Przejdź do zawartości

Mechanika kwantowa/Zasada wariacyjna Schwingera

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Mechanika kwantowa
Mechanika kwantowa
Zasada wariacyjna Schwingera

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Kwantowo mechaniczne równanie Diraca zostało otrzymane z pominięciem zasady konstrukcji równania własnego. Nade wszystko, to równanie otrzymaliśmy konstruując gęstość Lagrangianu, aby otrzymać później równanie Klieina-Gordona lub Diraca.

Pierwszym krokiem do mechaniki kwantowej było zastąpienie funkcji pędu i położenia przez ich operatory co to nazywamy pierwszą kwantyzacją. Metodą podaną przez Schwingera jest zastąpienie funkcji pola Φ i ich pochodne czasowe (w teorii Kliena-Gordona) lub ich sprzężenia (w teorii Diraca) przez ich odpowiednie operatory, tzn. , , których nazwijmy operatorami "położenia" i "pędu" (lub prędkości), tą procedurę nazywamy drugą kwantyzacją.

Przejście między klasycznym i kwantowym Hamiltonianem, a zasada wariacyjna Schwingera[edytuj]

Ideom mechaniki kwantowej jest prowadzenie pewnych operatorów w zamian za wielkości skalarne lub wektorowe w mechanice kwantowej, co wykorzystamy w metodzie kwantyzacji Schwingera. W mechanice teoretycznej wprowadzono tożsamość na nawiasach Poissona (MT-8.22), dzięki której możemy udowodnić tożsamość, którą przestawimy wzorem (MT-8.28), które jeszcze raz tutaj powtórzymy:

(34.1)

W mechanice kwantowej jest podobny wzór (13.5), które jest to równania Ehrenfesta, które dla funkcji operatora piszemy jako pochodna zupełna tejże funkcji względem czasu:

(34.2)
  • gdzie: jest to hamiltonian (operator energii całkowitej układu lub cząstki) według mechaniki kwantowej.

Równania kwantowe propagacji operatora (34.2) można otrzymać z równań klasycznych propagacji funkcji F (34.1) poprzez podstawienie według zasady:

(34.3)

Jeśli mamy lagrangian, to utwórzmy o nie oznaczoną całkę działania według schematu:

(34.4)

Naapiszmy wariancję S podanej według definicji (34.4) rozpisując ją według przepisu:


(34.5)

Drugi wyraz ostatniej całki znika, bo zakładamy, że prawa fizyki są takie, że jest spełniona zasada najmniejszego działania Eulera-Lagrange'a, ten wyraz przedstawiamy:

(34.6)

We wzorze (34.5) drugi wyraz znika, bo zachodzi (34.6), a jego pierwszy wyraz nie znika, bo w mechanice kwantowej są to punkty ruchome, ponieważ w punktach końcowych i początkowych wariacja nie zeruje się nigdy, natomiast w mechanice klasycznej (po pominięciu efektów kwantowych) rozważana wariacja znika, tą naszą zasadę wariacji nazywamy kwantową zasadą wariacyjną Schwingera, to wyrażenie na wariację funkcjonału S przyjmuje dla naszego przypadku postać:

(34.7)

Ale funkcje patrząc na równania (34.5), a także na (34.7), są w postaci:

(34.8)

Policzmy dla dowolnej funkcji F(q) nawias Poissona:

(34.9)

Odpowiednikiem nawiasu Poissona według w mechanice kwantowej jest operator napisany jako , bo (34.3), zatem możemy napisać na postawie (34.9), ale kwantowo.

(34.10)

Jeśli , to według (34.10), korzystając przy okazji jednocześnie z komutacji operatorów współrzędnych położenia i pędu (7.6), możemy przejść do obliczeń na liczbach ogólnych:

(34.11)

A więc otrzymaliśmy tożsamość, tzn. doszliśmy do tego, że skrajnie lewa i skrajnie prawa strona wyprowadzenia (34.11) są sobie równe, a więc zasada (34.10) jest poprawnie skonstruowane.

Dla układu cząstek zachodzi operator w mechanice kwantowej (operatorowo):

(34.12)

A więc, jeśli , to wariacja funkcji F napisaną wzorem (34.10) jest napisana według praw mechaniki kwantowej dotyczące komutacji pewnych operatorów według obliczeń:

(34.13)

Napiszemy sobie funkcję Gp, która jest zdefiniowana w reprezentacji pędowej w analogii do Gq, którego to definiujemy w reprezentacji położeniowej podanych w punkcie (34.12):

(34.14)

A także podamy wzór na wariację operatora , którego definicja jest podana przy pomocy komutatora:

(34.15)

Udowodniając wzór (34.15) przy pomocy nawiasów Poissona według mechaniki klasycznej można wykazać:

(34.16)

Zamienimy nawias Poissona na komutator w (34.16), według zasady (34.3). W ten sposób udowodniliśmy na podstawie (34.16), że wyrażenie (34.15) jest zupełną prawdą. A teraz zdefiniujmy nowy operator , który można otrzymać z poprzednich operatorów , definiując go wedle:

(34.17)

Jeśli mamy funkcję F(pq), to jej wariację możemy zdefiniować wedle zasady:

(34.18)

Według mechaniki klasycznej na nawiasach Poissona, jeśli zdefiniujemy G (34.17), czyli jako sumę wyrażeń (34.12) i (34.14), to można przejść do właściwego sedna dowodu na nawiasach Poissona:

(34.19)

Ze wzoru (34.18) można przejść od wzoru (34.19) poprzez zastąpienie wyrażenia, który jest nawiasem Poissona jej odpowiednikiem kwantowym wedle zasady (34.3). Jeśli w mechanice kwantowej zachodzi relacja , to możemy napisać:


(34.20)

Na podstawie dowodu (34.20) udowodniliśmy, że zachodzi tożsamość, według zasady (34.18) otrzymaliśmy czego się spodziewaliśmy.

Zasada wariacyjna, a pole Kleina-Gordona[edytuj]

Znając gęstość Lagrangianu policzymy czemu jest równy operator Schwingera w "pędowej" i "położeniowej" reprezentacji i policzymy komutatory będących kombinacją tychże wielkości według naszej zasady wariacyjnej. Gęstość Lagrangianu z definicji gęstości lagrangianu dla teorii Kleina-Gordona, która jest napisana w punkcie (29.24), co jego definicję tutaj przepiszemy:

(34.21)

Napiszmy funkcjonał S, który jest całką z gęstości Lagrangianu (34.21) względem współrzędnych czasoprzestrzennych:

(34.22)

Policzmy wariacje funkcjonału δS według wzoru podanego w punkcie (34.22) wykorzystując przy tym definicję o pochodnej iloczynu:

(34.23)

Wykonajmy częściowe całkowanie drugiego wyrażenia, który jest przestawiony we wzorze wyrażenia w (34.23) poprzez części względem współrzędnych przestrzennych:

W powyższych obliczeniach wykorzystano, że wariacja δΦ w punktach końcowych znika względem współrzędnych przestrzennych. Wykonajmy całkowanie przez części pierwszego wyrażenia w (34.23) względem czasu:

Mając dwa ostatnie obliczenia podstawmy je do wzoru (34.23), to otrzymujemy całkę działania z pewnej funkcji:

(34.24)

Pierwszy składnik sumy w (34.24) jest to równanie relatywistyczne mechaniki kwantowej (29.30) i dlatego według powyższej tożsamości po skorzystaniu z tychże omówień możemy powiedzieć:

(34.25)
  • gdzie funkcja pola "pędu" określamy jako pochodna cząstkowa funkcji "położenia" względem czasu:
(34.26)

W reprezentacji pędowej, podobnie jak w (34.25), definiujemy jako całkę z iloczynu funkcji położenia i wariacji funkcji "pędu" z dokładnością do stałej, którą jest odwrotność prędkości światła:

(34.27)

Zastępując funkcję Φ przez operator położenia , a Π przez operator pędu , otrzymujemy wzory na operatory i , których definicja jest przestawiona w postaci całkowania względem współrzędnych przestrzennych:

(34.28)
(34.29)

Mając operator Schwingera możemy napisać, że wariacja operatora jest równa wyrażeniu zbudowanej przy pomocy komutatora w sposób:

(34.30)

Policzmy wariancję kładąc , wiedząc że rolę współrzędnych spełnia operator , a pędu operator "pędu" , korzystając z faktu (34.28), a także (34.30), jeszcze będziemy wykorzystywać fakt, że operatory i są nawzajem przemienne.


(34.31)

Równość (34.31) jest spełniona gdy nasza funkcja podcałkowa jest wprost proporcjonalna do delty Diraca pomnożonej przez iloczyn prędkości światła, stałej Plancka i jednostki urojonej.

(34.32)

Możemy wykorzystać (34.32) i udowodnić stwierdzenie (34.31), który jest pewnym komutatorem, by dojść potem do tożsamości:

(34.33)

Zdefiniujemy nowy operator , który możemy przestawić jako sumę operatorów w reprezentacji położeniowej (34.28) i pędowej (34.29), jako:

(34.34)

Ogólnie mamy według zasady (34.18) możemy napisać wariację operatora , którego definicja jest:

(34.35)

Podstawiając za (34.28) i za (34.29) we (34.34), a także przyporządkujemy za funkcję operator położenia, czyli napiszemy jego definicję , na podstawie (34.35) możemy dojść do wniosku:

(34.36)

By tożsamość (34.36) była spełniona, to powinny być spełnione tożsamości na operatorach "położenia", a podobnie zachodzi na operatorach "pędu":

(34.37)
(34.38)

Zasada wariacyjna, a pole Diraca[edytuj]

Całkę działania w teorii wariacyjnej możemy zapisać dla mechaniki kwantowej Diraca, jeśli skorzystamy przy tym z definicji gęstości Lagrangianu, którego definicji jest podana w punkcie (29.43) dla mechaniki kwantowej Diraca, naszą wspomnianą całkę działania przy pomocy tej ostatniej wielkości możemy przepisać w postaci:


(34.39)

Następnie policzmy wariację działania S względem funkcji własnej równania własnego Diraca zależnego od czasu, czyli funkcji ψ, korzystając z definicji funkcjonału (34.39):

(34.40)

Pierwszy składnik w (34.40) możemy rozpisać przy wykorzystaniu definicji operatora (29.37).

(34.41)

Dokonajmy całkowania pierwszej całki występujące w obliczeniach (34.41) poprzez całkowanie przez części:

(34.42)

Dokonajmy całkowania drugiej całki występujące w obliczeniach (34.41) przez części, zatem:

(34.43)

W obliczeniach na liczbach ogólnych wykorzystano, że znika w punkcie początkowym i końcowym dla krzywych mającej punkty końcowe stałe w przestrzeni, tylko krzywa pomiędzy tymi punktami może inaczej przebiegać. Wyrażenie (34.41), przy pomocy obliczeń (34.42) i (34.43), piszemy:


(34.44)

Następnie wstawiamy wyrażenie (34.44) do wariancji funkcjonału (34.40), mamy:


(34.45)

Drugi wyraz w (34.45) jest równy zero według równania Diraca w mechanice kwantowej relatywistycznej (29.35), to powiemy, że zachodzą związki na funkcje skalarne na funkcję "pędu" i "położenia":

(34.46)
(34.47)

Operatorowo zastępując wielkości klasyczne jej wielkościami operatorowymi, tzn. zastępujemy ψ operatorem "pędu" a ψ+ operatorem "pędu" , wtedy możemy napisać operatory Schwingera, tzn. i , które są całkami zbudowanej na operatorach "pedu" i "położenia" względem współrzędnych położenia w czteroprzestrzeni:

(34.48)
(34.49)

Napiszmy operator Schwingera w następującej postaci przy definicjach odpowiedników operatorowych do (34.48) i (34.49), zatem:

(34.50)

Napiszmy zasadę wariacyjną w mechanice kwantowej Diraca przy pomocy operatora i definicji operatora podaną w punkcie (34.50):

(34.51)

Korzystając ze wzoru (34.18), który jest słuszny również tutaj przy definicji (34.50), i biorąc funkcje korzystając z założenia, że operatory oraz antykomutują ze sobą, wtedy można napisać z definicji funkcji operatorowej (34.50) wniosek:



(34.52)

We obliczeniach (34.52) zauważamy, że zachodzą wnioski antykomutacyjne na operatorach "pędu" i "położenia", to przepisy tychże antykomutatorów są:

(34.53)
(34.54)

Wtedy wyrażenie (34.52) przy pomocy (34.53) możemy napisać w celu dowodu tego ostatniego, że tak jest:

(34.55)

Dalej, gdy obierzemy inny operator , możemy dojść do następnych równań przy założeniu, że poniższe wyrażenie jest tożsamością:



(34.56)

W obliczeniach (34.56) nalezy wykorzystać warunek (34.54) i na jej podstawie wynika też tożsamość:

(34.57)

Własności operatorów kreacji i anihilacji, a pole Kleina-Gordona[edytuj]

Napiszmy rozwiązanie równania pola Kleina-Gordona i jego sprzężenie zespolone, przepisy ich są:

(34.58)
(34.59)

Wstawiamy równanie (34.58) do równania pola Kleina-Gordona (29.30) dla przestrzeni trójwymiarowej, otrzymujemy:

(34.60)

Założymy, że cząstka znajduje się w sześcianie o długości jakiegoś jednego bogu równym L. Warunkami brzegowymi dla naszego przypadku są to przepisy zapisane jako:

(34.61)
(34.62)
(34.63)

Wszystkie te trzy warunki tzn. (34.61), (34.62) oraz (34.63) sprowadzają się do jednego równania dla współrzędnej j-tej wektora położenia dla j=1,2,3:

(34.64)

Wektor falowy, na podstawie obliczeń (34.64), możemy przestawić w postaci ogólnego wzoru przy pomocy trójki liczb całkowitych podanej też w tej linijce:

(34.65)
(34.66)

Rozwiązaniem równania Kleina-Gordona (29.30), możemy napisać w bazie na funkcjach (34.71), (34.72), przyjmuje postać:

(34.67)

Korzystając ze wzoru na "kwantowy pęd" (34.26), co możemy napisać wzór na "pęd" w zależności od położenia przestrzennego i czasu różniczkując (34.67) względem czasu, stąd:

(34.68)

W (34.67) i (34.68) uważaliśmy za pewne funkcje i jako pewne funkcje skalarne zależne od współrzędnych w czteroprzestrzeni, a teraz niech te funkcje uważajmy jako operatory, tzn.: jako oraz , którego definicję podamy najpierw dla operatora zapisanej według tożsamości (34.67) zastępując przy okazji b+ i b- przez operatory kreacji i anihilacji, i w ten sposób dostajemy wniosek:

(34.69)

A później dla operatora zapisanej według tożsamości (34.68) zastępując w nim przy okazji b+ i b- przez operatory kreacji i anihilacji by otrzymać:

(34.70)

Operator (34.69) mnożymy przez , a (34.70) przez jednostkę urojoną , następnie dodajemy i odejmujemy je od siebie, w ten sposób otrzymujemy następujący układ równań:

(34.71)

Pomnóżmy pierwszą równość układu równań (34.71) przez: , a drugą przez: , dalej scałkujemy te dwa równania otrzymując:

(34.72)

Przy obliczeniach (34.72) w celu wyprowadzenie wyrażeń na operatory kreacji i anihilacji skorzystaliśmy z własności:

Z układu równań (34.72) można otrzymać układ równań na operatory kreacji i anihilacji w zależności od operatorów "położenia" i "pędu" w postaci układu dwóch równań:

(34.73)

Policzmy teraz komutator korzystając z układu równań (34.73):


(34.74)

Wyznaczmy czemu jest równy komutator występujących we wyrażeniu (34.74), który przepiszemy i rozwiniemy poniżej:


(34.75)

Wyrażenie (34.74), które chcemy policzyć, przy pomocy obliczeń pomocniczych zapisanych w punkcie (34.75), do którego wykorzystamy tożsamości komutacyjne (34.32), (34.37) i (34.38), by potem policzyć komutator na operatorach anihilacji i kreacji:



(34.76)

Gdy założymy w obliczeniach (34.76), że mamy , to otrzymujemy tożsamość:

(34.77)

Ale gdy założymy w obliczeniach (34.76), że zachodzi: , to na pewno otrzymujemy:

(34.78)

Udowodniliśmy na podstawie dwóch otrzymanych równań, że ogólnie równanie łączące dwie tożsamości zapisanej powyżej, tzn. (34.77) i (34.78) dla dowolnego k i k', można zapisać według ogólnej zasady:

(34.79)

Następnie wyznaczmy komutator oparty tylko na operatorach anihilacji przy wykorzystaniu wzorów (34.73):







(34.80)

W obliczeniach w (34.80) wyznaczyliśmy komutator, którego definicja jest zapisana przy pomocy operatorów kreacji i anihilacji dla bozonów:

(34.81)

Następnie krokiem jest wyznaczenie wyrażenia oparte tylko na operatorach kreacji:







(34.82)

W obliczeniach w (34.82) wyznaczyliśmy komutator operatorów kreacji według przepisu:

(34.83)

W tym rozdziale otrzymaliśmy ogólne prawa komutacyjne operatorów kreacji i anihilacji dla bozonów, które podaliśmy z dowodami, ale innym sposobami niż w rozdziale "Reprezentacja liczby obsadzeń-operatory kreacji i anihilacji bozonów".