Mechanika kwantowa/Cząstki o spinie połówkowym

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Mechanika kwantowa
Mechanika kwantowa
Cząstki o spinie połówkowym

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw.makowiecki@gmail.com
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Poniższe rozważania są słuszne dla cząstek o spinie połówkowym, którego wiernym przykładem jest elektron. W naszych rozważaniach często pomijano spin elektronu. A w atomach wodoropodobnych stwierdzono rozszczepienie poziomów energetycznych dla l=1,2,3,.., ale nie l=0.

Moment magnetyczny, a spin[edytuj]

Zależność między momentem magnetycznym, a spinem przyjmuje postać:

(15.1)

Warunki komutacji operatorów spinu[edytuj]

Wprowadzając operatory spinu elektronu sx,sy,sz, to warunki komutacji przyjmują taką samą postać co dla zwykłych operatorów momentów pędu, które udowodnialiśmy w punkcie (7.13), tylko zamiast operatora momentu pędu orbitalnego mamy operatory momentu pędu spinowego, co warunki komutacji:

(15.2)
(15.3)
(15.4)

Ogólne warunki komutacji spinu[edytuj]

Ogólnie warunki komutacji operatorów spinu (15.2), (15.3) i (15.4) możemy zapisać wedle schematu poniżej, wiedząc jednocześnie, że otrzymamy bardzo podobny związek jak dla operatorów momentu pędu.

(15.5)

Wzór na operator spinu w zależności od operatorów (macierzy) Pauliego[edytuj]

Operatory Pauliego σ spełniają z operatorami spinu zależność poniżej, którym to operator spinu jest równy macierzowi Pauliego pomnożonej przez połowę wartości stałej kreślonej Plancka:

(15.6)

Warunki komutacji operatorów (macierzy) Pauliego[edytuj]

Warunki komutacji macierzy Pauliego przestawionych na podstawie (15.5) i definicji operatorów spinu (15.5) możemy wywnioskować, że warunki komutacji macierzy Pauliego spełniają związki:

(15.7)

Ogólna postać komutacji macierzy Pauliego[edytuj]

Dochodzimy do wniosku na podstawie przeprowadzonych obliczeń w punkcie (15.7), że ogólna zależność dla macierzy Pauliego opisujący spin eletronu, czyli (15.6), przedstawiana jest według wzoru poniżej, której postać komutacyjna jest bardzo podobna jak przy komutacji macierzy spinowych:

(15.8)

Szczególne postacje komutacji macierzy Pauliego[edytuj]

Wzór (15.8) bardziej szczegółowo można przedstawić dla trzech szczególnych przypadków w sposób poniżej. Widzimy, że za każdym razem komutator dwóch różnych wielkości jest równy trzeciemu innemu komutatorowi, ze stałą proporcjonalności równej 2i.

(15.9)
(15.10)
(15.11)

Wyznaczanie warunków antykomutacyjnych macierzy Pauliego[edytuj]

Wprowadźmy bazę ortonormalnym wektorów własnych χ1, oraz χ2, tak że zachodzą warunki działania operatora σz na odpowiednie wektory wspomnianej bazy ortonormalnej, których to zapis jest:

(15.12)
(15.13)

Postacie szczególne antykomutacji macierzy Pauliego[edytuj]

Według wzorów (15.12) i (15.13) zachodzą podobne warunki dla kwadratu zetowej współrzędnej wektora Pauliego, i w ten sposób otrzymujemy, że kwadrat operatora σz jest operatorem jednostkowym, co dowód tego:

(15.14)
(15.15)

Na podstawie (15.14) i (15.15) dla kombinacji liniowej wektorów χ1 i χ2 zachodzi warunek, którego zapis:

(15.16)

Operator w działaniu na wektory przestrzeni spinowych jest operatorem mnożenia przez jeden, bo na podstawie (15.16). Podobnie wnioski można otrzymać dla innych macierzy Paulliego, zatem zbierając te wnioski razem:

(15.17)

Policzmy teraz antykomutator operatorów spinowych, korzystamy przy tym ze wzorów na warunki komutacji macierzy Pauliego ze wzorów (15.11) i (15.17):

(15.18)

Policzmy teraz antykomutator operatorów spinowych, korzystamy przy tym ze wzorów na warunki komutacji macierzy Pauliego ze wzorów (15.9) i (15.17):

(15.19)

Policzmy teraz antykomutator operatorów spinowych, korzystamy przy tym ze wzorów na warunki komutacji macierzy Pauliego ze wzorów (15.9) i (15.17):

(15.20)

Na podstawie obliczeń (15.18), (15.21) i (15.22) zachodzą szczególne związki na antykomutacje dwóch dowolnych różnych macierzy Pauliego:

(15.21)
(15.22)
(15.23)

Postać ogólna antykomutacji macierzy Pauliego[edytuj]

Na podstawie kwadratów macierzy Pauliego (15.17) oraz szczególnych przypadków antykomutacji dwóch dowolnych różnych macierzy Pauiliego przedstawionych w formie (15.21), (15.22) i (15.23) postać ogólną antykomutacji zapisujemy:

(15.24)

Wyznaczanie macierzy Pauliego[edytuj]

Z warunku komutacji wynikających z twierdzenia (15.9) na pewno możemy napisać tożsamość, którą piszemy po rozwinięciu naszego komutatora:

(15.25)

Z warunku antykomutacji otrzymanych w punkcie (15.21), którą piszemy po rozpisaniu w sposób pełny antykomutatora:

(15.26)

Na podstawie tych dwóch zależności, tzn. warunku komutacyjnego (15.25) i warunku antykomutacyjnego (15.26) udowodnionych wcześniej, otrzymujemy równanie macierzowe na macierzach Pauliego:

(15.27)

Po dalszych przekształceniach wynikłych z punktu (15.27) możemy powiedzieć, że na pewno zachodzi tożsamość:

(15.28)

Podobnie jak otrzymaliśmy zależność (15.28), otrzymujemy dwa pozostałe związki dla innych wektorów Pauliego, zatem nasza tabela zależności na tych wspomnianych macierzach jest:

(15.29)
(15.30)
(15.31)

Wprowadzana baza funkcji ortonormalnych wektorów i jest napisana:

(15.32)
(15.33)

Łatwo sprawdzić, że zachodzą warunki zwane warunkami ortogonalności wektorów bazowych napisanych w punktach, tzn.: (15.32), (15.33):

(15.34)
(15.35)
(15.36)

Czyli rzeczywiście nasza baza wektorów złożonych z wektora (15.32), (15.33) jest bazą ortonormalną. Na podstawie rozważań (15.12) i (15.13) i z warunków ortonormalizacji wybranej bazy, to macierz operatora σz przedstawia się:

(15.37)

Operatory σx i σy nie są diagonalne, gdyż nie komutują z operatorem σz, zatem z drugiej jednak strony możemy napisać:

(15.38)
(15.39)

Z ostatnich dwóch równań, tzn. (15.38) i (15.39) mamy operator σx, który jest przedstawiony w sposób poniżej, który jest zależny od stałych a,b,c,d.

(15.40)

Warunki działania operatora σx na wektor χ1 opisujemy równaniem operatorowym (15.38), a także wynik działania tego samego co poprzednio operatora, ale tym razem na wektor χ2 opisujemy równaniem operatorowym (15.39), wtedy:

(15.41)
(15.42)

Podziałajmy operatorem σz na wyrażenie σxχ1 korzystając z warunków antykomutacji (15.23) oraz z warunku (15.12), otrzymujemy:

(15.43)

Wynika stąd na podstawie (15.43), że σxχ1 jest proporcjonalny do χ2, gdyż wartość własna σz wynosi -1, zatem jest to przypadek niezdegenerowany, stąd wynika według (15.13) proporcjonalność pomiędzy σxχ1 a χ2:

(15.44)

Wektor σxχ1 jest wektorem unormowanym do jedynki, bo można to udowodnić pisząc przekształcenia:

(15.45)

Zatem współczynnik stojący przy χ2 w (15.44) musi być taki by jego moduł był równy jedności na podstawie (15.38):

(15.46)

Podziałajmy operatorem σz na wyrażenie σxχ2 korzystając z warunków antykomutacji (15.23) oraz z warunku (15.12), otrzymujemy:

(15.47)

Wynika stąd na podstawie (15.47), że σxχ2 jest proporcjonalny do χ1, gdyż wartość własna σz wynosi 1, zatem jest to przypadek niezdegenerowany, stąd wynika według (15.13) proporcjonalność pomiędzy σxχ2 a χ1:

(15.48)

Wektor σxχ2 jest wektorem unormowanym do jedynki, bo można to udowodnić pisząc przekształcenia:

(15.49)

Zatem współczynnik proporcjonalności stojący przy χ1 w (15.48) musi być taki by jego moduł był równy jedności na podstawie (15.49), a zatem powinno być.

(15.50)

Z tych dwóch ostatnich zależności otrzymamy jedną zależność:

(15.51)

Ze wzoru (15.51) wynika, że zachodzi warunek α=-β i można przyjąć, że te współczynniki są równe zero, a zatem prawdziwe są związki na podstawie (15.46) i (15.50):

(15.52)
(15.53)

Postać macierzy Pauliego σx[edytuj]

Po długim wysiłku na podstawie udowodnionych zalezności, tzn. (15.52) i (15.53) otrzymujemy macierz σx, która nie jest macierzą jednostkową, ale podobną bardzo do niej, bo ma ona elementy pozadiagonalne:

(15.54)

Wyznaczanie dalszych macierzy Pauliego[edytuj]

Następnie wyprowadźmy operator σy, korzystając z rozwinięcia σz z warunku na operatorach Pauliego (15.31) i antykomutacyjnego (15.22), dochodzimy więc do wniosku, że spełniona jest na pewno tożsamość:

(15.55)

A także zachodzi druga tożsamość, która dla nas jest warta zachodu, by można było wyznaczyć elementy macierzy σy:

(15.56)

Dla równań operatorowych (15.55) i (15.56), który opisują operator σy, stąd na podstawie tego ten operator jest przedstawiony w sposób macierzowy:

(15.57)

Postacie trzech macierzy Pauliego σx, σy i σz[edytuj]

Teraz zbierzemy wszystkie trzy macierze Pauliego do kupy i podamy je w jednej linijce, te macierze są zapisane:

(15.58)
(15.59)
(15.60)

Operatory σi jako operatory hermitowskie[edytuj]

Operatory (15.58), (15.59) i (15.60) są to operatory hermitowskie, bo zachodzi:

(15.61)

Sprawdzenie własności macierzowych na macierzach Pauliego[edytuj]

Sprawdzenie komutacji macierzy Pauliego σi[edytuj]

Sprawdźmy czy zachodzą komutacje szczególne (15.9), (15.10) i (15.11), które są równoważne komutacji ogólnej (15.8), a więc zbadajmy czemu jest równa komutacja macierzy Pauliego i :

(15.62)

Zbadajmy czemu jest równa komutacja macierzy Pauliego i :

(15.63)

Zbadajmy czemu jest równa komutacja macierzy Pauliego i :

(15.64)

Stąd na podstawie (15.62), (15.63) i (15.64) zachodzi komutacja ogólna (15.8).

Sprawdzenie antykomutacji macierzy Pauliego σi[edytuj]

Mając operatory (15.58), (15.59) i (15.60) sprawdźmy, czy zachodzą warunki antykomutacyjne szczególne (15.21), (15.22) i (15.23), wtedy napiszmy tożsamości operatorowe, zatem kwadrat macierzy Pauliego wynosi:

(15.65)

Kwadrat macierzy wynosi jeden jak udowodnimy poniżej:

(15.66)

Kwadrat macierzy wynosi jeden jak udowodnimy poniżej:

(15.67)

Zbadajmy czemu jest równa antykomutacja macierzy Pauliego i , co jak udowodnimy jest równa zero:

(15.68)

Zbadajmy czemu jest równa antykomutacja macierzy Pauliego i , co jak udowodnimy jest równa zero:

(15.69)

Zbadajmy czemu jest równa antykomutacja macierzy Pauliego i , co jak udowodnimy jest równa zero:

(15.70)

Na podstawie wniosków macierzowych (15.65), (15.66), (15.67), (15.68), (15.69) i (15.70) mamy (15.24).

Wyznaczanie trzech macierzy Pauliego σ+, σ- i σ0[edytuj]

Zdefiniujmy, trzy inne operatory w oparciu o macierze Pauliego, tak jak definiowaliśmy kombinacje operatorów dla , oraz , dla których można również skonstruować inne operatory dla operatorów Pauliego dla spinów:

(15.71)
(15.72)
(15.73)

Wyznaczanie warunków komutacyjnych macierzy σ+, σ- i σ0[edytuj]

Pomocnicze operatory skonstruowane o operatory Pauliego w przedstawieniu macierzowym, wyglądają:

(15.74)
(15.75)
(15.76)

Zbadajmy zależności komutacyjne dla operatorów (15.74) () i (15.74) (), ale korzystając przy tym z definicji komutatora dla operatorów Pauliego, ale my ograniczymy się tutaj do (15.9), dla pierwszego komutatora:


(15.77)

Zbadajmy zależności komutacyjne dla operatorów (15.74) () i (15.75) (), ale korzystając przy tym z definicji komutatora dla operatorów Pauliego, ale my ograniczymy się tutaj do (15.11), dla drugiego komutatora:


(15.78)

Zbadajmy zależności komutacyjne dla operatorów (15.74) () i (15.75) (), ale korzystając przy tym z definicji komutatora dla operatorów Pauliego, ale my ograniczymy się tutaj do (15.10), dla pierwszego komutatora:


(15.79)

Szczególne warunki komutacji macierzy σ+, σ- i σ0[edytuj]

Zbierzmy wszystkie trzy komutatory do kupy, tzn. równości (15.77), (15.78), (15.79):

(15.80)
(15.81)
(15.82)

Widzimy, że zależności komutacyjne są podobne jak dla zwykłych kombinacji operatorów momentów pędu.

Własności działania operatorów σ+, σ- i σ0 na wektory pionowe dwuwymiarowe χ1 i χ2[edytuj]

Na samym końcu przedstawmy właściwości operatorów σ+ i σ- na wektory własne operatora σz, czyli na wektory ortonormalne χ1 i χ2.

(15.83)
(15.84)
(15.85)
(15.86)