Mechanika kwantowa/Relatywistyczna teoria kwantów Kleina-Gordona

Relatywistyczna teoria kwantów Kleina-Gordona

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Równania mechaniki kwantowej relatywistycznej Kleina-Gordona

Wyprowadzimy teorie kwantową relatywistyczną Kliena-Gordona, która nie uwzględnia spinu opisywanej cząstki w porównaniu z teorią Diraca, który uwzględnia spin tejże cząstki. Z szczególnej teorii względności mamy wyrażenie wiążące energię relatywistyczną cząstki z jej wartością pędu oraz masą spoczynkową, która może przyjmować każdą nieujemną wartość tejże wielkości:

$E^{2}=p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}\;$

(25.1)

Wykorzystując równanie (25.1) i zastępując kwadrat wektora relatywistycznego pędu kwadratem operatora pędu (6.15), dostajemy:

$E\psi =(-c^{2}\hbar ^{2}\nabla ^{2}+m_{0}^{2}c^{4})\psi \;$

(25.2)

A równanie zależne od czasu zapisujemy podobnie jak (25.2), wychodząc z równania (25.1), piszemy:

$\left(i\hbar {{\partial } \over {\partial t}}\right)^{2}\psi =\left(-\hbar ^{2}c^{2}\nabla ^{2}+m_{0}^{2}c^{4}\right)\psi \;$

(25.3)

W lewej stronie równania (25.3) wykonujemy podnoszenie do kwadratu operatora pochodnej względem czasu wraz z pewnym urojonym czynnikiem:

$-\hbar ^{2}{{\partial ^{2}} \over {\partial t^{2}}}\psi =\left(-\hbar ^{2}c^{2}\nabla ^{2}+m_{0}^{2}c^{4}\right)\psi \;$

(25.4)

Dzielimy obie strony równania (25.4) przez wyrażenie, która jest w pewnym rodzaju stałą zależną od stałej kreślonej Plancka i prędkości światła: $-\hbar ^{2}c^{2}\;$:

${{1} \over {c^{2}}}{{\partial ^{2}} \over {\partial t^{2}}}\psi =\left(\nabla ^{2}-{{m_{0}^{2}c^{2}} \over {\hbar ^{2}}}\right)\psi \;$

(25.5)

Przenosimy wyrazy z drugimi pochodnymi cząstkowymi względem czasu i położenia na lewą stronę równania (25.5), a pozostałe na jej prawą stronę, otrzymujemy:

$\left(\nabla ^{2}-{{1} \over {c^{2}}}{{\partial ^{2}} \over {\partial t^{2}}}\right)\psi ={{m_{0}^{2}c^{2}} \over {\hbar ^{2}}}\psi \;$

(25.6)

Prowadźmy nowe oznaczenie i oznaczmy je operatorem d'Alemberta wiążące drugie pochodne względem wszystkich współrzędnych czasoprzestrzennych jakie występują w szczególnej teorii względności:

$\square =\nabla ^{2}-{{1} \over {c^{2}}}{{\partial ^{2}} \over {\partial t^{2}}}\;$

(25.7)

Wtedy równanie różniczkowe drugiego rzędu (25.6), korzystając przy tym z definicję operatora d'Alemberta (25.7), przechodzi w bardzo prostą postać, w której z prawej strony występują tylko stałe, tzn. masa spoczynkowa cząstki masowej i w sposób liniowy funkcja falowa, a jeśli masa cząstki jest równa zero (np. cząstki, które są fotonami), ta prawa strona jest zawsze równa zero niezależnie jaką mamy do dyspozycji funkcję falową jaką otrzymamy w wyniku rozwiązania funkcji falowej równania zależnego od czasu Klieina-Gordona.

$\square \psi ={{m_{0}^{2}c^{2}} \over {\hbar ^{2}}}\psi \;$

(25.8)

Jeżeli cząstka znajduje się w polu elektromagnetycznym, to dodatkowa energia w tym polu jest związana z energią potencjalną cząstki mającej ładunek o wartości "q", jest to całkowita energia w tymże polu potencjalnym, z którego wyprowadzimy energią cząstki, którą miałby bez pola skalarnego elektrycznego $E\;$, ma wartość:

$E'=E+q\varphi \Rightarrow E=E'-q\varphi \;$

(25.9)

Podobnie uogólniony pęd cząstki może być zmieniony przez wektorowy potencjał pola elektromagnetycznego związany o dodatkowy człon związany z ładunkiem cząstki i potencjałem wektorowym:

$p'=p+q{\vec {A}}\Rightarrow p=p'-q{\vec {A}}\;$

(25.10)

Po tych udogodnieniach, tzn.: (25.9) (energia całkowita primowana cząstki w polu skalarnym elektrycznym) i (25.10) (pęd primowany cząstki w polu potencjału wektorowego magnetycznego), mamy:

$\left\{i\hbar {{\partial } \over {\partial t}}-q\varphi \right\}^{2}\psi =(-i\hbar c\nabla -qc{\vec {A}})^{2}\psi +m_{0}^{2}c^{4}\psi \;$

(25.11)

Jest to równanie Kleina-Gordona zależne od czasu analogiczne do (25.3), bo w nim nie występuje parametr skalarny energii cząstki, ale w nim zamiast niego są pochodne czasowe funkcji falowej. A równanie Kleina-Gordona niezależne od czasu, w którym nie występują pochodne zależne od czasu, natomiast parametr energii cząstki występuje, przyjmuje kształt:

$\left\{E-q\varphi \right\}^{2}\psi =(-i\hbar c\nabla -qc{\vec {A}})^{2}\psi +m_{0}^{2}c^{4}\psi \;$

(25.12)

Wyprowadzenie równań mechaniki kwantowej relatywistycznej Kleina-Gordona zależnego i niezależnego od czasu

Prawa mechaniki relatywistycznej kwantowej Kleina-Gordona rozważane są słuszne jedynie dla pól elektromagnetostatycznych, czyli dla pól elektrycznych i magnetycznych, stałych w czasie.

Dowód niepełny

Z szczególnej teorii względności wiadomo, że zachodzi (STW-34.20), a także należy skorzystać z równania na pęd uogólniony (25.10) z uwzględnieniem poprawki istnienia pola elektrycznego (25.9) i magnetycznego (25.10) wtedy wzór na całkowitą energię piszemy w zależności od pędu ogólnionego i potencjału skalarnego:

$E={\sqrt {c^{2}\left({\vec {p}}-q{\vec {A}}\right)^{2}+m_{0}^{2}c^{4}}}+q\varphi \Rightarrow (E-q\varphi )^{2}=c^{2}({\vec {p}}-q{\vec {A}})^{2}+m_{0}^{2}c^{4}\;$

(25.13)

W równaniach mechaniki kwantowej Kleina-Gordona podobnie jak w mechanice kwantowej nierelatywistycznej funkcja falowa jest napisana w sposób (11.8) lub (11.9), czy nawet w postaci (11.10). Jeżeli skorzystamy z równania (11.19), wtedy równanie niezależne od czasu piszemy, wychodząc z postaci (25.13) wymnażając obie jego strony przez $\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})\;$, w postaci:

$(E-q\varphi )^{2}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})=c^{2}({\vec {p}}-q{\vec {A}})^{2}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})+m_{0}^{2}c^{4}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})\Rightarrow (E-q\varphi )^{2}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})=\;$
$=c^{2}({\hat {p}}-q{\vec {A}})^{2}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})+m_{0}^{2}c^{4}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})\;$

(25.14)

• Powyższe równanie zachodzi w polu magnetostatycznym (w polu magnetycznym stałym), w którym zachodzi cechowanie $\nabla {\vec {A}}=0\;$ dla działu magnetostatyka.

Równanie (25.14) przechodzi w równanie (25.12) po zsumowaniu wraz ze współczynnikami względem stanów dla tych samych $E\;$ i różnych pędów uogólnionych ${\vec {p}}\;$, bo dostajemy wtedy równość:

$(E-q\varphi )^{2}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {E}})=c^{2}({\hat {p}}-q{\vec {A}})^{2}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {E}})+m_{0}^{2}c^{4}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {E}})\;$

(25.15)

Wiadomo, że na podstawie (11.26), bo tam samo się wyprowadza jak w mechanice kwantowej klasycznej i odejmując stronami wyrażenie $q\varphi \psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)\;$ i mnożąc jeszcze raz operatorem występującym po prawej stronie równania poniższego dostajemy:

$(E-q\varphi )\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)=\left(i\hbar {{\partial } \over {\partial t}}-q\varphi \right)\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)\Rightarrow \left(i\hbar {{\partial } \over {\partial t}}-q\varphi \right)(E-q\varphi )\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)=\left(i\hbar {{\partial } \over {\partial t}}-q\varphi \right)^{2}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)\Rightarrow \;$
$\Rightarrow (E-q\varphi )\left(i\hbar {{\partial } \over {\partial t}}-q\varphi \right)\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)=\left(i\hbar {{\partial } \over {\partial t}}-q\varphi \right)^{2}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)\Rightarrow \;$
$\Rightarrow (E-q\varphi )^{2}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)=\left(i\hbar {{\partial } \over {\partial t}}-q\varphi \right)^{2}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)\;$

(25.16)

• Wartość $(E-q\varphi )\;$ zachowuje się ja wartość własna według operatora $\left(i\hbar {{\partial } \over {\partial t}}-q\varphi \right)$, bo mamy do czynienia z polem elektrostatycznym, w której zachodzi $i\hbar {{\partial } \over {\partial t}}\varphi ({\vec {r}},t)=0\;$ dla działu elektrostatyka.

Równanie (25.14) przechodzi w równanie (25.12) po zsumowaniu wraz ze współczynnikami względem stanów dla tych samych $E\;$ i ogólnie różnych ${\vec {p}}\;$, bo dostajemy wtedy równość:

$(E-q\varphi )^{2}\psi ({\vec {r}},t,E(t))=\left(i\hbar {{\partial } \over {\partial t}}-q\varphi \right)^{2}\psi ({\vec {r}},t,E(t))\;$

(25.17)

Łączymy prawą stronę wzoru (25.14) z prawą stronę wzoru (25.16) dostając:

$\left(i\hbar {{\partial } \over {\partial t}}-q\varphi \right)^{2}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)=c^{2}({\hat {p}}-q{\vec {A}})^{2}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})+m_{0}^{2}c^{4}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})\;$

(25.18)

Równanie (25.18) przechodzi w równanie (25.11) po zsumowaniu wraz ze współczynnikami względem stanów dla ogólnie różnych $E\;$ i różnych pędów uogólnionych ${\vec {p}}\;$, bo dostajemy wtedy równość:

$\left(i\hbar {{\partial } \over {\partial t}}-q\varphi \right)^{2}\psi ({\vec {r}},t)=c^{2}({\hat {p}}-q{\vec {A}})^{2}\psi ({\vec {r}},t)+m_{0}^{2}c^{4}\psi ({\vec {r}},t)\;$

(25.19)

Równość (25.19) jest to równanie zależne od czasu jest takie same jak (25.11). Co kończy dowód równania zależnego i niezależnego od czasu równania mechaniki kwantowej Kleina-Gordona. A dalsze zależności w mechanice kwantowej relatywistyczne Kleina-Gordona są podobne jak w rozdziale "Wyprowadzenie równania falowego zależnego i niezależnego od czasu".

Dowód pełny

Zastąpmy zmienne pędu i energii cząstki w równaniu (25.13) (mechaniki relatywistycznej w równaniu na energię całkowitą układu odpowiednio przekształconą) przez wartości średnie:

${\overline {(E-q\varphi )^{2}}}=c^{2}{\overline {({\vec {p}}-q{\vec {A}})^{2}}}+m_{0}^{2}c^{4}$

(25.20)

Napiszmy definicję wartości średnich występujących w równaniu (25.20) po lewej stronie i po prawej pod czynnikiem $c^{2}\;$, jako:

---

Pierwsza wartość średnia jak zobaczymy jest równa wyrażeniu z definicji średniej ważonej:

${\overline {(E-q\varphi )^{2}}}={{\left(\psi \left|\left(E-q\varphi \right)^{2}\right|\psi \right)} \over {\left(\psi |\psi \right)}}=\sum _{i}|c_{i}(E)|^{2}\left(E-q\varphi \right)_{i}^{2}+\int |c({\vec {k}},E)|^{2}\left(E-q\varphi \right)^{2}({\vec {k}})d^{3}d{\vec {k}}$

(25.21)

Druga wartość średnia jak zobaczymy jest równa wyrażeniu z definicji średniej ważonej:

${\overline {\left({\vec {p}}-q{\vec {A}}\right)^{2}}}={{\left(\psi \left|\left({\hat {p}}-q{\vec {A}}\right)^{2}\right|\psi \right)} \over {\left(\psi |\psi \right)}}=\sum _{i}|c_{i}({\vec {k}})|^{2}\left({\vec {p}}-q{\vec {A}}\right)_{i}^{2}+\int |c({\vec {k}})|^{2}\left({\vec {p}}-q{\vec {A}}\right)^{2}({\vec {k}})d^{3}d{\vec {k}}$

(25.22)

• Powyższe równanie zachodzi w polu magnetostatycznym (w polu magnetycznym stałym), w którym zachodzi cechowanie $\nabla {\vec {A}}=0\;$ dla działu magnetostatyka.

---

Wzory (25.21) i (25.22) podstawmy do równości (25.20), w takim razie otrzymamy wzór jako związek według iloczynów skalarnych:

${{\left(\psi \left|\left(E-q\varphi \right)^{2}\right|\psi \right)} \over {\left(\psi |\psi \right)}}=c^{2}{{\left(\psi \left|\left({\hat {p}}-q{\vec {A}}\right)^{2}\right|\psi \right)} \over {\left(\psi |\psi \right)}}+m_{0}^{2}c^{4}{{\left(\psi |\psi \right)} \over {\left(\psi |\psi \right)}}\;$

(25.23)

Wzór (25.23) pomnóżmy obustronnie przez $\left(\psi |\psi \right)\;$, który jest pewnego rodzaju unormowaniem średniej z operatora, i napiszmy go w formie iloczynu skalarnego:

$\left(\psi \left|\left(E-q\varphi \right)^{2}-c^{2}\left({\hat {p}}-q{\vec {A}}\right)^{2}-m_{0}^{2}c^{4}\right|\psi \right)=0$

(25.24)

Równość (25.24) napiszmy w formie z dwóch funkcji falowych ogólnie różnych, pierwsza jest dowolna, a druga już nie, tzn. według przejścia z formy (25.24) do (25.25), według praw algebry na iloczynach skalarnych w matematyce o funkcjach falowych ogólnie zespolonych, czyli według twierdzenia (Twier. 11.1):

$\left(\phi \left|\left(E-q\varphi \right)^{2}-c^{2}\left({\hat {p}}-q{\vec {A}}\right)^{2}-m_{0}^{2}c^{4}\right|\psi ({\vec {r}},t,E)\right)=0$

(25.25)

Też nożna powiedzieć naz podstawie (Twier. 11.1) elementy macierzowe względem dwóch dowolnych funkcji:

$\left(\phi |\left(E-q\varphi \right)^{2}-c^{2}\left({\hat {p}}-q{\vec {A}}\right)^{2}-m_{0}^{2}c^{4}|\psi \right)=0\;$

(25.26)

Ale mamy funkcję $\phi \;$ dowolną i ściśle określoną bazę funkcji $\psi ({\vec {r}},t,E)$, zatem równanie niezależne od czasu piszemy w formie:

$\left(E-q\varphi \right)^{2}\psi ({\vec {r}},t,E)=c^{2}\left({\hat {p}}-q{\vec {A}}\right)^{2}\psi ({\vec {r}},t,E)+m_{0}^{2}c^{4}\psi ({\vec {r}},t,E)$

(25.27)

Przedstawmy równanie (25.27), gdy wartość własna $E\;$ jest zależna od czasu, czyli jako $E(t)\;$:

$\left(E(t)-q\varphi ({\vec {r}})\right)^{2}\psi ({\vec {r}},t,E(t))=c^{2}\left({\hat {p}}-q{\vec {A}}({\vec {r}})\right)^{2}\psi ({\vec {r}},t,E(t))+m_{0}^{2}c^{4}\psi ({\vec {r}},t,E(t))\Rightarrow$
$\Rightarrow T^{+}\left(E(t)-q\varphi ({\vec {r}})\right)^{2}\psi ({\vec {r}},t,E(t))=c^{2}T^{+}\left({\hat {p}}-q{\vec {A}}({\vec {r}})\right)^{2}TT^{+}\psi ({\vec {r}},t,E(t))+m_{0}^{2}c^{4}T^{+}\psi ({\vec {r}},t,E(t))\Rightarrow$
$\Rightarrow \left(E(t)-q\varphi ({\vec {r}})\right)^{2}\psi ({\vec {r}},0,E(0))=c^{2}\left({\hat {p}}-q{\vec {A}}({\vec {r}})\right)^{2}\psi ({\vec {r}},0,E(0))+m_{0}^{2}c^{4}\psi ({\vec {r}},0,E(0))\Rightarrow E(t)=E(0)=E$

(25.28)

Czyli na podstawie (25.28) wartość własna $E\;$ jest niezależna od czasu, na podstawie tego, że pole elektromagnetyczne jest niezależne od czasu, w tym równaniu, mamy tutaj do czynienia z polem elektromagnetostatycznym, ono jest, zależne tylko od wektora wodzącego ${\vec {r}}\;$, w swojej definicji.

Średnie jakiś wielkości (operatora) w równaniu na średnich są spełnione dla dowolnych funkcji na podstawie twierdzenia (Twier. 11.2), jeżeli wiadomo, że jego jedna średnia tych wielkości, dla jednej funkcji własnej tego operatora, jest spełniona w nim w mechanice kwantowej relatywistycznej Kleina-Gordona. Weźmy równanie falowe takie samo jak w mechanice nierelatywistycznej kwantowej w dowodzie pełnym (11.49), a tam weźmy równanie na funkcję $\psi (t,E(t=0))\;$ takie samo jak jako w wspomnianej teorii, wtedy jego równanie różniczkowe jest w postaci (11.50), i przepiszmy go w innej formie wynikającej z niej:

$\left(E-q\varphi \right)^{2}\psi (t,E(t=0))=\left(i\hbar {{\partial } \over {\partial t}}-q\varphi \right)^{2}\psi (t,E(t=0))\;$

(25.29)

• Równość (25.29) podobnie wyprowadzamy jak równanie (25.16) pamiętając, że w $(E-q\varphi )\;$ zachowuje się jak wartość własna przy operatorze $\left(i\hbar {{\partial } \over {\partial t}}-q\varphi \right)\;$, bo funkcja $\varphi \;$ nie zależy od czasu, bo $i\hbar {{\partial } \over {\partial t}}\varphi =0\;$, ponieważ mamy do czynienia z polem elektrostatycznym, czyli z polem elektrycznym stałym (dział elektrostatyka).

Równanie (25.27) dla $t=0\;$ pomóżmy przez funkcję zależną od energii i czasu, tzn.: $\psi (t,E(t=0))\;$, a (25.29) przez funkcję falową równania niezależnego od czasu, tzn.: $\psi ({\vec {r}},t=0,E(t=0))\;$, wtedy możemy napisać:

$\left(i\hbar {{\partial } \over {\partial t}}-q\varphi \right)^{2}\psi ({\vec {r}},t,E(t=0))=c^{2}\left({\hat {p}}-q{\vec {A}}\right)^{2}\psi ({\vec {r}},t,E(t=0))+m_{0}^{2}c^{4}\psi ({\vec {r}},t,E(t=0))$

(25.30)

Formułę (25.30) zsumujmy ze współczynnikami stałymi funkcji falowej do funkcji niezależnej od energii, otrzymujemy równanie różniczkowe zależne tylko od położenia i czasu:

$\left(i\hbar {{\partial } \over {\partial t}}-q\varphi \right)^{2}\psi ({\vec {r}},t)=c^{2}\left({\hat {p}}-q{\vec {A}}\right)^{2}\psi ({\vec {r}},t)+m_{0}^{2}c^{4}\psi ({\vec {r}},t)$

(25.31)

Zatem równość (25.27) jest równaniem niezależnym od czasu zależącym od energii układu, a (25.31) zależnym od czasu, niezależną od niej.

Równanie Schrödingera jako szczególny przypadek teorii kwantów Kliena-Gordona

Równanie niezależne od czasu jest w postaci (25.12). Energia całkowita cząstki możemy wyrazić w zależności od sumy jej energii mechanicznej znanej z mechaniki klasycznej będących sumę energii kinetycznej i potencjalnej, też składa się z energii spoczynkowej (ta energia posiadana jest przez cząstkę, gdy ona spoczywa) znanej ze szczególnej teorii względności, która jest przestawiona jako:

$E=m_{0}c^{2}+E^{'}\;$

(25.32)

Równanie (25.32), która jest równaniem dokładnym podstawmy do równania Kliena-Gordona nie zależnego od czasu (25.12), dostajemy równość:

$(m_{0}c^{2}+E^{'}-q\varphi )^{2}\psi =(-i\hbar c\nabla -qc{\vec {A}})^{2}\psi +m_{0}^{2}c^{4}\psi \;$

(25.33)

Dokonujemy działań z lewej stronie równości różniczkowej (25.33), która występuje przed funkcją falową, dostajemy:

$(m_{0}^{2}c^{4}+{E^{'}}^{2}+q^{2}\varphi ^{2}+2m_{0}c^{2}E^{'}-2m_{0}c^{2}q\varphi -2E^{'}q\varphi )\psi =(-i\hbar c\nabla -qc{\vec {A}})^{2}\psi +m_{0}^{2}c^{4}\psi \;$

(25.34)

Dokonując redukcji pewnych wyrazów, które są takie same jak po lewej i prawej stronie naszego równania:

$({E^{'}}^{2}+q\varphi +2m_{0}c^{2}E^{'}-2m_{0}c^{2}q\varphi )\psi =(-i\hbar c\nabla -qc{\vec {A}})^{2}\psi \;$

(25.35)

Ponieważ energia mechaniczna cząstki i jego energia potencjalna są o wiele mniejsza od jego energii spoczynkowej tej samej korpuskuły, więc możemy to nasze równanie zapisać w przybliżeniu:

$2m_{0}c^{2}(E^{'}-q\varphi )\psi =(-i\hbar c\nabla -qc{\vec {A}})^{2}\psi \;$

(25.36)

Dzielimy obie strony równania (25.36) przez podwojoną energię spoczynkową naszej badanej cząstki $2m_{0}c^{2}\;$, dostajemy:

$(E^{'}-q\varphi )\psi ={{(-i\hbar \nabla -q{\vec {A}})^{2}\psi } \over {2m_{0}}}\;$

(25.37)

Przenosimy wyraz związany z energią potencjalną cząstki, która jest iloczynem potencjału skalarnego cząstki i wartości ładunku cząstki na jej prawą stronę równania (25.37):

$E^{'}\psi =\left({{(-i\hbar \nabla -q{\vec {A}})^{2}} \over {2m_{0}}}+q\varphi \right)\psi \;$

(25.38)

Równanie (25.38) jest równaniem niezależnym od czasu Schrödingera (8.123). Zatem udowodniliśmy, że równanie Schrödingera jest szczególnym przypadkiem równania z mechaniki kwantowej relatywistycznej Kliena-Gordona dla energii cząstki mechanicznej o wiele mniejszej od jej energii spoczynkowej, którą można obliczyć z równań z szczególnej teorii względności.

Ruch swobodny elektronu według teorii Kliena-Gordona

Mamy sobie równanie Kliena-Gordona zależne od czasu w postaci (25.8), a jego funkcje własne opisujących cząstkę swobodną nieoddziaływającej z żadnym polem skalarnym i wektorowym pola elektromagnetycznego zapisujemy w postaci:

$\psi =Ae^{{{i} \over {\hbar }}\left({\vec {p}}{\vec {r}}-Et\right)}\;$

(25.39)

Widzimy, że jest to funkcja falowa związana z wektorem pędu cząstki i jej energii relatywistycznej, który jest opisana dla wszystkich punktów czasowych i położeniowych cząstki o wszystkich wektorach wodzących jaką dana cząstka może posiąść. Podstawmy rozwiązanie w postaci funkcji falowej (25.39) do równania Kliena-Gordona zależnego od czasu (25.8), dostajemy wtedy równanie algebraiczne:

$A\left(-{{{\vec {p}}^{2}} \over {\hbar ^{2}}}+{{E^{2}} \over {c^{2}\hbar ^{2}}}\right)e^{{{i} \over {\hbar }}\left({\vec {p}}{\vec {r}}-Et\right)}={{m_{0}^{2}c^{2}} \over {\hbar ^{2}}}Ae^{{{i} \over {\hbar }}\left({\vec {p}}{\vec {r}}-Et\right)}\;$

(25.40)

Podzielmy równość (25.40) przez zawsze niezerową wielkość ${{A} \over {\hbar ^{2}}}e^{{{i} \over {\hbar }}\left({\vec {p}}{\vec {r}}-Et\right)}\;$, bo funkcja eksponecjalna jest zawsze niezerowa przy niezerowym parametrze A, dostajemy tożsamość:

$-{\vec {p}}^{2}+{{E^{2}} \over {c^{2}}}=m_{0}^{2}c^{2}\;$

(25.41)

Pomnóżmy obie strony równania (25.41) przez kwadrat prędkości światła w próżni: $c^{2}\;$, i przemieszczając odpowiednie wyrazy w nim, tak by po prawej stronie był tylko kwadrat całkowitej relatywistycznej energii cząstki, wtedy mamy:

${\vec {p}}^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}=E^{2}\;$

(25.42)

W ruchu swobodnym elektronu według teorii Kleina-Gordona energia cząstki E jest powiązana z jej wartością pędu według (25.42) i z masą spoczynkową taką samą zależnością jak w szczególnej teorii względności.

Atom wodoru według teorii Kleina-Gordona

W teorii Kleina-Gordona przy opisie atomu wodoru przyjmujemy potencjał w polu jądra atomowego wodoru, którego ładunek wynosi e, który charakteryzuje prawo Coulomba, który jest potencjałem skalarnym elektrycznym zależnych od promienia kulistego r w odległości od położenia jądra atomu, który zapisujemy w postaci:

$\varphi ={{e} \over {4\pi \epsilon _{0}r}}\;$

(25.43)

A ponieważ elektron "krążący" wokół jadra ma ładunek ujemny, równy ładunkowi elementarnemu ze znakiem minus, czyli:$q=-e\;$, zatem samo równanie zależne od czasu (25.11) przyjmuje postać przy zerowym potencjale wektorowym i potencjale skalarnym różnych od zera wyraźnie według wzoru (25.43):

$\left(i\hbar {{\partial } \over {\partial t}}+{{e^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}r}}\right)^{2}\psi \left(r,t\right)=\left(-i\hbar c\nabla \right)^{2}\psi \left(r,t\right)+m_{0}^{2}c^{4}\psi \left(r,t\right)\;$

(25.44)

W pierwszym wyrazie z prawej strony wykonujemy w nim napisane potęgowanie iloczynu operatora pierwszej pochodnej względem współrzędnych przestrzennych i wartości urojonej, stąd w ostatecznych perypetiach dochodzimy:

$\left(i\hbar {{\partial } \over {\partial t}}+{{e^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}r}}\right)^{2}\psi \left(r,t\right)=-\hbar ^{2}c^{2}\nabla ^{2}\psi \left(r,t\right)+m_{0}^{2}c^{4}\psi \left(r,t\right)\;$

(25.45)

Obierzmy rozwiązanie równania różniczkowego (25.45) jako funkcję falową o amplitudzie zależnym od wektora położenia jakie ten nasz elektron może przyjmować:

$\psi \left(r,t\right)=\varphi \left(r\theta \phi \right)e^{-{{iE} \over {\hbar }}t}\;$

(25.46)

Widzimy, że te nasze rozwiązanie jest zależne od całkowitej relatywistycznej energii cząstki, którego wartość liczymy w czasie "t", po podstawieniu prawdopodobnego rozwiązania (25.46) do równania (25.45), otrzymujemy równość różniczkową:

$\left(E+{{e^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}r}}\right)^{2}\varphi \left(r\right)e^{-{{iE} \over {\hbar }}t}=-\hbar ^{2}c^{2}\nabla ^{2}\varphi \left(r\right)e^{-{{iE} \over {\hbar }}t}+m_{0}^{2}c^{4}\varphi \left(r\right)e^{-{{iE} \over {\hbar }}t}\;$

(25.47)

Dzieląc obie strony przez niezerową zawsze funkcję eksponencjalną, która wynika z jej własności, czyli przez $e^{-{{iE} \over {\hbar }}t}\;$ dla równania różniczkowego (25.47):

$\left(E^{2}+{{e^{4}} \over {16\pi ^{2}r^{2}}}+2E{{e^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}r}}\right)\varphi =-\hbar ^{2}c^{2}\Delta \varphi +m_{0}^{2}c^{4}\varphi \left(r\right)\;$

(25.48)

Przenosimy wszystkie wyrazy z jej prawej strony na jej lewą w równaniu (25.48) i dzielimy obustronnie owe równanie przez stałą zależną od stałej kreślonej Plancka i prędkości światła $\hbar ^{2}c^{2}\;$, dostajemy równanie różniczkowe drugiego stopnia względem współrzędnej przestrzennej:

$\Delta \varphi \left(r\right)+\left\{{{E^{2}-m_{0}^{2}c^{4}} \over {\hbar ^{2}c^{2}}}+{{2Ee^{2}} \over {\hbar ^{2}c^{2}4\pi \epsilon _{0}}}{{1} \over {r}}+{{e^{4}} \over {\hbar ^{2}c^{2}16\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}}}{{1} \over {r^{2}}}\right\}\varphi =0\;$

(25.49)

Napiszmy jako rozwiązanie równania (25.49), który posiada amplitudę rozwiązania zależnego tylko od położenia radialnego i współrzędnych przestrzennych elektronu podanej w punkcie we wzorze (25.46), który jest w iloczynem funkcji kulistej $Y\left(\theta \phi \right)\;$ przez iloraz pewnej funkcji zależnej od położenia radialnego przez to właśnie położenie radialne, innymi słowy jest to funkcja zależne od zmiennych kątowych i położenia radialnego w układzie kulistym jakie może przyjmować elektron:

$\varphi \left(r\right)={{u_{l}\left(r\right)} \over {r}}Y\left(\theta \phi \right)\;$

(25.50)

Wykorzystujemy definicję kwadratu operatora nabla $\nabla ^{2}\;$, czyli operatora delty $\Delta \;$, we współrzędnych kulistych jako funkcję położeń radialnych i kątowych w postaci (6.51), równanie (25.49) po podstawieniu naszego rozwiązania (25.50), w którym chcemy znaleźć funkcje $u_{l}(r)\;$ zależne od liczby falowej l i położenia radialnego:

${{1} \over {r}}{{\partial ^{2}} \over {\partial r^{2}}}u_{l}\left(r\right)Y\left(\theta \psi \right)+{{u_{l}\left(r\right)} \over {r^{3}}}\Lambda \left(\theta \psi \right)Y\left(\theta \psi \right)+\left\{{{E^{2}-m_{0}^{2}c^{4}} \over {\hbar ^{2}c^{2}}}+{{2Ee^{2}} \over {\hbar ^{2}c^{2}4\pi \epsilon _{0}}}{{1} \over {r}}+{{e^{4}} \over {\hbar ^{2}c^{2}16\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}}}{{1} \over {r^{2}}}\right\}\cdot \;$
$\cdot {{u_{l}\left(r\right)} \over {r}}Y\left(\theta \psi \right)=0\;$

(25.51)

Mnożymy obie strony strony równania różniczkowego (25.51) przez współrzędną radialną $r\;$, dostajemy równość:

${{\partial ^{2}} \over {\partial r^{2}}}u_{l}\left(r\right)Y\left(\theta \psi \right)+{{u_{l}\left(r\right)} \over {r^{2}}}\Lambda \left(\theta \psi \right)Y\left(\theta \psi \right)+\left\{{{E^{2}-m_{0}^{2}c^{4}} \over {\hbar ^{2}c^{2}}}+{{2Ee^{2}} \over {\hbar ^{2}c^{2}4\pi \epsilon _{0}}}{{1} \over {r}}+{{e^{4}} \over {\hbar ^{2}c^{2}16\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}}}{{1} \over {r^{2}}}\right\}\cdot \;\;$
$\cdot u_{l}\left(r\right)Y\left(\theta \psi \right)=0\;$

(25.52)

Dzielimy obie strony równania (25.52) przez funkcję kulistą, którą jak wiemy jest zależna tylko od współrzędnych kątowych azymutalnej i zenitalnej, czyli $Y\left(\theta \psi \right)\;$, zatem otrzymujemy wyrażenie:

${{\partial ^{2}} \over {\partial r^{2}}}u_{l}\left(r\right)+{{u_{l}\left(r\right)} \over {r^{2}}}{{\Lambda \left(\theta \psi \right)Y\left(\theta \psi \right)} \over {Y\left(\theta \psi \right)}}+\left\{{{E^{2}-m_{0}^{2}c^{4}} \over {\hbar ^{2}c^{2}}}+{{2Ee^{2}} \over {\hbar ^{2}c^{2}4\pi \epsilon _{0}}}{{1} \over {r}}+{{e^{4}} \over {\hbar ^{2}c^{2}16\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}}}{{1} \over {r^{2}}}\right\}u_{l}\left(r\right)=0\;$

(25.53)

Napiszmy równość własną kwadratu momentu pędu przez jego wartości własne zależne od kwantowej liczby orbitalnej l, czyli jako równania własnego: ${\hat {l}}^{2}\psi =\hbar ^{2}l(l+1)\psi \;$, i wykorzystując definicję kwadratu operatora momentu pędu w postaci (6.53) i wykorzystujemy, że funkcje własne rozważanego operatora są to funkcje kuliste $Y_{lm}\;$, a wartości własne kwadratu operatora momentu pędu to są wartości (8.86), wtedy równanie (25.53) przechodzi w wyrażenie zależne tylko od położenia radialnego r we współrzędnych kulistych w równanie:

${{\partial ^{2}u} \over {\partial r^{2}}}+\left\{{{E^{2}-m_{0}^{2}c^{4}} \over {\hbar ^{2}c^{2}}}+{{2Ee^{2}} \over {\hbar ^{2}c^{2}4\pi \epsilon _{0}}}{{1} \over {r}}-{{l\left(l+1\right)-\left({{e^{2}} \over {\hbar c4\pi \epsilon _{0}}}\right)^{2}} \over {r^{2}}}\right\}u=0\;$

(25.54)

Obierzmy jako stałe występujące w dyspucie (25.54), które są zależne od energii całkowiej cząstki relatywistycznej, ale nie wszystkie, są one zdefiniowane:

$\gamma ={{\sqrt {m_{0}^{2}c^{4}-E^{2}}} \over {\hbar c}}\;$

(25.55)

$\beta ={{2Ee^{2}} \over {\hbar ^{2}c^{2}4\pi \epsilon _{0}}}\;$

(25.56)

$\alpha ={{e^{2}} \over {\hbar c4\pi \epsilon _{0}}}\;$

(25.57)

Po dokonanych podstawieniach zdefiniowanych stałych (25.55) (stała $\gamma \;$ zależna od masy spoczynkowej cząstki i jej energii relatywistycznej E), (25.56) (stała $\beta \;$ zależna tylko od energii relatywistycznej cząstki) i (25.57) (stała $\alpha \;$ zwana inaczej stałą struktury subtelnej), ponadto wszystkie te stałe zależą od stałych fizycznych, omawiane stałe w powyższych trzech ostanich równaniach podstawiamy do równania różniczkowego (25.54), mamy ostatecznie inny równoważny wzór:

${{d^{2}u} \over {dr^{2}}}+\left[-\gamma ^{2}+{{\beta } \over {r}}-{{l\left(l+1\right)-\alpha ^{2}} \over {r^{2}}}\right]u=0\;$

(25.58)

Równaniem asyptotycznym do wyrażenia (25.58), które jest słuszne dla r nieskończonego, jest równaniem w postaci równania różniczkowego:

${{d^{2}u\left(r\right)} \over {dr^{2}}}=\gamma ^{2}u\left(r\right)=0\;$

(25.59)

*gdzie jego rozwiązaniem jest wyrażenie funkcja eksponencjalna z argumentem iloczynu stałej $\gamma \;$ przez położenie radialne r i ten obiekt jest ze znakiem minus:

$u\left(r\right)=e^{\pm \gamma r}\;$

(25.60)

Wybieramy znak minus, bo w nieskończoności nasze wyrażenie znika, ze względu by funkcja (25.60) była całkowalna z kwadratem dla całej jego zmienności względem r, bo dla rozwiązania z plusem w nieskończonościach dąży do plus nieskończoności, czyli to rozwiązanie odrzucamy i pozostaje nam rozwiązanie eksponencjalne z minusem.

$u\left(r\right)=e^{-\gamma r}\;\;$

(25.61)

Obierzmy rozwiązanie równania (25.58) według rozwiązania asymptotycznego (25.61) przy amplitudzie zależnym tylko od współrzędnej r:

$u\left(r\right)=v\left(r\right)e^{-\gamma r}\;$

(25.62)

I policzmy pochodne wyrażenia (25.62), tzn. jego pierwszą i drugą podchodną względem współrzędnej radialnej:

• pierwsza pochodna (25.62) względem współrzędnej radialnej r.

${{du} \over {dr}}={{dv\left(r\right)} \over {dr}}e^{-\gamma r}-v\left(r\right)\gamma e^{-\gamma r}=e^{-\gamma r}\left({{dv\left(r\right)} \over {dr}}-v\left(r\right)\gamma \right)\;$

(25.63)

• druga pochodna (25.62), a więc jego pierwsza pochodna wyrażenia pierwszej pochodnej (25.63) względem współrzędnej radialnej r.

${{d^{2}u} \over {dr^{2}}}=e^{-\gamma r}\left({{d^{2}v\left(r\right)} \over {dr^{2}}}-2{{dv\left(r\right)} \over {dr}}\gamma +\gamma ^{2}\right)\;$

(25.64)

Podstawiamy (25.63) (pierwszą pochodną (25.42)) i (25.64) (druga pochodna (25.42)) do równania różniczkowego (25.58), otrzymujemy równanie różniczkowe opisującą funkcję v(r) względem współrzędnej r:

$e^{-\gamma r}\left({{d^{2}v\left(r\right)} \over {dr^{2}}}-2{{dv\left(r\right)} \over {dr}}\gamma +v\left(r\right)\gamma ^{2}\right)+\left\{-\gamma ^{2}+{{\beta } \over {r}}-{{l\left(l+1\right)-\alpha ^{2}} \over {r^{2}}}\right\}v\left(r\right)e^{-\gamma r}=0\;$

(25.65)

Równanie (25.65) dzielimy obustronnie przez zawsze niezerową i dodatnią funkcję eksponencjalną $e^{-\gamma r}\;$ i redukujemy po pewnych wyrazach:

${{d^{2}v\left(r\right)} \over {dr^{2}}}-2{{dv\left(r\right)} \over {dr}}\gamma +\left\{{{\beta } \over {r}}-{{l\left(l+1\right)-\alpha ^{2}} \over {r^{2}}}\right\}v\left(r\right)=0\;$

(25.66)

Obierzmy szereg, który jest funkcją tylko względem współrzędnej radialnej, w której występuje nieskończenie wiele współczynników $a_{i}\;$, którego jest rozwiązaniem równości (25.66) w postaci nieskończonego szeregu potęgowego:

$v\left(r\right)=\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}r^{\omega +i}\;$

(25.67)

Policzmy pierwszą pochodną względem współrzędnej radialnej r szeregu potęgowego (25.67):

${{dv\left(r\right)} \over {dr}}=\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}\left(\omega +i\right)r^{\omega +i-1}\;$

(25.68)

Policzmy teraz drugą pochodną v(r) względem r szeregu potęgowego (25.67), a więc pierwszą pochodną szeregu (25.68), która jest jakoby piszemy ją względem r w wspomnianym szeregu:

${{d^{2}u\left(r\right)} \over {dr^{2}}}=\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}\left(\omega +i\right)\left(\omega +i-1\right)r^{\omega +i-2}\;$

(25.69)

Podstawiamy funkcję potęgową (25.67) oraz pierwszą (25.68) i drugą pochodną (25.69), zależne od r, do tożsamości różniczkowej (25.66):

$\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}\left(\omega +i\right)\left(\omega +i-1\right)r^{\omega +i-2}-2\gamma \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}\left(\omega +i\right)r^{\omega +i-1}+\left\{{{\beta } \over {r}}-{{l\left(l+1\right)-\alpha ^{2}} \over {r^{2}}}\right\}\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}r^{\omega +i}=0\;$

(25.70)

Po lewej stronie równości (25.70) a właściwie jego ostatni wyraz, a w nim dokonajmy tam odpowiednich wymnożeń, dostajemy:

$\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}\left(\omega +i\right)\left(\omega +i-1\right)r^{\omega +i-2}-2\gamma \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}\left(\omega +i\right)r^{\omega +i-1}+\beta \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}r^{\omega +i-1}-\left(l\left(l+1\right)-\alpha ^{2}\right)\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}r^{\omega +i-2}=0\;$

(25.71)

Dla drugiego i trzeciego wyrazu równania (25.71) podstawmy tam wedle schematu $i\rightarrow i-1\;\;$, w taki sposób, by otrzymać w tychże wspomnianych wyrazach potęgi położenia radialnego r o wykładnikach $\omega +i-2\;$, zatem:

$\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}\left(\omega +i\right)\left(\omega +i-1\right)r^{\omega +i-2}-2\gamma \sum _{i=2}^{\infty }a_{i-1}\left(\omega +i-1\right)r^{\omega +i-2}+\beta \sum _{i=2}^{\infty }a_{i-1}r^{\omega +i-2}-\left(l\left(l+1\right)-\alpha ^{2}\right)\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}r^{\omega +i-2}=0\;$

(25.72)

W (25.72) dokonajmy tam odpowiednich grupowań wyrazów względem tych samych współczynników o tych samych indeksach dla tych samych potęg przy r-ach:

$-\sum _{i=2}^{\infty }a_{i-1}\left[2\gamma \left(\omega +i-1\right)-\beta \right]r^{\omega +i-2}+\sum _{i=2}^{\infty }a_{i}r^{\omega +i-2}\left[\left(\omega +i\right)\left(\omega +i-1\right)-\left(l\left(l+1\right)-\alpha ^{2}\right)\right]+\;$
$+a_{1}\left[\left(\omega +1\right)\left(\omega \right)-\left(l\left(l+1\right)-\alpha ^{2}\right)\right]r^{\omega +i-2}=0\;$

(25.73)

Ponieważ $a_{1}\;$ w (25.73) powinno być dowolne, zatem współczynnik stojący przy tym współczynniku powinien być równy zero, a więc:

$\left(\omega +1\right)\left(\omega \right)-\left(l\left(l+1\right)-\alpha ^{2}\right)=0\Rightarrow \omega ^{2}+\omega -l\left(l+1\right)+\alpha ^{2}=0\;$

(25.74)

Z którego wyróżnik trójmianu równania kwadratowego ostatniego wynikowego (25.74) jest równy:

$\Delta =1^{2}+4\left(l\left(l+1\right)-\alpha ^{2}\right)=1+4l^{2}+4l-4\alpha ^{2}=(1+2l)^{2}-4\alpha ^{2}\;$

(25.75)

Widzimy, że jest ona zależna od kwadratu stałej struktury subtelnej $\alpha \;$ ((25.57)) i od orbitalnej liczby kwantowej l, która jest częścią wartości własnej operatora kwadratu momentu pędu. Stąd stała $\omega \;$ jest rozwiązaniem (25.74):

$\omega ={{-1\pm {\sqrt {\left(1+2l\right)^{2}-4\alpha ^{2}}}} \over {2}}\;$

(25.76)

wybieramy wyrażenie $\omega \;$ ze znakiem plus a nie z minusem, ponieważ by szereg (25.73) nie miał minusowych potęg, bo gdy by miał, to osobliwość występowała by dla r=0, czyli musi zachodzić $\omega \geq -1\;$. Zatem sprawdźmy nasze przypuszczenia:

${{-1\pm {\sqrt {\left(1+2l\right)^{2}-4\alpha ^{2}}}} \over {2}}\geq -1\Rightarrow \pm {\sqrt {\left(1+2l\right)^{2}-4\alpha ^{2}}}\geq -1\Rightarrow \mp {\sqrt {\left(1+2l\right)^{2}-4\alpha ^{2}}}\leq 1\;$

Widzimy, że wyrażenie w (25.76) wyrażenie z plusem spełnia nasz warunek dla dowolnych l, a z minusem:

$\left(1+2l\right)^{2}-4\alpha ^{2}\leq 1\Rightarrow 1+2l\leq {\sqrt {1+4\alpha ^{2}}}\;$

tylko dla l=0, zatem nasz wybór stał się trafny. Zatem wybieramy w (25.76) rozwiązanie równania kwadratowego (25.74) z plusem, czyli rozwiązanie w postaci:

$\omega ={{-1+{\sqrt {\left(1+2l\right)^{2}-4\alpha ^{2}}}} \over {2}}\;$

(25.77)

Podobnie jak mamy w mechanice nierelatywistycznej kwantowej przy opisie atomu wodoru, trzeba urwać tutaj na pewnym wyrazie, ponieważ rozwiązanie bez urwania dąży asyptotycznie do nieskończoności, a bez urwaniu dla dużych równanie (25.73) ma się jako:

$a_{i}=a_{i-1}{{2\gamma \left(\omega +i-1\right)-\beta } \over {\left(\omega +i\right)\left(\omega +i-1\right)-\left(l\left(l+1\right)-\alpha ^{2}\right)}}\rightarrow a_{i}=a_{i-1}{{2\gamma } \over {i}}\Rightarrow a_{n}\sim {{\left(2\gamma \right)^{n}} \over {n!}}\;$

(25.78)

Zatem współczynniki $a_{n}\;$ są to współczynniki rozwinięcia funkcji $e^{2\gamma r}\;$ co jest oczywiste, że dla r nieskończonych, ta funkcja dąży do nieskończoności, zatem należy urwać na pewnym $i=\sigma +1\;$, by nie było nieskończonych funkcji własnych czyli niecałkowalnych z kwadratem, zatem na podstawie (25.78), jeśli $a_{\sigma }\neq 0\;$ i $a_{\sigma +1}=0\;$ oraz następne współczynniki by były równe zero, licznik czynnika stojącego przy $a_{\sigma }\;$ musi być równy zero, to na podstawie tego zachodzi:

$\beta -2\gamma \left(\omega +i-1\right)=0\Rightarrow \beta =2\gamma \left(\omega +i-1\right)\;$

(25.79)

Teraz podstawiamy, za $\omega \;$ obliczonego wedle wzoru (25.77) do tożsamości przedstawionej w (25.79):

$\beta =2\gamma \left(-{{1} \over {2}}+{\sqrt {\left(l+{{1} \over {2}}\right)^{2}-\alpha ^{2}}}+i-1\right)\;$

(25.80)

Ponieważ przyjeliśmy, że szereg (25.67) urywa się na wyrazie $\sigma >0\;$, bo jest spełniony warunek (25.79), czyli powinno zachodzić:

$v\left(r\right)=\sum _{i=1}^{\sigma }a_{i}e^{\omega +i}\;$

(25.81)

Zatem szereg się zeruje dla nie mniejszych niż $i=\sigma +1\;$, dla którego wyrazy szeregu potegowego (25.67) i na tej podstawie spełniony jest wzór (25.81), wedle tych dysput dostajemy wzór (25.80) w bardziej zwartej postaci zapisanej wedle:

$\beta =2\gamma \left(\sigma -{{1} \over {2}}+{\sqrt {\left(l+{{1} \over {2}}\right)^{2}-\alpha ^{2}}}\right)\;$

(25.82)

Wzory opisujące pewne stałe, czyli:(25.55) (stała $\gamma \;$), (25.56) (stała $\beta \;$) i (25.57) (stała $\alpha \;$) podstawiamy do wyrażenia (25.82) pod te omawiane stałe, wtedy dostajemy równoważne do poprzedniewgo równanie:

${{2Ee^{2}} \over {\hbar ^{2}c^{2}4\pi \epsilon _{0}}}=2{{\sqrt {m_{0}^{2}c^{4}-E^{2}}} \over {\hbar c}}\left(\sigma -{{1} \over {2}}+{\sqrt {\left(l+{{1} \over {2}}\right)^{2}-\alpha ^{2}}}\right)\;$

(25.83)

Podnieśmy obie strony tożsamości (25.83) do kwadratu, by w nim zlikwidować wszystkie występujące pierwiastki i dlatego dokonujemy tejże operacji:

${{E^{2}e^{4}} \over {\hbar ^{4}c^{4}\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}}}=\left[{\left(m_{0}^{2}c^{4}-E^{2}\right) \over {h^{2}c^{2}}}\right]\left({\sigma -{{1} \over {2}}+{\sqrt {\left(l+{{1} \over {2}}\right)^{2}-\alpha ^{2}}}}\right)^{2}\;$

(25.84)

Pomnóżmy obustronnie wyrażenie (25.84) przez pewną stałą zależną od stałej kreślonej Plancka i prędkości światła $\hbar ^{2}c^{2}\;$, ono przyjmuje kształt:

${{E^{2}e^{4}} \over {\hbar ^{2}c^{2}16\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}}}=\left[{\left(m_{0}^{2}c^{4}-E^{2}\right)}\right]\left(\sigma -{{1} \over {2}}+{\sqrt {\left(l+{{1} \over {2}}\right)^{2}-\alpha ^{2}}}\right)^{2}\;$

(25.85)

Korzystajmy teraz z definicji $\alpha \;$ dla wyrażenia , owe równanie da się przedstawić wedle uproszczonego sposobu: Idąc dalej, obierzmy parametr , który podstawimy do wzoru ułatwiający nam pewne określone późniejsze przekształcenia, który ten parametr jest zdefiniowany: A zatem z według parametru zdefiniowanego w , otrzymujemy pewne wyrażenie z którego będziemy wyznaczać energię cząstki (elektronu): W ostatnim wynikowym równaniu wyznaczamy czemu jest równa energia cząstki relatywistycznej w zależności od masy spoczynkowej elektronu, kwadratu struktury subtelnej i parametru Następnie wykorzystując definicję napisaną wedle wzoru jako funkcję orbitalnej liczby kwantowej i parametru , biorąc to wszystko do równania , mamy: Dokonajmy przybliżeń w tym celu obierzmy stałą , która jest zależna od kwantowej liczby orbitalnej, stałej struktury subtelnej i elementu , który piszemy: Wzór po podstawieniu do niego wyrażenia na zmienną napisaną wedle wzoru ma się: Rozłóżmy wyrażenie w szereg Taylora względem parametru , czyli kwadratu stałej strukury subtelnej. Wyrażenie przyjmuje wartość dla : Pierwsza pochodna wyrażenie zapisujemy wedle sposobu licząc ją względem kwadratu struktury subtelnej: Wartość pierwszej pochodnej wyrażenia , względem kwadratu struktury subtelnej dla parametru α równej zero, piszemy: Druga pochodna wyrażenia względem kwadratu struktury subtelnej, a więc pierwsza pochodna ma kształt: Wyrażenie jako druga pochodna względem wspomnianego parametru dla przyjmuje postać: A zatem rozwinięcie , według (wartość funkcji dla stałej struktury subtelnej równej zero), (pierwsza pochodna względem kwadratu struktury subtelnej dla niej równej zero), (druga pochodna względem kwadratu struktury subtelnej dla niej równej zero), te nasze rozwinięcie z dokładnością do wyrazów drugiego rzędu: Wiemy, jednak że na podstawie definicji zmiennej zdefiniowanej wedle równości i przybliżając ją względem małego parametru kwadratu struktury subtelnej, wtedy ten parametr piszemy: Określmy , zatem z definicji , która jest większa niż jeden, zatem orbitalna liczba kwantowa przyjmuje takowe wartości skwantowane: Ostatecznie wzór na zmienną napisany w sposób przybliżony względem małego parametru kwadratu struktury subtelnej, dla którego ta nasza zmienna jest zdefiniowana wedle wzoru , jest napisana: Określmy odwrotność parametru napisaną w sposób przybliżony , dokonując dalszych przybliżeń dla małości wyrazów występujących w nawiasie wspomnianego wyrażenia występująca po jedynce: Dalej kwadrat odwrotności zmiennej wyrażenia , pisać go z dokładnością do wyrazów kwadratowych wielkości α, bo w w drugim wyrazie w nawiasie występuje kwadrat tej wspomnianej wielkości: Podstawiamy wzór (kwadrat odwrotności zmiennej ) do będących rozwinięciem w szereg Taylora względem omawianego tam parametru do drugiego wyrazu w nawiasie, dostajemy: Wyrażenie na całkowitą energię elektronu w polu jadra atomowego wodoru, uwzględniając efekty relatywistyczne jest równy energii spoczynkowej elektronu, energii obliczonej wedle mechaniki kwantowej nierelatywistycznej i z poprawką zależną od orbitalnej liczby kwantowej, ale głównej w trzecim jego składniku, jest ona również zależna od czynnika struktury subtelnej , która jest względnie mała i dlatego w teorii nierelatywistycznej ten trzeci składnik jest często pomijany, zatem ta nasza energia elektronu w polu jądra atomowego atomu wodoru jest równa:

• gdzie energia , którą jak udowodnimy jest energią obliczoną z nierelatywistycznej teorii kwantowej:

Policzmy skrajną różnicę poziomów dla ściśle określonego n między orbitalną liczbą kwantową l=0, a l=n-1, bo ta liczba przyjmuje wartości skwantowane wedle : Jak widać rozszczepienie jest rzędu , jednak rozszczepienie przewidywane przez teorię Kleina-Gordona jest dwukrotnie większe niż uzyskano doświadczalnie.