Mechanika kwantowa/Gęstość prądu prawdopodobieństwa a równanie Schrödingera

Mechanika kwantowa

Gęstość prądu prawdopodobieństwa a równanie Schrödingera

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

Wykaz modułów w książce
1Podstawy mechaniki kwantowej 2Teoria atomu wodoru Bohra 3Teoria atomu wodoru Sommerfelda 4Zjawisko Comptona 5Postulat zerowy mechaniki kwantowej 6Postulat pierwszy mechaniki kwantowej 7Komutacja operatorów fizycznych 8Postulat drugi mechaniki kwantowej 9Zaawansowane własności funkcji kulistych 10Postulat trzeci mechaniki kwantowej 11Postulat czwarty mechaniki kwantowej 12Proste przykłady zagadnień kwantowomechanicznych 13Równanie Ehrenfesta 14Gęstość prądu prawdopodobieństwa a równanie Schrödingera 15Cząstki o spinie połówkowym 16Zakaz Pauliego dla układu wielu cząstek 17Układ dwóch cząstek w mechanice kwantowej 18Kwantowy oscylator harmoniczny 19Doświadczenie Sterna-Gerlacha i efekt Zeemana 20Rachunek zaburzeń dla równania Schrödingera niezależnego od czasu 21Wprowadzenie do teorii wektorów Diraca 22Kwantowa teoria całkowitego momentu pędu 23Wprowadzenie do interpretacji fizycznych operatorów 24Symetrie, a prawa zachowania wartości średniej 25Relatywistyczna teoria kwantów Kleina-Gordona 26Wyprowadzenie operatora hamiltonianu relatywistycznej teorii kwantów Diraca 27Dowód niepełny i pełny relatywistycznej teorii kwantów Diraca 28Wnioski wynikające z mechaniki kwantowej Diraca 29Teoria pola we wzorach Eulera-Lagrange'a 30Symetria cechowania transformacji ładunkowej 31Funkcje Greena w teorii kwantów 32Asymptotyczne właściwości wektora własnego Hamiltonianu, a jego przekroje 33Wstęp do teorii promieniowania kwantów pola elektromagnetycznego 34Zasada wariacyjna Schwingera

Następny rozdział: Cząstki o spinie połówkowym. Poprzedni rozdział: Równanie Ehrenfesta.

Podręcznik: Mechanika kwantowa.

Wiadomo jednak, że gęstość prawdopodobieństwa w mechanice kwantowej klasycznej zdefiniowana jest jako moduł kwadratu funkcji falowej opisywanej dany stan kwantowy:

ρ (\vec{r}, t) = | ψ |^{2} = ψ^{*} ψ

(14.1)

Korzystając przy tym z równań (11.82) (równania zależnego od czasu równania Schrödingera) i (11.83) (sprzężonego po zespolonemu do równania Schrödingera), to pochodna cząstkowa gęstości prawdopodobieństwa (14.1) względem czasu:

\frac{\partial ρ (\vec{r}, t)}{\partial t} = \frac{\partial ψ^{*} ψ}{\partial t} = ψ^{*} \frac{\partial ψ}{\partial t} + ψ \frac{\partial ψ^{*}}{\partial t} = ψ^{*} \frac{\hat{H} ψ}{i ℏ} - ψ \frac{{\hat{H}}^{*} ψ^{*}}{i ℏ} = \frac{1}{i ℏ} {ψ^{*} \hat{H} ψ - ψ {\hat{H}}^{*} ψ^{*}}

(14.2)

Operator energii całkowitej cząstki z uwzględnieniem potencjału wektorowego w elektrodynamice klasycznej przedstawia się według wzoru (6.41), przy wykorzystaniu równania (14.2):

\frac{\partial ρ (\vec{r}, t)}{\partial t} = \frac{1}{i ℏ} {ψ^{*} [\frac{{(- i ℏ \nabla - q \vec{A})}^{2}}{2 m} + q ϕ] ψ - ψ {[\frac{{(- i ℏ \nabla - q \vec{A})}^{2}}{2 m} + q ϕ]}^{*} ψ^{*}} =

$= \frac{1}{2 m i ℏ} {ψ^{*} {[- i ℏ \nabla - q \vec{A}]}^{2} ψ - ψ {[- i ℏ \nabla - q \vec{A}]}^{2}^{*} ψ^{*}} = \frac{1}{2 m i ℏ} {ψ^{*} [- ℏ^{2} \nabla^{2} + q^{2} {\vec{A}}^{2} + i ℏ q \nabla \vec{A} \cdot + i ℏ q \vec{A} \nabla] ψ +$
$- ψ {[- ℏ^{2} \nabla^{2} + q^{2} {\vec{A}}^{2} + i ℏ q \nabla \vec{A} \cdot + i ℏ q \vec{A} \nabla]}^{*} ψ^{*}} = \frac{ℏ}{2 m i} [ψ \nabla^{2} ψ^{*} - ψ^{*} \nabla^{2} ψ] + \frac{q}{2 m} [ψ^{*} \nabla \vec{A} ψ + ψ^{*} \vec{A} \nabla ψ + ψ \nabla \vec{A} ψ^{*} +$
$+ ψ \vec{A} \nabla ψ^{*}] = \frac{ℏ}{2 m i} [ψ \nabla^{2} ψ^{*} - ψ^{*} \nabla^{2} ψ] + \frac{q}{2 m} [ψ^{*} \vec{A} \nabla ψ + ψ^{*} (\nabla \vec{A}) ψ + ψ^{*} \vec{A} \nabla ψ + ψ \vec{A} \nabla ψ^{*} + ψ (\nabla \vec{A}) ψ^{*} + ψ \vec{A} \nabla ψ^{*}] =$

= \frac{ℏ}{2 m i} [ψ \nabla^{2} ψ^{*} - ψ^{*} \nabla^{2} ψ] + \frac{q}{m} [ψ^{*} \vec{A} \nabla ψ + ψ (\nabla \vec{A}) ψ^{*} + ψ \vec{A} \nabla ψ^{*}]

(14.3)

Na podstawie (14.3) udowodniliśmy złożoną tożsamość, która mamy zamiar uprościć.

\frac{\partial ρ (\vec{r}, t)}{\partial t} + \frac{ℏ}{2 m i} [ψ^{*} \nabla^{2} ψ - ψ \nabla^{2} ψ^{*}] - \frac{q}{m} [ψ^{*} \vec{A} \nabla ψ + ψ (\nabla \vec{A}) ψ^{*} + ψ \vec{A} \nabla ψ^{*}] = 0

(14.4)

Zdefiniujmy wyrażenie, które nazwiemy gęstością prądu prawdopodobieństwa i zapiszemy je przy pomocy potencjału wektorowego magnetycznego i funkcji falowej opisującej cząstkę:

\vec{j} = \frac{ℏ}{2 m i} [ψ^{*} \nabla ψ - ψ \nabla ψ^{*}] - \frac{q}{m} \vec{A} ψ^{*} ψ

(14.5)

Wyznaczmy dywergencję wielkości zdefiniowanej w (14.5), czyli gęstości prądu prawdopodobieństwa $\vec{j}$ :

\nabla \vec{j} = \frac{ℏ}{2 m i} [\nabla ψ^{*} \nabla ψ + ψ^{*} \nabla^{2} ψ - \nabla ψ \nabla ψ^{*} - ψ \nabla^{2} ψ^{*}] - \frac{q}{m} [ψ^{*} \vec{A} \nabla ψ + ψ \vec{A} \nabla ψ^{*} + ψ^{*} (\nabla \vec{A}) ψ] =

= \frac{ℏ}{2 m i} [ψ^{*} \nabla^{2} ψ - ψ \nabla^{2} ψ^{*}] - \frac{q}{m} [ψ^{*} \vec{A} \nabla ψ + ψ \vec{A} \nabla ψ^{*} + ψ^{*} (\nabla \vec{A}) ψ]

(14.6)

Drugi i trzeci składnik razem wzięte w (14.4) są identyczne jak dywergencja gęstości prądu prawdopodobieństwa (14.6), zatem wyrażenie (14.4) piszemy:

\frac{\partial ρ (\vec{r}, t)}{\partial t} + \nabla \vec{j} = 0

(14.7)

Równanie (14.7) jest równaniem ciągłości znane z mechaniki kwantowej klasycznej z gęstością prawdopodobieństwa zdefiniowanego w (14.1) i gęstością prądu zdefiniowaną w (14.5).