Mechanika kwantowa/Dowód niepełny i pełny relatywistycznej teorii kwantów Diraca

Udowodnijmy równania własne zależnego i niezależnego od czasu równań mechaniki kwantowej relatywistycznej Diraca.

W równaniach mechaniki kwantowej Diraca podobnie jak w mechanice kwantowej nierelatywistycznej, wtedy funkcja falowa wektorowa jest napisane w sposób bardzo podobny do lub , albo według , tylko, że zamiast funkcji falowych skalarnych są wektory funkcji falowych. Prawa mechaniki relatywistycznej kwantowej Diraca rozważane są słuszne jedynie dla pól elektromagnetostatycznych, czyli dla pól elektrycznych i magnetycznych, stałych w czasie.

Równanie własne pewnego operatora występującego w definicji operatora energii relatywistycznej

Napiszmy i udowodnijmy równanie własne operatora energii relatywistycznej wykorzystując udowodnioną tożsamość , którą dla dowolnej jego potęgi możemy przepisać wzorem, co nie trudno udowodnić na podstawie indukcji matematycznej: bo dla s=1 równość przechodzi w , a dla s=0 ona jest tożsamością, udowodnijmy twierdzenie dla s+1, wtedy podziałajmy obie strony operatorem , wtedy mamy: Powyższe dowody są prawdziwe jedynie w elektromagnetostatyce, w której zachodzi cechowanie dla pola magnetycznego stałego: (cechowanie Coulomba), i niezależność potencjału tensorowego elektromagnetycznego względem czasu. Udowodnijmy twierdzenie potrzebne do dowodu dla pola elektromagnetostatycznego:

• bo we dowodzie występuje wyrażenie, które dla pola elektromagnetostatycznego jest równe zero.

Weźmy taki układ odniesienia, w którym jest stały w danym punkcie potencjał wektorowy pola elektromagnetostatycznego, czyli , wtedy zastosujmy cechowanie Coulomba , co po przetransformowaniu do układu dowolnego, też dla tego samego rodzaju pola: To wyrażenie jest równe zero na podstawie cechowania Coulomba i niezależności potencjału tensorowego od czasu, podanego powyżej. Zatem na podstawie tego równość piszemy w formie:

Dowód niepełny wyprowadzenia operatora energii relatywistycznej

Równość jest taka sama jak dla s+1 zamiast s. Zatem wzór jest zawsze spełniony na podstawie indukcji matematycznej. Wiedząc, że i jest to koleino położenie i pęd uogólniony po 3N współrzędnych dla N cząstek, a i jest to koleino wektor operatora pędu i wektor pędu uogólnionego, dla i-tej cząstki, wtedy na podstawie i wzoru na operator energii relatywistycznej () i skalar energii relatywistycznej (): Sumujmy funkcje ze współczynnikami dla różnych pędów i takich samych energii (energii układu cząstek), wtedy równość przyjmuje postać: Sumujemy ze współczynnikami dla różnych pędach równanie , wtedy: Równość jest to równanie własne operatora energii relatywistycznej z funkcjami własnymi zależącymi od położenia , czasu i energii całkowitej układu .

Dowód pełny wyprowadzenia operatora energii relatywistycznej

Weźmy wzór na energię relatywistyczną ciała w zależności od jego pędu i masy spoczynkowej, wtedy tam występujące strony możemy zastąpić średnimi. Ale z drugiej strony rozkład energii relatywistycznej piszemy z definicji wartości średniej w mechanice kwantowej: Napiszmy z definicji wartości średniej energii relatywistycznej przy znajomości wzoru : Równość mnożymy poprzez iloczyn skalarny dwóch takich samych funkcji : Dalej rozpiszmy prawą stronę rozwijając w szereg Taylora wyraz w tym pierwiastku, wykorzystując przy okazji udowodniony wzór : Na podstawie metod matematyczny fizyki możemy napisać iloczyn skalarny w końcowym wywodzie jako iloczyn dwóch funkcji falowych, czyli według twierdzenia : Też nożna powiedzieć naz podstawie elementy macierzowe względem dwóch dowolnych funkcji: Ale dla dowolnej funkcji przy ściśle określonej bazie funkcji , we przedstawieniu , możemy napisać zawsze słuszne wyrażenie: Średnie jakiś wielkości (operatora) w równaniu na średnich są spełnione dla dowolnych funkcji własnych na podstawie twierdzenia , jeżeli wiadomo, że jego jedna średnia tych wielkości, dla jednej funkcji własnych, jest spełniona w nim dla operatora energii relatywistycznej w mechanice relatywistycznej kwantowej Diraca.

Równanie własne operatora energii (hamiltonianu Diraca) dla słabych i małych zmian pola magnetycznego

Dowód niepełny

Skorzystajmy z równania , zakładając, że występująca funkcja falowa jest wektorem i zobaczmy, czy wyjdzie równanie własne operatora energii , wykorzystując definicję operatora energii , co stąd: Równanie własne końcowe w sumujemy ze współczynnikami względem w sposób: Otrzymany wzór jest spełniony dla słabych i małych zmian pola magnetycznego.

Dowód pełny

Napiszmy wzór na średnią energię całkowitą cząstki, w różnych polach: Napiszmy wzór na średnią energię relatywistyczną z definicji wartości  średniej w mechanice kwantowej: Policzmy w obu jego stronach wyrażenia na podstawie wartości średniej parametru i operatora: Pomnóżmy obie strony równości przez iloczyn dwóch takich samych funkcji : Dalej wykonujmy obliczenia na formule przedstawionej w , rozdzielając iloczyn skalarny po prawej jego stronie na sumy: Ostatnie równanie na dwie takie same funkcje przekształcamy na dwa różne funkcje z praw iloczynu skalarnego z pierwszą funkcją będącą dowolną funkcją przy ściśle określonej bazie funkcji , czyli według twierdzenia : Też nożna powiedzieć naz podstawie elementy macierzowe względem dwóch dowolnych funkcji: Średnie jakiś wielkości (operatora) w równaniu na średnich są spełnione dla dowolnych funkcji własnych na podstawie twierdzenia , jeżeli wiadomo, że jego jedna średnia tych wielkości, dla jednej funkcji własnej tego operatora, jest spełniona w nim w mechanice kwantowej relatywistycznej Diraca. Gdzie definicja hamiltonianu występująca we wzorze piszemy w formie: Można udowodnić, że według równania własnego energia własna jest niezależna od czasu na podstawie dowodu podobnego jak w mechanice falowej klasycznej, czyli według przedstawienia na podstawie definicji hamiltonianu .

Dowód operatora energii relatywistycznej Diraca, że jego przedstawienie jest dokładne z układu dla punktu, w którym dla pola magnetycznego jego indukcja i jego zmiany są małe

Równość (równanie własne operatora energii całkowitej) jest spełniona dla słabych i małych zmian pól magnetycznych dla jakiegoś punktu w układzie i pól elektrycznych dowolnych, ale udowodnijmy, że jest spełniony również dla dowolnych pól magnetycznych, zatem dla pól magnetycznych i ich zmian dążących do zera w jakimś punkcie, oznaczmy w takim układzie operator energii całkowitej przez dla tego punktu. A dokładny operator energii całkowitej Diraca oznaczmy przez w ogólnie dowolnym punkcie w tym układzie, zatem zależność między dwoma operatorami przedstawia się na podstawie w układach, w którymś w jakimś punkcie pole i jego zmiany są zerowe, a oba operatory energii są sformułowane dla jednej cząstki, wtedy z punktu, w którym tak nie jest, do punktu, w którym tak już jest: Wtedy dla równości w układzie, w danym punkcie przy zerowych polach magnetycznych i jej zmianach , i na podstawie , możemy przejść w układzie do innego punktu, w którym to pole i jej zmiany, w danym punkcie, nie są ogólnie zerowe, a w jakimś punkcie tak jest, wtedy: Transformacja z układu A, w którym w danym punkcie pola magnetycznego nie ma i jego zmiany są zerowe, do dowolnego układu odniesienia:

• Wzór wynika z transformacji układu końcowego względem układu odniesienia.

Równanie własne układu A, którego to piszemy, jest równaniem własnym jego operatora energii relatywistycznej układu: Napiszmy równanie własne na operator energii całkowitej w układzie początkowym, w którym w jakimś punkcję pole magnetostatyczne i jego zmiany w przestrzeni są bardzo małe z dowolnym polem elektrostatycznym, z przejściem do dowolnego układu odniesienia, w którym już tak nie jest, czyli dla dowolnego pola elektromagnetostatycznego: W dowolnym układzie tutaj i , czyli po przejściu do dowolnego układu odniesienia są Diraca, z układu, w którym było w jakim punkcie i . Czyli na podstawie równości w dowolnym układzie równanie własne energii całkowitej przedstawia się w formie dla dowolnego punktu dla dowolnego pola elektromagnetostatycznego, czyli wzór na hamiltonian energii całkowitej układu Diraca przedstawia się w formie . A tam ten hamiltonian, jak udowodniliśmy tutaj, jest dokładny.

Równanie zależne od czasu mechaniki kwantowej Diraca

Z rozważań nad średnimi otrzymaliśmy taką samą równość w jak równanie mechaniki kwantowej niezależne od czasu jak w punkcie , a równanie zależne od czasu wyprowadza się następująco: możemy napisać tożsamość, którą można wyprowadzić jak w punkcie : wtedy lewą stronę tej równości przyrównujemy z prawą stroną równości równania własnego hamiltonianu relatywistycznego Diraca niezależnego od czasu, otrzymując równanie operatora energii zależne od czasu, położenia i energii. Sumujmy funkcje ze współczynnikami dla różnych energii, wtedy otrzymamy równość taką samą jak tutaj :

• gdzie hamiltonian jest to dokładny hamiltonian Diraca .