Mechanika kwantowa/Układ dwóch cząstek w mechanice kwantowej

Układ dwóch cząstek w mechanice kwantowej

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

Rozpatrzmy dwa hamiltoniany działające w dwóch różnych przestrzeniach funkcyjnych, tzn. nieoddziaływających ze sobą, a więc wyrażające w różnych zmiennych:

$H_{1}\psi =E_{1}\psi \;$

(17.1)

$H_{2}\psi =E_{2}\psi \;$

(17.2)

Te dwa Hamiltoniany można połączyć ze sobą, tak by ich funkcją własną była wspólna funkcja własna będąca iloczynem funkcji własnych dla tych cząstek z osobna:

$\psi =\psi _{1}\psi _{2}\;$

(17.3)

Równanie własne dla dwóch ciał działające w różnych zmiennych jest:

$(H_{1}+H_{2})\psi _{1}\psi _{2}=\psi _{2}H_{1}\psi _{1}+\psi _{1}H_{2}\psi _{2}=\psi _{2}E_{1}\psi _{1}+\psi _{1}E\psi _{2}=(E_{1}+E_{2})\psi _{1}\psi _{2}\;$

(17.4)

To równanie własne dla dwóch ciał na podstawie (17.4) przyjmuje postać:

$(H_{1}+H_{2})\psi _{1}\psi _{2}=(E_{1}+E_{2})\psi _{1}\psi _{2}\;$

(17.5)

Na podstawie (17.5) dowiadujemy się, że energia układu dwóch cząstek jest sumą energii dwóch osobnych cząstek. A więc pierwsza strona naszego twierdzenia jest spełniona, tzn. z równań własnych (17.1) i (17.2) wynika równanie własne (17.5), a teraz udowodnijmy jej drugą stronę, tzn. wychodząc z równania (17.5), czy wynikają równości (17.1) i (17.2):

$(H_{1}+H_{2})\psi _{1}\psi _{2}=E_{c}\psi _{1}\psi _{2}\;$

(17.6)

• Gdzie $\psi _{1}\;$ oraz $\psi _{2}\;$ to są funkcję falowe dwóch osobnych cząstek.

Jeśli zachodzi równanie (17.6), to mamy na pewno:

$\psi _{2}H_{1}\psi _{1}+\psi _{1}H_{2}\psi _{2}=E_{c}\psi _{1}\psi _{2}\;$

(17.7)

Dzielimy obie strony równania (17.7) przez $\psi _{1}\psi _{2}\;$, otrzymujemy:

${{H_{1}\psi _{1}} \over {\psi _{1}}}+{{H_{2}\psi _{2}} \over {\psi _{2}}}=E_{c}\;$

(17.8)

Ponieważ poszczególne składniki są zależne od różnych zmiennych, więc poszczególne składniki w sumie po lewej stronie równości (17.8) są równe pewnym stałym, których suma jest równa całkowitej energii układu $E_{c}\;$.

${{H_{1}\psi _{1}} \over {\psi _{1}}}=E_{1}\;$

(17.9)

${{H_{2}\psi _{2}} \over {\psi _{2}}}=E_{2}\;$

(17.10)

Jak się przekonaliśmy i powiedzieliśmy suma wyrażeń (17.9) i (17.10) jest równa pewnej stałej $E_{c}\;$.

$E_{1}+E_{2}=E_{c}\;$

(17.11)

Według równania (17.9) i (17.10) zachodzą równoważne związki do równań (17.1) i (17.2), które są równaniami własnymi dla każdej cząstek z osobna, zatem doszliśmy do równoważności równań własnych opisujących każdą cząstkę z osobną i dwie razem.

Załóżmy dodatkowo, że dwie cząstki oddziaływują za pomocą pola, która zależy od odległości miedzy ciałami, ale nie od kierunku w jakim znajdują się te dwie cząstki. Czyli nasz hamiltonian opisujących te dwie cząstki jest:

${\hat {H}}=-{{\hbar ^{2}} \over {2m_{1}}}\Delta _{1}-{{\hbar ^{2}} \over {2m_{2}}}\Delta _{2}+V(r)\;$

(17.12)

• gdzie:

$r={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}+(z_{1}-z_{2})^{2}}}\;$

(17.13)

Określmy teraz zmienne określające każdą cząstkę z osobna przez inne zmienne określające odległości współrzędności-owe pomiędzy nimi, a także współrzędne współrzędnościowe środka masy tych dwóch mas.

$x=x_{2}-x_{1}\;$

(17.14)

$y=y_{2}-y_{1}\;$

(17.15)

$z=z_{2}-z_{1}\;$

(17.16)

$\xi ={{m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}} \over {m_{1}+m_{2}}}\;$

(17.17)

$\nu ={{m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}} \over {m_{1}+m_{2}}}\;$

(17.18)

$\zeta ={{m_{1}z_{1}+m_{2}z_{2}} \over {m_{1}+m_{2}}}\;$

(17.19)

Dokonajmy teraz przemianowania zmiennych licząc pierwszą pochodną względem w starych zmiennej wyrażonej przy pomocy nowych współrzędnych.

${{\partial } \over {\partial x_{1}}}={{\partial \xi } \over {\partial x_{1}}}{{\partial } \over {\partial \xi }}+{{\partial x} \over {\partial x_{1}}}{{\partial } \over {\partial x}}={{m_{1}} \over {m_{1}+m_{2}}}{{\partial } \over {\partial \xi }}-{{\partial } \over {\partial x}}\;$

(17.20)

Policzmy drugą pochodną względem pierwszej współrzędnej pierwszej masy, korzystając przy tym z operatora różniczkowania pierwszego rzędu cząstkowego w starych współrzędnych (17.20) przy pomocy nowych współrzędnych, które wspomnieliśmy wcześniej.

${{\partial ^{2}} \over {\partial x_{1}^{2}}}={{\partial } \over {\partial x_{1}}}{{\partial } \over {\partial x_{1}}}={{\partial } \over {\partial x_{1}}}\left({{m_{1}} \over {m_{1}+m_{2}}}{{\partial } \over {\partial \xi }}-{{\partial } \over {\partial x}}\right)=\left({{m_{1}} \over {m_{1}+m_{2}}}{{\partial } \over {\partial \xi }}-{{\partial } \over {\partial x}}\right)\left({{m_{1}} \over {m_{1}+m_{2}}}{{\partial } \over {\partial \xi }}-{{\partial } \over {\partial x}}\right)=\;$
$=\left({{m_{1}} \over {m_{1}+m_{2}}}\right)^{2}{{\partial ^{2}} \over {\partial \xi ^{2}}}-{{2m_{1}} \over {m_{1}+m_{2}}}{{\partial ^{2}} \over {\partial \xi \partial x}}+{{\partial ^{2}} \over {\partial x^{2}}}\;$

(17.21)

Podobnie wyznaczamy pochodną drugą względem drugiej masy, zatem wykorzystują te drugie pochodne, nasz operator energii całkowitej mechanicznej dwóch cząstek zapisanych wedle (17.12) przyjmuje wygląd:

$-{{\hbar ^{2}} \over {2m_{1}}}\Delta _{1}-{{\hbar ^{2}} \over {2m_{2}}}\Delta _{2}=-{{\hbar ^{2}} \over {2\mu }}\Delta _{\xi \nu \zeta }-{{\hbar ^{2}} \over {2m}}\Delta _{xyz}\;$

(17.22)

• Gdzie masa całkowita całego układu $\mu \;$ i masa zredukowana całego układu jest równa:

$\mu =m_{1}+m_{2}\;$

(17.23)

$m={{m_{1}m_{2}} \over {m_{1}+m_{2}}}\;$

(17.24)

Ostatecznie otrzymujemy Hamiltonian (17.12) na podstawie (17.22):

$\left\{-{{\hbar ^{2}} \over {2\mu }}\Delta _{\xi \nu \zeta }-{{\hbar ^{2}} \over {2m}}\Delta _{xyz}+V(xyz)\right\}\psi =E\psi \;$

(17.25)

Niech funkcją własną hamiltonianu (17.25) będzie iloczyn dwóch funkcji zależnej od odległości między dwoma masami f(xyz) i funkcji $g(\xi \nu \zeta )\;$ zależnej od współrzędnych środka masy tych rozważanych dwóch cząstek.

$\psi =f(xyz)g(\xi \nu \zeta )\;$

(17.26)

Zatem otrzymujemy dwa równania z równania własnego (17.25) zdefiniowanych we współrzędnych innych dla każdego równania z osobna opisanych w tym artykule, którego funkcje własne są w postaci (17.26), którego rozwiązujemy metodą zmiennych rozdzielonych dostając przy tym dwa równania, nazwijmy je równaniami własnymi z definiowanych w nienakładających się zmiennych:

${{\hbar ^{2}} \over {2\mu }}\Delta _{\xi \nu \zeta }g(\xi \nu \zeta )=E_{1}g(\xi \nu \zeta )\;$

(17.27)

$\left\{-{{\hbar ^{2}} \over {2m}}\Delta _{xyz}+V(xyz)\right\}f(xyz)=E_{2}f(xyz)\;$

(17.28)

Pierwsze równanie jest równaniem cząstki w ruchu swobodnych w opisanych współrzędnych $(\xi ,\nu ,\zeta )\;$, a drugie jest to równanie jest napisane przy zdefiniowanym potencjale skalarnym $V(xyz)\;$ we współrzędnych $(x,y,z)\;$.