Przejdź do zawartości

Mechanika kwantowa/Relatywistyczna teoria kwantów Kleina-Gordona

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Mechanika kwantowa
Mechanika kwantowa
Relatywistyczna teoria kwantów Kleina-Gordona

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Równania mechaniki kwantowej relatywistycznej Kleina-Gordona

[edytuj]

Wyprowadzimy teorie kwantową relatywistyczną Kliena-Gordona, która nie uwzględnia spinu opisywanej cząstki w porównaniu z teorią Diraca, który uwzględnia spin tejże cząstki. Z szczególnej teorii względności mamy wyrażenie wiążące energię relatywistyczną cząstki z jej wartością pędu oraz masą spoczynkową, która może przyjmować każdą nieujemną wartość tejże wielkości:

(25.1)

Wykorzystując równanie (25.1) i zastępując kwadrat wektora relatywistycznego pędu kwadratem operatora pędu (6.15), dostajemy:

(25.2)

A równanie zależne od czasu zapisujemy podobnie jak (25.2), wychodząc z równania (25.1), piszemy:

(25.3)

W lewej stronie równania (25.3) wykonujemy podnoszenie do kwadratu operatora pochodnej względem czasu wraz z pewnym urojonym czynnikiem:

(25.4)

Dzielimy obie strony równania (25.4) przez wyrażenie, która jest w pewnym rodzaju stałą zależną od stałej kreślonej Plancka i prędkości światła: :

(25.5)

Przenosimy wyrazy z drugimi pochodnymi cząstkowymi względem czasu i położenia na lewą stronę równania (25.5), a pozostałe na jej prawą stronę, otrzymujemy:

(25.6)

Prowadźmy nowe oznaczenie i oznaczmy je operatorem d'Alemberta wiążące drugie pochodne względem wszystkich współrzędnych czasoprzestrzennych jakie występują w szczególnej teorii względności:

(25.7)

Wtedy równanie różniczkowe drugiego rzędu (25.6), korzystając przy tym z definicję operatora d'Alemberta (25.7), przechodzi w bardzo prostą postać, w której z prawej strony występują tylko stałe, tzn. masa spoczynkowa cząstki masowej i w sposób liniowy funkcja falowa, a jeśli masa cząstki jest równa zero (np. cząstki, które są fotonami), ta prawa strona jest zawsze równa zero niezależnie jaką mamy do dyspozycji funkcję falową jaką otrzymamy w wyniku rozwiązania funkcji falowej równania zależnego od czasu Klieina-Gordona.

(25.8)

Jeżeli cząstka znajduje się w polu elektromagnetycznym, to dodatkowa energia w tym polu jest związana z energią potencjalną cząstki mającej ładunek o wartości "q", jest to całkowita energia w tymże polu potencjalnym, z którego wyprowadzimy energią cząstki, którą miałby bez pola skalarnego elektrycznego , ma wartość:

(25.9)

Podobnie uogólniony pęd cząstki może być zmieniony przez wektorowy potencjał pola elektromagnetycznego związany o dodatkowy człon związany z ładunkiem cząstki i potencjałem wektorowym:

(25.10)

Po tych udogodnieniach, tzn.: (25.9) (energia całkowita primowana cząstki w polu skalarnym elektrycznym) i (25.10) (pęd primowany cząstki w polu potencjału wektorowego magnetycznego), mamy:

(25.11)

Jest to równanie Kleina-Gordona zależne od czasu analogiczne do (25.3), bo w nim nie występuje parametr skalarny energii cząstki, ale w nim zamiast niego są pochodne czasowe funkcji falowej. A równanie Kleina-Gordona niezależne od czasu, w którym nie występują pochodne zależne od czasu, natomiast parametr energii cząstki występuje, przyjmuje kształt:

(25.12)

Wyprowadzenie równań mechaniki kwantowej relatywistycznej Kleina-Gordona zależnego i niezależnego od czasu

[edytuj]

Prawa mechaniki relatywistycznej kwantowej Kleina-Gordona rozważane są słuszne jedynie dla pól elektromagnetostatycznych, czyli dla pól elektrycznych i magnetycznych, stałych w czasie.

Dowód niepełny

[edytuj]

Z szczególnej teorii względności wiadomo, że zachodzi (STW-34.20), a także należy skorzystać z równania na pęd uogólniony (25.10) z uwzględnieniem poprawki istnienia pola elektrycznego (25.9) i magnetycznego (25.10) wtedy wzór na całkowitą energię piszemy w zależności od pędu ogólnionego i potencjału skalarnego:

(25.13)

W równaniach mechaniki kwantowej Kleina-Gordona podobnie jak w mechanice kwantowej nierelatywistycznej funkcja falowa jest napisana w sposób (11.8) lub (11.9), czy nawet w postaci (11.10). Jeżeli skorzystamy z równania (11.19), wtedy równanie niezależne od czasu piszemy, wychodząc z postaci (25.13) wymnażając obie jego strony przez , w postaci:


(25.14)
  • Powyższe równanie zachodzi w polu magnetostatycznym (w polu magnetycznym stałym), w którym zachodzi cechowanie dla działu magnetostatyka.

Równanie (25.14) przechodzi w równanie (25.12) po zsumowaniu wraz ze współczynnikami względem stanów dla tych samych i różnych pędów uogólnionych , bo dostajemy wtedy równość:

(25.15)

Wiadomo, że na podstawie (11.26), bo tam samo się wyprowadza jak w mechanice kwantowej klasycznej i odejmując stronami wyrażenie i mnożąc jeszcze raz operatorem występującym po prawej stronie równania poniższego dostajemy:



(25.16)
  • Wartość zachowuje się ja wartość własna według operatora , bo mamy do czynienia z polem elektrostatycznym, w której zachodzi dla działu elektrostatyka.

Równanie (25.14) przechodzi w równanie (25.12) po zsumowaniu wraz ze współczynnikami względem stanów dla tych samych i ogólnie różnych , bo dostajemy wtedy równość:

(25.17)

Łączymy prawą stronę wzoru (25.14) z prawą stronę wzoru (25.16) dostając:

(25.18)

Równanie (25.18) przechodzi w równanie (25.11) po zsumowaniu wraz ze współczynnikami względem stanów dla ogólnie różnych i różnych pędów uogólnionych , bo dostajemy wtedy równość:

(25.19)

Równość (25.19) jest to równanie zależne od czasu jest takie same jak (25.11). Co kończy dowód równania zależnego i niezależnego od czasu równania mechaniki kwantowej Kleina-Gordona. A dalsze zależności w mechanice kwantowej relatywistyczne Kleina-Gordona są podobne jak w rozdziale "Wyprowadzenie równania falowego zależnego i niezależnego od czasu".

Dowód pełny

[edytuj]

Zastąpmy zmienne pędu i energii cząstki w równaniu (25.13) (mechaniki relatywistycznej w równaniu na energię całkowitą układu odpowiednio przekształconą) przez wartości średnie:

(25.20)

Napiszmy definicję wartości średnich występujących w równaniu (25.20) po lewej stronie i po prawej pod czynnikiem , jako:


Pierwsza wartość średnia jak zobaczymy jest równa wyrażeniu z definicji średniej ważonej:

(25.21)

Druga wartość średnia jak zobaczymy jest równa wyrażeniu z definicji średniej ważonej:

(25.22)
  • Powyższe równanie zachodzi w polu magnetostatycznym (w polu magnetycznym stałym), w którym zachodzi cechowanie dla działu magnetostatyka.

Wzory (25.21) i (25.22) podstawmy do równości (25.20), w takim razie otrzymamy wzór jako związek według iloczynów skalarnych:

(25.23)

Wzór (25.23) pomnóżmy obustronnie przez , który jest pewnego rodzaju unormowaniem średniej z operatora, i napiszmy go w formie iloczynu skalarnego:

(25.24)

Równość (25.24) napiszmy w formie z dwóch funkcji falowych ogólnie różnych, pierwsza jest dowolna, a druga już nie, tzn. według przejścia z formy (25.24) do (25.25), według praw algebry na iloczynach skalarnych w matematyce o funkcjach falowych ogólnie zespolonych, czyli według twierdzenia (Twier. 11.1):

(25.25)

Też nożna powiedzieć naz podstawie (Twier. 11.1) elementy macierzowe względem dwóch dowolnych funkcji:

(25.26)

Ale mamy funkcję dowolną i ściśle określoną bazę funkcji , zatem równanie niezależne od czasu piszemy w formie:

(25.27)

Przedstawmy równanie (25.27), gdy wartość własna jest zależna od czasu, czyli jako :



(25.28)

Czyli na podstawie (25.28) wartość własna jest niezależna od czasu, na podstawie tego, że pole elektromagnetyczne jest niezależne od czasu, w tym równaniu, mamy tutaj do czynienia z polem elektromagnetostatycznym, ono jest, zależne tylko od wektora wodzącego , w swojej definicji.

Średnie jakiś wielkości (operatora) w równaniu na średnich są spełnione dla dowolnych funkcji na podstawie twierdzenia (Twier. 11.2), jeżeli wiadomo, że jego jedna średnia tych wielkości, dla jednej funkcji własnej tego operatora, jest spełniona w nim w mechanice kwantowej relatywistycznej Kleina-Gordona. Weźmy równanie falowe takie samo jak w mechanice nierelatywistycznej kwantowej w dowodzie pełnym (11.49), a tam weźmy równanie na funkcję takie samo jak jako w wspomnianej teorii, wtedy jego równanie różniczkowe jest w postaci (11.50), i przepiszmy go w innej formie wynikającej z niej:

(25.29)
  • Równość (25.29) podobnie wyprowadzamy jak równanie (25.16) pamiętając, że w zachowuje się jak wartość własna przy operatorze , bo funkcja nie zależy od czasu, bo , ponieważ mamy do czynienia z polem elektrostatycznym, czyli z polem elektrycznym stałym (dział elektrostatyka).

Równanie (25.27) dla pomóżmy przez funkcję zależną od energii i czasu, tzn.: , a (25.29) przez funkcję falową równania niezależnego od czasu, tzn.: , wtedy możemy napisać:

(25.30)

Formułę (25.30) zsumujmy ze współczynnikami stałymi funkcji falowej do funkcji niezależnej od energii, otrzymujemy równanie różniczkowe zależne tylko od położenia i czasu:

(25.31)

Zatem równość (25.27) jest równaniem niezależnym od czasu zależącym od energii układu, a (25.31) zależnym od czasu, niezależną od niej.

Równanie Schrödingera jako szczególny przypadek teorii kwantów Kliena-Gordona

[edytuj]

Równanie niezależne od czasu jest w postaci (25.12). Energia całkowita cząstki możemy wyrazić w zależności od sumy jej energii mechanicznej znanej z mechaniki klasycznej będących sumę energii kinetycznej i potencjalnej, też składa się z energii spoczynkowej (ta energia posiadana jest przez cząstkę, gdy ona spoczywa) znanej ze szczególnej teorii względności, która jest przestawiona jako:

(25.32)

Równanie (25.32), która jest równaniem dokładnym podstawmy do równania Kliena-Gordona nie zależnego od czasu (25.12), dostajemy równość: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Dokonujemy działań z lewej stronie równości różniczkowej Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., która występuje przed funkcją falową, dostajemy: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Dokonując redukcji pewnych wyrazów, które są takie same jak po lewej i prawej stronie naszego równania: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Ponieważ energia mechaniczna cząstki i jego energia potencjalna są o wiele mniejsza od jego energii spoczynkowej tej samej korpuskuły, więc możemy to nasze równanie zapisać w przybliżeniu: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Dzielimy obie strony równania Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. przez podwojoną energię spoczynkową naszej badanej cząstki Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., dostajemy: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Przenosimy wyraz związany z energią potencjalną cząstki, która jest iloczynem potencjału skalarnego cząstki i wartości ładunku cząstki na jej prawą stronę równania Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Równanie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. jest równaniem niezależnym od czasu Schrödingera Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.. Zatem udowodniliśmy, że równanie Schrödingera jest szczególnym przypadkiem równania z mechaniki kwantowej relatywistycznej Kliena-Gordona dla energii cząstki mechanicznej o wiele mniejszej od jej energii spoczynkowej, którą można obliczyć z równań z szczególnej teorii względności.

Ruch swobodny elektronu według teorii Kliena-Gordona

[edytuj]

Mamy sobie równanie Kliena-Gordona zależne od czasu w postaci Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., a jego funkcje własne opisujących cząstkę swobodną nieoddziaływającej z żadnym polem skalarnym i wektorowym pola elektromagnetycznego zapisujemy w postaci: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Widzimy, że jest to funkcja falowa związana z wektorem pędu cząstki i jej energii relatywistycznej, który jest opisana dla wszystkich punktów czasowych i położeniowych cząstki o wszystkich wektorach wodzących jaką dana cząstka może posiąść. Podstawmy rozwiązanie w postaci funkcji falowej Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. do równania Kliena-Gordona zależnego od czasu Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., dostajemy wtedy równanie algebraiczne: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Podzielmy równość Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. przez zawsze niezerową wielkość Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., bo funkcja eksponecjalna jest zawsze niezerowa przy niezerowym parametrze A, dostajemy tożsamość: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Pomnóżmy obie strony równania Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. przez kwadrat prędkości światła w próżni: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., i przemieszczając odpowiednie wyrazy w nim, tak by po prawej stronie był tylko kwadrat całkowitej relatywistycznej energii cząstki, wtedy mamy: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. W ruchu swobodnym elektronu według teorii Kleina-Gordona energia cząstki E jest powiązana z jej wartością pędu według Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i z masą spoczynkową taką samą zależnością jak w szczególnej teorii względności.

Atom wodoru według teorii Kleina-Gordona

[edytuj]

W teorii Kleina-Gordona przy opisie atomu wodoru przyjmujemy potencjał w polu jądra atomowego wodoru, którego ładunek wynosi e, który charakteryzuje prawo Coulomba, który jest potencjałem skalarnym elektrycznym zależnych od promienia kulistego r w odległości od położenia jądra atomu, który zapisujemy w postaci: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. A ponieważ elektron "krążący" wokół jadra ma ładunek ujemny, równy ładunkowi elementarnemu ze znakiem minus, czyli:Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., zatem samo równanie zależne od czasu Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. przyjmuje postać przy zerowym potencjale wektorowym i potencjale skalarnym różnych od zera wyraźnie według wzoru Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. W pierwszym wyrazie z prawej strony wykonujemy w nim napisane potęgowanie iloczynu operatora pierwszej pochodnej względem współrzędnych przestrzennych i wartości urojonej, stąd w ostatecznych perypetiach dochodzimy: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Obierzmy rozwiązanie równania różniczkowego Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. jako funkcję falową o amplitudzie zależnym od wektora położenia jakie ten nasz elektron może przyjmować: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Widzimy, że te nasze rozwiązanie jest zależne od całkowitej relatywistycznej energii cząstki, którego wartość liczymy w czasie "t", po podstawieniu prawdopodobnego rozwiązania Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. do równania Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., otrzymujemy równość różniczkową: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Dzieląc obie strony przez niezerową zawsze funkcję eksponencjalną, która wynika z jej własności, czyli przez Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. dla równania różniczkowego Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Przenosimy wszystkie wyrazy z jej prawej strony na jej lewą w równaniu Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i dzielimy obustronnie owe równanie przez stałą zależną od stałej kreślonej Plancka i prędkości światła Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., dostajemy równanie różniczkowe drugiego stopnia względem współrzędnej przestrzennej: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Napiszmy jako rozwiązanie równania Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., który posiada amplitudę rozwiązania zależnego tylko od położenia radialnego i współrzędnych przestrzennych elektronu podanej w punkcie we wzorze Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., który jest w iloczynem funkcji kulistej Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. przez iloraz pewnej funkcji zależnej od położenia radialnego przez to właśnie położenie radialne, innymi słowy jest to funkcja zależne od zmiennych kątowych i położenia radialnego w układzie kulistym jakie może przyjmować elektron: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Wykorzystujemy definicję kwadratu operatora nabla Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., czyli operatora delty Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., we współrzędnych kulistych jako funkcję położeń radialnych i kątowych w postaci Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., równanie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. po podstawieniu naszego rozwiązania Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., w którym chcemy znaleźć funkcje Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. zależne od liczby falowej l i położenia radialnego: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Mnożymy obie strony strony równania różniczkowego Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. przez współrzędną radialną Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., dostajemy równość: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Dzielimy obie strony równania Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. przez funkcję kulistą, którą jak wiemy jest zależna tylko od współrzędnych kątowych azymutalnej i zenitalnej, czyli Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., zatem otrzymujemy wyrażenie: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Napiszmy równość własną kwadratu momentu pędu przez jego wartości własne zależne od kwantowej liczby orbitalnej l, czyli jako równania własnego: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., i wykorzystując definicję kwadratu operatora momentu pędu w postaci Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i wykorzystujemy, że funkcje własne rozważanego operatora są to funkcje kuliste Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., a wartości własne kwadratu operatora momentu pędu to są wartości Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., wtedy równanie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. przechodzi w wyrażenie zależne tylko od położenia radialnego r we współrzędnych kulistych w równanie: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Obierzmy jako stałe występujące w dyspucie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., które są zależne od energii całkowiej cząstki relatywistycznej, ale nie wszystkie, są one zdefiniowane:

Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.

Po dokonanych podstawieniach zdefiniowanych stałych Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. (stała Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. zależna od masy spoczynkowej cząstki i jej energii relatywistycznej E), Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. (stała Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. zależna tylko od energii relatywistycznej cząstki) i Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. (stała Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. zwana inaczej stałą struktury subtelnej), ponadto wszystkie te stałe zależą od stałych fizycznych, omawiane stałe w powyższych trzech ostanich równaniach podstawiamy do równania różniczkowego Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., mamy ostatecznie inny równoważny wzór: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Równaniem asyptotycznym do wyrażenia Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., które jest słuszne dla r nieskończonego, jest równaniem w postaci równania różniczkowego: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. *gdzie jego rozwiązaniem jest wyrażenie funkcja eksponencjalna z argumentem iloczynu stałej Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. przez położenie radialne r i ten obiekt jest ze znakiem minus: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Wybieramy znak minus, bo w nieskończoności nasze wyrażenie znika, ze względu by funkcja Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. była całkowalna z kwadratem dla całej jego zmienności względem r, bo dla rozwiązania z plusem w nieskończonościach dąży do plus nieskończoności, czyli to rozwiązanie odrzucamy i pozostaje nam rozwiązanie eksponencjalne z minusem. Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Obierzmy rozwiązanie równania Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. według rozwiązania asymptotycznego Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. przy amplitudzie zależnym tylko od współrzędnej r: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. I policzmy pochodne wyrażenia Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., tzn. jego pierwszą i drugą podchodną względem współrzędnej radialnej:

  • pierwsza pochodna Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. względem współrzędnej radialnej r.

Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.

  • druga pochodna Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., a więc jego pierwsza pochodna wyrażenia pierwszej pochodnej Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. względem współrzędnej radialnej r.

Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Podstawiamy Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. (pierwszą pochodną Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.) i Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. (druga pochodna Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.) do równania różniczkowego Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., otrzymujemy równanie różniczkowe opisującą funkcję v(r) względem współrzędnej r: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Równanie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. dzielimy obustronnie przez zawsze niezerową i dodatnią funkcję eksponencjalną Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i redukujemy po pewnych wyrazach: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Obierzmy szereg, który jest funkcją tylko względem współrzędnej radialnej, w której występuje nieskończenie wiele współczynników Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., którego jest rozwiązaniem równości Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. w postaci nieskończonego szeregu potęgowego: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Policzmy pierwszą pochodną względem współrzędnej radialnej r szeregu potęgowego Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Policzmy teraz drugą pochodną v(r) względem r szeregu potęgowego Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., a więc pierwszą pochodną szeregu Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., która jest jakoby piszemy ją względem r w wspomnianym szeregu: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Podstawiamy funkcję potęgową Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. oraz pierwszą Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i drugą pochodną Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., zależne od r, do tożsamości różniczkowej Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Po lewej stronie równości Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. a właściwie jego ostatni wyraz, a w nim dokonajmy tam odpowiednich wymnożeń, dostajemy: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Dla drugiego i trzeciego wyrazu równania Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. podstawmy tam wedle schematu Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., w taki sposób, by otrzymać w tychże wspomnianych wyrazach potęgi położenia radialnego r o wykładnikach Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., zatem: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. W Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. dokonajmy tam odpowiednich grupowań wyrazów względem tych samych współczynników o tych samych indeksach dla tych samych potęg przy r-ach: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Ponieważ Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. w Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. powinno być dowolne, zatem współczynnik stojący przy tym współczynniku powinien być równy zero, a więc: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Z którego wyróżnik trójmianu równania kwadratowego ostatniego wynikowego Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. jest równy: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Widzimy, że jest ona zależna od kwadratu stałej struktury subtelnej Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. (Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.) i od orbitalnej liczby kwantowej l, która jest częścią wartości własnej operatora kwadratu momentu pędu. Stąd stała Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. jest rozwiązaniem Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. wybieramy wyrażenie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. ze znakiem plus a nie z minusem, ponieważ by szereg Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. nie miał minusowych potęg, bo gdy by miał, to osobliwość występowała by dla r=0, czyli musi zachodzić Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.. Zatem sprawdźmy nasze przypuszczenia: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Widzimy, że wyrażenie w Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. wyrażenie z plusem spełnia nasz warunek dla dowolnych l, a z minusem: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. tylko dla l=0, zatem nasz wybór stał się trafny. Zatem wybieramy w Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. rozwiązanie równania kwadratowego Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. z plusem, czyli rozwiązanie w postaci: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Podobnie jak mamy w mechanice nierelatywistycznej kwantowej przy opisie atomu wodoru, trzeba urwać tutaj na pewnym wyrazie, ponieważ rozwiązanie bez urwania dąży asyptotycznie do nieskończoności, a bez urwaniu dla dużych równanie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. ma się jako: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Zatem współczynniki Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. są to współczynniki rozwinięcia funkcji Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. co jest oczywiste, że dla r nieskończonych, ta funkcja dąży do nieskończoności, zatem należy urwać na pewnym Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., by nie było nieskończonych funkcji własnych czyli niecałkowalnych z kwadratem, zatem na podstawie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., jeśli Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. oraz następne współczynniki by były równe zero, licznik czynnika stojącego przy Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. musi być równy zero, to na podstawie tego zachodzi: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Teraz podstawiamy, za Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. obliczonego wedle wzoru Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. do tożsamości przedstawionej w Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Ponieważ przyjeliśmy, że szereg Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. urywa się na wyrazie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., bo jest spełniony warunek Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., czyli powinno zachodzić: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Zatem szereg się zeruje dla nie mniejszych niż Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., dla którego wyrazy szeregu potegowego Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i na tej podstawie spełniony jest wzór Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., wedle tych dysput dostajemy wzór Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. w bardziej zwartej postaci zapisanej wedle: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Wzory opisujące pewne stałe, czyli:Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. (stała Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.), Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. (stała Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.) i Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. (stała Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.) podstawiamy do wyrażenia Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. pod te omawiane stałe, wtedy dostajemy równoważne do poprzedniewgo równanie: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Podnieśmy obie strony tożsamości Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. do kwadratu, by w nim zlikwidować wszystkie występujące pierwiastki i dlatego dokonujemy tejże operacji: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Pomnóżmy obustronnie wyrażenie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. przez pewną stałą zależną od stałej kreślonej Plancka i prędkości światła Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., ono przyjmuje kształt: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Korzystajmy teraz z definicji Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. dla wyrażenia Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., owe równanie da się przedstawić wedle uproszczonego sposobu: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Idąc dalej, obierzmy parametr Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., który podstawimy do wzoru Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. ułatwiający nam pewne określone późniejsze przekształcenia, który ten parametr jest zdefiniowany: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. A zatem z Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. według parametru zdefiniowanego w Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., otrzymujemy pewne wyrażenie z którego będziemy wyznaczać energię cząstki (elektronu): Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. W ostatnim wynikowym równaniu Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. wyznaczamy czemu jest równa energia cząstki relatywistycznej w zależności od masy spoczynkowej elektronu, kwadratu struktury subtelnej i parametru Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Następnie wykorzystując definicję Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. napisaną wedle wzoru Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. jako funkcję orbitalnej liczby kwantowej i parametru Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., biorąc to wszystko do równania Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., mamy: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Dokonajmy przybliżeń w tym celu obierzmy stałą Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., która jest zależna od kwantowej liczby orbitalnej, stałej struktury subtelnej i elementu Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., który piszemy: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Wzór Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. po podstawieniu do niego wyrażenia na zmienną Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. napisaną wedle wzoru Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. ma się: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Rozłóżmy wyrażenie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. w szereg Taylora względem parametru Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., czyli kwadratu stałej strukury subtelnej. Wyrażenie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. przyjmuje wartość dla Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Pierwsza pochodna wyrażenie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. zapisujemy wedle sposobu licząc ją względem kwadratu struktury subtelnej: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Wartość pierwszej pochodnej Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. wyrażenia Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., względem kwadratu struktury subtelnej dla parametru α równej zero, piszemy: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Druga pochodna wyrażenia Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. względem kwadratu struktury subtelnej, a więc pierwsza pochodna Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. ma kształt: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Wyrażenie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. jako druga pochodna względem wspomnianego parametru dla Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. przyjmuje postać: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. A zatem rozwinięcie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., według Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. (wartość funkcji dla stałej struktury subtelnej równej zero), Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. (pierwsza pochodna względem kwadratu struktury subtelnej dla niej równej zero), Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. (druga pochodna względem kwadratu struktury subtelnej dla niej równej zero), te nasze rozwinięcie z dokładnością do wyrazów drugiego rzędu: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Wiemy, jednak że na podstawie definicji zmiennej Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. zdefiniowanej wedle równości Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i przybliżając ją względem małego parametru kwadratu struktury subtelnej, wtedy ten parametr piszemy: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Określmy Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., zatem z definicji Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., która jest większa niż jeden, zatem orbitalna liczba kwantowa przyjmuje takowe wartości skwantowane: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Ostatecznie wzór na zmienną Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. napisany w sposób przybliżony względem małego parametru kwadratu struktury subtelnej, dla którego ta nasza zmienna jest zdefiniowana wedle wzoru Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., jest napisana: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Określmy odwrotność parametru Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. napisaną w sposób przybliżony Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., dokonując dalszych przybliżeń dla małości wyrazów występujących w nawiasie wspomnianego wyrażenia występująca po jedynce: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Dalej kwadrat odwrotności zmiennej Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. wyrażenia Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., pisać go z dokładnością do wyrazów kwadratowych wielkości α, bo w Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. w drugim wyrazie w nawiasie występuje kwadrat tej wspomnianej wielkości: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Podstawiamy wzór Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. (kwadrat odwrotności zmiennej Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.) do Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. będących rozwinięciem w szereg Taylora względem omawianego tam parametru do drugiego wyrazu w nawiasie, dostajemy: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Wyrażenie na całkowitą energię elektronu w polu jadra atomowego wodoru, uwzględniając efekty relatywistyczne jest równy energii spoczynkowej elektronu, energii obliczonej wedle mechaniki kwantowej nierelatywistycznej i z poprawką zależną od orbitalnej liczby kwantowej, ale głównej w trzecim jego składniku, jest ona również zależna od czynnika struktury subtelnej Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., która jest względnie mała i dlatego w teorii nierelatywistycznej ten trzeci składnik jest często pomijany, zatem ta nasza energia elektronu w polu jądra atomowego atomu wodoru jest równa: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.

  • gdzie energia Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., którą jak udowodnimy jest energią obliczoną z nierelatywistycznej teorii kwantowej:

Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Policzmy skrajną różnicę poziomów dla ściśle określonego n między orbitalną liczbą kwantową l=0, a l=n-1, bo ta liczba przyjmuje wartości skwantowane wedle Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Jak widać rozszczepienie jest rzędu Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., jednak rozszczepienie przewidywane przez teorię Kleina-Gordona jest dwukrotnie większe niż uzyskano doświadczalnie.