Szczególna teoria względności/Transformacje różniczek czasu i położenia

Transformacje różniczek czasu i położenia

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Spis treści
1Transformacie współrzędnych przestrzennych i współrzędnej czasowej dla pierwszego i drugiego rozwiązania m00 z minusem i plusem

Transformacie współrzędnych przestrzennych i współrzędnej czasowej dla pierwszego i drugiego rozwiązania m⁰₀ z minusem i plusem

Wiadomo, że równania transformacji są niezmiennicze, tzn. nie zmieniają swej postaci w zależności od układu współrzędnych. Poniżej wychodząc z tego faktu udowodnimy ile wynosi parametr γ, co wcześniej w prowadziliśmy tylko jako nieudowodnioną zależność. A teraz przejdźmy do transformacji składowej nieskończenie małej zmiany położenia ciała w nowym układzie odniesienia względem infinitezymalnej zmiany położenia starego układu współrzędnego, wykorzystując przy tym transformację współrzędnych przestrzennych ze starego układu odniesienia do nowego (2.12) oraz wykorzystując warunek (4.6), wiedząc że macierz transformacji nie zależy od czasu rzeczywistego t, zatem transformacja różniczki zmiany położenia przestrzennego na nowy układ współrzędnych przedstawiamy:

$d{\vec {r}}_{||}^{'}=M_{p||}(d{\vec {r_{||}}}-{\vec {V}}dt)=C_{p||}\gamma (d{\vec {r_{||}}}-{\vec {V}}dt)\wedge d{\vec {r}}_{\perp }^{'}=M_{p\perp }d{\vec {r}}_{\perp }=C_{p\perp }d{\vec {r}}_{\perp }\;$

(8.1)

Można udowodnić podobnie związki w podobny bardzo sposób jak w (4.13) w sposób:

$0=C_{p}^{'}P_{\perp }^{'}d{\vec {r}}_{||}^{'}=C_{p\perp }^{'}d{\vec {r}}_{||}^{'}=M_{p\perp }^{'}d{\vec {r}}_{||}^{'}=M_{p\perp }^{'}d{\vec {r_{||}'}}=M_{p\perp }^{'}M_{p||}(d{\vec {r}}_{||}-{\vec {V}}dt)=M_{p\perp }^{'}M_{p||}(d{\vec {r}}-{\vec {V}}dt)\Rightarrow 0=M_{p\perp }^{'}M_{p||}=\gamma C_{p\perp }^{'}C_{p||}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow 0=C_{p\perp }^{'}C_{p||}=C_{p\perp }C_{p||}^{'}\;$

(8.2)

Drugą zależność w przedstawieniu (8.2) można udowodnić, że wielkości bez prima przyjmujemy z primem a z primem to przyjmujemy bez prima. A także możemy dojść do wniosku:

$0=\gamma C_{p}^{'}P_{||}^{'}d{\vec {r}}_{\perp }^{'}=\gamma C_{p||}'d{\vec {r_{\perp }'}}=M_{p||}^{'}d{\vec {r_{\perp }'}}=M_{p||}^{'}M_{p\perp }d{\vec {r_{\perp }}}=M_{p||}^{'}M_{p\perp }d{\vec {r}}\Rightarrow 0=M_{p||}^{'}M_{p\perp }=\gamma C_{p||}^{'}C_{p\perp }\Rightarrow \;$
$\Rightarrow 0=C_{p||}^{'}C_{p\perp }=C_{p||}C_{p\perp }^{'}\;$

(8.3)

Drugą zależność w przedstawieniu (8.3) można udowodnić w taki sposób, że w wyniku otrzymujemy wielkości bez prima zamienione na z primem a z primem to zamienione zostanie na bez prima. Nieskończenie mała zmiana czasu w nowym układzie współrzędnych można wyrazić przy pomocy wzoru (2.5) przy definicji m₀₀ napisanej według (7.14) jako pierwsze rozwiązanie na ten parametr, wtedy mamy:

$dt'={m^{0}}_{0}\left(dt-{{\gamma ^{2}} \over {({m^{0}}_{0})^{2}}}{{({\vec {V}},d{\vec {r}})} \over {c^{2}}}\right)=\pm \gamma \left(dt-{{({\vec {V}},d{\vec {r}})} \over {c^{2}}}\right)\;$

(8.4)

We wzorze (8.4) dla prędkości bardzo małych w porównaniu z prędkością światła powinno być $dt^{'}=dt\;$, co stąd ${m^{0}}_{0}(V\ll c)\simeq 1\;$ według absolutności czasu według Newtona. Transformację odwrotna do (8.1) oraz do (8.4) jako bardzo małej zmiany wektora wodzącego opisujących ruch danego ciała fizycznego i transformacji bardzo małej zmiany czasu względem nowego układu odniesienia na stary układ odniesienia, wiedząc, że parametr $\gamma \;$ przy transformacji starego układu współrzędnych do nowego i odwrotnie jest cały czas ten sam, bo zachodzi (7.18), piszemy wedle:

$d{\vec {r_{||}}}=M_{p||}^{'}(d{\vec {r_{||}'}}-V'dt')=C_{p||}^{'}\gamma \left(d{\vec {r_{||}'}}-V^{'}dt'\right)\wedge d{\vec {r}}_{\perp }=M_{p\perp }^{'}d{\vec {r}}_{\perp }^{'}=C_{p\perp }^{'}d{\vec {r}}_{\perp }^{'}\;$

(8.5)

$dt=\pm \gamma \left(dt'-{{({\vec {V'}},d{\vec {r'}})} \over {c^{2}}}\right)\;$

(8.6)

Ze wzoru (7.17) wyprowadzimy prędkość starego układu odniesienia względem nowego układu współrzędnych:

${\vec {V}}=-C_{p}^{'}{\vec {V}}^{'}=-C_{p||}^{'}{\vec {V}}^{'}\;$

(8.7)

wtedy będzie do transformacji odwrotnej (8.6) możemy podstawić wzory (8.1) i (8.4) i (8.7), mamy:

$dt=\pm \gamma \left(dt'-{{({\vec {V'}},d{\vec {r'}})} \over {c^{2}}}\right)=\pm \gamma \left(\pm \gamma \left(dt-{{({\vec {V}},d{\vec {r}})} \over {c^{2}}}\right)-{{-{\vec {V}}^{T}} \over {c^{2}}}\underbrace {C_{p}^{T}A^{'}C_{p}} _{A}\gamma \left(d{\vec {r_{||}}}-{\vec {V}}dt\right)\right)=\gamma ^{2}dt\left(1\mp {{V^{2}} \over {c^{2}}}\right)+\gamma ^{2}\left({{-({\vec {V}},{\vec {dr}})\pm ({\vec {V}},{\vec {dr}})} \over {c^{2}}}\right)\Rightarrow \;$
$\Rightarrow dt=\gamma ^{2}\left(1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}\right)dt\;$

(8.8)

Otrzymana końcowa równość (8.8) (równość przedostatnia), jest tożsamością dla $m_{00}=\gamma \;$, jest spełniona dla dowolnie nieskończenie małego czasu, stąd możemy otrzymać związek na $\gamma \;$ wiedząc, że ${m^{0}}_{0}\;$ jest rzeczywiste, a na podstawie (7.14) $\gamma \;$ jest rzeczywiste:

$\gamma ^{2}={{1} \over {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}\Rightarrow \left(\gamma =\pm {{1} \over {\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}}\wedge V<c\right)\;$

(8.9)

Pierwsze rozwiązanie dla $V<c\;$ da się sprowadzić do postaci $V\;$ bardzo małych w porównaniu z prędkością światła by było ${m^{0}}_{0}=\pm \gamma (V\ll c)\simeq 1\;$ w taki sposób by znak w (7.14) w ${m^{0}}_{0}\;$ był plus (bo dla ${\vec {V}}\ll c\;$ by była spełniona absolutność czasu). Ale żeby według (5.1) $M_{p}(V\ll c)\simeq C_{p}\;$, to należy wybrać znak w (8.9) plus, a więc w takim przypadku $\gamma \;$ jest zawsze dodatnie i tak samo ${m^{0}}_{0}\;$ też.

Stąd udowodniliśmy twierdzenie, że parametr $\gamma \;$ (8.9) zależy tylko od wartości prędkości nowego układu współrzędnych względem starego. Nieskończenie mała zmiana położenia jakiegoś ciała możemy rozłożyć na jej składową równoległą i prostopadłą do prędkości nowego układu współrzędnych wedle sposobu:

$d{\vec {r}}=d{\vec {r}}_{\perp }+d{\vec {r}}_{||}\;$

(8.10)

Policzmy (8.10) i do niego podstawmy transformacje, tzn. (8.5), (8.6) i (8.7), otrzymujemy własność na macierz $C_{p}\;$ i wiedząc, że $M_{p}\;$, a więc i $C_{p}\;$ nie powinno zależeć od czasu i przyjmijmy w poniższych obliczeniach, że ${m^{0}}_{0}=\gamma \;$ (pierwsze rozwiązanie ze znakiem plus), ale jak przyjmiemy ${m^{0}}_{0}=-\gamma \;$ (pierwsze rozwiązaniem ze znakiem minus), to otrzymujemy coś zależnego od różniczek czasu tak jak powyżej wyprowadzeniu (8.8), gdzie w tym wyprowadzeniu otrzymujemy również coś zależnego od różniczek położenia, a nie powinno zależeć, dalej przyjmujemy $\gamma ^{2}\;$ z takim znakiem, by otrzymać równość (4.8), a więc przyjmujemy ze znakiem plus według wzoru (8.9), wtedy możemy powiedzieć ogólnie dla pierwszego rozwiązania (7.14) ze znakiem plus przy γ (ono jest jedynym sensowym rozwiązaniem jakim należy przyjąć):

$d{\vec {r}}=d{\vec {r}}_{||}+d{\vec {r}}_{\perp }=C_{p}^{'}\gamma \left(d{\vec {r'}}_{||}-{\vec {V}}'dt'\right)+C_{p}^{'}d{\vec {r}}_{\perp }^{'}=C_{p}^{'}\gamma \left(C_{p}\gamma \left(d{\vec {r}}_{||}-{\vec {V}}dt\right)+C_{p}{\vec {V}}{m^{0}}_{0}\left(dt-{{\gamma ^{2}} \over {m_{00}^{2}}}{{({\vec {V}},d{\vec {r}})} \over {c^{2}}}\right)\right)+C_{p}^{'}C_{p}d{\vec {r}}_{\perp }=\;$
$=C_{p}^{'}C_{p}d{\vec {r_{||}}}{\left(\gamma ^{2}-{m^{0}}_{0}\gamma {{\gamma ^{2}} \over {m_{00}^{2}}}{{V^{2}} \over {c^{2}}}\right)}+dtC_{p}^{'}C_{p}({m^{0}}_{0}\gamma {\vec {V}}-\gamma ^{2}{\vec {V}})+C_{p}^{'}C_{p}d{\vec {r}}_{\perp }{\xrightarrow {{m^{0}}_{0}=\gamma }}C_{p}^{'}C_{p}\gamma ^{2}d{\vec {r_{||}}}{\left(1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}\right)}+dt\gamma ^{2}C_{p}^{'}C_{p}({\vec {V}}-{\vec {V}})+C_{p}^{'}C_{p}d{\vec {r}}_{\perp }=\;$
$=C_{p}^{'}C_{p}d{\vec {r}}_{||}+C_{p}^{'}C_{p}d{\vec {r}}_{\perp }=C_{p}^{'}C_{p}d{\vec {r}}\Rightarrow d{\vec {r}}=C_{p}^{'}C_{p}d{\vec {r}}\Rightarrow C_{p}^{'}C_{p}=I\Rightarrow C_{p}^{'}=C_{p}^{-1}\;$

(8.11)

Co jest zgodne ze wzorem (4.19) z transformacji bazy i (4.8) z transformacji współrzędnych. A więc na podstawie powyższych przemyśleń punkty materialne poruszają się z prędkością mniejszą lub dążącą do prędkości światła. Gdy mamy drugie rozwiązanie (7.14), to w (8.11) różniczki czasu wcale się nie skasują i nie wyjdzie tożsamość, a powinna wyjść, czyli to rozwiązanie jest bezsensowne. Wyznaczmy własność na iloczyn macierzy $C_{p||}^{'}\;$ i $C_{p||}\;$ podstawiając do transformacji (8.5) wzory (8.1), (8.4) i (7.17), wtedy:

$d{\vec {r}}_{||}=C_{p||}^{'}\gamma \left(d{\vec {r'}}_{||}-{\vec {V}}'dt'\right)=C_{p||}^{'}\gamma \left(C_{p||}\gamma \left(d{\vec {r}}_{||}-{\vec {V}}dt\right)+C_{p||}{\vec {V}}\gamma \left(dt-{{({\vec {V}},d{\vec {r}})} \over {c^{2}}}\right)\right)=C_{p||}^{'}C_{p||}d{\vec {r_{||}}}{\gamma ^{2}\left(1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}\right)}+dt\gamma ^{2}C_{p||}^{'}C_{p||}({\vec {V}}-{\vec {V}})=\;$
$=C_{p||}^{'}C_{p||}d{\vec {r}}_{||}=C_{p||}^{'}C_{p||}d{\vec {r}}\Rightarrow d{\vec {r}}_{||}=C_{p||}^{'}C_{p||}d{\vec {r}}_{||}\;$

(8.12)

Co otrzymaliśmy zgodny wynik z (4.14). Biorąc drugi składnik koniunkcji (8.1) i (8.5) dostajemy:

$d{\vec {r}}_{\perp }=C_{p\perp }^{'}d{\vec {r}}_{\perp }^{'}=C_{p\perp }^{'}C_{p\perp }d{\vec {r}}_{\perp }=C_{p\perp }^{'}C_{p\perp }d{\vec {r}}_{\perp }\Rightarrow d{\vec {r}}_{\perp }=C_{p\perp }^{'}C_{p\perp }d{\vec {r}}_{\perp }\;$

(8.13)

co otrzymaliśmy zgodny niesprzeczny wynik z (4.15). Związek (4.16) zachodzi na podstawie (8.12) i (8.13), co nie trudno go udowodnić. Nieskończenie mała zmiana położenia ciała a właściwie jej składową równoległą do prędkości nowego układu współrzędnych, a także jej składową prostopadłą przedstawiamy:

$d{\vec {r_{||}}}=P_{||}d{\vec {r}}={\vec {V}}{{({\vec {V}},d{\vec {r}})} \over {V^{2}}}\;$

(8.14)

$d{\vec {r_{\perp }}}=P_{\perp }d{\vec {r}}=(1-P_{||})d{\vec {r}}=d{\vec {r}}-{\vec {V}}{{({\vec {V}},d{\vec {r}})} \over {V^{2}}}\;$

(8.15)

Wykorzystując definicję parametru γ (8.9) ($V<c\;$), a także biorąc różniczkę zupełną położenia, czyli $d{\vec {r}}^{'}\;$ (8.1), i wybierając $\gamma \;$ dodatnie, jak można udowodnić $\gamma \;$ ujemne jest nieodpowiednie, a dodatnie jest odpowiednie, aby były spełnione transformacje Galileusza dla zmian położeń składowych równoległych względem prędkości nowego układu odniesienia, tzn.: $d{\vec {r}}_{||}^{'}=C_{p}(d{\vec {r}}_{||}-{\vec {V}}dt)\;$ (wychodząc od transformacji (8.1) do transformacji Galileusza) przy obraniu prędkości $V\;$ bardzo małej w porównaniu z prędkością światła, wtedy możemy napisać wzór transformacyjny na nieskończenie małą zmianę położenia ciała wychodząc z tożsamości:

$d{\vec {r}}^{'}=C_{p||}{{d{\vec {r}}_{||}-{\vec {V}}dt} \over {\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}}+C_{p\perp }d{\vec {r}}_{\perp }=C_{p}\left({{d{\vec {r}}_{||}-{\vec {V}}dt} \over {\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}}+d{\vec {r}}_{\perp }\right)=C_{p}\left\{{{{\vec {V}}{{({\vec {V}},d{\vec {r}})} \over {V^{2}}}-{\vec {V}}dt} \over {\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}}+d{\vec {r}}-{\vec {V}}{{({\vec {V}},d{\vec {r}})} \over {V^{2}}}\right\}\;$

(8.16)

Wzór (8.16) jest równaniem transformacyjnym różniczki położenia ze starego układu odniesienia do nowego, a przy prędkościach bardzo małych względem prędkości światła nowego układu odniesienia, to równanie przyjmuje postać $d{\vec {r}}^{'}=C_{p}\left(d{\vec {r}}-{\vec {V}}dt\right)\;$. Ale jak udowodniliśmy wcześniej, że ${m^{0}}_{0}=\gamma \;$ i $\gamma >0\;$, a to jest jedynym warunkiem, aby dla prędkości nowego układu odniesienia ${\vec {V}}\ll c\;$ były spełnione transformacje Galileusza przy transformacjach w szczególnej teorii względności dla tych prędkości nowego układu odniesienia.