Mechanika kwantowa/Układ dwóch cząstek w mechanice kwantowej

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Mechanika kwantowa
Mechanika kwantowa
Układ dwóch cząstek w mechanice kwantowej

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

Rozpatrzmy dwa hamiltoniany działające w dwóch różnych przestrzeniach funkcyjnych, tzn. nieoddziaływających ze sobą, a więc wyrażające w różnych zmiennych:

(17.1)
(17.2)

Te dwa Hamiltoniany można połączyć ze sobą, tak by ich funkcją własną była wspólna funkcja własna będąca iloczynem funkcji własnych dla tych cząstek z osobna:

(17.3)

Równanie własne dla dwóch ciał działające w różnych zmiennych jest:

(17.4)

To równanie własne dla dwóch ciał na podstawie (17.4) przyjmuje postać:

(17.5)

Na podstawie (17.5) dowiadujemy się, że energia układu dwóch cząstek jest sumą energii dwóch osobnych cząstek. A więc pierwsza strona naszego twierdzenia jest spełniona, tzn. z równań własnych (17.1) i (17.2) wynika równanie własne (17.5), a teraz udowodnijmy jej drugą stronę, tzn. wychodząc z równania (17.5), czy wynikają równości (17.1) i (17.2):

(17.6)
  • Gdzie oraz to są funkcję falowe dwóch osobnych cząstek.

Jeśli zachodzi równanie (17.6), to mamy na pewno:

(17.7)

Dzielimy obie strony równania (17.7) przez , otrzymujemy:

(17.8)

Ponieważ poszczególne składniki są zależne od różnych zmiennych, więc poszczególne składniki w sumie po lewej stronie równości (17.8) są równe pewnym stałym, których suma jest równa całkowitej energii układu .

(17.9)
(17.10)

Jak się przekonaliśmy i powiedzieliśmy suma wyrażeń (17.9) i (17.10) jest równa pewnej stałej .

(17.11)

Według równania (17.9) i (17.10) zachodzą równoważne związki do równań (17.1) i (17.2), które są równaniami własnymi dla każdej cząstek z osobna, zatem doszliśmy do równoważności równań własnych opisujących każdą cząstkę z osobną i dwie razem.

Załóżmy dodatkowo, że dwie cząstki oddziaływują za pomocą pola, która zależy od odległości miedzy ciałami, ale nie od kierunku w jakim znajdują się te dwie cząstki. Czyli nasz hamiltonian opisujących te dwie cząstki jest:

(17.12)
  • gdzie:
(17.13)

Określmy teraz zmienne określające każdą cząstkę z osobna przez inne zmienne określające odległości współrzędności-owe pomiędzy nimi, a także współrzędne współrzędnościowe środka masy tych dwóch mas.

(17.14)
(17.15)
(17.16)
(17.17)
(17.18)
(17.19)

Dokonajmy teraz przemianowania zmiennych licząc pierwszą pochodną względem w starych zmiennej wyrażonej przy pomocy nowych współrzędnych.

(17.20)

Policzmy drugą pochodną względem pierwszej współrzędnej pierwszej masy, korzystając przy tym z operatora różniczkowania pierwszego rzędu cząstkowego w starych współrzędnych (17.20) przy pomocy nowych współrzędnych, które wspomnieliśmy wcześniej.


(17.21)

Podobnie wyznaczamy pochodną drugą względem drugiej masy, zatem wykorzystują te drugie pochodne, nasz operator energii całkowitej mechanicznej dwóch cząstek zapisanych wedle (17.12) przyjmuje wygląd:

(17.22)
  • Gdzie masa całkowita całego układu i masa zredukowana całego układu jest równa:
(17.23)
(17.24)

Ostatecznie otrzymujemy Hamiltonian (17.12) na podstawie (17.22):

(17.25)

Niech funkcją własną hamiltonianu (17.25) będzie iloczyn dwóch funkcji zależnej od odległości między dwoma masami f(xyz) i funkcji zależnej od współrzędnych środka masy tych rozważanych dwóch cząstek.

(17.26)

Zatem otrzymujemy dwa równania z równania własnego (17.25) zdefiniowanych we współrzędnych innych dla każdego równania z osobna opisanych w tym artykule, którego funkcje własne są w postaci (17.26), którego rozwiązujemy metodą zmiennych rozdzielonych dostając przy tym dwa równania, nazwijmy je równaniami własnymi z definiowanych w nienakładających się zmiennych:

(17.27)
(17.28)

Pierwsze równanie jest równaniem cząstki w ruchu swobodnych w opisanych współrzędnych , a drugie jest to równanie jest napisane przy zdefiniowanym potencjale skalarnym we współrzędnych .