Mechanika kwantowa/Rachunek zaburzeń dla równania Schrödingera niezależnego od czasu

Rachunek zaburzeń dla równania Schrödingera niezależnego od czasu

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

Niech operator energii składa się z dwóch części, tzn. z członu niezaburzonego z poprawką do całkowitego Hamiltonianu $\delta \hat{H}$, co ten cały hamiltonian z zaburzeniem jest:

$\hat{H}={\hat{H}}_0+\lambda {\hat{H}}^{\prime }$

(20.1)

Parametr λ jest mały w porównaniu z energią stanu niezaburzonego stanu (bez poprawki), to dla stanu niezaburzonego piszemy ją:

${\hat{H}}_0{\psi }_n^{(0)}=E_n^{(0)}{\psi }_n^{(0)}$

(20.2)

Dla stanu zaburzonego jest to równanie własne operatora energii stanu zaburzonego (20.1):

$({\hat{H}}_0+\lambda {\hat{H}}^{\prime }){\psi }_n=E_n{\psi }_n$

(20.3)

Funkcja własna stanu zaburzonego da się rozwinąć w szereg potęgowy względem $\lambda$:

${\psi }_n={\psi }_n^{(0)}+\lambda {\psi }_n^{(1)}+{\lambda }^2{\psi }_n^{(2)}+\dots$

(20.4)

A energia w stanie zaburzonym, też rozwijamy w szereg Taylora względem tego samego co poprzednio parametru $\lambda$, wtedy ta rozwinięta energia:

$E_n=E_n^0+\lambda E_n^{(1)}+{\lambda }^2{E}_n^{(2)}+\dots$

(20.5)

Jeśli mamy równanie własne (20.3), to podstawiając do niego rozwinięcie operatora hamiltonianu zaburzonego $\hat{H}$ (20.1) i rozwinięcie funkcji $\psi$ (20.4), a także rozwinięcie wartości własnej hamiltonianu zaburzonego $E$ (20.5) do równania własnego stanu zaburzonego, otrzymujemy:

$({\hat{H}}_0+\lambda {\hat{H}}^{\prime })({\psi }_n^{(0)}+\lambda {\psi }_n^{(1)}+{\lambda }^2{\psi }_n^{(2)}+\mathrm{...})=(E_n^0+\lambda E^{(1)}+{\lambda }^2{E}_n^{(2)}+\dots )({\psi }_n^{(0)}+\lambda {\psi }_n^{(1)}+{\lambda }^2{\psi }_n^{(2)}+\mathrm{...})$

(20.6)

Dokonajmy teraz odpowiednich wymnożeń i grupowań wyrazów względem potęg $\lambda$ równania różniczkowego (20.6) po obu jego stronach:

${\hat{H}}_0{\psi }^{(0)}+\lambda ({\hat{H}}_0{\psi }_n^{(1)}+{\hat{H}}^{\prime }{\psi }_n^0)+{\lambda }^2({\hat{H}}_0{\psi }_n^{(2)}+{\hat{H}}^{\prime }{\psi }_n^{(1)})+\mathrm{...}=E_n^{(0)}{\psi }_n^{(0)}+\lambda (E_n^{(0)}{\psi }_n^{(1)}+E_n^{(1)}{\psi }_n^0)+$
$+{\lambda }^2(E_n^{(0)}{\psi }_n^{(2)}+E_n^{(1)}{\psi }_n^{(1)}+E_n^{(2)}{\psi }_n^{(0)})+\dots$

(20.7)

Porównajmy obie strony otrzymanego równania (20.7) do siebie względem tych samych potęg parametru $\lambda$:

${\hat{H}}_0{\psi }^{(0)}=E_n^{(0)}{\psi }_n^{(0)}$

(20.8)

${\hat{H}}_0{\psi }_n^{(1)}+{\hat{H}}^{\prime }{\psi }_n^0=E_n^{(0)}{\psi }_n^{(1)}+E_n^{(1)}{\psi }_n^0$

(20.9)

${\hat{H}}_0{\psi }_n^{(2)}+{\hat{H}}^{\prime }{\psi }_n^{(1)}=E_n^{(0)}{\psi }_n^{(2)}+E_n^{(1)}{\psi }_n^{(1)}+E_n^{(2)}{\psi }_n^{(0)}$

(20.10)

W bazie funkcji ${\psi }_k^0$ własnych hamiltonianu niezaburzonego rozwińmy funkcję ${\psi }_n^{(1)}$ w sposób:

${\psi }_n^{(1)}=\sum _k{a}_k^{(n)}{\psi }_k^0$

(20.11)

Wykorzystajmy teraz wzór na rozwinięcie pierwszej pochodnej o numerze n względem funkcji własnej rozwiązania hamiltonianu niezaburzonego (20.11) i podstawiając go (20.9), otrzymujemy:

${\hat{H}}^{\prime }{\psi }_n^{(0)}+{\hat{H}}_0\sum _k{a}_k^{(n)}{\psi }_k^0=E_n^{(0)}\sum _k{a}_k^{(n)}{\psi }_k^0+E_n^{(1)}{\psi }_n^{(0)}$

(20.12)

Mając równanie własne (20.2), to równanie (20.12) przyjmuje postać:

${\hat{H}}^{\prime }{\psi }_n^{(0)}+\sum _k{a}_k^{(n)}{E}_k^{(0)}{\psi }_k^{(0)}=E_n^{(0)}\sum _k{a}_k^{(n)}{\psi }_k^0+E_n^{(1)}{\psi }_n^{(0)}$

(20.13)

Dokonajmy teraz mnożenia powyższego równania obustronnie przez funkcję ${{\psi }_l^{(0)}}^{\ast }$ oraz obie strony tego równania jednocześnie całkując, otrzymujemy:

$\int {{\psi }_l^{(0)}}^{\ast }{\hat{H}}^{\prime }{\psi }_n^{(0)}+\sum _k{a}_k^{(n)}{E}_k^{(0)}\int {{\psi }_l^{(0)}}^{\ast }{\psi }_k^{(0)}=E_n^{(0)}\sum _k{a}_k^{(n)}\int {{\psi }_l^{(0)}}^{\ast }{\psi }_k^0+E_n^{(1)}\int {{\psi }_l^{(0)}}^{\ast }{\psi }_n^{(0)}$

(20.14)

Wykorzystując, że wektory bazy hamiltonianu niezaburzonego są z ortonormalizowane do delty Kroneckera, to wyrażenie całkowe (20.14), piszemy:

$\int {{\psi }_l^{(0)}}^{\ast }{\hat{H}}^{\prime }{\psi }_n^{(0)}+\sum _k{a}_k^{(n)}{E}_k^{(0)}{\delta }_{lk}=E_n^{(0)}\sum _k{a}_k^{(n)}{\delta }_{lk}+E_n^{(1)}{\delta }_{ln}$

(20.15)

Zatem ostatecznie z równania całkowego (20.15) po niezbędnych działaniach dzięki deltom Kroneckera, które to działania należy wykonać, by one możliwie nie występowały, jeśli się da:

$\int {{\psi }_l^0}^{\ast }{\hat{H}}^{\prime }{\psi }_n^{(0)}d\tau +a_l^{(n)}{E}_l^{(0)}=E_n^{(0)}{a}_l^{(n)}+E_n^{\text{'}}{\delta }_{ln}$

(20.16)

Rozpatrzmy dwa przypadki występujące w (20.16), pierwszy przypadek jest dla l=n, a drugi dla warunku $l\ne n$. Rozpatrzmy teraz pierwszy przypadek względem ostatniego wspomnianego równania, to w naszym ostatnim równaniu delta Kroneckera staje się równa jeden, ze względu na równość obu parametrów opisujących deltę i to równanie zapisujemy dla tego przypadku:

$\int {{\psi }_n^0}^{\ast }{\hat{H}}^{\prime }{\psi }_n^{(0)}d\tau +a_n^{(n)}{E}_n^{(0)}=E_n^{(0)}{a}_n^{(n)}+E_n^{\text{'}}$

(20.17)

Dokonujemy redukcji wyrazów podobnych wyznaczając $E_n^{\text{'}}$ w (20.17), dostajemy:

$E_n^{\text{'}}=\int {{\psi }_n^{(0)}}^{\ast }{\hat{H}}^{\prime }{\psi }_n^{(0)}d\tau$

(20.18)

A zatem poprawka do energii zaburzonego hamiltonianu jest iloczynem parametru $\lambda$ i wartości policzonej za pomocą równania (20.18).

$\lambda E_n^{\text{'}}=\int {{\psi }_n^{(0)}}^{\ast }(\lambda {\hat{H}}^{\prime }){\psi }_n^{(0)}d\tau$

(20.19)

Teraz rozpatrzmy drugi przypadek według (20.16), tzn. gdy zachodzi warunek $l\ne n$, to drugi wyraz lewej strony wspomnianego równania wskaźnikowego znika, ze względu na różność parametrów "l" i "n", co wynika z własności delty Kroneckera, która w tym przypadku jest równa zero.

$\int {{\psi }_l^0}^{\ast }{\hat{H}}^{\prime }{\psi }_n^{(0)}d\tau +a_l^{(n)}{E}_l^{(0)}=E_n^{(0)}{a}_l^{(n)}$

(20.20)

Policzmy teraz współczynnik $a_l^{(n)}$ przy pomocy równania (20.20):

$a_l^{(n)}(E_n^{(0)}-E_l^{(0)})=\int {{\psi }_l^{(0)}}^{\ast }{\hat{H}}^{\prime }{\psi }_n^{(0)}d\tau$

(20.21)

A zatem te współczynniki, według tożsamości (20.21), są zależne od energii własnej równania własnego niezaburzonego względem współczynników "n" i "l" i elementu macierzonego ${\hat{H}}_{ln}^{\text{'}}$ występującego w (20.21), którego to równanie jest definicją wspomnianego elementu macierzowego:

$a_l^{(n)}=\frac{\int {{\psi }_l^{(0)}}^{\ast }{\hat{H}}^{\prime }{\psi }_n^{(0)}d\tau }{E_n^{(0)}-E_l^{(0)}}=\frac{{\hat{H}}_{ln}^{\text{'}}}{E_n^{(0)}-E_l^{(0)}}$

(20.22)

A także przyjmujemy czynnik rozwinięcia w funkcji stojącej, czyli $\lambda$, przy (20.4) w równaniu własnym zaburzonego hamiltonianu względem samych funkcji własnych niezaburzonego hamiltonianu, które są funkcjami własnymi niezaburzonego hamiltonianu wedle (20.11), a zatem poprawka do funkcji falowej jest taka, że nie ma w nim wyrazów dla k=n, które są równe zero, zatem poprawka do omawianej funkcji falowej (20.11) przy definicji współczynników (20.22) przedstawia się jako:

$\lambda {\psi }_n^{\text{'}}=\lambda \sum _{k,k\ne n}\frac{{\hat{H}}_{kn}^{\text{'}}}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}}{\psi }_k^0$

(20.23)

W rachunku zaburzeń pierwszego rzędu, na podstawie (20.19) (poprawka do energii własnej danego układu dla niezaburzonego hamiltonianu, stąd otrzymujemy w ten sposób w wyniku obliczeń przybliżonych całkowitą energię opisywanego układu) i (20.23) (poprawka do funkcji własnej do niezaburzonego hamiltonianu), dochodzimy więc do wniosku, że poszczególne energie (wartości własne) i funkcje falowe (funkcje własne) są napisane z dokładnością do wyrazów pierwszego rzędu:

$E_n=E_0+\lambda E_n^{\text{'}}=E_0+\lambda H_{nn}^{\text{'}}$

(20.24)

${\psi }_n={\psi }_n^{(0)}+\lambda {\psi }_n^{(1)}={\psi }_n^{(0)}+\lambda \sum _{k,k\ne n}\frac{{\hat{H}}_{kn}^{\text{'}}}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}}{\psi }_k^0$

(20.25)

Napiszmy teraz równanie własne poprawki do operatora całkowitej energii własnej układu, z którego wynikają pewne wartości własne, które są poprawkami do energii własnej układu opisującego przez hamiltonian zaburzony:

$\lambda {\hat{H}}^{\prime }\psi =E\psi$

(20.26)

A kolejne elementy macierzowe operatora $\lambda {\hat{H}}^{\text{'}}$ przedstawiają się:

$(\lambda \hat{H}{)}_{mn}=\int {\psi }_m^{(0)}(\lambda {\hat{H}}^{\prime }){\psi }_n^{(0)}d\tau$

(20.27)

Czyli na podstawie tego możemy policzyć równanie macierzowe, przy czym wiedząc, że ψ jest to macierz funkcji własnych operatora energii, a $\lambda {\hat{H}}^{\text{'}}$ jest macierzą elementów macierzowych obliczonych przy pomocy wzoru (20.27):

$\lambda {\hat{H}}^{\text{'}}\psi =E\psi \Rightarrow (\lambda {\hat{H}}^{\text{'}}-\hat{I}E)\psi =0$

(20.28)

Zastępując operator ${\hat{H}}^{\text{'}}$ przez macierz $H^{\text{'}}$ według jej definicji (20.27), a operator jednostkowy w (20.28) macierzą jednostkową $I$, a funkcjami własnymi w ten sposób otrzymanego równania jest wektor funkcji własnych równania (20.26):

$(\lambda H^{\text{'}}-IE)\overrightarrow{\psi }=0$

(20.29)

Musi być jednocześnie spełnione, aby funkcje własne $\overrightarrow{\psi }$ nie były tożsamościowo równe zero w równaniu (20.29):

$det(\lambda H^{\prime }-IE)=0$

(20.30)

Wyrażenie (20.30) przedstawiamy:

$\left|\begin{array}{cccc}\lambda H{\text{'}}_{11}-E& \lambda H{\text{'}}_{12}& \cdots & \lambda H{\text{'}}_{1k}\\ \lambda H{\text{'}}_{21}& \lambda H{\text{'}}_{22}-E& \cdots & \lambda H{\text{'}}_{2k}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \lambda H{\text{'}}_{k1}& \lambda H{\text{'}}_{k2}& \cdots & \lambda H{\text{'}}_{kk}-E\end{array}\right|=0$

(20.31)

Z powyższego równania możemy wyznaczyć poprawkę do wartości własnej energii dla całego układu stanu niezaburzonego i dodając właśnie tą poprawkę do całkowitej energii opisywanego przez hamiltonian niezaburzony.