Mechanika kwantowa/Wstęp do teorii promieniowania kwantów pola elektromagnetycznego

Wstęp do teorii promieniowania kwantów pola elektromagnetycznego

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Spis treści
1Całkowity moment pędu kwantu pola elektromagnetycznego a jego obroty 2Wyznaczenie macierzy spinowych kwantów pola elektromagnetycznego 3Wektory spinowe, równania własne dla całkowitego momentu pędu kwantu

W tym rozdziale zapoznamy się z podstawowymi własnościami dla operatorów symbolizujących kwanty pola elektromagnetycznego, wyprowadzimy macierze spinowe, podamy równanie własne współrzędnej zetowej i kwadratu całkowitego momentu pędu kwantów pola elektromagnetycznego.

Całkowity moment pędu kwantu pola elektromagnetycznego a jego obroty

Wiemy, że obroty są odpowiedzialne za zasadę zachowania momentu pędu. Jeśli znamy oś obrotu i jej kierunek, czyli znamy wektor ${\vec {n}}\;$, który właśnie za nie jest odpowiedzialny, przy czym zakładamy, że zwrot tego wektora jest do góry względem pewnej płaszczyzny i prostopadły do niego, w której następuje obrót, jeśli obrót jest przeciwny z kierunkiem ruchu zegara, zatem macierz obrotu przedstawia się:

$R({\vec {n}},\theta )=e^{-\theta {{{\vec {n}}{\hat {l}}} \over {\hbar }}}$

(33.1)

Wektor wodzący tuż po obrocie względem operatora obrotu zdefiniowaną w punkcie (33.1) względem starego wektora zapisujemy:

${\vec {r}}^{'}=R({\vec {n}},\theta ){\vec {r}}$

(33.2)

Można też napisać transformację odwrotną do (33.2) transformująca nowy wektor tuż po obrocie na stary wektor wodzący przed obrotem względem wektora ${\vec {n}}\;$:

${\vec {r}}=R^{-1}({\vec {n}},\theta ){\vec {r}}^{'}$

(33.3)

(Rys. 33.1) Pole wektorowe przed i po obrocie.

Transformacja funkcji falowej przedstawia się podobnie jak w przypadku współrzędnych wektora wodzącego (33.2), jeśli rozpatrujemy funkcje falowe w postaci wektora, to taką transformacje zapisujemy podobnie:

$\psi ^{'}(r^{'})=R({\vec {n}},\theta )\psi (r)$

(33.4)

Jeśli dodatkowo założymy, że kwant pola elektromagnetycznego posiada dodatkowy moment pędu i nazwijmy ją spinowym momentem pędu kwantu promieniowania, to operator transformacji w analogii do (33.1) jest:

${\hat {D}}^{(1)}=e^{-i\theta {{{\vec {n}}{\hat {S}}} \over {\hbar }}}$

(33.5)

• gdzie ${\hat {S}}$ - jest to macierz spinowa:

Całkowity operator obrotu jest operatorem iloczynu dwóch operatorów, tzn. (33.1) oraz (33.5):

${\hat {P}}={\hat {D}}^{(1)}{\hat {T}}=e^{-i\theta {{({\vec {n}}{\hat {S}})} \over {\hbar }}}e^{-i\theta {{{\vec {n}}{\hat {l}}} \over {\hbar }}}=e^{-i\theta {{{\vec {n}}({\hat {l}}+{\hat {S}})} \over {\hbar }}}$

(33.6)

Zatem otrzymaliśmy (33.6), czyli macierz obrotu sumy operatorów momentu pędu orbitalnego i operatora momentu pędu spinowego:

${\hat {P}}=e^{-i\theta {{{\vec {n}}\left({\hat {l}}+{\hat {S}}\right)} \over {\hbar }}}$

(33.7)

Nazwijmy całkowitym operatorem momentu pędu jako suma operatora orbitalnego momentu pędu i operatora momentu pędu spinowego kwantu promieniowania:

${\hat {j}}={\hat {l}}+{\hat {S}}$

(33.8)

Całkowita macierz obrotu (33.7), korzystając z definicji całkowitego momentu pędu kwantu (33.8), jest przedstawiona:

${\hat {P}}=e^{-i\theta {{{\vec {n}}{\hat {j}}} \over {\hbar }}}\;$

(33.9)

Rozpatrując wartości własne operatorów momentu pędu, to całkowity moment pędu kwantu promieniowania jest zapisany wedle wzoru:

${\vec {j}}={\vec {l}}+{\vec {S}}$

(33.10)

Wyznaczenie macierzy spinowych kwantów pola elektromagnetycznego

(Rys. 33.2) Zmiana δ stałego pola pola przy obrocie układu o kąt δθ

W macierzy transformacji operatora całkowitego momentu pędu kwantu promieniowania napisaną według (33.7), jeśli w nim dokonamy operacji $\theta \rightarrow \delta \theta$, i rozpatrując przy stałym polu wektorowym $\psi ({\vec {r}})=\operatorname {const} \;$, wtedy wynik działania operatora momentu pędu na tą funkcję jest równa zero (ten operator jest w coś rodzaju liczenia pochodnej względem pewnych zmiennych przestrzennych według definicji operatora momentu pędu) i pozostaje nam tylko operator zależny od operatora spinu (33.5), a więc funkcję ψ możemy rozłożyć w szereg Taylora jednej zmiennej pomijając wyższe wyrazy inne niż liniowe:

$\psi _{k^{'}}^{'}({\vec {r}})=\psi _{k^{'}}({\vec {r}})-\sum _{k}i\delta \theta {{{\vec {n}}({\hat {l}}+{\hat {S}})_{k^{'}k}} \over {\hbar }}\psi _{k}({\vec {r}})\Rightarrow \psi _{k^{'}}^{'}({\vec {r}})=\psi _{k^{'}}({\vec {r}})-\sum _{k}i\delta \theta {{1} \over {\hbar }}\underbrace {{\vec {n}}{\hat {l}}\psi _{k}({\vec {r}})} _{0}+\;$
$-\sum _{k}i\delta \theta {{{\vec {n}}{\hat {S}}_{k^{'}k}} \over {\hbar }}\psi _{k}({\vec {r}})$

(33.11)

Przy zastosowania operatora (33.5) dla infitezymalnego kąta obrotu przy transformacji wektorowej funkcji własnej jakiegoś równania własnego otrzymujemy to samo równanie, co (33.11) przy stałej tej funkcji:

$\delta \psi ^{'}({\vec {r}})_{k^{'}}=\psi _{k^{'}}^{'}({\vec {r}})-\psi _{k^{'}}({\vec {r}})=-\sum _{k}i\delta \theta {{{\vec {n}}{\hat {S}}_{k^{'}k}} \over {\hbar }}\psi _{k}({\vec {r}})$

(33.12)

Z drugiej jednak strony z rysunku obok możemy jednak zapisać przy pomocy wektora ${\vec {n}}\;$, wzdłuż której następuje obrót o kierunku odwrotnym względem wskazówek zegara, jeśli zwrot tego wektora jest nad zegarem:

$\delta \psi =-(\psi \times {\vec {n}})\delta \theta$

(33.13)

Ponieważ wzory (33.12) i (33.13) przedstawiają to samo, dla tej samej współrzędnej wektora falowego, ale dla stałego pola wektorowego, przyrównujemy obie strony tychże równań do siebie:

$-\sum _{k}i\delta \theta {{{\vec {n}}{\hat {S}}_{k^{'}k}} \over {\hbar }}\psi _{k}({\vec {r}})=-(\psi \times {\vec {n}})_{k^{'}}\delta \theta \Rightarrow \left(\sum _{k}i{{{\vec {n}}{\hat {S}}_{k^{'}k}} \over {\hbar }}\psi _{k}({\vec {r}})\right)\delta \theta =(\psi \times {\vec {n}})_{k^{'}}\delta \theta$

(33.14)

I ostatecznie w ostatnim równaniu (33.14) dokonajmy operacji wymnożenia obustronnego przez stałą kreśloną Plancka, wtedy otrzymamy tożsamość, którą później wykorzystamy dla ściśle określonych $k^{'}\;$:

$i\sum _{k}{{{\vec {n}}{\hat {S}}_{k^{'}k}} \over {\hbar }}\psi _{k}=\left(\psi \times {\vec {n}}\right)_{k^{'}}\Rightarrow i\sum _{k}({\vec {n}}{\hat {S}}_{k^{'}k})\psi _{k}=\hbar \left(\psi \times {\vec {n}}\right)_{k^{'}}$

(33.15)

Rozpatrujemy równanie (33.15) dla parametru k' równej jeden k'=1:

$i\left[n_{x}(S_{x})_{11}+n_{y}(S_{y})_{11}+n_{z}(S_{z})_{11}\right]\psi _{1}+i\left[n_{x}(S_{x})_{12}+n_{y}(S_{y})_{12}+n_{z}(S_{z})_{12}\right]\psi _{2}+i\left[n_{x}(S_{x})_{13}+n_{y}(S_{y})_{13}+n_{z}(S_{z})_{13}\right]\psi _{3}=\;$
$=\hbar (\psi _{2}n_{z}-\psi _{3}n_{y})\;$

(33.16)

Porównując obie strony tożsamości (33.16) dochodzimy do wniosku, że odpowiednie współrzędne operatora spinu kwantu promieniowania, a właściwie jej niektóre elementy można policzyć z pierwszego z trzech równań, które będziemy rozważać:

${\begin{cases}(S_{x})_{11}=(S_{y})_{11}=(S_{z})_{11}=0\\i[n_{x}(S_{x})_{12}+n_{y}(S_{y})_{12}+n_{z}(S_{z})_{12}]=\hbar n_{z}\\i[n_{x}(S_{x})_{13}+n_{z}(S_{y})_{13}+n_{z}(S_{z})_{13}]=-\hbar n_{y}\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}(S_{x})_{12}=(S_{y})_{12}=0\\(S_{z})_{12}=-i\hbar \\(S_{x})_{13}=(S_{z})_{13}=0\\(S_{y})_{13}=i\hbar \end{cases}}\;$

(33.17)

Gdy rozpatrzymy równanie (33.15) dla parametru k'=2, wtedy niektóre elementy macierzy współrzędnych operatora spinu można policzyć z drugiego z trzech równań, wtedy:

$i\left[n_{x}(S_{x})_{21}+n_{y}(S_{y})_{21}+n_{z}(S_{z})_{21}\right]\psi _{1}+i\left[n_{x}(S_{x})_{22}+n_{y}(S_{y})_{22}+n_{z}(S_{z})_{22}\right]\psi _{2}+i\left[n_{x}(S_{x})_{23}+n_{y}(S_{y})_{23}+n_{z}(S_{z})_{23}\right]\psi _{3}=\;$
$=\hbar [\psi _{3}n_{x}-\psi _{1}n_{z}]\;$

(33.18)

Porównując obie strony tożsamości (33.18), to dochodzimy do wniosku:

${\begin{cases}i\left[n_{x}(S_{x})_{21}+n_{y}(S_{y})_{21}+n_{z}(S_{z})_{21}\right]=-n_{z}\\(S_{x})_{22}=(S_{y})_{22}=(S_{z})_{22}=0\\i\left[n_{x}(S_{x})_{23}+n_{y}(S_{y})_{23}+n_{z}(S_{z})_{23}\right]=\hbar n_{x}\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}(S_{x})_{21}=(S_{y})_{21}=0\\(S_{y})_{23}=(S_{z})_{23}=0\\(S_{z})_{21}=i\hbar \\(S_{x})_{23}=-i\hbar \end{cases}}\;$

(33.19)

Gdy rozpatrzymy równanie (33.15) dla parametru k'=3, wtedy niektóre elementy macierzy współrzędnych operatora spinu można policzyć z trzeciego z trzech równań, które będziemy rozważać:

$i\left[n_{x}(S_{x})_{31}+n_{y}(S_{y})_{31}+n_{z}(S_{z})_{31}\right]\psi _{1}+i\left[n_{x}(S_{x})_{32}+n_{y}(S_{y})_{32}+n_{z}(S_{z})_{32}\right]\psi _{2}+i\left[n_{x}(S_{x})_{33}+n_{y}(S_{y})_{33}+n_{z}(S_{z})_{33}\right]\psi _{3}=\;$
$=\hbar [\psi _{1}n_{y}-\psi _{2}n_{x}]$

(33.20)

Porównując obie strony tożsamości (33.20), dochodzimy więc do wniosku:

${\begin{cases}i\left[n_{x}(S_{x})_{31}+n_{y}(S_{y})_{31}+n_{z}(S_{z})_{31}\right]=\hbar n_{y}\\i\left[n_{x}(S_{x})_{32}+n_{y}(S_{y})_{32}+n_{z}(S_{z})_{32}\right]=-\hbar n_{x}\\(S_{x})_{33}=(S_{y})_{33}=(S_{z})_{33}=0\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}(S_{x})_{31}=(S_{z})_{31}=0\\(S_{y})_{32}=(S_{z})_{32}=0\\(S_{y})_{31}=-i\hbar \\(S_{x})_{32}=i\hbar \end{cases}}\;$

(33.21)

Następnie wyznaczmy współrzędne operatora spinowe ${\hat {S}}$ na podstawie obliczeń dokonanych w punktach (33.17), (33.19) i (33.21):

${\hat {S}}_{x}=\hbar {\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}\;$

(33.22)

${\hat {S}}_{y}=\hbar {\begin{pmatrix}0&0&i\\0&0&0\\-i&0&0\end{pmatrix}}\;$

(33.23)

${\hat {S}}_{z}=\hbar {\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

(33.24)

Związki między współrzędnymi macierzy spinowych, które później udowodnimy, przedstawiamy podobnie jak dla zwykłych orbitalnych operatorów momentu pędu:

$[{\hat {S}}_{x},{\hat {S}}_{y}]=i\hbar {\hat {S}}_{z}\;$

(33.25)

$[{\hat {S}}_{y},{\hat {S}}_{z}]=i\hbar {\hat {S}}_{x}\;$

(33.26)

$[{\hat {S}}_{z},{\hat {S}}_{x}]=i\hbar {\hat {S}}_{y}$

(33.27)

Udowodnijmy komutator (33.25) na współrzędnych operatora momentu pędu spinowego:

$[{\hat {S}}_{x},{\hat {S}}_{y}]={\hat {S}}_{x}{\hat {S}}_{y}-{\hat {S}}_{y}{\hat {S}}_{x}=\hbar ^{2}{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&i\\0&0&0\\-i&0&0\end{pmatrix}}-\hbar ^{2}{\begin{pmatrix}0&0&i\\0&0&0\\-i&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}=\;$
$=\hbar ^{2}{\begin{pmatrix}0&0&0&\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}-\hbar ^{2}{\begin{pmatrix}0&-1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}=\hbar ^{2}{\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}=i\hbar ^{2}{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}=i\hbar {\hat {S}}_{z}$

(33.28)

Następnie komutator (33.26) na współrzędnych operatora momentu pędu spinowego:

$[{\hat {S}}_{y},{\hat {S}}_{z}]={\hat {S}}_{y}{\hat {S}}_{z}-{\hat {S}}_{z}{\hat {S}}_{y}=\hbar ^{2}{\begin{pmatrix}0&0&i\\0&0&0\\-i&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}-\hbar ^{2}{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&i\\0&0&0\\-i&0&0\end{pmatrix}}=\;$
$=\hbar ^{2}{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&-1&0\end{pmatrix}}-\hbar ^{2}{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&0&0\end{pmatrix}}=\hbar ^{2}{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}}=i\hbar ^{2}{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&0&i\end{pmatrix}}=i\hbar {\hat {S}}_{x}$

(33.29)

I ostatecznie udowodnijmy komutator (33.27) na współrzędnych operatora momentu pędu spinowego:

$[{\hat {S}}_{z},{\hat {S}}_{x}]={\hat {S}}_{z}{\hat {S}}_{x}-{\hat {S}}_{x}{\hat {S}}_{z}=\hbar ^{2}{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}-\hbar ^{2}{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}=\;$
$=\hbar ^{2}{\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&-1&0\end{pmatrix}}=\hbar ^{2}{\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}=i\hbar ^{2}{\begin{pmatrix}0&0&i\\0&0&0\\0&-i&0\end{pmatrix}}=i\hbar {\hat {S}}_{y}$

(33.30)

Komutatory (33.25), (33.26) i (33.27) można ogólnie zapisać tak jak w przypadku operatorów momentu pędu orbitalnego (7.13) według schematu:

$[{\hat {S}}_{i},{\hat {S}}_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}{\hat {S}}_{k}$

(33.31)

Teraz policzmy kwadrat macierzy operatora spinowego, który jak wiadomo jest sumą kwadratów współrzędnych operatora momentu pędu spinowego zdefiniowanych wedle (33.22)(${\hat {S}}_{x}\;$), (33.23)(${\hat {S}}_{y}\;$) i (33.24)(${\hat {S}}_{z}\;$):

${\hat {S}}^{2}={\hat {S}}_{x}^{2}+{\hat {S}}_{y}^{2}+{\hat {S}}_{z}^{2}=\hbar ^{2}{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}^{2}+\hbar ^{2}{\begin{pmatrix}0&0&i\\0&0&0\\-i&0&0\end{pmatrix}}^{2}+\hbar ^{2}{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}^{2}=$
$=\hbar ^{2}\left[{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&i\\0&0&0\\-i&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&i\\0&0&0\\-i&0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\right]=\;$
$=\hbar ^{2}{\Bigg [}{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}{\Bigg ]}=\hbar ^{2}{\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}}=2\hbar ^{2}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}=2\hbar ^{2}E_{3x3}$

Również dobrze możemy napisać na podstawie ostatnich obliczeń:

${\hat {S}}^{2}=\hbar ^{2}S(S+1)E_{3x3}$

(33.32)

• gdzie $S=1\;$, która jest liczbą kwantową spinowego operatora momentu pędu.

Wyznaczmy wartości własne operatora zetowego macierzy spinowej:

$0=\operatorname {det} \left[\hbar {\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}-\lambda {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\right]={\begin{vmatrix}-\lambda &-\hbar i&0\\\hbar i&-\lambda &0\\0&0&-\lambda \end{vmatrix}}=-\lambda {\begin{vmatrix}-\lambda &-i\hbar \\i\hbar &-\lambda \end{vmatrix}}=\;$
$=-\lambda \left(\lambda ^{2}-\hbar ^{2}\right)=-\lambda (\lambda -\hbar )(\lambda +\hbar )\Rightarrow \lambda =-\hbar \vee \lambda =0\vee \lambda =\hbar \;$

(33.33)

ze względu na obliczenia (33.33) i tożsamości (33.32) dochodzimy do wniosku, że trzecia składowa spinu dla kwantu spełnia podobny warunek jak dla trzeciej składowej (zetowej) momentu pędu względem liczby kwantowej charakteryzującej wartości własne momentu pędu, czyli:

$\lambda =m_{S}\hbar =-\hbar ,0,\hbar \Rightarrow m_{S}=-1,0,1\;$

(33.34)

Liczba kwantowa kwadratu całkowitego momentu pędu jest równa S=1, a magnetyczna spinowa liczba magnetyczna jest liczbą mieszczącą się pomiędzy liczbami S=-1 i S=1, i ta liczba zmienia się co jeden, tak jak według przepisu (33.34), podobnie jest dla magnetycznej orbitalnej liczby kwantowej poprzez liczbę kwantową orbitalnego kwadratu momentu pędu (8.83).

Wektory spinowe, równania własne dla całkowitego momentu pędu kwantu

Prowadźmy trójwymiarową przestrzeń spinową, którymi wektorami bazy w układzie kartezjańskim będą formalnie zapisane wektory spinowe χ, które jak można udowodnić są do siebie ortonormalne i są to kanoniczne wersory w rozważanej bazie:

${\vec {\chi }}_{x}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$

(33.35)

${\vec {\chi }}_{y}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}$

(33.36)

${\vec {\chi }}_{z}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

(33.37)

Wprowadźmy nowe wektory spinowe tensora rangi drugiej zdefiniowane przy pomocy (33.35), (33.36), a ich definicje są takie by ich norma była równa jeden, należy przy tym pamiętać, że te wektory spinowe rangi drugiej nie muszą być wcale do siebie prostopadłe, w przypadku pierwszym spinor o numerze jeden:

${\vec {\chi }}_{1}=-{\sqrt {{1} \over {2}}}\left({\vec {\chi }}_{x}+i{\vec {\chi }}_{y}\right)=-{\sqrt {{1} \over {2}}}\left({\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+i{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\right)={\sqrt {{1} \over {2}}}{\begin{pmatrix}-1\\-i\\0\end{pmatrix}}$

(33.38)

Spinor o numerze zero piszemy bezpośrednio przy pomocy wektora ortonormalnego (33.37):

${\vec {\chi }}_{0}={\vec {\chi }}_{z}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

(33.39)

i ostatecznie przy tych samych spinorach co (33.38), ale inaczej zdefiniowane przy oznaczeniu równym minus jeden:

${\vec {\chi }}_{-1}={\sqrt {{1} \over {2}}}\left({\vec {\chi }}_{x}-i{\vec {\chi }}_{y}\right)={\sqrt {{1} \over {2}}}\left({\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}-i{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\right)={\sqrt {{1} \over {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-i\\0\end{pmatrix}}$

(33.40)

Zbudujmy operator spinowy ze znakiem plus, który jest sumą operatora spinowego iksowego (33.22) i igrekowanego (33.23), pomnożonej przez jednostkę urojoną, całość podzielona przez stałą kreśloną Plancka:

${\hat {S}}_{+}={{1} \over {\hbar }}\left({\hat {S}}_{x}+i{\hat {S}}_{y}\right)={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}+i{\begin{pmatrix}0&0&i\\0&0&0\\-i&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&0&-i\\1&i&0\end{pmatrix}}$

(33.41)

Dalej zbudujmy operator spinowy ze znakiem minus, który jest różnicą operatora spinowego iksowego (33.22) i igrekowanego (33.23), pomnożonej przez jednostkę urojoną, całość podzielona przez stałą kreśloną Plancka:

${\hat {S}}_{-}={{1} \over {\hbar }}\left({\hat {S}}_{x}-i{\hat {S}}_{y}\right)={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}-i{\begin{pmatrix}0&0&i\\0&0&0\\-i&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&-i\\-1&i&0\end{pmatrix}}$

(33.42)

Ostatecznie zbudujmy operator spinowy ze znakiem zero, który jest zetowym operatorem spinowym (33.24) podzielonej przez stałą Plancka.

${\hat {S}}_{0}={{1} \over {\hbar }}{\hat {S}}_{z}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

(33.43)

Również można udowodnić, że zachodzą związki na wektorach spinowych drugiego rzędu na macierzach spinowych (33.41), (33.42) i (33.43)

${\hat {S}}_{+}{\vec {\chi }}_{k}={\sqrt {(S-k)(S+k+1)}}{\vec {\chi }}_{k+1}$

(33.44)

${\hat {S}}_{-}{\vec {\chi }}_{k}={\sqrt {(S+k)(S-k+1)}}{\vec {\chi }}_{k-1}$

(33.45)

${\hat {S}}_{0}{\vec {\chi }}_{k}=k{\vec {\chi }}_{k}$

(33.46)

• gdzie $S=1\;$, zaś $k=+1,0,-1\;$

Udowodnijmy zależności (33.44), (33.45) i (33.46) dla trzech możliwych k i jednego S:

${\hat {S}}_{+}{\vec {\chi }}_{-1}={\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&0&-i\\1&i&0\end{pmatrix}}{\sqrt {{1} \over {2}}}{\begin{pmatrix}-1\\-i\\0\end{pmatrix}}={\sqrt {{1} \over {2}}}{\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}}={\sqrt {2}}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\sqrt {(1-(-1))(1+(-1))}}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$
${\hat {S}}_{+}{\vec {\chi }}_{0}={\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&0&-i\\1&i&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1\\-i\\0\end{pmatrix}}={\sqrt {(1-0)(1+0+1)}}{\sqrt {{1} \over {2}}}{\begin{pmatrix}-1\\-i\\0\end{pmatrix}}$

${\hat {S}}_{-}{\vec {\chi }}_{1}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&-i\\-1&i&0\end{pmatrix}}{\sqrt {{1} \over {2}}}{\begin{pmatrix}-1\\-i\\0\end{pmatrix}}={\sqrt {{1} \over {2}}}{\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}}={\sqrt {2}}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\sqrt {(1+1)(1-1+1)}}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

${\hat {S}}_{-}{\vec {\chi }}_{0}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&-i\\-1&i&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\-i\\0\end{pmatrix}}={\sqrt {(1+0)(1-0+1)}}{\sqrt {{1} \over {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-i\\0\end{pmatrix}}$

${\hat {S}}_{0}{\vec {\chi }}_{-1}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}{\sqrt {{1} \over {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-i\\0\end{pmatrix}}={\sqrt {{1} \over {2}}}{\begin{pmatrix}-1\\i\\0\end{pmatrix}}=-{\sqrt {{1} \over {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-i\\0\end{pmatrix}}$

${\hat {S}}_{0}{\vec {\chi }}_{0}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}=0{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

${\hat {S}}_{0}{\vec {\chi }}_{1}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}{\sqrt {{1} \over {2}}}{\begin{pmatrix}-1\\-i\\0\end{pmatrix}}={\sqrt {{1} \over {2}}}{\begin{pmatrix}-1\\-i\\0\end{pmatrix}}=1\cdot {\sqrt {{1} \over {2}}}{\begin{pmatrix}-1\\-i\\0\end{pmatrix}}$

Wiadomo, że jeśli zachodzi:${\hat {l}}_{z}Y_{lm}=m\hbar Y_{lm}$, to powinno również zachodzić inne równanie własne, ale wynikającego ze wspomnianego równania:

${\hat {j}}_{z}({\hat {l}}Y_{lm})=m\hbar ({\hat {l}}Y_{lm})$

(33.47)

A teraz przejdźmy do dowodu ostatniego stwierdzenia wykorzystując przy tym, że całkowity operator momentu pędu promieniowania elektromagnetycznego jest wyrażony wzorem (33.10), to operator całkowitego momentu pędu wyraża się bardzo podobnym wzorem, zatem wspomniany ostatnio wzór można udowodnić wedle przekształceń:

${\hat {j}}_{z}({\hat {l}}Y_{lm})=({\hat {l}}_{z}+{\hat {S}}_{z}){\begin{pmatrix}{\hat {l}}_{x}Y_{lm}\\{\hat {l}}_{y}Y_{lm}\\{\hat {l}}_{z}Y_{lm}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\hat {l}}_{z}{\hat {l}}_{x}Y_{lm}\\{\hat {l}}_{z}{\hat {l}}_{y}Y_{lm}\\{\hat {l}}_{z}{\hat {l}}_{z}Y_{lm}\end{pmatrix}}+\hbar {\begin{pmatrix}0&-1&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\hat {l}}_{x}Y_{lm}\\{\hat {l}}_{y}Y_{lm}\\{\hat {l}}_{z}Y_{lm}\end{pmatrix}}=$
$={\begin{pmatrix}{\hat {l}}_{x}{\hat {l}}_{z}Y_{lm}+i\hbar {\hat {l}}_{y}Y_{lm}\\{\hat {l}}_{y}{\hat {l}}_{z}Y_{lm}-i\hbar {\hat {l}}_{x}Y_{lm}\\{\hat {l}}_{y}{\hat {l}}_{z}Y_{lm}+0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-i\hbar {\hat {l}}_{y}Y_{lm}\\i\hbar {\hat {l}}_{x}Y_{lm}\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\hat {l}}_{x}{\hat {l}}_{z}Y_{lm}\\{\hat {l}}_{y}{\hat {l}}_{z}Y_{lm}\\{\hat {l}}_{y}{\hat {l}}_{z}Y_{lm}\end{pmatrix}}=m\hbar {\begin{pmatrix}{\hat {l}}_{x}Y_{lm}\\{\hat {l}}_{y}Y_{lm}\\{\hat {l}}_{z}Y_{lm}\end{pmatrix}}=m\hbar ({\hat {l}}Y_{lm})$

(33.48)

• gdzie $m$ jest to wartość własna operatora ${\hat {l}}_{z}$, a zarazem operatora ${\hat {j}}_{z}\;$

Jeśli zachodzi warunek ${\hat {l}}^{2}Y_{lm}=l(l+1)Y_{lm}$, to można udowodnić:

${\hat {j}}^{2}({\hat {l}}Y_{jm})=j(j+1)({\hat {l}}Y_{jm})$

(33.49)

a zarazem zachodzi j=l, co później udowodnimy intuicyjnie. Aby udowodnić równanie własne (33.49), musimy wiedzieć, że: $[{\hat {l}},{\hat {S}}]=0$, co jest trywialnym dowodem, ze względu, że współrzędne operatora momentu pędu spinowego są macierzami, współrzędne operatora momentu pędu orbitalnego są operatorami, coś w rodzaju różniczkowania, dlatego te operatory są przemienne, zatem przejdźmy do głównego nurtu dowodu wykorzystując przy tym, że operator całkowitego momentu pędu promieniowania elektromagnetycznego jest wyrażony wzorem (33.10):

${\hat {j}}^{2}({\hat {l}}Y_{lm})=({\hat {l}}+{\hat {S}})^{2}({\hat {l}}Y_{lm})={\hat {l}}^{2}({\hat {l}}Y_{lm})+{\hat {S}}^{2}({\hat {l}}Y_{lm})+2{\hat {l}}{\hat {S}}({\hat {l}}Y_{lm})=(l(l+1)\hbar ^{2}+S(S+1)\hbar ^{2})({\hat {l}}Y_{lm})+2{\hat {l}}{\hat {S}}({\hat {l}}Y_{lm})$

(33.50)

Obliczmy wyrażenie pomocnicze: ${\hat {l}}{\hat {S}}({\hat {l}}Y_{jm})$, występujące w dowodzie (33.50), by dalej przeprowadzić ten nas powyższy dowód:

${\hat {l}}{\hat {S}}({\hat {l}}Y_{lm})=\left({\hat {l}}_{x}{\hat {S}}_{x}+{\hat {l}}_{y}{\hat {S}}_{y}+{\hat {l}}_{z}{\hat {S}}_{z}\right)({\hat {l}}Y_{lm})=\hbar \left[{\hat {l}}_{x}{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}+{\hat {l}}_{y}{\begin{pmatrix}0&0&i\\0&0&0\\-i&0&0\end{pmatrix}}+{\hat {l}}_{z}{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\right]({\hat {l}}Y_{lm})=$
$=\hbar {\begin{pmatrix}0&-i{\hat {l}}_{z}&i{\hat {l}}_{y}\\i{\hat {l}}_{z}&0&-i{\hat {l}}_{x}\\-i{\hat {l}}_{y}&i{\hat {l}}_{x}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\hat {l}}_{x}\\{\hat {l}}_{y}\\{\hat {l}}_{z}\\\end{pmatrix}}Y_{lm}=\hbar {\begin{pmatrix}i({\hat {l}}_{y}{\hat {l}}_{z}-{\hat {l}}_{z}{\hat {l}}_{z})\\i({\hat {l}}_{z}{\hat {l}}_{x}-{\hat {l}}_{x}{\hat {l}}_{z})\\i({\hat {l}}_{x}{\hat {l}}_{y}-{\hat {l}}_{y}{\hat {l}}_{x})\end{pmatrix}}Y_{lm}=i\hbar ^{2}{\begin{pmatrix}i{\hat {l}}_{x}\\i{\hat {l}}_{y}\\i{\hat {l}}_{z}\end{pmatrix}}Y_{lm}=-\hbar ^{2}{\hat {l}}Y_{lm}$

(33.51)

Teraz powróćmy do dowodu (33.50) na wartość własną całkowitego momentu pędu promieniowania elektromagnetycznego, korzystając przy tym z obliczeń pomocniczych (33.51):

${\hat {j}}^{2}({\hat {l}}Y_{lm})=(l(l+1)+S(S+1)-2)\hbar ^{2}({\hat {l}}Y_{lm})=(l(l+1)+2-2)\hbar ^{2}({\hat {l}}Y_{lm})=l(l+1)\hbar ^{2}({\hat {l}}Y_{lm})$

(33.52)

Z definicji wartość własna kwadratu momentu pędu całkowitego przyjmuje się jako $j(j+1)\hbar ^{2}\;$, a momentu pędu orbitalnego $l(l+1)\hbar ^{2}\;$. Dochodzimy do wniosku, że w obliczeniach (33.52) musimy przyjąć j=l, ponieważ przy składaniu orbitalnego momentu pędu ze spinem, którego liczba kwantowa jest w trzech postaciach, że j=l-1,l,l+1, ale pole elektromagnetyczne wybiera jedną z nich, tzn. j=l i dlatego musimy napisać dla (33.47) i (33.52) w postaci równań własnych:

${\hat {j}}_{z}({\hat {l}}Y_{jm})=m\hbar ({\hat {l}}Y_{jm})\;$

(33.53)

${\hat {j}}^{2}({\hat {l}}Y_{jm})=j(j+1)\hbar ^{2}({\hat {l}}Y_{jm})\;$

(33.54)