Mechanika kwantowa/Wnioski wynikające z mechaniki kwantowej Diraca

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Mechanika kwantowa
Mechanika kwantowa
Wnioski wynikające z mechaniki kwantowej Diraca

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Uogólnienie klasycznego Hamiltonianu o moment magnetyczny elektronu (q=e)[edytuj]

Ukrytą zaletą równań Diraca jest to, że zawiera w sobie informacje o spinie elektronu. Jeśli taki elektron umieścimy w polu magnetycznym, to ono uzyska dodatkową energię , którą wyrazimy za pomocą momentu magnetycznego znajdujący się w polu magnetycznym o pewnym natężeniu.

Przenosimy wyraz związany z energią potencjalną cząstki, czyli na lewą stronie równania (26.3) z prawej jego strony, a następnie podzielmy obustronnie przez c, też obustronnie podnosimy do kwadratu, wszystkie te operację przedstawiamy je jako:

(27.1)

Następnie korzystamy, że operatory współrzędnych operatora , czyli i operatora , które za sobą antykomutują, zatem na podstawie równości (26.20) tożsamość (27.1) można przestawić przez:

(27.2)

Pierwszy wyraz występujący po prawej stronie wzoru (27.2) możemy rozpisać jako iloczyn dwóch takich samych operatorów i wymnożyć je względem siebie. W tym rozpisaniu tego iloczynu występują wyrazy mieszane i niemieszane, przy czym pierwszy wyraz niemieszany zapisujemy zapisujemy według (26.60), a wyraz mieszany jest jako (26.61).

Na podstawie (26.28), (26.29) i (26.30), także na podstawie obliczeń pomocniczych (26.60) (wyrazy niemieszane) i (26.61) (wyrazy mieszane) równanie (27.2) przyjmuje kształt:

(27.3)

Powracając do naszego równania (27.3), to wydzielmy z Hamiltonianu energię spoczynkową cząstki ze spinem, natomiast nasz hamiltonian jest równy sumie energii spoczynkowej cząstki i relatywistycznego operatora energii kinetycznej cząstki, zapisujemy ten hamiltonian wedle schematu:

(27.4)

A więc równość (27.3) na podstawie tożsamości operatorowej (27.4), w której hamiltonian Diraca jest zapisany jako suma hamiltonianu energii mechanicznej i operatora energii spoczynkowej naszego badanego ciała, piszemy:

(27.5)

Wykonujemy działania związane z podnoszeniem do drugiej potęgi po lewej stronie w równości (27.5), tak jak się wykonuje podnoszenie do kwadratu operatorów, ale w tym przypadku należy zastosować wzór skróconego mnożenia znanego z gimnazjum:



(27.6)

W obliczeniach (27.6) możemy znaleźć taki wyraz, który znajduje się w nawiasie i jego pierwszy składnik przepisujemy i jednocześnie uproszczamy go:

(27.7)

Niech energia spoczynkowa jest o wiele większa od energii kinetycznej cząstki napisanej jako , wiedząc, że jest operatorem całkowitej energii mechanicznej cząstki, zatem rozważmy przypadek, gdy zachodzi:

(27.8)

A zatem pierwszy wyraz w nawiasie w (27.6) należy powinąć przy zachodzącym przybliżeniu (27.8), dostajemy:

(27.9)

Następnie dzielimy obie strony (27.9) przez podwojoną masę spoczynkową cząstki , wtedy hamiltonian cząstki można zapisać w przybliżeniu, gdy jego energia kinetyczna cząstki jest o wiele mniejsza niż energia spoczynkowa cząstki:

(27.10)

Widzimy, że hamiltonian nierelatywistyczny cząstki w stosunku do (6.41) posiada dodatkowy człon związany, że elektron posiada spin, a zatem ma pewien moment magnetyczny, czyli posiada dodatkową energię, która występuje zawsze, gdy cząstka znajduje się w polu magnetycznym o natężeniu pola magnetycznego . Moment magnetyczny związany ze spinem cząstki według wzoru na operator energii całkowitej cząstki (27.10) przedstawia się:

(27.11)

Minus we wzorze (27.11) jest związany z ujemnym ładunkiem elektronu ładunku elementarnego "e". a dla współrzędnych zetowej moment magnetyczny cząstki przedstawiamy w sposób ogólny wedle schematu (27.11) w postaci:

(27.12)

Prawo zachowania momentu pędu, a spin elektronu w teorii Diraca, w zerowym polu elektrycznym i magnetycznym[edytuj]

Rozważmy Hamiltonian Diraca (26.81) swobodnego elektronu, tzn. gdy ta cząstka znajduje się w zerowym polu elektrycznym i magnetycznym, ten operator energii całkowitej cząstki możemy zapisać:

(27.13)

Jeśli jest zachowana jakaś współrzędna momentu pędu, stąd wynika, że ta współrzędna powinna komutować z hamiltonianem (27.13). Rozważmy komutator momentu pędu orbitalnego z hamiltonianem , wiedząc że współrzędna operatora pędu komutuje z operatorem , zatem dowolna współrzędna operatora momentu pędu komutuje z operatorem :

(27.14)

Policzmy następnie komutator współrzędnej momentu pędu z dowolną współrzędna pędu, który to jest potrzebne do dokończenia obliczeń w zapiskach (27.14):


(27.15)

Komutator współrzędnej itowej momentu pędu i Hamiltonianu Diraca na podstawie obliczeń (27.14) i obliczeń pomocniczych (27.15) przedstawia się:

(27.16)

Powyższy komutator udowadnia, że moment pędu nie jest zachowany. Tak się to dzieje, że nie jest zachowana ta wielkość, ponieważ nie uwzględniono spinu elektronu. Sprawdźmy własności komutacyjne operatora z hamiltonianem Diraca i obliczymy czemu jest on równy.

(27.17)

Przeprowadźmy czemu jest równy komutator znajdujący się w (27.17) w pierwszym jego składniku:



(27.18)

Wyznaczmy drugi komutator występujący jako drugi składnik w (27.17), korzystając przy tym z antykomutatora (26.20), który jest zdefiniowany na operatorach i , tutaj rozwiniemy operator według schematu (26.31):

(27.19)

Komutacja operatora zdefiniowaną według (26.31) z operatorem hamiltonianu Diraca (27.13), dla której ten nasz komutator na podstawie obliczeń pomocniczych (27.18) i (27.19) przedstawiamy wedle:

(27.20)

Policzmy następny komutator, którego pierwszym elementem jest współrzędna operatora momentu pędu plus wyrażenie równe współrzędnej operatora wraz z czynnikiem, który jest połówką stałej kreślonej Plancka, zatem:

(27.21)

A więc moment pędu elektronu możemy zdefiniować tak jak poniżej, to on komutuje z operatorem całkowitej energii cząstki według Diraca (27.13), zatem całkowity operator momentu pędu jest zdefiniowany wedle:

(27.22)

Na podstawie obliczeń wedle (27.22) spin elektronu przedstawiamy:

(27.23)

Operator momentu magnetycznego spinu elektronu na podstawie wzoru (27.11) (definicji momentu magnetycznego elektronu związanego z jego spinem) i (27.23) (definicja spinu) przedstawia się w zależności od spinu elektronu wedle:

(27.24)

Z powyższych rozważań wynika, że równania Diraca zawierają również spin elektronu.

Atom wodoru według teorii Diraca[edytuj]

Rozważmy atom wodoru według teorii Diraca, w tym celu przyjmijmy potencjał wektorowy magnetyczny za równy zero a skalarny potencjał elekryczny w polu jądra atomowego wodoru jest zdefiniowany:

(27.25)

Wówczas operator Diraca (26.81) zapisujemy przy zerowym wektorowym potencjale magnetycznym i przy skalarnym potencjale elektryczny (27.25) w polu jądra atomowego, który wystepuje w równaniu własnym wspomnianego operatora energii całkowitej elektronu, wiedząc jednocześnie że ładunek elekronu jest ujemny, a jego wartość bezwzględna jest równa "e", wtedy jego równanie własne jest:

(27.26)

Doprowadźmy nasze równanie tak by był opisywane we współrzędnych sferycznych, w prowadzając najpierw nowe operatory, za pomocą których opiszemy nasz Hamiltonian Diraca, których definicje są:

(27.27)
(27.28)
(27.29)

Zauważmy, że operator zależy tylko od współrzędnych kątowych, bo operator zależy od współrzędnych kątowych na podstawie współrzędnych operatorów momentów pędu wyrażonych według wzorów (6.45), (6.46) i (6.47) wyrażonych we współrzędnych kulistych kątowych.

Operator zależy od współrzędnych radialnych. A równanie na od wektora jednostkowego, który jest wyznaczone według dwóch współrzędnych kątowych.

Podajmy kilka własności naszych nowych operatorów, po pierwsze można sprawdzić, że są to operatory hermitowskie, najpierw wykażmy to dla (27.27) :

(27.30)

A następnie sprawdźmy, czy operator (27.28) jest operatorem hermitowskim, ten dowód jest trochę trudny i nie jest wcale oczywisty, że ten operator jest w ogóle hermitowski:



(27.31)

W końcu operator (27.29) też udowodnimy w sposób bardzo łatwy, że jest operatorem hermitowskim:

(27.32)

Wykażmy, ile jest równy kwadrat operatora (27.29), udowodniamy to korzystając z antykomutacji operatorów (26.19) dla różnych współrzędnych tegoż omawianego operatora:

(27.33)

Następnie wyznaczmy antykomutator operatorów i , wyznaczymy, że jest on równy zero, czyli te operatory antykomutują ze sobą. Udowodnimy to na podstawie antykomutacji operatorów i wedle wzoru (26.20):

(27.34)

Udowodnijmy wyrażenie poniżej skonstrułowanych przy pomocy operatorów (27.27)(), (27.28)() i (27.29)(), którego wyrażenie mamy udowodnić w postaci lematu dla:

(27.35)

A zatem do dzieła udowodnijmy wyrażenie (27.35) korzystając przy tym z tożsamości (26.31) (wzór na współrzędne operatora ), a także z własności (26.19), który jest antykomutatorem zbudowanym na współrzędnych operatora :












(27.36)

Co kończy dowód wyrażenia (27.35).

Równanie Diraca (27.26) na podstawie (27.35) przyjmuje zatem postać poniżej. Widzimy, że to równanie zależy od operatorów, tzn.: od (27.27), (27.28) oraz (27.29). Oczywiste jest, że to równanie Diraca jest równaniem niezależnym od czasu i jest równaniem własnym operatora energii:

(27.37)

Sprawdźmy czy wszystkie operatory występujące w równaniu własnym operatora energii (27.37) komutują ze sobą, zatem sprawdźmy cztery poniższe komutacje:

1° Sprawdżmy, czy komutator komutuje z :


(27.38)

2° Sprawdźmy, czy komutuje z :

















(27.39)

3° Sprawdźmy, czy komutator komutuje z , zatem:

(27.40)

Komutator (27.40) jest równy zero na podstawie, że operator , zależy od współrzędnych radialnych, a od współrzędnych kątowych.

4° Sprawdźmy czy operator komutuje z :

(27.41)

Zdefiniujmy operatory i jako zwykłe macierze wedle sposobu:

(27.42)
(27.43)

Sprawdźmy, czy zachodzi (26.10) na operatorze , czyli czy kwadrat tego operatora jest macierzą jednostkową, którego operator zdefiniowany jest wedle (27.42), a dowód tej własności przebiega:

(27.44)

a także zachodzi (27.33) na operatorze , czyli czy kwadrat tegoż operatora jest macierzą jednostkową dla operatora zdefiniowanej wedle (27.43), zatem udowodnijmy tą własność:

(27.45)

Sprawdźmy, czy na operatorach (27.42) () i (27.43) () zachodzi antykomutacja (27.34), stąd:

(27.46)

Na podstawie (27.46) oraz (27.44) i (27.45) udowodniliśmy, że operatory i mają postać (27.42) i (27.43).

Udowodniliśmy, że operator komutuje z (27.40), a następnie z operatorem (27.39), dalej z (27.41), na tej podstawie dochodzimy do wniosku, że równanie własne operatora hamiltonianu w (27.37), w którym występuje hamiltonian komutatujący z operatorem (27.27):

(27.47)

Pozwala to rozwiązywać równanie w bazie jednoczesnych funkcji własnych i . Równanie własne operatora jest w postaci (27.27):

(27.48)
  • gdzie jest wartościa własną operatora .

Teraz zajmijmy się operatorem podstawiając za , który można wyliczyć z (27.22) wyrażenie na w zależności od operatora spinu cząstki kwantowej:

(27.49)

Iloczyn operatora i operatora momentu pędu na podstawie wzoru (27.49) można podstawić do poniższego wyrażenia otrzymując wyrażenie proporcjonalne do iloczynu operatora momentu pędu spinowego przez orbitalny:

(27.50)

Wiemy, że operator całkowitego momentu pędu jest sumą operatora momentu pędu orbitalnego i spinowego momentu pędu badanej cząstki:

(27.51)

Można podnieść do kwadratu wyrażenie operatorowe (27.51), to otrzymujemy inny wzór wynikowy, w którym występują kwadraty różnych operatorów momentu pęd oraz wyraz mieszany będącej iloczynem momentu pędu orbitalnego i spinowego elektronu:

(27.52)

Z (27.52) wyznaczamy wyrażenie , w tym celu przenieśmy wyraz mieszany na lewą stronę równania (27.52) z jego prawej strony, a pozostałe wyraży występujące po lewej stronie ostatniego wyrażenia na jego prawo stronę, dostajemy:

(27.53)

Podstawiamy za wyrażenie (27.53) do wzoru operatorowego (27.50), wtedy dostajemy równoważne równanie do tego ostatniego równanie:

(27.54)

Operator (27.27) na podstawie własności operatorowej (27.54) możemy przestawić podstawiając do niego wyrażenie na wedle wzoru tego ostatniego, to dostaniemy inny równoważny wzór na operator w stosunku do pierwotnej definicji (27.27):

(27.55)

Mając wartości własne kwadratu operatora całkowitego momentu pędu kwadratu operatora orbitalnego momentu pędu i ostatecznie kwadratu operatora spinowego i ze względu na elementy operatora , które mają wartość 1 lub -1 na podstawie wyrażenia (26.21), mamy:

(27.56)
  • gdzie:.

Mając liczbę kwantową całkowitego momentu pędu "j" dla cząstki o spinie równą połowie jedynki, to wyznaczymy z niego wzór na liczbę kwantową orbitalnego momentu pędu w zależności od liczby kwantowej całkowitego momentu pędu:

(27.57)

A więc dla według (27.57) wartość własna równania własnego (27.48), na podstawie (27.56), przestawiamy:

(27.58)

oraz dla według (27.57), wtedy wartość własna równania własnego (27.48), na podstawie (27.56), przestawiamy:

(27.59)

Ponieważ wartości własne całkowitego momentu pędu mają wartości ułamkowe połówkowe, zatem na podstawie (27.58) (dla (27.57) z minusem) i (27.59) (dla (27.57) z plusem) dochodzimy więc do wniosku, że wartościami własnymi operatora (27.27) są liczby całkowite bez zera:

(27.60)

Mając na uwadze powyższe rozważania przedstawmy funkcję jako wektor funkcji, jako dwuskładnikowsy wektor kolumnowy, czyli spinor:

(27.61)

Biorąc spinor (27.61) jako wektor własny, a także definicję macierzy (27.42) i (27.43), to równanie Diraca (27.37) przyjmuje kształt:

(27.62)

Po dalszych przekształceniach powyższego równania (27.62) dotyczące przemnożenia pewnych macierzy, otrzymujemy inne równoważne do poprzedniego macierzowe równanie Diraca dla elektronu:

(27.63)

Z równania macierzowego (27.63) stanowiących jakoby układ dwóch równań, otrzymujemy dwa równania zależne od siebie:

(27.64)

Następnym naszym krokiem jest podstawienie za operator (27.28) jego definicji w układzie równań (27.64):

(27.65)

Ponieważ operator zależy od współrzędnych kątowych, a nie radialnym, stąd wynika, że funkcje i mają jednakową funkcję kątową, co wynika, że dla obu równań (27.65) wartość własna operatora powinna być taka sama, z definiujmy w takim wypadku te opisywane funkcje:

(27.66)
(27.67)

Zajmijmy się teraz pierwszym równaniem układu równań (27.65), do niego możemy wstawić funkcje, tzn.: (27.66) i (27.67) oraz za należy wstawić wartość własną tego operatora, co wynika z definicji jego wartości własnej:

(27.68)

Pomnóżmy teraz lewostronnie (27.68) przez odległość radialną r:

(27.69)

Rozpiszmy tożsamość poniżej korzystając z twierdzenia o pochodnej ilorazu:

(27.70)

A zatem nasze pierwsze równanie uzyskujemy z (27.69), po dokonaniu w nim obliczeń pomocniczych wedle schematu (27.70), przyjmuje ona wtedy postać:

(27.71)

W tej chwili zajmować się będziemy drugim równaniem (27.65) podstawiając do niego za (27.66) i za (27.67):

(27.72)

Przekształćmy nasze aktualne równanie:

(27.73)

Pomnóżmy lewostronnie równanie (27.73) przez odległość radialną r, wtedy otrzymujemy równość napisaną w zależności od funkcji i :

(27.74)

Zatem ostatecznie drugie równanie wynikającego z (27.74) i po dokonaniu w nim obliczeń pomocniczych, wykorzystując tożsamość (27.70), przyjmuje postać:

(27.75)

Dokonajmy podstawień do równań (27.71) (pierwsze równanie) i (27.75) (drugie równanie) w postaci:

(27.76)
(27.77)
(27.78)

Zatem równanie (27.71) i (27.75) na podstawie podstawień (27.76)(), (27.77)() i (27.78)() przyjmują postacie zapisaną w układzie równań:

(27.79)

Nastepnie wyodrębnijmy ten sam czynnik wykładniczy z funkcji i , tzn.:

(27.80)
(27.81)

W (27.80) i (27.81) stała "a" jest zależna od energii całkowitej elektronu i od jego masy spoczynkowej, jest zdefiniowane jako stała:

(27.82)

Podstawiając te funkcje (27.80) i (27.81) do dwóch rozważanych równań (27.79), mamy:

(27.83)

Dokonajmy podstawień za funkcje i pewnymi nieskończonymi szeregami potęgowymi zapisane jako kombinacja liniowa z pewnymi współczynnikami względem poszczególnych potęg odległości radialnych:

(27.84)
(27.85)
  • gdzie , co gwarantuje rozpoczęcia w szeregu potęgowym opisanym powyżej, których wykładnik potęgi jest większy niż "m" w szeregach powyżej zdefiniowanych.

Dokonajmy podstawień szeregów (27.84) i (27.85), do pierwszego równania (27.83).

(27.86)

Dokonajmy podstawień wedle schematu m'=m+1 dla pierwszego i czwartego wyrazu równania (27.86) w ten sposób, by w tym równaniu mieć te same potęgi, by później współczynnik stojący przy tej potędze przyrównać do zera, jeśli wszystkie wyrazy występując po przegrupowaniu występują w czynniku przy tym obiekcie, a zatem dochodzimy do wniosku po odpowiedniej zamianie parametrów m:

(27.87)

Grupując względem tych samych potęg w (27.87), zależność na współczynnikach (pierwsze równanie poniżej) i warunek brzegowy (drugie równanie) przedstawia się:

Równanie iteracyjne pierwsze
(27.88)
Równanie brzegowe pierwsze
(27.89)

Dokonajmy teraz podstawień do drugiego równania (27.83) w szeregach potęgowych (27.84) i (27.85):

(27.90)

Podstawmy do drugiego i trzeciego wyrazu przy pomocy schematu m=m'-1 do powyższego równania, by w tym równaniu mieć te same potęgi "r", by później współczynniki stojący przy tej potędze przyrównać do zera:

(27.91)

Grupując względem tych samych potęg w (27.91), zatem równanie iteracyjne między współczynnikami (pierwsze równanie poniżej) i warunek brzegowy (drugie równanie) przedstawia się:

Równanie iteracyjne drugie
(27.92)
Równanie brzegowe drugie
(27.93)

Następnie możemy wyregułować wyrazy z m-1, jeśli (27.88) pomnożymy przez "a" a (27.92) przez , pamiętając jednak, że zachodzi tożsamość: , mamy:

(27.94)

Co kończy dowód powyższego lematu.

Po tych operacjach odejmujemy obustronnie tak otrzymane oba te równania, możemy napisać, że:

(27.95)

Grupujemy wyrazy względem i w (27.95), mamy: