Mechanika kwantowa/Kwantowa teoria całkowitego momentu pędu

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Mechanika kwantowa
Mechanika kwantowa
Kwantowa teoria całkowitego momentu pędu

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: zegarek(myślnik)odmierza(myślnik)czas(małpa)wp(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Przedstawimy tutaj kwantową teorię momentu pędu, przy sumowaniu odpowiedniej liczby momentów pędu. Zapoznamy się ze współczynniki Clebscha-Gordona (sumowanie dwóch wektorów momentu pędu) i współczynniki Racah (sumowanie trzech wektorów momentu pędu).

Dodawanie dwóch momentów pędu a współczynniki Clebscha-Gordona[edytuj]

Mamy dwie wartości własne operatora momentu pędu i , to suma tych wektorów momentów pędu jest przedstawiona:

(22.1)

Całkowita liczba kwantowa charakteryzujący kwadrat całkowitego momentu pędu jest napisana poprzez cząstkowe liczby kwantowe charakteryzujące momenty pędu dla dwóch cząstek:

(22.2)

A magnetyczne liczby kwantowe zetowej współrzędnej operatora momentu pędu względem cząstkowych wartości liczb kwantowych charakteryzujący cząstkowe kwadraty momentów pędów są przestawione:

(22.3)
(22.4)

Całkowita liczba magnetyczna orbitalnego momentu pędu jest:

(22.5)

Można udowodnić, że całkowita magnetyczna liczba falowa spełnia warunek:

(22.6)

Funkcja falowa, po złożeniu dwóch momentów pędu operatora całkowitego momentu pędu w zależności od funkcji falowej cząstkowych operatorów momentu pędu , można ją przestawić jako:

(22.7)

Sumowanie (22.7) jest tak dokonane, by liczba kwantowa całkowitego operatora momentu pędu oraz całkowita magnetyczna liczba kwantowa miały pewną określoną wartość przy ustalonych wartościach momentów magnetycznych cząstkowych.

'Współczynniki nazywamy współczynnikami Clebscha-Gordona.

Ortogonalizacja współczynników Clebscha-Gordona[edytuj]

Współczynniki Clebscha-Gordona są symetryczne, tzn. mają wartości rzeczywiste, tzn. współczynnik Clebscha-Gordona ze w sprzężeniem hermitowskim jest równy współczynnikowi bez tego sprzężenia, tzn.:

(22.8)

Relacje ortogonalizacji współczynników Clebscha-Gordona spełniają zależności:

(22.9)

A także spełniają drugą własność:

(22.10)

Przy czym w (22.9) i (22.10) skorzystaliśmy z operatora jedynki zdefiniowanego w (21.33).

Tabela współczynników Clebscha-Gordona[edytuj]

Współczynniki Clebscha-Gordona w sposób bardziej ogólny można je zapisać według wzoru:

(22.11)

Wzory rekurencyjne w bardziej szczególnych przypadkach można przedstawić:

(22.12)
(22.13)
(22.14)
(22.15)
(22.16)
(22.17)
(22.18)

Dodawanie trzech momentów pędu a współczynniki Racah[edytuj]

Złożenie trzech wektorów momentów pędu można przedstawić, jeśli najpierw będziemy dodawać liczby kwantowe operatorów momentów pędu i w sposób odpowiedni do , to funkcja falowa całkowitego momentu pędu przy określonych liczbach kwantowych cząstkowych dwóch pierwszych momentów pędu, przy określonym i i spełnia zależność:

(22.19)

Także dodając najpierw liczby kwantowe i (dwóch ostatnich momentu pędu) odpowiednio do , dostajemy:

(22.20)

Wiemy jednak, że cząstkowe liczby kwantowe zetowego operatora momentu pędu spełniają warunki:

(22.21)

Współczynniki: a także: nazywamy współczynnikami Racah.

Model jednocząstkowego momentu magnetycznego[edytuj]

Związek między operatorem orbitalnego momentu pędy lub spinowego momentu pędu z jego momentem magnetycznym dla orbity lub dla spinu przedstawiamy dla tych dwóch rodzajów momentów pędu:

 :orbita
(22.22)
 :spin
(22.23)

Całkowity operator momentu magnetycznego na podstawie (22.22) i (22.23), jest w postaci

(22.24)
  • gdzie:
(22.25)

Przepis (22.25) nazywamy magnetonem Bohra. Jeśli mamy wektor w przestrzeni Hilberta, jako , to działając na niego zetowym operatorem momentu magnetycznego, wtedy:

(22.26)

Wartość średnia momentu magnetycznego zetowego jest przedstawiona w sposób:


(22.27)

To średnia wartość momentu magnetycznego współrzędnej zetowej, wykorzystując przy tym (22.24), jest równa:


(22.28)

Wykorzystując wzory Clebscha-Gordona do wyrażenia (22.27), otrzymujemy:

(22.29)

Mając średnią wartość na moment spinowy (22.29), to można policzyć średni całkowity moment magnetyczny według wzoru na średnią wartość zetowego momentu magnetycznego wedle wzoru (22.28).

(22.30)

Przyjmuje się według umowy, że moment magnetyczny określamy dla stanu, w którym zetowy moment pędu, a właściwie liczba kwantowa charakteryzująca ten stan, tzn. magnetyczna liczba kwantowa, odpowiedzialnej za zetowy całkowity moment pędu, jest równy całkowitej liczbie kwantowej momentu pędu , to wzór (22.30) przyjmuje postać:

(22.31)
  • Współczynnik giromagnetyczny przyjmuje postać:
(22.32)

Ogólnie współczynnik giromagnetyczny, uwzględniający te dwa przypadki wedle wzoru (22.32) (tzn. z plusem lub z minusem), można zapisać w sposób bardziej ogólny według schematu:

(22.33)

Całkowity moment pędu "j"jest zależny od orbitalnej liczby kwantowej "l" i spinowej "s" (spin elektronu ma dwa wykluczające sie zwroty) przestawiamy przepisami przy załozeniu, że całkowity moment pędu "j" przedstawiamy w dwojaki sposób:

(22.34)
(22.35)
(22.36)

Udowodnimy, że dla tych "s" (22.36) i "j" (22.34) nasz współczynnik giromagnetyczny (22.33) przechodzi w poprzedni współczynnik giromagnetyczny (22.32), wzbierajc tam plus, który jest zależny tylko od l:



(22.37)

Udowodniliśmy, że ogólnej postaci nasz współczynnik giromagnetyczny (22.37) wyraża się wzorem (22.32) (wybierając tam plus) dla całego zestawy . Udowodnimy, że dla tych s (22.36) i j (22.35) nasz współczynnik giromagnetyczny (22.33) przechodzi w poprzedni współczynnik giromagnetyczny (22.32), wzbierajc tam minus, który jest zależny tylko od l.


(22.38)

Udowodniliśmy, że ogólnej postaci nasz współczynnik giromagnetyczny (22.38) wyraża się wzorem (22.32) (wybierając tam minus) dla calego zestawy .

W ogólnym przypadku moment magnetyczny cząstki przedstawiamy za pomocą współczynnika żyromagnetycznego orbitalnego i współczynnika żyromagnetycznego :

(22.39)

Dokonując podobnych rachunków jak poprzednio, możemy dojść do wniosku:

(22.40)

Energia sprzężenia spin-orbita w polu magnetycznym[edytuj]

Energia układu o pewnym momencie magnetycznym przedstawiana jest wzorem (19.5), zatem operator energii jednocząstkowego modelu w polu magnetycznego zapisujemy:

(22.41)
  • gdzie hamiltonian w (22.41) w centralnym polu elektrycznym jądra atomowego wodoru.
(22.42)

Widzimy, że w hamiltonianie (22.41) uwzględniono oddziaływanie orbity ze spinem elektronu (drugi wyraz naszego hamiltonianu ), a także uwzględniono oddziaływanie całkowitego momentu magnetycznego (wraz z momentem magnetycznym pochodzących od spinu elektronu) z polem magnetycznym zewnętrznym (trzeci wyraz rozważanego hamiltonianu).

Energia sprzężenia spin-orbita w przypadku silnego pola magnetycznego[edytuj]

Jeśli pole magnetyczne jest takie, że w (22.41) czwarty wyraz jest o wiele większy niż jego drugi składnik, biorąc pod uwagę, że kwantowe momenty pędu spinowego czy orbitalnego są rzędu stałej kreślonej Plancka.

(22.43)

We wzorze (22.43) uwzględniono, że oddziaływanie spin-orbita nie jest na tyle mocne od oddziaływania momentu magnetycznego elektronu w polu jadra atomowego w polu silnego zewnętrznego pola magnetycznego. W tym przypadku zaburzeniem w rachunku zaburzeń dla rozważanego hamiltonianu (22.41) nazywamy wyrażenie:

(22.44)

Cały hamiltonian wraz zaburzeniem uwzględniający wzór (22.44), przyjmuje postać:

(22.45)
  • gdzie pierwszy wyraz (operator) w (22.45) jest hamiltonianem niezaburzonym i jest zdefiniowany:
(22.46)

Jeśli założymy, że pole magnetyczne jest zwrócone wzdłuż osi z, to hamiltonian niezaburzony zdefiniowany wedle definicji (22.46) zapisujemy w postaci:

(22.47)

Równanie własne przy operatorze (22.47) jest dobrze znane i rozwiązane jest podobne do tego, gdy nie ma spinowego momentu pędu wedle rozdziału Doświadczenie Sterna-Gerlacha i efekt Zeemana. Energia własna operatora (22.47) wraz zaburzeniem do tej energii przyjmuje postać:

(22.48)
  • gdzie jest to wartość własna dla równania własnego (22.47).

Energia własna hamiltonianu niezaburzonego jest zapisana:

(22.49)
  • Ale jest to dobrze znana energia rozpatrywana dla atomu wodoru bez uwzględniania jego spinu i bez oddziaływania spin-orbita.

A zaburzenie do energii, który należy dodać do wartości własnej hamiltonianu, która razem z tą poprawką jest opisywana przez hamiltonian zaburzony (22.48):

(22.50)

Wyznaczmy więc to zaburzenie według wzoru (22.50), tak by wyznaczyć wzór (22.48) na całkowitą energię zaburzonego hamiltonianu:


(22.51)

Wzór na całkowitą energię w silnym polu magnetycznym (założenie (22.43)) przedstawia się:

(22.52)

Energia sprzężenia spin-orbita w przypadku słabego pola magnetycznego[edytuj]

Jeśli pole magnetyczne jest takie, że trzeci wyraz (22.41) od drugiego wyrazu są takiego rzędu, że ten pierwszy jest o wiele mniejszy niż drugi:

(22.53)

Powyżej wykorzystano, że momenty pędu, czy to spinowe, czy to orbitalnego momentu pędu są rzędu kreślonej stałej Plancka. Widzimy, że pole magnetyczne jest na tyle słabe od oddziaływania spin-orbita, to Hamiltonian (22.41) wraz zaburzeń zapisujemy:

(22.54)

Pierwszy wyraz we wyrażeniu (22.54) jest napisany wedle schematu:

(22.55)

Zaburzenie w (22.54) (drugi wyraz) w całkowitym hamiltonianie zaburzonym jest równe:

(22.56)

Energia zaburzenia dla operatora zaburzonego (22.56), zapisujemy wedle wzoru (20.18):

(22.57)

A całkowita energia układu jądra z elektronem jest równa energii jako wartości hamiltonianu niezaburzonego (22.55) wraz zaburzeniem zdefiniowanym w punkcie (22.57).

(22.58)

Wartość własna stanu niezaburzonego według poprawki obliczonej w (22.57) cząstki ze spinem, gdy mamy oddziaływanie spinu z orbitą wedle wzoru (18.86), mamy tutaj na myśli tylko samą poprawkę, tylko zamiast oscylatora harmonicznego tutaj mamy na myśli elektron krążący wokół jądra atomowego, ale poprawka jest ta sama.

(22.59)

Na podstawie wcześniej obliczonego średniej wartości zetowego momentu pędu (spin i orbita) ale przedtem musimy wykorzystać definicję momentu magnetycznego (22.31) ze współczynnikiem zdefiniowanej w sposób ogólny wedle wzoru (22.54), wtedy poprawka do energii własnej operatora energii, czyli wartości własnej zaburzenia hamiltonianu:

(22.60)

Całkowita energia wraz z obliczonym zaburzeniem do energii hamiltonianu niezaburzonego (22.60) jest równa:

(22.61)