Mechanika kwantowa/Gęstość prądu prawdopodobieństwa a równanie Schrödingera

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Mechanika kwantowa
Mechanika kwantowa
Gęstość prądu prawdopodobieństwa a równanie Schrödingera

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

Wiadomo jednak, że gęstość prawdopodobieństwa w mechanice kwantowej klasycznej zdefiniowana jest jako moduł kwadratu funkcji falowej opisywanej dany stan kwantowy:

(14.1)

Korzystając przy tym z równań (11.54) (równania zależnego od czasu równania Schrödingera) i (11.55) (sprzężonego po zespolonemu do równania Schrödingera), to pochodna cząstkowa gęstości prawdopodobieństwa (14.1) względem czasu:

(14.2)

Operator energii całkowitej cząstki z uwzględnieniem potencjału wektorowego w elektrodynamice klasycznej przedstawia się według wzoru (6.41), przy wykorzystaniu równania (14.2):





(14.3)

Na podstawie (14.3) udowodniliśmy złożoną tożsamość, która mamy zamiar uprościć.

(14.4)

Z definiujmy wyrażenie, które nazwiemy gęstością prądu prawdopodobieństwa i napiszemy go przy pomocy potencjału wektorowego magnetycznego i funkcji falowej opisującej cząstkę:

(14.5)

Wyznaczmy dywergencję wielkości zdefiniowanej w (14.5), czyli gęstości prądu prawdopodobieństwa :


(14.6)

Drugi i trzeci składnik razem wzięte w (14.4) są identyczne jak dywergencja gęstości prądu prawdopodobieństwa (14.6), zatem wyrażenie (14.4) piszemy:

(14.7)

Równanie (14.7) jest równaniem ciągłości znane z mechaniki kwantowej klasycznej z gęstością prawdopodobieństwa zdefiniowanego w (14.1) i gęstością prądu zdefiniowaną w (14.5).

Następny rozdział: Cząstki o spinie połówkowym Poprzedni rozdział: Równanie Ehrenfesta

Podręcznik: Mechanika kwantowa