{4}(2i{\sigma }_y-i2i{\sigma }_x)=\frac{1}{2}({\sigma }_x+i{\sigma }_y)={\sigma }_{+}$

(15.78)

Zbadajmy zależności komutacyjne dla operatorów (15.74) (${\sigma }_0$) i (15.75) (${\sigma }_{-}$), ale korzystając przy tym z definicji komutatora dla operatorów Pauliego, ale my ograniczymy się tutaj do (15.10), dla pierwszego komutatora:

$[{\sigma }_0,{\sigma }_{-}]=\frac{1}{4}({\sigma }_z({\sigma }_x-i{\sigma }_y)-({\sigma }_x-i{\sigma }_y){\sigma }_z)=\frac{1}{4}({\sigma }_z{\sigma }_x-i{\sigma }_z{\sigma }_y-{\sigma }_x{\sigma }_z+i{\sigma }_y{\sigma }_z)=\frac{1}{4}([{\sigma }_z,{\sigma }_x]+i[{\sigma }_y,{\sigma }_z])=$
$=\frac{1}{4}(2i{\sigma }_y+i2i{\sigma }_x)=-\frac{1}{2}({\sigma }_x-i{\sigma }_y)=-{\sigma }_{-}$

(15.79)

Szczególne warunki komutacji macierzy σ₊, σ_- i σ₀

Zbierzmy wszystkie trzy komutatory do kupy, tzn. równości (15.77), (15.78), (15.79):

$[{\sigma }_{+},{\sigma }_{-}]=2{\sigma }_0$

(15.80)

$[{\sigma }_0,{\sigma }_{+}]={\sigma }_{+}$

(15.81)

$[{\sigma }_0,{\sigma }_{-}]=-{\sigma }_{-}$

(15.82)

Widzimy, że zależności komutacyjne są podobne jak dla zwykłych kombinacji operatorów momentów pędu.

Własności działania operatorów σ₊, σ_- i σ₀ na wektory pionowe dwuwymiarowe χ₁ i χ₂

Na samym końcu przedstawmy właściwości operatorów σ₊ i σ_- na wektory własne operatora σ_z, czyli na wektory ortonormalne χ₁ i χ₂.

${\sigma }_{+}{\chi }_1=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=0$

(15.83)

${\sigma }_{+}{\chi }_2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)={\chi }_1$

(15.84)

${\sigma }_{-}{\chi }_1=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)={\chi }_2$

(15.85)

${\sigma }_{-}{\chi }_2=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)=0$

(15.86)