Autor:Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna:Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.
Zdefiniujmy nowe wielkości matematyczne w sposób:
jako "ket", a jako "bra".
Sprzężeniem hermitowskim wektora ket'a Diraca jest równy wektorowi bra nazywamy:
(21.1)
Zdefiniujmy ket jako wektor pionowy i podziałajmy na niego sprzężeniem hermitowskim, dostaniemy wektor bra:
(21.2)
(21.3)
Iloczyn skalarny z definiowany przy pomocy wektorów "bra" (21.3) i "ket" (21.2), jest zdefiniowany za pomocą wektorów bra i ket:
(21.4)
Ponieważ wynik iloczynu skalarnego, może być liczbą zespoloną, a skalar można traktować jako macierz o wymiarze 1x1, a zatem z definicji iloczynu skalarnego (21.4) działanie sprzężenia hermitowskiego na ten obiekt jest sprzężeniem zespolonym piszemy według przepisu:
(21.5)
Gdy wektor bra jest równy po sprzężeniu hermitowskim wektorowi ket i po utworzeniu z nich iloczynu skalarnego wedle (21.5) i podziałaniu na niego sprzężeniem hermitowskim nie zmienia się wartość tego iloczynu.
(21.6)
Więc iloczyn na podstawie (21.6) i wcześniejszych przemyśleń jest opisany przez liczbę rzeczywistą, gdy ten iloczyn jest równy zero dla tego samego "a", dojdziemy do wniosku, że wektor jest wektorem zerowym, a oto jego zapis.
(21.7)
Również wynika dla niezerowych wektorów Diraca dla tego samego "a" na podstawie (21.5), że tak zdefiniowany iloczyn skalarny jest równy wartości niezerowej.
(21.8)
Ponieważ mamy z naszych rozważań przestawionych w punkcie (21.8), to można policzyć długość wektora "ket" następująco:
(21.9)
Jak widzimy, że długość naszego wektora ket dla ściśle określonego "a" jest liczbą rzeczywistą nieujemną.
Transformacja jednego "ket'a" w drugi za pomocą operatora może być przedstawiona liniowo:
(21.10)
Również transformacja wektora "bra" w inny wektor "bra" przez operator jest opisywany:
(21.11)
Operatory i są to zwykle operatory tak zdefiniowane, by był spełniony warunek:
(21.12)
Operator jest operatorem sprzężonym po hermitowsku z operatorem .
Według wzoru operatorowego (21.12) równanie (21.10) jest sprzężony do (21.11) po hermitowsku, czyli te oba wzory są do siebie równoważne.
Policzmy, sprzężenie zwrotne iloczynu skalarnego podczas działania przez jakiś operator :
(21.13)
Jeszcze raz biorąc sprzężenie zwrotne wyrażenia (21.13), dojdziemy do początkowej postaci (przed sprzężeniem), którego przemyślenia przedstawimy później.
(21.14)
Ale wektory i zostały wybrane przypadkowo, zatem spełniony jest warunek, że podwójne sprzężenie hermowskie na dowolny operator jest tym samym operatorem, tak jak by nie było sprzężenia.
(21.15)
Rozważmy zapis i jego postać wedle przemyśleń:
(21.16)
Jeśli dodatkowo założymy, że , to mamy:
(21.17)
Wyrażenie (21.17) przedstawia rzut wektora na wektor "ket" .
Policzmy jeszcze sprzężenie hermitowskie wektora::
(21.18)
Z drugiej strony z definicji sprzężenia hermitowskiego na wektory Diraca wedle ogólnego wzoru (21.1) możemy napisać, że:
(21.19)
Z porównania wyprowadzeń (21.18) i (21.19) możemy napisać następującą tożsamość:
Lemat 1: Wartości własne operatorów hermitowskich są liczbami rzeczywistymi:
Operator jest operatorem hermitowskim, a więc zachodzą warunki:
(21.21)
(21.22)
Przyrównujemy równanie (21.21) z (21.22), zatem mamy:
(21.23)
Co jest jedynie możliwe gdy jest rzeczywiste.
Z własności, że operator jest operatorem hermitowskim, wynika że jego wartości własne są rzeczywiste.
Lemat 2: Dwa kety należące do różnych wartości własnych są ortogonalne.
(21.24)
(21.25)
Weźmy teraz iloczyny skalarne dwóch wektorów, mamy:
(21.26)
(21.27)
Gdy równanie (21.26) odejmiemy od równości (21.27), to otrzymamy równanie wynikowe różnych jego wartości własnych operatora , tzn. i , tak by zachodziło , co wspomnieliśmy w tym zdaniu:
(21.28)
Ponieważ , to mamy:, czyli wektory własne operatorów hermitowskich dla dwóch różnych wartości własnych są do siebie prostopadłe.
W bazie dyskretnej iloczyn skalarny między wektorami bazy jest przedstawiony wedle wzoru:
(21.29)
Widzimy, że wedle zapisu (21.29) wektory rozważanej bazy są ortonornalne.
Weźmy dowolny ket i rozłóżmy go w ketach bazy pisząc go przy pomocy współczynników liniowych rozwinięcia :
(21.30)
W celu wyznaczenia współczynników, mnożymy obie strony równania (21.30) przez wektor i wykorzystując warunek ortonormalności wedle (21.29) dla dwóch dowolnych wektorów bazy dyskretnej i z własności delty Kroneckera dla sum, można otrzymać wzór na owe współczynniki:
(21.31)
I już mamy wyznaczone owe współczynniki, a zatem równanie (21.30)(rozkład dowolnego keta w bazie dyskretnej) na podstawie (21.31)(współczynniki ) przyjmuje postać:
(21.32)
Z równania (21.32) (ostatnia równość) dostajemy, że operator jedynkowy jest w postaci:
(21.33)
Dochodzimy więc do wniosku, że (21.33) jest operatorem jednostkowym.
Udowodnijmy, że kwadrat owego operatora jest tym samym wektorem, wykorzystując przy tym warunek ortonormalizacji:
W bazie ciągłej iloczyn skalarny między wektorami bazy jest zdefiniowany wedle:
(21.35)
Weźmy dowolny ket i rozłóżmy go w ketach bazy (ciągłej) w sposób:
(21.36)
Teraz mnożymy obie strony równania (21.36) przez wektor , w celu wyznaczenia współczynników i wykorzystując warunek ortogonalności (21.35) oraz z własności delty Diraca dla całek, zaem można otrzymać owe współczynniki:
(21.37)
A zatem równanie (21.36) (rozkładu dowolnego keta w bazie ciągłej) na podstawie (21.37) (mając już współczynniki) przyjmuje takową postać:
(21.38)
Z równania (21.38) (ostatnia równość) dostajemy operator jedynkowy:
(21.39)
Dochodzimy więc do wniosku, że (21.39) jest operatorem jednostkowym.
Udowodnijmy, że kwadrat owego operatora jest tym samym operatorem, wykorzystując przy tym warunek ortogonalizacji (21.35):
(21.40)
Reprezentacja dowolnego keta w bazie dyskretno-ciągłej
Wiedząc, że funkcje falowe dyskretne i ciągłem są do siebie ortogonalne, wtedy pisać możemy wzory: (21.29) i (21.35), co na podstawie tego możemy napisać na wzór na wielkość średniego pędu, a później z niego otrzymać schemat na macierz jednostkową, jako suma prawych stron równości (21.32) i (21.38), (bez operatora pędu), co w skrócie zapisujemy formułę na nią:
(21.41)
Oczywiste jest, że kwadraty lewej i prawej stronie równości (21.41) są równe równością bez nich, co podobnie się udowadnia dla osobnych przypadków (dyskretnego albo ciągłego) w postaci (21.34) i (21.40), co widać po prawych ich stronach, oczywiste jest, że ich lewa strona jest dokładnie równa jedności.
Napiszmy równanie własne w widmie wektorów bazy dyskretnej w postaci:
(21.42)
gdzie są to wartości własne operatora przy wektorach własnych .
Wektory własne w równaniu własnym (21.42) spełniają warunek ortonormalności (21.29).
Przedstawmy teraz bardziej ogólnie elementy macierzowe operatora w sposób:
(21.43)
A zatem z definicji elementów macierzowych w (21.43) elementy macierzowe operatora piszemy:
(21.44)
Czyli na podstawie tożsamości (21.44) macierz elementów macierzowych operatora , czyli jest macierzą diagonalna.
Zobaczmy, gdy na jakiś element macierzowy podziałamy sprzężeniem hermitowskim i zbadajmy jakie z niego wychodzą wnioski:
(21.45)
Według (21.45) dostaniemy, że te elementy są elementami rzeczywistymi macierzy diagonalnej , bo zachodzi (21.44).
Dla widma k ciągłego równanie własne możemy przestawić w zależnosci od ciągłego parametru:
(21.47)
Wektory własne operatora we wzorze (21.47) spełniają warunek ortonormalności (21.35), jeśli je unormujemy i one są wektorami ciągłymi, które opisuje ciągły parametr k.
Niech punktem wyjścia będzie n-wymiarowa baza dyskretna przestrzeni Hilberta, określona przez wektory własne pewnego operatora hermitowskiego:
dla
(21.48)
Dokonajmy transformacji liniowej wektorów bazy tak, by otrzymać nowe wektory bazy:
(21.49)
Obierzmy tak operator , tak by miał takie same wartości własne, co operator (21.48) w nowej bazie według (21.49):
(21.50)
W równaniu (21.50) podstwiamy w prawej i lewej jego stronie wyrażenia odpowiedzialne za nową bazę opisanej przy pomocy jego odpowiednika starego według (21.49):
(21.51)
Mnożymy obustronnie wzór (21.51) przez operator (odwrotność operatora ), otrzymujemy:
(21.52)
Prawą stronę równania (21.52) zastępujemy przez lewą stronę równania (21.48), otrzymujemy:
(21.53)
Z równania (21.53) wynika, że możemy napisać wynikającą transformację operatora hermitowskiego , tak by posiadał te same wartości własne, niezależne w jakiej bazie ją opisujemy:
(21.54)
Lub nawet po przekształceniu wyznaczając operator zapisanej w nowej bazie, którego transformacja jest dokonana wedle wzoru (21.49) transformujących operatorem wektory bazy w inne wektory bazy, tak by ten nasz operator miał te same wartości własne, po prostu aby się one nie zmieniały.
(21.55)
Transformacja jest taka, że zachowuje sumę i iloczyn przetransformowanych wektorów.
Tzn. jeśli , to zachodzi według (21.55):
(21.56)
Nawet dla iloczynu dwóch operatorów transformacja zachowuje również iloczyn:
(21.57)
Wyniku operacji unitarnych wymaga się by transformowany operator hermitowski był nadal operatorem hermitowskim, tzn. musi zachodzić przed i po transformacji operatorem na wektory bazy, dla której mamy przyporządkowany operator przed transformacją lub w nowej bazie operator po transformacji, tak by one miały te same wartości własne. W naszych rozważaniach skorzystamy z transformacji operatora z jednej bazy dyskretnej do drugiej wedle wzoru operatorowego (21.55):
(21.58)
(21.59)
(21.60)
(21.61)
Równanie (21.54) po podstawieniu (21.55), wtedy będzie można wywnioskować dalsze wywody: