Mechanika kwantowa/Funkcje Greena w teorii kwantów

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Mechanika kwantowa
Mechanika kwantowa
Funkcje Greena w teorii kwantów

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: zegarek(myślnik)odmierza(myślnik)czas(małpa)wp(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Tutaj zapoznamy się z zastosowaniem funkcji Greena w celu wyliczenia funkcji falowej rządzącej danym problemem fizycznym, w tym celu należy przed wyznaczeniem wyznaczyć funkcję Greena. Tutaj rozważamy problem Schrödingera i Klieina-Gordona.

Funkcje Greena dla hamiltonianu Schrödingera[edytuj]

Rozważmy równanie własne operatora energii całkowitej dla przestrzeni trójwymiarowej, w której występuje kwadrat operatora ∇ ten operator mnożenia energii potencjalnej oraz funkcja i wartość własna operatora całkowitej energii całkowitej, piszemy przez równanie:

(29.1)

Pomnóżmy równanie własne (29.1) przez stałą, będącą kombinacją stałych fizycznych , aby stało się ono prostsze w dalszych obliczeniach, można napisać:

(29.2)

Połóżmy występujące w równaniu (29.2) na funkcję i wartość własną E definicję pewnych stałych, w taki sposób, by nasze końcowe równanie nie zależało od masy cząstki i od stałych fizycznych, których definicję tych stałych podamy poniżej:

(29.3)
(29.4)

Na podstawie (29.3) (definicja stałej E) i (29.4) (definicja ), wzór (29.2) przybiera inną równoważną postać:

(29.5)

Widzimy, że wyrażenie (29.5) spełnia kryteria, które na nią wcześniej nałożyliśmy w postaci pewnych znaczeń. W równaniu (29.5) przenieśmy wyraz po prawej stronie na lewą, a drugi wyraz z lewej strony na jej prawą, otrzymujemy:

(29.6)

Porównując równanie (29.6) z (MMF-20.1), otrzymujemy wzory na dwie tożsamości:

(29.7)
(29.8)

Według mechaniki kwantowej i rachunku zaburzeń całkowita funkcja własna operatora energii jest równa sumie funkcji własnej stanu niezaburzonego (to jest funkcja własna operatora energii kinetycznej) i stanu zaburzonego i zapisujemy ją w sposób:

(29.9)

Jeśli zaburzenie jest małe, to w niektórych przypadkach możemy zapisać:

(29.10)

Mamy sobie równanie (29.6), które możemy porównać ze wzorem (MMF-20.1), stąd dochodzimy do wniosku (29.7), wykorzystując przy tym fakt, że funkcja własna operatora energii jest (8.118), wiedząc, że w nim zachodzi przybliżenie (29.10), wtedy możemy napisać funkcję (29.9), która zależy od funkcji Greena:

(29.11)

Wyznaczmy funkcję Greena występującego w równaniu (29.11) według jego definicji (MMF-20.4) i delty Diraca w przestrzeni jednowymiarowej (MMF-14.39), w której będziemy mogli napisać operator (29.8) dla przestrzeni trójwymiarowej, także wymnażać będziemy funkcję Diraca dotyczące każdej współrzędnej względem siebie, by otrzymać:


(29.12)

Następnym krokiem jest wyznaczenie funkcji Greena (29.12) w postaci zwartej, wpierw wyznaczmy całkę, ale przedtem załóżmy, że różnica wektorów leży na osi rzędnych OY:





(29.13)

Całkowanie po linii prostej na osi rzeczywistej możemy zastąpić całkowaniem po półkręgu o środku w punkcie (0,0) wraz z odcinkiem łączących dwa końcowe punkty tego półokręgu w płaszczyźnie zespolonej, to całka na półokręgu dąży do zera, a całka na odcinku (-R,R) na osi rzeczywistej do linii prostej dla R→∞ ,a to z kolei dąży do (29.13), ale najpierw napiszmy zamiast k liczbę zespoloną , zatem jeśli , to R→∞, wtedy możemy przecałkować po półokręgu dla ε skończonego, ale nierównego zero, zobaczymy co nam wyjdzie dalej:


(29.14)

Aby policzyć powyższą całkę należy skorzystać z symetrii funkcji sinus na przedziale , gdzie funkcja y=sin x jest zawsze większa niż prosta , zatem zachodzi:, zatem przedział całkowania w (29.14) należy ograniczyć do omawianego przedziału, a wynik pomnożyć przez dwa, zatem:


(29.15)

Całka (29.14), na podstawie obliczeń (29.15), jest równa:


(29.16)

Punkty na półkregu leżą nieskończenie daleko od jej środka, zatem , bo , zatem wyznaczmy granice i zobaczymy co wyjdzie:

(29.17)

bo jest skończone i równe jeden w podwyrażeniu (29.17):

Całka na półokręgu (29.16) dąży do zera na podstawie (29.17), bo jak powiedzeliśmy wcześniej dla omawianego półokręgu , wtedy całkowanie po półokręgu dąży do zera, zatem nasz wynik dla R nieskończonego leży na odcinku , dochodzimy więc do wniosku, że całkowanie dokonujemy po pewnym konturze, tzn. po półokręgu dla wraz z odcinkiem łączący oba punkty naszego półokręgu, ale z twierdzenia z analizy matematycznej, całkowanie nie zależy od konturu wokół pewnego punktu osobliwości po jakim całkujemy, zatem całkowanie możemy ograniczyć po okręgu o promieniu ρ dążących do zera wokół omawianego punktu osobliwowego. W całce (29.13) dokonajmy podstawienia , co stąd po zróżniczkowaniu tego wyrażenia otrzymujemy , wykorzystując te podstawienia do całki (29.13) oraz wykorzystując, że funkcja podcałkowa w omawianej całce ma osobliwości w punktach . Gdy ε>0, to do wewnątrz półokręgu należy oczywiście punkt , a drugi nie należy, ale gdy natomiast ε<0, to do wewnątrz półokręgu należy drugi punkt , a pierwszy nie należy. Wykorzystując, że całka nie zależy od konturu po jakim jest całkowanie zawierający jakiś punkt osobliwy, co udowodniliśmy, że zawiera dokładnie jeden punkt w zależności od znaku , więc możemy przyjąć, że ten promień okręgu, po którym całkować będziemy, dąży do zera, wokół określonego punktu osobliwego, wtedy zmienna k dąży do jednego z nich.


(29.18)

Otrzymaliśmy według obliczeń (29.18), że funkcja Greena ma dwie postacie zapisane w postaci ogólnej:

(29.19)

Funkcję Greena (29.19) można wstawić do równania (29.11), w ten sposób można obliczyć funkcję własne równania własnego operatora energii według kwantowej mechaniki klasycznej Schrödingera.

Funkcja Greena a zmodyfikowane pole Kleina-Gordona[edytuj]

Gęstość Lagrangianu (27.24) uzupełnijmy o dodatkowy wyraz wprowadzając źródło nowych fal, wtedy go napiszemy:

(29.20)

Powyższe wyrażenie możemy podstawić do równania Eulera-Lagrange'a (27.23), w tym celu pochodne (27.26) i (27.27) są takie same dla (27.24) jak dla (29.20) tylko jedyna różnica jest dla pochodnej (27.28), który tutaj wynosi:

(29.21)

Obliczone pochodne wstawiamy do równania Eulera-Lagrange'a dostając równanie ruchu:

(29.22)

Możemy wykorzystać definicję delambercjanu w (29.22), wtedy rozważane równanie różniczkowe jest bardzo podobne do równania Kleina-Gordona (27.31), bo w tym równaniu zachodzi , a w naszym przypadku ten wyraz jest różny od zera, zapisujemy w formie:

(29.23)

Równanie (29.23) jest bardzo podobne do równania operatorowego (29.1), gdzie definicja operatora i funkcji jest zarysowana:

(29.24)
(29.25)

Zatem równanie na funkcję Greena według równości (MMF-20.5), którego definicja dla naszego przypadku przestawiamy wzorem:

(29.26)

Aby policzyć bezpośrednio funkcję Greena należy wykorzystać równanie (MMF-20.4) oraz całkę na funkcję Diraca dla przestrzeni czerowymiarowej:


(29.27)

W powyższym oznaczeniu funkcji Greena przyjęto:. Jeśli już mamy policzoną funkcję Greena (29.27) oraz wyznaczone równania różniczkowego niejednorodne (29.23) dla J=0, to całkowite rozwiązanie równania różniczkowego jest wedle (MMF-20.7).