Mechanika kwantowa/Wyprowadzenie operatora hamiltonianu relatywistycznej teorii kwantów Diraca

Wyprowadzenie operatora hamiltonianu relatywistycznej teorii kwantów Diraca

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Przedstawmy równania mechaniki kwantowej relatywistycznej Diraca. Poniższy wywód ma na celu wprowadzenie równań mechaniki kwantowej relatywistycznych Diraca. Głównym zarzutem do relatywistycznych równań Kleina-Gordona w postaci zależnej i niezależnej od czasu polegał na zakwestionowaniu postaci kwadratowej równań relatywistycznej mechaniki kwantowej:

${\hat {H}}^{2}\psi =E^{2}\psi$

(26.1)

$(i\hbar )^{2}{{\partial ^{2}\psi } \over {\partial t^{2}}}={\hat {H}}^{2}\psi$

(26.2)

A zamiast równań (26.1) (równania niezależnego od czasu) i (26.2) (równania zależnego od czasu) należy włożyć natomiast równania, w których operator całkowitej energii cząstki jest w potędzie pierwszej:

${\hat {H}}\psi =E\psi$

(26.3)

${\hat {H}}\psi =i\hbar {{\partial \psi } \over {\partial t}}$

(26.4)

Chcemy napisać równanie kwantowe relatywistyczne w analogii do równania (25.1), wychodząc z wyrażenia na energię relatywistyczną cząstki, znana w szczególnej teorii względności jako związek energii relatywistycznej związaną z jej wartością pędu i masą spoczynkową cząstki (antycząstki), wiedząc jednocześnie, że antycząstki mają masę relatywistyczną ujemną w stosunku do cząstek, które mają dodatnią, mające ten sam pęd, co wynika z warunku linearyzacji hamiltonianu, a więc energia cząstki (z plusem) lub antycząstki (z minusem):

$E=\pm {\sqrt {c^{2}p^{2}+m_{0}^{2}c^{4}}}$

(26.5)

Linearyzacja Hamiltonianu

Będziemy tutaj przeprowadzać linearyzację operatora energii relatywistycznej bez uwzględnienia pola magnetycznego i z uwzględnieniem pola magnetycznego.

Linearyzacja operatora energii relatywistycznej bez uwzględnienia pola magnetycznego

Zastępując w (26.5) kwadrat wektora pędu przez kwadrat operatora pędu, wtedy możemy określić operator Hamiltonianu:

${\hat {H}}=\pm {\sqrt {c^{2}{\hat {p}}^{2}+m_{0}^{2}c^{4}}}$

(26.6)

Dokonajmy linearyzacji Hamiltonianu (26.6) zastępując przez inny zmodyfikowany operator energii, który posiada takie same wartości i funkcje własne jak operator poprzedni:

${\hat {H}}=c{\hat {\alpha }}{\hat {p}}+m_{0}c^{2}{\hat {\beta }}$

(26.7)

Wartości własne i funkcje własne operatora hamiltonianu (26.7) są takie same jak dla (26.6), zaraz to wyjaśnimy. Równania własne hamiltonianów (26.6) i (26.7) są w pewnej postaci, a jeżeli podziałamy obie strony operatorem energii pierwszego równania na obie strony pierwszego równania, podobnie z drugim równaniem, to otrzymamy równania własne kwadratu operatorów hamiltonianów. Stąd wartości własne i funkcje własne dla operatorów (26.6) i (26.7) są takie same, bo zakładamy, że kwadraty tychże operatorów są sobie równe.

Podnosimy wzory operatorowe (26.6) i (26.7) do kwadratu, to wtedy oba operatory po tej czynności są sobie równe, wtedy możemy otrzymać pewne związki operatorowe na operatorach ${\hat {\alpha }}\;$ i ${\hat {\beta }}\;$, a także z operatorami pędu, po zrobieniu tej operacji otrzymujemy tożsamość operatorową:

$c^{2}{\hat {p}}^{2}+m_{0}^{2}c^{4}=c^{2}(\alpha {\hat {p}})^{2}+m_{0}^{2}c^{4}{\hat {\beta }}^{2}+m_{0}c^{3}({\hat {\alpha }}{\hat {p}}){\hat {\beta }}+m_{0}c^{3}{\hat {\beta }}({\hat {\alpha }}{\hat {p}})$

(26.8)

Ponieważ prawa i lewa strona tożsamości (26.8) oznacza to samo wyrażenie operatorowe, więc możemy je porównać, by otrzymać jakie związki operatorowe zachodzą, zatem porównujemy prawą i lewą stronę prawdziwej tożsamości wspomnianej tożsamości, ostatecznie otrzymujemy:

${\hat {p}}^{2}=({\hat {\alpha }}{\hat {p}})^{2}$

(26.9)

$1={\hat {\beta }}^{2}$

(26.10)

$0=(\alpha {\hat {p}}){\hat {\beta }}+{\hat {\beta }}({\hat {\alpha }}{\hat {p}})$

(26.11)

Równanie operatorowe (26.9) możemy rozpisać, wykonując po prawej jego stronie pod potęgowanie, rozpisując coś w rodzaju iloczynu skalarnego, ale to wyrażenie nim nie jest, w postaci kwadratu sumy iloczynów odpowiednich współrzędnych operatora ${\hat {\alpha }}\;$ i odpowiednich operatorów pędu:

${\hat {p}}^{2}={\hat {p}}_{x}^{2}+{\hat {p}}_{y}^{2}+{\hat {p}}_{z}^{2}=({\hat {\alpha }}_{x}{\hat {p}}_{x}+{\hat {\alpha }}_{y}{\hat {p}}_{y}+{\hat {\alpha }}_{z}{\hat {p}}_{z})^{2}$

(26.12)

Wykonujemy działania związane z podnoszeniem do drugiej potęgi prawej strony tożsamości (26.12) i wykonując je na operatorach:

${\hat {p}}^{2}={\hat {p}}_{x}^{2}+{\hat {p}}_{y}^{2}+{\hat {p}}_{z}^{2}={\hat {\alpha }}_{x}^{2}{\hat {p}}_{x}^{2}+{\hat {\alpha }}_{y}^{2}{\hat {p}}_{y}^{2}+{\hat {\alpha }}_{z}^{2}{\hat {p}}_{z}^{2}+\alpha _{x}\alpha _{y}p_{x}p_{y}+\alpha _{y}\alpha _{x}{\hat {p}}_{y}{\hat {p}}_{x}+{\hat {\alpha }}_{x}{\hat {\alpha }}_{z}{\hat {p}}_{x}{\hat {p}}_{y}+{\hat {\alpha }}_{z}{\hat {\alpha }}_{x}{\hat {p}}_{y}{\hat {p}}_{z}+{\hat {\alpha }}_{y}{\hat {\alpha }}_{z}{\hat {p}}_{y}{\hat {p}}_{z}+{\hat {\alpha }}_{z}{\hat {\alpha }}_{y}{\hat {p}}_{z}{\hat {p}}_{y}$

(26.13)

Po dalszych przekształceniach (26.13), korzystając z definicji antykomutatorów grupując odpowiednie wyrazy występujące w nim:

${\hat {p}}^{2}={\hat {p}}_{x}^{2}+{\hat {p}}_{y}^{2}+{\hat {p}}_{z}^{2}={\hat {\alpha }}_{x}^{2}{\hat {p}}_{x}^{2}+{\hat {\alpha }}_{y}^{2}{\hat {p}}_{y}^{2}+{\hat {\alpha }}_{z}^{2}{\hat {p}}_{z}^{2}+\{\alpha _{x},\alpha _{y}\}{\hat {p}}_{x}{\hat {p}}_{y}+\{{\hat {\alpha }}_{x},{\hat {\alpha }}_{z}\}{\hat {p}}_{x}{\hat {p}}_{y}+\{{\hat {\alpha }}_{y},{\hat {\alpha }}_{z}\}{\hat {p}}_{y}{\hat {p}}_{x}$

(26.14)

Porównujemy lewą i prawą stronę tożsamości operatorowej (26.14), otrzymujemy, że kwadrat współrzędnych operatora ${\hat {\alpha }}\;$ jest równy jedynce, czyli:

$\alpha _{x}^{2}=\alpha _{y}^{2}=\alpha _{z}^{2}=1$

(26.15)

a także wychodzą definicję antykomutatorów napisanych za pomocą współrzędnych operatora ${\hat {\alpha }}\;$:

$\{\alpha _{x},\alpha _{y}\}=0\;$

(26.16)

$\{\alpha _{y},\alpha _{z}\}=0\;$

(26.17)

$\{\alpha _{x},\alpha _{z}\}=0\;$

(26.18)

Lub ogólnie można zapisać wykorzystując (26.15), a także działania na antykomutatorach (26.16), (26.17) oraz (26.18), wykorzystując te wszystkie wymienione związki, możemy zapisać ogólną tożsamość operatorową:

$\{\alpha _{i},\alpha _{j}\}=2\delta _{ij}\;$

(26.19)

Natomiast wiemy, że zachodzi (26.10), oraz wiemy, że operatory współrzędnych pędu ${\hat {p}}_{i}$ i operator ${\hat {\beta }}$ komutują ze sobą. zatem możemy dojść do wniosku:

$\{\alpha {\hat {p}},{\hat {\beta }}\}=0\Rightarrow \{\alpha _{i},{\hat {\beta }}\}=0{\mbox{ i=x,y,z}}$

(26.20)

Z tożsamości (26.10) możemy dojść do wniosku, że to równanie możemy zapisać w postaci operatorowej, którego pokrótce udowodnimy:

$({\hat {\beta }}-1)({\hat {\beta }}+1)=0\;$

(26.21)

A oto dowód tożsamości (26.21), gdy zachodzi (26.10), udowodnimy, że te równości oznaczają to samo:

$(\beta -1)(\beta +1)={\hat {\beta }}^{2}+\beta -\beta -1=0$

(26.22)

Na podstawie obliczeń (26.22) wychodząc z (26.21) dochodzimy do tożsamości operatorowej (26.10). Co oznacza, że wartościami własnymi operatora ${\hat {\beta }}$ według równości operatorowej (26.21) są jego wartości własne w postaci liczb 1 oraz -1. Również operatory ${\hat {\alpha }}_{i}$, dla których zachodzi (26.15), podobnie jak przy ${\hat {\beta }}\;$ posiadają one wartości własne równe 1 lub -1, bowiem można je zapisać w postaci podobnej do (26.21), tylko zamiast operatora ${\hat {\beta }}\;$ występują odpowiednie współrzędne operatora ${\hat {\alpha }}\;$, zatem każda taka współrzędna tego operatora ma takie same wartości własne.

Linearyzacja operatora energii relatywistycznej z uwzględnieniem pola magnetycznego

Napiszmy wzór na energię relatywistyczną zastępując pęd klasyczny w (26.5) przez różnicę pędu uogólnionego i iloczynu ładunku elektrycznego i potencjału magnetycznego, wtedy:

$E_{r}=\pm {\sqrt {c^{2}({\vec {p}}-q{\vec {A}})^{2}+m_{0}^{2}c^{4}}}\;$

(26.23)

Zastępując w (26.23) wektora pędu uogólnionego przez operatora pędu, wtedy możemy określić operator energii relatywistycznej cząstki:

${\hat {E}}_{r}=\pm {\sqrt {c^{2}({\hat {p}}-q{\vec {A}})^{2}+m_{0}^{2}c^{4}}}\;$

(26.24)

Dokonajmy linearyzacji Hamiltonianu (26.24) zastępując go przez zmodyfikowaną wersję tego operatora posiadającego takie same wartości i funkcje własne:

${\hat {E}}_{r}=c{\hat {\alpha }}({\hat {p}}-q{\vec {A}})+m_{0}c^{2}{\hat {\beta }}^{'}\;$

(26.25)

Wartości własne i funkcje własne operatora hamiltonianu (26.25) są takie same jak dla (26.24), zaraz to wyjaśnimy. Równania własne operatorów energii relatywistycznej (26.24) i (26.25) są w postaci ${\hat {E}}_{r}\psi =E_{r}\psi \;$, a jeżeli podziałamy obie strony operatorem ${\hat {E}}_{r}\;$ tych równań własnych, to otrzymamy równania własne kwadratów operatora energii relatywistycznych, które są takie same, bo kwadrat operatora (26.24) jest równy kwadratowi operatora (26.25) jak zakładamy. Stąd wartości własne i funkcje własne dla operatorów (26.24) i (26.25) są takie same. Przyrównujemy kwadrat operatora (26.24) z (26.25), by otrzymać pewne związki operatorowe na operatorach ${\hat {\alpha }}\;$ i ${\hat {\beta }}^{'}\;$, a także operatorze pędu, po zrobieniu tej operacji otrzymujemy tożsamość operatorową:

$c^{2}({\hat {p}}-q{\vec {A}})^{2}+m_{0}^{2}c^{4}=c{\hat {\alpha }}({\hat {p}}-q{\vec {A}})c{\hat {\alpha }}({\hat {p}}-q{\vec {A}})+m_{0}^{2}c^{4}{\hat {\beta }}^{'2}+m_{0}c^{2}c{\hat {\alpha }}({\hat {p}}-q{\vec {A}}){\hat {\beta }}^{'}+m_{0}c^{2}{\hat {\beta }}^{'}c{\hat {\alpha }}({\hat {p}}-q{\vec {A}})\;$

(26.26)

Dokonajmy dalszych obliczeń na wyrażeniu operatorowym w tożsamości operatorowej (26.26):

$c{\hat {\alpha }}({\hat {p}}-q{\vec {A}})c{\hat {\alpha }}({\hat {p}}-q{\vec {A}})+m_{0}^{2}c^{4}{\hat {\beta }}^{'2}+m_{0}c^{2}c{\hat {\alpha }}({\hat {p}}-q{\vec {A}}){\hat {\beta }}^{'}+m_{0}c^{2}{\hat {\beta }}^{'}c{\hat {\alpha }}({\hat {p}}-q{\vec {A}})=\;$
$=c{\hat {\alpha }}({\hat {p}}-q{\vec {A}})c{\hat {\alpha }}({\hat {p}}-q{\vec {A}})+m_{0}^{2}c^{4}{\hat {\beta }}^{'2}+\left[m_{0}c^{3}\left({\hat {\alpha }}{\hat {\beta }}^{'}+{\hat {\beta }}^{'}{\hat {\alpha }}\right)\left({\hat {p}}-q{\vec {A}}\right)\right]+m_{0}c^{3}{\hat {\alpha }}({\hat {p}}{\hat {\beta }}^{'})\;$

(26.27)

Definicja operatorów σ_i

Niech będą zdefiniowane nowe operatory ${\hat {\sigma }}\;$, który ma odpowiednie trzy współrzędne, które zapisujemy za pomocą współrzędnych operatora ${\hat {\alpha }}\;$:

${\hat {\sigma }}_{x}=-i{\hat {\alpha }}_{y}{\hat {\alpha }}_{z}$

(26.28)

${\hat {\sigma }}_{y}=-i{\hat {\alpha }}_{z}{\hat {\alpha }}_{x}$

(26.29)

${\hat {\sigma }}_{z}=-i{\hat {\alpha }}_{x}{\hat {\alpha }}_{y}$

(26.30)

Przedstawienie w postaci wektorowej operatorów σ_i w zależności od iloczynu wektorowego dwóch takich samych wektorów α zbudowanej jako wektor operatorów α_i

Wyznaczmy czemu jest równy operator ${\hat {\sigma }}\;$ przy pomocy operatora ${\hat {\alpha }}\;$, dowiemy się, że on jest równy iloczynowi wektorowemu dwóch takich samych operatorów ${\hat {\alpha }}\;$ wiedząc jednocześnie, że współrzędne omawianego operatora są współrzędnymi nieprzemiennymi, Jeśli definicję ${\hat {\sigma }}\;$ przedstawimy jako:

${\hat {\sigma }}=-{{i} \over {2}}{\vec {e}}_{s}\epsilon _{sjk}\alpha _{j}\alpha _{k}=-{{i} \over {2}}{\hat {\alpha }}\times {\hat {\alpha }}\;$

(26.31)

to jego współrzędne naszego operatora przedstawimy wedle:

${\hat {\sigma }}=-{{i} \over {2}}{\begin{bmatrix}{\hat {\alpha }}_{y}{\hat {\alpha }}_{z}-{\hat {\alpha }}_{z}{\hat {\alpha }}_{y}\\{\hat {\alpha }}_{z}{\hat {\alpha }}_{x}-{\hat {\alpha }}_{x}{\hat {\alpha }}_{z}\\{\hat {\alpha }}_{x}{\hat {\alpha }}_{y}-{\hat {\alpha }}_{y}{\hat {\alpha }}_{x}\end{bmatrix}}=-{{i} \over {2}}{\begin{bmatrix}2{\hat {\alpha }}_{y}{\hat {\alpha }}_{z}\\2{\hat {\alpha }}_{z}{\hat {\alpha }}_{x}\\2{\hat {\alpha }}_{x}{\hat {\alpha }}_{y}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-i{\hat {\alpha }}_{y}{\hat {\alpha }}_{z}\\-i{\hat {\alpha }}_{z}{\hat {\alpha }}_{x}\\-i{\hat {\alpha }}_{x}{\hat {\alpha }}_{y}\end{bmatrix}}\;$

(26.32)

Macierzowe przedstawienie operatorów β, α_x, α_y i α_z

Napiszmy wzór na operator ${\hat {\beta }}\;$ w zależności od macierzy jednostkowej $I\;$:

${\hat {\beta }}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}={\begin{bmatrix}I&0\\0&-I\end{bmatrix}}$

(26.33)

Oraz napiszmy operatory ${\hat {\alpha }}$, a właściwie jego współrzędne, które przedstawiamy w postaci trzech składowych wiedząc, że zachodzi (15.58) ($\sigma _{x}\;$), (15.59) ($\sigma _{y}\;$) i (15.60) ($\sigma _{z}\;$):

${\hat {\alpha }}_{x}={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}}=\;$
$={\begin{bmatrix}0&\sigma _{x}\\\sigma _{x}&0\end{bmatrix}}$

(26.34)

${\hat {\alpha }}_{y}={\begin{pmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&-i&0&0\\i&0&0&0\end{pmatrix}}=\;$
$={\begin{bmatrix}0&\sigma _{y}\\\sigma _{y}&0\end{bmatrix}}$

(26.35)

${\hat {\alpha }}_{z}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{pmatrix}}=\;$
$={\begin{bmatrix}0&\sigma _{z}\\\sigma _{z}&0\end{bmatrix}}$

(26.36)

Na podstawie (26.34), (26.35) i (26.36) możemy napisać ogólną postać na operator ${\hat {\alpha }}_{i}\;$:

${\hat {\alpha }}_{i}={\begin{bmatrix}0&\sigma _{i}\\\sigma _{i}&0\end{bmatrix}}$

(26.37)

Macierzowe przedstawienie operatorów σ_x, σ_y i σ_z

Mając definicje odpowiednich współrzędnych operatora ${\hat {\alpha }}\;$ wyprowadzimy operatory ${\hat {\sigma }}\;$, które zdefiniowaliśmy w (26.28), (26.29) i (26.30). Wyprowadzając najpierw operator ${\hat {\sigma }}_{x}\;$ z pierwszego wspomnianego wzoru wiedząc, że zachodzi (15.58) ($\sigma _{x}\;$):

${\hat {\sigma }}_{x}=-i{\begin{pmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&-i&0&0\\i&0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}={\begin{bmatrix}\sigma _{x}&0\\0&\sigma _{x}\end{bmatrix}}$

(26.38)

Policzmy ${\hat {\sigma }}_{y}\;$ ze wzoru (26.29) znając definicję współrzędnych operatora ${\hat {\alpha }}\;$ iksowej i zetowej wiedząc, że zachodzi (15.59) ($\sigma _{y}\;$):

${\hat {\sigma }}_{y}=-i{\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-i&0&0\\i&0&0&0\\0&0&0&-i\\0&0&i&0\end{pmatrix}}={\begin{bmatrix}\sigma _{y}&0\\0&\sigma _{y}\end{bmatrix}}$

(26.39)

Wyznaczmy ${\hat {\sigma }}_{z}\;$ ze wzoru (26.30) znając definicję współrzędnych operatora ${\hat {\alpha }}\;$ iksową i igrekową, można powiedzieć wiedząc, że zachodzi (15.60) ($\sigma _{z}\;$):

${\hat {\sigma }}_{z}=-i{\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&-i&0&0\\i&0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}={\begin{bmatrix}\sigma _{z}&0\\0&\sigma _{z}\end{bmatrix}}$

(26.40)

Na podstawie (26.38), (26.39) i (26.40) możemy napisać również ogólną tożsamość na operator ${\hat {\sigma }}_{i}\;$:

${\hat {\sigma }}_{i}={\begin{bmatrix}\sigma _{i}&0\\0&\sigma _{i}\end{bmatrix}}\;$

(26.41)

Komutacja operatorów α_i

Mamy sobie przyrównanie (26.37) zbadajmy czemu jest równy komutator dwóch operatorów ${\hat {\alpha }}$ na podstawie (15.8) i (26.41):

$[{\hat {\alpha }}_{i},{\hat {\alpha }}_{j}]={\hat {\alpha }}_{i}{\hat {\alpha }}_{j}-{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{i}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{i}\\\sigma _{i}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&\sigma _{j}\\\sigma _{j}&0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0&\sigma _{j}\\\sigma _{j}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&\sigma _{i}\\\sigma _{i}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sigma _{i}\sigma _{j}&0\\0&\sigma _{i}\sigma _{j}\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}\sigma _{j}\sigma _{i}&0\\0&\sigma _{j}\sigma _{i}\end{pmatrix}}=\;$
$={\begin{pmatrix}[\sigma _{i},\sigma _{j}]&0\\0&[\sigma _{i},\sigma _{j}]\end{pmatrix}}=2i\epsilon _{ijk}{\begin{pmatrix}\sigma _{k}&0\\0&\sigma _{k}\end{pmatrix}}=2i\epsilon _{ijk}{\hat {\sigma }}_{k}\;$

(26.42)

Na podstawie (26.42) możemy napisać komutacje dwóch dowolnych operatorów ${\hat {\alpha }}_{i}\;$ w sposób:

$[{\hat {\alpha }}_{i},{\hat {\alpha }}_{j}]=2i\epsilon _{ijk}{\hat {\sigma }}_{k}$

(26.43)

Antykomutacja operatorów α_i

Mamy sobie przyrównanie (26.37) zbadajmy czemu jest równy antykomutator dwóch operatorów ${\hat {\alpha }}$ na podstawie (15.24):

$\{{\hat {\alpha }}_{i},{\hat {\alpha }}_{j}\}={\hat {\alpha }}_{i}{\hat {\alpha }}_{j}+{\hat {\alpha }}_{j}{\hat {\alpha }}_{i}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{i}\\\sigma _{i}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&\sigma _{j}\\\sigma _{j}&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&\sigma _{j}\\\sigma _{j}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&\sigma _{i}\\\sigma _{i}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sigma _{i}\sigma _{j}&0\\0&\sigma _{i}\sigma _{j}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}\sigma _{j}\sigma _{i}&0\\0&\sigma _{j}\sigma _{i}\end{pmatrix}}=\;$
$={\begin{pmatrix}\{\sigma _{i},\sigma _{j}\}&0\\0&\{\sigma _{i},\sigma _{j}\}\end{pmatrix}}=2{\begin{pmatrix}\delta _{ij}&0\\0&\delta _{ij}\end{pmatrix}}=2\delta _{ij}\;$

(26.44)

Stąd otrzymany związek (26.44) jest taki sam jak (26.19).

Antykomutacja operatorów α_i z operatorem β

Weźmy sobie operator ${\hat {\alpha }}_{i}\;$ (26.37), wtedy napiszmy antykomutację:

$\{{\hat {\alpha }}_{i},{\hat {\beta }}\}={\hat {\alpha }}_{i}{\hat {\beta }}+{\hat {\beta }}{\hat {\alpha }}_{i}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{i}\\\sigma _{i}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I&0\\0&-I\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}I&0\\0&-I\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&\sigma _{i}\\\sigma _{i}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-\sigma _{i}\\\sigma _{i}&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&\sigma _{i}\\-\sigma _{i}&0\end{pmatrix}}=0$

(26.45)

Jak widzimy otrzymaliśmy tożsamość operatorową (26.20).

Operatory σ_i jako operatory hermitowskie

Operatory ${\hat {\sigma }}_{i}$ są to operatory hermitowskie, co można udowodnić, korzystając przy tym z tożsamości (26.28), (26.29) i (26.30), a także z (26.16), (26.17) i (26.18), a dowód jego przebiega:

${\hat {\sigma }}_{x}^{+}=i{\hat {\alpha }}_{z}^{+}{\hat {\alpha }}_{y}^{+}=i{\hat {\alpha }}_{z}{\hat {\alpha }}_{y}=-i{\hat {\alpha }}_{y}{\hat {\alpha }}_{z}={\hat {\sigma }}_{x}$

(26.46)

${\hat {\sigma }}_{y}^{+}=i{\hat {\alpha }}_{x}^{+}{\hat {\alpha }}_{z}^{+}=i{\hat {\alpha }}_{x}{\hat {\alpha }}_{z}=-i{\hat {\alpha }}_{z}{\hat {\alpha }}_{x}={\hat {\sigma }}_{y}$

(26.47)

${\hat {\sigma }}_{z}^{+}=i{\hat {\alpha }}_{y}^{+}{\hat {\alpha }}_{x}^{+}=i{\hat {\alpha }}_{y}{\hat {\alpha }}_{x}=-i{\hat {\alpha }}_{x}{\hat {\alpha }}_{y}={\hat {\sigma }}_{z}$

(26.48)

Antykomutacja operatorów σ_i

Napiszmy czemu jest równy kwadrat operatora ${\hat {\sigma }}_{i}$, ale dowód przeprowadzimy dla i=x,y,z:

${\hat {\sigma }}_{x}^{2}=(-i{\hat {\alpha }}_{y}{\hat {\alpha }}_{z})^{2}=(-i)^{2}{\hat {\alpha }}_{y}{\hat {\alpha }}_{z}{\hat {\alpha }}_{y}{\hat {\alpha }}_{z}={\hat {\alpha }}_{y}{\hat {\alpha }}_{y}{\hat {\alpha }}_{z}{\hat {\alpha }}_{z}=1\cdot 1=1$

(26.49)

${\hat {\sigma }}_{y}^{2}=(-i{\hat {\alpha }}_{z}{\hat {\alpha }}_{x})^{2}=(-i)^{2}{\hat {\alpha }}_{z}{\hat {\alpha }}_{x}{\hat {\alpha }}_{z}{\hat {\alpha }}_{x}={\hat {\alpha }}_{z}{\hat {\alpha }}_{z}{\hat {\alpha }}_{x}{\hat {\alpha }}_{x}=1\cdot 1=1$

(26.50)

${\hat {\sigma }}_{z}^{2}=(-i{\hat {\alpha }}_{x}{\hat {\alpha }}_{y})^{2}=(-i)^{2}{\hat {\alpha }}_{x}{\hat {\alpha }}_{y}{\hat {\alpha }}_{x}{\hat {\alpha }}_{y}={\hat {\alpha }}_{x}{\hat {\alpha }}_{x}{\hat {\alpha }}_{y}{\hat {\alpha }}_{y}=1\cdot 1=1$

(26.51)

A także operatory ${\hat {\sigma }}_{i}\;$ o róznych współrzędnych antykomutują ze sobą, co udowodnimy poniżej:

$\{{\hat {\sigma }}_{y},{\hat {\sigma }}_{z}\}={\hat {\sigma }}_{y}{\hat {\sigma }}_{z}+{\hat {\sigma }}_{z}{\hat {\sigma }}_{y}=-{\hat {\alpha }}_{z}{\hat {\alpha }}_{x}{\hat {\alpha }}_{x}{\hat {\alpha }}_{y}-{\hat {\alpha }}_{x}{\hat {\alpha }}_{y}{\hat {\alpha }}_{z}{\hat {\alpha }}_{x}=-{\hat {\alpha }}_{z}{\hat {\alpha }}_{y}-{\hat {\alpha }}_{y}{\hat {\alpha }}_{z}=-{\hat {\alpha }}_{z}{\hat {\alpha }}_{y}+{\hat {\alpha }}_{z}{\hat {\alpha }}_{y}=0\;$

(26.52)

$\{{\hat {\sigma }}_{x},{\hat {\sigma }}_{z}\}={\hat {\sigma }}_{x}{\hat {\sigma }}_{z}+{\hat {\sigma }}_{z}{\hat {\sigma }}_{x}=-{\hat {\alpha }}_{y}{\hat {\alpha }}_{z}{\hat {\alpha }}_{x}{\hat {\alpha }}_{y}-{\hat {\alpha }}_{x}{\hat {\alpha }}_{y}{\hat {\alpha }}_{y}{\hat {\alpha }}_{z}=-{\hat {\alpha }}_{z}{\hat {\alpha }}_{x}-{\hat {\alpha }}_{x}{\hat {\alpha }}_{z}=-{\hat {\alpha }}_{z}{\hat {\alpha }}_{x}+{\hat {\alpha }}_{z}{\hat {\alpha }}_{x}=0\;$

(26.53)

$\{{\hat {\sigma }}_{x},{\hat {\sigma }}_{y}\}={\hat {\sigma }}_{x}{\hat {\sigma }}_{y}+{\hat {\sigma }}_{y}{\hat {\sigma }}_{z}=-{\hat {\alpha }}_{y}{\hat {\alpha }}_{z}{\hat {\alpha }}_{z}{\hat {\alpha }}_{x}-{\hat {\alpha }}_{z}{\hat {\alpha }}_{x}{\hat {\alpha }}_{y}{\hat {\alpha }}_{z}=-{\hat {\alpha }}_{y}{\hat {\alpha }}_{x}-{\hat {\alpha }}_{x}{\hat {\alpha }}_{y}=-{\hat {\alpha }}_{y}{\hat {\alpha }}_{x}+{\hat {\alpha }}_{y}{\hat {\alpha }}_{x}=0\;$

(26.54)

Na podstawie dowodu (26.49), (26.50) i (26.51) oraz (26.52), (26.53) i (26.54) otrzymujemy zależność z udziałem antykomutatora dla operatorów ${\hat {\sigma }}\;$ dla współrzędnych i-tej i j-tej:

$\{{\hat {\sigma }}_{i},{\hat {\sigma }}_{j}\}=2\delta _{ij}\;$

(26.55)

Komutacje operatorów σ_i

Wyznaczmy komutacje operatorów ${\hat {\sigma }}_{i}\;$, tzn. (26.38) (${\hat {\sigma }}_{x}\;$), (26.39) (${\hat {\sigma }}_{y}\;$) i (26.40) (${\hat {\sigma }}_{z}\;$) wiedząc, że zachodzi (26.28), (26.29) i (26.30), wtedy:

$[{\hat {\sigma }}_{y},{\hat {\sigma }}_{z}]={\hat {\sigma }}_{y}{\hat {\sigma }}_{z}-{\hat {\sigma }}_{z}{\hat {\sigma }}_{y}=-{\hat {\alpha }}_{z}{\hat {\alpha }}_{x}{\hat {\alpha }}_{x}{\hat {\alpha }}_{y}+{\hat {\alpha }}_{x}{\hat {\alpha }}_{y}{\hat {\alpha }}_{z}{\hat {\alpha }}_{x}=-{\hat {\alpha }}_{z}{\hat {\alpha }}_{y}+{\hat {\alpha }}_{y}{\hat {\alpha }}_{z}={\hat {\alpha }}_{y}{\hat {\alpha }}_{z}+{\hat {\alpha }}_{y}{\hat {\alpha }}_{z}=2i(-i{\hat {\alpha }}_{y}{\hat {\alpha }}_{z})=2i{\hat {\sigma }}_{x}=2i\epsilon _{yzx}{\hat {\sigma }}_{x}\;$

(26.56)

$[{\hat {\sigma }}_{x},{\hat {\sigma }}_{z}]={\hat {\sigma }}_{x}{\hat {\sigma }}_{z}-{\hat {\sigma }}_{z}{\hat {\sigma }}_{x}=-{\hat {\alpha }}_{y}{\hat {\alpha }}_{z}{\hat {\alpha }}_{x}{\hat {\alpha }}_{y}+{\hat {\alpha }}_{x}{\hat {\alpha }}_{y}{\hat {\alpha }}_{y}{\hat {\alpha }}_{z}=-{\hat {\alpha }}_{z}{\hat {\alpha }}_{x}+{\hat {\alpha }}_{x}{\hat {\alpha }}_{z}=-{\hat {\alpha }}_{z}{\hat {\alpha }}_{x}-{\hat {\alpha }}_{z}{\hat {\alpha }}_{x}=-2i(-i{\hat {\alpha }}_{z}{\hat {\alpha }}_{x})=-2i{\hat {\sigma }}_{y}=\;$
$=2i\epsilon _{xzy}{\hat {\sigma }}_{y}\;$

(26.57)

$[{\hat {\sigma }}_{x},{\hat {\sigma }}_{y}]={\hat {\sigma }}_{x}{\hat {\sigma }}_{y}-{\hat {\sigma }}_{y}{\hat {\sigma }}_{z}=-{\hat {\alpha }}_{y}{\hat {\alpha }}_{z}{\hat {\alpha }}_{z}{\hat {\alpha }}_{x}+{\hat {\alpha }}_{z}{\hat {\alpha }}_{x}{\hat {\alpha }}_{y}{\hat {\alpha }}_{z}=-{\hat {\alpha }}_{y}{\hat {\alpha }}_{x}+{\hat {\alpha }}_{x}{\hat {\alpha }}_{y}={\hat {\alpha }}_{x}{\hat {\alpha }}_{y}+{\hat {\alpha }}_{x}{\hat {\alpha }}_{y}=2i(-i{\hat {\alpha }}_{x}{\hat {\alpha }}_{y})=2i{\hat {\sigma }}_{z}=2i\epsilon _{xyz}{\hat {\sigma }}_{z}\;$

(26.58)

Na podstawie dowodów (26.56), (26.57) i (26.58) otrzymujemy zależność z udziałem komutatora dla operatorów ${\hat {\sigma }}\;$ dla współrzędnych i-tej i j-tej:

$[{\hat {\sigma }}_{i},{\hat {\sigma }}_{j}]=2i\epsilon _{ijk}{\hat {\sigma }}_{k}\;$

(26.59)

Widzimy, ze komutator dwóch operatorów dowolnych ${\hat {\sigma }}_{i}\;$ jest wprost proporcjonalny do ${\hat {\sigma }}_{k}\;$ z czynnikiem $2i\epsilon _{ijk}\;$. Na tym kończymy dowody na współrzędnych operatora ${\hat {\sigma }}\;$ (26.31), czyli operatorów (26.28)(${\hat {\sigma }}_{x}\;$), (26.29) (${\hat {\sigma }}_{y}\;$) i (26.30) (${\hat {\sigma }}_{z}\;$).

Dalsze rozważania na temat operatora Hamiltonianu

Pierwszy wyraz występujący po prawej stronie wzoru (26.27) możemy rozpisać jako iloczyn dwóch takich samych operatorów i wymnożyć je względem siebie. W tym rozpisaniu tego iloczynu występują wyrazy mieszane i niemieszane, przy czym pierwszy wyraz niemieszany zapisujemy zakładając, że zachodzi tożsamość (26.15):

$[\alpha _{x}({\hat {p}}_{x}-qA_{x})]^{2}=\alpha _{x}({\hat {p}}_{x}-qA_{x})\alpha _{x}({\hat {p}}_{x}-qA_{x})=\alpha _{x}^{2}({\hat {p}}_{x}-qA_{x})^{2}=({\hat {p}}_{x}-qA_{x})^{2}$

(26.60)

A teraz podejmować się będziemy do wyznaczenia wyrazów mieszanych, tzn. wyrazów, w których występują różne współrzędne tej samej wielkości operatorowej, w tym przypadku poniżej występując współrzędne iksowe i ikregowe:

$\alpha _{x}({\hat {p}}_{x}-qA_{x})\alpha _{y}({\hat {p}}_{y}-qA_{y})+\alpha _{y}({\hat {p}}_{y}-qA_{y})\alpha _{x}({\hat {p}}_{x}-qA_{x})=q\alpha _{x}\alpha _{y}\left[-{\hat {p}}_{x}(A_{y}\cdot )-A_{x}{\hat {p}}_{y}+{\hat {p}}_{y}(A_{x}\cdot )+A_{y}{\hat {p_{x}}}\right]=$
$=-q\alpha _{x}\alpha _{y}\left[{\hat {p}}_{x}A_{y}+A_{y}{\hat {p}}_{x}+A_{x}{\hat {p}}_{y}-A_{x}{\hat {p_{y}}}-p_{y}A_{x}-A_{y}{\hat {p_{x}}}\right]=-q\alpha _{x}\alpha _{y}(-i\hbar )\left({{\partial A_{y}} \over {\partial x}}-{{\partial A_{x}} \over {\partial y}}\right)=q\hbar (i\alpha _{x}\alpha _{y})B_{z}=-q\hbar \sigma _{z}B_{z}$

(26.61)

Na podstawie (26.60) i (26.61), a także z (26.28), (26.29) i (26.30) wyrażenie operatorowe (26.27) możemy przepisać w postaci:

${\hat {E}}_{r}^{2}=c^{2}({\hat {p}}-q{\vec {A}})^{2}-q\hbar c^{2}{\hat {\sigma }}{\vec {B}}+m_{0}^{2}c^{4}{\hat {\beta }}^{'2}+\left[m_{0}c^{3}\left({\hat {\alpha }}{\hat {\beta }}^{'}+{\hat {\beta }}^{'}{\hat {\alpha }}\right)\left({\hat {p}}-q{\vec {A}}\right)\right]+m_{0}c^{3}{\hat {\alpha }}({\hat {p}}{\hat {\beta }}^{'})=\;$
$=c^{2}({\hat {p}}-q{\vec {A}})^{2}+m_{0}^{2}c^{4}\left({\hat {\beta }}^{'2}-{{q\hbar } \over {m_{0}^{2}c^{2}}}{\hat {\sigma }}{\vec {B}}\right)+\left[m_{0}c^{3}\left({\hat {\alpha }}{\hat {\beta }}^{'}+{\hat {\beta }}^{'}{\hat {\alpha }}\right)\left({\hat {p}}-q{\vec {A}}\right)\right]+m_{0}c^{3}{\hat {\alpha }}({\hat {p}}{\hat {\beta }}^{'})=\;$
$=c^{2}({\hat {p}}-q{\vec {A}})^{2}+m_{0}^{2}c^{4}\left[\left({\hat {\beta }}^{'2}-{{q\hbar } \over {m_{0}^{2}c^{2}}}{\hat {\sigma }}{\vec {B}}\right)+\left({\hat {\alpha }}{\hat {\beta }}^{'}+{\hat {\beta }}^{'}{\hat {\alpha }}\right){{{\hat {p}}-q{\vec {A}}} \over {m_{0}c}}+{{1} \over {m_{0}c}}{\hat {\alpha }}({\hat {p}}{\hat {\beta }}^{'})\right]$

(26.62)

Porównując wzór (26.62) z kwadratem wyrażenia (26.23), wtedy przyjmijmy:

${\hat {\beta }}^{'2}-{{q\hbar } \over {m_{0}^{2}c^{2}}}{\hat {\sigma }}{\vec {B}}={\hat {1}}\;$

(26.63)

Z wyrażenia (26.63) możemy wywnioskować, że zachodzi wzór na ${\hat {\beta }}^{'}\;$ w zależności od operatora ${\hat {\beta }}\;$ (26.33) i ${\hat {\sigma }}\;$, tzn. wzory (26.38), (26.39) i (26.40) przy przybliżeniu ${{q\hbar } \over {m_{0}^{2}c^{2}}}{\hat {\sigma }}{\vec {B}}\;$, że jest to małe:

${\hat {1}}={\hat {\beta }}^{'2}-{{q\hbar } \over {m_{0}^{2}c^{2}}}{\hat {\sigma }}{\vec {B}}\Rightarrow {\hat {\beta }}^{'2}={\hat {1}}+{{q\hbar } \over {m_{0}^{2}c^{2}}}{\hat {\sigma }}{\vec {B}}\Rightarrow {\hat {\beta }}^{'}={\hat {\beta }}{\sqrt {{\hat {1}}+{{q\hbar } \over {m_{0}^{2}c^{2}}}{\hat {\sigma }}{\vec {B}}}}\simeq {\hat {\beta }}\left({\hat {1}}+{{q\hbar } \over {2m_{0}^{2}c^{2}}}{\hat {\sigma }}{\vec {B}}\right)\Rightarrow {\hat {\beta }}^{'}={\hat {\beta }}+{{q\hbar } \over {2m_{0}^{2}c^{2}}}{\hat {\beta }}{\hat {\sigma }}{\vec {B}}\;$

(26.64)

Udowodnijmy, czy zachodzi antykomutacja pomiędzy operatowami (26.64), a operatorami ${\hat {\alpha }}_{i}\;$, jeżeli wiadomo, że zachodzi (26.64), wtedy:

$\{{\hat {\alpha }}_{i},{\hat {\beta }}^{'}\}={\hat {\alpha }}_{i}{\hat {\beta }}^{'}+{\hat {\beta }}^{'}{\hat {\alpha }}_{i}={\hat {\alpha }}_{i}{\hat {\beta }}\left({\hat {1}}+{{q\hbar } \over {2m_{0}^{2}c^{2}}}\sigma {\vec {B}}\right)+{\hat {\beta }}\left({\hat {1}}+{{q\hbar } \over {2m_{0}^{2}c^{2}}}\sigma {\vec {B}}\right)\alpha _{i}={\hat {\alpha }}_{i}{\hat {\beta }}+{\hat {\beta }}{\hat {\alpha }}_{i}+{{q\hbar } \over {2m_{0}^{2}c^{2}}}\left(\alpha _{i}\beta {\hat {\sigma }}{\vec {B}}+{\hat {\beta }}{\hat {\sigma }}{\vec {B}}\alpha _{i}\right)=\;$
$={{q\hbar } \over {2m_{0}^{2}c^{2}}}\left(\alpha _{i}\beta {\hat {\sigma }}_{j}+{\hat {\beta }}{\hat {\sigma }}_{j}\alpha _{i}\right)B_{j}\;$

(26.65)

Udowodnijmy czy zachodzi i dla jakich przybliżeń komutacja operatorów ${\hat {\sigma }}_{i}\;$ i ${\hat {\alpha }}_{j}\;$ na podstawie definicji tych dwóch operatorów:

$\left[\sigma _{i},{\hat {\alpha }}_{j}\right]=2i\epsilon _{ijk}\alpha _{k}\;$

(26.66)

Zatem do dzieła:

$\left[\sigma _{i},{\hat {\alpha }}_{j}\right]=\sigma _{i}{\hat {\alpha }}_{j}-{\hat {\alpha }}_{j}\sigma _{i}={\begin{pmatrix}\sigma _{i}&0\\0&\sigma _{i}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&\sigma _{j}\\\sigma _{j}&0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0&\sigma _{j}\\\sigma _{j}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\sigma _{i}&0\\0&\sigma _{i}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{i}\sigma _{j}\\\sigma _{i}\sigma _{j}&0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0&\sigma _{j}\sigma _{i}\\\sigma _{j}\sigma _{i}&0\end{pmatrix}}=\;$
$=2i\epsilon _{ijk}{\begin{pmatrix}0&\sigma _{k}\\\sigma _{k}&0\end{pmatrix}}=2i\epsilon _{ijk}\alpha _{k}\;$

(26.67)

Ma podstawie obliczeń (26.67) zachodzi komutacja operatorów ${\hat {\sigma }}_{i}\;$ i ${\hat {\alpha }}_{j}\;$, a więc zachodzi (26.66). Powróczmy jeszcze raz do antykomutacji operatorów ${\hat {\alpha }}_{i}\;$ i ${\hat {\beta }}^{'}\;$, czyli (26.65), wtedy na podstawie (26.66) mamy:

$\{{\hat {\alpha }}_{i},{\hat {\beta }}^{'}\}={{q\hbar } \over {2m_{0}^{2}c^{2}}}\left({\hat {\alpha }}_{i}{\hat {\beta }}{\hat {\sigma }}_{j}+{\hat {\beta }}{\hat {\sigma }}_{j}\alpha _{i}\right)B_{j}={{q\hbar } \over {2m_{0}^{2}c^{2}}}B_{j}\left({\hat {\alpha }}_{i}{\hat {\beta }}+{\hat {\beta }}\alpha _{i}\right){\hat {\sigma }}_{j}+i{{q\hbar } \over {m_{0}^{2}c^{2}}}B_{j}\epsilon _{jik}\beta \alpha _{k}=-i{{q\hbar } \over {m_{0}^{2}c^{2}}}B_{j}\epsilon _{ijk}\beta \alpha _{k}=\;$
$=-i{{q\hbar } \over {m_{0}^{2}c^{2}}}{\hat {\beta }}({\vec {B}}\times {\hat {\alpha }})_{i}\;$

(26.68)

Musi zachodzić w równaniach Diraca:

$\left\|\{{\hat {\alpha }}_{i},{\hat {\beta }}^{'}\}\right\|={{q\hbar } \over {m_{0}^{2}c^{2}}}\left\|{\hat {\beta }}({\vec {B}}\times {\hat {\alpha }})_{i}\right\|<<1\;$

(26.69)

wtedy następuje antykomutacja operatora ${\hat {\alpha }}_{i}\;$ i ${\hat {\beta }}^{'}\;$ na podstawie (26.68). Drugi wyraz w nawiasie kwadratowym w (26.62) na podstawie założenia (26.69) jest w przybliżeniu równy zero. Udowodnijmy czy trzeci wyraz w (26.62) jest równy w przybliżeniu zero na podstawie pewnych założeń i definicji ${\hat {\beta }}^{'}\;$ (26.64):

${{1} \over {m_{0}c}}{\hat {\alpha }}({\hat {p}}{\hat {\beta }}^{'})={{1} \over {m_{0}c}}{\hat {\alpha }}_{i}{\hat {p}}_{i}\left({{q\hbar } \over {2m_{0}^{2}c^{2}}}{\hat {\beta }}{\hat {\sigma }}{\vec {B}}\right)=-{{1} \over {m_{0}c}}{{q\hbar } \over {2m_{0}^{2}c^{2}}}{\hat {\beta }}\left[{\hat {p}}_{i}\left({\hat {\alpha }}_{i}{\hat {\sigma }}_{j}{\vec {B}}_{j}\right)\right]\;$

(26.70)

Udowodnijmy dodatkowo wyrażenie, zatem do dzieła:

$\left\{\sigma _{i},{\hat {\alpha }}_{j}\right\}=\sigma _{i}{\hat {\alpha }}_{j}+{\hat {\alpha }}_{j}\sigma _{i}={\begin{pmatrix}\sigma _{i}&0\\0&\sigma _{i}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&\sigma _{j}\\\sigma _{j}&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&\sigma _{j}\\\sigma _{j}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\sigma _{i}&0\\0&\sigma _{i}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{i}\sigma _{j}\\\sigma _{i}\sigma _{j}&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&\sigma _{j}\sigma _{i}\\\sigma _{j}\sigma _{i}&0\end{pmatrix}}=\;$
$={\begin{pmatrix}0&2i\delta _{ij}\\2i\delta _{ij}&0\end{pmatrix}}=2i\delta _{ij}\;$

(26.71)

i odejmijmy obie strony wyrażeń (26.67) i (26.71), wtedy dostajemy równość:

$\alpha _{i}{\hat {\sigma }}_{j}=i\delta _{ij}+i\epsilon _{ijk}\alpha _{k}\;$

(26.72)

Na podstawie tożsamości (26.72) wyrażenie (26.70) możemy przepisać w postaci:

${{1} \over {m_{0}c}}{\hat {\alpha }}({\hat {p}}{\hat {\beta }}^{'})=-{{1} \over {m_{0}c}}{{q\hbar } \over {2m_{0}^{2}c^{2}}}{\hat {\beta }}\left[{\hat {p}}_{i}\left(i\delta _{ij}+i\epsilon _{ijk}\alpha _{k}\right)B_{j}\right]=-{{1} \over {m_{0}c}}{{q\hbar } \over {2m_{0}^{2}c^{2}}}{\hat {\beta }}\left(i{\hat {p}}_{i}B_{i}+i{\hat {p}}_{i}\epsilon _{ijk}\alpha _{k}B_{j}\right)=-i{{1} \over {m_{0}c}}{{q\hbar } \over {2m_{0}^{2}c^{2}}}{\hat {\beta }}{\hat {p}}({\vec {B}}\times {\hat {\alpha }})\;$

(26.73)

Zakładamy w równaniach Diraca, że zachodzi:

$\left\|{{1} \over {m_{0}c}}{\hat {\alpha }}({\hat {p}}{\hat {\beta }}^{'})\right\|={{1} \over {m_{0}c}}{{q\hbar } \over {2m_{0}^{2}c^{2}}}\left\|{\hat {\beta }}{\hat {p}}({\vec {B}}\times {\hat {\alpha }})\right\|<<1$

(26.74)

Na podstawie (26.74) trzeci wyraz w nawiasie kwadratowym w (26.62) jest w przybliżeniu równy zero. Napiszmy operator energii relatywistycznej na podstawie związku na ${\hat {\beta }}^{'}\;$ (26.64) i (26.25), wtedy:

${\hat {E}}_{r}=c{\hat {\alpha }}({\hat {p}}-q{\vec {A}})+m_{0}c^{2}{\hat {\beta }}\left({\hat {1}}+{{q\hbar } \over {2m_{0}^{2}c^{2}}}{\hat {\sigma }}{\vec {B}}\right)=c{\hat {\alpha }}({\hat {p}}-q{\vec {A}})+m_{0}c^{2}{\hat {\beta }}+{{q\hbar } \over {2m_{0}}}{\hat {\beta }}{\hat {\sigma }}{\vec {B}}\;$

(26.75)

Wartości własne operatora ${\hat {\beta }}\;$ (26.33), czyli $\beta =\pm 1\;$, a operatora $\sigma _{i}\;$ (26.38), (26.39) i (26.39), czyli $\sigma _{i}=\pm 1\;$, a wartości własne operatora ${\hat {\beta }}{\hat {\sigma }}_{i}\;$ są 1 i -1, stąd na podstawie tego możemy napisać na podstawie definicji ${\hat {\beta }}\;$ (26.33) i ${\hat {\sigma }}_{i}\;$ (26.41) oraz definicji wartości własnej i wektora własnego:

${\hat {\beta }}{\hat {\sigma }}_{i}{\vec {X}}={\begin{bmatrix}\sigma _{i}&0\\0&-\sigma _{i}\end{bmatrix}}{\vec {X}}={\begin{bmatrix}\pm I&0\\0&\mp I\end{bmatrix}}{\vec {X}}={\begin{bmatrix}\sigma _{i}&0\\0&\sigma _{i}\end{bmatrix}}{\vec {X}}={\hat {\sigma }}_{i}{\vec {X}}\;$

(26.76)

• gdzie ${\vec {X}}\;$ jest to przestrzeń wektorów własnych, odpowiadające danej wartości własnej operatora ${\hat {\sigma }}_{i}\;$, ta przestrzeń dla ${\hat {\beta }}{\hat {\sigma }}_{i}\;$ jest taka sama jak dla ${\hat {\sigma }}_{i}\;$.

Stąd z definicji operatora ${\hat {E}}_{r}\;$ (26.75) na podstawie wniosków (26.76) możemy napisać inną zmodyfikowaną wersję operatora energii relatywistycznej ${\hat {E}}_{r}\;$ w taki sposób by wartości własne i wektory własne dla obu operatorów ${\hat {E}}_{r}\;$ były takie same:

${\hat {E}}_{r}=c{\hat {\alpha }}({\hat {p}}-q{\vec {A}})+m_{0}c^{2}{\hat {\beta }}+{{q\hbar } \over {2m_{0}}}{\hat {\sigma }}{\vec {B}}\;$

(26.77)

Przepiszmy operator (26.77) w postaci wydzielając przed nawias wyrażenie $m_{0}c^{2}\;$ w (26.77), wtedy:

${\hat {E}}_{r}=c{\hat {\alpha }}({\hat {p}}-q{\vec {A}})+m_{0}c^{2}\left({\hat {\beta }}+{{q\hbar } \over {2m_{0}^{2}c^{2}}}{\hat {\sigma }}{\vec {B}}\right)\;$

(26.78)

Na podstawie tego możemy napisać zmodyfikowaną wersję operatora ${\hat {\beta }}^{'}\;$ na podstawie (26.25):

${\hat {\beta }}^{'}={\hat {\beta }}+{{q\hbar } \over {2m_{0}^{2}c^{2}}}{\hat {\sigma }}{\vec {B}}\;$

(26.79)

A ponieważ na podstawie wzóru (15.6) i wzoru (15.1), a także wzoru na energię ramki (EK-11.12) zachodzi:

${\hat {U}}=-{\hat {\mu }}{\vec {B}}=-{{q} \over {m_{0}}}{\hat {s}}{\vec {B}}=-{{q\hbar } \over {2m_{0}}}{\hat {\sigma }}{\vec {B}}\;$

(26.80)

Całkowity Hamiltonian jest sumą operatorów energii relatywistycznej ciała (26.77), energii ramki (26.80) i operatora uwzględniająca energię potencjalną w polu elektrycznym, wtedy on jest równy:

${\hat {H}}={\hat {E}}_{r}+{\hat {U}}+{\hat {E}}_{p}=c{\hat {\alpha }}({\hat {p}}-q{\vec {A}})+m_{0}c^{2}{\hat {\beta }}+q\varphi \;$

(26.81)

Operator energii mechanicznej (26.81) oraz na podstawie (26.69) i (26.74) jest spełniony tylko dla słabych pól magnetycznych i małych zmian pola magnetycznego w przestrzeni. Hamiltonian Diraca (26.81) jest spełniony dla słabych i małych zmian pól magnetycznych, a matematycznie dla pól magnetycznych i ich zmian dążących do zera.

Pełne równanie Diraca z uwzględnieniem pól elektrycznych, magnetycznych i innych

Widzimy, że hamiltonian (26.81) jest zależny od potencjału wektorowego pola magnetycznego i skalarnego pola elektrycznego. Uogólnimy operator Hamiltonianu dla układu n cząstek znajdujących się wzajemnych polach potencjalnych i w polu zewnętrznym:

${\hat {H}}=\sum _{i}\left[c{\hat {\alpha }}({\hat {p}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})+m_{0i}c^{2}{\hat {\beta }}\right]+\sum _{ij,i<j}q_{i}\varphi _{ij}+\sum _{i}q_{i}\varphi _{i}+\sum _{ij,i<j}U_{ij}+\sum _{i}U_{i}\;$

(26.82)