Szczególna teoria względności/Tensory w czasoprzestrzeni

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Szczególna teoria względności
Szczególna teoria względności
Tensory w czasoprzestrzeni

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Przestrzeń jest opisana n współrzędnymi, która wraz ze współrzędną czasową tworzą n+1 współrzędnych, co w rezultacie otrzymujemy n+1 wymiarowy wektor.

Czterowektor wielkości tensorowych[edytuj]

Jest to tensor jednowskaźnikowy, w którym mamy współrzędną czasową i trzy współrzędne przestrzenne, np. dla tensora kontrawariantnego i kowariantnego , mamy czterowektor kontrawariantny i kowariantny na podstawie definicji tensora metrycznego podwójnie kowariantnego dla czasoprzestrzeni prostokątnej (2.224):

(7.1)

Tensor położenia w czasoprzestrzeni[edytuj]

Tensor położenia nazywamy zestaw współrzędnych tensora kontrawariantnego, w których pierwszą składową jest współrzędna czasowa, która jest iloczynem wartości prędkości światła i zwykłego czasu rzeczywistego. Dalsze trzy współrzędne N+1 wymiarowego tego wektora są to współrzędne przestrzenne, charakteryzujące położenie w przestrzeni.

Tensor położenia w czasoprzestrzeni nazywamy tensor kontrawariantny:

(7.2)
  • gdzie pierwsza współrzędna jest to współrzędna czasowa, a jest to położenie w przestrzeni zwykłej.

Tensor prędkości w czasoprzestrzeni[edytuj]

Tensor prędkości w czasoprzestrzeni nazywamy pochodną zupełna tensora położenia xμ (7.2) względem interwału czasoprzestrzennego:

(7.3)
  • gdzie ds jest to różniczka interwału czasoprzestrzennego, którego kwadrat jest napisany w punkcie (2.220) (przestrzeń nieprostokątna) i (2.221) (przestrzeń prostokątna) dla szczególnej teorii względności i (2.231) dla mechaniki Newtona.

Szczególna teoria względności[edytuj]

Wyznaczmy część czasową i przestrzenna n+1 wymiarowego tensora prędkości (7.3) wykorzystując przy tym definicję różniczki interwału czasoprzestrzennego, który dla skończonego czasu jest zapisana wzorem (2.220):

(7.4)
(7.5)

Zbierając wnioski (7.4) (część czasowa n+1 wymiarowego tensora prędkości) i (7.5) (część przestrzenna tej samej wielkości), wtedy tensor prędkości możemy napisać:

(7.6)

Mechanika Newtona[edytuj]

Tensor prędkości w czasoprzestrzeni nazywamy pochodną zupełna tensora położenia xμ (7.2) względem interwału czasoprzestrzennego, jest w takiej samej postaci jak w punkcie (7.3). Wyznaczmy część czasową i przestrzenna n+1 wymiarowego tensora prędkości (7.3) wykorzystując przy tym definicję różniczki interwału czasoprzestrzennego, który dla absolutnego czasu jest zapisana wzorem (2.231):

(7.7)
(7.8)

Zbierając wnioski (7.7) (część czasowa n+1 wymiarowego tensora prędkości) i (7.8) (część przestrzenna tej samej wielkości), wtedy tensor prędkości możemy napisać:

(7.9)

Patrząc na (7.9) wielkości i są tensorami, ten pierwszy nazwijmy tensorem prędkości, a ten drugi wielkością wskaźnikową prędkości.

Interwał czasoprzestrzenny[edytuj]

Będziamy tutaj badali własności interwału czasoprzestrzennego.

Szczególna teoria względności[edytuj]

Interwał czasoprzestrzenny definiujemy przy pomocy definicji tensora metrycznego Minkowskiego (2.223) i przy definicji n+1 wymiarowego wektora położenia (7.2), zatem wzór (2.220) jest wyrażony:

(7.10)

Jeśli wykorzystamy definicję n+1 wymiarowego tensora prędkości zapisanej w punkcie (7.3), to końcową tożsamość wynikową (7.10) przepisujemy:

(7.11)

Co (7.11) i z własności tensorów metrycznych, a w szczególnym przypadku tensora metrycznego Minkowskiego ηij, w którym to powyższe równanie jest z kolei równoważne równaniu:

(7.12)

Mechanika Newtona[edytuj]

Interwał czasoprzestrzenny wynikający z definicji interwału czasoprzestrzennego (2.225) w szczególnej teorii względności przy , które spełnia mechanika Newtona, jest (2.231) znając definicję tensora prędkości (7.3) przepiszmy:

(7.13)

Na podstawie obliczeń (7.13) w mechanice Newtona część czasowa tensora prędkości jest równe jeden, a wielkość wskaźnikowa czasowa też jest równa prędkości światła , co jest zgodne tez dla tej samej teorii ze wzorem (7.9).

Tensor pędu w czasoprzestrzeni[edytuj]

Tensorem pędu nazywamy wielkość zdefiniowana przy pomocy tensora prędkości (7.3), masy spoczynkowej badanego ciała m0 i prędkości światła w próżni:

(7.14)

Szczególna teoria względności[edytuj]

Jeśli wykorzystamy formę przedstawiania n+1 wymiarowego tensora prędkości zapisanej w punkcie (7.6), wtedy jej cześć czasowa przy wykorzystaniu definicji energii relatywistycznej E=mc2 jest zdefiniowana poniżej i jest ona równa energii relatywistycznej danego ciała E podzielonej przez prędkość fal elektromagnetycznych w próżni c.

(7.15)

I dalej wyznaczmy dla naszego tensora pędu części przestrzenne, tzn. dla i=x,y,z, ..., zatem wtedy dochodzimy do wniosku na podstawie obliczeń poniżej, że cześć przestrzenna tensora pędu jest to po prostu zwykły pęd relatywistyczny, czyli wielkość, która jest iloczynem masy relatywistycznej ciała i jego prędkości przestrzennej vi:

(7.16)

Pierwsza składowa n+1 wymiarowego wektora pędu jest energią ciała z dokładnością do odwrotności prędkości światła, czyli (7.15), i dalsze składowe są współrzędnymi zwykłego pędu relatywistycznego (7.16), zatem w takim przypadku tensor pędu w czasoprzestrzeni Minkowskiego definiujemy:

(7.17)

Mechanika Newtona[edytuj]

Jeśli wykorzystamy formę przedstawiania n+1 wymiarowego tensora prędkości zapisanej w punkcie (7.6), wtedy jej cześć czasowa przy wykorzystaniu definicji energii relatywistycznej E=mc2 jest zdefiniowana poniżej i jest ona równa energii spoczynkowej danego ciała E podzielonej przez prędkość fal elektromagnetycznych w próżni c.

(7.18)

I dalej wyznaczmy dla naszego tensora pędu części przestrzenne, tzn. dla i=x,y,z, ..., zatem wtedy dochodzimy do wniosku na podstawie obliczeń poniżej, że cześć przestrzenna tensora pędu jest to po prostu zwykły pęd relatywistyczny, czyli wielkość, która jest iloczynem masy relatywistycznej ciała i jego prędkości przestrzennej vi:

(7.19)

Pierwsza składowa n+1 wymiarowego wektora pędu jest energią spoczynkową ciała z dokładnością do odwrotności prędkości światła, czyli (7.18), i dalsze składowe są współrzędnymi zwykłego pędu relatywistycznego (7.19), zatem w takim przypadku tensor pędu w czasoprzestrzeni Minkowskiego definiujemy:

(7.20)

Transformacja tensora pędu z jednego układu odniesienia do drugiego[edytuj]

Będziemy się tutaj zajmowali transformacją tensora pędu, wektora pędu i energii relatywistycznej w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona.

Szczególna teoria względności[edytuj]

Napiszmy wzór na transformację z jednego układu współrzędnych do drugiego tensora pędu (7.17), zatem transformacja z jednego układu odniesienia do drugiego wykorzystując macierz transformacji (2.149) przyjmuje postać:

(7.21)

Stąd wzór na transformację energii i pędu przybiera wynikającą z (7.21) postać:

(7.22)
(7.23)

Mamy już transformację wektora pędu według (7.23), przestawmy wzory na składowe prostopadłe i równoległe wektora pędu do prędkości liniowej nowego układu odniesienia wiedząc, że :

(7.24)
(7.25)

Napiszmy wzór na kwadrat pędu prostopadłego względem linii poruszania się nowego układu współrzędnych wykorzystując wzór na transformację macierzy iloczynu skalarnego (2.30):

(7.26)

Czyli pęd prostopadły do prędkości liniowej nowego układu odniesienia nie zmienia swojej wartości.

Mechanika Newtona[edytuj]

Napiszmy wzór na transformację z jednego układu współrzędnych do drugiego tensora pędu (7.20), zatem transformacja z jednego układu odniesienia do drugiego wykorzystując macierz transformacji (2.157) przyjmuje postać:

(7.27)

Wzór na transformację energii spoczynkowej (masy spoczybkowej) i wektora pędu przybiera wynikającą z (7.27) postać:

(7.28)
(7.29)

Na podstawie (7.28) masa spoczynkowa, a właściwiej masa, nie transformuje się przy przejściu z jednego układu do drugiego, a wektor pędu już tak. Mamy już transformację wektora pędu według (7.29), przestawmy wzory na składowe prostopadłe i równoległe wektora pędu do prędkości liniowej nowego układu odniesienia wiedząc, że :

(7.30)
(7.31)

Napiszmy wzór na kwadrat pędu prostopadłego względem linii poruszania się nowego układu współrzędnych wykorzystując wzór na transformację macierzy iloczynu skalarnego (2.30):

(7.32)

Czyli pęd prostopadły do prędkości liniowej nowego układu odniesienia nie zmienia swojej wartości.

Tensor siły w czasoprzestrzeni[edytuj]

N+1 wymiarowym wektorem siły nazywamy wielkość zdefiniowaną jako pochodną n+1 wymiarowego wektora pędu (7.14) względem linii światła, której różniczka jest zdefiniowana w punkcie (2.220) (lub (2.221)):

(7.33)

Szczególna teoria względności[edytuj]

Wyznaczmy elementy czasoprzestrzenne tensora siły (7.33) i jak przekonamy się później, że jest to wielkość proporcjonalna do relatywistycznej siły znanej z drugiej zasady dynamiki Einsteina (3.14):

(7.34)

Wedle wzoru (7.22) siła relatywistyczna jest proporcjonalna do części przestrzennej n+1 wymiarowego wektora siły:

(7.35)

Jeśli wykorzystamy wzór wynikający z definicji interwału czasoprzestrzennego i tensora siły, czyli wzoru (7.11) i pomnożeniu tak otrzymanego wyrażenia przez (m0c)2 i po wykorzystaniu definicji n+1 wymiarowego wektora pędu (7.12), to:

(7.36)

Zróżniczkujmy obie strony równania (7.24) względem linii światła:

(7.37)

Korzystać będziemy, że tensor Minkowskiego jest tensorem symetrycznym, który wynika z jego własności, a zatem równość (7.37) po zamianie miejscami wskaźników niemych według schematu μ→ν i ν→μ, wtedy po tak dokonanej zamianie i po podzieleniu tak otrzymanego równania przez dwa, wtedy dostajemy tożsamość fizyczną:

(7.38)

Jeśli wykorzystamy definicję tensor siły (7.33) we wzorze (7.38), to:

(7.39)

W równaniu (7.33) wydzielamy części przestrzenne (ν=1,2,3) od jej elementów czasowego (ν=0) oraz prowadząc kolejne przekształcenia wyznaczając część czasową tensora siły (7.33), właśnie ten element można zapisać:

(7.40)

Na samym końcu możemy wykorzystać wnioski (7.34) (część przestrzenna tensora siły) i (7.34) (część czasowa tensora siły), wtedy ten nasz tensor siły piszemy:

(7.41)

Jeśli mamy układ K', który porusza się z prędkością względem układu K, i dalej ponieważ tensor jest tensorem, to wtedy prawa fizyki są takie same we wszystkich układach odniesienia inercjalnych zgodnie z postulatem pierwszym szczególnej teorii względności. Wielkość wskaźnikowa siły w (7.41) nie jest tensorem, a jest tensorem. Jest w szczególnej teorii względności jest jak w (7.41), a w mechanice Newtona według (7.33) na podstawie definicjni tensora prędkości (7.9) mamy:

Mechanika Newtona[edytuj]

W mechanice Newtona według (7.33) na podstawie definicjni tensora prędkości (7.9), mamy:

(7.42)

Wielkości w (7.42), tzn.: i są tensorami, ten pierwszy nazwijmy tensorem siły, a ten drugi wielkością wskaźnikową siły. Widzmy, że współrzędne czasowe są zerowe, a współrzędne przestrzenne są za to niezerowe. Na podstawie przestrzeni Galileusza, mamy wzór na wektor tensora siły w zalezności od wektora wielkości wskaźnikowej siły:

(7.43)

Jeszcze raz o twierdzeniu o środku mas[edytuj]

Mając tensory położenia (7.2) i masy relatywistyczne możemy napisać wzór na położenie tensorowe środka mas:

(7.44)

Gdzie to tensor położenia ciała o numerze , a to położenie środka mas. N-tą pochodną względem dowolnej zmiennej możemy napisać w postaci podobnej do (3.105),tzn:

(7.45)

Wzór (7.45) podobnie się udowadnia jak wzór (3.105). A więc twierdzenie (7.45) zostało udowodnione. Wzory (7.44) i (7.45) są równoważne ze wzorami (3.104) i (3.105) dla i . Gdy we wzorze (7.44) mamy , gdzie w nim to masa spoczynkowa elementu masowego o numerze , a także , to wtedy dostajemy:

(7.46)

Widzimy, że według wzoru (7.46) masa środka mas jest równa sumie mas poszczególnych elementów masowych, stąd wzór (7.44) dla jest tożsamością. Stąd wzór (7.45) jest słuszny dla każdego dla . A masa spoczynkowa środka mas jest równa sumie mas relatywistycznych elementów masowych podzielonego przez , które jest zdefiniowane wzorem (3.10)(tutaj wybieramy znak plus jak wcześniej w module pierwszym powiedzieliśmy) dla wartości prędkości środka mas . Przepiszmy wzór (7.45) dla i , i , co po przekształceniu go wykorzystując (7.46) i (7.6) oraz dzieląc obustronnie ten wzór przez , wtedy:

(7.47)

Stąd na podstawie (7.47) mamy twierdzenie dla tensora prędkości środka mas dla jej elementów przestrzennych. A ponieważ zachodzi i według (7.6), to możemy napisać w prawej i lewej stronie (7.46) wykorzystując mnożenie przez jeden, tzn. tożsamości i , a także wykorzystując definicję tensora prędkości dla jej elementów czasowych:

(7.48)

Łącząc wzory (7.47) i (7.48) ze sobą w jeden wzór dostajemy:

(7.49)

Jest to wzór na tensor prędkości dla środka mas z którym on się porusza, w którym masa spoczynkowa środka mas jest zdefiniowana według (7.46).

Tensor siły dla środka mas[edytuj]

Metryka dla środka mas tak samo się definiuje i ma takie same właściwości jak metryka (7.10) dla poszczególnych punktów masowych. Wykorzystując twierdzenie (3.104) o środku mas układu cząstek, to wzory (7.33) i (7.41) są również spełnione dla środka mas, bo te wzory są również formułowane dla definicji siły (3.112) ogólnie dla środka mas układów cząstek, a (3.112) udowodniliśmy wychodząc z (3.14). Stąd wzór na tensor siły dla poruszającego środka masy i wzory na tensory sił dla elementów masowych są formalnie jednakowe.

Twierdzenie dodawania i odejmowania wyrazów równych zero do równania i wyrażenia matematycznego w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości i słabozakrzywionych (zakrzywionych)[edytuj]

A oto bardzo ważne twierdzenie matematyczne potrzebne do udowadniania fizyki (mechaniki Newtona i szczególnej teorii względności) słuszne dla układów globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych (zakrzywionych), które będziemy stosować.

Twierdzenie pomijania wyrazów tensorowych i skalarów w układach globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych (zakrzywionych) (Twier. 7.1)
W układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, jeżeli wyraz jest dokładnie równy zero z właściwości tego układu, i wymnożenie tych elementów przez macierz transformacji (popatrz na definicję macierzy transformacji (2.216) w przypadku układów słabozakrzywionych) w przypadku przejścia do układów słabozakrzywionych (zakrzywionych), jeżeli w tych układach daje też dokładnie lub w przybliżeniu zero na podstawie teorii funkcji uogólnionych lub zwykłych funkcji, to ten wyraz w równaniu można dodać z albo usunąć w równaniu i wyrażeniu matematycznym. Skalary w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, jeżeli są równe zero, to automatycznie w innych dowolnych układach współrzędnych (słabozakrzywionych, czy zakrzywionych), też są równe zero, a więc je pomijamy. Można dodawać i odejmować tylko te wyrazy skalarne, tensorowe, wskaźnikowe i wskaźnikowo-tensorowe w wyrażeniu i równaniu, które w każdym układzie współrzędnych mają zerową wartość, a w wielkościach tensorowych, wskaźnikowych i wskaźnikowo-tensorowych należy wyraz ogólnić w układach globalnie (lokalnie) płaskich są równe zero, by potem przejść do układów słabozakrzywionych (zakrzywionych), we współrzędnych krzywoliniowych lub uogólnionych zamieniając przecinek na średnik, bo tam symbole Christoffela w układach globalnie (lokalnie) płaskich są równe zero.
  • 1.A oto przykład funkcji, która w układzie globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości jest równa zero:
(7.50)

W układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości (7.50) jest równa zero ze względu globalną (lokalną) stałość gęstości spoczynkowej (3.23) i globalną (lokalną) stałość tensora prędkości (3.117). Przejdźmy do układów słabozakrzywionych, tzn. wymnażamy przez macierz transformcji (2.216):

(7.51)

Wyraz w (7.51) jest równy zero ze względu, że wyraz w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości jest równy zero.

  • 2.A oto przykład funkcji tensorowej słuszne dla układów co najwyżej zakrzywionych, ale najpierw udowodnijmy jego wartość w układzie globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości:

(7.52)

A więc przejście od układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości wyrażenia (7.52) do układów słabozakrzywionych (zakrzywionych) daje nam jego wartość zero.

  • 3. A oto przykład całki słuszne dla układów co najwyżej słabozakrzywionych, ale najpierw udowodnijmy jego wartość w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości:


(7.53)

Pierwszy wyraz ostatniej równości jest równy zero dzięki niezależności gęstości spoczynkowej (3.117) i niezależności ciśnienia (3.114) względem interwału czasoprzestrzennego w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości. Drugi wyraz w (7.53) jest równy zero na podstawie przykładu (7.52). Całka powierzchniowa (trzeci wyraz) jest dokładnie równa zero niezależnie jak by na to patrzeć w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości według globalnej (lokalnej) stałości tensora prędkości (3.23). A więc przejście całki (7.53) od układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do układów słabozakrzywionych (zakrzywionych) na podstawie powyższego twierdzenia też daje nam wartość tej całki zero.

Gęstość tensora (wielkości wskaźnikowej) siły w przypadku relatywistycznego (szczególna teoria względności) i nierelatywistycznego (mechanika Newtona) ruchu płynu i punktów[edytuj]

Będziemy tutaj rozpatrywali relatywistyczny ruch cząstek płynu i punktów (ciał).

Szczególna teoria względności[edytuj]

Będziemy tutaj rozważać prawa ruchu układu relatywistycznego według szczególnej teorii względności.

Układy słabozakrzywione i globalnie (lokalnie) płaskie[edytuj]

Spróbujmy wyprowadzić wzór na gęstość tensora siły, której różniczka tensora siły działa na dany punkt ośrodka i jej odpowiednik dla skończonego tensora siły jest w postaci (7.33), piszemy wychodząc z różniczki tensora siły będąca iloczynem różniczki masy spoczynkowej i pochodnej zupełnej tensora prędkości cząstki płynu względem interwału czasoprzestrzennego i korzystając z definicji skrócenia długości (9.7) (przechodząc z infinitezymalnej różniczki objętości spoczynkowej do objętości relatywistycznej) i definicji gęstości masy spoczynkowej, możemy powiedzieć:

(7.54)

Wzór na gęstość tensora siły jest w postaci (7.54). Korzystając z definicji gęstości tensora siły według wzoru (7.54) przejdziemy z niej do gęstości wielkości wskaźnikowej siły na podstawie (7.41):

(7.55)

Wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły jest w postaci (7.55), jest ona iloczynem gęstości spoczynkowej masy, prędkości światła, parametru γ i pochodnej zupełnej tensora prędkości względem czasu t.

Układ globalnie (lokalnie) płaski o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości[edytuj]

Mając wzór na wielkość gęstości tensora siły według punktu (7.54) przestawmy go w innej postaci dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości stosując w nim globalną (lokalną) stałość tensora prędkości (3.23) i globalną (lokalną) stałość gęstości spoczynkowej masy (3.117) oraz twierdzenie (Twier. 7.1), jako:





(7.56)

Wzór na gęstość tensora siły (7.56) zapisujemy jako pochodna cząstkowa iloczynu gęstości relatywistycznej masy i wielkości wskaźnikowej prędkości względem interwału czasoprzestrzennego. Napiszmy drugą postać tego wzoru patrząc co jest po czwartej równości w (7.56), mamy:


(7.57)

Wzór na gęstość tensora siły (7.57) jest iloczynem gęstości spoczynkowej masy, prędkości światła, γ i pochodnej cząstkowej tensora prędkości względem interwału czasoprzestrzennego. Na podstawie sobie różnych postaci jednego wzoru dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości (7.56) i (7.57) piszemy ich odpowiedniki gęstości wielkości wskaźnikowej siły patrząc na równość (7.41), wtedy


(7.58)

Wzory na gęstość tensora siły (7.56) i (7.57) są równoważne co najwyżej w przybliżeniu wzorowi (7.54) oraz wzory na gęstość wielkości wskaźnikowej siły (7.58) są równoważne co najwyżej w przybliżeniu wzorowi (7.55) na mocy twierdzenia (Twier. 7.1) w układach globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych.

Prawa dynamiki dla układów punktowych wynikające z praw dla układów rozciągłych dla przestrzeni słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich[edytuj]

Drugie prawo dynamiki w postaci wskaźnikowej dla układów rozciągłych dla układów słabozakrzywionych jest napisana według wzoru (7.55), a dla układów punktowych wyprowadzamy z tego wzoru wzór na wielkość wskaźnikową siły według (3.14), a więc:

(7.59)

Napiszmy z definicji delty Diraca:

(7.60)
  • gdzie n to wymiar przetrzeni zwykłej.

Na podstawie (7.59) i z definicji delty Diraca dla układów punktowych wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły podczas jego operacji całkowania względem objętości:

(7.61)

Stąd wzór (7.59) dla układów rozciągłych przechodzi dla układów punktowych w wzór (7.61) (końcowy wzór), czyli w (3.14). Zatem wzór dla układów punktowych dla układów słabokrzywionych na tensor siły jest w postaci (7.33), a dla rozciągłych wzór na gęstość tensora siły przedstawia się w formie (7.54) (drugi wzór w implikacji), i to wszystko dla układów słabozakrzywionych.

Mechanika Newtona[edytuj]

Będziemy tutaj rozważać prawa ruchu układu nierelatywistycznego według mechaniki Newtona.

Układy słabozakrzywione i globalnie (lokalnie) płaskie[edytuj]

Spróbujmy wyprowadzić wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły, której różniczka wektora działa na dany punkt ośrodka i jej odpowiednik dla skończonej wielkości wskaźnikowej siły jest w postaci (MT-1.32), piszemy wychodząc z różniczki wielkości wskaźnikowej siły będąca iloczynem różniczki masy spoczynkowej i pochodnej zupełnej wielkości wskaźnikowej prędkości cząstki płynu względem czasu absolutnego, korzystając przy tym, że nie ma żadnego skrócenia długości (a więc transformacji infinitezymalnej objętości z różniczki objętości spoczynkowej), i definicji gęstości masy spoczynkowej (ogólnie gęstości masy), możemy powiedzieć:

(7.62)

Wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły jest w postaci (7.62), jest ona iloczynem gęstości spoczynkowej i pochodnej wielkości wskaźnikowej prędkości względem czasu t.

Układ globalnie (lokalnie) płaski o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości[edytuj]

Mając wzór na wielkość gęstości wskaźnikowej siły według punktu (7.62) przestawmy go w innej postaci dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości stosując zachodzącą globalną (lokalną) stałość tensora prędkości (3.24) i globalną (lokalną) stałość gęstości masy spoczynkowej (3.117) oraz twierdzenie (Twier. 7.1), jako:



(7.63)

Wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły jest pochodną iloczynu gęstości masy i wielkości wskaźnikowej prędkości. Dalej patrząc co jest po drugiej równości w (7.63), mamy:


(7.64)

Wzór (7.64) jest iloczynem gęstości masy i pochodnej cząstkowej wielkości wskaźnikowej prędkości względem czasu absolutnego. Wzory na gęstość wielkości wskaźnikowej siły (7.63) i (7.64) są równoważne co najwyżej w przybliżeniu wzorowi (7.62) na mocy twierdzenia (Twier. 7.1) w układach globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych.

Prawa dynamiki dla układów punktowych wynikające z praw dla układów rozciągłych dla przestrzeni słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich[edytuj]

Drugie prawo dynamiki w postaci wskaźnikowej dla układów rozciągłych dla układów słabozakrzywionych jest napisana według wzoru (7.62), a dla układów punktowych wyprowadzamy z tego wzoru wyprowadzając wzór na wielkość wskaźnikową siły według (3.14), a więc:

(7.65)

Napiszmy z definicji delty Diraca:

(7.66)
  • gdzie n to wymiar przestrzeni zwykłej.

Na podstawie (7.65) i z definicji delty Diraca dla układów punktowych wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły podczas jego operacji całkowania względem objętości:

(7.67)

Stąd wzór (7.65) dla układów rozciągłych przechodzi dla układów punktowych w wzór (7.67) (końcowy wzór), czyli w (MT-1.32). Zatem wzór dla układów punktowych dla układów słabozakrzywionych na wielkość wskaźnikową siły jest w postaci (MT-1.32), a dla rozciągłych wzór na gęstość wielkości wskaźnikową siły przedstawia się w formie (7.62) (drugi wzór w implikacji), i to wszystko dla układów słabozakrzywionych.