Mechanika kwantowa/Dowód niepełny i pełny relatywistycznej teorii kwantów Diraca

Dowód niepełny i pełny relatywistycznej teorii kwantów Diraca

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Udowodnijmy równania własne zależnego i niezależnego od czasu równań mechaniki kwantowej relatywistycznej Diraca.

W równaniach mechaniki kwantowej Diraca podobnie jak w mechanice kwantowej nierelatywistycznej, wtedy funkcja falowa wektorowa jest napisane w sposób bardzo podobny do (11.8) lub (11.9), albo według (11.10), tylko, że zamiast funkcji falowych skalarnych są wektory funkcji falowych. Prawa mechaniki relatywistycznej kwantowej Diraca rozważane są słuszne jedynie dla pól elektromagnetostatycznych, czyli dla pól elektrycznych i magnetycznych, stałych w czasie.

Równanie własne pewnego operatora występującego w definicji operatora energii relatywistycznej

Napiszmy i udowodnijmy równanie własne operatora energii relatywistycznej (26.24) wykorzystując udowodnioną tożsamość (11.19), którą dla dowolnej jego potęgi możemy przepisać wzorem, co nie trudno udowodnić na podstawie indukcji matematycznej:

$\left[({\hat {\vec {p}}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}\right]^{s}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)=\left[({\vec {p}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}\right]^{s}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)\;$

(27.1)

bo dla s=1 równość (27.1) przechodzi w (11.19), a dla s=0 ona jest tożsamością, udowodnijmy twierdzenie dla s+1, wtedy podziałajmy obie strony (27.1) operatorem $({\hat {\vec {p}}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}\;$, wtedy mamy:

$({\hat {\vec {p}}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}\left[({\hat {\vec {p}}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}\right]^{s}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)=({\hat {\vec {p}}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}\left[({\vec {p}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}\right]^{s}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)\Rightarrow \;$
$\Rightarrow \left[({\hat {\vec {p}}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}\right]^{s+1}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)=\left[({\vec {p}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}\right]^{s}({\hat {\vec {p}}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)\Rightarrow \;$
$\Rightarrow \left[({\hat {\vec {p}}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}\right]^{s+1}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)=\left[({\vec {p}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}\right]^{s+1}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)\;$

(27.2)

Powyższe dowody są prawdziwe jedynie w elektromagnetostatyce, w której zachodzi cechowanie dla pola magnetycznego stałego: $\nabla {\vec {A}}=0\;$ (cechowanie Coulomba), i niezależność potencjału tensorowego elektromagnetycznego względem czasu. Udowodnijmy twierdzenie potrzebne do dowodu (27.2) dla pola elektromagnetostatycznego:

$({\hat {\vec {p}}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})({\vec {p}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}=({\hat {\vec {p}}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})({\vec {p}}_{i}^{2}+q_{i}^{2}{\vec {A}}_{i}^{2}-2q_{i}{\vec {p}}_{i}{\vec {A}}_{i})={\hat {\vec {p}}}_{i}{\vec {p}}_{i}^{2}+q_{i}^{2}{\hat {\vec {p}}}_{i}{\vec {A}}_{i}^{2}-2q_{i}{\hat {\vec {p}}}_{i}({\vec {p}}{\vec {A}}_{i})-({\vec {p}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}q_{i}{\vec {A}}_{i}=\;$
$={\vec {p}}_{i}^{2}{\hat {\vec {p}}}_{i}+q_{i}^{2}{\vec {A}}_{i}^{2}{\hat {\vec {p}}}_{i}+2q_{i}^{2}A_{ij}({\hat {\vec {p}}}_{i}A_{ij})-2q_{i}p_{ij}({\hat {\vec {p}}}_{i}A_{ij})-2q_{i}({\vec {p}}_{i}A_{ij}){\hat {p}}_{ij}-({\vec {p}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}q_{i}{\vec {A}}_{i}=$
$=2q_{i}^{2}A_{ij}({\hat {\vec {p}}}_{i}A_{ij})-2q_{i}p_{ij}({\hat {\vec {p}}}_{i}A_{ij})+({\vec {p}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}({\hat {\vec {p}}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})$

(27.3)

• bo we dowodzie (27.3) występuje wyrażenie, które dla pola elektromagnetostatycznego jest równe zero.

$2q_{i}^{2}A_{ij}({\hat {\vec {p}}}_{i}A_{ij})-2q_{i}p_{ij}({\hat {\vec {p}}}_{i}A_{ij})=-2q_{i}({\vec {p}}-q_{i}{\vec {A}})_{ij}({\hat {\vec {p}}}_{i}A_{ij})=-2q_{i}v_{ij}({\hat {p}}_{i}A_{ij})\;$

Weźmy taki układ odniesienia, w którym jest stały w danym punkcie $A_{ij>1}$ potencjał wektorowy pola elektromagnetostatycznego, czyli ${{\partial A_{ij}} \over {\partial t}}=0\;$, wtedy zastosujmy cechowanie Coulomba (EK-10.4), co po przetransformowaniu do układu dowolnego, też dla tego samego rodzaju pola:

$v_{ij}({\hat {p}}_{i}A_{ij})=-2q_{i}v_{i1}({\vec {k}}_{1}{\hat {p}}_{i1}A_{i1})=0\Rightarrow -2q_{i}{\overline {v}}_{ij}({\overline {\hat {p}}}_{i}{\overline {A}}_{ij})=0\;$

To wyrażenie jest równe zero na podstawie cechowania Coulomba i niezależności potencjału tensorowego od czasu, podanego powyżej. Zatem na podstawie tego równość (27.3) piszemy w formie:

$({\hat {\vec {p}}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})({\vec {p}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}=({\vec {p}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}({\hat {\vec {p}}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})\;$

(27.4)

Dowód niepełny wyprowadzenia operatora energii relatywistycznej

Równość (27.2) jest taka sama jak (27.1) dla s+1 zamiast s. Zatem wzór (27.1) jest zawsze spełniony na podstawie indukcji matematycznej. Wiedząc, że ${\vec {r}}\;$ i ${\vec {p}}\;$ jest to koleino położenie i pęd uogólniony po 3N współrzędnych dla N cząstek, a ${\hat {\vec {p}}}_{i}\;$ i ${\vec {p}}_{i}\;$ jest to koleino wektor operatora pędu i wektor pędu uogólnionego, dla i-tej cząstki, wtedy na podstawie (27.1) i wzoru na operator energii relatywistycznej (26.24) (${\hat {E}}_{r}\;$) i skalar energii relatywistycznej (26.23) ($E_{r}\;$):

${\hat {E}}_{ri}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E_{r})=\pm {\sqrt {c^{2}({\hat {\vec {p}}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}+m_{0i}^{2}c^{4}}}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E_{r})=\pm m_{0i}c^{2}{\sqrt {1+{{({\hat {\vec {p}}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}} \over {m_{0i}^{2}c^{2}}}}}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E_{r})=\;$
$=\pm m_{0i}c^{2}\left[\sum _{k}{{{1} \over {2}} \choose k}\left({{({\hat {\vec {p}}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}} \over {m_{0i}^{2}c^{2}}}\right)^{k}\right]\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E_{r})=\pm m_{0i}c^{2}\left[\sum _{k}{{{1} \over {2}} \choose k}\left({{({\vec {p}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}} \over {m_{0i}^{2}c^{2}}}\right)^{k}\right]\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E_{r})=\;$
$=\pm m_{0i}c^{2}{\sqrt {1+{{({\vec {p}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}} \over {m_{0}^{2}c^{2}}}}}=\pm {\sqrt {c^{2}({\vec {p}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}+m_{0i}^{2}c^{4}}}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E_{r})=E_{ri}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E_{r})\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {\hat {E}}_{ri}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E_{r})=E_{ri}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E_{r})$

(27.5)

Sumujmy funkcje $\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E_{r})\;$ ze współczynnikami dla różnych pędów ${\vec {p}}\;$ i takich samych energii $E\;$ (energii układu cząstek), wtedy równość (27.5) przyjmuje postać:

${\hat {E}}_{ri}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E_{r})=E_{ri}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E_{r})$

(27.6)

Sumujemy ze współczynnikami dla różnych pędach ${\vec {p}}\;$ równanie (27.6), wtedy:

${\hat {E}}_{ri}\psi ({\vec {r}},t,E_{r})=E_{ri}\psi ({\vec {r}},t,E_{r})$

(27.7)

Równość (27.7) jest to równanie własne operatora energii relatywistycznej ${\hat {E}}_{r}\;$ (26.25) z funkcjami własnymi $\psi ({\vec {r}},t,E_{r})\;$ zależącymi od położenia ${\vec {r}}\;$, czasu $t\;$ i energii całkowitej układu $E\;$.

Dowód pełny wyprowadzenia operatora energii relatywistycznej

Weźmy wzór na energię relatywistyczną ciała w zależności od jego pędu i masy spoczynkowej, wtedy tam występujące strony możemy zastąpić średnimi.

${\overline {E}}_{ri}=\pm {\overline {\sqrt {c^{2}({\vec {p}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}+m_{0i}^{2}c^{4}}}}$

(27.8)

Ale z drugiej strony rozkład energii relatywistycznej piszemy z definicji wartości średniej (10.1) w mechanice kwantowej:

${\overline {E}}_{ri}={{(\psi |E_{ri}|\psi )} \over {(\psi |\psi )}}=\sum _{k}E_{rik}|c_{ik}|^{2}+\int E_{ri}|c(E_{ri})|^{2}dE_{ri}\;$

(27.9)

Napiszmy z definicji wartości średniej energii relatywistycznej przy znajomości wzoru (27.8):

${{(\psi |E_{r}|\psi )} \over {(\psi |\psi )}}={{(\psi |\pm {\sqrt {c^{2}({\vec {p}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}+m_{0i}^{2}c^{4}}}|\psi )} \over {(\psi |\psi )}}$

(27.10)

Równość (27.10) mnożymy poprzez iloczyn skalarny dwóch takich samych funkcji $(\psi |\psi )\;$:

$(\psi |E_{ri}|\psi )=(\psi |\pm {\sqrt {c^{2}({\vec {p}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}+m_{0i}^{2}c^{4}}}|\psi )\;$

(27.11)

Dalej rozpiszmy prawą stronę (27.11) rozwijając w szereg Taylora wyraz w tym pierwiastku, wykorzystując przy okazji udowodniony wzór (27.1):

$(\psi |E_{ri}|\psi )=(\psi |\pm m_{0i}c^{2}{\sqrt {1+{{({\vec {p}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}} \over {m_{0i}^{2}c^{2}}}}}|\psi )=(\psi |\pm m_{0i}c^{2}\left[\sum _{k}{{{1} \over {2}} \choose k}\left({{({\vec {p}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}} \over {m_{0i}^{2}c^{2}}}\right)^{k}\right]|\psi )=\;$
$=(\psi |\pm m_{0i}c^{2}\left[\sum _{k}{{{1} \over {2}} \choose k}\left({{({\hat {\vec {p}}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}} \over {m_{0i}^{2}c^{2}}}\right)^{k}\right]|\psi )=(\psi |\pm {\sqrt {c^{2}({\hat {\vec {p}}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}+m_{0i}^{2}c^{4}}}|\psi )=(\psi |{\hat {E}}_{ri}|\psi )\Rightarrow (\psi |{\hat {E}}_{ri}-E_{ri}|\psi )=0$

(27.12)

Na podstawie metod matematyczny fizyki możemy napisać iloczyn skalarny w końcowym wywodzie (27.12) jako iloczyn dwóch funkcji falowych, czyli według twierdzenia (Twier. 11.1):

$(\phi |{\hat {E}}_{ri}-E_{ri}|\psi ({\vec {r}},t,E_{r}))=0\;$

(27.13)

Też nożna powiedzieć naz podstawie (Twier. 11.1) elementy macierzowe względem dwóch dowolnych funkcji:

$\left(\phi |{\hat {E}}_{ri}-E_{ri}|\psi \right)=0\;$

(27.14)

Ale dla dowolnej funkcji $\phi \;$ przy ściśle określonej bazie funkcji $\psi ({\vec {r}},t,E_{r})$, we przedstawieniu (27.13), możemy napisać zawsze słuszne wyrażenie:

${\hat {E}}_{ri}\psi ({\vec {r}},t,E_{r})=E_{ri}\psi ({\vec {r}},t,E_{r})\;$

(27.15)

Średnie jakiś wielkości (operatora) w równaniu na średnich są spełnione dla dowolnych funkcji własnych na podstawie twierdzenia (Twier. 11.2), jeżeli wiadomo, że jego jedna średnia tych wielkości, dla jednej funkcji własnych, jest spełniona w nim dla operatora energii relatywistycznej w mechanice relatywistycznej kwantowej Diraca.

Równanie własne operatora energii (hamiltonianu Diraca) dla słabych i małych zmian pola magnetycznego

Dowód niepełny

Skorzystajmy z równania (27.6), zakładając, że występująca funkcja falowa jest wektorem i zobaczmy, czy wyjdzie równanie własne operatora energii (26.3), wykorzystując definicję operatora energii (26.82), co stąd:

${\hat {H}}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)=\left\{\sum _{i}\left[c{\hat {\alpha }}\left({\hat {p}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i}\right)+m_{0i}c^{2}{\hat {\beta }}\right]+\sum _{ij,i<j}q_{i}\varphi _{ij}+\sum _{i}q_{i}\varphi _{i}+\sum _{ij,i<j}U_{ij}+\sum _{i}U_{i}\right\}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)=\;$
$={\Bigg \{}\sum _{i}\left[c{\hat {\alpha }}\left({\hat {p}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i}\right)+m_{0i}c^{2}\left({\hat {\beta }}+{{q\hbar } \over {2m_{0i}^{2}c^{2}}}{\hat {\sigma }}{\vec {B}}_{i}\right)\right]-\sum _{i}{{q\hbar } \over {2m_{0i}}}{\hat {\sigma }}{\vec {B}}_{i}+\sum _{ij,i<j}q_{i}\varphi _{ij}+\sum _{i}q_{i}\varphi _{i}+\sum _{ij,i<j}U_{ij}+\sum _{i}U_{i}{\Bigg \}}\cdot \;$
$\cdot \psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)={\Bigg \{}\sum _{i}\left[c{\hat {\alpha }}\left({\hat {p}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i}\right)+m_{0i}c^{2}{\hat {\beta }}^{'}\right]-\sum _{i}{{q\hbar } \over {2m_{0i}}}{\hat {\sigma }}{\vec {B}}_{i}+\sum _{ij,i<j}q_{i}\varphi _{ij}+\sum _{i}q_{i}\varphi _{i}+\sum _{ij,i<j}U_{ij}+\sum _{i}U_{i}{\Bigg \}}\cdot \;$
$\cdot \psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)={\Bigg (}\sum _{i}\pm {\sqrt {c^{2}\left({\hat {p}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i}\right)^{2}+m_{0i}^{2}c^{4}}}-\sum _{i}{\hat {\mu }}_{i}{\vec {B}}_{i}+\sum _{ij,i<j}q_{i}\varphi _{ij}+\sum _{i}q_{i}\varphi _{i}+\sum _{ij,i<j}U_{ij}+\sum _{i}U_{i}{\Bigg )}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)=$
$={\Bigg (}\sum _{i}E_{ri}-\sum _{i}{\vec {\mu }}_{i}{\vec {B}}_{i}+\sum _{ij,i<j}q_{i}\varphi _{ij}+\sum _{i}q_{i}\varphi _{i}+\sum _{ij,i<j}U_{ij}+\sum _{i}U_{i}{\Bigg )}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)=E\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {\hat {H}}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)=E\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)\;$

(27.16)

Równanie własne końcowe w (27.16) sumujemy ze współczynnikami względem ${\vec {p}}\;$ w sposób:

${\hat {H}}\psi ({\vec {r}},t,E)=E\psi ({\vec {r}},t,E)\;$

(27.17)

Otrzymany wzór (27.17) jest spełniony dla słabych i małych zmian pola magnetycznego.

Dowód pełny

Napiszmy wzór na średnią energię całkowitą cząstki, w różnych polach:

${\overline {E}}={\overline {\sum _{i}E_{ri}-\sum _{i}{\vec {\mu }}_{i}{\vec {B}}_{i}+\sum _{ij,i<j}q_{i}\varphi _{ij}+\sum _{i}q_{i}\varphi _{i}+\sum _{ij,i<j}U_{ij}+\sum _{i}U_{i}}}\;$

(27.18)

Napiszmy wzór na średnią energię relatywistyczną z definicji wartości  średniej w mechanice kwantowej:

${\overline {E}}={{(\psi |E|\psi )} \over {(\psi |\psi )}}=\sum _{k}E_{k}|c(E_{k})|^{2}+\int E|c(E)|^{2}dE\;$

(27.19)

Policzmy (27.18) w obu jego stronach wyrażenia na podstawie wartości średniej parametru i operatora:

${{(\psi |E|\psi )} \over {(\psi |\psi )}}={{\left(\psi \left|\sum _{i}E_{ri}-\sum _{i}{\vec {\mu }}_{i}{\vec {B}}_{i}+\sum _{ij,i<j}q_{i}\varphi _{ij}+\sum _{i}q_{i}\varphi _{i}+\sum _{ij,i<j}U_{ij}+\sum _{i}U_{i}\right|\psi \right)} \over {(\psi |\psi }}$

(27.20)

Pomnóżmy obie strony równości (27.20) przez iloczyn dwóch takich samych funkcji $(\psi |\psi$:

$(\psi |E|\psi )=\left(\psi \left|\sum _{i}E_{ri}-\sum _{i}{\vec {\mu }}_{i}{\vec {B}}_{i}+\sum _{ij,i<j}q_{i}\varphi _{ij}+\sum _{i}q_{i}\varphi _{i}+\sum _{ij,i<j}U_{ij}+\sum _{i}U_{i}\right|\psi \right)$

(27.21)

Dalej wykonujmy obliczenia na formule przedstawionej w (27.21), rozdzielając iloczyn skalarny po prawej jego stronie na sumy:

$(\psi |E|\psi )=\sum _{i}\left(\psi \left|E_{ri}\right|\psi \right)-\sum _{i}\left(\psi \left|{\vec {\mu }}_{i}{\vec {B}}_{i}\psi +(\psi |(\sum _{ij,i<j}q_{i}\varphi _{ij}+\sum _{i}q_{i}\varphi _{i}+\sum _{ij,i<j}U_{ij}+\sum _{i}U_{i}\right|\psi \right)=$
$=\sum _{i}\left(\psi \left|{\hat {E}}_{ri}\right|\psi \right)-\sum _{i}\left(\psi \left|{\hat {\vec {\mu }}}_{i}{\vec {B}}_{i}\right|\psi \right)+\left(\psi \left|(\sum _{ij,i<j}q_{i}\varphi _{ij}+\sum _{i}q_{i}\varphi _{i}+\sum _{ij,i<j}U_{ij}+\sum _{i}U_{i}\right|\psi \right)=$
$=\sum _{i}\left(\psi \left|{\hat {E}}_{ri}-{\hat {\vec {\mu }}}_{i}{\vec {B}}_{i}\right|\psi \right)+\left(\psi \left|\left(\sum _{ij,i<j}q_{i}\varphi _{ij}+\sum _{i}q_{i}\varphi _{i}+\sum _{ij,i<j}U_{ij}+\sum _{i}U_{i}\right)\right|\psi \right)=\;$
$=\sum _{i}\left(\psi \left|\left[c{\hat {\alpha }}\left({\hat {p}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i}\right)+m_{0i}c^{2}{\hat {\beta }}^{'}\right]-{{q\hbar } \over {2m_{0i}}}{\hat {\sigma }}{\vec {B}}_{i}\right|\psi \right)+\left(\psi \left|\left(\sum _{ij,i<j}q_{i}\varphi _{ij}+\sum _{i}q_{i}\varphi _{i}+\sum _{ij,i<j}U_{ij}+\sum _{i}U_{i}\right)\right|\psi \right)=\;$
$=\sum _{i}\left(\psi \left|\left[c{\hat {\alpha }}\left({\hat {p}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i}\right)+m_{0i}c^{2}\left({\hat {\beta }}+{{q\hbar } \over {2m_{0i}^{2}c^{2}}}{\hat {\sigma }}{\vec {B}}_{i}\right)\right]-{{q\hbar } \over {2m_{0i}}}{\hat {\sigma }}{\vec {B}}_{i}\right|\psi \right)+\;$
$+\left(\psi \left|\left(\sum _{ij,i<j}q_{i}\varphi _{ij}+\sum _{i}q_{i}\varphi _{i}+\sum _{ij,i<j}U_{ij}+\sum _{i}U_{i}\right)\right|\psi \right)=\;$
$=\sum _{i}\left(\psi \left|\left[c{\hat {\alpha }}\left({\hat {p}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i}\right)+m_{0i}c^{2}{\hat {\beta }}\right]\right|\psi \right)+\left(\psi \left|\left(\sum _{ij,i<j}q_{i}\varphi _{ij}+\sum _{i}q_{i}\varphi _{i}+\sum _{ij,i<j}U_{ij}+\sum _{i}U_{i}\right)\right|\psi \right)=\;$
$=\left(\psi \left|\sum _{i}\left(\left[c{\hat {\alpha }}\left({\hat {p}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i}\right)+m_{0i}c^{2}{\hat {\beta }}\right]+\sum _{ij,i<j}q_{i}\varphi _{ij}+\sum _{i}q_{i}\varphi _{i}+\sum _{ij,i<j}U_{ij}+\sum _{i}U_{i}\right)\right|\psi \right)=\left(\psi \left|{\hat {H}}\right|\psi \right)\Rightarrow \left(\psi \left|{\hat {H}}-E\right|\psi \right)=0$

(27.22)

Ostatnie równanie na dwie takie same funkcje przekształcamy na dwa różne funkcje z praw iloczynu skalarnego z pierwszą funkcją będącą dowolną funkcją $\phi \;$ przy ściśle określonej bazie funkcji $\psi ({\vec {r}},t,E)$, czyli według twierdzenia (Twier. 11.1):

$(\phi |{\hat {H}}-E)|\psi ({\vec {r}},t,E))=0\Rightarrow {\hat {H}}\psi ({\vec {r}},t,E)=E\psi ({\vec {r}},t,E)\;$

(27.23)

Też nożna powiedzieć naz podstawie (Twier. 11.1) elementy macierzowe względem dwóch dowolnych funkcji:

$\left(\phi |{\hat {H}}-E|\psi \right)=0\;$

(27.24)

Średnie jakiś wielkości (operatora) w równaniu na średnich są spełnione dla dowolnych funkcji własnych na podstawie twierdzenia (Twier. 11.2), jeżeli wiadomo, że jego jedna średnia tych wielkości, dla jednej funkcji własnej tego operatora, jest spełniona w nim w mechanice kwantowej relatywistycznej Diraca. Gdzie definicja hamiltonianu występująca we wzorze (27.23) piszemy w formie:

${\hat {H}}=\sum _{i}\left(\left[c{\hat {\alpha }}\left({\hat {p}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i}\right)+m_{0i}c^{2}{\hat {\beta }}\right]+\sum _{ij,i<j}q_{i}\varphi _{ij}+\sum _{i}q_{i}\varphi _{i}+\sum _{ij,i<j}U_{ij}+\sum _{i}U_{i}\right)\;$

(27.25)

Można udowodnić, że według równania własnego (26.3) energia własna jest niezależna od czasu na podstawie dowodu podobnego jak w mechanice falowej klasycznej, czyli według przedstawienia (11.43) na podstawie definicji hamiltonianu (27.25).

Dowód operatora energii relatywistycznej Diraca, że jego przedstawienie jest dokładne z układu dla punktu, w którym dla pola magnetycznego jego indukcja i jego zmiany są małe

Równość (równanie własne operatora energii całkowitej) (26.25) jest spełniona dla słabych i małych zmian pól magnetycznych dla jakiegoś punktu w układzie i pól elektrycznych dowolnych, ale udowodnijmy, że jest spełniony również dla dowolnych pól magnetycznych, zatem dla pól magnetycznych i ich zmian dążących do zera w jakimś punkcie, oznaczmy w takim układzie operator energii całkowitej przez ${\hat {E}}_{c0}^{'}\;$ dla tego punktu. A dokładny operator energii całkowitej Diraca oznaczmy przez ${\hat {E}}_{c}\;$ w ogólnie dowolnym punkcie w tym układzie, zatem zależność między dwoma operatorami przedstawia się na podstawie (24.5) w układach, w którymś w jakimś punkcie pole i jego zmiany są zerowe, a oba operatory energii są sformułowane dla jednej cząstki, wtedy z punktu, w którym tak nie jest, do punktu, w którym tak już jest:

${\hat {E}}_{c0}^{'}=T{\hat {E}}_{c0}T^{+}\;$

(27.26)

Wtedy dla równości w układzie, w danym punkcie przy zerowych polach magnetycznych i jej zmianach (27.16), i na podstawie (27.26), możemy przejść w układzie do innego punktu, w którym to pole i jej zmiany, w danym punkcie, nie są ogólnie zerowe, a w jakimś punkcie tak jest, wtedy:

${\hat {E}}_{c0}^{'}\psi _{0}^{'}({\vec {r}},t,E)=E_{c0}^{'}\psi _{0}^{'}({\vec {r}},t,E)\Rightarrow T{\hat {E}}_{c0}T^{+}T\psi _{0}({\vec {r}},t,E)=E_{c0}T\psi _{0}({\vec {r}},t,E)\Rightarrow {\hat {E}}_{c0}\psi _{0}({\vec {r}},t,E)=E_{c0}\psi _{0}({\vec {r}},t,E)\wedge E_{c0}=E_{c0}^{'}\;$

(27.27)

Transformacja z układu A, w którym w danym punkcie pola magnetycznego nie ma i jego zmiany są zerowe, do dowolnego układu odniesienia:

${\hat {E}}_{c}=\alpha {\hat {E}}_{c0}+\beta {\hat {E}}_{cu}$

(27.28)

• Wzór (27.28) wynika z transformacji układu końcowego względem układu odniesienia.

Równanie własne układu A, którego to piszemy, jest równaniem własnym jego operatora energii relatywistycznej układu:

${\hat {E}}_{cu}\psi _{u}=E_{cu}\psi _{u}\;$

(27.29)

Napiszmy równanie własne na operator energii całkowitej w układzie początkowym, w którym w jakimś punkcję pole magnetostatyczne i jego zmiany w przestrzeni są bardzo małe z dowolnym polem elektrostatycznym, z przejściem do dowolnego układu odniesienia, w którym już tak nie jest, czyli dla dowolnego pola elektromagnetostatycznego:

${\hat {E}}_{c0}\psi _{0}=E_{c0}\psi _{0}\Rightarrow (\alpha {\hat {E}}_{c0}+\beta {\hat {E}}_{cu})\psi _{0}\psi _{u}=(\alpha E_{c0}+\beta E_{cu})\psi _{0}\psi _{u}\wedge E_{c}=\alpha E_{c0}+\beta E_{cu}\wedge \psi =\psi _{0}\psi _{u}\Rightarrow {\hat {E}}_{c}\psi =E_{c}\psi \;$

(27.30)

W dowolnym układzie tutaj $E_{c}=E\;$ i ${\hat {E}}_{c}={\hat {H}}\;$, czyli po przejściu do dowolnego układu odniesienia są Diraca, z układu, w którym było w jakim punkcie $E=E_{r}\;$ i ${\hat {H}}={\hat {E}}_{r}\;$. Czyli na podstawie równości (27.30) w dowolnym układzie równanie własne energii całkowitej przedstawia się w formie (27.30) dla dowolnego punktu dla dowolnego pola elektromagnetostatycznego, czyli wzór na hamiltonian energii całkowitej układu Diraca przedstawia się w formie (26.82). A tam ten hamiltonian, jak udowodniliśmy tutaj, jest dokładny.

Równanie zależne od czasu mechaniki kwantowej Diraca

Z rozważań nad średnimi otrzymaliśmy taką samą równość w (27.23) jak równanie mechaniki kwantowej niezależne od czasu (26.3) jak w punkcie (11.24), a równanie zależne od czasu wyprowadza się następująco: możemy napisać tożsamość, którą można wyprowadzić jak w punkcie (11.27):

$E\psi ({\vec {r}},t,E)=i\hbar {{\partial } \over {\partial t}}\psi ({\vec {r}},t,E)\;$

(27.31)

wtedy lewą stronę tej równości przyrównujemy z prawą stroną równości równania własnego hamiltonianu relatywistycznego Diraca niezależnego od czasu, otrzymując równanie operatora energii zależne od czasu, położenia i energii.

${\hat {H}}\psi ({\vec {r}},t,E)=i\hbar {{\partial } \over {\partial t}}\psi ({\vec {r}},t,E)\;$

(27.32)

Sumujmy funkcje $\psi ({\vec {r}},t,E)\;$ ze współczynnikami dla różnych energii, wtedy otrzymamy równość (11.54) taką samą jak tutaj (26.4):

${\hat {H}}\psi ({\vec {r}},t)=i\hbar {{\partial } \over {\partial t}}\psi ({\vec {r}},t)\;$

(27.33)

• gdzie hamiltonian ${\hat {H}}\;$ jest to dokładny hamiltonian Diraca (26.82).