Mechanika kwantowa/Zaawansowane własności funkcji kulistych

Zaawansowane własności funkcji kulistych

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Spis treści
1Własności funkcji kulistych 2Elementy macierzowe operatorów momentu pędu 3Współrzędne operatorów momentu pędu a funkcję kuliste

Własności funkcji kulistych

Znając definicję operatora momentu pędu ${\hat {l}}_{z}\;$ wedle (6.56), a na podstawie niej zdefiniowanej inny operator (6.68) oraz mając definicję funkcji kulistej Y(θ,φ) (8.90) możemy napisać działanie tego ostatniego operatora na tą właśnie funkcję:

${\hat {l}}_{0}Y_{lm}=-i{{\partial } \over {\partial \theta }}e^{im\theta }\zeta (\phi )=-i\zeta (\phi ){{\partial } \over {\partial \theta }}e^{im\theta }=-i\zeta (\phi )ime^{im\theta }=me^{im\theta }\zeta (\phi )=mY_{lm}\;$

(9.1)

Na podstawie (9.1) otrzymujemy zagadnienie własne operatora ${\hat {l}}_{0}\;$:

${\hat {l}}_{0}Y_{lm}=mY_{lm}$

(9.2)

Na podstawie definicji wartości własnej współrzędnej zetowej momentu pędu (8.43) i obliczeń przeprowadzonych, gdy funkcją własną jest wyrażenie ${\hat {l}}_{+}Y_{lm}\;$, które są opisane w punkcie (8.57):

${\hat {l}}_{z}{\hat {l}}_{+}Y_{lm}=(m+1)\hbar {\hat {l}}_{+}Y_{lm}\;$

(9.3)

A także na podstawie definicji wartości własnej współrzędnej zetowej momentu pędu (8.43) i obliczeń przeprowadzonych, gdy funkcją własną jest wyrażenie ${\hat {l}}_{-}Y_{lm}\;$, które są opisane w punkcie (8.66):

${\hat {l}}_{z}{\hat {l}}_{-}Y_{lm}=(m-1)\hbar {\hat {l}}_{-}Y_{lm}\;$

(9.4)

Jeśli definicją funkcji kulistej jest (8.90), a także pamiętając przy tym, że w definicji funkcji kulistej występuje eksponencjalny czynnik ze zmienną θ. To wynik działania operatora ${\hat {l}}_{+}\;$ na funkcję kulistą daje nam funkcję kulistą o zwiększonej magnetycznej liczbie kwantowej o jeden.

${\hat {l}}_{+}Y_{lm}\sim Y_{l(m+1)}$

(9.5)

Ale też można zapisać (9.5) jako działanie operatora ${\hat {l}}_{-}\;$ na funkcję kulistą wedle (9.5), co daje nam wynik proporcjonalny do funkcji kulistej o magnetycznej liczbie kwantowej zmniejszonej o jeden.

${\hat {l}}_{-}Y_{lm}\sim Y_{lm-1}$

(9.6)

Elementy macierzowe operatorów momentu pędu

Operatory ${\hat {l}}_{+}\;$, ${\hat {l}}_{-}\;$ oraz ${\hat {l}}_{0}\;$ na podstawie zależności (9.1), (9.5) i (9.6), które działają na funkcje kuliste $Y_{lm}\;$ zwiększając i zmniejszając odpowiednio kwantową liczbę magnetyczną o jeden stojącą przy tej funkcji lub pozostawiając ją niezmienioną, posiadają właściwości spełniające poprzez funkcje kuliste:

${\hat {l}}_{+}Y_{lm}=c_{1}Y_{l(m+1)}\;$

(9.7)

${\hat {l}}_{-}Y_{lm}=c_{2}Y_{l(m-1)}\;$

(9.8)

${\hat {l}}_{0}Y_{lm}=mY_{lm}\;$

(9.9)

Funkcje kuliste o ustalonym l, a dowolnym m można otrzymać z funkcji kulistych Y_ll poprzez wielokrotne zastosowanie operatora zmniejszania magnetycznej liczby kwantowej wedle (9.8), czyli dla operatora ${\hat {l}}_{-}\;$, tzn.:

$Y_{lm}=N(lm)(l_{-})^{l-m}Y_{ll}\;$

(9.10)

Wyznaczmy iloczyn skalarny dwóch takich samych funkcji kulistych zdefiniowanych wedle (8.90), to jego norma powinna być równa jeden i zastosujmy wtedy wzór (9.10), otrzymujemy:

$1=\int Y_{lm}^{*}Y_{lm}d\Omega =(Y_{lm},Y_{lm})=(N(lm)(l_{-})^{l-m}Y_{ll},N(lm)(l_{-})^{l-m}Y_{ll})=N^{2}(lm)(Y_{lm},(l_{+})^{l-m}(l_{-})^{l-m}Y_{lm})=\;$
$=N^{2}(lm)\int Y_{ll}^{*}(l_{+})^{l-m}(l_{-})^{l-m}Y_{ll}d\Omega \;$

(9.11)

Na podstawie (9.11) możemy wyznaczyć stałą występującą w niej N(lm):

$N(lm)=\left\{\int Y_{ll}^{*}(l_{+})^{l-m}(l_{-})^{l-m}Y_{ll}d\Omega \right\}^{-{1 \over 2}}\;$

(9.12)

Następnie wyznaczmy wyrażenie pomocnicze, która dla nasz jest bardzo ważne i potrzebne:

${\hat {l}}_{+}{\hat {l}}_{-}={{1} \over {\hbar ^{2}}}(l_{x}+il_{y})(l_{x}-il_{y})={{1} \over {\hbar ^{2}}}(l_{x}^{2}+l_{y}^{2}-il_{x}l_{y}+il_{y}l_{x})={{1} \over {\hbar ^{2}}}(l_{x}^{2}+l_{y}^{2}-i[l_{x},l_{y}])={{1} \over {\hbar ^{2}}}(l^{2}-l_{z}^{2}-ii\hbar l_{z})=\;$
$={{1} \over {\hbar ^{2}}}(l^{2}-l_{z}^{2}+\hbar l_{z})\;$

(9.13)

A zatem na podstawie obliczeń pomocniczych (9.13) dostajemy wyrażenie zapisane w sposób równoważny:

${\hat {l}}_{+}{\hat {l}}_{-}={{1} \over {\hbar ^{2}}}(l^{2}-l_{z}^{2}+\hbar l_{z})\;$

(9.14)

Wobec tego po kilku krokach dla wyrażenia będącego iloczynem l-m potęg operatorów ${\hat {l}}_{+}\;$ i ${\hat {l}}_{-}\;$, które działają na funkcję kulistą Y_ll oraz oznaczając je jednocześnie te potęgi o wykładniku l-m przez ν, który to możemy zapisać ten sam iloczyn przy pomocy potęg o wykładnikach zmniejszonych o jeden, które działają na tą samą funkcję kulistą z pewną stałą proporcjonalności:

$(l_{+})^{l-m}(l_{-})^{l-m}Y_{ll}=(l_{+})^{\nu -1}l_{+}l_{-}(l_{-})^{\nu -1}Y_{ll}=(l_{+})^{\nu -1}{{1} \over {\hbar ^{2}}}(l^{2}-l_{z}^{2}+\hbar l_{z})(l_{-})^{\nu -1}Y_{ll}={{1} \over {\hbar ^{2}}}(l_{+})^{\nu -1}{\big [}l(l+1)+\;$
$-(l-\nu +1)^{2}+(l-\nu +1){\big ]}(l_{-})^{\nu -1}Y_{ll}=(l_{+})^{\nu -1}\left[l^{2}+l-(l^{2}+\nu ^{2}+1-2l\nu +2l-2\nu )+(l-\nu +1)\right](l_{-})^{\nu -1}Y_{ll}=\;$
$=(l_{+})^{\nu -1}\left[2l\nu -\nu ^{2}+\nu \right](l_{-})^{\nu -1}Y_{ll}=\nu (2l-\nu +1)(l_{+})^{\nu -1}(l_{-})^{\nu -1}Y_{ll}\;$

(9.15)

Na podstawie obliczeń dokonywanych w punkcie (9.15) możemy zapisać je w postaci już zwiniętej:

$(l_{+})^{\nu }(l_{-})^{\nu }Y_{lm}=\prod _{n=1}^{\nu }n(2l-n+1)Y_{ll}={{\nu !(2l)!} \over {(2l-\nu )!}}Y_{ll}\;$

(9.16)

Wyrażenie (9.12) na stałą N(lm) na podstawie wzoru (9.16), z którego skorzystamy, jest napisana przy pomocy stałej zależnej od liczb kwantowych, tzn. orbitalnej liczby kwantowej i magnetycznej liczby kwantowej:

$N(lm)=\left\{{{\nu !(2l)!} \over {(2l-\nu )!}}\int Y_{ll}^{*}Y_{ll}\right\}^{-{{1} \over {2}}}=\left\{{{(2l-\nu )!} \over {\nu !(2l)!}}\right\}^{{1} \over {2}}=\left\{{{(l+m)!} \over {(l-m)!(2l)!}}\right\}^{{1} \over {2}}\;$

(9.17)

W (9.17) skorzystaliśmy tu z własności ν=l-m, wtedy to wyrażenie możemy przepisać w postaci

$N(lm)=\left\{{{(l+m)!} \over {(l-m)!(2l)!}}\right\}^{{1} \over {2}}\;$

(9.18)

Na podstawie (9.8) działania operatora l_- na funkcję kulistą Y_lm, korzystając ze wzoru na stałą N(lm)(9.18) możemy policzyć stałą proporcjonalności w nim występującą przy pomocy stałej wyznaczonej w punkcie N(lm) (9.18), które wykorzystamy do równania:

$l_{-}Y_{lm}=l_{-}N(lm)(l_{-})^{l-m}Y_{ll}=N(lm)(l_{-})^{l-(m-1)}Y_{ll}={{N(lm)} \over {N(l,m-1)}}Y_{l(m-1)}\;$

(9.19)

A następnie wyznaczmy wyrażenie występujące we wzorze na równanie własne operatora l_-, czyli wedle równania (9.19), wyznaczając nową stałą, która w tym równaniu jest stałą proporcjonalności zależna od orbitalnej i magnetycznej liczby kwantowej:

${{N(lm)} \over {N(l,m-1)}}={\sqrt {{{(l+m)!} \over {(l-m)!(2l)!}} \over {{(l+m-1)!} \over {(l-m+1)!(2l)!}}}}={\sqrt {(l+m)(l-m+1)}}\;$

(9.20)

A zatem ostatecznie wzór (9.19) możemy tak napisać, by wyliczyć w nim stałą proporcjonalności na podstawie obliczeń (9.20):

$l_{-}Y_{lm}={\sqrt {(l+m)(l-m+1)}}Y_{l(m-1)}\;$

(9.21)

Podobnie otrzymamy, że tym razem dla operatora ${\hat {l}}_{+}\;$ (6.57) i jego równania (9.7), co w nim będziemy określać stałą proporcjonalności przez N(lm):

$l_{+}Y_{lm}=l_{+}N(lm)(l_{-})^{l-m}Y_{ll}=N(lm)l_{+}l_{-}(l_{-})^{l-(m+1)}Y_{ll}=N(lm){{1} \over {\hbar ^{2}}}(l^{2}-l_{z}^{2}+\hbar l_{z})(l_{-})^{l-(m+1)}Y_{ll}=\;$
$=N(lm)\left\{l(l+1)-(m+1)^{2}+(m+1)\right\}(l_{-})^{l-(m+1)}Y_{ll}=\;$
$=N(lm)\left\{l(l+1)+(m+1)(1-m-1)\right\}(l_{-})^{l-(m+1)}Y_{ll}=N(lm)\left\{l(l+1)+lm-lm-(m+1)m\right\}(l_{-})^{l-(m+1)}Y_{ll}=$
$=N(lm)\left\{l(l+m+1)-m(l+m+1)\right\}(l_{-})^{l-(m+1)}Y_{ll}={{N(lm)} \over {N(l(m+1))}}(l-m)(l+m+1)Y_{l(m+1)}\;$

(9.22)

Wyznaczmy stałą w wyrażeniu (9.22) przy pomocy definicji stałej N(lm), co jego definicją jest (9.18):

${{\sqrt {{(l+m)!} \over {(l-m)!(2l)!}}} \over {\sqrt {{(l+m+1)!} \over {(l-m-1)!(2l)!}}}}(l-m)(l+m+1)={\sqrt {(l-m)(l+m+1)}}\;\;$

(9.23)

Równanie (9.22) na podstawie obliczeń stałej N(lm) wedle (9.23) przyjmuje pełną postać bez żadnych niewiadomych:

$l_{+}Y_{lm}={\sqrt {(l-m)(l+m+1)}}Y_{l(m+1)}\;$

(9.24)

Współrzędne operatorów momentu pędu a funkcję kuliste

Współrzędne operatorów momentu pędu w zależności od operatorów (6.57)(${\hat {l}}_{+}\;$), (6.58)(${\hat {l}}_{-}\;$) i (6.59)(${\hat {l}}_{0}\;$) można je w taki sposób zdefiniować, by operatory współrzędnych momentu pędu przy pomocy tych wspomnianych operatorów były:

${\hat {l}}_{x}={{\hbar } \over {2}}\left({\hat {l}}_{+}+{\hat {l}}_{-}\right)\;$

(9.25)

${\hat {l}}_{y}=-{{i\hbar } \over {2}}\left({\hat {l}}_{+}-{\hat {l}}_{-}\right)\;$

(9.26)

${\hat {l}}_{z}=\hbar {\hat {l}}_{0}\;$

(9.27)

Na podstawie wzorów operatorowych, tzn. (9.25)(${\hat {l}}_{x}\;$), możemy tak zdefiniowany operator współrzędnej iksowej momentu pędu podziałać na funkcją kulistą i dostać wzór, który zapiszemy przy pomocy kombinacji funkcji kulistej o liczbach magnetycznych o powiększonej lub pomniejszonej o jeden przy pomocy definicji operatorów (9.21)(${\hat {l}}_{-}\;$) i (9.24)(${\hat {l}}_{+}\;$):

${\hat {l}}_{x}Y_{lm}={{\hbar } \over {2}}{\sqrt {(l-m)(l+m+1)}}Y_{lm+1}+{{\hbar } \over {2}}{\sqrt {(l+m)(l-m+1)}}Y_{lm-1}\;$

(9.28)

Na podstawie (9.26)(${\hat {l}}_{y}\;$) możemy zapisać działanie operatora momentu pędu igrekowego na funkcję kulistą i otrzymać kombinacją liniową funkcji kulistych powiększonych i pomniejszonych o jeden na kwantowych liczbach magnetycznych mając definicję (9.21)(${\hat {l}}_{-}\;$) i (9.24)(${\hat {l}}_{+}\;$):

${\hat {l}}_{y}Y_{lm}=-{{i\hbar } \over {2}}{\sqrt {(l-m)(l+m+1)}}Y_{lm+1}+{{i\hbar } \over {2}}{\sqrt {(l+m)(l-m+1)}}Y_{lm-1}\;$

(9.29)

Na podstawie (9.27)(${\hat {l}}_{z}\;$), możemy tym operatorem podziałać na funkcję kulistą Y_lm zdefiniowanych przy pomocy równania (9.9) na operator (${\hat {l}}_{0}\;$), to równanie jest również równaniem własnym operatora momentu pędu współrzędnej zetowej o wartości własnej $m\hbar \;$:

${\hat {l}}_{z}Y_{lm}=m\hbar Y_{lm}\;$

(9.30)