Mechanika kwantowa/Wnioski wynikające z mechaniki kwantowej Diraca

Wnioski wynikające z mechaniki kwantowej Diraca

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Uogólnienie klasycznego Hamiltonianu o moment magnetyczny elektronu (q=e)

Ukrytą zaletą równań Diraca jest to, że zawiera w sobie informacje o spinie elektronu. Jeśli taki elektron umieścimy w polu magnetycznym, to ono uzyska dodatkową energię $\Delta E=-{\vec {\mu }}{\vec {B}}$, którą wyrazimy za pomocą momentu magnetycznego znajdujący się w polu magnetycznym o pewnym natężeniu.

Przenosimy wyraz związany z energią potencjalną cząstki, czyli $q\varphi$ na lewą stronie równania (26.3) z prawej jego strony, a następnie podzielmy obustronnie przez c, też obustronnie podnosimy do kwadratu, wszystkie te operację przedstawiamy je jako:

${{{\hat {H}}-q\varphi } \over {c}}={\hat {\alpha }}({\hat {p}}-q{\vec {A}})+m_{0}c{\hat {\beta }}\Rightarrow \left({{{\hat {H}}-q\varphi } \over {c}}\right)^{2}=[{\hat {\alpha }}({\hat {p}}-q{\vec {A}})+m_{0}c{\hat {\beta }}]^{2}$

(28.1)

Następnie korzystamy, że operatory współrzędnych operatora ${\hat {\alpha }}\;$, czyli ${\hat {\alpha }}_{i}\;$ i operatora ${\hat {\beta }}\;$, które za sobą antykomutują, zatem na podstawie równości (26.20) tożsamość (28.1) można przestawić przez:

$\left({{{\hat {H}}-q\varphi } \over {c}}\right)^{2}=[\alpha ({\hat {p}}-q{\hat {A}})]^{2}+m_{0}^{2}c^{2}$

(28.2)

Pierwszy wyraz występujący po prawej stronie wzoru (28.2) możemy rozpisać jako iloczyn dwóch takich samych operatorów i wymnożyć je względem siebie. W tym rozpisaniu tego iloczynu występują wyrazy mieszane i niemieszane, przy czym pierwszy wyraz niemieszany zapisujemy zapisujemy według (26.60), a wyraz mieszany jest jako (26.61).

Na podstawie (26.28), (26.29) i (26.30), także na podstawie obliczeń pomocniczych (26.60) (wyrazy niemieszane) i (26.61) (wyrazy mieszane) równanie (28.2) przyjmuje kształt:

$\left({{{\hat {H}}-q\varphi } \over {c}}\right)^{2}=\left({\hat {p}}-q{\vec {A}}\right)^{2}+m_{0}^{2}c^{2}-q\hbar \sigma {\vec {B}}$

(28.3)

Powracając do naszego równania (28.3), to wydzielmy z Hamiltonianu energię spoczynkową cząstki ze spinem, natomiast nasz hamiltonian jest równy sumie energii spoczynkowej cząstki i relatywistycznego operatora energii kinetycznej cząstki, zapisujemy ten hamiltonian wedle schematu:

${\hat {H}}={\hat {H}}_{1}+m_{0}c^{2}\;$

(28.4)

A więc równość (28.3) na podstawie tożsamości operatorowej (28.4), w której hamiltonian Diraca jest zapisany jako suma hamiltonianu energii mechanicznej i operatora energii spoczynkowej naszego badanego ciała, piszemy:

$\left({{{\hat {H}}_{1}-q\varphi } \over {c}}+m_{0}c\right)^{2}=\left({\hat {p}}-q{\vec {A}}\right)^{2}-q\hbar {\vec {\sigma }}{\vec {B}}+m_{0}^{2}c^{2}$

(28.5)

Wykonujemy działania związane z podnoszeniem do drugiej potęgi po lewej stronie w równości (28.5), tak jak się wykonuje podnoszenie do kwadratu operatorów, ale w tym przypadku należy zastosować wzór skróconego mnożenia znanego z gimnazjum:

$\left({{{\hat {H}}_{1}-q\varphi } \over {c}}\right)^{2}+2m_{0}\left\{{\hat {H}}_{1}-q\varphi \right\}+m_{0}^{2}c^{2}=\left({\hat {p}}-q{\vec {A}}\right)^{2}-q\hbar {\vec {\sigma }}{\vec {B}}+m_{0}^{2}c^{2}\Rightarrow$
$\Rightarrow \left({{{\hat {H}}_{1}-q\varphi } \over {c}}\right)^{2}+2m_{0}\left\{{\hat {H}}_{1}-q\varphi \right\}=({\hat {p}}-e{\vec {A}})^{2}-q\hbar {\vec {\sigma }}{\vec {B}}\Rightarrow 2m_{0}\left\{{\hat {H}}_{1}-q\varphi \right\}\left({{\left({\hat {H}}_{1}-q\varphi \right)^{2}} \over {2m_{0}c^{2}\left\{{\hat {H}}_{1}-q\varphi \right\}}}+1\right)=\;$
$=({\hat {p}}-e{\vec {A}})^{2}-q\hbar {\vec {\sigma }}{\vec {B}}\;$

(28.6)

W obliczeniach (28.6) możemy znaleźć taki wyraz, który znajduje się w nawiasie i jego pierwszy składnik przepisujemy i jednocześnie uproszczamy go:

${{\left({\hat {H}}_{1}-q\varphi \right)^{2}} \over {2m_{0}c^{2}\left\{{\hat {H}}_{1}-q\varphi \right\}}}={{(H_{1}-q\varphi )} \over {2c^{2}m_{0}}}$

(28.7)

Niech energia spoczynkowa jest o wiele większa od energii kinetycznej cząstki napisanej jako ${\hat {H}}_{1}-e\varphi$, wiedząc, że ${\hat {H}}_{1}\;$ jest operatorem całkowitej energii mechanicznej cząstki, zatem rozważmy przypadek, gdy zachodzi:

$\left|\left|{{(H_{1}-q\varphi )} \over {2m_{0}c^{2}}}\right|\right|<<1$

(28.8)

A zatem pierwszy wyraz w nawiasie w (28.6) należy powinąć przy zachodzącym przybliżeniu (28.8), dostajemy:

$2m_{0}({{\hat {H}}-q\varphi })=({\hat {p}}-q{\vec {A}})^{2}-q\hbar {\vec {\sigma }}{\vec {B}}$

(28.9)

Następnie dzielimy obie strony (28.9) przez podwojoną masę spoczynkową cząstki $2m_{0}\;$, wtedy hamiltonian cząstki można zapisać w przybliżeniu, gdy jego energia kinetyczna cząstki jest o wiele mniejsza niż energia spoczynkowa cząstki:

${\hat {H}}={{({\hat {p}}-q{\vec {A}})^{2}} \over {2m_{0}}}+\varphi q-{{q\hbar } \over {2m_{0}}}{\vec {\sigma }}{\vec {B}}$

(28.10)

Widzimy, że hamiltonian nierelatywistyczny cząstki w stosunku do (6.41) posiada dodatkowy człon związany, że elektron posiada spin, a zatem ma pewien moment magnetyczny, czyli posiada dodatkową energię, która występuje zawsze, gdy cząstka znajduje się w polu magnetycznym o natężeniu pola magnetycznego Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle \hat{H}\;} . Moment magnetyczny związany ze spinem cząstki według wzoru na operator energii całkowitej cząstki (28.10) przedstawia się:

${\vec {\mu }}={{q\hbar } \over {2m_{0}}}{\vec {\sigma }}$

(28.11)

Minus we wzorze (28.11) jest związany z ujemnym ładunkiem elektronu ładunku elementarnego "e". a dla współrzędnych zetowej moment magnetyczny cząstki przedstawiamy w sposób ogólny wedle schematu (28.11) w postaci:

$\mu _{z}={{q\hbar } \over {2m_{0}}}\sigma _{z}$

(28.12)

Prawo zachowania momentu pędu, a spin elektronu w teorii Diraca, w zerowym polu elektrycznym i magnetycznym

Rozważmy Hamiltonian Diraca (26.81) swobodnego elektronu, tzn. gdy ta cząstka znajduje się w zerowym polu elektrycznym i magnetycznym, ten operator energii całkowitej cząstki możemy zapisać:

${\hat {H}}=c{\hat {\alpha }}{\hat {p}}+m_{0}c^{2}{\hat {\beta }}$

(28.13)

Jeśli jest zachowana jakaś współrzędna momentu pędu, stąd wynika, że ta współrzędna powinna komutować z hamiltonianem (28.13). Rozważmy komutator momentu pędu orbitalnego ${\hat {l}}_{i}$ z hamiltonianem ${\hat {H}}\;$, wiedząc że współrzędna operatora pędu komutuje z operatorem ${\hat {\beta }}\;$, zatem dowolna współrzędna operatora momentu pędu komutuje z operatorem ${\hat {\beta }}\;$:

$[{\hat {l}}_{i},{\hat {H}}]=[{\hat {l}}_{i},c{\hat {\alpha }}{\hat {p}}+m_{0}c^{2}{\hat {\beta }}]=[{\hat {l}}_{i},c{\hat {\alpha }}{\hat {p}}]+[{\hat {l}}_{i},c^{2}{\hat {\beta }}]=[{\hat {l}}_{i},c{\hat {\alpha }}{\hat {p}}]=c{\hat {\alpha }}_{j}[{\hat {l}}_{i},{\hat {p}}_{j}]$

(28.14)

Policzmy następnie komutator współrzędnej momentu pędu z dowolną współrzędna pędu, który to jest potrzebne do dokończenia obliczeń w zapiskach (28.14):

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle [\hat{l}_i,\hat{p}_l]=\left[-i\hbar\epsilon_{ijk}x_j{{\partial}\over{\partial x_k}},-i\hbar{{\partial}\over{\partial x_l}}\right]=-\hbar^2\left(\epsilon_{ijk}x_j{{\partial}\over{\partial x_k}}{{\partial}\over{\partial x_l}}-{{\partial}\over{\partial x_l}}\epsilon_{ijk}x_j{{\partial}\over{\partial x_k}}\right)=-\hbar^2\Bigg(\epsilon_{ijk}x_j{{\partial^2}\over{\partial x_k\partial x_l}}-\epsilon_{ijk}x_j{{\partial^2}\over{\partial x_k\partial x_l}}+\;}
$-\epsilon _{ijk}\delta _{jl}{{\partial } \over {\partial x_{k}}}{\Bigg )}=\hbar ^{2}\epsilon _{ilk}{{\partial } \over {\partial x_{k}}}=i\hbar \epsilon _{ilk}(-i\hbar ){{\partial } \over {\partial x_{k}}}=i\hbar \epsilon _{ilk}{\hat {p}}_{k}$

(28.15)

Komutator współrzędnej itowej momentu pędu i Hamiltonianu Diraca na podstawie obliczeń (28.14) i obliczeń pomocniczych (28.15) przedstawia się:

$[{\hat {l}}_{i},{\hat {H}}]=c{\hat {\alpha }}_{j}i\hbar \epsilon _{ijk}{\hat {p}}_{k}$

(28.16)

Powyższy komutator udowadnia, że moment pędu nie jest zachowany. Tak się to dzieje, że nie jest zachowana ta wielkość, ponieważ nie uwzględniono spinu elektronu. Sprawdźmy własności komutacyjne operatora Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle \hat{\sigma}_i} z hamiltonianem Diraca i obliczymy czemu jest on równy.

$[{\hat {\sigma }}_{i},{\hat {H}}]=c[{\hat {\sigma }}_{i},{\hat {\alpha }}{\hat {p}}]+mc^{2}[{\hat {\sigma }}_{i},{\hat {\beta }}]$

(28.17)

Przeprowadźmy czemu jest równy komutator znajdujący się w (28.17) w pierwszym jego składniku:

$[{\hat {\sigma }}_{i},{\hat {\alpha }}_{l}{\hat {p}}_{l}]={\hat {\sigma }}_{i}{\hat {\alpha }}_{l}{\hat {p}}_{l}-{\hat {\alpha }}_{l}{\hat {p}}_{l}{\hat {\sigma }}_{i}=-i\left({{1} \over {2}}\epsilon _{ijk}\alpha _{j}\alpha _{k}{\hat {\alpha }}_{l}{\hat {p}}_{l}-{\hat {\alpha }}_{l}{\hat {p}}_{l}{{1} \over {2}}\epsilon _{ijk}{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k}\right)=-{{i} \over {2}}\epsilon _{ijk}\left({\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k}{\hat {\alpha }}_{l}{\hat {p}}_{l}-{\hat {\alpha }}_{l}{\hat {p}}_{l}{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k}\right)=$
$=-{{i} \over {2}}\epsilon _{ijk}\left({\hat {\alpha }}_{j}(-{\hat {\alpha }}_{l}{\hat {\alpha }}_{k}+2\delta _{lk}){\hat {p}}_{l}-{\hat {\alpha }}_{l}{\hat {p}}_{l}\epsilon _{ijk}{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k}\right)=-{{i} \over {2}}\epsilon _{ijk}\left(-\left\{{\hat {\alpha }}_{j},{\hat {\alpha }}_{l}\right\}{\hat {p}}_{l}\alpha _{k}+2\delta _{lk}{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {p}}_{l}\right)=-{{i} \over {2}}\epsilon _{ijk}\left(-2\delta _{jl}{\hat {p}}_{l}{\hat {\alpha }}_{k}+2\delta _{lk}{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {p}}_{l}\right)=\;$
$=i\epsilon _{ilk}{\hat {p}}_{l}{\hat {\alpha }}_{k}-i\epsilon _{ijl}{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {p}}_{l}=i\epsilon _{ilj}{\hat {p}}_{l}{\hat {\alpha }}_{j}-i\epsilon _{ijl}{\hat {p}}_{l}{\hat {\alpha }}_{j}=-i\epsilon _{ijl}{\hat {p}}_{l}{\hat {\alpha }}_{j}-i\epsilon _{ijl}{\hat {p}}_{l}{\hat {\alpha }}_{j}=-2i\epsilon _{ijl}{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {p}}_{l}$

(28.18)

Wyznaczmy drugi komutator występujący jako drugi składnik w (28.17), korzystając przy tym z antykomutatora (26.20), który jest zdefiniowany na operatorach ${\hat {\alpha }}_{i}\;$ i Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle \hat{\beta}\;} , tutaj rozwiniemy operator Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle \hat{\sigma}_i\;} według schematu (26.31):

$[{\hat {\sigma }}_{i},{\hat {\beta }}]=-{{i} \over {2}}\epsilon _{ijk}[{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k},{\hat {\beta }}]=-{{i} \over {2}}\epsilon _{ijk}\left({\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k}{\hat {\beta }}-{\hat {\beta }}{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k}{\hat {\beta }}\right)=-{{i} \over {2}}\epsilon _{ijk}\left({\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k}{\hat {\beta }}+{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\beta }}{\hat {\alpha }}_{k}\right)=-{{i} \over {2}}\epsilon _{ijk}\left({\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k}{\hat {\beta }}-{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k}{\hat {\beta }}\right)=0\;$

(28.19)

Komutacja operatora ${\hat {\sigma }}_{i}\;$ zdefiniowaną według (26.31) z operatorem hamiltonianu Diraca (28.13), dla której ten nasz komutator na podstawie obliczeń pomocniczych (28.18) i (28.19) przedstawiamy wedle:

$[{\hat {\sigma }}_{i},{\hat {H}}]=-2ic\epsilon _{ijl}{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {p}}_{l}\;$

(28.20)

Policzmy następny komutator, którego pierwszym elementem jest współrzędna operatora momentu pędu plus wyrażenie równe współrzędnej operatora ${\hat {\sigma }}\;$ wraz z czynnikiem, który jest połówką stałej kreślonej Plancka, zatem:

$[{\hat {l}}_{i}+{{\hbar } \over {2}}{\hat {\sigma }}_{i},{\hat {H}}]=[{\hat {l}}_{i},{\hat {H}}]+{{\hbar } \over {2}}[{\hat {\sigma }}_{i},{\hat {H}}]=i\hbar c{\hat {\alpha }}_{j}\epsilon _{ijk}{\hat {p}}_{k}-{{\hbar } \over {2}}2ic\epsilon _{ijk}{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {p}}_{k}=i\hbar c{\hat {\alpha }}_{j}\epsilon _{ijk}{\hat {p}}_{k}-\hbar ci\epsilon _{ijk}{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {p}}_{k}=0$

(28.21)

A więc moment pędu elektronu możemy zdefiniować tak jak poniżej, to on komutuje z operatorem całkowitej energii cząstki według Diraca (28.13), zatem całkowity operator momentu pędu jest zdefiniowany wedle:

${\hat {l}}+{{\hbar } \over {2}}{\hat {\sigma }}\equiv {\hat {j}}$

(28.22)

Na podstawie obliczeń wedle (28.22) spin elektronu przedstawiamy:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle \hat{s}={{\hbar}\over{2}}\hat{\sigma}}

(28.23)

Operator momentu magnetycznego spinu elektronu na podstawie wzoru (28.11) (definicji momentu magnetycznego elektronu związanego z jego spinem) i (28.23) (definicja spinu) przedstawia się w zależności od spinu elektronu wedle:

${\hat {\mu }}={{e\hbar } \over {2m_{0}}}{\hat {\sigma }}={{e} \over {m_{0}}}{{\hbar } \over {2}}{\hat {\sigma }}={{e} \over {m_{0}}}{\hat {s}}$

(28.24)

Z powyższych rozważań wynika, że równania Diraca zawierają również spin elektronu.

Atom wodoru według teorii Diraca

Rozważmy atom wodoru według teorii Diraca, w tym celu przyjmijmy potencjał wektorowy magnetyczny za równy zero a skalarny potencjał elekryczny w polu jądra atomowego wodoru jest zdefiniowany:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle \varphi={{e}\over{4\pi\epsilon_0 r}}\;}

(28.25)

Wówczas operator Diraca (26.81) zapisujemy przy zerowym wektorowym potencjale magnetycznym i przy skalarnym potencjale elektryczny (28.25) w polu jądra atomowego, który wystepuje w równaniu własnym wspomnianego operatora energii całkowitej elektronu, wiedząc jednocześnie że ładunek elekronu jest ujemny, a jego wartość bezwzględna jest równa "e", wtedy jego równanie własne jest:

$\left[c({\hat {\alpha }}{\hat {p}})+m_{0}c^{2}\beta -{{e^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}r}}\right]\psi =E\psi \;$

(28.26)

Doprowadźmy nasze równanie tak by był opisywane we współrzędnych sferycznych, w prowadzając najpierw nowe operatory, za pomocą których opiszemy nasz Hamiltonian Diraca, których definicje są:

${\hat {k}}=\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}({\hat {\sigma }}{\hat {l}}+\hbar )\;$

(28.27)

${\hat {p}}_{r}=r^{-1}({\vec {r}}{\hat {p}}-i\hbar )=-i\hbar \left({{\partial } \over {\partial r}}+{{1} \over {r}}\right)\;$

(28.28)

${\hat {\epsilon }}=r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})\;$

(28.29)

Zauważmy, że operator Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle \hat{k}\;} zależy tylko od współrzędnych kątowych, bo operator ${\hat {l}}\;$ zależy od współrzędnych kątowych na podstawie współrzędnych operatorów momentów pędu wyrażonych według wzorów (6.45), (6.46) i (6.47) wyrażonych we współrzędnych kulistych kątowych.

Operator ${\hat {p}}_{r}\;$ zależy od współrzędnych radialnych. A równanie na ${\hat {\epsilon }}\;$ od wektora jednostkowego, który jest wyznaczone według dwóch współrzędnych kątowych.

Podajmy kilka własności naszych nowych operatorów, po pierwsze można sprawdzić, że są to operatory hermitowskie, najpierw wykażmy to dla (28.27) ${\hat {k}}\;$:

${\hat {k}}^{+}=\left[\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}\left({\hat {\sigma }}{\hat {l}}+\hbar \right)\right]^{+}=\left({\hat {l}}^{+}{\hat {\sigma }}^{+}+\hbar \right)\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}^{+}=\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}\left({\hat {\sigma }}{\hat {l}}+\hbar \right)={\hat {k}}\;$

(28.30)

A następnie sprawdźmy, czy operator (28.28) ${\hat {p}}_{r}\;$ jest operatorem hermitowskim, ten dowód jest trochę trudny i nie jest wcale oczywisty, że ten operator jest w ogóle hermitowski:

${\hat {p}}_{r}^{+}=\left[r^{-1}\left({\vec {r}}{\hat {p}}-i\hbar \right)\right]^{+}=({\hat {p}}{\vec {r}}+i\hbar )r^{-1}=({\hat {p}}_{m}x_{m}+i\hbar )r^{-1}=(x_{m}{\hat {p}}_{m}-i\hbar \delta _{mm}+i\hbar )r^{-1}=(x_{m}{\hat {p}}_{m}-2i\hbar )r^{-1}=\;$
$=(x_{m}{\hat {p}}_{m}r^{-1}-2i\hbar r^{-1})=x_{m}r^{-1}{\hat {p}}_{m}+i\hbar x_{m}{{x_{m}} \over {r^{3}}}-2i\hbar r^{-1}=r^{-1}{\vec {r}}{\hat {p}}+i\hbar r^{-1}-2i\hbar r^{-1}=r^{-1}{\vec {r}}{\hat {p}}-i\hbar r^{-1}=\;$
$=r^{-1}\left({\vec {r}}{\hat {p}}-i\hbar \right)={\hat {p}}_{r}\;$

(28.31)

W końcu operator ${\hat {\epsilon }}\;$ (28.29) też udowodnimy w sposób bardzo łatwy, że jest operatorem hermitowskim:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle \epsilon^{+}=\left[r^{-1}\left(\hat \alpha \vec{r}\right)\right]^{+}=\left(\vec{r}^{+}\hat \alpha^{+}\right)r^{-1}=r^{-1}\left(\hat{\alpha}\vec{r}\right)=\hat{\epsilon}\;}

(28.32)

Wykażmy, ile jest równy kwadrat operatora Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle \hat{\epsilon}\;} (28.29), udowodniamy to korzystając z antykomutacji operatorów (26.19) dla różnych współrzędnych tegoż omawianego operatora:

${\hat {\epsilon }}^{2}=\left(r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})\right)^{2}=({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})^{2}=({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})=\sum _{ij}{\hat {\alpha }}_{i}{\hat {\alpha }}_{j}e_{ri}e_{rj}={{1} \over {2}}\sum _{ij}\left({\hat {\alpha }}_{i}{\hat {\alpha }}_{j}+{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{i}\right)e_{ri}e_{rj}={{1} \over {2}}\sum _{ij}2\delta _{ij}e_{ri}e_{rj}=\sum _{i}e_{ri}^{2}=1\;$

(28.33)

Następnie wyznaczmy antykomutator operatorów ${\hat {\epsilon }}\;$ i ${\hat {\beta }}\;$, wyznaczymy, że jest on równy zero, czyli te operatory antykomutują ze sobą. Udowodnimy to na podstawie antykomutacji operatorów Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle \hat{\alpha}_i\;} i ${\hat {\beta }}\;$ wedle wzoru (26.20):

$\left\{{\hat {\epsilon }},{\hat {\beta }}\right\}={\hat {\epsilon }}{\hat {\beta }}+{\hat {\beta }}{\hat {\epsilon }}=({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}+{\hat {\beta }}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})=-{\hat {\beta }}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})+{\hat {\beta }}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})=0\;$

(28.34)

Udowodnijmy wyrażenie poniżej skonstrułowanych przy pomocy operatorów (28.27)(Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle \hat{k}\;} ), (28.28)(Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle \hat{p}_r\;} ) i (28.29)(${\hat {\epsilon }}\;$), którego wyrażenie mamy udowodnić w postaci lematu dla:

${\hat {\alpha }}{\hat {p}}={\hat {p}}_{r}{\hat {\epsilon }}+i\hbar r^{-1}{\hat {k}}{\hat {\epsilon }}{\hat {\beta }}\;$

(28.35)

A zatem do dzieła udowodnijmy wyrażenie (28.35) korzystając przy tym z tożsamości (26.31) (wzór na współrzędne operatora ${\hat {\sigma }}\;$), a także z własności (26.19), który jest antykomutatorem zbudowanym na współrzędnych operatora ${\hat {\alpha }}\;$:

${\hat {p}}_{r}{\hat {\epsilon }}+i\hbar r^{-1}{\hat {k}}{\hat {\epsilon }}{\hat {\beta }}=-i\hbar \left({{\partial } \over {\partial r}}+{{1} \over {r}}\right)r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})+i\hbar r^{-1}\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}({\hat {\sigma }}{\hat {l}}+\hbar )r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {r}}){\hat {\beta }}=-i\hbar {{\partial } \over {\partial r}}{{1} \over {r}}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})-i\hbar r^{-2}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})+\;$
$+ir^{-1}{\hat {\beta }}({\hat {\sigma }}{\hat {l}}+\hbar )r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {r}}){\hat {\beta }}=({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})-i\hbar r^{-2}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})+ir^{-1}{\hat {\beta }}({\hat {\sigma }}{\hat {l}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}+i\hbar r^{-1}{\hat {\beta }}r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {r}}){\hat {\beta }}=({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})+\;$
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle -i\hbar r^{-2}(\hat{\alpha}\vec r)+ir^{-2}\hat{\beta}(\hat{\sigma}\hat{l})(\hat{\alpha}\vec{r})\hat{\beta}-i\hbar r^{-2}(\hat{\alpha}\vec{r})=(\vec{e}_r\hat{p})(\hat{\alpha}\vec{e}_r)-2i\hbar r^{-2}(\hat{\alpha}r)-ir^{-2}(\hat{\sigma}\hat{l})(\hat{\alpha}\vec{r})=(\vec{e}_r\hat{p})(\hat{\alpha}\vec{e}_r)-2i\hbar r^{-1}(\hat{\alpha}\vec{e}_r)+\;}
$-{{1} \over {2}}r^{-1}{\hat {\alpha }}\times {\hat {\alpha }}r({\vec {e}}_{r}\times {\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})=({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})-2i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})-{{1} \over {2}}\epsilon _{ijk}{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k}\epsilon _{ilm}e_{rl}{\hat {p}}_{m}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})=({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})-2i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})+\;$
$+{{1} \over {2}}\epsilon _{kji}\epsilon _{ilm}{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k}e_{rl}{\hat {p}}_{m}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})=({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})-2i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})+{{1} \over {2}}\left(\delta _{kl}\delta _{jm}-\delta _{km}\delta _{jl}\right){\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k}e_{rl}{\hat {p}}_{m}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})=({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})+\;$
$-2i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})+{{1} \over {2}}\left({\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}-{\hat {\alpha }}_{l}{\hat {\alpha }}_{m}\right)e_{rl}{\hat {p}}_{m}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})=({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})-2i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})+{{1} \over {2}}\left(2{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}-2\delta _{lm}\right)e_{rl}{\hat {p}}_{m}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})=\;$
$=({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})-2i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})+{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}e_{rl}{\hat {p}}_{m}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})-({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {r}})=-2i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})+{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}e_{rl}{\hat {p}}_{m}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})=-2i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})+\;$
$+r^{-1}{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}x_{l}{\hat {p}}_{m}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})=-2i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})+r^{-1}{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}[{\hat {p}}_{m}x_{l}+i\hbar \delta _{lm}]({\hat {\alpha }}{\vec {r}})=-2i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})+r^{-1}{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}{\hat {p}}_{m}x_{l}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})+\;$
$+i\hbar r^{-1}{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}\delta _{lm}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})=-2i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})+r^{-1}{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}{\hat {p}}_{m}re_{rl}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})+i\hbar r^{-1}\sum _{m}{\hat {\alpha }}_{m}^{2}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})=-2i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})+\;$
$+r^{-1}{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}\left(r{\hat {p}}_{m}+({\hat {p}}_{m}r)\right)e_{rl}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})+i\hbar r^{-1}\sum _{m}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})=-2i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})+({\hat {\alpha }}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{l})^{2}-i\hbar r^{-1}{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}{{x_{m}} \over {r}}e_{rl}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})+\;$
$+3i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})=({\hat {\alpha }}{\hat {p}})\sum _{ml}{\hat {\alpha }}_{l}{\hat {\alpha }}_{m}e_{rl}e_{rm}-i\hbar r^{-1}{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}e_{rm}e_{rl}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})+i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})=({\hat {\alpha }}{\hat {p}})\sum _{m}{\hat {\alpha }}_{m}^{2}e_{rm}^{2}-i\hbar r^{-1}\sum _{m}{\hat {\alpha }}_{m}^{2}e_{rm}^{2}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})+\;$
$+i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})=({\hat {\alpha }}{\hat {p}})\sum _{m}e_{rm}^{2}-i\hbar r^{-1}\sum _{m}e_{rm}^{2}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})+i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})=({\hat {\alpha }}{\hat {p}})-i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})+i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})=({\hat {\alpha }}{\hat {p}})\;$

(28.36)

Co kończy dowód wyrażenia (28.35).

Równanie Diraca (28.26) na podstawie (28.35) przyjmuje zatem postać poniżej. Widzimy, że to równanie zależy od operatorów, tzn.: od (28.27), (28.28) oraz (28.29). Oczywiste jest, że to równanie Diraca jest równaniem niezależnym od czasu i jest równaniem własnym operatora energii:

$\left(c{\hat {p}}_{r}{\hat {\epsilon }}+i\hbar cr^{-1}{\hat {k}}{\hat {\epsilon }}{\hat {\beta }}+m_{0}c^{2}{\hat {\beta }}-{{e^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}r}}\right)\psi =E\psi \;$

(28.37)

Sprawdźmy czy wszystkie operatory występujące w równaniu własnym operatora energii (28.37) komutują ze sobą, zatem sprawdźmy cztery poniższe komutacje:

1° Sprawdżmy, czy komutator ${\hat {\epsilon }}_{\;}$ komutuje z ${\hat {p}}_{r}\;$:

$[{\hat {\epsilon }},{\hat {p}}_{r}]={\hat {\epsilon }}{\hat {p}}_{r}-{\hat {p}}_{r}{\hat {\epsilon }}=({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{e})(-i\hbar )\left({{\partial } \over {\partial r}}+{{1} \over {r}}\right)+i\hbar \left({{\partial } \over {\partial r}}+{{1} \over {r}}\right)({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{e})=\;$
$=-i\hbar \left[\left(({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{e}){{\partial } \over {\partial r}}-{{\partial } \over {\partial r}}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{e})\right)+\left(({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{e}){{1} \over {r}}-{{1} \over {r}}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{e})\right)\right]=0\;$

(28.38)

2° Sprawdźmy, czy ${\hat {\epsilon }}\;$ komutuje z ${\hat {k}}\;$:

$[{\hat {\epsilon }},{\hat {k}}]={\hat {\epsilon }}{\hat {k}}-{\hat {k}}{\hat {\epsilon }}=r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}({\hat {\sigma }}{\hat {l}}+\hbar )-\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}({\hat {\sigma }}{\hat {l}}+\hbar )r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})=({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}({\hat {\sigma }}{\hat {l}}+\hbar )-\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}({\hat {\sigma }}{\hat {l}}+\hbar )({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})=\;$

$=({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}{\hat {\sigma }}{\hat {l}}+({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}\hbar -\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}{\hat {\sigma }}{\hat {l}}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})-\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}\hbar ({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})=2({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}+({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}{\hat {\sigma }}{\hat {l}}-\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}{\hat {\sigma }}{\hat {l}}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})=\;$
$=2({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}-i{{1} \over {2}}r\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}({\hat {\alpha }}\times {\hat {\alpha }})({\vec {e}}_{r}\times {\hat {p}})+i{{1} \over {2}}r\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}({\hat {\alpha }}\times {\hat {\alpha }})({\vec {e}}_{r}\times {\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})=2({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}+\;$
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle -i{{1}\over{2}}r\hbar^{-1}(\hat{\alpha}\vec{e}_r)(\hat{\alpha}\times\hat{\alpha})(\vec{e}_r\times\hat{p})\hat{\beta}-i{{1}\over{2}}r\hbar^{-1}\hat{\beta}(\hat{\alpha}\times\hat{\alpha})(\vec{e}_r\times\hat{p})(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\beta}=2(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\beta}-i{{1}\over{2}}r\hbar^{-1}(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\epsilon_{ijk}\hat{\alpha}_j\hat{\alpha}_k\epsilon_{ilm}e_{rl}\hat{p}_m\hat{\beta}+\;}
$-i{{1} \over {2}}r\hbar ^{-1}\epsilon _{ijk}{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k}\epsilon _{ilm}e_{rl}{\hat {p}}_{m}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}=2({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}+i{{1} \over {2}}r\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})\epsilon _{kji}\epsilon _{ilm}{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k}e_{rl}{\hat {p}}_{m}{\hat {\beta }}+i{{1} \over {2}}r\hbar ^{-1}\epsilon _{kji}\epsilon _{ilm}{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k}e_{rl}{\hat {p}}_{m}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}=\;$
$=2({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}+i{{1} \over {2}}r\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})\left[\delta _{kl}\delta _{jm}-\delta _{km}\delta _{jl}\right]{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k}e_{rl}{\hat {p}}_{m}{\hat {\beta }}+i{{1} \over {2}}r\hbar ^{-1}\left[\delta _{kl}\delta _{jm}-\delta _{km}\delta _{jl}\right]{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k}e_{rl}{\hat {p}}_{m}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}=\;$
$=2({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}+i{{1} \over {2}}r\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})\left[{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}-{\hat {\alpha }}_{l}{\hat {\alpha }}_{m}\right]e_{rl}{\hat {p}}_{m}{\hat {\beta }}+i{{1} \over {2}}r\hbar ^{-1}\left[{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}-{\hat {\alpha }}_{l}{\hat {\alpha }}_{m}\right]e_{rl}{\hat {p}}_{m}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}=\;$
$=2({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}+i{{1} \over {2}}r\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})\left[2{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}-2\delta _{lm}\right]e_{rl}{\hat {p}}_{m}{\hat {\beta }}+i{{1} \over {2}}r\hbar ^{-1}\left[2{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}-2\delta _{lm}\right]e_{rl}{\hat {p}}_{m}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}=\;$
$=2({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}+ir\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}e_{rl}{\hat {p}}_{m}{\hat {\beta }}-ir\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})({\vec {e}}_{r}{\hat {p}}){\hat {\beta }}+ir\hbar ^{-1}{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}e_{rl}{\hat {p}}_{m}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}-ir\hbar ^{-1}({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}=\;$
$=2({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}-ir\hbar ^{-1}({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}+ir\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}e_{rl}{\hat {p}}_{m}{\hat {\beta }}+ir\hbar ^{-1}{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}e_{rl}{\hat {p}}_{m}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}-ir\hbar ^{-1}({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}=\;$
$=2({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}-ir\hbar ^{-1}({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}+i\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}x_{l}{\hat {p}}_{m}{\hat {\beta }}+i\hbar ^{-1}{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}x_{l}{\hat {p}}_{m}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}-ir\hbar ^{-1}({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}=\;$

$=2({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}-ir\hbar ^{-1}({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}+i\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})[-{\hat {\alpha }}_{l}{\hat {\alpha }}_{m}+2\delta _{lm}]x_{l}{\hat {p}}_{m}{\hat {\beta }}+i\hbar ^{-1}{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}[{\hat {p}}_{m}x_{l}+i\hbar \delta _{lm}]({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}+\;$
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle -ir\hbar^{-1}(\vec{e}_r\hat{p})(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\beta}=2(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\beta}-ir\hbar^{-1}(\vec{e}_r\hat{p})(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\beta}-ir\hbar^{-1}(\hat{\alpha}\vec{e}_r)(\hat{\alpha}\vec{e}_r)(\hat{\alpha}\hat{p})\hat{\beta}+2ri\hbar^{-1}(\hat{\alpha}\vec{e}_r)(\vec{e}_r\hat{p})\hat{\beta}\;}
$+i\hbar ^{-1}{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}({\hat {p}}_{m}re_{rl})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}-\sum _{m}{\hat {\alpha }}_{m}^{2}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}-ir\hbar ^{-1}({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}=2({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}-ir\hbar ^{-1}({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}+\;$
$-ir\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})({\hat {\alpha }}{\hat {p}}){\hat {\beta }}+ri\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})({\vec {e}}_{r}{\hat {p}}){\hat {\beta }}+i\hbar ^{-1}{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}(r{\hat {p}}_{m}-i\hbar {{x_{m}} \over {r}})e_{rl}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}-\sum _{m}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}=2({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}+\;$
$-ir\hbar ^{-1}({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}-ir\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})({\hat {\alpha }}{\hat {p}}){\hat {\beta }}+ri\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})({\vec {e}}_{r}{\hat {p}}){\hat {\beta }}+ir\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})^{2}{\hat {\beta }}+{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}e_{rm}e_{rl}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}+\;$
$-3({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}=2({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}-ir\hbar ^{-1}({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}-ir\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\hat {p}}){\hat {\beta }}+ri\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})({\vec {e}}_{r}{\hat {p}}){\hat {\beta }}+ir\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\hat {p}}){\hat {\beta }}+({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}-3({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}=0\;$

(28.39)

3° Sprawdźmy, czy komutator ${\hat {p}}_{r}\;$ komutuje z ${\hat {k}}\;$, zatem:

$[{\hat {p}}_{r},{\hat {k}}]={\hat {p}}_{r}{\hat {k}}-{\hat {k}}{\hat {p}}_{r}=0\;$

(28.40)

Komutator (28.40) jest równy zero na podstawie, że operator ${\hat {p}}_{r}\;$, zależy od współrzędnych radialnych, a ${\hat {k}}\;$ od współrzędnych kątowych.

4° Sprawdźmy czy operator ${\hat {k}}\;$ komutuje z ${\hat {\beta }}\;$:

$[{\hat {k}},{\hat {\beta }}]=\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}({\hat {\sigma }}{\hat {l}}+\hbar ){\hat {\beta }}-{\hat {\beta }}\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}({\hat {\sigma }}{\hat {l}}+\hbar )=\hbar ^{-1}({\hat {\sigma }}{\hat {l}}+\hbar ){\hat {\beta }}^{2}-{\hat {\beta }}^{2}\hbar ^{-1}({\hat {\sigma }}{\hat {l}}+\hbar )=\hbar ^{-1}({\hat {\sigma }}{\hat {l}}+\hbar )-\hbar ^{-1}({\hat {\sigma }}{\hat {l}}+\hbar )=0\;$

(28.41)

Zdefiniujmy operatory ${\hat {\beta }}\;$ i ${\hat {\epsilon }}\;$ jako zwykłe macierze wedle sposobu:

${\hat {\beta }}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\;$

(28.42)

${\hat {\epsilon }}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\;$

(28.43)

Sprawdźmy, czy zachodzi (26.10) na operatorze ${\hat {\beta }}\;$, czyli czy kwadrat tego operatora jest macierzą jednostkową, którego operator zdefiniowany jest wedle (28.42), a dowód tej własności przebiega:

${\hat {\beta }}^{2}={\hat {\beta }}{\hat {\beta }}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\hat {1}}\;$

(28.44)

a także zachodzi (28.33) na operatorze Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle \hat{\epsilon}\;} , czyli czy kwadrat tegoż operatora jest macierzą jednostkową dla operatora zdefiniowanej wedle (28.43), zatem udowodnijmy tą własność:

${\hat {\epsilon }}^{2}={\hat {\epsilon }}{\hat {\epsilon }}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\hat {1}}\;$

(28.45)

Sprawdźmy, czy na operatorach (28.42) (${\hat {\beta }}\;$) i (28.43) (${\hat {\epsilon }}\;$) zachodzi antykomutacja (28.34), stąd:

$\{{\hat {\epsilon }},{\hat {\beta }}\}={\hat {\epsilon }}{\hat {\beta }}+{\hat {\beta }}{\hat {\epsilon }}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\\\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&-i\\-i&0\\\end{pmatrix}}=0\;$

(28.46)

Na podstawie (28.46) oraz (28.44) i (28.45) udowodniliśmy, że operatory ${\hat {\beta }}\;$ i ${\hat {\epsilon }}\;$ mają postać (28.42) i (28.43).

Udowodniliśmy, że operator ${\hat {k}}\;$ komutuje z ${\hat {p}}_{r}\;$ (28.40), a następnie z operatorem ${\hat {\epsilon }}\;$ (28.39), dalej z ${\hat {\beta }}\;$ (28.41), na tej podstawie dochodzimy do wniosku, że równanie własne operatora hamiltonianu w (28.37), w którym występuje hamiltonian komutatujący z operatorem ${\hat {k}}\;$ (28.27):

$[{\hat {k}},{\hat {H}}]=0\;$

(28.47)

Pozwala to rozwiązywać równanie w bazie jednoczesnych funkcji własnych ${\hat {H}}\;$ i ${\hat {k}}\;$. Równanie własne operatora ${\hat {k}}\;$ jest w postaci (28.27):

${\hat {k}}\psi =k\psi \;$

(28.48)

• gdzie $k\;$ jest wartościa własną operatora ${\hat {k}}\;$.

Teraz zajmijmy się operatorem Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle \hat{k}\;} podstawiając za ${\hat {\sigma }}\;$, który można wyliczyć z (28.22) wyrażenie na ${\hat {\sigma }}\;$ w zależności od operatora spinu cząstki kwantowej:

${\hat {\sigma }}={{2} \over {\hbar }}{\hat {s}}\;$

(28.49)

Iloczyn operatora Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle \hat{\sigma}\;} i operatora momentu pędu na podstawie wzoru (28.49) można podstawić do poniższego wyrażenia otrzymując wyrażenie proporcjonalne do iloczynu operatora momentu pędu spinowego przez orbitalny:

${\hat {\sigma }}{\hat {l}}={{2} \over {\hbar }}{\hat {s}}{\hat {l}}\;$

(28.50)

Wiemy, że operator całkowitego momentu pędu jest sumą operatora momentu pędu orbitalnego i spinowego momentu pędu badanej cząstki:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle \hat{j}=\hat{l}+\hat{s}\;}

(28.51)

Można podnieść do kwadratu wyrażenie operatorowe (28.51), to otrzymujemy inny wzór wynikowy, w którym występują kwadraty różnych operatorów momentu pęd oraz wyraz mieszany będącej iloczynem momentu pędu orbitalnego i spinowego elektronu:

${\hat {j}}^{2}={\hat {l}}^{2}+{\hat {s}}^{2}+2{\hat {l}}{\hat {s}}\;$

(28.52)

Z (28.52) wyznaczamy wyrażenie $2{\hat {l}}{\hat {s}}\;$, w tym celu przenieśmy wyraz mieszany na lewą stronę równania (28.52) z jego prawej strony, a pozostałe wyraży występujące po lewej stronie ostatniego wyrażenia na jego prawo stronę, dostajemy:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle 2\hat{l}\hat{s}=\hat{j}^2-\hat{l}^2-\hat{s}^2\;}

(28.53)

Podstawiamy za ${\hat {\sigma }}{\hat {l}}\;$ wyrażenie (28.53) do wzoru operatorowego (28.50), wtedy dostajemy równoważne równanie do tego ostatniego równanie:

$\hbar {\hat {\sigma }}{\hat {l}}=\left[{\hat {j}}^{2}-{\hat {l}}^{2}-{\hat {s}}^{2}\right]\Rightarrow {\hat {\sigma }}{\hat {l}}=\hbar ^{-1}\left[{\hat {j}}^{2}-{\hat {l}}^{2}-{\hat {s}}^{2}\right]\;$

(28.54)

Operator (28.27) na podstawie własności operatorowej (28.54) możemy przestawić podstawiając do niego wyrażenie na Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle \hat{\sigma} \hat{l}\;} wedle wzoru tego ostatniego, to dostaniemy inny równoważny wzór na operator ${\hat {k}}\;$ w stosunku do pierwotnej definicji (28.27):

${\hat {k}}=\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}\left[\hbar ^{-1}\left({\hat {j}}^{2}-{\hat {l}}^{2}-{\hat {s}}^{2}\right)+\hbar \right]=\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}\hbar \left[\hbar ^{-2}\left({\hat {j}}^{2}-{\hat {l}}^{2}-{\hat {s}}^{2}\right)+1\right]={\hat {\beta }}\left[\hbar ^{-2}\left({\hat {j}}^{2}-{\hat {l}}^{2}-{\hat {s}}^{2}\right)+1\right]\;$

(28.55)

Mając wartości własne kwadratu operatora całkowitego momentu pędu ${\hat {j}}^{2}\;$ kwadratu operatora orbitalnego momentu pędu ${\hat {l}}^{2}\;$ i ostatecznie kwadratu operatora spinowego Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle \hat{s}^2\;} i ze względu na elementy operatora ${\hat {\beta }}\;$, które mają wartość 1 lub -1 na podstawie wyrażenia (26.21), mamy:

$k=\pm \left\{\hbar ^{-2}\left[j(j+1)\hbar ^{2}-l(l+1)\hbar ^{2}-s(s+1)\hbar ^{2}\right]+1\right\}=\pm \left[j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)+1\right]\;$

(28.56)

• gdzie:Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle s={{1}\over{2}}\;} .

Mając liczbę kwantową całkowitego momentu pędu "j" dla cząstki o spinie równą połowie jedynki, to wyznaczymy z niego wzór na liczbę kwantową orbitalnego momentu pędu w zależności od liczby kwantowej całkowitego momentu pędu:

$j=l\mp {{1} \over {2}}\Rightarrow l=j\pm {{1} \over {2}}\;$

(28.57)

A więc dla $l=j-{{1} \over {2}}\;$ według (28.57) wartość własna równania własnego (28.48), na podstawie (28.56), przestawiamy:

$k=\pm \left[j(j+1)-(j-{{1} \over {2}})(j+{{1} \over {2}})+{{1} \over {4}}\right]=\pm \left[j^{2}+j-j^{2}-{{1} \over {2}}j+{{1} \over {2}}j+{{1} \over {4}}+{{1} \over {4}}\right]=\pm \left[j+{{1} \over {2}}\right]\;$

(28.58)

oraz dla Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle l=j+{{1}\over{2}}\;} według (28.57), wtedy wartość własna równania własnego (28.48), na podstawie (28.56), przestawiamy:

$k=\pm \left[j^{2}+j-(j+{{1} \over {2}})(j+{{3} \over {2}})+{{1} \over {4}}\right]=\pm \left[j^{2}+j-j^{2}-j{{3} \over {2}}-j{{1} \over {2}}-{{3} \over {4}}+{{1} \over {4}}\right]=\mp \left[j+{{1} \over {2}}\right]\;$

(28.59)

Ponieważ wartości własne Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle \hat{j}\;} całkowitego momentu pędu mają wartości ułamkowe połówkowe, zatem na podstawie (28.58) (dla (28.57) z minusem) i (28.59) (dla (28.57) z plusem) dochodzimy więc do wniosku, że wartościami własnymi operatora (28.27) są liczby całkowite bez zera:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle k=\pm1,\pm 2,\pm 3,...\;}

(28.60)

Mając na uwadze powyższe rozważania przedstawmy funkcję Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle \psi\;} jako wektor funkcji, jako dwuskładnikowsy wektor kolumnowy, czyli spinor:

$\psi ={\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{pmatrix}}\;$

(28.61)

Biorąc spinor (28.61) jako wektor własny, a także definicję macierzy (28.42) i (28.43), to równanie Diraca (28.37) przyjmuje kształt:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle \left\{c\hat{p}_r\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}+{{i\hbar c\hat{k}}\over{r}}\begin{pmatrix} 0&-i\\i&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}+m_0c^2\begin{pmatrix} 1&0\\0&-1\end{pmatrix}-{{e^2}\over{4\pi\epsilon_0 r}}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\right\}\begin{pmatrix}\psi_1\\\psi_2\end{pmatrix}=E\begin{pmatrix}\psi_1\\\psi_2\end{pmatrix}\;}

(28.62)

Po dalszych przekształceniach powyższego równania (28.62) dotyczące przemnożenia pewnych macierzy, otrzymujemy inne równoważne do poprzedniego macierzowe równanie Diraca dla elektronu:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle \left\{c\hat{p}_r\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}+{{i\hbar c\hat{k}}\over{r}}\begin{pmatrix} 0&i\\i&0\end{pmatrix}+m_0c^2\begin{pmatrix} 1&0\\0&-1\end{pmatrix}-{{e^2}\over{4\pi\epsilon_0 r}}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\right\}\begin{pmatrix}\psi_1\\\psi_2\end{pmatrix}=E\begin{pmatrix}\psi_1\\\psi_2\end{pmatrix}\;}

(28.63)

Z równania macierzowego (28.63) stanowiących jakoby układ dwóch równań, otrzymujemy dwa równania zależne od siebie:

${\begin{cases}(m_{0}c^{2}-E-{{e^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}r}})\psi _{1}-(ic{\hat {p}}_{r}+{{\hbar c{\hat {k}}} \over {r}})\psi _{2}=0\\-(m_{0}c^{2}+E+{{e^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}r}})\psi _{2}+(ic{\hat {p}}_{r}-{{\hbar c{\hat {k}}} \over {r}})\psi _{1}=0\end{cases}}$

(28.64)

Następnym naszym krokiem jest podstawienie za operator Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle \hat{p}_r\;} (28.28) jego definicji w układzie równań (28.64):

${\begin{cases}\left(m_{0}c^{2}-E-{{e^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}r}}\right)\psi _{1}-\hbar c\left({{\hat {k}} \over {r}}+{{\partial } \over {\partial r}}+{{1} \over {r}}\right)\psi _{2}=0\\-hc\left({{\hat {k}} \over {r}}-{{\partial } \over {\partial r}}-{{1} \over {r}}\right)\psi _{1}-\left(m_{0}c^{2}+E+{{e^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}r}}\right)\psi _{2}=0\end{cases}}\;$

(28.65)

Ponieważ operator ${\hat {k}}\;$ zależy od współrzędnych kątowych, a nie radialnym, stąd wynika, że funkcje $\psi _{1}\;$ i Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle \psi_2\;} mają jednakową funkcję kątową, co wynika, że dla obu równań (28.65) wartość własna operatora ${\hat {k}}\;$ powinna być taka sama, z definiujmy w takim wypadku te opisywane funkcje:

$\psi _{1}={{f_{1}(r)} \over {r}}\phi \;$

(28.66)

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle \psi_2={{f_2(r)}\over{r}}\phi\;}

(28.67)

Zajmijmy się teraz pierwszym równaniem układu równań (28.65), do niego możemy wstawić funkcje, tzn.:Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle \psi_1\;} (28.66) i $\psi _{2}\;$ (28.67) oraz za ${\hat {k}}\;$ należy wstawić wartość własną tego operatora, co wynika z definicji jego wartości własnej:

$\left(m_{0}c^{2}-E-{{e^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}r}}\right){{f_{1}(r)} \over {r}}\phi -\hbar c\left({{\hat {k}} \over {r}}+{{\partial } \over {\partial r}}+{{1} \over {r}}\right){{f_{2}(r)} \over {r}}\phi =0\;$

(28.68)

Pomnóżmy teraz lewostronnie (28.68) przez odległość radialną r:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle \left(m_0c^2-E-{{e^2}\over{4\pi\epsilon_0 r}}\right)f_1(r)-\hbar c\left({{k}\over{r}}f_2(r)+r{{\partial}\over{\partial r}}{{f_2(r)}\over{r}}+{{1}\over{r}}f_2(r)\right)=0\;}

(28.69)

Rozpiszmy tożsamość poniżej korzystając z twierdzenia o pochodnej ilorazu:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle r{{d}\over{dr}}{{f_2}\over{r}}= r{{{{{df_2}\over{dr}}r-f_2}}\over{r^2}}=({{d}\over{dr}}-{{1}\over{r}})f_2(r)\;}

(28.70)

A zatem nasze pierwsze równanie uzyskujemy z (28.69), po dokonaniu w nim obliczeń pomocniczych wedle schematu (28.70), przyjmuje ona wtedy postać:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle \left(m_0c^2-E-{{e^2}\over{4\pi\epsilon_0 r}}\right)f_1(r)-\hbar c\left({{k}\over{r}}+{{d}\over{dr}}\right)f_2(r)=0\;}

(28.71)

W tej chwili zajmować się będziemy drugim równaniem (28.65) podstawiając do niego za $\psi _{1}\;$ (28.66) i za Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle \psi_2\;} (28.67):

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle -hc\left({{\hat{k}}\over{r}}-{{\partial}\over{\partial r}}-{{1}\over{r}}\right){{f_1(r)}\over{r}}\phi-\left(m_0c^2+E+{{e^2}\over{4\pi\epsilon_0 r}}\right){{f_2(r)}\over{r}}\phi=0\;}

(28.72)

Przekształćmy nasze aktualne równanie:

$-hc\left({{k} \over {r}}{{f_{1}(r)} \over {r}}-{{\partial } \over {\partial r}}{{f_{1}(r)} \over {r}}-{{1} \over {r}}{{f_{1}(r)} \over {r}}\right)-\left(m_{0}c^{2}+E+{{e^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}r}}\right){{f_{2}(r)} \over {r}}=0\;$

(28.73)

Pomnóżmy lewostronnie równanie (28.73) przez odległość radialną r, wtedy otrzymujemy równość napisaną w zależności od funkcji Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle f_1(r)\;} i $f_{2}(r)\;$:

$-hc\left({{k} \over {r}}f_{1}(r)-r{{\partial } \over {\partial r}}{{f_{1}(r)} \over {r}}-{{1} \over {r}}f_{1}(r)\right)-\left(m_{0}c^{2}+E+{{e^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}r}}\right)f_{2}(r)=0\;$

(28.74)

Zatem ostatecznie drugie równanie wynikającego z (28.74) i po dokonaniu w nim obliczeń pomocniczych, wykorzystując tożsamość (28.70), przyjmuje postać:

$\hbar c\left({{k} \over {r}}-{{d} \over {dr}}\right)f_{1}(r)+\left(m_{0}c^{2}+E+{{e^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}r}}\right)f_{2}(r)=0\;$

(28.75)

Dokonajmy podstawień do równań (28.71) (pierwsze równanie) i (28.75) (drugie równanie) w postaci:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle c_1={{\hbar c}\over{m_0c^2+E}}\;}

(28.76)

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle c_2={{\hbar c}\over{m_0c^2-E}}\;}

(28.77)

$\alpha ={{e^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}\;$

(28.78)

Zatem równanie (28.71) i (28.75) na podstawie podstawień (28.76)(Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle c_1\;} ), (28.77)(Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle c_2\;} ) i (28.78)($\alpha \;$) przyjmują postacie zapisaną w układzie równań:

${\begin{cases}\left({{1} \over {c_{2}}}-{{\alpha } \over {r}}\right)f_{1}-\left({{k} \over {r}}+{{d} \over {dr}}\right)f_{2}=0\\\left({{k} \over {r}}-{{d} \over {dr}}\right)f_{1}+\left({{1} \over {c_{1}}}+{{\alpha } \over {r}}\right)f_{2}=0\end{cases}}\;$

(28.79)

Nastepnie wyodrębnijmy ten sam czynnik wykładniczy z funkcji Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle f_1\;} i $f_{2}\;$, tzn.:

$f_{1}=u_{1}(r)e^{-ar}\;$

(28.80)

$f_{2}=u_{2}(r)e^{-ar}\;$

(28.81)

W (28.80) i (28.81) stała "a" jest zależna od energii całkowitej elektronu i od jego masy spoczynkowej, jest zdefiniowane jako stała:

$a={{\sqrt {m_{0}c^{2}-E^{2}}} \over {\hbar c}}\;$

(28.82)

Podstawiając te funkcje (28.80) i (28.81) do dwóch rozważanych równań (28.79), mamy:

${\begin{cases}\left({{1} \over {c_{2}}}-{{\alpha } \over {r}}\right)u_{1}-\left({{k} \over {r}}-a\right)u_{2}-{{du_{2}} \over {dr}}=0\\\left({{k} \over {r}}+a\right)u_{1}+\left({{1} \over {c_{1}}}+{{\alpha } \over {r}}\right)u_{2}-{{du_{1}} \over {dr}}=0\end{cases}}\;$

(28.83)

Dokonajmy podstawień za funkcje $u_{1}(r)\;$ i $u_{2}(r)\;$ pewnymi nieskończonymi szeregami potęgowymi zapisane jako kombinacja liniowa z pewnymi współczynnikami względem poszczególnych potęg odległości radialnych:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle u_1(r)=\sum^{\infty}_{m=1}b_mr^{\mu+m}\;}

(28.84)

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle u_2(r)=\sum^{\infty}_{m=1}d_mr^{\mu+m}\;}

(28.85)

• gdzie Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle \mu\geq 0\;} , co gwarantuje rozpoczęcia w szeregu potęgowym opisanym powyżej, których wykładnik potęgi jest większy niż "m" w szeregach powyżej zdefiniowanych.

Dokonajmy podstawień szeregów Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle u_1(r)\;} (28.84) i Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle u_2(r)\;} (28.85), do pierwszego równania (28.83).

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle {{1}\over{c_2}}\sum^{\infty}_{m=1}b_mr^{\mu+m}-\alpha\sum^{\infty}_{m=1}b_mr^{\mu+m-1}-k\sum^{\infty}_{m=1}d_mr^{\mu+m-1}+a\sum^{\infty}_{m=1}d_mr^{\mu+m}-\sum^{\infty}_{m=1}d_m(\mu+m)r^{\mu+m-1}=0\;}

(28.86)

Dokonajmy podstawień wedle schematu m'=m+1 dla pierwszego i czwartego wyrazu równania (28.86) w ten sposób, by w tym równaniu mieć te same potęgi, by później współczynnik stojący przy tej potędze przyrównać do zera, jeśli wszystkie wyrazy występując po przegrupowaniu występują w czynniku przy tym obiekcie, a zatem dochodzimy do wniosku po odpowiedniej zamianie parametrów m:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle {{1}\over{c_2}}\sum^{\infty}_{m=2}b_{m-1}r^{\mu+m-1}-\alpha\sum^{\infty}_{m=1}b_mr^{\mu+m-1}-k\sum^{\infty}_{m=1}d_mr^{\mu+m-1}+a\sum^{\infty}_{m=2}d_{m-1}r^{\mu+m-1}-\sum^{\infty}_{m=1}d_m(\mu+m)r^{\mu+m-1}=0\;}

(28.87)

Grupując względem tych samych potęg w (28.87), zależność na współczynnikach (pierwsze równanie poniżej) i warunek brzegowy (drugie równanie) przedstawia się:

Równanie iteracyjne pierwsze

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle {{1}\over{c_2}}b_{m-1}-\alpha b_m+ad_{m-1}-(\mu+m+k)d_m=0\;}

(28.88)

Równanie brzegowe pierwsze

$-\alpha b_{1}-kd_{1}-d_{1}(\mu +1)=0\;$

(28.89)

Dokonajmy teraz podstawień do drugiego równania (28.83) w szeregach potęgowych (28.84) i (28.85):

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle k\sum^{\infty}_{m=1} b_mr^{\mu+m-1}+a\sum^{\infty}_{m=1}b_m r^{\mu+m}+{{1}\over{c_1}}\sum^{\infty}_{m=1}d_m r^{\mu+m}+\alpha\sum^{\infty}_{m=1}d_mr^{\mu+m-1}-\sum^{\infty}_{m=1}b_m(\mu+m)r^{\mu+m-1}=0\;}

(28.90)

Podstawmy do drugiego i trzeciego wyrazu przy pomocy schematu m=m'-1 do powyższego równania, by w tym równaniu mieć te same potęgi "r", by później współczynniki stojący przy tej potędze przyrównać do zera:

$k\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}r^{\mu +m-1}+a\sum _{m=2}^{\infty }b_{m-1}r^{\mu +m-1}+{{1} \over {c_{1}}}\sum _{m=2}^{\infty }d_{m-1}r^{\mu +m-1}+\alpha \sum _{m=1}^{\infty }d_{m}r^{\mu +m-1}-\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}(\mu +m)r^{\mu +m-1}=0\;$

(28.91)

Grupując względem tych samych potęg w (28.91), zatem równanie iteracyjne między współczynnikami (pierwsze równanie poniżej) i warunek brzegowy (drugie równanie) przedstawia się:

Równanie iteracyjne drugie

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle ab_{m-1}-(\mu+m-k)b_m+{{1}\over{c_1}}d_{m-1}+\alpha d_m=0\;}

(28.92)

Równanie brzegowe drugie

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle kb_1+\alpha d_1-b_1(\mu+1)=0\;}

(28.93)

Następnie możemy wyregułować wyrazy z m-1, jeśli (28.88) pomnożymy przez "a" a (28.92) przez Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle {{1}\over{c_2}}\;} , pamiętając jednak, że zachodzi tożsamość: Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle a^2={{1}\over{c_1c_2}}\;} , mamy:

${{1} \over {c_{1}c_{2}}}={{(m_{0}c^{2}-E)(m_{0}c^{2}+E)} \over {\hbar ^{2}c^{2}}}={{mc^{4}-E^{2}} \over {h^{2}c^{2}}}=a^{2}\;$

(28.94)

Co kończy dowód powyższego lematu.

Po tych operacjach odejmujemy obustronnie tak otrzymane oba te równania, możemy napisać, że:

$-\alpha ab_{m}-(\mu +m+k)ad_{m}+(\mu +m-k){{1} \over {c_{2}}}b_{m}-\alpha {{1} \over {c_{2}}}d_{m}=0\;$

(28.95)

Grupujemy wyrazy względem $b_{m}\;$ i Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle d_m\;} w (28.95), mamy:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle \left({{\mu+m-k}\over{c_2}}-\alpha a\right)b_m-\left((\mu+m+k)a+{{\alpha}\over{c_2}}\right)d_m=0\;}

(28.96)

Jest to ogólny związek wziążacy współczynniki $b_{m}\;$ z Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle d_m\;} . Zbieżność szeregu dla dużych m według (28.96) można tak zapisać, by we wspomnianym równaniu można pominąć wszystkie składniki za wyjątkiem wyrazów z m, bo wyrazy z m są o wiele większe niż bez niego, zatem dla dużego m ostatnie równanie możemy zapisać wedle schematu:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle {{m}\over{c_2}}b_m-mad_m=0\Rightarrow{{m}\over{c_2}}b_m=m a d_m\Rightarrow b_m=c_2 ad_m\;}

(28.97)

Tożsamość (28.88) dla dużych m, podobnie jak przy pisaniu (28.97), przyjmuje postać:

${{1} \over {c_{2}}}b_{m-1}-\alpha b_{m}+ad_{m-1}-md_{m}=0\;$

(28.98)

Podstawiamy zależność (28.97) do ostatniego równania (28.98) w celu wyznaczenia zależności iteracyjnej współczynników Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle d_i\;} występujących w (28.85), otrzymujemy:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle ad_{m-1}-\alpha c_2 ad_m+ad_{m-1}-md_m=0\;}

(28.99)

Dla dużych "m" prawie nieskończonych, równanie (28.99) przechodzi w równoważną równość:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle ad_{m-1}+ad_{m-1}=md_m\Rightarrow 2ad_{m-1}=md_m\;}

(28.100)

Ostatecznie otrzymujemy z równości (28.100) stosunek dwóch współczynników d_m występujących w szeregu (28.85) jako stosunek czynnika o wskaźniku dolnym m przez współczynnik o wskaźniku m-1:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle {{d_m}\over{d_{m-1}}}={{2a}\over{m}}\;}

(28.101)

Tak samo jak w ilorazie (28.101), który zachodzi dla dużych m, które zachowują się jak współczynniki szeregu eksponencjalnego o wykładniku 2ar, że w ten sam w sposób, ale dla dużych m dokładnie to samo:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle e^{2ar}=1+{{2ar}\over{1!}}+{{(2ar)^2}\over{2!}}+...\;}

(28.102)

• gdzie:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle {{a_m}\over{a_{m-1}}}={{(2m)^2}\over{m!}}{{(m-1)!}\over{(2a)^{m-1}}}={{2a}\over{m}}\;}

(28.103)

Funkcja e^2ar dąży w nieskończonościach do nieskończoności, zatem aby nasz szereg był zbieżny w nieskończoności musimy urwać nasz szereg u₂(r) (28.85) na pewnym wyrazie, by on był zbieżny w nieskończoności, podobnie wnioskujemy dla drugiego szeregu, czyli u₁(r) (28.84). Wiadomo,że jeśli b_m=0, to d_m=0 na podstawie (28.96). Jeśli nasze szeregi, zarówno dla u₁(r) lub dla u₂(r), należy urwać na pewnym wskaźniku m=s+1. Zbierając wszystko z równania (28.88), podstawiamy za wyrazy ze wskażnikiem m+1 jako zero (bo urywamy), a wyrazy ze wskaźnikiem m pozostawiamy i dalej zamieniamy m na s, jeśli ostatnio w naszym równaniu (28.92) dokonaliśmy podstawienia m=m'+1, tylko wtedy można tak źrobić, a drugie wyrażenie (28.96) przepisujemy wstawiając za m wskaźnik s:

${{1} \over {c_{2}}}b_{s}+ad_{s}=0\;$

(28.104)

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle \left({{\mu+s-k}\over{c_2}}-\alpha a\right)b_s-\left[(\mu+s+k)a+{{\alpha}\over{c_2}}\right]d_s=0\;}

(28.105)

Ponieważ oba współczynniki rozwinięcia nie mogą być równe zero, podstawiamy równanie wynikające z (28.104), tzn. wyznaczamy z niego wyrażenie na b_s, to wszystko podstawiamy za ten sam współczynnik do tożsamości (28.105), mamy:

$\left({{\mu +s-k} \over {c_{2}}}-\alpha a\right)(-c_{2})ad_{s}-\left[(\mu +s+k)a+{{\alpha } \over {c_{2}}}\right]d_{s}=0\;$

(28.106)

Dzielimy obie strony (28.106) przez wyrażenie w ogólności niezerowe c₂d_s, otrzymujemy:

$a\left({{\mu +s-k} \over {c_{2}}}-\alpha a\right)+{{1} \over {c_{2}}}\left((\mu +s+k)a+{{\alpha } \over {c_{2}}}\right)=0\;$

(28.107)

Dokonujemy dalszych przekształceń w tożsamości (28.107), wtedy:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle 2(\mu+s)a{{1}\over{c_2}}=a^2\alpha-{{\alpha}\over{c^2_2}}\;}

(28.108)

Po podstawieniu za a² wzoru napisanego według (28.94) do równania (28.108) wyrażając je względem stałych c₁ i c₂, narazie zapominając od definicji tychże stałych, mamy:

$2(\mu +s)a{{1} \over {c_{2}}}={{\alpha } \over {c_{1}c_{2}}}-{{\alpha } \over {c_{2}^{2}}}\;$

(28.109)

Równanie (28.109) mnożymy przez c₂, otrzymujemy:

$(\mu +s)a=\alpha \left({{1} \over {c_{1}}}-{{1} \over {c_{2}}}\right)\;$

(28.110)

Do równania (28.110) wstawiając stałe za "a" (28.94) (jego definicja zależy od energii całkowitej cząstki i zależności od jego masy spoczynkowej), c₁ (28.76)(definicja) oraz c₂ (28.77) (definicja)

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle 2(\mu+s){{\sqrt{m_0^2c^4-E^2}}\over{\hbar c}}={{2\alpha E}\over{\hbar c}}\;}

(28.111)

Pomnóżmy ostatnie równanie przez stałą zależną od stałej kreślonej Plancka i prędkości światła ${{\hbar c} \over {2}}\;$, mamy:

$(\mu +s){\sqrt {m_{0}^{2}c^{4}-E^{2}}}=\alpha E\;$

(28.112)

Podnieśmy równanie (28.112) do kwadratu w celu usunięcia niewymierności we wspomnianym ostatnio równaniu, można powiedzieć:

$(\mu +s)^{2}(m_{0}^{2}c^{4}-E^{2})=\alpha ^{2}E^{2}\;$

(28.113)

Wyznaczmy z (28.113) parametr E, który jest energią cząstki wynikająca z mechaniki kwantowej Diraca, która jest wartością własną operatorta energii całkowitej, zatem otrzymujemy ostatecznie:

$(\mu +s)^{2}m_{0}^{2}c^{4}-(\mu +s)^{2}E^{2}=\alpha ^{2}E^{2}\Rightarrow E^{2}(\alpha ^{2}+(\mu +s)^{2})=(\mu +s)^{2}m_{0}^{2}c^{4}\Rightarrow E^{2}={{m_{0}^{2}c^{4}(\mu +s)^{2}} \over {\alpha ^{2}+(\mu +s)^{2}}}\Rightarrow \;$
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle \Rightarrow E^2={{m_0^2c^4}\over{1+{{\alpha^2}\over{(\mu+s)^2}}}}\Rightarrow E={{m_0c^2}\over{\sqrt{1+{{\alpha^2}\over{(\mu+s)^2}}}}}\;}

(28.114)

Teraz zajmniemy się dwoma warunkami brzegowymi dla m=1, tzn. (28.89) i (28.93):

$-\alpha b_{1}-kd_{1}-d_{1}(\mu +1)=0\;\;$

(28.115)

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle kb_1+\alpha d_1-b_1(\mu+1)=0\;\;}

(28.116)

|} Te dwa ostatnie równania możemy przekształcić, czyli (28.115) i (28.116), do równoważnej bardziej uproszczonej postaci:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle \alpha b_1=-(\mu+1+k)d_1\;\;}

(28.117)

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle b_1(\mu+1-k)=\alpha d_1\;\;}

(28.118)

Dwa ostatnie dwa równania dzielimy obustronnie przez siebie, tzn. równości (28.117) przez (28.118), wtedy mamy pojedynczy wzór na warunek brzegowy:

${{\alpha } \over {\mu +1-k}}=-{{\mu +1+k} \over {\alpha }}\;\;$

(28.119)

Następnie w (28.118) wyznaczmy wzór na stałą μ występujących w szeregach potęgowych w wykładnikach potęg, czyli w (28.84) i (28.85):

$(\mu +1-k)(\mu +1+k)=-\alpha ^{2}\Rightarrow \alpha ^{2}+(\mu +1-k)(\mu +1+k)=0\Rightarrow \alpha ^{2}+(\mu +1)^{2}-k^{2}=0\Rightarrow k^{2}-\alpha ^{2}=(\mu +1)^{2}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow \mu +1={\sqrt {k^{2}-\alpha ^{2}}}\Rightarrow \mu ={\sqrt {k^{2}-\alpha ^{2}}}-1\;\;$

(28.120)

A zatem energia całkowita elektronu otrzymujemy, podstawiając stałą μ zdefiniowaną wedle (28.120) do wzoru na całkowitą energię elektronu (28.114), wtedy mamy wniosek:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle E={{m_0c^2}\over{\sqrt{1+{{\alpha^2}\over{\left(\sqrt{k^2-\alpha^2}-1+s\right)^2}}}}}\;}

(28.121)

Dokonajmy przybliżeń w tym celu obierzmy stałą n^', która jest zależna od kwantowej liczby k zdefiniowanej wedle (28.60), stałej struktury subtelnej i elementu s, definiujemy ją wedle:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle n'=s-1+\sqrt{k^2-\alpha^2}\;}

(28.122)

Podstsawienie napisaną wedle tożsamości (28.122) podstawiamy do wzoru na energię (28.121):

$E={{m_{0}c^{2}} \over {\sqrt {1+{{\alpha ^{2}} \over {n'^{2}}}}}}\;$

(28.123)

Rozłóżmy wyrażenie (28.123) w szereg Taylora względem parametru α², czyli kwadratu stałej struktury subtelnej, który wygląda tak samo jak w punkcie (25.98), tylko mamy inną definicję n', w przeciwieństwie dla atomu wodoru według Kleina-Gordona, czyli (25.91), a w teorii Diraca mamy definicję tego parametru w postaci (28.122):

$E=m_{0}c^{2}\left(1-{{\alpha ^{2}} \over {2n'^{2}}}+{{1\cdot 3\alpha ^{4}} \over {2\cdot 4n'^{4}}}+...\right)\;$

(28.124)

Rachunki będziemy prowadzić do czwartej potęgi przy dokonaniu przybliżenia liczby n^' dla małego współczynnika kwadratu struktury subtelnej α²:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle n'=s-1+k\sqrt{1-{{\alpha^2}\over{k^2}}}=s-1+k\left(1-{{1\alpha^2}\over{2k^2}}- {{\alpha^4}\over{2\cdot 4 k^4}}\right)=n-{{\alpha^2}\over{2k^2}}-{{\alpha^4}\over{8k^3}}=n\left(1-{{\alpha^2}\over{2nk}}-{{\alpha^4}\over{8nk^3}}\right)\;}

(28.125)

• gdzie

$n=s-1+k\;$

(28.126)

Ponieważ s≥1 i k jest takie, że (28.60), a żeby zachodziło (28.126), to dostajemy dalsze ograniczenia na liczbę kwantową k jako wartości własnej równania własnego dla operatora (28.27), zatem:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle k=1,2,3,...,n\;}

(28.127)

Określmy odwrotność parametru n' napisaną w sposób przybliżony wyrażenia (28.125), dokonując w nim dalszych przybliżeń dla małości wyrazów występujących w nawiasie wspomnianego wyrażenia występującego po jedynce:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle {{1}\over{n'}}\simeq{{1}\over{n}}{{1}\over{1-{{\alpha^2}\over{2nk}}-{{\alpha^4}\over{8nk^3}}}}\simeq {{1}\over{n}}\left[\left(1+{{\alpha^2}\over{2nk}}+{{\alpha^4}\over{8nk^3}}\right)+\left({{\alpha^2}\over{2nk}}+{{\alpha^4}\over{8nk^3}}\right)^2\right]\simeq{{1}\over{n}}\left(1+{{\alpha^2}\over{2nk}}+{{\alpha^4}\over{8nk^3}}\right)\simeq {{1}\over{n}}\left(1+{{\alpha^2}\over{2nk}}\right)\;}

(28.128)

Odwrotność kwadratu z liczby n' (28.125) napiszemy wychodząc od (28.128) z dokładnością do drugiej potęgi z liczby α:

${{1} \over {n'^{2}}}\simeq {{1} \over {n^{2}}}\left(1+{{\alpha ^{2}} \over {2nk}}\right)^{2}\simeq {{1} \over {n^{2}}}\left(1+{{\alpha ^{2}} \over {nk}}\right)\;$

(28.129)

Odwrotność czwartej potęgi z liczby n' (28.125) napiszemy wychodząc od (28.129) z dokładnością do zerowej potęgi liczby α:

${{1} \over {n'^{4}}}\simeq {{1} \over {n^{4}}}\left(1+{{\alpha ^{2}} \over {nk}}\right)^{2}\simeq {{1} \over {n^{4}}}\;$

(28.130)

Podstawiamy wzór (28.128) (odwrotność zmiennej n'), (28.129) (kwadrat odwrotności zmiennej n') do (28.124) będących rozwinięciem w szereg Taylora względem omawianego tam parametru, który zapiszemy z dokładnością do trzech wyrazów w nawiasie, dostajemy:

$E\simeq m_{0}c^{2}\left[1-{{\alpha ^{2}} \over {2n^{2}}}\left(1+{{\alpha ^{2}} \over {nk}}\right)+{{3\alpha ^{4}} \over {8n^{4}}}\right]=m_{0}c^{2}\left[1-{{\alpha ^{2}} \over {2n^{2}}}-{{\alpha ^{4}} \over {2n^{3}}}\left({{1} \over {k}}-{{3} \over {4n}}\right)\right]\;$

(28.131)

Wyznaczmy energię E₀, którą jak udowodnimy jest to energia obliczoną z nierelatywistycznej teorii kwantowej, wychodząc z wyrażenia:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle E_0=-m_0c^2{{\alpha^2}\over{2n^2}}=-m_0c^2{{e^4}\over{32\pi^2\epsilon_0^2\hbar^2 c^2}}=-{{m_0e^4}\over{8\epsilon_0^2h^2n^2}}\;}

(28.132)

Wyrażenie na całkowitą energię elektronu w polu jadra atomowego wodoru, uwzględniając efekty relatywistyczne, jest równa sumie energii spoczynkowej elektronu, energii obliczonej wedle mechaniki kwantowej nierelatywistycznej i z poprawką zależną od tej energii i od k-tej liczby kwantowej, ale też od głównej liczby kwantowej (jest ona również zależna od czynniku struktury subtelnej α, która jest względnie mała i dlatego w teorii nierelatywistycznej ten trzeci składnik jest często pomijany), zatem ta nasza energia elektronu w polu jądra atomowego atomu wodoru jest równa na podstawie (28.131) i obliczeń pomocniczych (28.132):

$E=m_{0}c^{2}+E_{0}+E_{0}{{\alpha ^{2}} \over {n}}\left({{1} \over {k}}-{{3} \over {4n}}\right)\;$

(28.133)

Policzmy skrajną różnicę poziomów dla ściśle określonego n między orbitalną liczbą kwantową k=1 a k=n, bo ta liczba przyjmuje wartości skwantowane wedle schematu (28.127):

$\Delta E_{n}=E_{n}(k=n)-E_{n}(k=1)=E_{0}{{\alpha ^{2}} \over {n}}\left[\left({1 \over n}-{{3} \over {4n}}\right)-\left(1-{{3} \over {4n}}\right)\right]=E_{0}{{\alpha ^{2}} \over {n}}\left({{1} \over {n}}-1\right)\simeq -E_{0}{{\alpha ^{2}} \over {n}}\;$

(28.134)

Co zgadza się z doświadczeniem, w porównaniu z teorią Kliena-Gordona mamy dwukrotną redukcję rozszczepienia poziomu n.

Ruch swobodny elektronu według teorii Diraca

W trym rozdziale rozważmy ruch swobodny elektronu w teorii Diraca, napiszemy czemu jest równa energia cząstki znając jej wartość pędu, rozważmy najpierw macierze w postaci czteroskładnikowych bispinorów. Mając reprezentację operatorów Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle \hat{\alpha}} przystąpijmy do dyskusji zagadnienia własnego elektronu według teorii Diraca (26.81) bez pola elektromagnetycznego:

$\left\{c({\hat {\alpha }}{\hat {p}})+m_{0}c^{2}{\hat {\beta }}\right\}\psi =E\psi$

(28.135)

• gdzie: ψ jest bispinorem, którego współrzędne zależą od czasu i przestrzeni.

Zakładamy, że zależność czasowo-przestrzenną funkcji falowej jako rozwiązania zależnego od czasu, przedstawia się ona w postaci fali płaskiej, z dokładnością do amplitudy, która jest wektorem pionowym, gdy mamy cząstkę o pędzie ${\vec {p}}\;$ i o energii E:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle \phi=e^{{{i}\over{\hbar}}(\vec{p}\vec{r}-Et)}}

(28.136)

Wówczas bispinor z amplitudą, która jest wektorem pionowym, jako całkowita funkcja falowa rozwiązania Diraca, będzie miało postać:

$\psi =e^{{{i} \over {\hbar }}(pr-Et)}{\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\u_{4}\end{pmatrix}}=e^{{{i} \over {\hbar }}(pr-Et)}{\vec {u}}$

(28.137)

Po wstawieniu do równania Diraca elektronu swobodnego (28.135) wyrażenia (28.137), dochodzimy do wniosku:

$\left\{c({\hat {\alpha }}{\hat {p}})+m_{0}c^{2}{\hat {\beta }}\right\}{\vec {u}}=E{\vec {u}}$

(28.138)

Następnie wstawiamy, za macierze ${\hat {\alpha }}_{i}$, gdzie i=x,y,z (26.34), (26.35) i (26.36) oraz ${\hat {\beta }}$ (26.33) do wzoru (28.138), który stanowi równanie niezależne od czasu mechaniki kwantowej Diraca, otrzymujemy ostatecznie:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle \left\{c\left[\begin{pmatrix} 0&0&0&1\\ 0&0&1&0\\ 0&1&0&0\\ 1&0&0&0 \end{pmatrix}p_x+\begin{pmatrix} 0&0&0&-i\\ 0&0&i&0\\ 0&-i&0&0\\ i&0&0&0 \end{pmatrix}p_y+\begin{pmatrix} 0&0&1&0\\ 0&0&0&-1\\ 1&0&0&0\\ 0&-1&0&0 \end{pmatrix}p_z\right]+m_0c^2\begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-1 \end{pmatrix}\right\}\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\\u_4\end{pmatrix}=\;}
$\Rightarrow E{\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\u_{4}\end{pmatrix}}$

(28.139)

Dokonując niewielkich przekształceń w (28.139), tak by odpowiednie skalary i ich współrzędne pędu przenieść w granicę macierzy ściśle określonych:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle \left\{c\begin{pmatrix} 0&0&p_z&p_x-ip_y\\ 0&0&p_x+ip_y&-p_z\\ p_z&p_x-ip_y&0&0\\ p_x+ip_y&-p_z&0&0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} m_0c^2-E&0&0&0\\ 0&m_0c^2-E&0&0\\ 0&0&-m_0c^2-E&0\\ 0&0&0&-m_0c^2-E \end{pmatrix}\right\}\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\\u_4\end{pmatrix}=0}

(28.140)

I ostatecznie otrzymujemy układ równań różniczkowych, wychodząc od (28.140), w taki sposób by wszystko znajdowało się pod macierzą w pierwszym czynniku, a drugim czynnikiem jest wektor Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle \vec{u}\;} , wtedy w ten sposób otrzymaliśmy układ równań jednorodnych zapisanej w postaci działań na macierzach:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle \begin{pmatrix} m_0c^2-E&0&cp_z&c(p_x-ip_y)\\ 0&m_0c^2-E&c(p_x+ip_y)&-cp_z\\ cp_z&c(p_x-ip_y)&-m_0c^2-E&0\\ c(p_x+ip_y)&-cp_z&0&-m_0c^2-E \end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\\u_4\end{pmatrix}=0 }

(28.141)

Warunkiem niezerowania się bispinorów (niezerowych rozwiązań) jest wyznacznik macierzy, występujący w (28.141) przed bispinorem, który jest równy zero:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle 0=\begin{vmatrix} m_0c^2-E&0&cp_z&c(p_x-ip_y)\\ 0&m_0c^2-E&c(p_x+ip_y)&-cp_z\\ cp_z&c(p_x-ip_y)&-m_0c^2-E&0\\ c(p_x+ip_y)&-cp_z&0&-m_0c^2-E \end{vmatrix}=(m_0c^2-E)\begin{vmatrix} m_0c^2-E&c(p_x+ip_y)&-cp_z\\ c(p_x-ip_y)&-m_0c^2-E&0\\ -cp_z&0&-m_0c^2-E \end{vmatrix}+\;}
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle +cp_z\begin{vmatrix} 0&cp_z&c(p_x-ip_y)\\ m_0c^2-E&c(p_x+ip_y)&-cp_z\\ -cp_z&0&-m_0c^2-E \end{vmatrix}-c(p_x+ip_y)\begin{vmatrix} 0&cp_z&c(p_x-ip_y)\\ m_0c^2-E&c(p_x+ip_y)&-cp_z\\ c(p_x-ip_y)&-m_0c^2-E&0 \end{vmatrix}=}

$=(m_{0}c^{2}-E)(-cp_{z}){\begin{vmatrix}c(p_{x}-ip_{y})&-m_{0}c^{2}-E\\-cp_{z}&0\end{vmatrix}}-(m_{0}c^{2}-E)(m_{0}c^{2}+E){\begin{vmatrix}m_{0}c^{2}-E&c(p_{x}+ip_{y})\\c(p_{x}-ip_{y})&-m_{0}c^{2}-E\end{vmatrix}}+$

$-cp_{z}(m_{0}c^{2}-E){\begin{vmatrix}cp_{z}&c(p_{x}-ip_{y})\\0&-m_{0}c^{2}-E\end{vmatrix}}-c^{2}p_{z}^{2}{\begin{vmatrix}cp_{z}&c(p_{x}-ip_{y})\\c(p_{x}+ip_{y})&-cp_{z}\end{vmatrix}}+\;$
$+(cp_{x}+ip_{y})(m_{0}c^{2}-E){\begin{vmatrix}cp_{z}&c(p_{x}-ip_{y})\\-m_{0}c^{2}-E&0\end{vmatrix}}-c^{2}(p_{x}+ip_{y})(p_{x}-ip_{y}){\begin{vmatrix}cp_{z}&c(p_{x}-ip_{y})\\c(p_{x}+ip_{y})&-cp_{z}\end{vmatrix}}=\;$
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle =(m_0c^2-E)(m_0c^2+E)c^2p^2_z-(m_0^2c^4-E^2)(-(m_0^2c^4-E^2)-c^2(p_x^2+p_y^2))+cp_z(m_0c^2-E)cp_z(m_0c^2+E)+\;}
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle -c^2p_z^2(-c^2p_z^2-c^2(p_x^2+p_y^2))+c(p_x+ip_y)(m_0c^2-E)c(p_x-ip_y)(m_0c^2+E)-c^2(p_x^2+p_y^2)(-c^2p_z^2-c^2(p_x^2+p_y^2))=\;}
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle =(m_0^2c^4-E^2)c^2p_z^2+m_0^4c^8+E^4-2m_0^2c^4E^2+(m_0c^2c^4-E^2)c^2(p_x^2+p_y^2)+c^2p_z^2(m_0^2c^4-E^2)+c^4p_z^4+\;}
$+c^{4}p_{z}^{2}(p_{x}^{2}+p_{y}^{2})+c^{2}(p_{x}^{2}+p_{y}^{2})(m_{0}^{2}c^{4}-E^{2})+c^{4}p_{z}^{2}(p_{x}^{2}+p_{y}^{2})+c^{4}(p_{x}^{2}+p_{y}^{2})^{2}=(E^{2}-m_{0}^{2}c^{4})^{2}+\;$
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle +2c^2(m_0^2c^4-E^2)(p_x^2+p_y^2+p_z^2)+c^4p_z^4+2c^4p^2_z(p_x^2+p_y^2)+c^4(p_x^2+p_y^2)^2=(E^2-m_0^2c^4)^2+\;}
$+2(m_{0}^{2}c^{4}-E^{2})c^{2}(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2})+c^{4}(p_{x}^{2}+p_{y}^{2})^{2}+2c^{4}p_{z}^{2}(p_{x}^{2}+p_{y}^{2})+c^{4}p_{z}^{4}=(E^{2}-m_{0}^{2}c^{4}-c^{2}(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}))^{2}=\;$
$=(E^{2}-m_{0}^{2}c^{4}-p^{2}c^{2})^{2}$

Z zerowania się wyznacznika otrzymujemy zależność energii elektronu w zależności od jego wartości pędu i jego masy spoczynkowej:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle E^2-m_0^2c^4-p^2c^2=0\Rightarrow E^2=p^2c^2+m_0^2c^4}

(28.142)

Co daje nam z (28.142) wyrażenie na całkowitą energię elektronu tejże cząstki, jako wartość własna równania własnego operatora energii elektronu swobodnego (28.138):

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle E=\pm\sqrt{p^2c^2+m_0^2c^4}}

(28.143)

Widzimy z (28.143), że energia całkowita elektronu przyjmuje zarówno energię dodatnie jak i ujemne przy tym samym jego wartości pędu, którego interpretację podamy w następnym rozdziale.

Stany elektronu o ujemnej energii, a istnienie pozytonu

W dyskusji swobodnego elektronu mamy energię dodatnią i energię ujemną według (28.143). Jeśli każdy stan według szczególnej teorii względności można przedstawić:

$E=mc^{2}\;$

Co by odpowiadało ujemnej masie dla ujemnych energii. Różnica energii pomiędzy dwoma stanami jest:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/”:): {\displaystyle \Delta E=2m_ec^2=1.02MeV\;}

W mechanice kwantowej są możliwe przeskoki energetyczne, ze stanu o energii ujemnej do dodatniej i odwrotnie. Oczywiste przejście od energii ujemnej do dadatniej jest możliwe poprzez dostarczenie pewnej energii. Przeskok elektronu pomiędzy stanami o tych energiach może odbywać się zgodnie z zakazem Pauliego. W powyższej interpretacji jest to po prostu, gdy mamy stan zerowy, co odpowiada powstawaniu pary elektron-pozyton.