Mechanika kwantowa/Rachunek zaburzeń dla równania Schrödingera niezależnego od czasu

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Mechanika kwantowa
Mechanika kwantowa
Rachunek zaburzeń dla równania Schrödingera niezależnego od czasu

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: zegarek(myślnik)odmierza(myślnik)czas(małpa)wp(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

Niech operator energii składa się z dwóch części, tzn. z członu niezaburzonego z poprawką do całkowitego Hamiltonianu , co ten cały hamiltonian z zaburzeniem jest:

(20.1)

Parametr λ jest mały w porównaniu z energią stanu niezaburzonego stanu (bez poprawki), to dla stanu niezaburzonego piszemy ją:

(20.2)

Dla stanu zaburzonego jest to równanie własne operatora energii stanu zaburzonego (20.1):

(20.3)

Funkcja własna stanu zaburzonego da się rozwinąć w szereg potęgowy względem :

(20.4)

A energia w stanie zaburzonym, też rozwijamy w szereg Taylora względem tego samego co poprzednio parametru , wtedy ta rozwinięta energia:

(20.5)

Jeśli mamy równanie własne (20.3), to podstawiając do niego rozwinięcie operatora hamiltonianu zaburzonego (20.1) i rozwinięcie funkcji (20.4), a także rozwinięcie wartości własnej hamiltonianu zaburzonego (20.5) do równania własnego stanu zaburzonego, otrzymujemy:

(20.6)

Dokonajmy teraz odpowiednich wymnożeń i grupowań wyrazów względem potęg równania różniczkowego (20.6) po obu jego stronach:

(20.7)

Porównajmy obie strony otrzymanego równania (20.7) do siebie względem tych samych potęg parametru :

(20.8)
(20.9)
(20.10)

W bazie funkcji własnych hamiltonianu niezaburzonego rozwińmy funkcję w sposób:

(20.11)

Wykorzystajmy teraz wzór na rozwinięcie pierwszej pochodnej o numerze n względem funkcji własnej rozwiązania hamiltonianu niezaburzonego (20.11) i podstawiając go (20.9), otrzymujemy:

(20.12)

Mając równanie własne (20.2), to równanie (20.12) przyjmuje postać:

(20.13)

Dokonajmy teraz mnożenia powyższego równania obustronnie przez funkcję oraz obie strony tego równania jednocześnie całkując, otrzymujemy:

(20.14)

Wykorzystując, że wektory bazy hamiltonianu niezaburzonego są z ortonormalizowane do delty Kroneckera, to wyrażenie całkowe (20.14), piszemy:

(20.15)

Zatem ostatecznie z równania całkowego (20.15) po niezbędnych działaniach dzięki deltom Kroneckera, które to działania należy wykonać, by one możliwie nie występowały, jeśli się da:

(20.16)

Rozpatrzmy dwa przypadki występujące w (20.16), pierwszy przypadek jest dla l=n, a drugi dla warunku . Rozpatrzmy teraz pierwszy przypadek względem ostatniego wspomnianego równania, to w naszym ostatnim równaniu delta Kroneckera staje się równa jeden, ze względu na równość obu parametrów opisujących deltę i to równanie zapisujemy dla tego przypadku:

(20.17)

Dokonujemy redukcji wyrazów podobnych wyznaczając w (20.17), dostajemy:

(20.18)

A zatem poprawka do energii zaburzonego hamiltonianu jest iloczynem parametru i wartości policzonej za pomocą równania (20.18).

(20.19)

Teraz rozpatrzmy drugi przypadek według (20.16), tzn. gdy zachodzi warunek , to drugi wyraz lewej strony wspomnianego równania wskaźnikowego znika, ze względu na różność parametrów "l" i "n", co wynika z własności delty Kroneckera, która w tym przypadku jest równa zero.

(20.20)

Policzmy teraz współczynnik przy pomocy równania (20.20):

(20.21)

A zatem te współczynniki, według tożsamości (20.21), są zależne od energii własnej równania własnego niezaburzonego względem współczynników "n" i "l" i elementu macierzonego występującego w (20.21), którego to równanie jest definicją wspomnianego elementu macierzowego:

(20.22)

A także przyjmujemy czynnik rozwinięcia w funkcji stojącej, czyli , przy (20.4) w równaniu własnym zaburzonego hamiltonianu względem samych funkcji własnych niezaburzonego hamiltonianu, które są funkcjami własnymi niezaburzonego hamiltonianu wedle (20.11), a zatem poprawka do funkcji falowej jest taka, że nie ma w nim wyrazów dla k=n, które są równe zero, zatem poprawka do omawianej funkcji falowej (20.11) przy definicji współczynników (20.22) przedstawia się jako:

(20.23)

W rachunku zaburzeń pierwszego rzędu, na podstawie (20.19) (poprawka do energii własnej danego układu dla niezaburzonego hamiltonianu, stąd otrzymujemy w ten sposób w wyniku obliczeń przybliżonych całkowitą energię opisywanego układu) i (20.23) (poprawka do funkcji własnej do niezaburzonego hamiltonianu), dochodzimy więc do wniosku, że poszczególne energie (wartości własne) i funkcje falowe (funkcje własne) są napisane z dokładnością do wyrazów pierwszego rzędu:

(20.24)
(20.25)

Napiszmy teraz równanie własne poprawki do operatora całkowitej energii własnej układu, z którego wynikają pewne wartości własne, które są poprawkami do energii własnej układu opisującego przez hamiltonian zaburzony:

(20.26)

A kolejne elementy macierzowe operatora przedstawiają się:

(20.27)

Czyli na podstawie tego możemy policzyć równanie macierzowe, przy czym wiedząc, że ψ jest to macierz funkcji własnych operatora energii, a jest macierzą elementów macierzowych obliczonych przy pomocy wzoru (20.27):

(20.28)

Zastępując operator przez macierz według jej definicji (20.27), a operator jednostkowy w (20.28) macierzą jednostkową , a funkcjami własnymi w ten sposób otrzymanego równania jest wektor funkcji własnych równania (20.26):

(20.29)

Musi być jednocześnie spełnione, aby funkcje własne nie były tożsamościowo równe zero w równaniu (20.29):

(20.30)

Wyrażenie (20.30) przedstawiamy:

(20.31)

Z powyższego równania możemy wyznaczyć poprawkę do wartości własnej energii dla całego układu stanu niezaburzonego i dodając właśnie tą poprawkę do całkowitej energii opisywanego przez hamiltonian niezaburzony.