Przejdź do zawartości

Mechanika kwantowa/Postulat czwarty mechaniki kwantowej

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Mechanika kwantowa
Mechanika kwantowa
Postulat czwarty mechaniki kwantowej

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Postulat czwarty mechaniki kwantowej (Pos.  11.1)
Ten postulat dotyczy o rozwoju funkcji falowej w czasie, którego równanie jest określone przez równanie falowe zależne od czasu.

W przyrodzie wszystko się zmienia, a więc jest zależne od czasu, rzadko się zdarza, aby układ falowy był niezależny od czasu. Równanie zależne od czasu jest:

(11.1)

Wyprowadzenie równania falowego zależnego i niezależnego od czasu[edytuj]

W poniższych rozważaniach mówimy, że wektor położenia, pędu, czy wektora falowego, mówimy, że są to wektory kolejno poszczególnych cząstek wchodzących w skład układu zamkniętego, tzn.:

(11.2)
(11.3)
(11.4)
  • Gdzie to liczba wymiarów przestrzeni, a jest to liczba cząstek.

Prawa mechaniki nierelatywistycznej kwantowej Schrödingera rozważane są słuszne jedynie dla pól elektromagnetostatycznych, czyli dla pól elektrycznych i magnetycznych, stałych w czasie.

Rozważania ogólne[edytuj]

Wyprowadzimy według mechaniki klasycznej dlaczego operator pędu, momentu pędu, energii i równanie zależne od czasu jest takie a nie inne. Wprowadźmy równanie całkowitej funkcji falowej. Wiadomo, że liczba falowa w zależności od pędu uogólnionego wyraża się wzorem (1.26), stąd można wyznaczyć wektor liczby falowej:

(11.5)

W równaniu (11.5), jeśli znamy wektor pędu uogólniony cząstki , jeśli traktować cząstki jako korpuskuły, możemy wyznaczyć wektor falowy , jeśli traktować cząstki jak fale. Częstotliwością kołową wyrażamy ze wzoru (1.15):

(11.6)

W równaniu (11.6), jeśli znamy energię cząstki , to można policzyć jej częstotliwość kołową, jeśli fotony traktować jako fale. Jeśli potraktować cząstki jako fale, to jego funkcja falowa w zależności od wektora liczby falowej i jego częstotliwości kołowej jest:

(11.7)

W (11.7) iloczyn skalarny wektora falowego i wektora położenia dla N cząstek jest napisany po wszystkich współrzędnych cząstek wektora falowego i położenia cząstek. Gdzie jest to stała normująca funkcję falową (11.7). Podstawiając wielkość za wzór (11.5) (zależność od wektora pędu uogólnionego) i za ω wzór (11.6) (zależność od energii niesionej przez falę), mamy wtedy funkcję falową dla skokowych wartości i :

(11.8)

Lub dla ciągłych zmian wartości i :

(11.9)

W równaniach (11.8) i (11.9) pęd jest to pęd uogólniony po wszystkich współrzędnych N cząstek, czyli tych współrzędnych jest 3N, a tak samo wektor położenia jest po 3N współrzędnych przestrzennych. Albo dla dyskretno-ciągłych zmian wektora i , tzn. gdy całkowita funkcja falowa jest sumą części dyskretnej i ciągłej ortogonalne między sobą:

(11.10)

W równaniach odpowiednio (11.8) i (11.9) w funkcjach na i wyznaczamy stałą normując je dla odpowiednio do delty Kroneckera albo delty Diraca. W (11.8) i (11.9) we wzorach na można powiązać energię z pędem uogólnionym według wzoru na równanie własne energii równania niezależnego od czasu. Funkcje w powyższych dwóch wzorach to są funkcje falowe przedstawiające fale prawdopodobieństwa. Wyznaczmy wyrażenie, czyli pierwszą pochodną wyrażenia funkcji falowej (11.8) i (11.9) zależną od liczby pędu i energii (jeśli traktować cząstki jako fale) względem i-tej współrzędnej położenia:

(11.11)

A k-ta współrzędna operatora pędu według (11.12) tak samo jak dla operatora pędu zdefiniowanej w mechanice kwantowej, czyli tak jak w punkcie (6.3) jest zdefiniowana jako:

(11.12)

Na podstawie (11.11) i (11.12) mamy równanie, które jest równaniem własnym operatora pędu dla współrzędnej k-tej bo (11.12):

(11.13)

Sumujemy funkcje falowe ze współczynnikami do dla stanów dla pędu uogólnionego k-tej współrzędnej oraz ogólnie różnych energii otrzymując:

(11.14)

Wyprowadzenie współrzędnych operatora momentu pędu jest oczywiste bo możemy podziałać na (11.14) operatorowo wyrażeniem , co w końcu sumując ze współczynnikami funkcje ze współczynnikami do dla takich samych i różnych , otrzymujemy równanie własne operatora momentu pędu:

(11.15)

Operator momentu pędu i wektor momentu pędu są po 3N współrzędnych.

Dowód niepełny[edytuj]

Następnie wyznaczmy drugą pochodną wyrażenia falowego (11.8) i (11.9) względem k-tej współrzędnej położenia, co stąd dla pędu uogólnionego:


(11.16)

Na podstawie (11.14) możemy zapisać równanie własne operatora różnicy operatora pędu i iloczynu dla ciała o ładunku przez potencjał wektorowy pola magnetycznego , wiedząc, że wskaźnik jest po 3N współrzędnych (wskaźnik jest od 1 do 3N) dla N cząstek, jest to oznaczenie tego samego ładunku i-tej cząstki (wskaźnik jest do 1 do N), który to wszystko razem zapisujemy:


(11.17)

Zakładamy, że , jest operatorem zależnym ogólnie od czasu i od położenia, a jest jego wartością własną. Na równanie własne (11.17) podziałajmy operatorem obustronnie, tak by otrzymać równanie własne kwadratu tego naszego operatora, otrzymujemy:


(11.18)
  • Powyższe równanie zachodzi przy polu magnetostatycznym (w polu magnetycznym stałym) przy cechowaniu Coulomba dla działu magnetostatyki, bo wektor jest funkcją.

Wtedy równanie (11.18) dla różnych (cząstek) możemy przepisać:

(11.19)

Energia mechaniczna cząstki w polu elektromagnetycznym z uwzględnieniem potencjału wektorowego i skalarnego przedstawia się:

(11.20)
  • gdzie:
  • jest to pęd uogólniony cząstki w polu wektorowym magnetycznym .
  • m-masa cząstki
  • jest energia potencjalna układu cząstek.
  • energia mechaniczna układu cząstek.

Wymnóżmy obie strony (11.20) przez funkcję , idąc dalej podstawiamy wzór (11.19) do tak otrzymanego wzoru, a dokładniej do części z energią kinetyczną, mamy:


(11.21)

Oznaczmy jako operator energii wyrażenie w postaci:

(11.22)

Wyrażenie w równaniu (11.22) nazwijmy Hamiltonianiem według (6.41), wtedy otrzymujemy równanie własne energii stanu przy pomocy definicji operatora Hamiltonianu (11.22), wtedy równość (11.21) piszemy:

(11.23)

Sumując ze współczynnikami do biorąc takie by były dla stanów dla energii oraz ogólnie różnych pędów uogólnionych , wtedy:

(11.24)

Równość (11.24) jest równaniem własnym operatora energii. Jak widzimy w (11.24) operator jest to operator energii mechanicznej cząstki bo wartością własną jest ta właśnie energia tego stanu, tzn. . Policzmy pochodną wyrażenia funkcji falowej (11.8) i (11.9) względem czasu:

(11.25)

A zatem z równania różniczkowego (11.25) po przekształceniach, mamy:

(11.26)

Sumując ze współczynnikami do we wzorze (11.26) biorąc takie by były dla stanów dla energii oraz ogólnie różnych pędów uogólnionych , mamy:

(11.27)

A zatem, jeśli zachodzi (11.23) i (11.26) oraz łącząc te dwa wspomniane wzory, tzn. lewą stronę pierwszego wzoru z prawą stroną tego drugiego, dostajemy:

(11.28)

Sumujemy funkcje ze współczynnikami do dla stanów dla ogólnie różnych energii i pędów uogólnionych , wtedy:

(11.29)

Dowód pełny[edytuj]

Napiszmy wzór na średni kwadrat pędu klasyczny mając pęd uogólniony i potencjał tensorowy pola elektromagnetycznego, jako (10.1), wtedy napiszmy, gdy długość funkcji falowej jest równa jedynce, wtedy:

(11.30)
  • Powyższe równanie zachodzi przy polu magnetostatycznym (w polu magnetycznym stałym) przy cechowaniu Coulomba dla działu magnetostatyki, bo wektor jest funkcją.

A średnia operatora energii potencjalnej:

(11.31)

I średnia wartości energii mechanicznej układu:

(11.32)
  • Równanie (11.30) jest dla pojedynczej cząstki dla przestrzeni -wymiarowej, dla funkcji falowej dla cząstek.

Widzimy na podstawie wzorów na (11.30), (11.31) i (11.32), ale końcowe obliczenia, że są to średnie wielkości jakiś operatorów, z definicji średniej operatora, a i mają kolejno sens prawdopodobieństwa i gęstości prawdopodobieństwa w przestrzeni Euklidesowej n-wymiarowej. Napiszmy równanie na energię mechaniczną (hamiltonian), wtedy dowiemy się jak wyprowadzić wzór na równanie własne niezależne od czasu:

(11.33)

Podstawmy wzór na definicję średnią wartość kwadratu pędu klasycznego, tzn. (11.30), operatora energii potencjalnej, tzn. (11.31) i operatora energii całkowitej (mechanicznej), tzn. (11.32), do wzoru (11.33), zatem:




(11.34)

Do dowodu będzie potrzebny lemat:

Twierdzenie lematu na iloczynach skalarnych (Twier.  11.1)
Niech mamy spełniony wzór dla dowolnych i , to:
(11.35)
Dowód twierdzenia (Twier. 11.1) na iloczynach skalarnych (Dow.  11.1)
Udowodnijmy tożsamość, wykorzystując (11.35):
(11.36)

Też można powiedzieć na podstawie dowodu (11.36) przy dowolnym wektorze , robiąc :

(11.37)

Na podstawie dowodu: (11.36) i (11.37), mamy:

(11.38)

Odwrotny dowód też jest prawdziwy, bo z oczywistych powodów, mamy wtedy :

(11.39)
Co dowód ukończono twierdzenia (11.35).

Z definicji iloczyny skalarnego z (11.34) z twierdzenia (Twier. 11.1) według praw algebry na iloczynach skalarnych w matematyce o funkcjach falowych ogólnie zespolonych:

(11.40)

Też nożna powiedzieć naz podstawie (Twier. 11.1) elementy macierzowe względem dwóch dowolnych funkcji:

(11.41)

Dla dowolnego wektora przy ściśle określonej bazie funkcji otrzymujemy równanie niezależne od czasu własne operatora energii mechanicznej:


(11.42)

Weźmy równanie własne hamiltonianu zależne od parametru czasowego, wtedy dowiemy się, że energia jako wartość własna nie zależy od czasu:


(11.43)

Czyli na podstawie (11.43) wartość własna jest niezależna od czasu.

Twierdzenie spełnioności dowolnych średnich w mechanice kwantowej (Twier.  11.2)
Jeżeli mamy:
(11.44)

To zachodzi dla dowolnych funkcji :

(11.45)

Wzór (11.45), możemy zsumować względem przy współczynnikach, wtedy otrzymamy, mając:

(11.46)

Na podstawie (11.46) orzymujemy z (11.45):

(11.47)
Gdy średnia jest spełniona dla jednej funkcji własnej jakiegoś operatora dla (tutaj średnią podobnie się udowadnia jak w (11.47)), to jest spełniona dla jego dowolnych, bo (11.47) przy (11.46), mając (11.45).

Średnie jakiś wielkości (operatora) w równaniu na średnich są spełnione dla dowolnych funkcji na podstawie twierdzenia (Twier. 11.2), jeżeli wiadomo, że jego jedna średnia tego, dla jednej funkcji własnej tego operatora, jest spełniona w nim, w mechanice nierelatywistycznej kwantowej Schrödingera.

  • Gdzie operator hamiltonianu jest równy:
(11.48)

Napisz równanie wektora falowego:


(11.49)

Funkcje falowe i są wartościami własnymi równania falowego własnego (11.42), dalej , a tego napiszmy równanie różniczkowe w postaci:

(11.50)

Równanie własne (11.42) pomnóżmy przez , a równanie (11.50) pomnóżmy przez , w takim razie, zakładając, że operator hamiltonianu na podstawie operatora transformacji operatora hamiltonianu po przesunięciu w czasie od t=0 to t nierównej zero, generowanej przez operator , bo i , na podstawie prawa (24.17) i definicji operatora transformacji (ewolucji) (24.7) ((11.73)):

(11.51)

Końcowe równanie składamy dla różnych składamy liniowo względem stałych współczynników, wtedy na podstawie (11.49):

(11.52)

Równość (11.42) jest równaniem operatora energii niezależnym od czasu, równaniem jego własnym, a (11.52) jest równaniem zależnym od czasu operatora energii, czyli mamy na podstawie tego dwie równości:

(11.53)
(11.54)

Równanie własne pędu i operatora momentu pędu jest w postaci kolejno: (11.14) i (11.15).

Nieoznaczność czasu i energii (dowód)[edytuj]

Napiszmy położenie statystyczne cząstki wiedząc, że możemy przenieść przed całkę zastępując ją przez jego wartość średnią, w zależności od czasu i położenia początkowego wiedząc jest czasową średnią prędkości wewnątrz czasu :

(11.55)

Jak wiemy cząstka od punktu do punktu porusza się przy ogólnie niestałej prędkości, zakładamy, że cząstka porusza się statytycznie przy stałej prędkości od pierwszego punktu do drugiego z prędkością , w takim razie policzmy wzór na różniczkę statystycznego położenia w zależności od czasu i położenia początkowego w czasie w przedziale wychodząc od:

(11.56)

To zależność różniczki położenia w zależności od różniczki czasu wykorzystując (11.56) przedstawia się:

(11.57)

Wykorzystując wzór na operator pędu (11.12) możemy ją przedstawić w zależności od czasu wykorzystując tożsamość (11.57):

(11.58)

Wyznaczmy średnią operatora pędu wykorzystując tożsamość (11.58), co nam wyjdzie, że ona jest równa średniej energii wziętej z minusem podzielonej przez i-tą współrzędną średniej prędkości wiedząc, że prędkość możemy włożyć przed całkę lub sumę w postaci wykorzystując równanie zależne od czasu mechaniki kwantowej (11.29):

(11.59)

Wyznaczmy nieoznaczność pędu wiedząc, że prędkość możemy włożyć ją przed całkę lub sumę wiedząc, że zachodzi równanie zależne od czasu operatora energii (11.29), średnia operatora pędu (11.59) i równanie zależne od czasu kwadratu operatora energii (11.29):


(11.60)

Na podstawie (11.60) i nierówności (10.65) można zapisać nieoznaczoność czasu i energii, mówiąc z jaką nieoznacznością zmierzymy daną energię ΔE, jeśli dany układ kwantowy istnieje w czasie Δt wykorzystując, że zachodzi (11.60) i nieoznaczność położenia w zależności od nieoznaczności czasu (11.55):

(11.61)

Stąd otrzymujemy nieoznaczność czasu i energii, co kończy tego dowód.

Rozwiązanie równania zależnego od czasu przy hamiltonianie niezależnym od czasu[edytuj]

Załóżmy, że hamiltonian jest niezależny od czasu i funkcje falowe, a więc załóżmy, że rozwiązanie jego jest iloczyn funkcji f zależnej od współrzędnych przestrzennych i funkcji g zależnej od wartości czasu:

(11.62)

Podstawmy przypuszczalne rozwiązanie (11.62) do równania falowego zależnego od czasu (11.1), to równanie przyjmuje wtedy takową postać:

(11.63)

Teraz dzielimy obie strony równania (11.63) przez funkcję f(xyz)g(t), wtedy otrzymujemy:

(11.64)

Ponieważ prawa strona jest zależna tylko od czasu, a lewa od xyz, jeśli hamiltonian cząstki jest niezależny od czasu (energia potencjalna jest niezależna od czasu w badanym układzie), to:

(11.65)

W równaniu (11.65) lewa strona jest zależna tylko od współrzędnych przestrzennych, a prawa od współrzędnych czasowej, aby prawa i lewa strona były sobie równe, to obie strony powinny być równe stałej. Równanie (11.65) możemy rozdzielić na dwa niezależne równania od siebie w postaci:

(11.66)
(11.67)

Oznaczmy przez C=E, jako energię cząstki w układzie, bo ona jest wartością własną operatora energii całkowitej cząstki (8.106), a zatem można powiedzieć, że z (11.66) i (11.67) wynikają dwa następne równania:

(11.68)
(11.69)

Dzielimy obie strony równania (11.69) przez stałą , wtedy dostajemy inne równoważne równanie:

(11.70)

Dokonajmy całkowania obu stron równoności różniczkowej (11.70) względem czasu:

(11.71)

Rozwiązanie równania (11.1) wedle iloczynu funkcji zależnej od współrzędnej przestrzennych f(xyz) i czasu g(t) wedle (11.62), ale pamiętając, że (11.62) jest jednych z rozwiązań równania falowego niezależnego od czasu, czyli mamy przy tym, że to równanie może mieć więcej takich f(xyz), a każdej tej funkcji odpowiada odpowiednia energia Eλ, to rozwiązanie zapisujemy w postaci sumy ze współczynnikami rozwinięcia aλ:

(11.72)

Operator ewolucji[edytuj]

Operatorem ewolucji nazywamy operator zdefiniowany w postaci eksponentu z funkcji proporcjonalnej do iloczynu z minusem czasu i operatora energii:

(11.73)

Całkowite rozwiązanie dla t=0, które jest rozwiązaniem Hamiltonianu (równania falowego zależnego od czasu), możemy zapisać wedle schematu przy współczynnikach rozwinięcia aλ:

(11.74)

Pomocnym równaniem własnym do równania własnego operatora energii jest równanie w postaci:

(11.75)

Równanie własne (11.75) udowodnijmy na podstawie indukcji matematycznej, zatem dla n=1 wspomniane równanie przechodzi w równanie niezależne od czasu (8.121). Następnym krokiem jest założenie, że równanie (11.75) jest spełnione i udowodnijmy, że ono jest spełnione dla n+1, pomnóżmy obustronnie równanie (11.75) przez operator energii, dostajemy, że:

(11.76)

Ponieważ operator energii jest liniowy, zatem możemy potęgę En przenieść przed ten operator, zatem po te operacji i z definicji równania własnego operatora energii możemy zapisać wychodząc od wzoru (11.76):

(11.77)

Co kończy dowód twierdzenia (11.75).

Podziałajmy eksponencjalnym operatorem ewolucji (11.73) na funkcję własną rozwiązania równania własnego operatora energii dla t=0, czyli (11.74), wykorzystując rozwinięcie funkcji eksponecjalnej tegoż operatora w szereg Taylora:



(11.78)

Zatem na podstawie (11.78) otrzymaliśmy wyrażenie podczas działania operatora ewolucji na funkcję własną operatora energii:

(11.79)

Prawa strona równania (11.79) jest taka sama jak w rozwiązaniu własnym (11.72), zatem porównujemy oba te równania, dostajemy że:

(11.80)

Rozwiązanie własne operatora energii we jego funkcjach własnych jest to rozwiązanie równania zależnego od czasu (11.1) w chwili t=0, zatem znając jego funkcję własną dla chwili zerowej możemy wyznaczyć na podstawie (11.80) funkcję własną dla dowolnej chwili, w której znajdowała się cząstka opisywana przez funkcję falową ψ(xyzt).

Gęstość znalezienia cząstki w całej przestrzeni trójwymiarowej[edytuj]

Tutaj udowodnimy, że gęstość znalezienia cząstki w całej przestrzeni trójwymiarowej, której jest rozwiązaniem równania falowego (11.1) jest równe jeden i nie zmienia się w czasie. Pochodna zupełna normy funkcji falowej jest równa po jego rozpisaniu:

(11.81)

Z równania (8.121) można otrzymać inne równanie zależne od czasu w sposób przekształcony, powstały w taki sposób do poprzedniego dzieląc jego obydwie strony przez iloczyn stałej kreślonej Plancka i jednostki urojonej, dalej korzystając z definicji odwrotności jednostki urojonej mamy:

(11.82)

Na równanie końcowego wynikowego (11.82) możemy podziałać sprzężeniem zespolonym po obu jego stronach, dostajemy następne wynikowe równoważne do poprzedniego równanie:

(11.83)

Podstawiamy równania końcowe (11.82) (przekształcone równanie falowe zależne od czasu) i (11.83) (sprzężone zespolono do poprzedniego przekształconego wzoru równania falowego zależnego od czasu) do wzoru (11.81), który jest ilorazem zmiany normy funkcji falowej przez zmianę czasu, w którym ta zmiana nastąpiła, dostajemy, że:

(11.84)

Ponieważ operator energii jest operatorem hermitowskim, to (11.84) można tak przekształcić, by zachodziła równość z definicji operatora hermitowskiego, a zatem dokonajmy tego:

(11.85)

Porównując wzór (11.85) z równaniem (11.84) przy naszych obliczeniach wynikające z hermitowskości operatora energii dochodzimy do wniosku, że jeśli prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w całej przestrzeni jest równe jeden dla t=0, to dla t≠0 gęstość znalezienia cząstki też jest równe jeden i nie zmienia się wcale w czasie.

Charakter falowy funkcji stanu[edytuj]

W wspomnianych rozdziałach o mechanice kwantowej dotychczas nie wspomnieliśmy jak wykorzystać aparat matematyczny dotyczący mechaniki kwantowej do konkretnych przypadków. Całkowita funkcja falowa, która jest rozwiązaniem równania (11.1) w bazie wektorów własnych (8.16) równania własnego iksowego operatora pędu (8.11) wyrażając przy tym energię cząstki poprzez wartość wektora falowego w postaci (8.120) przedstawia się:

(11.86)

Na podstawie (11.86) częstotliwość kołowa fali jako jednych z parametrów drań harmonicznych funkcji falowej cząstki średnio spoczywającej mającej liczbę falową k jest napisana jako:

(11.87)

Współczynniki rozwinięcia a(k) w bazie pędowej funkcji całkowitej nie mogą zależeć od czasu, a więc je policzmy możemy dla t=0 według (10.16) funkcjach bazy w przestrzeni pędowej:

(11.88)

Policzmy teraz prędkość fazową naszej cząstki, którą definiujemy jako iloraz częstotliwości kołowej, którego definicja dla naszego problemu kwantowego jest (11.87) w zależności od liczby falowej k, przez liczbę falową. Do tak otrzymanej równości wykorzystujemy fakt (8.15), do której wykorzystujemy definicję pędu klasycznego cząstki.

(11.89)

A zatem na podstawie (11.89) dostajemy wzór na prędkość fazową cząstki w zależności od prędkości cząstki w postaci:

(11.90)

A zatem prędkość fazowa cząstki równa się połowie prędkości cząstki. Policzmy teraz prędkość grupową naszej cząstki, którą definiujemy jako pochodną częstotliwości kołowej, którego definicja dla naszego problemu kwantowego jest (11.87) w zależności od liczby falowej k, względem liczby falowej. Do tak otrzymanej równości wykorzystujemy fakt (8.15), do której wykorzystujemy definicję pędu klasycznego cząstki.

(11.91)

A zatem na podstawie (11.91) dostajemy, że prędkość grupowa cząstki jest równa prędkości cząstki, jak moglibyśmy przypuszczać:

(11.92)

Według (11.92) prędkość grupowa cząstki jest równa prędkości cząstki. Napiszmy paczkę falową dla t=0. A więc wystarczy przyjąć dla t=0 funkcję falową, dla której będziemy liczyli stałą normalizacyjną:

(11.93)

W analizie matematycznej występuje całka niewłaściwa, która będzie nam potrzebna w dalszych obliczeniach.

(11.94)

Jak każda funkcja falowa w mechanice kwantowej powinna być unormowana do jedynki, czyli norma funkcji falowej (11.93) powinna wynosić jeden, co można wykorzystać tą całkę niewłaściwą (11.94) przy wyznaczaniu stałej N w naszej funkcji falowej, która jest słuszna dla t=0.

(11.95)

Z warunku normalizacyjnego (11.95) funkcji falowej (11.93) wynika, że jego stałą normalizacyjną przedstawiamy wedle wzoru:

(11.96)

Policzmy naszą całkę, która jest jakoby wersją całki (11.94), tylko że bardziej utrudnioną.

(11.97)

Teraz policzmy współczynniki a(k) rozwinięcia w bazie pędowej znając już unormowaną funkcję falową dla t=0, tzn. (11.93) przy stałej normalizacyjnej (11.96), te współczynniki wyznaczamy wedle wzoru, który jest pewną wersją wzoru (10.16) dla początkowego czasu. Oczywiste jest, że te współczynniki nie zależą w jakim czasie będziemy liczyć przy pomocy całkowitej funkcji falowej (11.86) opisującą naszą kwantową cząstkę:

(11.98)

Teraz pozostało nam policzyć funkcję falową zależną od współrzędnej iksowej i dowolnego czasu, tzn. według (11.86), napisanej w przestrzeni pędowej znając już jego współczynniki rozwinięcia, które wyliczyliśmy dla t=0, czyli (11.98), wtedy tą funkcję możemy policzyć w sposób zwarty:



(11.99)

Następnym krokiem jest policzenie gęstości prawdopodobienstwa znalezienia cząstki w przestrzeni jednowymiarowej, w tym celu należy policzyć kwadrat modułu funkcji falowej, który jest w zwartej postaci (11.99), liczymy je tak by po jego prawej stronie wyszła liczba rzeczywista, bo gęstość prawdopodobieństwa jest funkcją o wartościach rzeczywistych.



(11.100)

Zatem na podstawie (11.100) otrzymujemy, że gęstość prawdopodobieństwa cząstki zmienia się w czasie według:

(11.101)

Wedle przedstawionego wzoru (11.101), że po bardzo dużym czasie cząstkę można znaleźć gdzieś na osi iksowej, w niekreślonym punkcie, bo gęstość prawdopodobieństwa napisanej wspomnianym wzorem rozpływa się w czasie i po nieskończenie dużym czasie jest w przybliżeniu równa zero.