Przejdź do zawartości

Szczególna teoria względności/Tensory w czasoprzestrzeni

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Szczególna teoria względności
Szczególna teoria względności
Tensory w czasoprzestrzeni

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Przestrzeń jest opisana n współrzędnymi, która wraz ze współrzędną czasową tworzą n+1 współrzędnych, co w rezultacie otrzymujemy n+1 wymiarowy wektor.

Czterowektor wielkości tensorowych[edytuj]

Jest to tensor jednowskaźnikowy, w którym mamy współrzędną czasową i trzy współrzędne przestrzenne, np. dla tensora kontrawariantnego i kowariantnego , mamy czterowektor kontrawariantny i kowariantny na podstawie definicji tensora metrycznego podwójnie kowariantnego dla czasoprzestrzeni prostokątnej (16.5):

(20.1)

Tensor położenia w czasoprzestrzeni[edytuj]

Tensor położenia nazywamy zestaw współrzędnych tensora kontrawariantnego, w których pierwszą składową jest współrzędna czasowa, która jest iloczynem wartości prędkości światła i zwykłego czasu rzeczywistego. Dalsze trzy współrzędne N+1 wymiarowego tego wektora są to współrzędne przestrzenne, charakteryzujące położenie w przestrzeni.

Tensor położenia w czasoprzestrzeni nazywamy tensor kontrawariantny:

(20.2)
  • gdzie pierwsza współrzędna jest to współrzędna czasowa, a jest to położenie w przestrzeni zwykłej.

Tensor prędkości w czasoprzestrzeni[edytuj]

Tensor prędkości w czasoprzestrzeni nazywamy pochodną zupełna tensora położenia xμ (20.2) względem interwału czasoprzestrzennego:

(20.3)
  • gdzie ds jest to różniczka interwału czasoprzestrzennego, którego kwadrat jest napisany w punkcie (16.1) (przestrzeń nieprostokątna) i (16.2) (przestrzeń prostokątna) dla szczególnej teorii względności i (16.12) dla mechaniki Newtona.

Szczególna teoria względności[edytuj]

Wyznaczmy część czasową i przestrzenna n+1 wymiarowego tensora prędkości (20.3) wykorzystując przy tym definicję różniczki interwału czasoprzestrzennego, który dla skończonego czasu jest zapisana wzorem (16.1):

(20.4)
(20.5)

Zbierając wnioski (20.4) (część czasowa n+1 wymiarowego tensora prędkości) i (20.5) (część przestrzenna tej samej wielkości), wtedy tensor prędkości możemy napisać:

(20.6)

Mechanika Newtona[edytuj]

Tensor prędkości w czasoprzestrzeni nazywamy pochodną zupełna tensora położenia xμ (20.2) względem interwału czasoprzestrzennego, jest w takiej samej postaci jak w punkcie (20.3). Wyznaczmy część czasową i przestrzenna n+1 wymiarowego tensora prędkości (20.3) wykorzystując przy tym definicję różniczki interwału czasoprzestrzennego, który dla absolutnego czasu jest zapisana wzorem (16.12):

(20.7)
(20.8)

Zbierając wnioski (20.7) (część czasowa n+1 wymiarowego tensora prędkości) i (20.8) (część przestrzenna tej samej wielkości), wtedy tensor prędkości możemy napisać:

(20.9)

Patrząc na (20.9) wielkości i są tensorami, ten pierwszy nazwijmy tensorem prędkości, a ten drugi wielkością wskaźnikową prędkości.

Interwał czasoprzestrzenny[edytuj]

Będziamy tutaj badali własności interwału czasoprzestrzennego.

Szczególna teoria względności[edytuj]

Interwał czasoprzestrzenny definiujemy przy pomocy definicji tensora metrycznego Minkowskiego (16.4) i przy definicji n+1 wymiarowego wektora położenia (20.2), zatem wzór (16.1) jest wyrażony:

(20.10)

Jeśli wykorzystamy definicję n+1 wymiarowego tensora prędkości zapisanej w punkcie (20.3), to końcową tożsamość wynikową (20.10) przepisujemy:

(20.11)

Co (20.11) i z własności tensorów metrycznych, a w szczególnym przypadku tensora metrycznego Minkowskiego ηij, w którym to powyższe równanie jest z kolei równoważne równaniu:

(20.12)

Mechanika Newtona[edytuj]

Interwał czasoprzestrzenny wynikający z definicji interwału czasoprzestrzennego (16.6) w szczególnej teorii względności przy , które spełnia mechanika Newtona, jest (16.12) znając definicję tensora prędkości (20.3) przepiszmy:

(20.13)

Na podstawie obliczeń (20.13) w mechanice Newtona część czasowa tensora prędkości jest równe jeden, a wielkość wskaźnikowa czasowa też jest równa prędkości światła , co jest zgodne tez dla tej samej teorii ze wzorem (20.9).

Tensor pędu w czasoprzestrzeni[edytuj]

Tensorem pędu nazywamy wielkość zdefiniowana przy pomocy tensora prędkości (20.3), masy spoczynkowej badanego ciała m0 i prędkości światła w próżni:

(20.14)

Szczególna teoria względności[edytuj]

Jeśli wykorzystamy formę przedstawiania n+1 wymiarowego tensora prędkości zapisanej w punkcie (20.6), wtedy jej cześć czasowa przy wykorzystaniu definicji energii relatywistycznej E=mc2 jest zdefiniowana poniżej i jest ona równa energii relatywistycznej danego ciała E podzielonej przez prędkość fal elektromagnetycznych w próżni c.

(20.15)

I dalej wyznaczmy dla naszego tensora pędu części przestrzenne, tzn. dla i=x,y,z, ..., zatem wtedy dochodzimy do wniosku na podstawie obliczeń poniżej, że cześć przestrzenna tensora pędu jest to po prostu zwykły pęd relatywistyczny, czyli wielkość, która jest iloczynem masy relatywistycznej ciała i jego prędkości przestrzennej v[{Sup|i}}:

(20.16)

Pierwsza składowa n+1 wymiarowego wektora pędu jest energią ciała z dokładnością do odwrotności prędkości światła, czyli (20.15), i dalsze składowe są współrzędnymi zwykłego pędu relatywistycznego (20.16), zatem w takim przypadku tensor pędu w czasoprzestrzeni Minkowskiego definiujemy:

(20.17)

Mechanika Newtona[edytuj]

Jeśli wykorzystamy formę przedstawiania n+1 wymiarowego tensora prędkości zapisanej w punkcie (20.6), wtedy jej cześć czasowa przy wykorzystaniu definicji energii relatywistycznej E=mc2 jest zdefiniowana poniżej i jest ona równa energii spoczynkowej danego ciała E podzielonej przez prędkość fal elektromagnetycznych w próżni c.

(20.18)

I dalej wyznaczmy dla naszego tensora pędu części przestrzenne, tzn. dla i=x,y,z, ..., zatem wtedy dochodzimy do wniosku na podstawie obliczeń poniżej, że cześć przestrzenna tensora pędu jest to po prostu zwykły pęd relatywistyczny, czyli wielkość, która jest iloczynem masy relatywistycznej ciała i jego prędkości przestrzennej v[{Sup|i}}:

(20.19)

Pierwsza składowa n+1 wymiarowego wektora pędu jest energią spoczynkową ciała z dokładnością do odwrotności prędkości światła, czyli (20.18), i dalsze składowe są współrzędnymi zwykłego pędu relatywistycznego (20.19), zatem w takim przypadku tensor pędu w czasoprzestrzeni Minkowskiego definiujemy:

(20.20)

Transformacja tensora pędu z jednego układu odniesienia do drugiego[edytuj]

Będziemy się tutaj zajmowali transformacją tensora pędu, wektora pędu i energii relatywistycznej w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona.

Szczególna teoria względności[edytuj]

Napiszmy wzór na transformację z jednego układu współrzędnych do drugiego tensora pędu (20.17), zatem transformacja z jednego układu odniesienia do drugiego wykorzystując macierz transformacji (11.2) przyjmuje postać:

(20.21)

Stąd wzór na transformację energii i pędu przybiera wynikającą z (20.21) postać:

(20.22)
(20.23)

Mamy już transformację wektora pędu według (20.23), przestawmy wzory na składowe prostopadłe i równoległe wektora pędu do prędkości liniowej nowego układu odniesienia wiedząc, że :

(20.24)
(20.25)

Napiszmy wzór na kwadrat pędu prostopadłego względem linii poruszania się nowego układu współrzędnych wykorzystując wzór na transformację macierzy iloczynu skalarnego (4.1):

(20.26)

Czyli pęd prostopadły do prędkości liniowej nowego układu odniesienia nie zmienia swojej wartości.

Mechanika Newtona[edytuj]

Napiszmy wzór na transformację z jednego układu współrzędnych do drugiego tensora pędu (20.20), zatem transformacja z jednego układu odniesienia do drugiego wykorzystując macierz transformacji (11.15) przyjmuje postać:

(20.27)

Wzór na transformację energii spoczynkowej (masy spoczybkowej) i wektora pędu przybiera wynikającą z (20.27) postać:

(20.28)
(20.29)

Na podstawie (20.28) masa spoczynkowa, a właściwiej masa, nie transformuje się przy przejściu z jednego układu do drugiego, a wektor pędu już tak. Mamy już transformację wektora pędu według (20.29), przestawmy wzory na składowe prostopadłe i równoległe wektora pędu do prędkości liniowej nowego układu odniesienia wiedząc, że :

(20.30)
(20.31)

Napiszmy wzór na kwadrat pędu prostopadłego względem linii poruszania się nowego układu współrzędnych wykorzystując wzór na transformację macierzy iloczynu skalarnego (4.1):

(20.32)

Czyli pęd prostopadły do prędkości liniowej nowego układu odniesienia nie zmienia swojej wartości.

Tensor siły w czasoprzestrzeni[edytuj]

N+1 wymiarowym wektorem siły nazywamy wielkość zdefiniowaną jako pochodną n+1 wymiarowego wektora pędu (20.14) względem linii światła, której różniczka jest zdefiniowana w punkcie (16.1) (lub (16.2)):

(20.33)

Szczególna teoria względności[edytuj]

Wyznaczmy elementy czasoprzestrzenne tensora siły (20.33) i jak przekonamy się później, że jest to wielkość proporcjonalna do relatywistycznej siły znanej z drugiej zasady dynamiki Einsteina (19.16):

(20.34)

Wedle wzoru (20.22) siła relatywistyczna jest proporcjonalna do części przestrzennej n+1 wymiarowego wektora siły:

(20.35)

Jeśli wykorzystamy wzór wynikający z definicji interwału czasoprzestrzennego i tensora siły, czyli wzoru (20.11) i pomnożeniu tak otrzymanego wyrażenia przez (m0c)2 i po wykorzystaniu definicji n+1 wymiarowego wektora pędu (20.12), to:

(20.36)

Zróżniczkujmy obie strony równania (20.24) względem linii światła:

(20.37)

Korzystać będziemy, że tensor Minkowskiego jest tensorem symetrycznym, który wynika z jego własności, a zatem równość (20.37) po zamianie miejscami wskaźników niemych według schematu μ→ν i ν→μ, wtedy po tak dokonanej zamianie i po podzieleniu tak otrzymanego równania przez dwa, wtedy dostajemy tożsamość fizyczną:

(20.38)

Jeśli wykorzystamy definicję tensor siły (20.33) we wzorze (20.38), to:

(20.39)

W równaniu (20.33) wydzielamy części przestrzenne (ν=1,2,3) od jej elementów czasowego (ν=0) oraz prowadząc kolejne przekształcenia wyznaczając część czasową tensora siły (20.33), właśnie ten element można zapisać:

(20.40)

Na samym końcu możemy wykorzystać wnioski (20.34) (część przestrzenna tensora siły) i (20.34) (część czasowa tensora siły), wtedy ten nasz tensor siły piszemy:

(20.41)

Jeśli mamy układ K', który porusza się z prędkością względem układu K, i dalej ponieważ tensor jest tensorem, to wtedy prawa fizyki są takie same we wszystkich układach odniesienia inercjalnych zgodnie z postulatem pierwszym szczególnej teorii względności. Wielkość wskaźnikowa siły w (20.41) nie jest tensorem, a jest tensorem. Jest w szczególnej teorii względności jest jak w (20.41), a w mechanice Newtona według (20.33) na podstawie definicjni tensora prędkości (20.9) mamy:

Mechanika Newtona[edytuj]

W mechanice Newtona według (20.33) na podstawie definicjni tensora prędkości (20.9), mamy:

(20.42)

Wielkości w (20.42), tzn.: i są tensorami, ten pierwszy nazwijmy tensorem siły, a ten drugi wielkością wskaźnikową siły. Widzmy, że współrzędne czasowe są zerowe, a współrzędne przestrzenne są za to niezerowe. Na podstawie przestrzeni Galileusza, mamy wzór na wektor tensora siły w zalezności od wektora wielkości wskaźnikowej siły:

(20.43)

Jeszcze raz o twierdzeniu o środku mas[edytuj]

Mając tensory położenia (20.2) i masy relatywistyczne możemy napisać wzór na położenie tensorowe środka mas:

(20.44)

Gdzie to tensor położenia ciała o numerze , a to położenie środka mas. N-tą pochodną względem dowolnej zmiennej możemy napisać w postaci podobnej do (25.2)Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.,tzn: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Wzór Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. podobnie się udowadnia jak wzór Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.. A więc twierdzenie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. zostało udowodnione. Wzory Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. są równoważne ze wzorami Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. dla Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.. Gdy we wzorze Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. mamy Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., gdzie w nim Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. to masa spoczynkowa elementu masowego o numerze Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., a także Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., to wtedy dostajemy: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Widzimy, że według wzoru Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. masa środka mas jest równa sumie mas poszczególnych elementów masowych, stąd wzór Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. dla Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. jest tożsamością. Stąd wzór Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. jest słuszny dla każdego Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. dla Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.. A masa spoczynkowa środka mas jest równa sumie mas relatywistycznych elementów masowych podzielonego przez Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., które jest zdefiniowane wzorem Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.(tutaj wybieramy znak plus jak wcześniej w module pierwszym powiedzieliśmy) dla wartości prędkości środka mas Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.. Przepiszmy wzór Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. dla Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., co po przekształceniu go wykorzystując Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. oraz dzieląc obustronnie ten wzór przez Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., wtedy: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Stąd na podstawie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. mamy twierdzenie dla tensora prędkości środka mas dla jej elementów przestrzennych. A ponieważ zachodzi Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. według Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., to możemy napisać w prawej i lewej stronie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. wykorzystując mnożenie przez jeden, tzn. tożsamości Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., a także wykorzystując definicję tensora prędkości dla jej elementów czasowych: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Łącząc wzory Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. ze sobą w jeden wzór dostajemy: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Jest to wzór na tensor prędkości dla środka mas z którym on się porusza, w którym masa spoczynkowa środka mas Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. jest zdefiniowana według Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów..

Tensor siły dla środka mas[edytuj]

Metryka dla środka mas tak samo się definiuje i ma takie same właściwości jak metryka Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. dla poszczególnych punktów masowych. Wykorzystując twierdzenie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. o środku mas układu cząstek, to wzory Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. są również spełnione dla środka mas, bo te wzory są również formułowane dla definicji siły Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. ogólnie dla środka mas układów cząstek, a Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. udowodniliśmy wychodząc z Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.. Stąd wzór na tensor siły dla poruszającego środka masy i wzory na tensory sił dla elementów masowych są formalnie jednakowe.

Twierdzenie dodawania i odejmowania wyrazów równych zero do równania i wyrażenia matematycznego w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości i słabozakrzywionych (zakrzywionych)[edytuj]

A oto bardzo ważne twierdzenie matematyczne potrzebne do udowadniania fizyki (mechaniki Newtona i szczególnej teorii względności) słuszne dla układów globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych (zakrzywionych), które będziemy stosować. Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.

  • 1. A oto przykład funkcji, która w układzie globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości jest równa zero:

Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. W układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. jest równa zero ze względu globalną (lokalną) stałość gęstości spoczynkowej Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i globalną (lokalną) stałość tensora prędkości Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.. Przejdźmy do układów słabozakrzywionych, tzn. wymnażamy przez macierz transformcji Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Wyraz w Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. jest równy zero ze względu, że wyraz Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości jest równy zero.

  • 2. A oto przykład funkcji tensorowej słuszne dla układów co najwyżej zakrzywionych, ale najpierw udowodnijmy jego wartość w układzie globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości:

Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. A więc przejście od układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości wyrażenia Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. do układów słabozakrzywionych (zakrzywionych) daje nam jego wartość zero.

  • 3. A oto przykład całki słuszne dla układów co najwyżej słabozakrzywionych, ale najpierw udowodnijmy jego wartość w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości:

Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Pierwszy wyraz ostatniej równości jest równy zero dzięki niezależności gęstości spoczynkowej Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i niezależności ciśnienia Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. względem interwału czasoprzestrzennego w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości. Drugi wyraz w Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. jest równy zero na podstawie przykładu Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.. Całka powierzchniowa (trzeci wyraz) jest dokładnie równa zero niezależnie jak by na to patrzeć w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości według Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.. A więc przejście całki Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. od układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do układów słabozakrzywionych (zakrzywionych) na podstawie powyższego twierdzenia też daje nam wartość tej całki zero.

Gęstość tensora (wielkości wskaźnikowej) siły w przypadku relatywistycznego (szczególna teoria względności) i nierelatywistycznego (mechanika Newtona) ruchu płynu i punktów[edytuj]

Będziemy tutaj rozpatrywali relatywistyczny ruch cząstek płynu i punktów (ciał).

Szczególna teoria względności[edytuj]

Będziemy tutaj rozważać prawa ruchu układu relatywistycznego według szczególnej teorii względności.

Układy słabozakrzywione i globalnie (lokalnie) płaskie[edytuj]

Spróbujmy wyprowadzić wzór na gęstość tensora siły, której różniczka tensora siły działa na dany punkt ośrodka i jej odpowiednik dla skończonego tensora siły jest w postaci Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., piszemy wychodząc z różniczki tensora siły będąca iloczynem różniczki masy spoczynkowej i pochodnej zupełnej tensora prędkości cząstki płynu względem interwału czasoprzestrzennego i korzystając z definicji skrócenia długości Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. (przechodząc z infinitezymalnej różniczki objętości spoczynkowej do objętości relatywistycznej) i definicji gęstości masy spoczynkowej, możemy powiedzieć: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Wzór na gęstość tensora siły jest w postaci Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.. Korzystając z definicji gęstości tensora siły Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. według wzoru Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. przejdziemy z niej do gęstości wielkości wskaźnikowej siły Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. na podstawie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły jest w postaci Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., jest ona iloczynem gęstości spoczynkowej masy, prędkości światła, parametru γ i pochodnej zupełnej tensora prędkości względem czasu t.

Układ globalnie (lokalnie) płaski o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości[edytuj]

Mając wzór na wielkość gęstości tensora siły według punktu Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. przestawmy go w innej postaci dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości stosując w nim globalną (lokalną) stałość tensora prędkości Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i globalną (lokalną) stałość gęstości spoczynkowej masy Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. oraz twierdzenie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., jako: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Wzór na gęstość tensora siły Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. zapisujemy jako pochodna cząstkowa iloczynu gęstości relatywistycznej masy i wielkości wskaźnikowej prędkości względem interwału czasoprzestrzennego. Napiszmy drugą postać tego wzoru patrząc co jest po czwartej równości w Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., mamy: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Wzór na gęstość tensora siły Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. jest iloczynem gęstości spoczynkowej masy, prędkości światła, γ i pochodnej cząstkowej tensora prędkości względem interwału czasoprzestrzennego. Na podstawie sobie różnych postaci jednego wzoru dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. piszemy ich odpowiedniki gęstości wielkości wskaźnikowej siły patrząc na równość Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., wtedy Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Wzory na gęstość tensora siły Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. są równoważne co najwyżej w przybliżeniu wzorowi Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. oraz wzory na gęstość wielkości wskaźnikowej siły Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. są równoważne co najwyżej w przybliżeniu wzorowi Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. na mocy twierdzenia Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. w układach globalnie (lokalnie) płaskich, a te twierdzenia są słuszne również w układach słabozakrzywionych na mocy twierdzenia o transformacji wielkości tensorowych.

Prawa dynamiki dla układów punktowych wynikające z praw dla układów rozciągłych dla przestrzeni słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich[edytuj]

Drugie prawo dynamiki w postaci wskaźnikowej dla układów rozciągłych dla układów słabozakrzywionych jest napisana według wzoru Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., a dla układów punktowych wyprowadzamy z tego wzoru wzór na wielkość wskaźnikową siły według Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., a więc: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Napiszmy z definicji delty Diraca: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.

  • gdzie n to wymiar przetrzeni zwykłej.

Na podstawie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i z definicji delty Diraca dla układów punktowych wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły podczas jego operacji całkowania względem objętości: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Stąd wzór Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. dla układów rozciągłych przechodzi dla układów punktowych w wzór Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. (końcowy wzór), czyli w Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.. Zatem wzór dla układów punktowych dla układów słabokrzywionych na tensor siły jest w postaci Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., a dla rozciągłych wzór na gęstość tensora siły przedstawia się w formie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. (drugi wzór w implikacji), i to wszystko dla układów słabozakrzywionych.

Mechanika Newtona[edytuj]

Będziemy tutaj rozważać prawa ruchu układu nierelatywistycznego według mechaniki Newtona.

Układy słabozakrzywione i globalnie (lokalnie) płaskie[edytuj]

Spróbujmy wyprowadzić wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły, której różniczka wektora działa na dany punkt ośrodka i jej odpowiednik dla skończonej wielkości wskaźnikowej siły jest w postaci Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., piszemy wychodząc z różniczki wielkości wskaźnikowej siły będąca iloczynem różniczki masy spoczynkowej i pochodnej zupełnej wielkości wskaźnikowej prędkości cząstki płynu względem czasu absolutnego, korzystając przy tym, że nie ma żadnego skrócenia długości (a więc transformacji infinitezymalnej objętości z różniczki objętości spoczynkowej), i definicji gęstości masy spoczynkowej (ogólnie gęstości masy), możemy powiedzieć: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły jest w postaci Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., jest ona iloczynem gęstości spoczynkowej i pochodnej wielkości wskaźnikowej prędkości względem czasu t.

Układ globalnie (lokalnie) płaski o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości[edytuj]

Mając wzór na wielkość gęstości wskaźnikowej siły według punktu Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. przestawmy go w innej postaci dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości stosując zachodzącą globalną (lokalną) stałość tensora prędkości Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i globalną (lokalną) stałość gęstości masy spoczynkowej Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. oraz twierdzenie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., jako: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły jest pochodną iloczynu gęstości masy i wielkości wskaźnikowej prędkości. Dalej patrząc co jest po drugiej równości w Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., mamy: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Wzór Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. jest iloczynem gęstości masy i pochodnej cząstkowej wielkości wskaźnikowej prędkości względem czasu absolutnego. Wzory na gęstość wielkości wskaźnikowej siły Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. są równoważne co najwyżej w przybliżeniu wzorowi Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. na mocy twierdzenia Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. w układach globalnie (lokalnie) płaskich, a te twierdzenia są słuszne również w układach słabozakrzywionych na mocy twierdzenia o transformacji wielkości tensorowych.

Prawa dynamiki dla układów punktowych wynikające z praw dla układów rozciągłych dla przestrzeni słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich[edytuj]

Drugie prawo dynamiki w postaci wskaźnikowej dla układów rozciągłych dla układów słabozakrzywionych jest napisana według wzoru Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., a dla układów punktowych wyprowadzamy z tego wzoru wyprowadzając wzór na wielkość wskaźnikową siły według Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., a więc: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Napiszmy z definicji delty Diraca: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.

  • gdzie n to wymiar przestrzeni zwykłej.

Na podstawie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i z definicji delty Diraca dla układów punktowych wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły podczas jego operacji całkowania względem objętości: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Stąd wzór Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. dla układów rozciągłych przechodzi dla układów punktowych w wzór Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. (końcowy wzór), czyli w Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.. Zatem wzór dla układów punktowych dla układów słabozakrzywionych na wielkość wskaźnikową siły jest w postaci Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., a dla rozciągłych wzór na gęstość wielkości wskaźnikową siły przedstawia się w formie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. (drugi wzór w implikacji), i to wszystko dla układów słabozakrzywionych.