Szczególna teoria względności/Lokalna zasada zachowania tensora pędu

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Szczególna teoria względności
Szczególna teoria względności
Lokalna zasada zachowania tensora pędu

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Lokalna zasada zachowania tensora pędu - etap wstępny rozważań[edytuj]

Wzór na gęstość sił zewnętrznych działający na dany punkt ośrodka i stąd dodatkowa wynikająca różniczka siły działająca na dany punkt ośrodka z definicji tensora siły w przestrzeni zwykłej (20.35) (szczególna teoria względności) i (20.43) (mechanika Newtona) oraz lokalnej zachowawczości tensora gęstości energii(masy)-pędu kinematycznego (33.23) są przedstawione według równania:


(34.1)

Strumień energii(masy)-pędu[edytuj]

Będziemy tutaj badać ten strumień energii(pędu) w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona.

Szczególna teoria względności[edytuj]

Policzmy wyrażenie matematyczne całkowe stosując twierdzenie (Twier. 20.1) licząc w układach globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości wyrażenie obierając całkowanie po takiej dowolnej objętości infinitezymalnej V, w której przestrzeń jest globalnie (lokalnie) płaska o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, wiedząc, że ciśnienie nie zmienia się w danym czasie i przestrzeni według (26.1):






(34.2)

Mechanika Newtona[edytuj]

Policzmy wyrażenie matematyczne całkowe stosując twierdzenie (Twier. 20.1) licząc w układach globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości wyrażenie obierając całkowanie po takiej dowolnej objętości infinitezymalnej V, w której przestrzeń jest globalnie (lokalnie) płaska o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, wiedząc, że ciśnienie nie zmienia się w danym czasie i przestrzeni według (26.1):



(34.3)

Dalsze obliczenia wspólne dla szczególnej teorii względności i mechaniki Newtona[edytuj]

Na podstawie policzonego wyrażenia (34.2) i (34.3) oraz napisanej równości (34.1) dostajemy wzór na zmianę pędu w ininitezymalnej objętości względem czasu , czyli:

(34.4)

Jeżeli przyjmiemy, że w (34.4) , gdzie jest to wektor gęstości i-tej współrzędnej siły działającej na daną infinitezymalną obiętość ośrodka, co na tej podstawie wzór (34.4) przyjmuje postać:

(34.5)

Wzór ostateczny (34.5) jest równaniem ruchu opisujący zmianę i-tej współrzędnej gęstości pędu względem czasu. Dla przypadku mamy wzór na zmianę gęstości energii relatywistycznej (masy) w danym punkcie wyprowadzając go w taki sposób jak równanie (34.5), ale zamiast jest , a zamiast jest , wtedy:


(34.6)

Wzór ostateczny (34.6) jest równaniem ruchu opisujący zmianę zerowej współrzędnej wartości gęstości pędu względem czasu, czyli zmianę gęstości energii relatywistycznej (masy) wynikającej ze wzoru (20.15), tzn.: . Łącząc wzory (34.5) i (34.6), wtedy dostajemy z definicji gęstości siły niezrównoważonej:

(34.7)

A wzór (34.7) przepisujemy w formie całkowej całkując obie strony wersji różniczkowej tego równania i przenosząc pochodną czastkową przed całkę zamieniając ją na pochodną zupełną z definicji pochodnej, wtedy:

(34.8)

Wzór (34.8) przedstawia zmianę pędu danej objętości płynu względem czasu i ona jest równa zmianie pędu spowodowanego przez siłę zewnętrzną i pędowi jaka wpłynęła do układu. Wzory (34.7) i (34.8) możemy je napisasć w innej postaci korzystając z definicji interwału czasoprzestrzennego w zalezności od prędkości i różniczki czasu w formie (16.6), wtedy:

(34.9)
(34.10)

Dla mechaniki Newtona w (34.10) wielkość jest równa jeden, tzn.: .

Strumień energii(masy)-pędu w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona w układach o zmiennych krzywoliniowych (uogólnionych) niezmiennych względem czasu opisujące przestrzeń zwykłą[edytuj]

W układach globalnie (lokalnie) płaskich wzór na strumień energii(masy)-pędu możemy napisać (34.7), napiszmy go w układach o zmiennych krzywoliniowych (uogólnionych) niezmiennych względem interwału czasoprzestrzennego opisujące przestrzeń zwykłą (wtedy macierz transformacji jest (21.20)), wiedząc, że w układach szczególnej teorii względności i mechanice Newtona mamy (34.9), wtedy:

(34.11)

Zatem pisząc bez nadkreśleń wzór dla układów o zmiennych krzywoliniowych (uogólnionych) niezmiennych względem interwału czasoprzestrzennego o postaci podobnej do (21.19) opisujące przestrzeń zwykłą na podstawie (34.11) spełnione w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona, mamy:

(34.12)

Napiszmy jaka jest interpretacja wzoru (34.12), napiszmy całkę objętościową obu stron tego równania, zatem:

(34.13)

Wzór przedstawia zmianę pędu danej objętości płynu względem interwału czasoprzestrzennego, a ona jest równa zmianie pędu spowodowanego przez tensor siły zewnętrznej i pędowi, która wpłynęła do tej objętości ograniczonej powierzchnią zamkniętą przez tą powierzchnię, w jednostce interwału czasoprzestrzennego.

Równość (34.13) otrzymujemy po podziale objętości zamkniętej powierzchnią na nieskończenie wiele infinitezymalnych prostopadłościanów, wtedy otrzymamy to równanie dla nich i po złączeniu równań w nich w jedno równanie otrzymujemy tą równość.

Szczególna teoria względności[edytuj]

W szczególnej teorii względności prawa (34.12) (wersja różniczkowa) i (34.13) (wersja całkowa) przy definicji tensora gęstości energii-pędu kinematycznego (33.20) przy klasie transformacji Lorentza są spełnione.

Mechanika Newtona[edytuj]

W mechanice Newtona prawa (34.7) (wersja różniczkowa) i (34.8) (wersja całkowa) są spełnione dla przy definicji tensora gęstości masy-pędu kinematycznego (33.21) przy klasie transformacji Galileusza:

(34.14)
(34.15)

Prawa (34.12) (wersja różniczkowa) i (34.13) (wersja całkowa) dla w mechanice Newtona przechodząc z układu globalnie (lokalnie) płaskiego o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do układu o zmiennych krzywoliniowych (uogólnionych) opisujące przestrzeń zwykłą przy klasie transformacji Galileusza, które są funkcjami uogólnionymi, są dokładnie tożsamościowo spełnione (tzn. prawa i lewa strona są równe zero), czyli w prawach w (34.14) i (34.15) je tylko piszemy dla . Przepiszmy wzór (34.12) dla wiedząc, że dla prawa i lewa jego strona są tożsamościowo równe zero, w takim razie:

(34.16)