Mechanika kwantowa/Wnioski wynikające z mechaniki kwantowej Diraca

Wnioski wynikające z mechaniki kwantowej Diraca

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

BoksySpis treści

Prawa autorskie • Informacje prawne • Tworzenie podręczników • Tworzenie podręcznika • Edycja kodu

Uogólnienie klasycznego Hamiltonianu o moment magnetyczny elektronu (q=e)

Ukrytą zaletą równań Diraca jest to, że zawiera w sobie informacje o spinie elektronu. Jeśli taki elektron umieścimy w polu magnetycznym, to ono uzyska dodatkową energię $\Delta E=-{\vec {\mu }}{\vec {B}}$, którą wyrazimy za pomocą momentu magnetycznego znajdujący się w polu magnetycznym o pewnym natężeniu.

Przenosimy wyraz związany z energią potencjalną cząstki, czyli $q\varphi$ na lewą stronie równania (26.3) z prawej jego strony, a następnie podzielmy obustronnie przez c, też obustronnie podnosimy do kwadratu, wszystkie te operację przedstawiamy je jako:

${{{\hat {H}}-q\varphi } \over {c}}={\hat {\alpha }}({\hat {p}}-q{\vec {A}})+m_{0}c{\hat {\beta }}\Rightarrow \left({{{\hat {H}}-q\varphi } \over {c}}\right)^{2}=[{\hat {\alpha }}({\hat {p}}-q{\vec {A}})+m_{0}c{\hat {\beta }}]^{2}$

(27.1)

Następnie korzystamy, że operatory współrzędnych operatora ${\hat {\alpha }}\;$, czyli ${\hat {\alpha }}_{i}\;$ i operatora ${\hat {\beta }}\;$, które za sobą antykomutują, zatem na podstawie równości (26.20) tożsamość (27.1) można przestawić przez:

$\left({{{\hat {H}}-q\varphi } \over {c}}\right)^{2}=[\alpha ({\hat {p}}-q{\hat {A}})]^{2}+m_{0}^{2}c^{2}$

(27.2)

Pierwszy wyraz występujący po prawej stronie wzoru (27.2) możemy rozpisać jako iloczyn dwóch takich samych operatorów i wymnożyć je względem siebie. W tym rozpisaniu tego iloczynu występują wyrazy mieszane i niemieszane, przy czym pierwszy wyraz niemieszany zapisujemy zapisujemy według (26.60), a wyraz mieszany jest jako (26.61).

Na podstawie (26.28), (26.29) i (26.30), także na podstawie obliczeń pomocniczych (26.60) (wyrazy niemieszane) i (26.61) (wyrazy mieszane) równanie (27.2) przyjmuje kształt:

$\left({{{\hat {H}}-q\varphi } \over {c}}\right)^{2}=\left({\hat {p}}-q{\vec {A}}\right)^{2}+m_{0}^{2}c^{2}-q\hbar \sigma {\vec {B}}$

(27.3)

Powracając do naszego równania (27.3), to wydzielmy z Hamiltonianu energię spoczynkową cząstki ze spinem, natomiast nasz hamiltonian jest równy sumie energii spoczynkowej cząstki i relatywistycznego operatora energii kinetycznej cząstki, zapisujemy ten hamiltonian wedle schematu:

${\hat {H}}={\hat {H}}_{1}+m_{0}c^{2}\;$

(27.4)

A więc równość (27.3) na podstawie tożsamości operatorowej (27.4), w której hamiltonian Diraca jest zapisany jako suma hamiltonianu energii mechanicznej i operatora energii spoczynkowej naszego badanego ciała, piszemy:

$\left({{{\hat {H}}_{1}-q\varphi } \over {c}}+m_{0}c\right)^{2}=\left({\hat {p}}-q{\vec {A}}\right)^{2}-q\hbar {\vec {\sigma }}{\vec {B}}+m_{0}^{2}c^{2}$

(27.5)

Wykonujemy działania związane z podnoszeniem do drugiej potęgi po lewej stronie w równości (27.5), tak jak się wykonuje podnoszenie do kwadratu operatorów, ale w tym przypadku należy zastosować wzór skróconego mnożenia znanego z gimnazjum:

$\left({{{\hat {H}}_{1}-q\varphi } \over {c}}\right)^{2}+2m_{0}\left\{{\hat {H}}_{1}-q\varphi \right\}+m_{0}^{2}c^{2}=\left({\hat {p}}-q{\vec {A}}\right)^{2}-q\hbar {\vec {\sigma }}{\vec {B}}+m_{0}^{2}c^{2}\Rightarrow$
$\Rightarrow \left({{{\hat {H}}_{1}-q\varphi } \over {c}}\right)^{2}+2m_{0}\left\{{\hat {H}}_{1}-q\varphi \right\}=({\hat {p}}-e{\vec {A}})^{2}-q\hbar {\vec {\sigma }}{\vec {B}}\Rightarrow 2m_{0}\left\{{\hat {H}}_{1}-q\varphi \right\}\left({{\left({\hat {H}}_{1}-q\varphi \right)^{2}} \over {2m_{0}c^{2}\left\{{\hat {H}}_{1}-q\varphi \right\}}}+1\right)=\;$
$=({\hat {p}}-e{\vec {A}})^{2}-q\hbar {\vec {\sigma }}{\vec {B}}\;$

(27.6)

W obliczeniach (27.6) możemy znaleźć taki wyraz, który znajduje się w nawiasie i jego pierwszy składnik przepisujemy i jednocześnie uproszczamy go:

${{\left({\hat {H}}_{1}-q\varphi \right)^{2}} \over {2m_{0}c^{2}\left\{{\hat {H}}_{1}-q\varphi \right\}}}={{(H_{1}-q\varphi )} \over {2c^{2}m_{0}}}$

(27.7)

Niech energia spoczynkowa jest o wiele większa od energii kinetycznej cząstki napisanej jako ${\hat {H}}_{1}-e\varphi$, wiedząc, że ${\hat {H}}_{1}\;$ jest operatorem całkowitej energii mechanicznej cząstki, zatem rozważmy przypadek, gdy zachodzi:

$\left|\left|{{(H_{1}-q\varphi )} \over {2m_{0}c^{2}}}\right|\right|<<1$

(27.8)

A zatem pierwszy wyraz w nawiasie w (27.6) należy powinąć przy zachodzącym przybliżeniu (27.8), dostajemy:

$2m_{0}({{\hat {H}}-q\varphi })=({\hat {p}}-q{\vec {A}})^{2}-q\hbar {\vec {\sigma }}{\vec {B}}$

(27.9)

Następnie dzielimy obie strony (27.9) przez podwojoną masę spoczynkową cząstki $2m_{0}\;$, wtedy hamiltonian cząstki można zapisać w przybliżeniu, gdy jego energia kinetyczna cząstki jest o wiele mniejsza niż energia spoczynkowa cząstki:

${\hat {H}}={{({\hat {p}}-q{\vec {A}})^{2}} \over {2m_{0}}}+\varphi q-{{q\hbar } \over {2m_{0}}}{\vec {\sigma }}{\vec {B}}$

(27.10)

Widzimy, że hamiltonian nierelatywistyczny cząstki w stosunku do (6.41) posiada dodatkowy człon związany, że elektron posiada spin, a zatem ma pewien moment magnetyczny, czyli posiada dodatkową energię, która występuje zawsze, gdy cząstka znajduje się w polu magnetycznym o natężeniu pola magnetycznego ${\hat {H}}\;$. Moment magnetyczny związany ze spinem cząstki według wzoru na operator energii całkowitej cząstki (27.10) przedstawia się:

${\vec {\mu }}={{q\hbar } \over {2m_{0}}}{\vec {\sigma }}$

(27.11)

Minus we wzorze (27.11) jest związany z ujemnym ładunkiem elektronu ładunku elementarnego "e". a dla współrzędnych zetowej moment magnetyczny cząstki przedstawiamy w sposób ogólny wedle schematu (27.11) w postaci:

$\mu _{z}={{q\hbar } \over {2m_{0}}}\sigma _{z}$

(27.12)

Prawo zachowania momentu pędu, a spin elektronu w teorii Diraca, w zerowym polu elektrycznym i magnetycznym

Rozważmy Hamiltonian Diraca (26.81) swobodnego elektronu, tzn. gdy ta cząstka znajduje się w zerowym polu elektrycznym i magnetycznym, ten operator energii całkowitej cząstki możemy zapisać:

${\hat {H}}=c{\hat {\alpha }}{\hat {p}}+m_{0}c^{2}{\hat {\beta }}$

(27.13)

Jeśli jest zachowana jakaś współrzędna momentu pędu, stąd wynika, że ta współrzędna powinna komutować z hamiltonianem (27.13). Rozważmy komutator momentu pędu orbitalnego ${\hat {l}}_{i}$ z hamiltonianem ${\hat {H}}\;$, wiedząc że współrzędna operatora pędu komutuje z operatorem ${\hat {\beta }}\;$, zatem dowolna współrzędna operatora momentu pędu komutuje z operatorem ${\hat {\beta }}\;$:

$[{\hat {l}}_{i},{\hat {H}}]=[{\hat {l}}_{i},c{\hat {\alpha }}{\hat {p}}+m_{0}c^{2}{\hat {\beta }}]=[{\hat {l}}_{i},c{\hat {\alpha }}{\hat {p}}]+[{\hat {l}}_{i},c^{2}{\hat {\beta }}]=[{\hat {l}}_{i},c{\hat {\alpha }}{\hat {p}}]=c{\hat {\alpha }}_{j}[{\hat {l}}_{i},{\hat {p}}_{j}]$

(27.14)

Policzmy następnie komutator współrzędnej momentu pędu z dowolną współrzędna pędu, który to jest potrzebne do dokończenia obliczeń w zapiskach (27.14):

$[{\hat {l}}_{i},{\hat {p}}_{l}]=\left[-i\hbar \epsilon _{ijk}x_{j}{{\partial } \over {\partial x_{k}}},-i\hbar {{\partial } \over {\partial x_{l}}}\right]=-\hbar ^{2}\left(\epsilon _{ijk}x_{j}{{\partial } \over {\partial x_{k}}}{{\partial } \over {\partial x_{l}}}-{{\partial } \over {\partial x_{l}}}\epsilon _{ijk}x_{j}{{\partial } \over {\partial x_{k}}}\right)=-\hbar ^{2}{\Bigg (}\epsilon _{ijk}x_{j}{{\partial ^{2}} \over {\partial x_{k}\partial x_{l}}}-\epsilon _{ijk}x_{j}{{\partial ^{2}} \over {\partial x_{k}\partial x_{l}}}+\;$
$-\epsilon _{ijk}\delta _{jl}{{\partial } \over {\partial x_{k}}}{\Bigg )}=\hbar ^{2}\epsilon _{ilk}{{\partial } \over {\partial x_{k}}}=i\hbar \epsilon _{ilk}(-i\hbar ){{\partial } \over {\partial x_{k}}}=i\hbar \epsilon _{ilk}{\hat {p}}_{k}$

(27.15)

Komutator współrzędnej itowej momentu pędu i Hamiltonianu Diraca na podstawie obliczeń (27.14) i obliczeń pomocniczych (27.15) przedstawia się:

$[{\hat {l}}_{i},{\hat {H}}]=c{\hat {\alpha }}_{j}i\hbar \epsilon _{ijk}{\hat {p}}_{k}$

(27.16)

Powyższy komutator udowadnia, że moment pędu nie jest zachowany. Tak się to dzieje, że nie jest zachowana ta wielkość, ponieważ nie uwzględniono spinu elektronu. Sprawdźmy własności komutacyjne operatora ${\hat {\sigma }}_{i}$ z hamiltonianem Diraca i obliczymy czemu jest on równy.

$[{\hat {\sigma }}_{i},{\hat {H}}]=c[{\hat {\sigma }}_{i},{\hat {\alpha }}{\hat {p}}]+mc^{2}[{\hat {\sigma }}_{i},{\hat {\beta }}]$

(27.17)

Przeprowadźmy czemu jest równy komutator znajdujący się w (27.17) w pierwszym jego składniku:

$[{\hat {\sigma }}_{i},{\hat {\alpha }}_{l}{\hat {p}}_{l}]={\hat {\sigma }}_{i}{\hat {\alpha }}_{l}{\hat {p}}_{l}-{\hat {\alpha }}_{l}{\hat {p}}_{l}{\hat {\sigma }}_{i}=-i\left({{1} \over {2}}\epsilon _{ijk}\alpha _{j}\alpha _{k}{\hat {\alpha }}_{l}{\hat {p}}_{l}-{\hat {\alpha }}_{l}{\hat {p}}_{l}{{1} \over {2}}\epsilon _{ijk}{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k}\right)=-{{i} \over {2}}\epsilon _{ijk}\left({\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k}{\hat {\alpha }}_{l}{\hat {p}}_{l}-{\hat {\alpha }}_{l}{\hat {p}}_{l}{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k}\right)=$
$=-{{i} \over {2}}\epsilon _{ijk}\left({\hat {\alpha }}_{j}(-{\hat {\alpha }}_{l}{\hat {\alpha }}_{k}+2\delta _{lk}){\hat {p}}_{l}-{\hat {\alpha }}_{l}{\hat {p}}_{l}\epsilon _{ijk}{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k}\right)=-{{i} \over {2}}\epsilon _{ijk}\left(-\left\{{\hat {\alpha }}_{j},{\hat {\alpha }}_{l}\right\}{\hat {p}}_{l}\alpha _{k}+2\delta _{lk}{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {p}}_{l}\right)=-{{i} \over {2}}\epsilon _{ijk}\left(-2\delta _{jl}{\hat {p}}_{l}{\hat {\alpha }}_{k}+2\delta _{lk}{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {p}}_{l}\right)=\;$
$=i\epsilon _{ilk}{\hat {p}}_{l}{\hat {\alpha }}_{k}-i\epsilon _{ijl}{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {p}}_{l}=i\epsilon _{ilj}{\hat {p}}_{l}{\hat {\alpha }}_{j}-i\epsilon _{ijl}{\hat {p}}_{l}{\hat {\alpha }}_{j}=-i\epsilon _{ijl}{\hat {p}}_{l}{\hat {\alpha }}_{j}-i\epsilon _{ijl}{\hat {p}}_{l}{\hat {\alpha }}_{j}=-2i\epsilon _{ijl}{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {p}}_{l}$

(27.18)

Wyznaczmy drugi komutator występujący jako drugi składnik w (27.17), korzystając przy tym z antykomutatora (26.20), który jest zdefiniowany na operatorach ${\hat {\alpha }}_{i}\;$ i ${\hat {\beta }}\;$, tutaj rozwiniemy operator ${\hat {\sigma }}_{i}\;$ według schematu (26.31):

$[{\hat {\sigma }}_{i},{\hat {\beta }}]=-{{i} \over {2}}\epsilon _{ijk}[{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k},{\hat {\beta }}]=-{{i} \over {2}}\epsilon _{ijk}\left({\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k}{\hat {\beta }}-{\hat {\beta }}{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k}{\hat {\beta }}\right)=-{{i} \over {2}}\epsilon _{ijk}\left({\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k}{\hat {\beta }}+{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\beta }}{\hat {\alpha }}_{k}\right)=-{{i} \over {2}}\epsilon _{ijk}\left({\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k}{\hat {\beta }}-{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k}{\hat {\beta }}\right)=0\;$

(27.19)

Komutacja operatora ${\hat {\sigma }}_{i}\;$ zdefiniowaną według (26.31) z operatorem hamiltonianu Diraca (27.13), dla której ten nasz komutator na podstawie obliczeń pomocniczych (27.18) i (27.19) przedstawiamy wedle:

$[{\hat {\sigma }}_{i},{\hat {H}}]=-2ic\epsilon _{ijl}{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {p}}_{l}\;$

(27.20)

Policzmy następny komutator, którego pierwszym elementem jest współrzędna operatora momentu pędu plus wyrażenie równe współrzędnej operatora ${\hat {\sigma }}\;$ wraz z czynnikiem, który jest połówką stałej kreślonej Plancka, zatem:

$[{\hat {l}}_{i}+{{\hbar } \over {2}}{\hat {\sigma }}_{i},{\hat {H}}]=[{\hat {l}}_{i},{\hat {H}}]+{{\hbar } \over {2}}[{\hat {\sigma }}_{i},{\hat {H}}]=i\hbar c{\hat {\alpha }}_{j}\epsilon _{ijk}{\hat {p}}_{k}-{{\hbar } \over {2}}2ic\epsilon _{ijk}{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {p}}_{k}=i\hbar c{\hat {\alpha }}_{j}\epsilon _{ijk}{\hat {p}}_{k}-\hbar ci\epsilon _{ijk}{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {p}}_{k}=0$

(27.21)

A więc moment pędu elektronu możemy zdefiniować tak jak poniżej, to on komutuje z operatorem całkowitej energii cząstki według Diraca (27.13), zatem całkowity operator momentu pędu jest zdefiniowany wedle:

${\hat {l}}+{{\hbar } \over {2}}{\hat {\sigma }}\equiv {\hat {j}}$

(27.22)

Na podstawie obliczeń wedle (27.22) spin elektronu przedstawiamy:

${\hat {s}}={{\hbar } \over {2}}{\hat {\sigma }}$

(27.23)

Operator momentu magnetycznego spinu elektronu na podstawie wzoru (27.11) (definicji momentu magnetycznego elektronu związanego z jego spinem) i (27.23) (definicja spinu) przedstawia się w zależności od spinu elektronu wedle:

${\hat {\mu }}={{e\hbar } \over {2m_{0}}}{\hat {\sigma }}={{e} \over {m_{0}}}{{\hbar } \over {2}}{\hat {\sigma }}={{e} \over {m_{0}}}{\hat {s}}$

(27.24)

Z powyższych rozważań wynika, że równania Diraca zawierają również spin elektronu.

Atom wodoru według teorii Diraca

Rozważmy atom wodoru według teorii Diraca, w tym celu przyjmijmy potencjał wektorowy magnetyczny za równy zero a skalarny potencjał elekryczny w polu jądra atomowego wodoru jest zdefiniowany:

$\varphi ={{e} \over {4\pi \epsilon _{0}r}}\;$

(27.25)

Wówczas operator Diraca (26.81) zapisujemy przy zerowym wektorowym potencjale magnetycznym i przy skalarnym potencjale elektryczny (27.25) w polu jądra atomowego, który wystepuje w równaniu własnym wspomnianego operatora energii całkowitej elektronu, wiedząc jednocześnie że ładunek elekronu jest ujemny, a jego wartość bezwzględna jest równa "e", wtedy jego równanie własne jest:

$\left[c({\hat {\alpha }}{\hat {p}})+m_{0}c^{2}\beta -{{e^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}r}}\right]\psi =E\psi \;$

(27.26)

Doprowadźmy nasze równanie tak by był opisywane we współrzędnych sferycznych, w prowadzając najpierw nowe operatory, za pomocą których opiszemy nasz Hamiltonian Diraca, których definicje są:

${\hat {k}}=\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}({\hat {\sigma }}{\hat {l}}+\hbar )\;$

(27.27)

${\hat {p}}_{r}=r^{-1}({\vec {r}}{\hat {p}}-i\hbar )=-i\hbar \left({{\partial } \over {\partial r}}+{{1} \over {r}}\right)\;$

(27.28)

${\hat {\epsilon }}=r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})\;$

(27.29)

Zauważmy, że operator ${\hat {k}}\;$ zależy tylko od współrzędnych kątowych, bo operator ${\hat {l}}\;$ zależy od współrzędnych kątowych na podstawie współrzędnych operatorów momentów pędu wyrażonych według wzorów (6.45), (6.46) i (6.47) wyrażonych we współrzędnych kulistych kątowych.

Operator ${\hat {p}}_{r}\;$ zależy od współrzędnych radialnych. A równanie na ${\hat {\epsilon }}\;$ od wektora jednostkowego, który jest wyznaczone według dwóch współrzędnych kątowych.

Podajmy kilka własności naszych nowych operatorów, po pierwsze można sprawdzić, że są to operatory hermitowskie, najpierw wykażmy to dla (27.27) ${\hat {k}}\;$:

${\hat {k}}^{+}=\left[\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}\left({\hat {\sigma }}{\hat {l}}+\hbar \right)\right]^{+}=\left({\hat {l}}^{+}{\hat {\sigma }}^{+}+\hbar \right)\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}^{+}=\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}\left({\hat {\sigma }}{\hat {l}}+\hbar \right)={\hat {k}}\;$

(27.30)

A następnie sprawdźmy, czy operator (27.28) ${\hat {p}}_{r}\;$ jest operatorem hermitowskim, ten dowód jest trochę trudny i nie jest wcale oczywisty, że ten operator jest w ogóle hermitowski:

${\hat {p}}_{r}^{+}=\left[r^{-1}\left({\vec {r}}{\hat {p}}-i\hbar \right)\right]^{+}=({\hat {p}}{\vec {r}}+i\hbar )r^{-1}=({\hat {p}}_{m}x_{m}+i\hbar )r^{-1}=(x_{m}{\hat {p}}_{m}-i\hbar \delta _{mm}+i\hbar )r^{-1}=(x_{m}{\hat {p}}_{m}-2i\hbar )r^{-1}=\;$
$=(x_{m}{\hat {p}}_{m}r^{-1}-2i\hbar r^{-1})=x_{m}r^{-1}{\hat {p}}_{m}+i\hbar x_{m}{{x_{m}} \over {r^{3}}}-2i\hbar r^{-1}=r^{-1}{\vec {r}}{\hat {p}}+i\hbar r^{-1}-2i\hbar r^{-1}=r^{-1}{\vec {r}}{\hat {p}}-i\hbar r^{-1}=\;$
$=r^{-1}\left({\vec {r}}{\hat {p}}-i\hbar \right)={\hat {p}}_{r}\;$

(27.31)

W końcu operator ${\hat {\epsilon }}\;$ (27.29) też udowodnimy w sposób bardzo łatwy, że jest operatorem hermitowskim:

$\epsilon ^{+}=\left[r^{-1}\left({\hat {\alpha }}{\vec {r}}\right)\right]^{+}=\left({\vec {r}}^{+}{\hat {\alpha }}^{+}\right)r^{-1}=r^{-1}\left({\hat {\alpha }}{\vec {r}}\right)={\hat {\epsilon }}\;$

(27.32)

Wykażmy, ile jest równy kwadrat operatora ${\hat {\epsilon }}\;$ (27.29), udowodniamy to korzystając z antykomutacji operatorów (26.19) dla różnych współrzędnych tegoż omawianego operatora:

${\hat {\epsilon }}^{2}=\left(r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})\right)^{2}=({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})^{2}=({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})=\sum _{ij}{\hat {\alpha }}_{i}{\hat {\alpha }}_{j}e_{ri}e_{rj}={{1} \over {2}}\sum _{ij}\left({\hat {\alpha }}_{i}{\hat {\alpha }}_{j}+{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{i}\right)e_{ri}e_{rj}={{1} \over {2}}\sum _{ij}2\delta _{ij}e_{ri}e_{rj}=\sum _{i}e_{ri}^{2}=1\;$

(27.33)

Następnie wyznaczmy antykomutator operatorów ${\hat {\epsilon }}\;$ i ${\hat {\beta }}\;$, wyznaczymy, że jest on równy zero, czyli te operatory antykomutują ze sobą. Udowodnimy to na podstawie antykomutacji operatorów ${\hat {\alpha }}_{i}\;$ i ${\hat {\beta }}\;$ wedle wzoru (26.20):

$\left\{{\hat {\epsilon }},{\hat {\beta }}\right\}={\hat {\epsilon }}{\hat {\beta }}+{\hat {\beta }}{\hat {\epsilon }}=({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}+{\hat {\beta }}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})=-{\hat {\beta }}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})+{\hat {\beta }}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})=0\;$

(27.34)

Udowodnijmy wyrażenie poniżej skonstrułowanych przy pomocy operatorów (27.27)(${\hat {k}}\;$), (27.28)(${\hat {p}}_{r}\;$) i (27.29)(${\hat {\epsilon }}\;$), którego wyrażenie mamy udowodnić w postaci lematu dla:

${\hat {\alpha }}{\hat {p}}={\hat {p}}_{r}{\hat {\epsilon }}+i\hbar r^{-1}{\hat {k}}{\hat {\epsilon }}{\hat {\beta }}\;$

(27.35)

A zatem do dzieła udowodnijmy wyrażenie (27.35) korzystając przy tym z tożsamości (26.31) (wzór na współrzędne operatora ${\hat {\sigma }}\;$), a także z własności (26.19), który jest antykomutatorem zbudowanym na współrzędnych operatora ${\hat {\alpha }}\;$:

${\hat {p}}_{r}{\hat {\epsilon }}+i\hbar r^{-1}{\hat {k}}{\hat {\epsilon }}{\hat {\beta }}=-i\hbar \left({{\partial } \over {\partial r}}+{{1} \over {r}}\right)r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})+i\hbar r^{-1}\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}({\hat {\sigma }}{\hat {l}}+\hbar )r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {r}}){\hat {\beta }}=-i\hbar {{\partial } \over {\partial r}}{{1} \over {r}}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})-i\hbar r^{-2}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})+\;$
$+ir^{-1}{\hat {\beta }}({\hat {\sigma }}{\hat {l}}+\hbar )r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {r}}){\hat {\beta }}=({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})-i\hbar r^{-2}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})+ir^{-1}{\hat {\beta }}({\hat {\sigma }}{\hat {l}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}+i\hbar r^{-1}{\hat {\beta }}r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {r}}){\hat {\beta }}=({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})+\;$
$-i\hbar r^{-2}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})+ir^{-2}{\hat {\beta }}({\hat {\sigma }}{\hat {l}})({\hat {\alpha }}{\vec {r}}){\hat {\beta }}-i\hbar r^{-2}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})=({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})-2i\hbar r^{-2}({\hat {\alpha }}r)-ir^{-2}({\hat {\sigma }}{\hat {l}})({\hat {\alpha }}{\vec {r}})=({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})-2i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})+\;$
$-{{1} \over {2}}r^{-1}{\hat {\alpha }}\times {\hat {\alpha }}r({\vec {e}}_{r}\times {\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})=({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})-2i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})-{{1} \over {2}}\epsilon _{ijk}{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k}\epsilon _{ilm}e_{rl}{\hat {p}}_{m}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})=({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})-2i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})+\;$
$+{{1} \over {2}}\epsilon _{kji}\epsilon _{ilm}{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k}e_{rl}{\hat {p}}_{m}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})=({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})-2i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})+{{1} \over {2}}\left(\delta _{kl}\delta _{jm}-\delta _{km}\delta _{jl}\right){\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k}e_{rl}{\hat {p}}_{m}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})=({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})+\;$
$-2i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})+{{1} \over {2}}\left({\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}-{\hat {\alpha }}_{l}{\hat {\alpha }}_{m}\right)e_{rl}{\hat {p}}_{m}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})=({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})-2i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})+{{1} \over {2}}\left(2{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}-2\delta _{lm}\right)e_{rl}{\hat {p}}_{m}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})=\;$
$=({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})-2i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})+{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}e_{rl}{\hat {p}}_{m}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})-({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {r}})=-2i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})+{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}e_{rl}{\hat {p}}_{m}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})=-2i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})+\;$
$+r^{-1}{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}x_{l}{\hat {p}}_{m}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})=-2i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})+r^{-1}{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}[{\hat {p}}_{m}x_{l}+i\hbar \delta _{lm}]({\hat {\alpha }}{\vec {r}})=-2i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})+r^{-1}{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}{\hat {p}}_{m}x_{l}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})+\;$
$+i\hbar r^{-1}{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}\delta _{lm}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})=-2i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})+r^{-1}{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}{\hat {p}}_{m}re_{rl}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})+i\hbar r^{-1}\sum _{m}{\hat {\alpha }}_{m}^{2}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})=-2i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})+\;$
$+r^{-1}{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}\left(r{\hat {p}}_{m}+({\hat {p}}_{m}r)\right)e_{rl}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})+i\hbar r^{-1}\sum _{m}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})=-2i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})+({\hat {\alpha }}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{l})^{2}-i\hbar r^{-1}{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}{{x_{m}} \over {r}}e_{rl}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})+\;$
$+3i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})=({\hat {\alpha }}{\hat {p}})\sum _{ml}{\hat {\alpha }}_{l}{\hat {\alpha }}_{m}e_{rl}e_{rm}-i\hbar r^{-1}{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}e_{rm}e_{rl}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})+i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})=({\hat {\alpha }}{\hat {p}})\sum _{m}{\hat {\alpha }}_{m}^{2}e_{rm}^{2}-i\hbar r^{-1}\sum _{m}{\hat {\alpha }}_{m}^{2}e_{rm}^{2}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})+\;$
$+i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})=({\hat {\alpha }}{\hat {p}})\sum _{m}e_{rm}^{2}-i\hbar r^{-1}\sum _{m}e_{rm}^{2}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})+i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})=({\hat {\alpha }}{\hat {p}})-i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})+i\hbar r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})=({\hat {\alpha }}{\hat {p}})\;$

(27.36)

Co kończy dowód wyrażenia (27.35).

Równanie Diraca (27.26) na podstawie (27.35) przyjmuje zatem postać poniżej. Widzimy, że to równanie zależy od operatorów, tzn.: od (27.27), (27.28) oraz (27.29). Oczywiste jest, że to równanie Diraca jest równaniem niezależnym od czasu i jest równaniem własnym operatora energii:

$\left(c{\hat {p}}_{r}{\hat {\epsilon }}+i\hbar cr^{-1}{\hat {k}}{\hat {\epsilon }}{\hat {\beta }}+m_{0}c^{2}{\hat {\beta }}-{{e^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}r}}\right)\psi =E\psi \;$

(27.37)

Sprawdźmy czy wszystkie operatory występujące w równaniu własnym operatora energii (27.37) komutują ze sobą, zatem sprawdźmy cztery poniższe komutacje:

1° Sprawdżmy, czy komutator ${\hat {\epsilon }}_{\;}$ komutuje z ${\hat {p}}_{r}\;$:

$[{\hat {\epsilon }},{\hat {p}}_{r}]={\hat {\epsilon }}{\hat {p}}_{r}-{\hat {p}}_{r}{\hat {\epsilon }}=({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{e})(-i\hbar )\left({{\partial } \over {\partial r}}+{{1} \over {r}}\right)+i\hbar \left({{\partial } \over {\partial r}}+{{1} \over {r}}\right)({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{e})=\;$
$=-i\hbar \left[\left(({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{e}){{\partial } \over {\partial r}}-{{\partial } \over {\partial r}}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{e})\right)+\left(({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{e}){{1} \over {r}}-{{1} \over {r}}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{e})\right)\right]=0\;$

(27.38)

2° Sprawdźmy, czy ${\hat {\epsilon }}\;$ komutuje z ${\hat {k}}\;$:

$[{\hat {\epsilon }},{\hat {k}}]={\hat {\epsilon }}{\hat {k}}-{\hat {k}}{\hat {\epsilon }}=r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}({\hat {\sigma }}{\hat {l}}+\hbar )-\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}({\hat {\sigma }}{\hat {l}}+\hbar )r^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {r}})=({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}({\hat {\sigma }}{\hat {l}}+\hbar )-\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}({\hat {\sigma }}{\hat {l}}+\hbar )({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})=\;$

$=({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}{\hat {\sigma }}{\hat {l}}+({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}\hbar -\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}{\hat {\sigma }}{\hat {l}}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})-\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}\hbar ({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})=2({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}+({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}{\hat {\sigma }}{\hat {l}}-\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}{\hat {\sigma }}{\hat {l}}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})=\;$
$=2({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}-i{{1} \over {2}}r\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}({\hat {\alpha }}\times {\hat {\alpha }})({\vec {e}}_{r}\times {\hat {p}})+i{{1} \over {2}}r\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}({\hat {\alpha }}\times {\hat {\alpha }})({\vec {e}}_{r}\times {\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})=2({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}+\;$
$-i{{1} \over {2}}r\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})({\hat {\alpha }}\times {\hat {\alpha }})({\vec {e}}_{r}\times {\hat {p}}){\hat {\beta }}-i{{1} \over {2}}r\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}({\hat {\alpha }}\times {\hat {\alpha }})({\vec {e}}_{r}\times {\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}=2({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}-i{{1} \over {2}}r\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})\epsilon _{ijk}{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k}\epsilon _{ilm}e_{rl}{\hat {p}}_{m}{\hat {\beta }}+\;$
$-i{{1} \over {2}}r\hbar ^{-1}\epsilon _{ijk}{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k}\epsilon _{ilm}e_{rl}{\hat {p}}_{m}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}=2({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}+i{{1} \over {2}}r\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})\epsilon _{kji}\epsilon _{ilm}{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k}e_{rl}{\hat {p}}_{m}{\hat {\beta }}+i{{1} \over {2}}r\hbar ^{-1}\epsilon _{kji}\epsilon _{ilm}{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k}e_{rl}{\hat {p}}_{m}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}=\;$
$=2({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}+i{{1} \over {2}}r\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})\left[\delta _{kl}\delta _{jm}-\delta _{km}\delta _{jl}\right]{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k}e_{rl}{\hat {p}}_{m}{\hat {\beta }}+i{{1} \over {2}}r\hbar ^{-1}\left[\delta _{kl}\delta _{jm}-\delta _{km}\delta _{jl}\right]{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{k}e_{rl}{\hat {p}}_{m}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}=\;$
$=2({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}+i{{1} \over {2}}r\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})\left[{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}-{\hat {\alpha }}_{l}{\hat {\alpha }}_{m}\right]e_{rl}{\hat {p}}_{m}{\hat {\beta }}+i{{1} \over {2}}r\hbar ^{-1}\left[{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}-{\hat {\alpha }}_{l}{\hat {\alpha }}_{m}\right]e_{rl}{\hat {p}}_{m}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}=\;$
$=2({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}+i{{1} \over {2}}r\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})\left[2{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}-2\delta _{lm}\right]e_{rl}{\hat {p}}_{m}{\hat {\beta }}+i{{1} \over {2}}r\hbar ^{-1}\left[2{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}-2\delta _{lm}\right]e_{rl}{\hat {p}}_{m}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}=\;$
$=2({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}+ir\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}e_{rl}{\hat {p}}_{m}{\hat {\beta }}-ir\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})({\vec {e}}_{r}{\hat {p}}){\hat {\beta }}+ir\hbar ^{-1}{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}e_{rl}{\hat {p}}_{m}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}-ir\hbar ^{-1}({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}=\;$
$=2({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}-ir\hbar ^{-1}({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}+ir\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}e_{rl}{\hat {p}}_{m}{\hat {\beta }}+ir\hbar ^{-1}{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}e_{rl}{\hat {p}}_{m}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}-ir\hbar ^{-1}({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}=\;$
$=2({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}-ir\hbar ^{-1}({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}+i\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}x_{l}{\hat {p}}_{m}{\hat {\beta }}+i\hbar ^{-1}{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}x_{l}{\hat {p}}_{m}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}-ir\hbar ^{-1}({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}=\;$

$=2({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}-ir\hbar ^{-1}({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}+i\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})[-{\hat {\alpha }}_{l}{\hat {\alpha }}_{m}+2\delta _{lm}]x_{l}{\hat {p}}_{m}{\hat {\beta }}+i\hbar ^{-1}{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}[{\hat {p}}_{m}x_{l}+i\hbar \delta _{lm}]({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}+\;$
$-ir\hbar ^{-1}({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}=2({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}-ir\hbar ^{-1}({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}-ir\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})({\hat {\alpha }}{\hat {p}}){\hat {\beta }}+2ri\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})({\vec {e}}_{r}{\hat {p}}){\hat {\beta }}\;$
$+i\hbar ^{-1}{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}({\hat {p}}_{m}re_{rl})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}-\sum _{m}{\hat {\alpha }}_{m}^{2}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}-ir\hbar ^{-1}({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}=2({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}-ir\hbar ^{-1}({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}+\;$
$-ir\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})({\hat {\alpha }}{\hat {p}}){\hat {\beta }}+ri\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})({\vec {e}}_{r}{\hat {p}}){\hat {\beta }}+i\hbar ^{-1}{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}(r{\hat {p}}_{m}-i\hbar {{x_{m}} \over {r}})e_{rl}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}-\sum _{m}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}=2({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}+\;$
$-ir\hbar ^{-1}({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}-ir\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})({\hat {\alpha }}{\hat {p}}){\hat {\beta }}+ri\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})({\vec {e}}_{r}{\hat {p}}){\hat {\beta }}+ir\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})^{2}{\hat {\beta }}+{\hat {\alpha }}_{m}{\hat {\alpha }}_{l}e_{rm}e_{rl}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}+\;$
$-3({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}=2({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}-ir\hbar ^{-1}({\vec {e}}_{r}{\hat {p}})({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}-ir\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\hat {p}}){\hat {\beta }}+ri\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r})({\vec {e}}_{r}{\hat {p}}){\hat {\beta }}+ir\hbar ^{-1}({\hat {\alpha }}{\hat {p}}){\hat {\beta }}+({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}-3({\hat {\alpha }}{\vec {e}}_{r}){\hat {\beta }}=0\;$

(27.39)

3° Sprawdźmy, czy komutator ${\hat {p}}_{r}\;$ komutuje z ${\hat {k}}\;$, zatem:

$[{\hat {p}}_{r},{\hat {k}}]={\hat {p}}_{r}{\hat {k}}-{\hat {k}}{\hat {p}}_{r}=0\;$

(27.40)

Komutator (27.40) jest równy zero na podstawie, że operator ${\hat {p}}_{r}\;$, zależy od współrzędnych radialnych, a ${\hat {k}}\;$ od współrzędnych kątowych.

4° Sprawdźmy czy operator ${\hat {k}}\;$ komutuje z ${\hat {\beta }}\;$:

$[{\hat {k}},{\hat {\beta }}]=\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}({\hat {\sigma }}{\hat {l}}+\hbar ){\hat {\beta }}-{\hat {\beta }}\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}({\hat {\sigma }}{\hat {l}}+\hbar )=\hbar ^{-1}({\hat {\sigma }}{\hat {l}}+\hbar ){\hat {\beta }}^{2}-{\hat {\beta }}^{2}\hbar ^{-1}({\hat {\sigma }}{\hat {l}}+\hbar )=\hbar ^{-1}({\hat {\sigma }}{\hat {l}}+\hbar )-\hbar ^{-1}({\hat {\sigma }}{\hat {l}}+\hbar )=0\;$

(27.41)

Zdefiniujmy operatory ${\hat {\beta }}\;$ i ${\hat {\epsilon }}\;$ jako zwykłe macierze wedle sposobu:

${\hat {\beta }}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\;$

(27.42)

${\hat {\epsilon }}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\;$

(27.43)

Sprawdźmy, czy zachodzi (26.10) na operatorze ${\hat {\beta }}\;$, czyli czy kwadrat tego operatora jest macierzą jednostkową, którego operator zdefiniowany jest wedle (27.42), a dowód tej własności przebiega:

${\hat {\beta }}^{2}={\hat {\beta }}{\hat {\beta }}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\hat {1}}\;$

(27.44)

a także zachodzi (27.33) na operatorze ${\hat {\epsilon }}\;$, czyli czy kwadrat tegoż operatora jest macierzą jednostkową dla operatora zdefiniowanej wedle (27.43), zatem udowodnijmy tą własność:

${\hat {\epsilon }}^{2}={\hat {\epsilon }}{\hat {\epsilon }}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\hat {1}}\;$

(27.45)

Sprawdźmy, czy na operatorach (27.42) (${\hat {\beta }}\;$) i (27.43) (${\hat {\epsilon }}\;$) zachodzi antykomutacja (27.34), stąd:

$\{{\hat {\epsilon }},{\hat {\beta }}\}={\hat {\epsilon }}{\hat {\beta }}+{\hat {\beta }}{\hat {\epsilon }}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\\\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&-i\\-i&0\\\end{pmatrix}}=0\;$

(27.46)

Na podstawie (27.46) oraz (27.44) i (27.45) udowodniliśmy, że operatory ${\hat {\beta }}\;$ i ${\hat {\epsilon }}\;$ mają postać (27.42) i (27.43).

Udowodniliśmy, że operator ${\hat {k}}\;$ komutuje z ${\hat {p}}_{r}\;$ (27.40), a następnie z operatorem ${\hat {\epsilon }}\;$ (27.39), dalej z ${\hat {\beta }}\;$ (27.41), na tej podstawie dochodzimy do wniosku, że równanie własne operatora hamiltonianu w (27.37), w którym występuje hamiltonian komutatujący z operatorem ${\hat {k}}\;$ (27.27):

$[{\hat {k}},{\hat {H}}]=0\;$

(27.47)

Pozwala to rozwiązywać równanie w bazie jednoczesnych funkcji własnych ${\hat {H}}\;$ i ${\hat {k}}\;$. Równanie własne operatora ${\hat {k}}\;$ jest w postaci (27.27):

${\hat {k}}\psi =k\psi \;$

(27.48)

• gdzie $k\;$ jest wartościa własną operatora ${\hat {k}}\;$.

Teraz zajmijmy się operatorem ${\hat {k}}\;$ podstawiając za ${\hat {\sigma }}\;$, który można wyliczyć z (27.22) wyrażenie na ${\hat {\sigma }}\;$ w zależności od operatora spinu cząstki kwantowej:

${\hat {\sigma }}={{2} \over {\hbar }}{\hat {s}}\;$

(27.49)

Iloczyn operatora ${\hat {\sigma }}\;$ i operatora momentu pędu na podstawie wzoru (27.49) można podstawić do poniższego wyrażenia otrzymując wyrażenie proporcjonalne do iloczynu operatora momentu pędu spinowego przez orbitalny:

${\hat {\sigma }}{\hat {l}}={{2} \over {\hbar }}{\hat {s}}{\hat {l}}\;$

(27.50)

Wiemy, że operator całkowitego momentu pędu jest sumą operatora momentu pędu orbitalnego i spinowego momentu pędu badanej cząstki:

${\hat {j}}={\hat {l}}+{\hat {s}}\;$

(27.51)

Można podnieść do kwadratu wyrażenie operatorowe (27.51), to otrzymujemy inny wzór wynikowy, w którym występują kwadraty różnych operatorów momentu pęd oraz wyraz mieszany będącej iloczynem momentu pędu orbitalnego i spinowego elektronu:

${\hat {j}}^{2}={\hat {l}}^{2}+{\hat {s}}^{2}+2{\hat {l}}{\hat {s}}\;$

(27.52)

Z (27.52) wyznaczamy wyrażenie $2{\hat {l}}{\hat {s}}\;$, w tym celu przenieśmy wyraz mieszany na lewą stronę równania (27.52) z jego prawej strony, a pozostałe wyraży występujące po lewej stronie ostatniego wyrażenia na jego prawo stronę, dostajemy:

$2{\hat {l}}{\hat {s}}={\hat {j}}^{2}-{\hat {l}}^{2}-{\hat {s}}^{2}\;$

(27.53)

Podstawiamy za ${\hat {\sigma }}{\hat {l}}\;$ wyrażenie (27.53) do wzoru operatorowego (27.50), wtedy dostajemy równoważne równanie do tego ostatniego równanie:

$\hbar {\hat {\sigma }}{\hat {l}}=\left[{\hat {j}}^{2}-{\hat {l}}^{2}-{\hat {s}}^{2}\right]\Rightarrow {\hat {\sigma }}{\hat {l}}=\hbar ^{-1}\left[{\hat {j}}^{2}-{\hat {l}}^{2}-{\hat {s}}^{2}\right]\;$

(27.54)

Operator (27.27) na podstawie własności operatorowej (27.54) możemy przestawić podstawiając do niego wyrażenie na ${\hat {\sigma }}{\hat {l}}\;$ wedle wzoru tego ostatniego, to dostaniemy inny równoważny wzór na operator ${\hat {k}}\;$ w stosunku do pierwotnej definicji (27.27):

${\hat {k}}=\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}\left[\hbar ^{-1}\left({\hat {j}}^{2}-{\hat {l}}^{2}-{\hat {s}}^{2}\right)+\hbar \right]=\hbar ^{-1}{\hat {\beta }}\hbar \left[\hbar ^{-2}\left({\hat {j}}^{2}-{\hat {l}}^{2}-{\hat {s}}^{2}\right)+1\right]={\hat {\beta }}\left[\hbar ^{-2}\left({\hat {j}}^{2}-{\hat {l}}^{2}-{\hat {s}}^{2}\right)+1\right]\;$

(27.55)

Mając wartości własne kwadratu operatora całkowitego momentu pędu ${\hat {j}}^{2}\;$ kwadratu operatora orbitalnego momentu pędu ${\hat {l}}^{2}\;$ i ostatecznie kwadratu operatora spinowego ${\hat {s}}^{2}\;$ i ze względu na elementy operatora ${\hat {\beta }}\;$, które mają wartość 1 lub -1 na podstawie wyrażenia (26.21), mamy:

$k=\pm \left\{\hbar ^{-2}\left[j(j+1)\hbar ^{2}-l(l+1)\hbar ^{2}-s(s+1)\hbar ^{2}\right]+1\right\}=\pm \left[j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)+1\right]\;$

(27.56)

• gdzie:$s={{1} \over {2}}\;$.

Mając liczbę kwantową całkowitego momentu pędu "j" dla cząstki o spinie równą połowie jedynki, to wyznaczymy z niego wzór na liczbę kwantową orbitalnego momentu pędu w zależności od liczby kwantowej całkowitego momentu pędu:

$j=l\mp {{1} \over {2}}\Rightarrow l=j\pm {{1} \over {2}}\;$

(27.57)

A więc dla $l=j-{{1} \over {2}}\;$ według (27.57) wartość własna równania własnego (27.48), na podstawie (27.56), przestawiamy:

$k=\pm \left[j(j+1)-(j-{{1} \over {2}})(j+{{1} \over {2}})+{{1} \over {4}}\right]=\pm \left[j^{2}+j-j^{2}-{{1} \over {2}}j+{{1} \over {2}}j+{{1} \over {4}}+{{1} \over {4}}\right]=\pm \left[j+{{1} \over {2}}\right]\;$

(27.58)

oraz dla $l=j+{{1} \over {2}}\;$ według (27.57), wtedy wartość własna równania własnego (27.48), na podstawie (27.56), przestawiamy:

$k=\pm \left[j^{2}+j-(j+{{1} \over {2}})(j+{{3} \over {2}})+{{1} \over {4}}\right]=\pm \left[j^{2}+j-j^{2}-j{{3} \over {2}}-j{{1} \over {2}}-{{3} \over {4}}+{{1} \over {4}}\right]=\mp \left[j+{{1} \over {2}}\right]\;$

(27.59)

Ponieważ wartości własne ${\hat {j}}\;$ całkowitego momentu pędu mają wartości ułamkowe połówkowe, zatem na podstawie (27.58) (dla (27.57) z minusem) i (27.59) (dla (27.57) z plusem) dochodzimy więc do wniosku, że wartościami własnymi operatora (27.27) są liczby całkowite bez zera:

$k=\pm 1,\pm 2,\pm 3,...\;$

(27.60)

Mając na uwadze powyższe rozważania przedstawmy funkcję $\psi \;$ jako wektor funkcji, jako dwuskładnikowsy wektor kolumnowy, czyli spinor:

$\psi ={\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{pmatrix}}\;$

(27.61)

Biorąc spinor (27.61) jako wektor własny, a także definicję macierzy (27.42) i (27.43), to równanie Diraca (27.37) przyjmuje kształt:

$\left\{c{\hat {p}}_{r}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}+{{i\hbar c{\hat {k}}} \over {r}}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}+m_{0}c^{2}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}-{{e^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}r}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\right\}{\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{pmatrix}}=E{\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{pmatrix}}\;$

(27.62)

Po dalszych przekształceniach powyższego równania (27.62) dotyczące przemnożenia pewnych macierzy, otrzymujemy inne równoważne do poprzedniego macierzowe równanie Diraca dla elektronu:

$\left\{c{\hat {p}}_{r}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}+{{i\hbar c{\hat {k}}} \over {r}}{\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}+m_{0}c^{2}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}-{{e^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}r}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\right\}{\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{pmatrix}}=E{\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{pmatrix}}\;$

(27.63)

Z równania macierzowego (27.63) stanowiących jakoby układ dwóch równań, otrzymujemy dwa równania zależne od siebie:

${\begin{cases}(m_{0}c^{2}-E-{{e^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}r}})\psi _{1}-(ic{\hat {p}}_{r}+{{\hbar c{\hat {k}}} \over {r}})\psi _{2}=0\\-(m_{0}c^{2}+E+{{e^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}r}})\psi _{2}+(ic{\hat {p}}_{r}-{{\hbar c{\hat {k}}} \over {r}})\psi _{1}=0\end{cases}}$

(27.64)

Następnym naszym krokiem jest podstawienie za operator ${\hat {p}}_{r}\;$ (27.28) jego definicji w układzie równań (27.64):

${\begin{cases}\left(m_{0}c^{2}-E-{{e^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}r}}\right)\psi _{1}-\hbar c\left({{\hat {k}} \over {r}}+{{\partial } \over {\partial r}}+{{1} \over {r}}\right)\psi _{2}=0\\-hc\left({{\hat {k}} \over {r}}-{{\partial } \over {\partial r}}-{{1} \over {r}}\right)\psi _{1}-\left(m_{0}c^{2}+E+{{e^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}r}}\right)\psi _{2}=0\end{cases}}\;$

(27.65)

Ponieważ operator ${\hat {k}}\;$ zależy od współrzędnych kątowych, a nie radialnym, stąd wynika, że funkcje $\psi _{1}\;$ i $\psi _{2}\;$ mają jednakową funkcję kątową, co wynika, że dla obu równań (27.65) wartość własna operatora ${\hat {k}}\;$ powinna być taka sama, z definiujmy w takim wypadku te opisywane funkcje:

$\psi _{1}={{f_{1}(r)} \over {r}}\phi \;$

(27.66)

$\psi _{2}={{f_{2}(r)} \over {r}}\phi \;$

(27.67)

Zajmijmy się teraz pierwszym równaniem układu równań (27.65), do niego możemy wstawić funkcje, tzn.:$\psi _{1}\;$ (27.66) i $\psi _{2}\;$ (27.67) oraz za ${\hat {k}}\;$ należy wstawić wartość własną tego operatora, co wynika z definicji jego wartości własnej:

$\left(m_{0}c^{2}-E-{{e^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}r}}\right){{f_{1}(r)} \over {r}}\phi -\hbar c\left({{\hat {k}} \over {r}}+{{\partial } \over {\partial r}}+{{1} \over {r}}\right){{f_{2}(r)} \over {r}}\phi =0\;$

(27.68)

Pomnóżmy teraz lewostronnie (27.68) przez odległość radialną r:

$\left(m_{0}c^{2}-E-{{e^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}r}}\right)f_{1}(r)-\hbar c\left({{k} \over {r}}f_{2}(r)+r{{\partial } \over {\partial r}}{{f_{2}(r)} \over {r}}+{{1} \over {r}}f_{2}(r)\right)=0\;$

(27.69)

Rozpiszmy tożsamość poniżej korzystając z twierdzenia o pochodnej ilorazu:

$r{{d} \over {dr}}{{f_{2}} \over {r}}=r{{{{df_{2}} \over {dr}}r-f_{2}} \over {r^{2}}}=({{d} \over {dr}}-{{1} \over {r}})f_{2}(r)\;$

(27.70)

A zatem nasze pierwsze równanie uzyskujemy z (27.69), po dokonaniu w nim obliczeń pomocniczych wedle schematu (27.70), przyjmuje ona wtedy postać:

$\left(m_{0}c^{2}-E-{{e^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}r}}\right)f_{1}(r)-\hbar c\left({{k} \over {r}}+{{d} \over {dr}}\right)f_{2}(r)=0\;$

(27.71)

W tej chwili zajmować się będziemy drugim równaniem (27.65) podstawiając do niego za $\psi _{1}\;$ (27.66) i za $\psi _{2}\;$ (27.67):

$-hc\left({{\hat {k}} \over {r}}-{{\partial } \over {\partial r}}-{{1} \over {r}}\right){{f_{1}(r)} \over {r}}\phi -\left(m_{0}c^{2}+E+{{e^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}r}}\right){{f_{2}(r)} \over {r}}\phi =0\;$

(27.72)

Przekształćmy nasze aktualne równanie:

$-hc\left({{k} \over {r}}{{f_{1}(r)} \over {r}}-{{\partial } \over {\partial r}}{{f_{1}(r)} \over {r}}-{{1} \over {r}}{{f_{1}(r)} \over {r}}\right)-\left(m_{0}c^{2}+E+{{e^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}r}}\right){{f_{2}(r)} \over {r}}=0\;$

(27.73)

Pomnóżmy lewostronnie równanie (27.73) przez odległość radialną r, wtedy otrzymujemy równość napisaną w zależności od funkcji $f_{1}(r)\;$ i $f_{2}(r)\;$:

$-hc\left({{k} \over {r}}f_{1}(r)-r{{\partial } \over {\partial r}}{{f_{1}(r)} \over {r}}-{{1} \over {r}}f_{1}(r)\right)-\left(m_{0}c^{2}+E+{{e^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}r}}\right)f_{2}(r)=0\;$

(27.74)

Zatem ostatecznie drugie równanie wynikającego z (27.74) i po dokonaniu w nim obliczeń pomocniczych, wykorzystując tożsamość (27.70), przyjmuje postać:

$\hbar c\left({{k} \over {r}}-{{d} \over {dr}}\right)f_{1}(r)+\left(m_{0}c^{2}+E+{{e^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}r}}\right)f_{2}(r)=0\;$

(27.75)

Dokonajmy podstawień do równań (27.71) (pierwsze równanie) i (27.75) (drugie równanie) w postaci:

$c_{1}={{\hbar c} \over {m_{0}c^{2}+E}}\;$

(27.76)

$c_{2}={{\hbar c} \over {m_{0}c^{2}-E}}\;$

(27.77)

$\alpha ={{e^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}\;$

(27.78)

Zatem równanie (27.71) i (27.75) na podstawie podstawień (27.76)($c_{1}\;$), (27.77)($c_{2}\;$) i (27.78)($\alpha \;$) przyjmują postacie zapisaną w układzie równań:

${\begin{cases}\left({{1} \over {c_{2}}}-{{\alpha } \over {r}}\right)f_{1}-\left({{k} \over {r}}+{{d} \over {dr}}\right)f_{2}=0\\\left({{k} \over {r}}-{{d} \over {dr}}\right)f_{1}+\left({{1} \over {c_{1}}}+{{\alpha } \over {r}}\right)f_{2}=0\end{cases}}\;$

(27.79)

Nastepnie wyodrębnijmy ten sam czynnik wykładniczy z funkcji $f_{1}\;$ i $f_{2}\;$, tzn.:

$f_{1}=u_{1}(r)e^{-ar}\;$

(27.80)

$f_{2}=u_{2}(r)e^{-ar}\;$

(27.81)

W (27.80) i (27.81) stała "a" jest zależna od energii całkowitej elektronu i od jego masy spoczynkowej, jest zdefiniowane jako stała:

$a={{\sqrt {m_{0}c^{2}-E^{2}}} \over {\hbar c}}\;$

(27.82)

Podstawiając te funkcje (27.80) i (27.81) do dwóch rozważanych równań (27.79), mamy:

${\begin{cases}\left({{1} \over {c_{2}}}-{{\alpha } \over {r}}\right)u_{1}-\left({{k} \over {r}}-a\right)u_{2}-{{du_{2}} \over {dr}}=0\\\left({{k} \over {r}}+a\right)u_{1}+\left({{1} \over {c_{1}}}+{{\alpha } \over {r}}\right)u_{2}-{{du_{1}} \over {dr}}=0\end{cases}}\;$

(27.83)

Dokonajmy podstawień za funkcje $u_{1}(r)\;$ i $u_{2}(r)\;$ pewnymi nieskończonymi szeregami potęgowymi zapisane jako kombinacja liniowa z pewnymi współczynnikami względem poszczególnych potęg odległości radialnych:

$u_{1}(r)=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}r^{\mu +m}\;$

(27.84)

$u_{2}(r)=\sum _{m=1}^{\infty }d_{m}r^{\mu +m}\;$

(27.85)

• gdzie $\mu \geq 0\;$, co gwarantuje rozpoczęcia w szeregu potęgowym opisanym powyżej, których wykładnik potęgi jest większy niż "m" w szeregach powyżej zdefiniowanych.

Dokonajmy podstawień szeregów $u_{1}(r)\;$ (27.84) i $u_{2}(r)\;$ (27.85), do pierwszego równania (27.83).

${{1} \over {c_{2}}}\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}r^{\mu +m}-\alpha \sum _{m=1}^{\infty }b_{m}r^{\mu +m-1}-k\sum _{m=1}^{\infty }d_{m}r^{\mu +m-1}+a\sum _{m=1}^{\infty }d_{m}r^{\mu +m}-\sum _{m=1}^{\infty }d_{m}(\mu +m)r^{\mu +m-1}=0\;$

(27.86)

Dokonajmy podstawień wedle schematu m'=m+1 dla pierwszego i czwartego wyrazu równania (27.86) w ten sposób, by w tym równaniu mieć te same potęgi, by później współczynnik stojący przy tej potędze przyrównać do zera, jeśli wszystkie wyrazy występując po przegrupowaniu występują w czynniku przy tym obiekcie, a zatem dochodzimy do wniosku po odpowiedniej zamianie parametrów m:

${{1} \over {c_{2}}}\sum _{m=2}^{\infty }b_{m-1}r^{\mu +m-1}-\alpha \sum _{m=1}^{\infty }b_{m}r^{\mu +m-1}-k\sum _{m=1}^{\infty }d_{m}r^{\mu +m-1}+a\sum _{m=2}^{\infty }d_{m-1}r^{\mu +m-1}-\sum _{m=1}^{\infty }d_{m}(\mu +m)r^{\mu +m-1}=0\;$

(27.87)

Grupując względem tych samych potęg w (27.87), zależność na współczynnikach (pierwsze równanie poniżej) i warunek brzegowy (drugie równanie) przedstawia się:

Równanie iteracyjne pierwsze

${{1} \over {c_{2}}}b_{m-1}-\alpha b_{m}+ad_{m-1}-(\mu +m+k)d_{m}=0\;$

(27.88)