Mechanika kwantowa/Wnioski wynikające z mechaniki kwantowej Diraca

Wnioski wynikające z mechaniki kwantowej Diraca

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Uogólnienie klasycznego Hamiltonianu o moment magnetyczny elektronu (q=e)

Ukrytą zaletą równań Diraca jest to, że zawiera w sobie informacje o spinie elektronu. Jeśli taki elektron umieścimy w polu magnetycznym, to ono uzyska dodatkową energię $\Delta E=-{\vec {\mu }}{\vec {B}}$, którą wyrazimy za pomocą momentu magnetycznego znajdujący się w polu magnetycznym o pewnym natężeniu.

Przenosimy wyraz związany z energią potencjalną cząstki, czyli $q\varphi$ na lewą stronie równania (26.3) z prawej jego strony, a następnie podzielmy obustronnie przez c, też obustronnie podnosimy do kwadratu, wszystkie te operację przedstawiamy je jako:

${{{\hat {H}}-q\varphi } \over {c}}={\hat {\alpha }}({\hat {p}}-q{\vec {A}})+m_{0}c{\hat {\beta }}\Rightarrow \left({{{\hat {H}}-q\varphi } \over {c}}\right)^{2}=[{\hat {\alpha }}({\hat {p}}-q{\vec {A}})+m_{0}c{\hat {\beta }}]^{2}$

(28.1)

Następnie korzystamy, że operatory współrzędnych operatora ${\hat {\alpha }}\;$, czyli ${\hat {\alpha }}_{i}\;$ i operatora ${\hat {\beta }}\;$, które za sobą antykomutują, zatem na podstawie równości (26.20) tożsamość (28.1) można przestawić przez:

$\left({{{\hat {H}}-q\varphi } \over {c}}\right)^{2}=[\alpha ({\hat {p}}-q{\hat {A}})]^{2}+m_{0}^{2}c^{2}$

(28.2)

Pierwszy wyraz występujący po prawej stronie wzoru (28.2) możemy rozpisać jako iloczyn dwóch takich samych operatorów i wymnożyć je względem siebie. W tym rozpisaniu tego iloczynu występują wyrazy mieszane i niemieszane, przy czym pierwszy wyraz niemieszany zapisujemy zapisujemy według (26.60), a wyraz mieszany jest jako (26.61).

Na podstawie (26.28), (26.29) i (26.30), także na podstawie obliczeń pomocniczych (26.60) (wyrazy niemieszane) i (26.61) (wyrazy mieszane) równanie (28.2) przyjmuje kształt:

$\left({{{\hat {H}}-q\varphi } \over {c}}\right)^{2}=\left({\hat {p}}-q{\vec {A}}\right)^{2}+m_{0}^{2}c^{2}-q\hbar \sigma {\vec {B}}$

(28.3)

Powracając do naszego równania (28.3), to wydzielmy z Hamiltonianu energię spoczynkową cząstki ze spinem, natomiast nasz hamiltonian jest równy sumie energii spoczynkowej cząstki i relatywistycznego operatora energii kinetycznej cząstki, zapisujemy ten hamiltonian wedle schematu:

${\hat {H}}={\hat {H}}_{1}+m_{0}c^{2}\;$

(28.4)

A więc równość (28.3) na podstawie tożsamości operatorowej (28.4), w której hamiltonian Diraca jest zapisany jako suma hamiltonianu energii mechanicznej i operatora energii spoczynkowej naszego badanego ciała, piszemy:

$\left({{{\hat {H}}_{1}-q\varphi } \over {c}}+m_{0}c\right)^{2}=\left({\hat {p}}-q{\vec {A}}\right)^{2}-q\hbar {\vec {\sigma }}{\vec {B}}+m_{0}^{2}c^{2}$

(28.5)

Wykonujemy działania związane z podnoszeniem do drugiej potęgi po lewej stronie w równości (28.5), tak jak się wykonuje podnoszenie do kwadratu operatorów, ale w tym przypadku należy zastosować wzór skróconego mnożenia znanego z gimnazjum:

$\left({{{\hat {H}}_{1}-q\varphi } \over {c}}\right)^{2}+2m_{0}\left\{{\hat {H}}_{1}-q\varphi \right\}+m_{0}^{2}c^{2}=\left({\hat {p}}-q{\vec {A}}\right)^{2}-q\hbar {\vec {\sigma }}{\vec {B}}+m_{0}^{2}c^{2}\Rightarrow$
$\Rightarrow \left({{{\hat {H}}_{1}-q\varphi } \over {c}}\right)^{2}+2m_{0}\left\{{\hat {H}}_{1}-q\varphi \right\}=({\hat {p}}-e{\vec {A}})^{2}-q\hbar {\vec {\sigma }}{\vec {B}}\Rightarrow 2m_{0}\left\{{\hat {H}}_{1}-q\varphi \right\}\left({{\left({\hat {H}}_{1}-q\varphi \right)^{2}} \over {2m_{0}c^{2}\left\{{\hat {H}}_{1}-q\varphi \right\}}}+1\right)=\;$
$=({\hat {p}}-e{\vec {A}})^{2}-q\hbar {\vec {\sigma }}{\vec {B}}\;$

(28.6)

W obliczeniach (28.6) możemy znaleźć taki wyraz, który znajduje się w nawiasie i jego pierwszy składnik przepisujemy i jednocześnie uproszczamy go:

${{\left({\hat {H}}_{1}-q\varphi \right)^{2}} \over {2m_{0}c^{2}\left\{{\hat {H}}_{1}-q\varphi \right\}}}={{(H_{1}-q\varphi )} \over {2c^{2}m_{0}}}$

(28.7)

Niech energia spoczynkowa jest o wiele większa od energii kinetycznej cząstki napisanej jako ${\hat {H}}_{1}-e\varphi$, wiedząc, że ${\hat {H}}_{1}\;$ jest operatorem całkowitej energii mechanicznej cząstki, zatem rozważmy przypadek, gdy zachodzi:

$\left|\left|{{(H_{1}-q\varphi )} \over {2m_{0}c^{2}}}\right|\right|<<1$

(28.8)

A zatem pierwszy wyraz w nawiasie w (28.6) należy powinąć przy zachodzącym przybliżeniu (28.8), dostajemy:

$2m_{0}({{\hat {H}}-q\varphi })=({\hat {p}}-q{\vec {A}})^{2}-q\hbar {\vec {\sigma }}{\vec {B}}$

(28.9)

Następnie dzielimy obie strony (28.9) przez podwojoną masę spoczynkową cząstki $2m_{0}\;$, wtedy hamiltonian cząstki można zapisać w przybliżeniu, gdy jego energia kinetyczna cząstki jest o wiele mniejsza niż energia spoczynkowa cząstki:

${\hat {H}}={{({\hat {p}}-q{\vec {A}})^{2}} \over {2m_{0}}}+\varphi q-{{q\hbar } \over {2m_{0}}}{\vec {\sigma }}{\vec {B}}$

(28.10)

Widzimy, że hamiltonian nierelatywistyczny cząstki w stosunku do (6.41) posiada dodatkowy człon związany, że elektron posiada spin, a zatem ma pewien moment magnetyczny, czyli posiada dodatkową energię, która występuje zawsze, gdy cząstka znajduje się w polu magnetycznym o natężeniu pola magnetycznego ${\hat {H}}\;$. Moment magnetyczny związany ze spinem cząstki według wzoru na operator energii całkowitej cząstki (28.10) przedstawia się:

${\vec {\mu }}={{q\hbar } \over {2m_{0}}}{\vec {\sigma }}$

(28.11)

Minus we wzorze (28.11) jest związany z ujemnym ładunkiem elektronu ładunku elementarnego "e". a dla współrzędnych zetowej moment magnetyczny cząstki przedstawiamy w sposób ogólny wedle schematu (28.11) w postaci:

$\mu _{z}={{q\hbar } \over {2m_{0}}}\sigma _{z}$

(28.12)

Prawo zachowania momentu pędu, a spin elektronu w teorii Diraca, w zerowym polu elektrycznym i magnetycznym

Rozważmy Hamiltonian Diraca (26.81) swobodnego elektronu, tzn. gdy ta cząstka znajduje się w zerowym polu elektrycznym i magnetycznym, ten operator energii całkowitej cząstki możemy zapisać:

${\hat {H}}=c{\hat {\alpha }}{\hat {p}}+m_{0}c^{2}{\hat {\beta }}$

(28.13)

Jeśli jest zachowana jakaś współrzędna momentu pędu, stąd wynika, że ta współrzędna powinna komutować z hamiltonianem (28.13). Rozważmy komutator momentu pędu orbitalnego ${\hat {l}}_{i}$ z hamiltonianem ${\hat {H}}\;$, wiedząc że współrzędna operatora pędu komutuje z operatorem ${\hat {\beta }}\;$, zatem dowolna współrzędna operatora momentu pędu komutuje z operatorem ${\hat {\beta }}\;$:

$[{\hat {l}}_{i},{\hat {H}}]=[{\hat {l}}_{i},c{\hat {\alpha }}{\hat {p}}+m_{0}c^{2}{\hat {\beta }}]=[{\hat {l}}_{i},c{\hat {\alpha }}{\hat {p}}]+[{\hat {l}}_{i},c^{2}{\hat {\beta }}]=[{\hat {l}}_{i},c{\hat {\alpha }}{\hat {p}}]=c{\hat {\alpha }}_{j}[{\hat {l}}_{i},{\hat {p}}_{j}]$

(28.14)

Policzmy następnie komutator współrzędnej momentu pędu z dowolną współrzędna pędu, który to jest potrzebne do dokończenia obliczeń w zapiskach (28.14):

$[{\hat {l}}_{i},{\hat {p}}_{l}]=\left[-i\hbar \epsilon _{ijk}x_{j}{{\partial } \over {\partial x_{k}}},-i\hbar {{\partial } \over {\partial x_{l}}}\right]=-\hbar ^{2}\left(\epsilon _{ijk}x_{j}{{\partial } \over {\partial x_{k}}}{{\partial } \over {\partial x_{l}}}-{{\partial } \over {\partial x_{l}}}\epsilon _{ijk}x_{j}{{\partial } \over {\partial x_{k}}}\right)=-\hbar ^{2}{\Bigg (}\epsilon _{ijk}x_{j}{{\partial ^{2}} \over {\partial x_{k}\partial x_{l}}}-\epsilon _{ijk}x_{j}{{\partial ^{2}} \over {\partial x_{k}\partial x_{l}}}+\;$
$-\epsilon _{ijk}\delta _{jl}{{\partial } \over {\partial x_{k}}}{\Bigg )}=\hbar ^{2}\epsilon _{ilk}{{\partial } \over {\partial x_{k}}}=i\hbar \epsilon _{ilk}(-i\hbar ){{\partial } \over {\partial x_{k}}}=i\hbar \epsilon _{ilk}{\hat {p}}_{k}$

(28.15)

Komutator współrzędnej itowej momentu pędu i Hamiltonianu Diraca na podstawie obliczeń (28.14) i obliczeń pomocniczych (28.15) przedstawia się:

$[{\hat {l}}_{i},{\hat {H}}]=c{\hat {\alpha }}_{j}i\hbar \epsilon _{ijk}{\hat {p}}_{k}$

(28.16)

Powyższy komutator udowadnia, że moment pędu nie jest zachowany. Tak się to dzieje, że nie jest zachowana ta wielkość, ponieważ nie uwzględniono spinu elektronu. Sprawdźmy własności komutacyjne operatora ${\hat {\sigma }}_{i}$ z hamiltonianem Diraca i obliczymy czemu jest on równy.

$[{\hat {\sigma }}_{i},{\hat {H}}]=c[{\hat {\sigma }}_{i},{\hat {\alpha }}{\hat {p}}]+mc^{2}[{\hat {\sigma }}_{i},{\hat {\beta }}]$

(28.17)

Przeprowadźmy czemu jest równy komutator znajdujący się w (28.17) w pierwszym jego składniku:

$[{\hat {\sigma }}_{i},{\hat {\alpha }}_{l}{\hat {p}}_{l}]={\hat {\sigma }}_{i}{\hat {\alpha }}_{l}{\hat {p}}_{l}-{\hat {\alpha }}_{l}{\hat {p}}_{l}{\hat {\sigma }}_{i}=-i\left({{1} \over {2}}\epsilon _{ijk}\alpha _{j}\alpha _{k}{\hat {\alpha }}_{l}{\hat {p}}_{l}-{\hat {\alpha }}_{l}{\hat {p}}_{l}{{1} \over {2}}\epsilon _{ijk}{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k}\right)=-{{i} \over {2}}\epsilon _{ijk}\left({\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k}{\hat {\alpha }}_{l}{\hat {p}}_{l}-{\hat {\alpha }}_{l}{\hat {p}}_{l}{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k}\right)=$
$=-{{i} \over {2}}\epsilon _{ijk}\left({\hat {\alpha }}_{j}(-{\hat {\alpha }}_{l}{\hat {\alpha }}_{k}+2\delta _{lk}){\hat {p}}_{l}-{\hat {\alpha }}_{l}{\hat {p}}_{l}\epsilon _{ijk}{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k}\right)=-{{i} \over {2}}\epsilon _{ijk}\left(-\left\{{\hat {\alpha }}_{j},{\hat {\alpha }}_{l}\right\}{\hat {p}}_{l}\alpha _{k}+2\delta _{lk}{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {p}}_{l}\right)=-{{i} \over {2}}\epsilon _{ijk}\left(-2\delta _{jl}{\hat {p}}_{l}{\hat {\alpha }}_{k}+2\delta _{lk}{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {p}}_{l}\right)=\;$
$=i\epsilon _{ilk}{\hat {p}}_{l}{\hat {\alpha }}_{k}-i\epsilon _{ijl}{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {p}}_{l}=i\epsilon _{ilj}{\hat {p}}_{l}{\hat {\alpha }}_{j}-i\epsilon _{ijl}{\hat {p}}_{l}{\hat {\alpha }}_{j}=-i\epsilon _{ijl}{\hat {p}}_{l}{\hat {\alpha }}_{j}-i\epsilon _{ijl}{\hat {p}}_{l}{\hat {\alpha }}_{j}=-2i\epsilon _{ijl}{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {p}}_{l}$

(28.18)

Wyznaczmy drugi komutator występujący jako drugi składnik w (28.17), korzystając przy tym z antykomutatora (26.20), który jest zdefiniowany na operatorach ${\hat {\alpha }}_{i}\;$ i ${\hat {\beta }}\;$, tutaj rozwiniemy operator ${\hat {\sigma }}_{i}\;$ według schematu (26.31):

$[{\hat {\sigma }}_{i},{\hat {\beta }}]=-{{i} \over {2}}\epsilon _{ijk}[{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k},{\hat {\beta }}]=-{{i} \over {2}}\epsilon _{ijk}\left({\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k}{\hat {\beta }}-{\hat {\beta }}{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k}{\hat {\beta }}\right)=-{{i} \over {2}}\epsilon _{ijk}\left({\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k}{\hat {\beta }}+{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\beta }}{\hat {\alpha }}_{k}\right)=-{{i} \over {2}}\epsilon _{ijk}\left({\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k}{\hat {\beta }}-{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k}{\hat {\beta }}\right)=0\;$

(28.19)

Komutacja operatora ${\hat {\sigma }}_{i}\;$ zdefiniowaną według (26.31) z operatorem hamiltonianu Diraca (28.13), dla której ten nasz komutator na podstawie obliczeń pomocniczych (28.18) i (28.19) przedstawiamy wedle:

$[{\hat {\sigma }}_{i},{\hat {H}}]=-2ic\epsilon _{ijl}{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {p}}_{l}\;$

(28.20)

Policzmy następny komutator, którego pierwszym elementem jest współrzędna operatora momentu pędu plus wyrażenie równe współrzędnej operatora ${\hat {\sigma }}\;$ wraz z czynnikiem, który jest połówką stałej kreślonej Plancka, zatem:

$[{\hat {l}}_{i}+{{\hbar } \over {2}}{\hat {\sigma }}_{i},{\hat {H}}]=[{\hat {l}}_{i},{\hat {H}}]+{{\hbar } \over {2}}[{\hat {\sigma }}_{i},{\hat {H}}]=i\hbar c{\hat {\alpha }}_{j}\epsilon _{ijk}{\hat {p}}_{k}-{{\hbar } \over {2}}2ic\epsilon _{ijk}{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {p}}_{k}=i\hbar c{\hat {\alpha }}_{j}\epsilon _{ijk}{\hat {p}}_{k}-\hbar ci\epsilon _{ijk}{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {p}}_{k}=0$

(28.21)

A więc moment pędu elektronu możemy zdefiniować tak jak poniżej, to on komutuje z operatorem całkowitej energii cząstki według Diraca (28.13), zatem całkowity operator momentu pędu jest zdefiniowany wedle:

${\hat {l}}+{{\hbar } \over {2}}{\hat {\sigma }}\equiv {\hat {j}}$

(28.22)

Na podstawie obliczeń wedle (28.22) spin elektronu przedstawiamy:

${\hat {s}}={{\hbar } \over {2}}{\hat {\sigma }}$

(28.23)

Operator momentu magnetycznego spinu elektronu na podstawie wzoru (28.11) (definicji momentu magnetycznego elektronu związanego z jego spinem) i (28.23) (definicja spinu) przedstawia się w zależności od spinu elektronu wedle:

${\hat {\mu }}={{e\hbar } \over {2m_{0}}}{\hat {\sigma }}={{e} \over {m_{0}}}{{\hbar } \over {2}}{\hat {\sigma }}={{e} \over {m_{0}}}{\hat {s}}$

(28.24)

Z powyższych rozważań wynika, że równania Diraca zawierają również spin elektronu.

Atom wodoru według teorii Diraca

Rozważmy atom wodoru według teorii Diraca, w tym celu przyjmijmy potencjał wektorowy magnetyczny za równy zero a skalarny potencjał elekryczny w polu jądra atomowego wodoru jest zdefiniowany:

$\varphi ={{e} \over {4\pi \epsilon _{0}r}}\;$

(28.25)

Wówczas operator Diraca (26.81) zapisujemy przy zerowym wektorowym potencjale magnetycznym i przy skalarnym potencjale elektryczny (28.25) w polu jądra atomowego, który wystepuje w równaniu własnym wspomnianego operatora energii całkowitej elektronu, wiedząc jednocześnie że ładunek elekronu jest ujemny, a jego wartość bezwzględna jest równa "e", wtedy jego równanie własne jest:

$\left[c({\hat {\alpha }}{\hat {p}})+m_{0}c^{2}\beta -{{e^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}r}}\right]\psi =E\psi \;$

(28.26)

Doprowadźmy nasze równanie tak by był opisywane we współrzędnych sferycznych, w prowadzając najpierw nowe operatory, za pomocą których opiszemy nasz Hamiltonian Diraca, których definicje są:

${\hat {k}}=\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}({\hat {\sigma }}{\hat {l}}+\hbar )\;$

(28.27)

${\hat {p}}_{r}=r^{-1}({\vec {r}}{\hat {p}}-i\hbar )=-i\hbar \left({{\partial } \over {\partial r}}+{{1} \over {r}}\right)\;$

(28.28)

${\hat {\epsilon }}=r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})\;$

(28.29)

Zauważmy, że operator ${\hat {k}}\;$ zależy tylko od współrzędnych kątowych, bo operator ${\hat {l}}\;$ zależy od współrzędnych kątowych na podstawie współrzędnych operatorów momentów pędu wyrażonych według wzorów (6.45), (6.46) i (6.47) wyrażonych we współrzędnych kulistych kątowych.

Operator ${\hat {p}}_{r}\;$ zależy od współrzędnych radialnych. A równanie na ${\hat {\epsilon }}\;$ od wektora jednostkowego, który jest wyznaczone według dwóch współrzędnych kątowych.

Podajmy kilka własności naszych nowych operatorów, po pierwsze można sprawdzić, że są to operatory hermitowskie, najpierw wykażmy to dla (28.27) ${\hat {k}}\;$:

${\hat {k}}^{+}=\left[\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}\left({\hat {\sigma }}{\hat {l}}+\hbar \right)\right]^{+}=\left({\hat {l}}^{+}{\hat {\sigma }}^{+}+\hbar \right)\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}^{+}=\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}\left({\hat {\sigma }}{\hat {l}}+\hbar \right)={\hat {k}}\;$

(28.30)

A następnie sprawdźmy, czy operator (28.28) ${\hat {p}}_{r}\;$ jest operatorem hermitowskim, ten dowód jest trochę trudny i nie jest wcale oczywisty, że ten operator jest w ogóle hermitowski:

${\hat {p}}_{r}^{+}=\left[r^{-1}\left({\vec {r}}{\hat {p}}-i\hbar \right)\right]^{+}=({\hat {p}}{\vec {r}}+i\hbar )r^{-1}=({\hat {p}}_{m}x_{m}+i\hbar )r^{-1}=(x_{m}{\hat {p}}_{m}-i\hbar \delta _{mm}+i\hbar )r^{-1}=(x_{m}{\hat {p}}_{m}-2i\hbar )r^{-1}=\;$
$=(x_{m}{\hat {p}}_{m}r^{-1}-2i\hbar r^{-1})=x_{m}r^{-1}{\hat {p}}_{m}+i\hbar x_{m}{{x_{m}} \over {r^{3}}}-2i\hbar r^{-1}=r^{-1}{\vec {r}}{\hat {p}}+i\hbar r^{-1}-2i\hbar r^{-1}=r^{-1}{\vec {r}}{\hat {p}}-i\hbar r^{-1}=\;$
$=r^{-1}\left({\vec {r}}{\hat {p}}-i\hbar \right)={\hat {p}}_{r}\;$

(28.31)

W końcu operator ${\hat {\epsilon }}\;$ (28.29) też udowodnimy w sposób bardzo łatwy, że jest operatorem hermitowskim:

$\epsilon ^{+}=\left[r^{-1}\left({\hat {\alpha }}{\vec {r}}\right)\right]^{+}=\left({\vec {r}}^{+}{\hat {\alpha }}^{+}\right)r^{-1}=r^{-1}\left({\hat {\alpha }}{\vec {r}}\right)={\hat {\epsilon }}\;$

(28.32)

Wykażmy, ile jest równy kwadrat operatora ${\hat {\epsilon }}\;$ (28.29), udowodniamy to korzystając z antykomutacji operatorów (26.19) dla różnych współrzędnych tegoż omawianego operatora:

${\hat {\epsilon }}^{2}=\left(r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})\right)^{2}=({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})^{2}=({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})=\sum _{ij}{\hat {\alpha }}_{i}{\hat {\alpha }}_{j}e_{ri}e_{rj}={{1} \over {2}}\sum _{ij}\left({\hat {\alpha }}_{i}{\hat {\alpha }}_{j}+{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{i}\right)e_{ri}e_{rj}={{1} \over {2}}\sum _{ij}2\delta _{ij}e_{ri}e_{rj}=\sum _{i}e_{ri}^{2}=1\;$

(28.33)

Następnie wyznaczmy antykomutator operatorów ${\hat {\epsilon }}\;$ i ${\hat {\beta }}\;$, wyznaczymy, że jest on równy zero, czyli te operatory antykomutują ze sobą. Udowodnimy to na podstawie antykomutacji operatorów ${\hat {\alpha }}_{i}\;$ i ${\hat {\beta }}\;$ wedle wzoru (26.20):

$\left\{{\hat {\epsilon }},{\hat {\beta }}\right\}={\hat {\epsilon }}{\hat {\beta }}+{\hat {\beta }}{\hat {\epsilon }}=({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}+{\hat {\beta }}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})=-{\hat {\beta }}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})+{\hat {\beta }}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})=0\;$

(28.34)

Udowodnijmy wyrażenie poniżej skonstrułowanych przy pomocy operatorów (28.27)(${\hat {k}}\;$), (28.28)(${\hat {p}}_{r}\;$) i (28.29)(${\hat {\epsilon }}\;$), którego wyrażenie mamy udowodnić w postaci lematu dla:

${\hat {\alpha }}{\hat {p}}={\hat {p}}_{r}{\hat {\epsilon }}+i\hbar r^{-1}{\hat {k}}{\hat {\epsilon }}{\hat {\beta }}\;$

(28.35)

A zatem do dzieła udowodnijmy wyrażenie (28.35) korzystając przy tym z tożsamości (26.31) (wzór na współrzędne operatora ${\hat {\sigma }}\;$), a także z własności (26.19), który jest antykomutatorem zbudowanym na współrzędnych operatora ${\hat {\alpha }}\;$:

${\hat {p}}_{r}{\hat {\epsilon }}+i\hbar r^{-1}{\hat {k}}{\hat {\epsilon }}{\hat {\beta }}=-i\hbar \left({{\partial } \over {\partial r}}+{{1} \over {r}}\right)r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})+i\hbar r^{-1}\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}({\hat {\sigma }}{\hat {l}}+\hbar )r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {r}}){\hat {\beta }}=-i\hbar {{\partial } \over {\partial r}}{{1} \over {r}}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})-i\hbar r^{-2}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})+\;$
$+ir^{-1}{\hat {\beta }}({\hat {\sigma }}{\hat {l}}+\hbar )r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {r}}){\hat {\beta }}=({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})-i\hbar r^{-2}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})+ir^{-1}{\hat {\beta }}({\hat {\sigma }}{\hat {l}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}+i\hbar r^{-1}{\hat {\beta }}r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {r}}){\hat {\beta }}=({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})+\;$
$-i\hbar r^{-2}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})+ir^{-2}{\hat {\beta }}({\hat {\sigma }}{\hat {l}})({\hat {\alpha }}{\vec {r}}){\hat {\beta }}-i\hbar r^{-2}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})=({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})-2i\hbar r^{-2}({\hat {\alpha }}r)-ir^{-2}({\hat {\sigma }}{\hat {l}})({\hat {\alpha }}{\vec {r}})=({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})-2i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})+\;$
$-{{1} \over {2}}r^{-1}{\hat {\alpha }}\times {\hat {\alpha }}r({\vec {e}}_{r}\times {\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})=({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})-2i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})-{{1} \over {2}}\epsilon _{ijk}{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k}\epsilon _{ilm}e_{rl}{\hat {p}}_{m}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})=({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})-2i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})+\;$
$+{{1} \over {2}}\epsilon _{kji}\epsilon _{ilm}{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k}e_{rl}{\hat {p}}_{m}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})=({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})-2i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})+{{1} \over {2}}\left(\delta _{kl}\delta _{jm}-\delta _{km}\delta _{jl}\right){\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k}e_{rl}{\hat {p}}_{m}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})=({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})+\;$
$-2i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})+{{1} \over {2}}\left({\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}-{\hat {\alpha }}_{l}{\hat {\alpha }}_{m}\right)e_{rl}{\hat {p}}_{m}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})=({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})-2i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})+{{1} \over {2}}\left(2{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}-2\delta _{lm}\right)e_{rl}{\hat {p}}_{m}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})=\;$
$=({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})-2i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})+{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}e_{rl}{\hat {p}}_{m}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})-({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {r}})=-2i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})+{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}e_{rl}{\hat {p}}_{m}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})=-2i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})+\;$
$+r^{-1}{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}x_{l}{\hat {p}}_{m}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})=-2i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})+r^{-1}{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}[{\hat {p}}_{m}x_{l}+i\hbar \delta _{lm}]({\hat {\alpha }}{\vec {r}})=-2i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})+r^{-1}{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}{\hat {p}}_{m}x_{l}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})+\;$
$+i\hbar r^{-1}{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}\delta _{lm}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})=-2i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})+r^{-1}{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}{\hat {p}}_{m}re_{rl}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})+i\hbar r^{-1}\sum _{m}{\hat {\alpha }}_{m}^{2}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})=-2i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})+\;$
$+r^{-1}{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}\left(r{\hat {p}}_{m}+({\hat {p}}_{m}r)\right)e_{rl}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})+i\hbar r^{-1}\sum _{m}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})=-2i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})+({\hat {\alpha }}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{l})^{2}-i\hbar r^{-1}{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}{{x_{m}} \over {r}}e_{rl}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})+\;$
$+3i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})=({\hat {\alpha }}{\hat {p}})\sum _{ml}{\hat {\alpha }}_{l}{\hat {\alpha }}_{m}e_{rl}e_{rm}-i\hbar r^{-1}{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}e_{rm}e_{rl}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})+i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})=({\hat {\alpha }}{\hat {p}})\sum _{m}{\hat {\alpha }}_{m}^{2}e_{rm}^{2}-i\hbar r^{-1}\sum _{m}{\hat {\alpha }}_{m}^{2}e_{rm}^{2}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})+\;$
$+i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})=({\hat {\alpha }}{\hat {p}})\sum _{m}e_{rm}^{2}-i\hbar r^{-1}\sum _{m}e_{rm}^{2}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})+i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})=({\hat {\alpha }}{\hat {p}})-i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})+i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})=({\hat {\alpha }}{\hat {p}})\;$

(28.36)

Co kończy dowód wyrażenia (28.35).

Równanie Diraca (28.26) na podstawie (28.35) przyjmuje zatem postać poniżej. Widzimy, że to równanie zależy od operatorów, tzn.: od (28.27), (28.28) oraz (28.29). Oczywiste jest, że to równanie Diraca jest równaniem niezależnym od czasu i jest równaniem własnym operatora energii:

$\left(c{\hat {p}}_{r}{\hat {\epsilon }}+i\hbar cr^{-1}{\hat {k}}{\hat {\epsilon }}{\hat {\beta }}+m_{0}c^{2}{\hat {\beta }}-{{e^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}r}}\right)\psi =E\psi \;$

(28.37)

Sprawdźmy czy wszystkie operatory występujące w równaniu własnym operatora energii (28.37) komutują ze sobą, zatem sprawdźmy cztery poniższe komutacje:

1° Sprawdżmy, czy komutator ${\hat {\epsilon }}_{\;}$ komutuje z ${\hat {p}}_{r}\;$:

$[{\hat {\epsilon }},{\hat {p}}_{r}]={\hat {\epsilon }}{\hat {p}}_{r}-{\hat {p}}_{r}{\hat {\epsilon }}=({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{e})(-i\hbar )\left({{\partial } \over {\partial r}}+{{1} \over {r}}\right)+i\hbar \left({{\partial } \over {\partial r}}+{{1} \over {r}}\right)({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{e})=\;$
$=-i\hbar \left[\left(({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{e}){{\partial } \over {\partial r}}-{{\partial } \over {\partial r}}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{e})\right)+\left(({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{e}){{1} \over {r}}-{{1} \over {r}}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{e})\right)\right]=0\;$

(28.38)

2° Sprawdźmy, czy ${\hat {\epsilon }}\;$ komutuje z ${\hat {k}}\;$:

$[{\hat {\epsilon }},{\hat {k}}]={\hat {\epsilon }}{\hat {k}}-{\hat {k}}{\hat {\epsilon }}=r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}({\hat {\sigma }}{\hat {l}}+\hbar )-\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}({\hat {\sigma }}{\hat {l}}+\hbar )r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})=({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}({\hat {\sigma }}{\hat {l}}+\hbar )-\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}({\hat {\sigma }}{\hat {l}}+\hbar )({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})=\;$

$=({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}{\hat {\sigma }}{\hat {l}}+({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}\hbar -\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}{\hat {\sigma }}{\hat {l}}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})-\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}\hbar ({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})=2({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}+({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}{\hat {\sigma }}{\hat {l}}-\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}{\hat {\sigma }}{\hat {l}}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})=\;$
$=2({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}-i{{1} \over {2}}r\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}({\hat {\alpha }}\times {\hat {\alpha }})({\vec {e}}_{r}\times {\hat {p}})+i{{1} \over {2}}r\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}({\hat {\alpha }}\times {\hat {\alpha }})({\vec {e}}_{r}\times {\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})=2({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}+\;$
$-i{{1} \over {2}}r\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})({\hat {\alpha }}\times {\hat {\alpha }})({\vec {e}}_{r}\times {\hat {p}}){\hat {\beta }}-i{{1} \over {2}}r\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}({\hat {\alpha }}\times {\hat {\alpha }})({\vec {e}}_{r}\times {\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}=2({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}-i{{1} \over {2}}r\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})\epsilon _{ijk}{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k}\epsilon _{ilm}e_{rl}{\hat {p}}_{m}{\hat {\beta }}+\;$
$-i{{1} \over {2}}r\hbar ^{-1}\epsilon _{ijk}{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k}\epsilon _{ilm}e_{rl}{\hat {p}}_{m}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}=2({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}+i{{1} \over {2}}r\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})\epsilon _{kji}\epsilon _{ilm}{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k}e_{rl}{\hat {p}}_{m}{\hat {\beta }}+i{{1} \over {2}}r\hbar ^{-1}\epsilon _{kji}\epsilon _{ilm}{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k}e_{rl}{\hat {p}}_{m}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}=\;$
$=2({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}+i{{1} \over {2}}r\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})\left[\delta _{kl}\delta _{jm}-\delta _{km}\delta _{jl}\right]{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k}e_{rl}{\hat {p}}_{m}{\hat {\beta }}+i{{1} \over {2}}r\hbar ^{-1}\left[\delta _{kl}\delta _{jm}-\delta _{km}\delta _{jl}\right]{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k}e_{rl}{\hat {p}}_{m}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}=\;$
$=2({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}+i{{1} \over {2}}r\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})\left[{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}-{\hat {\alpha }}_{l}{\hat {\alpha }}_{m}\right]e_{rl}{\hat {p}}_{m}{\hat {\beta }}+i{{1} \over {2}}r\hbar ^{-1}\left[{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}-{\hat {\alpha }}_{l}{\hat {\alpha }}_{m}\right]e_{rl}{\hat {p}}_{m}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}=\;$
$=2({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}+i{{1} \over {2}}r\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})\left[2{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}-2\delta _{lm}\right]e_{rl}{\hat {p}}_{m}{\hat {\beta }}+i{{1} \over {2}}r\hbar ^{-1}\left[2{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}-2\delta _{lm}\right]e_{rl}{\hat {p}}_{m}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}=\;$
$=2({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}+ir\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}e_{rl}{\hat {p}}_{m}{\hat {\beta }}-ir\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})({\vec {e}}_{r}{\hat {p}}){\hat {\beta }}+ir\hbar ^{-1}{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}e_{rl}{\hat {p}}_{m}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}-ir\hbar ^{-1}({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}=\;$
$=2({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}-ir\hbar ^{-1}({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}+ir\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}e_{rl}{\hat {p}}_{m}{\hat {\beta }}+ir\hbar ^{-1}{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}e_{rl}{\hat {p}}_{m}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}-ir\hbar ^{-1}({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}=\;$
$=2({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}-ir\hbar ^{-1}({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}+i\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}x_{l}{\hat {p}}_{m}{\hat {\beta }}+i\hbar ^{-1}{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}x_{l}{\hat {p}}_{m}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}-ir\hbar ^{-1}({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}=\;$

$=2({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}-ir\hbar ^{-1}({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}+i\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})[-{\hat {\alpha }}_{l}{\hat {\alpha }}_{m}+2\delta _{lm}]x_{l}{\hat {p}}_{m}{\hat {\beta }}+i\hbar ^{-1}{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}[{\hat {p}}_{m}x_{l}+i\hbar \delta _{lm}]({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}+\;$
$-ir\hbar ^{-1}({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}=2({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}-ir\hbar ^{-1}({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}-ir\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})({\hat {\alpha }}{\hat {p}}){\hat {\beta }}+2ri\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})({\vec {e}}_{r}{\hat {p}}){\hat {\beta }}\;$
$+i\hbar ^{-1}{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}({\hat {p}}_{m}re_{rl})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}-\sum _{m}{\hat {\alpha }}_{m}^{2}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}-ir\hbar ^{-1}({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}=2({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}-ir\hbar ^{-1}({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}+\;$
$-ir\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})({\hat {\alpha }}{\hat {p}}){\hat {\beta }}+ri\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})({\vec {e}}_{r}{\hat {p}}){\hat {\beta }}+i\hbar ^{-1}{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}(r{\hat {p}}_{m}-i\hbar {{x_{m}} \over {r}})e_{rl}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}-\sum _{m}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}=2({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}+\;$
$-ir\hbar ^{-1}({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}-ir\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})({\hat {\alpha }}{\hat {p}}){\hat {\beta }}+ri\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})({\vec {e}}_{r}{\hat {p}}){\hat {\beta }}+ir\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})^{2}{\hat {\beta }}+{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}e_{rm}e_{rl}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}+\;$
$-3({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}=2({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}-ir\hbar ^{-1}({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}-ir\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\hat {p}}){\hat {\beta }}+ri\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})({\vec {e}}_{r}{\hat {p}}){\hat {\beta }}+ir\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\hat {p}}){\hat {\beta }}+({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}-3({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}=0\;$

(28.39)

3° Sprawdźmy, czy komutator ${\hat {p}}_{r}\;$ komutuje z ${\hat {k}}\;$, zatem:

$[{\hat {p}}_{r},{\hat {k}}]={\hat {p}}_{r}{\hat {k}}-{\hat {k}}{\hat {p}}_{r}=0\;$

(28.40)

Komutator (28.40) jest równy zero na podstawie, że operator ${\hat {p}}_{r}\;$, zależy od współrzędnych radialnych, a ${\hat {k}}\;$ od współrzędnych kątowych.

4° Sprawdźmy czy operator ${\hat {k}}\;$ komutuje z ${\hat {\beta }}\;$:

$[{\hat {k}},{\hat {\beta }}]=\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}({\hat {\sigma }}{\hat {l}}+\hbar ){\hat {\beta }}-{\hat {\beta }}\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}({\hat {\sigma }}{\hat {l}}+\hbar )=\hbar ^{-1}({\hat {\sigma }}{\hat {l}}+\hbar ){\hat {\beta }}^{2}-{\hat {\beta }}^{2}\hbar ^{-1}({\hat {\sigma }}{\hat {l}}+\hbar )=\hbar ^{-1}({\hat {\sigma }}{\hat {l}}+\hbar )-\hbar ^{-1}({\hat {\sigma }}{\hat {l}}+\hbar )=0\;$

(28.41)

Zdefiniujmy operatory ${\hat {\beta }}\;$ i ${\hat {\epsilon }}\;$ jako zwykłe macierze wedle sposobu:

${\hat {\beta }}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\;$

(28.42)

${\hat {\epsilon }}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\;$

(28.43)

Sprawdźmy, czy zachodzi (26.10) na operatorze ${\hat {\beta }}\;$, czyli czy kwadrat tego operatora jest macierzą jednostkową, którego operator zdefiniowany jest wedle (28.42), a dowód tej własności przebiega:

${\hat {\beta }}^{2}={\hat {\beta }}{\hat {\beta }}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\hat {1}}\;$

(28.44)

a także zachodzi (28.33) na operatorze ${\hat {\epsilon }}\;$, czyli czy kwadrat tegoż operatora jest macierzą jednostkową dla operatora zdefiniowanej wedle (28.43), zatem udowodnijmy tą własność:

${\hat {\epsilon }}^{2}={\hat {\epsilon }}{\hat {\epsilon }}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\hat {1}}\;$

(28.45)

Sprawdźmy, czy na operatorach (28.42) (${\hat {\beta }}\;$) i (28.43) (${\hat {\epsilon }}\;$) zachodzi antykomutacja (28.34), stąd:

$\{{\hat {\epsilon }},{\hat {\beta }}\}={\hat {\epsilon }}{\hat {\beta }}+{\hat {\beta }}{\hat {\epsilon }}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\\\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&-i\\-i&0\\\end{pmatrix}}=0\;$

(28.46)

Na podstawie (28.46) oraz (28.44) i (28.45) udowodniliśmy, że operatory ${\hat {\beta }}\;$ i ${\hat {\epsilon }}\;$ mają postać (28.42) i (28.43).

Udowodniliśmy, że operator ${\hat {k}}\;$ komutuje z ${\hat {p}}_{r}\;$ (28.40), a następnie z operatorem ${\hat {\epsilon }}\;$ (28.39), dalej z ${\hat {\beta }}\;$ (28.41), na tej podstawie dochodzimy do wniosku, że równanie własne operatora hamiltonianu w (28.37), w którym występuje hamiltonian komutatujący z operatorem ${\hat {k}}\;$ (28.27):

$[{\hat {k}},{\hat {H}}]=0\;$

(28.47)

Pozwala to rozwiązywać równanie w bazie jednoczesnych funkcji własnych ${\hat {H}}\;$ i ${\hat {k}}\;$. Równanie własne operatora ${\hat {k}}\;$ jest w postaci (28.27):

${\hat {k}}\psi =k\psi \;$

(28.48)

• gdzie $k\;$ jest wartościa własną operatora ${\hat {k}}\;$.

Teraz zajmijmy się operatorem ${\hat {k}}\;$ podstawiając za ${\hat {\sigma }}\;$, który można wyliczyć z (28.22) wyrażenie na ${\hat {\sigma }}\;$ w zależności od operatora spinu cząstki kwantowej:

${\hat {\sigma }}={{2} \over {\hbar }}{\hat {s}}\;$

(28.49)

Iloczyn operatora ${\hat {\sigma }}\;$ i operatora momentu pędu na podstawie wzoru (28.49) można podstawić do poniższego wyrażenia otrzymując wyrażenie proporcjonalne do iloczynu operatora momentu pędu spinowego przez orbitalny:

${\hat {\sigma }}{\hat {l}}={{2} \over {\hbar }}{\hat {s}}{\hat {l}}\;$

(28.50)

Wiemy, że operator całkowitego momentu pędu jest sumą operatora momentu pędu orbitalnego i spinowego momentu pędu badanej cząstki:

${\hat {j}}={\hat {l}}+{\hat {s}}\;$

(28.51)

Można podnieść do kwadratu wyrażenie operatorowe (28.51), to otrzymujemy inny wzór wynikowy, w którym występują kwadraty różnych operatorów momentu pęd oraz wyraz mieszany będącej iloczynem momentu pędu orbitalnego i spinowego elektronu:

${\hat {j}}^{2}={\hat {l}}^{2}+{\hat {s}}^{2}+2{\hat {l}}{\hat {s}}\;$

(28.52)

Z (28.52) wyznaczamy wyrażenie $2{\hat {l}}{\hat {s}}\;$, w tym celu przenieśmy wyraz mieszany na lewą stronę równania (28.52) z jego prawej strony, a pozostałe wyraży występujące po lewej stronie ostatniego wyrażenia na jego prawo stronę, dostajemy:

$2{\hat {l}}{\hat {s}}={\hat {j}}^{2}-{\hat {l}}^{2}-{\hat {s}}^{2}\;$

(28.53)

Podstawiamy za ${\hat {\sigma }}{\hat {l}}\;$ wyrażenie (28.53) do wzoru operatorowego (28.50), wtedy dostajemy równoważne równanie do tego ostatniego równanie:

$\hbar {\hat {\sigma }}{\hat {l}}=\left[{\hat {j}}^{2}-{\hat {l}}^{2}-{\hat {s}}^{2}\right]\Rightarrow {\hat {\sigma }}{\hat {l}}=\hbar ^{-1}\left[{\hat {j}}^{2}-{\hat {l}}^{2}-{\hat {s}}^{2}\right]\;$

(28.54)

Operator (28.27) na podstawie własności operatorowej (28.54) możemy przestawić podstawiając do niego wyrażenie na ${\hat {\sigma }}{\hat {l}}\;$ wedle wzoru tego ostatniego, to dostaniemy inny równoważny wzór na operator ${\hat {k}}\;$ w stosunku do pierwotnej definicji (28.27):

${\hat {k}}=\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}\left[\hbar ^{-1}\left({\hat {j}}^{2}-{\hat {l}}^{2}-{\hat {s}}^{2}\right)+\hbar \right]=\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}\hbar \left[\hbar ^{-2}\left({\hat {j}}^{2}-{\hat {l}}^{2}-{\hat {s}}^{2}\right)+1\right]={\hat {\beta }}\left[\hbar ^{-2}\left({\hat {j}}^{2}-{\hat {l}}^{2}-{\hat {s}}^{2}\right)+1\right]\;$

(28.55)

Mając wartości własne kwadratu operatora całkowitego momentu pędu ${\hat {j}}^{2}\;$ kwadratu operatora orbitalnego momentu pędu ${\hat {l}}^{2}\;$ i ostatecznie kwadratu operatora spinowego ${\hat {s}}^{2}\;$ i ze względu na elementy operatora ${\hat {\beta }}\;$, które mają wartość 1 lub -1 na podstawie wyrażenia (26.21), mamy:

$k=\pm \left\{\hbar ^{-2}\left[j(j+1)\hbar ^{2}-l(l+1)\hbar ^{2}-s(s+1)\hbar ^{2}\right]+1\right\}=\pm \left[j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)+1\right]\;$

(28.56)

• gdzie:$s={{1} \over {2}}\;$.

Mając liczbę kwantową całkowitego momentu pędu "j" dla cząstki o spinie równą połowie jedynki, to wyznaczymy z niego wzór na liczbę kwantową orbitalnego momentu pędu w zależności od liczby kwantowej całkowitego momentu pędu:

$j=l\mp {{1} \over {2}}\Rightarrow l=j\pm {{1} \over {2}}\;$

(28.57)

A więc dla $l=j-{{1} \over {2}}\;$ według (28.57) wartość własna równania własnego (28.48), na podstawie (28.56), przestawiamy:

$k=\pm \left[j(j+1)-(j-{{1} \over {2}})(j+{{1} \over {2}})+{{1} \over {4}}\right]=\pm \left[j^{2}+j-j^{2}-{{1} \over {2}}j+{{1} \over {2}}j+{{1} \over {4}}+{{1} \over {4}}\right]=\pm \left[j+{{1} \over {2}}\right]\;$

(28.58)

oraz dla $l=j+{{1} \over {2}}\;$ według (28.57), wtedy wartość własna równania własnego (28.48), na podstawie (28.56), przestawiamy:

$k=\pm \left[j^{2}+j-(j+{{1} \over {2}})(j+{{3} \over {2}})+{{1} \over {4}}\right]=\pm \left[j^{2}+j-j^{2}-j{{3} \over {2}}-j{{1} \over {2}}-{{3} \over {4}}+{{1} \over {4}}\right]=\mp \left[j+{{1} \over {2}}\right]\;$

(28.59)

Ponieważ wartości własne ${\hat {j}}\;$ całkowitego momentu pędu mają wartości ułamkowe połówkowe, zatem na podstawie (28.58) (dla (28.57) z minusem) i (28.59) (dla (28.57) z plusem) dochodzimy więc do wniosku, że wartościami własnymi operatora (28.27) są liczby całkowite bez zera:

$k=\pm 1,\pm 2,\pm 3,...\;$

(28.60)

Mając na uwadze powyższe rozważania przedstawmy funkcję $\psi \;$ jako wektor funkcji, jako dwuskładnikowsy wektor kolumnowy, czyli spinor:

$\psi ={\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{pmatrix}}\;$

(28.61)

Biorąc spinor (28.61) jako wektor własny, a także definicję macierzy (28.42) i (28.43), to równanie Diraca (28.37) przyjmuje kształt:

$\left\{c{\hat {p}}_{r}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}+{{i\hbar c{\hat {k}}} \over {r}}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}+m_{0}c^{2}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}-{{e^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}r}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\right\}{\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{pmatrix}}=E{\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{pmatrix}}\;$

(28.62)

Po dalszych przekształceniach powyższego równania (28.62) dotyczące przemnożenia pewnych macierzy, otrzymujemy inne równoważne do poprzedniego macierzowe równanie Diraca dla elektronu:

$\left\{c{\hat {p}}_{r}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}+{{i\hbar c{\hat {k}}} \over {r}}{\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}+m_{0}c^{2}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}-{{e^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}r}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\right\}{\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{pmatrix}}=E{\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{pmatrix}}\;$

(28.63)

Z równania macierzowego (28.63) stanowiących jakoby układ dwóch równań, otrzymujemy dwa równania zależne od siebie:

${\begin{cases}(m_{0}c^{2}-E-{{e^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}r}})\psi _{1}-(ic{\hat {p}}_{r}+{{\hbar c{\hat {k}}} \over {r}})\psi _{2}=0\\-(m_{0}c^{2}+E+{{e^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}r}})\psi _{2}+(ic{\hat {p}}_{r}-{{\hbar c{\hat {k}}} \over {r}})\psi _{1}=0\end{cases}}$

(28.64)

Następnym naszym krokiem jest podstawienie za operator ${\hat {p}}_{r}\;$ (28.28) jego definicji w układzie równań (28.64):

${\begin{cases}\left(m_{0}c^{2}-E-{{e^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}r}}\right)\psi _{1}-\hbar c\left({{\hat {k}} \over {r}}+{{\partial } \over {\partial r}}+{{1} \over {r}}\right)\psi _{2}=0\\-hc\left({{\hat {k}} \over {r}}-{{\partial } \over {\partial r}}-{{1} \over {r}}\right)\psi _{1}-\left(m_{0}c^{2}+E+{{e^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}r}}\right)\psi _{2}=0\end{cases}}\;$

(28.65)

Ponieważ operator ${\hat {k}}\;$ zależy od współrzędnych kątowych, a nie radialnym, stąd wynika, że funkcje $\psi _{1}\;$ i $\psi _{2}\;$ mają jednakową funkcję kątową, co wynika, że dla obu równań (28.65) wartość własna operatora ${\hat {k}}\;$ powinna być taka sama, z definiujmy w takim wypadku te opisywane funkcje:

$\psi _{1}={{f_{1}(r)} \over {r}}\phi \;$

(28.66)

$\psi _{2}={{f_{2}(r)} \over {r}}\phi \;$

(28.67)

Zajmijmy się teraz pierwszym równaniem układu równań (28.65), do niego możemy wstawić funkcje, tzn.:$\psi _{1}\;$ (28.66) i $\psi _{2}\;$ (28.67) oraz za ${\hat {k}}\;$ należy wstawić wartość własną tego operatora, co wynika z definicji jego wartości własnej:

$\left(m_{0}c^{2}-E-{{e^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}r}}\right){{f_{1}(r)} \over {r}}\phi -\hbar c\left({{\hat {k}} \over {r}}+{{\partial } \over {\partial r}}+{{1} \over {r}}\right){{f_{2}(r)} \over {r}}\phi =0\;$

(28.68)

Pomnóżmy teraz lewostronnie (28.68) przez odległość radialną r:

$\left(m_{0}c^{2}-E-{{e^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}r}}\right)f_{1}(r)-\hbar c\left({{k} \over {r}}f_{2}(r)+r{{\partial } \over {\partial r}}{{f_{2}(r)} \over {r}}+{{1} \over {r}}f_{2}(r)\right)=0\;$

(28.69)

Rozpiszmy tożsamość poniżej korzystając z twierdzenia o pochodnej ilorazu:

$r{{d} \over {dr}}{{f_{2}} \over {r}}=r{{{{df_{2}} \over {dr}}r-f_{2}} \over {r^{2}}}=({{d} \over {dr}}-{{1} \over {r}})f_{2}(r)\;$

(28.70)

A zatem nasze pierwsze równanie uzyskujemy z (28.69), po dokonaniu w nim obliczeń pomocniczych wedle schematu (28.70), przyjmuje ona wtedy postać:

$\left(m_{0}c^{2}-E-{{e^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}r}}\right)f_{1}(r)-\hbar c\left({{k} \over {r}}+{{d} \over {dr}}\right)f_{2}(r)=0\;$

(28.71)

W tej chwili zajmować się będziemy drugim równaniem (28.65) podstawiając do niego za $\psi _{1}\;$ (28.66) i za $\psi _{2}\;$ (28.67):

$-hc\left({{\hat {k}} \over {r}}-{{\partial } \over {\partial r}}-{{1} \over {r}}\right){{f_{1}(r)} \over {r}}\phi -\left(m_{0}c^{2}+E+{{e^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}r}}\right){{f_{2}(r)} \over {r}}\phi =0\;$

(28.72)

Przekształćmy nasze aktualne równanie:

$-hc\left({{k} \over {r}}{{f_{1}(r)} \over {r}}-{{\partial } \over {\partial r}}{{f_{1}(r)} \over {r}}-{{1} \over {r}}{{f_{1}(r)} \over {r}}\right)-\left(m_{0}c^{2}+E+{{e^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}r}}\right){{f_{2}(r)} \over {r}}=0\;$

(28.73)

Pomnóżmy lewostronnie równanie (28.73) przez odległość radialną r, wtedy otrzymujemy równość napisaną w zależności od funkcji $f_{1}(r)\;$ i $f_{2}(r)\;$:

$-hc\left({{k} \over {r}}f_{1}(r)-r{{\partial } \over {\partial r}}{{f_{1}(r)} \over {r}}-{{1} \over {r}}f_{1}(r)\right)-\left(m_{0}c^{2}+E+{{e^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}r}}\right)f_{2}(r)=0\;$

(28.74)

Zatem ostatecznie drugie równanie wynikającego z (28.74) i po dokonaniu w nim obliczeń pomocniczych, wykorzystując tożsamość (28.70), przyjmuje postać:

$\hbar c\left({{k} \over {r}}-{{d} \over {dr}}\right)f_{1}(r)+\left(m_{0}c^{2}+E+{{e^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}r}}\right)f_{2}(r)=0\;$

(28.75)

Dokonajmy podstawień do równań (28.71) (pierwsze równanie) i (28.75) (drugie równanie) w postaci:

$c_{1}={{\hbar c} \over {m_{0}c^{2}+E}}\;$

(28.76)

$c_{2}={{\hbar c} \over {m_{0}c^{2}-E}}\;$

(28.77)

$\alpha ={{e^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}\;$

(28.78)

Zatem równanie (28.71) i (28.75) na podstawie podstawień (28.76)($c_{1}\;$), (28.77)($c_{2}\;$) i (28.78)($\alpha \;$) przyjmują postacie zapisaną w układzie równań:

${\begin{cases}\left({{1} \over {c_{2}}}-{{\alpha } \over {r}}\right)f_{1}-\left({{k} \over {r}}+{{d} \over {dr}}\right)f_{2}=0\\\left({{k} \over {r}}-{{d} \over {dr}}\right)f_{1}+\left({{1} \over {c_{1}}}+{{\alpha } \over {r}}\right)f_{2}=0\end{cases}}\;$

(28.79)

Nastepnie wyodrębnijmy ten sam czynnik wykładniczy z funkcji $f_{1}\;$ i $f_{2}\;$, tzn.:

$f_{1}=u_{1}(r)e^{-ar}\;$

(28.80)

$f_{2}=u_{2}(r)e^{-ar}\;$

(28.81)

W (28.80) i (28.81) stała "a" jest zależna od energii całkowitej elektronu i od jego masy spoczynkowej, jest zdefiniowane jako stała:

$a={{\sqrt {m_{0}c^{2}-E^{2}}} \over {\hbar c}}\;$

(28.82)

Podstawiając te funkcje (28.80) i (28.81) do dwóch rozważanych równań (28.79), mamy:

${\begin{cases}\left({{1} \over {c_{2}}}-{{\alpha } \over {r}}\right)u_{1}-\left({{k} \over {r}}-a\right)u_{2}-{{du_{2}} \over {dr}}=0\\\left({{k} \over {r}}+a\right)u_{1}+\left({{1} \over {c_{1}}}+{{\alpha } \over {r}}\right)u_{2}-{{du_{1}} \over {dr}}=0\end{cases}}\;$

(28.83)

Dokonajmy podstawień za funkcje $u_{1}(r)\;$ i $u_{2}(r)\;$ pewnymi nieskończonymi szeregami potęgowymi zapisane jako kombinacja liniowa z pewnymi współczynnikami względem poszczególnych potęg odległości radialnych:

$u_{1}(r)=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}r^{\mu +m}\;$

(28.84)

$u_{2}(r)=\sum _{m=1}^{\infty }d_{m}r^{\mu +m}\;$

(28.85)

• gdzie $\mu \geq 0\;$, co gwarantuje rozpoczęcia w szeregu potęgowym opisanym powyżej, których wykładnik potęgi jest większy niż "m" w szeregach powyżej zdefiniowanych.

Dokonajmy podstawień szeregów $u_{1}(r)\;$ (28.84) i $u_{2}(r)\;$ (28.85), do pierwszego równania (28.83).

${{1} \over {c_{2}}}\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}r^{\mu +m}-\alpha \sum _{m=1}^{\infty }b_{m}r^{\mu +m-1}-k\sum _{m=1}^{\infty }d_{m}r^{\mu +m-1}+a\sum _{m=1}^{\infty }d_{m}r^{\mu +m}-\sum _{m=1}^{\infty }d_{m}(\mu +m)r^{\mu +m-1}=0\;$

(28.86)

Dokonajmy podstawień wedle schematu m'=m+1 dla pierwszego i czwartego wyrazu równania (28.86) w ten sposób, by w tym równaniu mieć te same potęgi, by później współczynnik stojący przy tej potędze przyrównać do zera, jeśli wszystkie wyrazy występując po przegrupowaniu występują w czynniku przy tym obiekcie, a zatem dochodzimy do wniosku po odpowiedniej zamianie parametrów m:

${{1} \over {c_{2}}}\sum _{m=2}^{\infty }b_{m-1}r^{\mu +m-1}-\alpha \sum _{m=1}^{\infty }b_{m}r^{\mu +m-1}-k\sum _{m=1}^{\infty }d_{m}r^{\mu +m-1}+a\sum _{m=2}^{\infty }d_{m-1}r^{\mu +m-1}-\sum _{m=1}^{\infty }d_{m}(\mu +m)r^{\mu +m-1}=0\;$

(28.87)

Grupując względem tych samych potęg w (28.87), zależność na współczynnikach (pierwsze równanie poniżej) i warunek brzegowy (drugie równanie) przedstawia się:

Równanie iteracyjne pierwsze

${{1} \over {c_{2}}}b_{m-1}-\alpha b_{m}+ad_{m-1}-(\mu +m+k)d_{m}=0\;$

(28.88)

Równanie brzegowe pierwsze

$-\alpha b_{1}-kd_{1}-d_{1}(\mu +1)=0\;$

(28.89)

Dokonajmy teraz podstawień do drugiego równania (28.83) w szeregach potęgowych (28.84) i (28.85):

$k\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}r^{\mu +m-1}+a\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}r^{\mu +m}+{{1} \over {c_{1}}}\sum _{m=1}^{\infty }d_{m}r^{\mu +m}+\alpha \sum _{m=1}^{\infty }d_{m}r^{\mu +m-1}-\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}(\mu +m)r^{\mu +m-1}=0\;$

(28.90)

Podstawmy do drugiego i trzeciego wyrazu przy pomocy schematu m=m'-1 do powyższego równania, by w tym równaniu mieć te same potęgi "r", by później współczynniki stojący przy tej potędze przyrównać do zera:

$k\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}r^{\mu +m-1}+a\sum _{m=2}^{\infty }b_{m-1}r^{\mu +m-1}+{{1} \over {c_{1}}}\sum _{m=2}^{\infty }d_{m-1}r^{\mu +m-1}+\alpha \sum _{m=1}^{\infty }d_{m}r^{\mu +m-1}-\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}(\mu +m)r^{\mu +m-1}=0\;$

(28.91)

Grupując względem tych samych potęg w (28.91), zatem równanie iteracyjne między współczynnikami (pierwsze równanie poniżej) i warunek brzegowy (drugie równanie) przedstawia się:

Równanie iteracyjne drugie

$ab_{m-1}-(\mu +m-k)b_{m}+{{1} \over {c_{1}}}d_{m-1}+\alpha d_{m}=0\;$

(28.92)

Równanie brzegowe drugie

$kb_{1}+\alpha d_{1}-b_{1}(\mu +1)=0\;$

(28.93)

Następnie możemy wyregułować wyrazy z m-1, jeśli (28.88) pomnożymy przez "a" a (28.92) przez ${{1} \over {c_{2}}}\;$, pamiętając jednak, że zachodzi tożsamość: $a^{2}={{1} \over {c_{1}c_{2}}}\;$, mamy:

${{1} \over {c_{1}c_{2}}}={{(m_{0}c^{2}-E)(m_{0}c^{2}+E)} \over {\hbar ^{2}c^{2}}}={{mc^{4}-E^{2}} \over {h^{2}c^{2}}}=a^{2}\;$

(28.94)

Co kończy dowód powyższego lematu.

Po tych operacjach odejmujemy obustronnie tak otrzymane oba te równania, możemy napisać, że:

$-\alpha ab_{m}-(\mu +m+k)ad_{m}+(\mu +m-k){{1} \over {c_{2}}}b_{m}-\alpha {{1} \over {c_{2}}}d_{m}=0\;$

(28.95)

Grupujemy wyrazy względem $b_{m}\;$ i $d_{m}\;$ w (28.95), mamy:

$\left({{\mu +m-k} \over {c_{2}}}-\alpha a\right)b_{m}-\left((\mu +m+k)a+{{\alpha } \over {c_{2}}}\right)d_{m}=0\;$

(28.96)

Jest to ogólny związek wziążacy współczynniki $b_{m}\;$ z $d_{m}\;$. Zbieżność szeregu dla dużych m według (28.96) można tak zapisać, by we wspomnianym równaniu można pominąć wszystkie składniki za wyjątkiem wyrazów z m, bo wyrazy z m są o wiele większe niż bez niego, zatem dla dużego m ostatnie równanie możemy zapisać wedle schematu:

${{m} \over {c_{2}}}b_{m}-mad_{m}=0\Rightarrow {{m} \over {c_{2}}}b_{m}=mad_{m}\Rightarrow b_{m}=c_{2}ad_{m}\;$

(28.97)

Tożsamość (28.88) dla dużych m, podobnie jak przy pisaniu (28.97), przyjmuje postać:

${{1} \over {c_{2}}}b_{m-1}-\alpha b_{m}+ad_{m-1}-md_{m}=0\;$

(28.98)

Podstawiamy zależność (28.97) do ostatniego równania (28.98) w celu wyznaczenia zależności iteracyjnej współczynników $d_{i}\;$ występujących w (28.85), otrzymujemy:

$ad_{m-1}-\alpha c_{2}ad_{m}+ad_{m-1}-md_{m}=0\;$

(28.99)

Dla dużych "m" prawie nieskończonych, równanie (28.99) przechodzi w równoważną równość:

$ad_{m-1}+ad_{m-1}=md_{m}\Rightarrow 2ad_{m-1}=md_{m}\;$

(28.100)

Ostatecznie otrzymujemy z równości (28.100) stosunek dwóch współczynników d_m występujących w szeregu (28.85) jako stosunek czynnika o wskaźniku dolnym m przez współczynnik o wskaźniku m-1:

${{d_{m}} \over {d_{m-1}}}={{2a} \over {m}}\;$

(28.101)

Tak samo jak w ilorazie (28.101), który zachodzi dla dużych m, które zachowują się jak współczynniki szeregu eksponencjalnego o wykładniku 2ar, że w ten sam w sposób, ale dla dużych m dokładnie to samo:

$e^{2ar}=1+{{2ar} \over {1!}}+{{(2ar)^{2}} \over {2!}}+...\;$

(28.102)

• gdzie:

${{a_{m}} \over {a_{m-1}}}={{(2m)^{2}} \over {m!}}{{(m-1)!} \over {(2a)^{m-1}}}={{2a} \over {m}}\;$

(28.103)

Funkcja e^2ar dąży w nieskończonościach do nieskończoności, zatem aby nasz szereg był zbieżny w nieskończoności musimy urwać nasz szereg u₂(r) (28.85) na pewnym wyrazie, by on był zbieżny w nieskończoności, podobnie wnioskujemy dla drugiego szeregu, czyli u₁(r) (28.84). Wiadomo,że jeśli b_m=0, to d_m=0 na podstawie (28.96). Jeśli nasze szeregi, zarówno dla u₁(r) lub dla u₂(r), należy urwać na pewnym wskaźniku m=s+1. Zbierając wszystko z równania (28.88), podstawiamy za wyrazy ze wskażnikiem m+1 jako zero (bo urywamy), a wyrazy ze wskaźnikiem m pozostawiamy i dalej zamieniamy m na s, jeśli ostatnio w naszym równaniu (28.92) dokonaliśmy podstawienia m=m'+1, tylko wtedy można tak źrobić, a drugie wyrażenie (28.96) przepisujemy wstawiając za m wskaźnik s:

${{1} \over {c_{2}}}b_{s}+ad_{s}=0\;$

(28.104)

$\left({{\mu +s-k} \over {c_{2}}}-\alpha a\right)b_{s}-\left[(\mu +s+k)a+{{\alpha } \over {c_{2}}}\right]d_{s}=0\;$

(28.105)

Ponieważ oba współczynniki rozwinięcia nie mogą być równe zero, podstawiamy równanie wynikające z (28.104), tzn. wyznaczamy z niego wyrażenie na b_s, to wszystko podstawiamy za ten sam współczynnik do tożsamości (28.105), mamy:

$\left({{\mu +s-k} \over {c_{2}}}-\alpha a\right)(-c_{2})ad_{s}-\left[(\mu +s+k)a+{{\alpha } \over {c_{2}}}\right]d_{s}=0\;$

(28.106)

Dzielimy obie strony (28.106) przez wyrażenie w ogólności niezerowe c₂d_s, otrzymujemy:

$a\left({{\mu +s-k} \over {c_{2}}}-\alpha a\right)+{{1} \over {c_{2}}}\left((\mu +s+k)a+{{\alpha } \over {c_{2}}}\right)=0\;$

(28.107)

Dokonujemy dalszych przekształceń w tożsamości (28.107), wtedy:

$2(\mu +s)a{{1} \over {c_{2}}}=a^{2}\alpha -{{\alpha } \over {c_{2}^{2}}}\;$

(28.108)

Po podstawieniu za a² wzoru napisanego według (28.94) do równania (28.108) wyrażając je względem stałych c₁ i c₂, narazie zapominając od definicji tychże stałych, mamy:

$2(\mu +s)a{{1} \over {c_{2}}}={{\alpha } \over {c_{1}c_{2}}}-{{\alpha } \over {c_{2}^{2}}}\;$

(28.109)

Równanie (28.109) mnożymy przez c₂, otrzymujemy:

$(\mu +s)a=\alpha \left({{1} \over {c_{1}}}-{{1} \over {c_{2}}}\right)\;$

(28.110)

Do równania (28.110) wstawiając stałe za "a" (28.94) (jego definicja zależy od energii całkowitej cząstki i zależności od jego masy spoczynkowej), c₁ (28.76)(definicja) oraz c₂ (28.77) (definicja)

$2(\mu +s){{\sqrt {m_{0}^{2}c^{4}-E^{2}}} \over {\hbar c}}={{2\alpha E} \over {\hbar c}}\;$

(28.111)

Pomnóżmy ostatnie równanie przez stałą zależną od stałej kreślonej Plancka i prędkości światła ${{\hbar c} \over {2}}\;$, mamy:

$(\mu +s){\sqrt {m_{0}^{2}c^{4}-E^{2}}}=\alpha E\;$

(28.112)

Podnieśmy równanie (28.112) do kwadratu w celu usunięcia niewymierności we wspomnianym ostatnio równaniu, można powiedzieć:

$(\mu +s)^{2}(m_{0}^{2}c^{4}-E^{2})=\alpha ^{2}E^{2}\;$

(28.113)

Wyznaczmy z (28.113) parametr E, który jest energią cząstki wynikająca z mechaniki kwantowej Diraca, która jest wartością własną operatorta energii całkowitej, zatem otrzymujemy ostatecznie:

$(\mu +s)^{2}m_{0}^{2}c^{4}-(\mu +s)^{2}E^{2}=\alpha ^{2}E^{2}\Rightarrow E^{2}(\alpha ^{2}+(\mu +s)^{2})=(\mu +s)^{2}m_{0}^{2}c^{4}\Rightarrow E^{2}={{m_{0}^{2}c^{4}(\mu +s)^{2}} \over {\alpha ^{2}+(\mu +s)^{2}}}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow E^{2}={{m_{0}^{2}c^{4}} \over {1+{{\alpha ^{2}} \over {(\mu +s)^{2}}}}}\Rightarrow E={{m_{0}c^{2}} \over {\sqrt {1+{{\alpha ^{2}} \over {(\mu +s)^{2}}}}}}\;$

(28.114)

Teraz zajmniemy się dwoma warunkami brzegowymi dla m=1, tzn. (28.89) i (28.93):

$-\alpha b_{1}-kd_{1}-d_{1}(\mu +1)=0\;\;$

(28.115)

$kb_{1}+\alpha d_{1}-b_{1}(\mu +1)=0\;\;$

(28.116)

|} Te dwa ostatnie równania możemy przekształcić, czyli (28.115) i (28.116), do równoważnej bardziej uproszczonej postaci:

$\alpha b_{1}=-(\mu +1+k)d_{1}\;\;$

(28.117)

$b_{1}(\mu +1-k)=\alpha d_{1}\;\;$

(28.118)

Dwa ostatnie dwa równania dzielimy obustronnie przez siebie, tzn. równości (28.117) przez (28.118), wtedy mamy pojedynczy wzór na warunek brzegowy:

${{\alpha } \over {\mu +1-k}}=-{{\mu +1+k} \over {\alpha }}\;\;$

(28.119)

Następnie w (28.118) wyznaczmy wzór na stałą μ występujących w szeregach potęgowych w wykładnikach potęg, czyli w (28.84) i (28.85):

$(\mu +1-k)(\mu +1+k)=-\alpha ^{2}\Rightarrow \alpha ^{2}+(\mu +1-k)(\mu +1+k)=0\Rightarrow \alpha ^{2}+(\mu +1)^{2}-k^{2}=0\Rightarrow k^{2}-\alpha ^{2}=(\mu +1)^{2}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow \mu +1={\sqrt {k^{2}-\alpha ^{2}}}\Rightarrow \mu ={\sqrt {k^{2}-\alpha ^{2}}}-1\;\;$

(28.120)

A zatem energia całkowita elektronu otrzymujemy, podstawiając stałą μ zdefiniowaną wedle (28.120) do wzoru na całkowitą energię elektronu (28.114), wtedy mamy wniosek:

$E={{m_{0}c^{2}} \over {\sqrt {1+{{\alpha ^{2}} \over {\left({\sqrt {k^{2}-\alpha ^{2}}}-1+s\right)^{2}}}}}}\;$

(28.121)

Dokonajmy przybliżeń w tym celu obierzmy stałą n^', która jest zależna od kwantowej liczby k zdefiniowanej wedle (28.60), stałej struktury subtelnej i elementu s, definiujemy ją wedle:

$n'=s-1+{\sqrt {k^{2}-\alpha ^{2}}}\;$

(28.122)

Podstsawienie napisaną wedle tożsamości (28.122) podstawiamy do wzoru na energię (28.121):

$E={{m_{0}c^{2}} \over {\sqrt {1+{{\alpha ^{2}} \over {n'^{2}}}}}}\;$

(28.123)

Rozłóżmy wyrażenie (28.123) w szereg Taylora względem parametru α², czyli kwadratu stałej struktury subtelnej, który wygląda tak samo jak w punkcie (25.98), tylko mamy inną definicję n', w przeciwieństwie dla atomu wodoru według Kleina-Gordona, czyli (25.91), a w teorii Diraca mamy definicję tego parametru w postaci (28.122):

$E=m_{0}c^{2}\left(1-{{\alpha ^{2}} \over {2n'^{2}}}+{{1\cdot 3\alpha ^{4}} \over {2\cdot 4n'^{4}}}+...\right)\;$

(28.124)

Rachunki będziemy prowadzić do czwartej potęgi przy dokonaniu przybliżenia liczby n^' dla małego współczynnika kwadratu struktury subtelnej α²:

$n'=s-1+k{\sqrt {1-{{\alpha ^{2}} \over {k^{2}}}}}=s-1+k\left(1-{{1\alpha ^{2}} \over {2k^{2}}}-{{\alpha ^{4}} \over {2\cdot 4k^{4}}}\right)=n-{{\alpha ^{2}} \over {2k^{2}}}-{{\alpha ^{4}} \over {8k^{3}}}=n\left(1-{{\alpha ^{2}} \over {2nk}}-{{\alpha ^{4}} \over {8nk^{3}}}\right)\;$

(28.125)

• gdzie

$n=s-1+k\;$

(28.126)

Ponieważ s≥1 i k jest takie, że (28.60), a żeby zachodziło (28.126), to dostajemy dalsze ograniczenia na liczbę kwantową k jako wartości własnej równania własnego dla operatora (28.27), zatem:

$k=1,2,3,...,n\;$

(28.127)

Określmy odwrotność parametru n' napisaną w sposób przybliżony wyrażenia (28.125), dokonując w nim dalszych przybliżeń dla małości wyrazów występujących w nawiasie wspomnianego wyrażenia występującego po jedynce:

${{1} \over {n'}}\simeq {{1} \over {n}}{{1} \over {1-{{\alpha ^{2}} \over {2nk}}-{{\alpha ^{4}} \over {8nk^{3}}}}}\simeq {{1} \over {n}}\left[\left(1+{{\alpha ^{2}} \over {2nk}}+{{\alpha ^{4}} \over {8nk^{3}}}\right)+\left({{\alpha ^{2}} \over {2nk}}+{{\alpha ^{4}} \over {8nk^{3}}}\right)^{2}\right]\simeq {{1} \over {n}}\left(1+{{\alpha ^{2}} \over {2nk}}+{{\alpha ^{4}} \over {8nk^{3}}}\right)\simeq {{1} \over {n}}\left(1+{{\alpha ^{2}} \over {2nk}}\right)\;$

(28.128)

Odwrotność kwadratu z liczby n' (28.125) napiszemy wychodząc od (28.128) z dokładnością do drugiej potęgi z liczby α:

${{1} \over {n'^{2}}}\simeq {{1} \over {n^{2}}}\left(1+{{\alpha ^{2}} \over {2nk}}\right)^{2}\simeq {{1} \over {n^{2}}}\left(1+{{\alpha ^{2}} \over {nk}}\right)\;$

(28.129)

Odwrotność czwartej potęgi z liczby n' (28.125) napiszemy wychodząc od (28.129) z dokładnością do zerowej potęgi liczby α:

${{1} \over {n'^{4}}}\simeq {{1} \over {n^{4}}}\left(1+{{\alpha ^{2}} \over {nk}}\right)^{2}\simeq {{1} \over {n^{4}}}\;$

(28.130)

Podstawiamy wzór (28.128) (odwrotność zmiennej n'), (28.129) (kwadrat odwrotności zmiennej n') do (28.124) będących rozwinięciem w szereg Taylora względem omawianego tam parametru, który zapiszemy z dokładnością do trzech wyrazów w nawiasie, dostajemy:

$E\simeq m_{0}c^{2}\left[1-{{\alpha ^{2}} \over {2n^{2}}}\left(1+{{\alpha ^{2}} \over {nk}}\right)+{{3\alpha ^{4}} \over {8n^{4}}}\right]=m_{0}c^{2}\left[1-{{\alpha ^{2}} \over {2n^{2}}}-{{\alpha ^{4}} \over {2n^{3}}}\left({{1} \over {k}}-{{3} \over {4n}}\right)\right]\;$

(28.131)

Wyznaczmy energię E₀, którą jak udowodnimy jest to energia obliczoną z nierelatywistycznej teorii kwantowej, wychodząc z wyrażenia:

$E_{0}=-m_{0}c^{2}{{\alpha ^{2}} \over {2n^{2}}}=-m_{0}c^{2}{{e^{4}} \over {32\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}\hbar ^{2}c^{2}}}=-{{m_{0}e^{4}} \over {8\epsilon _{0}^{2}h^{2}n^{2}}}\;$

(28.132)

Wyrażenie na całkowitą energię elektronu w polu jadra atomowego wodoru, uwzględniając efekty relatywistyczne, jest równa sumie energii spoczynkowej elektronu, energii obliczonej wedle mechaniki kwantowej nierelatywistycznej i z poprawką zależną od tej energii i od k-tej liczby kwantowej, ale też od głównej liczby kwantowej (jest ona również zależna od czynniku struktury subtelnej α, która jest względnie mała i dlatego w teorii nierelatywistycznej ten trzeci składnik jest często pomijany), zatem ta nasza energia elektronu w polu jądra atomowego atomu wodoru jest równa na podstawie (28.131) i obliczeń pomocniczych (28.132):

$E=m_{0}c^{2}+E_{0}+E_{0}{{\alpha ^{2}} \over {n}}\left({{1} \over {k}}-{{3} \over {4n}}\right)\;$

(28.133)

Policzmy skrajną różnicę poziomów dla ściśle określonego n między orbitalną liczbą kwantową k=1 a k=n, bo ta liczba przyjmuje wartości skwantowane wedle schematu (28.127):

$\Delta E_{n}=E_{n}(k=n)-E_{n}(k=1)=E_{0}{{\alpha ^{2}} \over {n}}\left[\left({1 \over n}-{{3} \over {4n}}\right)-\left(1-{{3} \over {4n}}\right)\right]=E_{0}{{\alpha ^{2}} \over {n}}\left({{1} \over {n}}-1\right)\simeq -E_{0}{{\alpha ^{2}} \over {n}}\;$

(28.134)

Co zgadza się z doświadczeniem, w porównaniu z teorią Kliena-Gordona mamy dwukrotną redukcję rozszczepienia poziomu n.

Ruch swobodny elektronu według teorii Diraca

W trym rozdziale rozważmy ruch swobodny elektronu w teorii Diraca, napiszemy czemu jest równa energia cząstki znając jej wartość pędu, rozważmy najpierw macierze w postaci czteroskładnikowych bispinorów. Mając reprezentację operatorów ${\hat {\alpha }}$ przystąpijmy do dyskusji zagadnienia własnego elektronu według teorii Diraca (26.81) bez pola elektromagnetycznego:

$\left\{c({\hat {\alpha }}{\hat {p}})+m_{0}c^{2}{\hat {\beta }}\right\}\psi =E\psi$

(28.135)

• gdzie: ψ jest bispinorem, którego współrzędne zależą od czasu i przestrzeni.

Zakładamy, że zależność czasowo-przestrzenną funkcji falowej jako rozwiązania zależnego od czasu, przedstawia się ona w postaci fali płaskiej, z dokładnością do amplitudy, która jest wektorem pionowym, gdy mamy cząstkę o pędzie ${\vec {p}}\;$ i o energii E:

$\phi =e^{{{i} \over {\hbar }}({\vec {p}}{\vec {r}}-Et)}$

(28.136)

Wówczas bispinor z amplitudą, która jest wektorem pionowym, jako całkowita funkcja falowa rozwiązania Diraca, będzie miało postać:

$\psi =e^{{{i} \over {\hbar }}(pr-Et)}{\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\u_{4}\end{pmatrix}}=e^{{{i} \over {\hbar }}(pr-Et)}{\vec {u}}$

(28.137)

Po wstawieniu do równania Diraca elektronu swobodnego (28.135) wyrażenia (28.137), dochodzimy do wniosku:

$\left\{c({\hat {\alpha }}{\hat {p}})+m_{0}c^{2}{\hat {\beta }}\right\}{\vec {u}}=E{\vec {u}}$

(28.138)

Następnie wstawiamy, za macierze ${\hat {\alpha }}_{i}$, gdzie i=x,y,z (26.34), (26.35) i (26.36) oraz ${\hat {\beta }}$ (26.33) do wzoru (28.138), który stanowi równanie niezależne od czasu mechaniki kwantowej Diraca, otrzymujemy ostatecznie:

$\left\{c\left[{\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}}p_{x}+{\begin{pmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&-i&0&0\\i&0&0&0\end{pmatrix}}p_{y}+{\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{pmatrix}}p_{z}\right]+m_{0}c^{2}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}\right\}{\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\u_{4}\end{pmatrix}}=\;$
$\Rightarrow E{\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\u_{4}\end{pmatrix}}$

(28.139)

Dokonując niewielkich przekształceń w (28.139), tak by odpowiednie skalary i ich współrzędne pędu przenieść w granicę macierzy ściśle określonych:

$\left\{c{\begin{pmatrix}0&0&p_{z}&p_{x}-ip_{y}\\0&0&p_{x}+ip_{y}&-p_{z}\\p_{z}&p_{x}-ip_{y}&0&0\\p_{x}+ip_{y}&-p_{z}&0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}m_{0}c^{2}-E&0&0&0\\0&m_{0}c^{2}-E&0&0\\0&0&-m_{0}c^{2}-E&0\\0&0&0&-m_{0}c^{2}-E\end{pmatrix}}\right\}{\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\u_{4}\end{pmatrix}}=0$

(28.140)

I ostatecznie otrzymujemy układ równań różniczkowych, wychodząc od (28.140), w taki sposób by wszystko znajdowało się pod macierzą w pierwszym czynniku, a drugim czynnikiem jest wektor ${\vec {u}}\;$, wtedy w ten sposób otrzymaliśmy układ równań jednorodnych zapisanej w postaci działań na macierzach:

${\begin{pmatrix}m_{0}c^{2}-E&0&cp_{z}&c(p_{x}-ip_{y})\\0&m_{0}c^{2}-E&c(p_{x}+ip_{y})&-cp_{z}\\cp_{z}&c(p_{x}-ip_{y})&-m_{0}c^{2}-E&0\\c(p_{x}+ip_{y})&-cp_{z}&0&-m_{0}c^{2}-E\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\u_{4}\end{pmatrix}}=0$

(28.141)

Warunkiem niezerowania się bispinorów (niezerowych rozwiązań) jest wyznacznik macierzy, występujący w (28.141) przed bispinorem, który jest równy zero:

$0={\begin{vmatrix}m_{0}c^{2}-E&0&cp_{z}&c(p_{x}-ip_{y})\\0&m_{0}c^{2}-E&c(p_{x}+ip_{y})&-cp_{z}\\cp_{z}&c(p_{x}-ip_{y})&-m_{0}c^{2}-E&0\\c(p_{x}+ip_{y})&-cp_{z}&0&-m_{0}c^{2}-E\end{vmatrix}}=(m_{0}c^{2}-E){\begin{vmatrix}m_{0}c^{2}-E&c(p_{x}+ip_{y})&-cp_{z}\\c(p_{x}-ip_{y})&-m_{0}c^{2}-E&0\\-cp_{z}&0&-m_{0}c^{2}-E\end{vmatrix}}+\;$
$+cp_{z}{\begin{vmatrix}0&cp_{z}&c(p_{x}-ip_{y})\\m_{0}c^{2}-E&c(p_{x}+ip_{y})&-cp_{z}\\-cp_{z}&0&-m_{0}c^{2}-E\end{vmatrix}}-c(p_{x}+ip_{y}){\begin{vmatrix}0&cp_{z}&c(p_{x}-ip_{y})\\m_{0}c^{2}-E&c(p_{x}+ip_{y})&-cp_{z}\\c(p_{x}-ip_{y})&-m_{0}c^{2}-E&0\end{vmatrix}}=$

$=(m_{0}c^{2}-E)(-cp_{z}){\begin{vmatrix}c(p_{x}-ip_{y})&-m_{0}c^{2}-E\\-cp_{z}&0\end{vmatrix}}-(m_{0}c^{2}-E)(m_{0}c^{2}+E){\begin{vmatrix}m_{0}c^{2}-E&c(p_{x}+ip_{y})\\c(p_{x}-ip_{y})&-m_{0}c^{2}-E\end{vmatrix}}+$

$-cp_{z}(m_{0}c^{2}-E){\begin{vmatrix}cp_{z}&c(p_{x}-ip_{y})\\0&-m_{0}c^{2}-E\end{vmatrix}}-c^{2}p_{z}^{2}{\begin{vmatrix}cp_{z}&c(p_{x}-ip_{y})\\c(p_{x}+ip_{y})&-cp_{z}\end{vmatrix}}+\;$
$+(cp_{x}+ip_{y})(m_{0}c^{2}-E){\begin{vmatrix}cp_{z}&c(p_{x}-ip_{y})\\-m_{0}c^{2}-E&0\end{vmatrix}}-c^{2}(p_{x}+ip_{y})(p_{x}-ip_{y}){\begin{vmatrix}cp_{z}&c(p_{x}-ip_{y})\\c(p_{x}+ip_{y})&-cp_{z}\end{vmatrix}}=\;$
$=(m_{0}c^{2}-E)(m_{0}c^{2}+E)c^{2}p_{z}^{2}-(m_{0}^{2}c^{4}-E^{2})(-(m_{0}^{2}c^{4}-E^{2})-c^{2}(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}))+cp_{z}(m_{0}c^{2}-E)cp_{z}(m_{0}c^{2}+E)+\;$
$-c^{2}p_{z}^{2}(-c^{2}p_{z}^{2}-c^{2}(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}))+c(p_{x}+ip_{y})(m_{0}c^{2}-E)c(p_{x}-ip_{y})(m_{0}c^{2}+E)-c^{2}(p_{x}^{2}+p_{y}^{2})(-c^{2}p_{z}^{2}-c^{2}(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}))=\;$
$=(m_{0}^{2}c^{4}-E^{2})c^{2}p_{z}^{2}+m_{0}^{4}c^{8}+E^{4}-2m_{0}^{2}c^{4}E^{2}+(m_{0}c^{2}c^{4}-E^{2})c^{2}(p_{x}^{2}+p_{y}^{2})+c^{2}p_{z}^{2}(m_{0}^{2}c^{4}-E^{2})+c^{4}p_{z}^{4}+\;$
$+c^{4}p_{z}^{2}(p_{x}^{2}+p_{y}^{2})+c^{2}(p_{x}^{2}+p_{y}^{2})(m_{0}^{2}c^{4}-E^{2})+c^{4}p_{z}^{2}(p_{x}^{2}+p_{y}^{2})+c^{4}(p_{x}^{2}+p_{y}^{2})^{2}=(E^{2}-m_{0}^{2}c^{4})^{2}+\;$
$+2c^{2}(m_{0}^{2}c^{4}-E^{2})(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2})+c^{4}p_{z}^{4}+2c^{4}p_{z}^{2}(p_{x}^{2}+p_{y}^{2})+c^{4}(p_{x}^{2}+p_{y}^{2})^{2}=(E^{2}-m_{0}^{2}c^{4})^{2}+\;$
$+2(m_{0}^{2}c^{4}-E^{2})c^{2}(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2})+c^{4}(p_{x}^{2}+p_{y}^{2})^{2}+2c^{4}p_{z}^{2}(p_{x}^{2}+p_{y}^{2})+c^{4}p_{z}^{4}=(E^{2}-m_{0}^{2}c^{4}-c^{2}(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}))^{2}=\;$
$=(E^{2}-m_{0}^{2}c^{4}-p^{2}c^{2})^{2}$

Z zerowania się wyznacznika otrzymujemy zależność energii elektronu w zależności od jego wartości pędu i jego masy spoczynkowej:

$E^{2}-m_{0}^{2}c^{4}-p^{2}c^{2}=0\Rightarrow E^{2}=p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}$

(28.142)

Co daje nam z (28.142) wyrażenie na całkowitą energię elektronu tejże cząstki, jako wartość własna równania własnego operatora energii elektronu swobodnego (28.138):

$E=\pm {\sqrt {p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}}}$

(28.143)

Widzimy z (28.143), że energia całkowita elektronu przyjmuje zarówno energię dodatnie jak i ujemne przy tym samym jego wartości pędu, którego interpretację podamy w następnym rozdziale.

Stany elektronu o ujemnej energii, a istnienie pozytonu

W dyskusji swobodnego elektronu mamy energię dodatnią i energię ujemną według (28.143). Jeśli każdy stan według szczególnej teorii względności można przedstawić:

$E=mc^{2}\;$

Co by odpowiadało ujemnej masie dla ujemnych energii. Różnica energii pomiędzy dwoma stanami jest:

$\Delta E=2m_{e}c^{2}=1.02MeV\;$

W mechanice kwantowej są możliwe przeskoki energetyczne, ze stanu o energii ujemnej do dodatniej i odwrotnie. Oczywiste przejście od energii ujemnej do dadatniej jest możliwe poprzez dostarczenie pewnej energii. Przeskok elektronu pomiędzy stanami o tych energiach może odbywać się zgodnie z zakazem Pauliego. W powyższej interpretacji jest to po prostu, gdy mamy stan zerowy, co odpowiada powstawaniu pary elektron-pozyton.