Mechanika kwantowa/Zaawansowane własności funkcji kulistych

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Mechanika kwantowa
Mechanika kwantowa
Zaawansowane własności funkcji kulistych

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: zegarek(myślnik)odmierza(myślnik)czas(małpa)wp(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Własności funkcji kulistych[edytuj]

Znając definicję operatora momentu pędu wedle (6.56), a na podstawie niej zdefiniowanej inny operator (6.68) oraz mając definicję funkcji kulistej Y(θ,φ) (8.90) możemy napisać działanie tego ostatniego operatora na tą właśnie funkcję:

(9.1)

Na podstawie (9.1) otrzymujemy zagadnienie własne operatora :

(9.2)

Na podstawie definicji wartości własnej współrzędnej zetowej momentu pędu (8.43) i obliczeń przeprowadzonych, gdy funkcją własną jest wyrażenie , które są opisane w punkcie (8.57):

(9.3)

A także na podstawie definicji wartości własnej współrzędnej zetowej momentu pędu (8.43) i obliczeń przeprowadzonych, gdy funkcją własną jest wyrażenie , które są opisane w punkcie (8.66):

(9.4)

Jeśli definicją funkcji kulistej jest (8.90), a także pamiętając przy tym, że w definicji funkcji kulistej występuje eksponencjalny czynnik ze zmienną θ. To wynik działania operatora na funkcję kulistą daje nam funkcję kulistą o zwiększonej magnetycznej liczbie kwantowej o jeden.

(9.5)

Ale też można zapisać (9.5) jako działanie operatora na funkcję kulistą wedle (9.5), co daje nam wynik proporcjonalny do funkcji kulistej o magnetycznej liczbie kwantowej zmniejszonej o jeden.

(9.6)

Elementy macierzowe operatorów momentu pędu[edytuj]

Operatory , oraz na podstawie zależności (9.1), (9.5) i (9.6), które działają na funkcje kuliste zwiększając i zmniejszając odpowiednio kwantową liczbę magnetyczną o jeden stojącą przy tej funkcji lub pozostawiając ją niezmienioną, posiadają właściwości spełniające poprzez funkcje kuliste:

(9.7)
(9.8)
(9.9)

Funkcje kuliste o ustalonym l, a dowolnym m można otrzymać z funkcji kulistych Yll poprzez wielokrotne zastosowanie operatora zmniejszania magnetycznej liczby kwantowej wedle (9.8), czyli dla operatora , tzn.:

(9.10)

Wyznaczmy iloczyn skalarny dwóch takich samych funkcji kulistych zdefiniowanych wedle (8.90), to jego norma powinna być równa jeden i zastosujmy wtedy wzór (9.10), otrzymujemy:

(9.11)

Na podstawie (9.11) możemy wyznaczyć stałą występującą w niej N(lm):

(9.12)

Następnie wyznaczmy wyrażenie pomocnicze, która dla nasz jest bardzo ważne i potrzebne:

(9.13)

A zatem na podstawie obliczeń pomocniczych (9.13) dostajemy wyrażenie zapisane w sposób równoważny:

(9.14)

Wobec tego po kilku krokach dla wyrażenia będącego iloczynem l-m potęg operatorów i , które działają na funkcję kulistą Yll oraz oznaczając je jednocześnie te potęgi o wykładniku l-m przez ν, który to możemy zapisać ten sam iloczyn przy pomocy potęg o wykładnikach zmniejszonych o jeden, które działają na tą samą funkcję kulistą z pewną stałą proporcjonalności:


(9.15)

Na podstawie obliczeń dokonywanych w punkcie (9.15) możemy zapisać je w postaci już zwiniętej:

(9.16)

Wyrażenie (9.12) na stałą N(lm) na podstawie wzoru (9.16), z którego skorzystamy, jest napisana przy pomocy stałej zależnej od liczb kwantowych, tzn. orbitalnej liczby kwantowej i magnetycznej liczby kwantowej:

(9.17)

W (9.17) skorzystaliśmy tu z własności ν=l-m, wtedy to wyrażenie możemy przepisać w postaci

(9.18)

Na podstawie (9.8) działania operatora l- na funkcję kulistą Ylm, korzystając ze wzoru na stałą N(lm)(9.18) możemy policzyć stałą proporcjonalności w nim występującą przy pomocy stałej wyznaczonej w punkcie N(lm) (9.18), które wykorzystamy do równania:

(9.19)

A następnie wyznaczmy wyrażenie występujące we wzorze na równanie własne operatora l-, czyli wedle równania (9.19), wyznaczając nową stałą, która w tym równaniu jest stałą proporcjonalności zależna od orbitalnej i magnetycznej liczby kwantowej:

(9.20)

A zatem ostatecznie wzór (9.19) możemy tak napisać, by wyliczyć w nim stałą proporcjonalności na podstawie obliczeń (9.20):

(9.21)

Podobnie otrzymamy, że tym razem dla operatora (6.57) i jego równania (9.7), co w nim będziemy określać stałą proporcjonalności przez N(lm):




(9.22)

Wyznaczmy stałą w wyrażeniu (9.22) przy pomocy definicji stałej N(lm), co jego definicją jest (9.18):

(9.23)

Równanie (9.22) na podstawie obliczeń stałej N(lm) wedle (9.23) przyjmuje pełną postać bez żadnych niewiadomych:

(9.24)

Współrzędne operatorów momentu pędu a funkcję kuliste[edytuj]

Współrzędne operatorów momentu pędu w zależności od operatorów (6.57)(), (6.58)() i (6.59)() można je w taki sposób zdefiniować, by operatory współrzędnych momentu pędu przy pomocy tych wspomnianych operatorów były:

(9.25)
(9.26)
(9.27)

Na podstawie wzorów operatorowych, tzn. (9.25)(), możemy tak zdefiniowany operator współrzędnej iksowej momentu pędu podziałać na funkcją kulistą i dostać wzór, który zapiszemy przy pomocy kombinacji funkcji kulistej o liczbach magnetycznych o powiększonej lub pomniejszonej o jeden przy pomocy definicji operatorów (9.21)() i (9.24)():

(9.28)

Na podstawie (9.26)() możemy zapisać działanie operatora momentu pędu igrekowego na funkcję kulistą i otrzymać kombinacją liniową funkcji kulistych powiększonych i pomniejszonych o jeden na kwantowych liczbach magnetycznych mając definicję (9.21)() i (9.24)():

(9.29)

Na podstawie (9.27)(), możemy tym operatorem podziałać na funkcję kulistą Ylm zdefiniowanych przy pomocy równania (9.9) na operator (), to równanie jest również równaniem własnym operatora momentu pędu współrzędnej zetowej o wartości własnej :

(9.30)

Następny rozdział: Postulat trzeci mechaniki kwantowej Poprzedni rozdział: Postulat drugi mechaniki kwantowej

Podręcznik: Mechanika kwantowa