Mechanika kwantowa/Symetria cechowania transformacji ładunkowej

Symetria cechowania transformacji ładunkowej

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Spis treści
1Globalna symetria cechowania czyli obrót o kąt niezależny od położenia 2Lokalna symetria cechowania czyli obrót o kąt zależny od położenia 3Maxwellowskie pole elektromagnetyczne, a lokalna symetria cechowania 4Lagrangian Diraca, a lokalna symetria cechowania z polem elektromagnetycznym

Globalna symetria cechowania czyli obrót o kąt niezależny od położenia

Operator obrotu w mechanice kwantowej przyjmuje według (24.27) postać:

$R(\theta )=e^{-i\theta {{l_{z}} \over {\hbar }}}\;$

(30.1)

Określmy pole ψ_m(x), co należy powiedzieć, że są one funkcjami własnymi operatora momentu pędu dla współrzędnej zetowej, a zatem wiedząc jakie są wartości własne operatora momentu pędu współrzędnej zetowej wedle (8.43) dla równania własnego tegoż operatora, tzn. (8.35):

$\psi _{m}^{T}(x)=e^{-i\theta {{l_{z}} \over {\hbar }}}\psi _{m}(x)=e^{-i\theta m}\psi _{m}(x)\;$

(30.2)

Wykorzystując wzory na transformację pola skalarnego poprzez cechowanie, które wykorzystamy poniżej, ale tym razem dla cechowania ładunku poprzez transformację funkcji falowej, napiszmy transformacie przy pomocy wartości własnej pewnego operatora, który naszą wartość własną tego operatora wyrazimy w jednostkach ładunku elementarnego e, tzn. wartość własną ${{q} \over {e}}\;$, a więc:

$\psi ^{T}(x)=e^{-i\theta {{q} \over {e}}}\psi (x)\;$

(30.3)

Wiemy, że ta transformacja nie zmienia gęstości prawdopodobieństwa znalezienia cząstki, która jest kwadratem modułu funkcji falowej co można udowodnić, że ta gęstość przed i po przetransformowaniu jest taka sama:

$|\psi ^{T}|^{2}=(\psi ^{T})^{+}\psi =\psi ^{+}e^{i\theta {{q} \over {e}}}e^{-i\theta {{q} \over {c}}}=\psi ^{+}\psi =|\psi |^{2}\;$

(30.4)

Nie zmienia się również kwadrat pochodnej pola ψ, tzn. jeśli mamy tą wielkość zdefiniowaną wedle:

$\partial _{\mu }(\psi ^{T})=\partial _{\mu }(e^{i\theta {{q} \over {e}}}\psi )=e^{i\theta {{q} \over {e}}}\partial _{\mu }\psi \;$

(30.5)

zatem kwadrat modułu pochodnej pola, jak można udowodnić, jest wielkością niezmienniczą:

$\left(\partial _{\mu }\psi ^{T}\right)^{+}\left(\partial _{\mu }\psi ^{T}\right)=\left(e^{-i\theta {{q} \over {e}}}\right)^{+}\partial _{\mu }\psi ^{+}e^{-i\theta {{q} \over {e}}}\partial _{\mu }\psi ={e^{i\theta {{q} \over {e}}}}e^{-i\theta {{q} \over {e}}}(\partial _{\mu }\psi )^{+}(\partial _{\mu }\psi )=(\partial _{\mu }\psi )^{+}(\partial _{\mu }\psi )\;$

(30.6)

Jeśli Lagrangian zależy kwadratowo od funkcji i ich pochodnych, to on jest niezmienniczy ze względu na transformację ładunkową, tzn. jeśli gęstość lagrangianu jest zdefiniowana:

${\mathfrak {L}}={\mathfrak {L}}\left\{\psi ^{T}\psi ,(\partial _{\mu }\psi )^{+}(\partial _{\mu }\psi )\right\}\;$

(30.7)

Oznaczenie globalnej symetrii ładunkowej, której to w transformacji występuje wielkość θ, która nie zależy od położenia cząstki, dla której dokonujemy transformacji unitarnej. Lokalna transformacja cechowania nazywamy transformację, której wielkość θ zależy od położenia, w której znajduje się dana kwantowa cząstka.

$\psi _{q}^{T}(x)=e^{-i\theta (x){{q} \over {e}}}\psi _{q}(x)\;$

(30.8)

Lokalna symetria cechowania czyli obrót o kąt zależny od położenia

Z definicji transformacji cechowania, kąt obrotu zależy od x, czyli od położenia danej cząstki, dla której dokonujemy transformacji, gdzie x oznacza tensor kontrawariantny położenia w czasoprzestrzeni x^μ=(t,x_k). Wiemy, że ψ^T(x)ψ(x) zachowuje się przy transformacji cechowania, czyli gęstość prawdopodobieństwa jest wielkością niezmienniczą, natomiast iloczyn pochodnych już nie, bo zachodzi według dowodu, że kwadrat modułu pochodnych cząstkowych funkcji przetransformowanych i nie zachowuje się podczas tej transformacji:

$[\partial _{\mu }\psi (x)]^{T}=\partial _{\mu }[e^{-i{{q} \over {e}}\theta (x)}\psi (x)]=e^{-i{{q} \over {e}}\theta (x)}\partial _{\mu }\psi (x)-i{{q} \over {e}}e^{-i{{q} \over {e}}\theta (x)}[\partial _{\mu }\theta (x)]\psi (x)\;$

(30.9)

Co wynika tak jak powyżej powiedziano, że tych iloczyn pochodnych przetransformowanych i nie nie jest niezmienniczy. W tym celu wprowadza się pochodną kowariantną D_μ, zdefiniowany poprzez pochodną cząstkową zdefiniowaną w zwykły sposób, kowariantny tensor potencjału elektromagnetycznego i ładunku cząstki, zatem tą pochodną definiujemy:

$D_{\mu }=\partial _{\mu }+i{{q} \over {\hbar }}A_{\mu }\;$

(30.10)

• q to ładunek cząstki.
• $A_{\mu }\;$ to tensor potencjału elektromagnetycznego.

Gdy podziałamy operatorem D_μ na funkcję ψ(x), to otrzymamy tak jak w transformacji globalnej przy dodatkowych manipulacjach funkcjami i operatorami.

$[D_{\mu }\psi (x)]^{T}=D_{\mu }^{T}\psi ^{T}(x)=(\partial _{\mu }+i{{q} \over {e}}A_{\mu }^{T})e^{-i{{q} \over {\hbar }}\theta (x)}\psi (x)=e^{-i{{q} \over {e}}\theta (x)}(\partial _{\mu }-i{{q} \over {e}}\partial _{\mu }\theta (x)+i{{q} \over {\hbar }}A_{\mu }^{T})\psi (x)\;$

(30.11)

Możemy nałożyć dodatkowy warunek w (30.11) wiążący przetransformowany tensor potencjału elektromagnetycznego z tensorem potencjału elektromagnetycznego i pochodną o wskaźniku μ kąta obrotu θ(x) zależącego od położenia danej cząstki:

$A_{\mu }^{T}(x)=A_{\mu }+{{\hbar } \over {e}}\partial _{\mu }\theta (x)\;$

(30.12)

W równości (30.11) przy podstawieniu do niego tożsamości (30.12) i na ostatku wykorzystując (30.10) (definicję pochodnej kowariantnej), transformacja pochodnej kowariantnej pewnej funkcji falowej jest równa transformacji pochodnej kowariantnej tej samej funkcji:

$[D_{\mu }\psi (x)]^{T}=e^{-i{{q} \over {\hbar }}\theta (x)}\left[\partial _{\mu }-i{{q} \over {e}}\partial _{\mu }\theta (x)+i{{q} \over {\hbar }}\left(A_{\mu }+{{\hbar } \over {e}}\partial _{\mu }\theta (x)\right)\right]\psi (x)=e^{-i{{q} \over {\hbar }}\theta (x)}\left[\partial _{\mu }-i{{q} \over {e}}\partial _{\mu }\theta (x)+i{{q} \over {\hbar }}A_{\mu }+i{{q} \over {e}}\partial _{\mu }\theta (x)\right]\cdot \;$
$\cdot \psi (x)=e^{-i{{q} \over {e}}\theta (x)}\left(\partial _{\mu }+i{{q} \over {\hbar }}A_{\mu }\right)\psi (x)=e^{-i{{q} \over {e}}\theta (x)}D_{\mu }\psi (x)\;$

(30.13)

Maxwellowskie pole elektromagnetyczne, a lokalna symetria cechowania

W tym rozdziale zajmować się będziemy tensorem pola magnetycznego, udowodnimy, że on jest niezmienniczy ze względu na lokalną symetrię cechowania, w elektrodynamice klasycznej ten tensor jest zdefiniowany wedle wzoru:

$F_{\mu \nu }=\partial _{\nu }A_{\mu }-\partial _{\mu }A_{\nu }\;$

(30.14)

We wzorze na tensor pola elektromagnetycznego (30.14) będziemy zastępować wszystkie pochodne cząstkowe pochodnymi kowariantnymi, ten ostatni wzór przechodzi w równanie:

$F_{\mu \nu }=D_{\nu }A_{\mu }-D_{\mu }A_{\nu }\;$

(30.15)

Udowodnijmy, że oba sformułowania tensora elektromagnetycznego w elektrodynamice klasycznej, tzn.(30.14) (przez pochodne cząstkowe) i (30.15) (przez pochodne kowariantne) są ze sobą równoważne, wychodząc najpierw od równania (30.15) na ten tensor:

$F_{\mu \nu }=D_{\nu }A_{\mu }-D_{\mu }A_{\nu }=\left(\partial _{\nu }+i{{q} \over {\hbar }}A_{\nu }\right)A_{\mu }-\left(\partial _{\mu }+i{{q} \over {\hbar }}A_{\mu }\right)A_{\nu }=\partial _{\nu }A_{\mu }-\partial _{\mu }A_{\nu }+i{{q} \over {\hbar }}A_{\nu }A_{\mu }-i{{q} \over {\hbar }}A_{\mu }A_{\nu }=\partial _{\nu }A_{\mu }-\partial _{\mu }A_{\nu }\;$

(30.16)

Dostaliśmy, że oba sformułowania na tensor elektromagnetyczny są równoważne, tzn. (30.14) oznacza to samo co (30.15).

Napiszmy lokalną ładunkową transformację cechowania ładunku elektrycznego tensora elektromagnetycznego zdefiniowaną według (30.15), wiedząc, że zachodzi własność (30.13):

$(F_{\mu \nu })^{T}=D_{\nu }^{T}A_{\mu }^{T}-D_{\mu }^{T}A_{\nu }^{T}=e^{-i{{q} \over {\hbar }}\varphi (x)}\left[D_{\nu }A_{\mu }-D_{\mu }A_{\nu }\right]=e^{-i{{q} \over {\hbar }}\varphi (x)}F_{\mu \nu }\;$

(30.17)

Cechowanie Loretza tuż po cechowaniu ładunkowej transformacji, gdy występujące w nim pola są przetransformowane wedle transformacji cechowania ładunkowego, jest wyrysowana:

$\nabla {\vec {A}}^{T}+{{1} \over {c^{2}}}{{\partial \varphi ^{T}} \over {\partial t}}=0\;$

(30.18)

Także wiemy, że tensor potencjału wektorowego w elektrodynamice klasycznej spełnia warunek, który tuż po rozłożeniu jego na potencjał skalarny elektryczny i wektorowy pola elektromagnetycznego, jest on o wyglądzie:

$A^{\mu }=\left({{\varphi } \over {c}},{\vec {A}}\right)\Rightarrow A_{\mu }=A^{\nu }\eta _{\nu \mu }=\left({{\varphi } \over {c}},-{\vec {A}}\right)$

(30.19)

Wychodząc z (30.12) przy tensorze potencjału elektromagnetycznego (30.19) dla górnych i dolnych wskaźników, mamy:

$\varphi ^{T}=\varphi +{{\hbar } \over {e}}{{\partial \theta (x)} \over {\partial t}}\;$

(30.20)

${\vec {A}}^{T}={\vec {A}}-{{\hbar } \over {e}}\nabla \theta \;$

(30.21)

Podstawiamy równania (30.20) (transformacja potencjału elektrycznego) i (30.21) (transformacja potencjału wektorowego magnetycznego) do wzoru na transformację Lorentza (30.18), w której występują pola po dokonaniu na nich transformacji cechowania ładunkowego, otrzymujemy:

$\nabla \left({\vec {A}}-{{\hbar } \over {e}}\nabla \theta \right)+{{1} \over {c^{2}}}{{\partial \left(\varphi +{{\hbar } \over {e}}{{\partial \theta (x)} \over {\partial t}}\right)} \over {\partial t}}=0\Rightarrow \nabla {\vec {A}}+{{1} \over {c^{2}}}{{\partial \varphi } \over {\partial t}}-{{\hbar } \over {e}}\left(\nabla ^{2}\theta -{{1} \over {c^{2}}}{{\partial ^{2}\theta } \over {\partial t^{2}}}\right)=0$

(30.22)

Cechowanie Lorentza przed dokonaniem na niej operacji cechowania przyjmuje postać:

$\nabla {\vec {A}}+{{1} \over {c^{2}}}{{\partial } \over {\partial t}}\varphi =0$

(30.23)

Wtedy otrzymujemy, że lokalne cechowanie na podstawie obliczeń (30.22) i cecowania Lorentza (30.23) spełnia warunek:

$\nabla ^{2}\theta -{{1} \over {c^{2}}}{{\partial ^{2}\theta } \over {\partial t^{2}}}=0\;$

(30.24)

Otrzymaliśmy odpowiedź na podstawione pytanie, jeśli potencjały $\varphi \;$ i ${\vec {A}}\;$ spełniają warunek Lorentza, a cechowanie θ(x) spełnia warunek (30.24), to istnieje klasa potencjałów (30.12) spełniający cechowanie Lorentza.

Lagrangian Diraca, a lokalna symetria cechowania z polem elektromagnetycznym

Gęstość Lagrangianu dla pola Diraca zapisujemy według wzoru (29.43). Jeśli ${\mathfrak {L}}\;$ jest niezmienniczy ze względu na lokalną symetrię cechowania, to korzystając z cechowania transformacji ładunkowej (30.10) musimy zastąpić według schematu pochodne cząstkowe pochodnymi kowariantnymi zdefiniowaną poprzez tensor pochodnej i tensor potencjału pola elektromagnetycznego:

$\partial _{\mu }\rightarrow D_{\mu }=\partial _{\mu }+i{{q} \over {\hbar }}A_{\mu }\;$

(30.25)

gdzie:

• $q\;$ to ładunek cząstki.
• $A_{\mu }\;$ to tensor potencjału elektromagnetycznego.

A zatem nasz Lagrangian wcześniej wspomniany, po dokonaniu operacji napisaną wzorem według schematu (30.25), przyjmuje postać:

${\mathfrak {L}}={\overline {\psi }}\left[i\hbar c\left({\overset {\leftrightarrow }{\not {\partial }}}+i{{q} \over {\hbar }}\not {A}_{\mu }\right)-m_{0}c^{2}\right]\psi \;$

(30.26)

Po rozwinięciu (30.26), dostajemy ostatecznie bardziej skomplikowane wyrażenie, ale równoważne poprzedniemu, korzystając przy tym z definicji pochodnej obustronnej (29.44):

${\mathfrak {L}}={{i\hbar c} \over {2}}\gamma ^{\mu }(\partial _{\mu }\psi ){\overline {\psi }}-{{i\hbar c} \over {2}}\gamma ^{\mu }(\partial _{\mu }{\overline {\psi }})\psi -cq\gamma ^{\mu }A_{\mu }{\overline {\psi }}\psi -m_{0}c^{2}{\overline {\psi }}\psi \;$

(30.27)

Następnie obliczmy określone pochodne wyrażenia rozwiniętego Lagrangianu (30.27) potrzebne do wzoru (29.23), który jest jakoby twierdzeniem Eulera-Lagrange'a, tzn. wyznaczymy pierwszy i drugi wyraz występujący w ostatnio wspomnianym twierdzeniu.

$\partial _{\mu }\left({{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial (\partial _{\mu }{\overline {\psi }})}}\right)=-{{i\hbar c} \over {2}}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi \;$

(30.28)

${{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {\overline {\psi }}}}={{i\hbar c} \over {2}}\gamma ^{\mu }(\partial _{\mu }\psi )-cq\gamma ^{\mu }A_{\mu }\psi -m_{0}c^{2}\psi \;$

(30.29)

Po wstawianiu naszych pochodnych do równania Eulegra-Lagrange'a (29.23):

$(i\hbar c\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m_{0}c^{2})\psi -cq\gamma ^{\mu }A_{\mu }\psi =0\;$

(30.30)

Wykorzystując definicję kontrawariantnego tensora gamma (γ^μ) (29.36) i definicję tensora potencjału elektromagnetycznego (30.19), który jest wektorem (n+1)-wymiarowym potencjału elektromagnetycznego składającej się z potencjału skalarnego (zerowa współrzędna) i wektorowego w elekromagnetyzmie (dalsze $n\;$ współrzędnych po zerowej), dostajemy pewne równanie różniczkowe, z której będziemy dalej je przekształcać:

$i\hbar c\beta {{\partial } \over {\partial ct}}\psi +i\hbar c\beta \alpha \nabla \psi -m_{0}c^{2}\psi -q\beta \varphi \psi +cq\beta \alpha {\vec {A}}\psi =0\;$

(30.31)

Ostatnie równanie mnożymy lewostronnie przez operator ${\hat {\beta }}\;$, którego kwadrat jest równy jeden (bo (26.10)), zatem dostajemy:

$i\hbar {{\partial \psi } \over {\partial t}}+i\hbar c\alpha \nabla \psi -m_{0}c^{2}\beta \psi -q\varphi \psi +cq\alpha {\vec {A}}\psi =0\Rightarrow i\hbar {{\partial \psi } \over {\partial t}}=-i\hbar c\alpha \nabla \psi +m_{0}c^{2}\beta \psi +\varphi \psi -cq\alpha {\vec {A}}\psi \;$

(30.32)

Grupując wyrazy w odpowiedni w sposób w (30.32), w ten sposób by otrzymać równanie zależne od czasu Diraca.

$i\hbar {{\partial \psi } \over {\partial t}}=[c\alpha ({\hat {p}}-q{\vec {A}})+m_{0}c^{2}\beta ]\psi +q\varphi \psi \Rightarrow i\hbar {{\partial \psi } \over {\partial t}}=\left[\alpha ({\hat {p}}-q{\vec {A}})+m_{0}c^{2}\beta +q\varphi \right]\psi \;$

(30.33)

A zatem otrzymaliśmy w ostatnim równaniu własnym równanie Diraca (26.81) z hamiltonianem zdefiniowaną w sposób:

${\hat {H}}=\alpha ({\hat {p}}-q{\vec {A}})+m_{0}c^{2}\beta +q\varphi \;$

(30.34)

Wnioskujemy, że z równania Diraca dla cząstki swobodnej można otrzymać równanie dla cząstki w polu elektromagnetycznej, zastępując według zasady (25.9) i (25.10), zatem gęstość Lagrangianu (30.26) jest poprawnym Lagragianem, które mieliśmy na wejściu od hamiltonianu opisującego stan swobodny, a na wyjściu mamy hamiltonian opisujący stany ogólnie nieswobodne.