Mechanika kwantowa/Postulat czwarty mechaniki kwantowej

Postulat czwarty mechaniki kwantowej

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Postulat czwarty mechaniki kwantowej (Pos.  11.1)
Ten postulat dotyczy o rozwoju funkcji falowej w czasie, którego równanie jest określone przez równanie falowe zależne od czasu.

W przyrodzie wszystko się zmienia, a więc jest zależne od czasu, rzadko się zdarza, aby układ falowy był niezależny od czasu. Równanie zależne od czasu jest:

${\hat {H}}\psi _{\lambda \mu }=i\hbar {{\partial } \over {\partial t}}\psi _{\lambda \mu }\;$

(11.1)

Wyprowadzenie równania falowego zależnego i niezależnego od czasu

W poniższych rozważaniach mówimy, że wektor położenia, pędu, czy wektora falowego, mówimy, że są to wektory kolejno poszczególnych cząstek wchodzących w skład układu zamkniętego, tzn.:

${\vec {r}}=[{\vec {r}}_{i}]_{nN\times 1}\;$

(11.2)

${\vec {p}}=[{\vec {p}}_{i}]_{nN\times 1}\;$

(11.3)

${\vec {k}}=[{\vec {k}}_{i}]_{nN\times 1}\;$

(11.4)

• Gdzie $n\;$ to liczba wymiarów przestrzeni, a $N\;$ jest to liczba cząstek.

Prawa mechaniki nierelatywistycznej kwantowej Schrödingera rozważane są słuszne jedynie dla pól elektromagnetostatycznych, czyli dla pól elektrycznych i magnetycznych, stałych w czasie.

Rozważania ogólne

Wyprowadzimy według mechaniki klasycznej dlaczego operator pędu, momentu pędu, energii i równanie zależne od czasu jest takie a nie inne. Wprowadźmy równanie całkowitej funkcji falowej. Wiadomo, że liczba falowa w zależności od pędu uogólnionego wyraża się wzorem (1.26), stąd można wyznaczyć wektor liczby falowej:

${\vec {k}}={{\vec {p}} \over {\hbar }}$

(11.5)

W równaniu (11.5), jeśli znamy wektor pędu uogólniony cząstki ${\vec {p}}\;$, jeśli traktować cząstki jako korpuskuły, możemy wyznaczyć wektor falowy ${\vec {k}}\;$, jeśli traktować cząstki jak fale. Częstotliwością kołową wyrażamy ze wzoru (1.15):

$\omega ={{E} \over {\hbar }}\;$

(11.6)

W równaniu (11.6), jeśli znamy energię cząstki $E\;$, to można policzyć jej częstotliwość kołową, jeśli fotony traktować jako fale. Jeśli potraktować cząstki jako fale, to jego funkcja falowa w zależności od wektora liczby falowej i jego częstotliwości kołowej jest:

$\psi ({\vec {r}},t,{\vec {k}},\omega )=Ae^{i\left({\vec {k}}{\vec {r}}-\omega t\right)}{\mbox{ gdzie }}{\vec {k}}{\vec {r}}=\sum _{i=1}^{nN}k_{i}x_{i}$

(11.7)

W (11.7) iloczyn skalarny wektora falowego i wektora położenia dla N cząstek jest napisany po wszystkich współrzędnych cząstek wektora falowego i położenia cząstek. Gdzie $A\;$ jest to stała normująca funkcję falową (11.7). Podstawiając wielkość za ${\vec {k}}\;$ wzór (11.5) (zależność od wektora pędu uogólnionego) i za ω wzór (11.6) (zależność od energii niesionej przez falę), mamy wtedy funkcję falową dla skokowych wartości $E_{i}\;$ i ${\vec {p}}_{i}\;$:

$\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}}_{k},E_{k})=Ae^{i\left({{{\vec {p}}_{k}} \over {\hbar }}{\vec {r}}-{{E_{k}} \over {\hbar }}t\right)}=Ae^{{{i} \over {\hbar }}\left({\vec {p}}_{k}\cdot {\vec {r}}-E_{k}t\right)}=Ae^{{{i} \over {\hbar }}\left({\vec {p}}_{k}\cdot {\vec {r}}-E_{k}t\right)}\Rightarrow \psi ({\vec {r}},t)=\sum _{k}c({\vec {p}}_{k},E_{k})\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}}_{k},E_{k})\;$

(11.8)

Lub dla ciągłych zmian wartości $E\;$ i ${\vec {p}}\;$:

$\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)=Ae^{i\left({{\vec {p}} \over {\hbar }}{\vec {r}}-{{E} \over {\hbar }}t\right)}=Ae^{{{i} \over {n\hbar }}\left({\vec {p}}\cdot {\vec {r}}-Et\right)}=Ae^{{{i} \over {\hbar }}\left({\vec {p}}\cdot {\vec {r}}-Et\right)}\Rightarrow \psi ({\vec {r}},t)=\int c({\vec {p}},E)\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)d^{nN}{\vec {k}}\;$

(11.9)

W równaniach (11.8) i (11.9) pęd jest to pęd uogólniony po wszystkich współrzędnych N cząstek, czyli tych współrzędnych jest 3N, a tak samo wektor położenia ${\vec {r}}\;$ jest po 3N współrzędnych przestrzennych. Albo dla dyskretno-ciągłych zmian wektora $E\;$ i ${\vec {p}}\;$, tzn. gdy całkowita funkcja falowa jest sumą części dyskretnej i ciągłej ortogonalne między sobą:

$\psi ({\vec {r}},t)=\psi _{d}({\vec {r}},t)+\psi _{c}({\vec {r}},t)=\sum _{k}c({\vec {p}}_{k},E_{k})\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}}_{k},E_{k})+\int c({\vec {p}},E)\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)d^{nN}{\vec {k}}\;$

(11.10)

W równaniach odpowiednio (11.8) i (11.9) w funkcjach na $\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}}_{i},E_{i})\;$ i $\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)\;$ wyznaczamy stałą $A\;$ normując je dla $t=0\;$ odpowiednio do delty Kroneckera albo delty Diraca. W (11.8) i (11.9) we wzorach na $\psi ({\vec {r}},t)\;$ można powiązać energię z pędem uogólnionym według wzoru na równanie własne energii równania niezależnego od czasu. Funkcje $\psi ({\vec {r}},t)\;$ w powyższych dwóch wzorach to są funkcje falowe przedstawiające fale prawdopodobieństwa. Wyznaczmy wyrażenie, czyli pierwszą pochodną wyrażenia funkcji falowej $\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)\;$ (11.8) i (11.9) zależną od liczby pędu i energii (jeśli traktować cząstki jako fale) względem i-tej współrzędnej położenia:

${{\partial } \over {\partial x_{k}}}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)=Ae^{{{i} \over {\hbar }}({\vec {p}}{\vec {r}}-Et)}{{ip_{m}\delta _{km}} \over {\hbar }}=\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E){{ip_{k}} \over {\hbar }}$

(11.11)

A k-ta współrzędna operatora pędu według (11.12) tak samo jak dla operatora pędu zdefiniowanej w mechanice kwantowej, czyli tak jak w punkcie (6.3) jest zdefiniowana jako:

${\hat {p}}_{k}=-i\hbar {{\partial } \over {\partial x_{k}}}\Rightarrow {\hat {p}}_{k}=-i\hbar \nabla _{k}$

(11.12)

Na podstawie (11.11) i (11.12) mamy równanie, które jest równaniem własnym operatora pędu dla współrzędnej k-tej bo (11.12):

$-i\hbar {{\partial } \over {\partial x_{k}}}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})=p_{k}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})\Rightarrow {\hat {p}}_{k}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})=p_{k}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})$

(11.13)

Sumujemy funkcje falowe $\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})\;$ ze współczynnikami do $\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}})\;$ dla stanów dla pędu uogólnionego k-tej współrzędnej $p_{k}\;$ oraz ogólnie różnych energii $E\;$ otrzymując:

${\hat {p}}_{k}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}})=p_{k}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}})$

(11.14)

Wyprowadzenie współrzędnych operatora momentu pędu jest oczywiste bo możemy podziałać na (11.14) operatorowo wyrażeniem ${\vec {r}}\times \;$, co w końcu sumując ze współczynnikami funkcje $\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}})$ ze współczynnikami do $\psi ({\vec {r}},t,{\vec {L}})$ dla takich samych ${\vec {L}}\;$ i różnych ${\vec {p}}\;$, otrzymujemy równanie własne operatora momentu pędu:

${\vec {r}}\times {\hat {p}}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}})={\vec {r}}\times {\vec {p}}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}})\Rightarrow {\hat {L}}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}})={\vec {L}}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}})\Rightarrow {\hat {L}}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {L}})={\vec {L}}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {L}})$

(11.15)

Operator momentu pędu ${\hat {L}}\;$ i wektor momentu pędu ${\vec {L}}\;$ są po 3N współrzędnych.

Dowód niepełny

Następnie wyznaczmy drugą pochodną wyrażenia falowego (11.8) i (11.9) względem k-tej współrzędnej położenia, co stąd dla pędu uogólnionego:

${{\partial ^{2}} \over {\partial x_{k}^{2}}}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})={{\partial } \over {\partial x_{k}}}{{\partial } \over {\partial x_{k}}}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})={{\partial } \over {\partial x_{k}}}i{{p_{k}} \over {\hbar }}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})=i{{p_{k}} \over {\hbar }}i{{p_{k}} \over {\hbar }}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})=-{{p_{k}^{2}} \over {\hbar ^{2}}}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})=\;$
$=-{{p_{k}^{2}} \over {\hbar ^{2}}}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})\Rightarrow (-i\hbar \nabla _{k})\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})=p_{k}^{2}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})\Rightarrow {\hat {p}}^{2}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})=p_{k}^{2}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})$

(11.16)

Na podstawie (11.14) możemy zapisać równanie własne operatora różnicy operatora pędu ${\hat {p}}_{k}\;$ i iloczynu dla ciała o ładunku $q_{k}\;$ przez potencjał wektorowy pola magnetycznego $A_{k}\;$, wiedząc, że wskaźnik $k\;$ jest po 3N współrzędnych (wskaźnik $k\;$ jest od 1 do 3N) dla N cząstek, $q_{3i},q_{3i+1},q_{3i+2}\;$ jest to oznaczenie tego samego ładunku i-tej cząstki (wskaźnik $i\;$ jest do 1 do N), który to wszystko razem zapisujemy:

${\hat {p}}_{k}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})=p_{k}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})\wedge q_{k}A_{k}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})=q_{k}A_{k}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})\Rightarrow ({\hat {p}}_{k}-q_{k}A_{k})\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})=\;$
$=(p_{k}-q_{k}A_{k})\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})\Rightarrow ({\hat {p}}_{k}-q_{k}A_{k})\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})=({p}_{k}-q_{k}A_{k})\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})\;$

(11.17)

Zakładamy, że ${\hat {p}}_{k}-q_{k}A_{k}\;$, jest operatorem zależnym ogólnie od czasu i od położenia, a $({p}_{k}-q_{k}A_{k})\;$ jest jego wartością własną. Na równanie własne (11.17) podziałajmy operatorem ${\hat {p}}_{k}-q_{k}A_{k}\;$ obustronnie, tak by otrzymać równanie własne kwadratu tego naszego operatora, otrzymujemy:

$({\hat {p}}-q{\vec {A}})^{2}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})=({\hat {p}}-q{\vec {A}})({\vec {p}}-q{\vec {A}})\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})\Rightarrow ({\hat {p}}-q{\vec {A}})^{2}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})=({\vec {p}}-q{\vec {A}})({\hat {p}}-q{\vec {A}})\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})+iq\hbar (\nabla A)\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})$
$\Rightarrow ({\hat {p}}-q{\vec {A}})^{2}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})=({\vec {p}}-q{\vec {A}})({\vec {p}}-q{\vec {A}})\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})\Rightarrow ({\hat {p}}-q{\vec {A}})^{2}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})=({\vec {p}}-q{\vec {A}})^{2}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})\;$

(11.18)

• Powyższe równanie zachodzi przy polu magnetostatycznym (w polu magnetycznym stałym) przy cechowaniu Coulomba $\nabla {\vec {A}}=0\;$ dla działu magnetostatyki, bo wektor ${\vec {A}}\;$ jest funkcją.

Wtedy równanie (11.18) dla różnych $k\;$ (cząstek) możemy przepisać:

$({\hat {\vec {p}}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})=({\vec {p}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})\;$

(11.19)

Energia mechaniczna cząstki w polu elektromagnetycznym z uwzględnieniem potencjału wektorowego i skalarnego przedstawia się:

$E=\sum _{i}{{({\vec {p}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}} \over {2m_{i}}}+\underbrace {\sum _{ij,i<j}q_{i}\varphi _{ij}+\sum _{i}q_{i}\varphi _{i}+\sum _{ij,i<j}U_{ij}+\sum _{i}U_{i}} _{U}$

(11.20)

• gdzie:
• ${\vec {p}}\;$ jest to pęd uogólniony cząstki w polu wektorowym magnetycznym ${\vec {A}}\;$.
• m-masa cząstki
• $U$ jest energia potencjalna układu cząstek.
• $E\;$ energia mechaniczna układu cząstek.

Wymnóżmy obie strony (11.20) przez funkcję $\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)\;$, idąc dalej podstawiamy wzór (11.19) do tak otrzymanego wzoru, a dokładniej do części z energią kinetyczną, mamy:

$E\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)=\left[\sum _{i}{{({\vec {p}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}} \over {2m_{i}}}+\sum _{ij,i<j}q_{i}\varphi _{ij}+\sum _{i}q_{i}\varphi _{i}+\sum _{ij,i<j}U_{ij}+\sum _{i}U_{i}\right]\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)=\;$
$=\left[\sum _{i}{{({\hat {p}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}} \over {2m_{i}}}+\sum _{ij,i<j}q_{i}\varphi _{ij}+\sum _{i}q_{i}\varphi _{i}+\sum _{ij,i<j}U_{ij}+\sum _{i}U_{i}\right]\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)$

(11.21)

Oznaczmy jako operator energii wyrażenie w postaci:

${\hat {H}}=\sum _{i}{{({\hat {p}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}} \over {2m_{i}}}+\sum _{ij,i<j}q_{i}\varphi _{ij}\cdot +\sum _{i}q_{i}\varphi _{i}\cdot +\sum _{ij,i<j}U_{ij}\cdot +\sum _{i}U_{i}\cdot \;$

(11.22)

Wyrażenie w równaniu (11.22) nazwijmy Hamiltonianiem według (6.41), wtedy otrzymujemy równanie własne energii stanu $E\;$ przy pomocy definicji operatora Hamiltonianu (11.22), wtedy równość (11.21) piszemy:

${\hat {H}}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)=E\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)\;$

(11.23)

Sumując $\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)\;$ ze współczynnikami do $\psi ({\vec {r}},t,E)\;$ biorąc takie $\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)\;$ by były dla stanów dla energii $E\;$ oraz ogólnie różnych pędów uogólnionych ${\vec {p}}\;$, wtedy:

${\hat {H}}\psi ({\vec {r}},t,E)=E\psi ({\vec {r}},t,E)\;$

(11.24)

Równość (11.24) jest równaniem własnym operatora energii. Jak widzimy w (11.24) operator ${\hat {H}}\;$ jest to operator energii mechanicznej cząstki bo wartością własną jest ta właśnie energia tego stanu, tzn. $E\;$. Policzmy pochodną wyrażenia funkcji falowej (11.8) i (11.9) względem czasu:

${{\partial } \over {\partial t}}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)=-i{{E} \over {\hbar }}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)$

(11.25)

A zatem z równania różniczkowego (11.25) po przekształceniach, mamy:

$E\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)=i\hbar {{\partial } \over {\partial t}}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)$

(11.26)

Sumując $\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)\;$ ze współczynnikami do $\psi ({\vec {r}},t,E)\;$ we wzorze (11.26) biorąc takie $\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)\;$ by były dla stanów dla energii $E\;$ oraz ogólnie różnych pędów uogólnionych ${\vec {p}}\;$, mamy:

$E\psi ({\vec {r}},t,E)=i\hbar {{\partial } \over {\partial t}}\psi ({\vec {r}},t,E)$

(11.27)

A zatem, jeśli zachodzi (11.23) i (11.26) oraz łącząc te dwa wspomniane wzory, tzn. lewą stronę pierwszego wzoru z prawą stroną tego drugiego, dostajemy:

${\hat {H}}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)=i\hbar {{\partial } \over {\partial t}}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)$

(11.28)

Sumujemy funkcje $\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)\;$ ze współczynnikami do $\psi ({\vec {r}},t)\;$ dla stanów dla ogólnie różnych energii $E\;$ i pędów uogólnionych ${\vec {p}}\;$, wtedy:

${\hat {H}}\psi ({\vec {r}},t)=i\hbar {{\partial } \over {\partial t}}\psi ({\vec {r}},t)$

(11.29)

Dowód pełny

Napiszmy wzór na średni kwadrat pędu klasyczny mając pęd uogólniony i potencjał tensorowy pola elektromagnetycznego, jako (10.1), wtedy napiszmy, gdy długość funkcji falowej jest równa jedynce, wtedy:

${\overline {T}}=\sum _{i}{\overline {{({\vec {p}}-q{\vec {A}})_{i}^{2}} \over {2m_{i}}}}=\sum _{i}{{\left(\psi \left|{{({\hat {p}}-q{\vec {A}})_{i}^{2}} \over {2m_{i}}}\right|\psi \right)} \over {\left(\psi |\psi \right)}}=\sum _{i}\sum _{j}{{({\vec {p}}-q{\vec {A}})_{ij}^{2}} \over {2m_{i}}}|c_{ij}|^{2}+\sum _{i}\int _{\vec {k}}{{({\vec {p}}-q{\vec {A}})_{i}^{2}} \over {2m_{i}}}({\vec {k}})|c_{i}({\vec {k}})|^{2}d^{n}{\vec {k}}$

(11.30)

• Powyższe równanie zachodzi przy polu magnetostatycznym (w polu magnetycznym stałym) przy cechowaniu Coulomba $\nabla {\vec {A}}=0\;$ dla działu magnetostatyki, bo wektor ${\vec {A}}\;$ jest funkcją.

A średnia operatora energii potencjalnej:

${\overline {U}}={{\left(\psi \left|{\hat {U}}\right|\psi \right)} \over {\left(\psi |\psi \right)}}=\sum _{i}U_{i}|c_{i}|^{2}+\int _{\vec {k}}U({\vec {k}})|c({\vec {k}})|^{2}d^{nN}{\vec {k}}\;$

(11.31)

I średnia wartości energii mechanicznej układu:

${\overline {E}}={{\left(\psi \left|E\right|\psi \right)} \over {\left(\psi |\psi \right)}}=\sum _{i}E_{i}|c_{i}|^{2}+\int _{\vec {k}}E({\vec {k}})|c({\vec {k}})|^{2}d^{nN}{\vec {k}}\;$

(11.32)

• Równanie (11.30) jest dla pojedynczej cząstki dla przestrzeni $n\;$-wymiarowej, dla funkcji falowej $\psi \;$ dla $N\;$ cząstek.

Widzimy na podstawie wzorów na (11.30), (11.31) i (11.32), ale końcowe obliczenia, że są to średnie wielkości jakiś operatorów, z definicji średniej operatora, a $|c_{i}|^{2}\;$ i $|c(k)|^{2}\;$ mają kolejno sens prawdopodobieństwa i gęstości prawdopodobieństwa w przestrzeni Euklidesowej n-wymiarowej. Napiszmy równanie na energię mechaniczną (hamiltonian), wtedy dowiemy się jak wyprowadzić wzór na równanie własne niezależne od czasu:

${\overline {T}}+{\overline {U}}={\overline {E}}\wedge {\overline {H}}={\overline {E}}\Rightarrow \sum _{i}{{\overline {({\vec {p}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}}} \over {2m_{i}}}+{\overline {\underbrace {\sum _{ij,i<j}q_{i}\varphi _{ij}+\sum _{i}q_{i}\varphi _{i}+\sum _{ij,i<j}U_{ij}+\sum _{i}U_{i}} _{\overline {U}}}}={\overline {E}}\;$

(11.33)

Podstawmy wzór na definicję średnią wartość kwadratu pędu klasycznego, tzn. (11.30), operatora energii potencjalnej, tzn. (11.31) i operatora energii całkowitej (mechanicznej), tzn. (11.32), do wzoru (11.33), zatem:

$\sum _{i}{{\left(\psi \left|{{({\hat {p}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}} \over {2m_{i}}}\right|\psi \right)} \over {\left(\psi {\Bigg |}\psi \right)}}+{{\left(\psi \left|\underbrace {\sum _{ij,i<j}q_{i}\varphi _{ij}+\sum _{i}q_{i}\varphi _{i}+\sum _{ij,i<j}U_{ij}+\sum _{i}U_{i}} _{\hat {U}}\right|\psi \right)} \over {\left(\psi {\Bigg |}\psi \right)}}=\;$
$={{\left(\psi \left|E\right|\psi \right)} \over {\left(\psi {\Bigg |}\psi \right)}}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow \left(\psi \left|\underbrace {\underbrace {\sum _{i}{{({\hat {p}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}} \over {2m_{i}}}} _{\hat {T}}+\underbrace {\sum _{ij,i<j}q_{i}\varphi _{ij}+\sum _{i}q_{i}\varphi _{i}+\sum _{ij,i<j}U_{ij}+\sum _{i}U_{i}} _{\hat {U}}} _{\hat {H}}-E)\right|\psi \right)=0\Rightarrow \;$
$\Rightarrow \left(\psi \left|{\hat {H}}-E\right|\psi \right)=0\;$

(11.34)

Do dowodu będzie potrzebny lemat:

Twierdzenie lematu na iloczynach skalarnych (Twier.  11.1)
Niech mamy spełniony wzór dla dowolnych $x\;$ i $y$, to:

$(x|{\hat {A}}|x)=0\Leftrightarrow (x|{\hat {A}}|y)=0\;$

(11.35)

Dowód twierdzenia (Twier. 11.1) na iloczynach skalarnych (Dow.  11.1)
Udowodnijmy tożsamość, wykorzystując (11.35):

$0=\left((x+y)|{\hat {A}}|(x+y)\right)=2\operatorname {Re} (x|{\hat {A}}|y)\Rightarrow \operatorname {Re} (x|{\hat {A}}|y)=0\;$

(11.36)

Też można powiedzieć na podstawie dowodu (11.36) przy dowolnym wektorze $y\;$, robiąc $y\rightarrow -iy\;$:

$0=\operatorname {Re} (x|{\hat {A}}|-iy)=\operatorname {Re} \left(-i(x|{\hat {A}}|y)\right)\Rightarrow \operatorname {Im} (x|{\hat {A}}|y)=0\;$

(11.37)

Na podstawie dowodu: (11.36) i (11.37), mamy:

$(x|{\hat {A}}|y)=\operatorname {Re} (x|{\hat {A}}|y)+i\operatorname {Im} (x|{\hat {A}}|y)=0+0=0\Rightarrow (x|{\hat {A}}|y)=0\;$

(11.38)

Odwrotny dowód też jest prawdziwy, bo z oczywistych powodów, mamy wtedy $y=x\;$:

$(x|{\hat {A}}|y)=0\Rightarrow (x|{\hat {A}}|x)=0\;$

(11.39)

Co dowód ukończono twierdzenia (11.35).

Z definicji iloczyny skalarnego z (11.34) z twierdzenia (Twier. 11.1) według praw algebry na iloczynach skalarnych w matematyce o funkcjach falowych ogólnie zespolonych:

$\left(\phi |{\hat {H}}-E|\psi ({\vec {r}},t,E)\right)=0\;$

(11.40)

Też nożna powiedzieć naz podstawie (Twier. 11.1) elementy macierzowe względem dwóch dowolnych funkcji: Dla dowolnego wektora przy ściśle określonej bazie funkcji otrzymujemy równanie niezależne od czasu własne operatora energii mechanicznej: Weźmy równanie własne hamiltonianu zależne od parametru czasowego, wtedy dowiemy się, że energia jako wartość własna nie zależy od czasu: Czyli na podstawie wartość własna jest niezależna od czasu. Średnie jakiś wielkości (operatora) w równaniu na średnich są spełnione dla dowolnych funkcji na podstawie twierdzenia , jeżeli wiadomo, że jego jedna średnia tego, dla jednej funkcji własnej tego operatora, jest spełniona w nim, w mechanice nierelatywistycznej kwantowej Schrödingera.

• Gdzie operator hamiltonianu jest równy:

Napisz równanie wektora falowego: Funkcje falowe i są wartościami własnymi równania falowego własnego , dalej , a tego napiszmy równanie różniczkowe w postaci: Równanie własne pomnóżmy przez , a równanie pomnóżmy przez , w takim razie, zakładając, że operator hamiltonianu na podstawie operatora transformacji operatora hamiltonianu po przesunięciu w czasie od t=0 to t nierównej zero, generowanej przez operator , bo i , na podstawie prawa i definicji operatora transformacji (ewolucji) (): Końcowe równanie składamy dla różnych składamy liniowo względem stałych współczynników, wtedy na podstawie : Równość jest równaniem operatora energii niezależnym od czasu, równaniem jego własnym, a jest równaniem zależnym od czasu operatora energii, czyli mamy na podstawie tego dwie równości:

Równanie własne pędu i operatora momentu pędu jest w postaci kolejno: i .

Nieoznaczność czasu i energii (dowód)

Napiszmy położenie statystyczne cząstki wiedząc, że możemy przenieść przed całkę zastępując ją przez jego wartość średnią, w zależności od czasu i położenia początkowego wiedząc jest czasową średnią prędkości wewnątrz czasu : Jak wiemy cząstka od punktu do punktu porusza się przy ogólnie niestałej prędkości, zakładamy, że cząstka porusza się statytycznie przy stałej prędkości od pierwszego punktu do drugiego z prędkością , w takim razie policzmy wzór na różniczkę statystycznego położenia w zależności od czasu i położenia początkowego w czasie w przedziale wychodząc od: To zależność różniczki położenia w zależności od różniczki czasu wykorzystując przedstawia się: Wykorzystując wzór na operator pędu możemy ją przedstawić w zależności od czasu wykorzystując tożsamość : Wyznaczmy średnią operatora pędu wykorzystując tożsamość , co nam wyjdzie, że ona jest równa średniej energii wziętej z minusem podzielonej przez i-tą współrzędną średniej prędkości wiedząc, że prędkość możemy włożyć przed całkę lub sumę w postaci wykorzystując równanie zależne od czasu mechaniki kwantowej : Wyznaczmy nieoznaczność pędu wiedząc, że prędkość możemy włożyć ją przed całkę lub sumę wiedząc, że zachodzi równanie zależne od czasu operatora energii , średnia operatora pędu i równanie zależne od czasu kwadratu operatora energii : Na podstawie i nierówności można zapisać nieoznaczoność czasu i energii, mówiąc z jaką nieoznacznością zmierzymy daną energię ΔE, jeśli dany układ kwantowy istnieje w czasie Δt wykorzystując, że zachodzi i nieoznaczność położenia w zależności od nieoznaczności czasu : Stąd otrzymujemy nieoznaczność czasu i energii, co kończy tego dowód.

Rozwiązanie równania zależnego od czasu przy hamiltonianie niezależnym od czasu

Załóżmy, że hamiltonian jest niezależny od czasu i funkcje falowe, a więc załóżmy, że rozwiązanie jego jest iloczyn funkcji f zależnej od współrzędnych przestrzennych i funkcji g zależnej od wartości czasu: Podstawmy przypuszczalne rozwiązanie do równania falowego zależnego od czasu , to równanie przyjmuje wtedy takową postać: Teraz dzielimy obie strony równania przez funkcję f(xyz)g(t), wtedy otrzymujemy: Ponieważ prawa strona jest zależna tylko od czasu, a lewa od xyz, jeśli hamiltonian cząstki jest niezależny od czasu (energia potencjalna jest niezależna od czasu w badanym układzie), to: W równaniu lewa strona jest zależna tylko od współrzędnych przestrzennych, a prawa od współrzędnych czasowej, aby prawa i lewa strona były sobie równe, to obie strony powinny być równe stałej. Równanie możemy rozdzielić na dwa niezależne równania od siebie w postaci:

Oznaczmy przez C=E, jako energię cząstki w układzie, bo ona jest wartością własną operatora energii całkowitej cząstki , a zatem można powiedzieć, że z i wynikają dwa następne równania:

Dzielimy obie strony równania przez stałą , wtedy dostajemy inne równoważne równanie: Dokonajmy całkowania obu stron równoności różniczkowej względem czasu: Rozwiązanie równania wedle iloczynu funkcji zależnej od współrzędnej przestrzennych f(xyz) i czasu g(t) wedle , ale pamiętając, że jest jednych z rozwiązań równania falowego niezależnego od czasu, czyli mamy przy tym, że to równanie może mieć więcej takich f(xyz), a każdej tej funkcji odpowiada odpowiednia energia E_λ, to rozwiązanie zapisujemy w postaci sumy ze współczynnikami rozwinięcia a_λ:

Operator ewolucji

Operatorem ewolucji nazywamy operator zdefiniowany w postaci eksponentu z funkcji proporcjonalnej do iloczynu z minusem czasu i operatora energii: Całkowite rozwiązanie dla t=0, które jest rozwiązaniem Hamiltonianu (równania falowego zależnego od czasu), możemy zapisać wedle schematu przy współczynnikach rozwinięcia a_λ: Pomocnym równaniem własnym do równania własnego operatora energii jest równanie w postaci: Równanie własne udowodnijmy na podstawie indukcji matematycznej, zatem dla n=1 wspomniane równanie przechodzi w równanie niezależne od czasu . Następnym krokiem jest założenie, że równanie jest spełnione i udowodnijmy, że ono jest spełnione dla n+1, pomnóżmy obustronnie równanie przez operator energii, dostajemy, że: Ponieważ operator energii jest liniowy, zatem możemy potęgę Eⁿ przenieść przed ten operator, zatem po te operacji i z definicji równania własnego operatora energii możemy zapisać wychodząc od wzoru : Co kończy dowód twierdzenia .

Podziałajmy eksponencjalnym operatorem ewolucji na funkcję własną rozwiązania równania własnego operatora energii dla t=0, czyli , wykorzystując rozwinięcie funkcji eksponecjalnej tegoż operatora w szereg Taylora: Zatem na podstawie otrzymaliśmy wyrażenie podczas działania operatora ewolucji na funkcję własną operatora energii: Prawa strona równania jest taka sama jak w rozwiązaniu własnym , zatem porównujemy oba te równania, dostajemy że: Rozwiązanie własne operatora energii we jego funkcjach własnych jest to rozwiązanie równania zależnego od czasu w chwili t=0, zatem znając jego funkcję własną dla chwili zerowej możemy wyznaczyć na podstawie funkcję własną dla dowolnej chwili, w której znajdowała się cząstka opisywana przez funkcję falową ψ(xyzt).

Gęstość znalezienia cząstki w całej przestrzeni trójwymiarowej

Tutaj udowodnimy, że gęstość znalezienia cząstki w całej przestrzeni trójwymiarowej, której jest rozwiązaniem równania falowego jest równe jeden i nie zmienia się w czasie. Pochodna zupełna normy funkcji falowej jest równa po jego rozpisaniu: Z równania można otrzymać inne równanie zależne od czasu w sposób przekształcony, powstały w taki sposób do poprzedniego dzieląc jego obydwie strony przez iloczyn stałej kreślonej Plancka i jednostki urojonej, dalej korzystając z definicji odwrotności jednostki urojonej mamy: Na równanie końcowego wynikowego możemy podziałać sprzężeniem zespolonym po obu jego stronach, dostajemy następne wynikowe równoważne do poprzedniego równanie: Podstawiamy równania końcowe (przekształcone równanie falowe zależne od czasu) i (sprzężone zespolono do poprzedniego przekształconego wzoru równania falowego zależnego od czasu) do wzoru , który jest ilorazem zmiany normy funkcji falowej przez zmianę czasu, w którym ta zmiana nastąpiła, dostajemy, że:

Ponieważ operator energii jest operatorem hermitowskim, to można tak przekształcić, by zachodziła równość z definicji operatora hermitowskiego, a zatem dokonajmy tego: Porównując wzór z równaniem przy naszych obliczeniach wynikające z hermitowskości operatora energii dochodzimy do wniosku, że jeśli prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w całej przestrzeni jest równe jeden dla t=0, to dla t≠0 gęstość znalezienia cząstki też jest równe jeden i nie zmienia się wcale w czasie.

Charakter falowy funkcji stanu

W wspomnianych rozdziałach o mechanice kwantowej dotychczas nie wspomnieliśmy jak wykorzystać aparat matematyczny dotyczący mechaniki kwantowej do konkretnych przypadków. Całkowita funkcja falowa, która jest rozwiązaniem równania w bazie wektorów własnych równania własnego iksowego operatora pędu wyrażając przy tym energię cząstki poprzez wartość wektora falowego w postaci przedstawia się: Na podstawie częstotliwość kołowa fali jako jednych z parametrów drań harmonicznych funkcji falowej cząstki średnio spoczywającej mającej liczbę falową k jest napisana jako: Współczynniki rozwinięcia a(k) w bazie pędowej funkcji całkowitej nie mogą zależeć od czasu, a więc je policzmy możemy dla t=0 według funkcjach bazy w przestrzeni pędowej:

Policzmy teraz prędkość fazową naszej cząstki, którą definiujemy jako iloraz częstotliwości kołowej, którego definicja dla naszego problemu kwantowego jest w zależności od liczby falowej k, przez liczbę falową. Do tak otrzymanej równości wykorzystujemy fakt , do której wykorzystujemy definicję pędu klasycznego cząstki. A zatem na podstawie dostajemy wzór na prędkość fazową cząstki w zależności od prędkości cząstki w postaci: A zatem prędkość fazowa cząstki równa się połowie prędkości cząstki. Policzmy teraz prędkość grupową naszej cząstki, którą definiujemy jako pochodną częstotliwości kołowej, którego definicja dla naszego problemu kwantowego jest w zależności od liczby falowej k, względem liczby falowej. Do tak otrzymanej równości wykorzystujemy fakt , do której wykorzystujemy definicję pędu klasycznego cząstki. A zatem na podstawie dostajemy, że prędkość grupowa cząstki jest równa prędkości cząstki, jak moglibyśmy przypuszczać: Według prędkość grupowa cząstki jest równa prędkości cząstki. Napiszmy paczkę falową dla t=0. A więc wystarczy przyjąć dla t=0 funkcję falową, dla której będziemy liczyli stałą normalizacyjną: W analizie matematycznej występuje całka niewłaściwa, która będzie nam potrzebna w dalszych obliczeniach. Jak każda funkcja falowa w mechanice kwantowej powinna być unormowana do jedynki, czyli norma funkcji falowej powinna wynosić jeden, co można wykorzystać tą całkę niewłaściwą przy wyznaczaniu stałej N w naszej funkcji falowej, która jest słuszna dla t=0. Z warunku normalizacyjnego funkcji falowej wynika, że jego stałą normalizacyjną przedstawiamy wedle wzoru: Policzmy naszą całkę, która jest jakoby wersją całki , tylko że bardziej utrudnioną. Teraz policzmy współczynniki a(k) rozwinięcia w bazie pędowej znając już unormowaną funkcję falową dla t=0, tzn. przy stałej normalizacyjnej , te współczynniki wyznaczamy wedle wzoru, który jest pewną wersją wzoru dla początkowego czasu. Oczywiste jest, że te współczynniki nie zależą w jakim czasie będziemy liczyć przy pomocy całkowitej funkcji falowej opisującą naszą kwantową cząstkę: Teraz pozostało nam policzyć funkcję falową zależną od współrzędnej iksowej i dowolnego czasu, tzn. według , napisanej w przestrzeni pędowej znając już jego współczynniki rozwinięcia, które wyliczyliśmy dla t=0, czyli , wtedy tą funkcję możemy policzyć w sposób zwarty:

Następnym krokiem jest policzenie gęstości prawdopodobienstwa znalezienia cząstki w przestrzeni jednowymiarowej, w tym celu należy policzyć kwadrat modułu funkcji falowej, który jest w zwartej postaci , liczymy je tak by po jego prawej stronie wyszła liczba rzeczywista, bo gęstość prawdopodobieństwa jest funkcją o wartościach rzeczywistych. Zatem na podstawie otrzymujemy, że gęstość prawdopodobieństwa cząstki zmienia się w czasie według: Wedle przedstawionego wzoru , że po bardzo dużym czasie cząstkę można znaleźć gdzieś na osi iksowej, w niekreślonym punkcie, bo gęstość prawdopodobieństwa napisanej wspomnianym wzorem rozpływa się w czasie i po nieskończenie dużym czasie jest w przybliżeniu równa zero.