Mechanika kwantowa/Wprowadzenie do teorii wektorów Diraca

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Mechanika kwantowa
Mechanika kwantowa
Wprowadzenie do teorii wektorów Diraca

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: zegarek(myślnik)odmierza(myślnik)czas(małpa)wp(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Własności wektorów "bra" i "ket"[edytuj]

Zdefiniujmy nowe wielkości matematyczne w sposób: jako "ket", a jako "bra".

Sprzężeniem hermitowskim wektora ket'a Diraca jest równy wektorowi bra nazywamy:

(21.1)

Zdefiniujmy ket jako wektor pionowy i podziałajmy na niego sprzężeniem hermitowskim, dostaniemy wektor bra:

(21.2)
(21.3)

Iloczyn skalarny z definiowany przy pomocy wektorów "bra" (21.3) i "ket" (21.2), jest zdefiniowany za pomocą wektorów bra i ket:

(21.4)

Ponieważ wynik iloczynu skalarnego, może być liczbą zespoloną, a skalar można traktować jako macierz o wymiarze 1x1, a zatem z definicji iloczynu skalarnego (21.4) działanie sprzężenia hermitowskiego na ten obiekt jest sprzężeniem zespolonym piszemy według przepisu:

(21.5)

Gdy wektor bra jest równy po sprzężeniu hermitowskim wektorowi ket i po utworzeniu z nich iloczynu skalarnego wedle (21.5) i podziałaniu na niego sprzężeniem hermitowskim nie zmienia się wartość tego iloczynu.

(21.6)

Więc iloczyn na podstawie (21.6) i wcześniejszych przemyśleń jest opisany przez liczbę rzeczywistą, gdy ten iloczyn jest równy zero dla tego samego "a", dojdziemy do wniosku, że wektor jest wektorem zerowym, a oto jego zapis.

(21.7)

Również wynika dla niezerowych wektorów Diraca dla tego samego "a" na podstawie (21.5), że tak zdefiniowany iloczyn skalarny jest równy wartości niezerowej.

(21.8)

Ponieważ mamy z naszych rozważań przestawionych w punkcie (21.8), to można policzyć długość wektora "ket" następująco:

(21.9)

Jak widzimy, że długość naszego wektora ket dla ściśle określonego "a" jest liczbą rzeczywistą nieujemną.

Operatory w przestrzeni Hilberta[edytuj]

Transformacja jednego "ket'a" w drugi za pomocą operatora może być przedstawiona liniowo:

(21.10)

Również transformacja wektora "bra" w inny wektor "bra" przez operator jest opisywany:

(21.11)

Operatory i są to zwykle operatory tak zdefiniowane, by był spełniony warunek:

(21.12)

Operator jest operatorem sprzężonym po hermitowsku z operatorem . Według wzoru operatorowego (21.12) równanie (21.10) jest sprzężony do (21.11) po hermitowsku, czyli te oba wzory są do siebie równoważne. Policzmy, sprzężenie zwrotne iloczynu skalarnego podczas działania przez jakiś operator :

(21.13)

Jeszcze raz biorąc sprzężenie zwrotne wyrażenia (21.13), dojdziemy do początkowej postaci (przed sprzężeniem), którego przemyślenia przedstawimy później.

(21.14)

Ale wektory i zostały wybrane przypadkowo, zatem spełniony jest warunek, że podwójne sprzężenie hermowskie na dowolny operator jest tym samym operatorem, tak jak by nie było sprzężenia.

(21.15)

Rozważmy zapis i jego postać wedle przemyśleń:

(21.16)

Jeśli dodatkowo założymy, że , to mamy:

(21.17)
Wyrażenie (21.17) przedstawia rzut wektora na wektor "ket" .

Policzmy jeszcze sprzężenie hermitowskie wektora::

(21.18)

Z drugiej strony z definicji sprzężenia hermitowskiego na wektory Diraca wedle ogólnego wzoru (21.1) możemy napisać, że:

(21.19)

Z porównania wyprowadzeń (21.18) i (21.19) możemy napisać następującą tożsamość:

(21.20)

Zagadnienie własne operatorów hermitowskich[edytuj]

Lemat 1: Wartości własne operatorów hermitowskich są liczbami rzeczywistymi: Operator jest operatorem hermitowskim, a więc zachodzą warunki:

(21.21)
(21.22)

Przyrównujemy równanie (21.21) z (21.22), zatem mamy:

(21.23)

Co jest jedynie możliwe gdy jest rzeczywiste. Z własności, że operator jest operatorem hermitowskim, wynika że jego wartości własne są rzeczywiste.

Lemat 2: Dwa kety należące do różnych wartości własnych są ortogonalne.

(21.24)
(21.25)

Weźmy teraz iloczyny skalarne dwóch wektorów, mamy:

(21.26)
(21.27)

Gdy równanie (21.26) odejmiemy od równości (21.27), to otrzymamy równanie wynikowe różnych jego wartości własnych operatora , tzn. i , tak by zachodziło , co wspomnieliśmy w tym zdaniu:

(21.28)

Ponieważ , to mamy:, czyli wektory własne operatorów hermitowskich dla dwóch różnych wartości własnych są do siebie prostopadłe.

Reprezentacja dowolnego keta w bazie dyskretnej[edytuj]

W bazie dyskretnej iloczyn skalarny między wektorami bazy jest przedstawiony wedle wzoru:

(21.29)

Widzimy, że wedle zapisu (21.29) wektory rozważanej bazy są ortonornalne. Weźmy dowolny ket i rozłóżmy go w ketach bazy pisząc go przy pomocy współczynników liniowych rozwinięcia :

(21.30)

W celu wyznaczenia współczynników, mnożymy obie strony równania (21.30) przez wektor i wykorzystując warunek ortonormalności wedle (21.29) dla dwóch dowolnych wektorów bazy dyskretnej i z własności delty Kroneckera dla sum, można otrzymać wzór na owe współczynniki:

(21.31)

I już mamy wyznaczone owe współczynniki, a zatem równanie (21.30)(rozkład dowolnego keta w bazie dyskretnej) na podstawie (21.31)(współczynniki ) przyjmuje postać:

(21.32)

Z równania (21.32) (ostatnia równość) dostajemy, że operator jedynkowy jest w postaci:

(21.33)

Dochodzimy więc do wniosku, że (21.33) jest operatorem jednostkowym. Udowodnijmy, że kwadrat owego operatora jest tym samym wektorem, wykorzystując przy tym warunek ortonormalizacji:


(21.34)

Zatem udowodniliśmy, co chcieliśmy.

Reprezentacja dowolnego keta w bazie ciągłej[edytuj]

W bazie ciągłej iloczyn skalarny między wektorami bazy jest zdefiniowany wedle:

(21.35)

Weźmy dowolny ket i rozłóżmy go w ketach bazy (ciągłej) w sposób:

(21.36)

Teraz mnożymy obie strony równania (21.36) przez wektor , w celu wyznaczenia współczynników i wykorzystując warunek ortogonalności (21.35) oraz z własności delty Diraca dla całek, zaem można otrzymać owe współczynniki:

(21.37)

A zatem równanie (21.36) (rozkładu dowolnego keta w bazie ciągłej) na podstawie (21.37) (mając już współczynniki) przyjmuje takową postać:

(21.38)

Z równania (21.38) (ostatnia równość) dostajemy operator jedynkowy:

(21.39)

Dochodzimy więc do wniosku, że (21.39) jest operatorem jednostkowym. Udowodnijmy, że kwadrat owego operatora jest tym samym operatorem, wykorzystując przy tym warunek ortogonalizacji (21.35):


(21.40)

Wektory i wartości własne w widmie dyskretnym[edytuj]

Napiszmy równanie własne w widmie wektorów bazy dyskretnej w postaci:

(21.41)
  • gdzie są to wartości własne operatora przy wektorach własnych .

Wektory własne w równaniu własnym (21.41) spełniają warunek ortonormalności (21.29). Przedstawmy teraz bardziej ogólnie elementy macierzowe operatora w sposób:

(21.42)

A zatem z definicji elementów macierzowych w (21.42) elementy macierzowe operatora piszemy:

(21.43)

Czyli na podstawie tożsamości (21.43) macierz elementów macierzowych operatora , czyli jest macierzą diagonalna. Zobaczmy, gdy na jakiś element macierzowy podziałamy sprzężeniem hermitowskim i zbadajmy jakie z niego wychodzą wnioski:

(21.44)

Według (21.44) dostaniemy, że te elementy są elementami rzeczywistymi macierzy diagonalnej , bo zachodzi (21.43).

(21.45)

Wektory i wartości własne w widmie ciągłym[edytuj]

Dla widma k ciągłego równanie własne możemy przestawić w zależnosci od ciągłego parametru:

(21.46)

Wektory własne operatora we wzorze (21.46) spełniają warunek ortonormalności (21.35), jeśli je unormujemy i one są wektorami ciągłymi, które opisuje ciągły parametr k.

Wprowadzenie do transformacji unitarnej[edytuj]

Niech punktem wyjścia będzie n-wymiarowa baza dyskretna przestrzeni Hilberta, określona przez wektory własne pewnego operatora hermitowskiego:

 dla 
(21.47)

Dokonajmy transformacji liniowej wektorów bazy tak, by otrzymać nowe wektory bazy:

(21.48)

Obierzmy tak operator , tak by miał takie same wartości własne, co operator (21.47) w nowej bazie według (21.48):

(21.49)

W równaniu (21.49) podstwiamy w prawej i lewej jego stronie wyrażenia odpowiedzialne za nową bazę opisanej przy pomocy jego odpowiednika starego według (21.48):

(21.50)

Mnożymy obustronnie wzór (21.50) przez operator (odwrotność operatora ), otrzymujemy:

(21.51)

Prawą stronę równania (21.51) zastępujemy przez lewą stronę równania (21.47), otrzymujemy:

(21.52)

Z równania (21.52) wynika, że możemy napisać wynikającą transformację operatora hermitowskiego , tak by posiadał te same wartości własne, niezależne w jakiej bazie ją opisujemy:

(21.53)

Lub nawet po przekształceniu wyznaczając operator zapisanej w nowej bazie, którego transformacja jest dokonana wedle wzoru (21.48) transformujących operatorem wektory bazy w inne wektory bazy, tak by ten nasz operator miał te same wartości własne, po prostu aby się one nie zmieniały.

(21.54)

Transformacja jest taka, że zachowuje sumę i iloczyn przetransformowanych wektorów. Tzn. jeśli , to zachodzi według (21.54):

(21.55)

Nawet dla iloczynu dwóch operatorów transformacja zachowuje również iloczyn:

(21.56)

Wyniku operacji unitarnych wymaga się by transformowany operator hermitowski był nadal operatorem hermitowskim, tzn. musi zachodzić przed i po transformacji operatorem na wektory bazy, dla której mamy przyporządkowany operator przed transformacją lub w nowej bazie operator po transformacji, tak by one miały te same wartości własne. W naszych rozważaniach skorzystamy z transformacji operatora z jednej bazy dyskretnej do drugiej wedle wzoru operatorowego (21.54):

(21.57)
(21.58)
(21.59)
(21.60)

Równanie (21.53) po podstawieniu (21.54), wtedy będzie można wywnioskować dalsze wywody:

(21.61)

Równość (21.61) zachodzi, gdy mamy:

(21.62)
(21.63)

Transformacja spełniająca warunek (21.62) nazywamy transformacją unitarną, a gdy spełnia warunek (21.63) nazywamy transformacją antyunitarną.