Szczególna teoria względności/Tensory w czasoprzestrzeni

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Szczególna teoria względności
Szczególna teoria względności
Tensory w czasoprzestrzeni

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Przestrzeń jest opisana n współrzędnymi, która wraz ze współrzędną czasową tworzą n+1 współrzędnych, co w rezultacie otrzymujemy n+1 wymiarowy wektor.

Czterowektor wielkości tensorowych[edytuj]

Jest to tensor jednowskaźnikowy, w którym mamy współrzędną czasową i trzy współrzędne przestrzenne, np. dla tensora kontrawariantnego i kowariantnego , mamy czterowektor kontrawariantny i kowariantny na podstawie definicji tensora metrycznego podwójnie kowariantnego dla czasoprzestrzeni prostokątnej (16.5):

(20.1)

Tensor położenia w czasoprzestrzeni[edytuj]

Tensor położenia nazywamy zestaw współrzędnych tensora kontrawariantnego, w których pierwszą składową jest współrzędna czasowa, która jest iloczynem wartości prędkości światła i zwykłego czasu rzeczywistego. Dalsze trzy współrzędne N+1 wymiarowego tego wektora są to współrzędne przestrzenne, charakteryzujące położenie w przestrzeni.

Tensor położenia w czasoprzestrzeni nazywamy tensor kontrawariantny:

(20.2)
  • gdzie pierwsza współrzędna jest to współrzędna czasowa, a jest to położenie w przestrzeni zwykłej.

Tensor prędkości w czasoprzestrzeni[edytuj]

Tensor prędkości w czasoprzestrzeni nazywamy pochodną zupełna tensora położenia xμ (20.2) względem interwału czasoprzestrzennego:

(20.3)
  • gdzie ds jest to różniczka interwału czasoprzestrzennego, którego kwadrat jest napisany w punkcie (16.1) (przestrzeń nieprostokątna) i (16.2) (przestrzeń prostokątna) dla szczególnej teorii względności i (16.12) dla mechaniki Newtona.

Szczególna teoria względności[edytuj]

Wyznaczmy część czasową i przestrzenna n+1 wymiarowego tensora prędkości (20.3) wykorzystując przy tym definicję różniczki interwału czasoprzestrzennego, który dla skończonego czasu jest zapisana wzorem (16.1):

(20.4)
(20.5)

Zbierając wnioski (20.4) (część czasowa n+1 wymiarowego tensora prędkości) i (20.5) (część przestrzenna tej samej wielkości), wtedy tensor prędkości możemy napisać:

(20.6)

Mechanika Newtona[edytuj]

Tensor prędkości w czasoprzestrzeni nazywamy pochodną zupełna tensora położenia xμ (20.2) względem interwału czasoprzestrzennego, jest w takiej samej postaci jak w punkcie (20.3). Wyznaczmy część czasową i przestrzenna n+1 wymiarowego tensora prędkości (20.3) wykorzystując przy tym definicję różniczki interwału czasoprzestrzennego, który dla absolutnego czasu jest zapisana wzorem (16.12):

(20.7)
(20.8)

Zbierając wnioski (20.7) (część czasowa n+1 wymiarowego tensora prędkości) i (20.8) (część przestrzenna tej samej wielkości), wtedy tensor prędkości możemy napisać:

(20.9)

Patrząc na (20.9) wielkości i są tensorami, ten pierwszy nazwijmy tensorem prędkości, a ten drugi wielkością wskaźnikową prędkości.

Interwał czasoprzestrzenny[edytuj]

Będziamy tutaj badali własności interwału czasoprzestrzennego.

Szczególna teoria względności[edytuj]

Interwał czasoprzestrzenny definiujemy przy pomocy definicji tensora metrycznego Minkowskiego (16.4) i przy definicji n+1 wymiarowego wektora położenia (20.2), zatem wzór (16.1) jest wyrażony:

(20.10)

Jeśli wykorzystamy definicję n+1 wymiarowego tensora prędkości zapisanej w punkcie (20.3), to końcową tożsamość wynikową (20.10) przepisujemy:

(20.11)

Co (20.11) i z własności tensorów metrycznych, a w szczególnym przypadku tensora metrycznego Minkowskiego ηij, w którym to powyższe równanie jest z kolei równoważne równaniu:

(20.12)

Mechanika Newtona[edytuj]

Interwał czasoprzestrzenny wynikający z definicji interwału czasoprzestrzennego (16.6) w szczególnej teorii względności przy , które spełnia mechanika Newtona, jest (16.12) znając definicję tensora prędkości (20.3) przepiszmy:

(20.13)

Na podstawie obliczeń (20.13) w mechanice Newtona część czasowa tensora prędkości jest równe jeden, a wielkość wskaźnikowa czasowa też jest równa prędkości światła , co jest zgodne tez dla tej samej teorii ze wzorem (20.9).

Tensor pędu w czasoprzestrzeni[edytuj]

Tensorem pędu nazywamy wielkość zdefiniowana przy pomocy tensora prędkości (20.3), masy spoczynkowej badanego ciała m0 i prędkości światła w próżni:

(20.14)

Szczególna teoria względności[edytuj]

Jeśli wykorzystamy formę przedstawiania n+1 wymiarowego tensora prędkości zapisanej w punkcie (20.6), wtedy jej cześć czasowa przy wykorzystaniu definicji energii relatywistycznej E=mc2 jest zdefiniowana poniżej i jest ona równa energii relatywistycznej danego ciała E podzielonej przez prędkość fal elektromagnetycznych w próżni c.

(20.15)

I dalej wyznaczmy dla naszego tensora pędu części przestrzenne, tzn. dla i=x,y,z, ..., zatem wtedy dochodzimy do wniosku na podstawie obliczeń poniżej, że cześć przestrzenna tensora pędu jest to po prostu zwykły pęd relatywistyczny, czyli wielkość, która jest iloczynem masy relatywistycznej ciała i jego prędkości przestrzennej vi:

(20.16)

Pierwsza składowa n+1 wymiarowego wektora pędu jest energią ciała z dokładnością do odwrotności prędkości światła, czyli (20.15), i dalsze składowe są współrzędnymi zwykłego pędu relatywistycznego (20.16), zatem w takim przypadku tensor pędu w czasoprzestrzeni Minkowskiego definiujemy:

(20.17)

Mechanika Newtona[edytuj]

Jeśli wykorzystamy formę przedstawiania n+1 wymiarowego tensora prędkości zapisanej w punkcie (20.6), wtedy jej cześć czasowa przy wykorzystaniu definicji energii relatywistycznej E=mc2 jest zdefiniowana poniżej i jest ona równa energii spoczynkowej danego ciała E podzielonej przez prędkość fal elektromagnetycznych w próżni c.

(20.18)

I dalej wyznaczmy dla naszego tensora pędu części przestrzenne, tzn. dla i=x,y,z, ..., zatem wtedy dochodzimy do wniosku na podstawie obliczeń poniżej, że cześć przestrzenna tensora pędu jest to po prostu zwykły pęd relatywistyczny, czyli wielkość, która jest iloczynem masy relatywistycznej ciała i jego prędkości przestrzennej vi:

(20.19)

Pierwsza składowa n+1 wymiarowego wektora pędu jest energią spoczynkową ciała z dokładnością do odwrotności prędkości światła, czyli (20.18), i dalsze składowe są współrzędnymi zwykłego pędu relatywistycznego (20.19), zatem w takim przypadku tensor pędu w czasoprzestrzeni Minkowskiego definiujemy:

(20.20)

Transformacja tensora pędu z jednego układu odniesienia do drugiego[edytuj]

Będziemy się tutaj zajmowali transformacją tensora pędu, wektora pędu i energii relatywistycznej w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona.

Szczególna teoria względności[edytuj]

Napiszmy wzór na transformację z jednego układu współrzędnych do drugiego tensora pędu (20.17), zatem transformacja z jednego układu odniesienia do drugiego wykorzystując macierz transformacji (11.2) przyjmuje postać:

(20.21)

Stąd wzór na transformację energii i pędu przybiera wynikającą z (20.21) postać:

(20.22)
(20.23)

Mamy już transformację wektora pędu według (20.23), przestawmy wzory na składowe prostopadłe i równoległe wektora pędu do prędkości liniowej nowego układu odniesienia wiedząc, że :

(20.24)
(20.25)

Napiszmy wzór na kwadrat pędu prostopadłego względem linii poruszania się nowego układu współrzędnych wykorzystując wzór na transformację macierzy iloczynu skalarnego (4.1):

(20.26)

Czyli pęd prostopadły do prędkości liniowej nowego układu odniesienia nie zmienia swojej wartości.

Mechanika Newtona[edytuj]

Napiszmy wzór na transformację z jednego układu współrzędnych do drugiego tensora pędu (20.20), zatem transformacja z jednego układu odniesienia do drugiego wykorzystując macierz transformacji (11.15) przyjmuje postać:

(20.27)

Wzór na transformację energii spoczynkowej (masy spoczybkowej) i wektora pędu przybiera wynikającą z (20.27) postać:

(20.28)
(20.29)

Na podstawie (20.28) masa spoczynkowa, a właściwiej masa, nie transformuje się przy przejściu z jednego układu do drugiego, a wektor pędu już tak. Mamy już transformację wektora pędu według (20.29), przestawmy wzory na składowe prostopadłe i równoległe wektora pędu do prędkości liniowej nowego układu odniesienia wiedząc, że :

(20.30)
(20.31)

Napiszmy wzór na kwadrat pędu prostopadłego względem linii poruszania się nowego układu współrzędnych wykorzystując wzór na transformację macierzy iloczynu skalarnego (4.1):

(20.32)

Czyli pęd prostopadły do prędkości liniowej nowego układu odniesienia nie zmienia swojej wartości.

Tensor siły w czasoprzestrzeni[edytuj]

N+1 wymiarowym wektorem siły nazywamy wielkość zdefiniowaną jako pochodną n+1 wymiarowego wektora pędu (20.14) względem linii światła, której różniczka jest zdefiniowana w punkcie (16.1) (lub (16.2)):

(20.33)

Szczególna teoria względności[edytuj]

Wyznaczmy elementy czasoprzestrzenne tensora siły (20.33) i jak przekonamy się później, że jest to wielkość proporcjonalna do relatywistycznej siły znanej z drugiej zasady dynamiki Einsteina (19.16):

(20.34)

Wedle wzoru (20.22) siła relatywistyczna jest proporcjonalna do części przestrzennej n+1 wymiarowego wektora siły:

(20.35)

Jeśli wykorzystamy wzór wynikający z definicji interwału czasoprzestrzennego i tensora siły, czyli wzoru (20.11) i pomnożeniu tak otrzymanego wyrażenia przez (m0c)2 i po wykorzystaniu definicji n+1 wymiarowego wektora pędu (20.12), to:

(20.36)

Zróżniczkujmy obie strony równania (20.24) względem linii światła:

(20.37)

Korzystać będziemy, że tensor Minkowskiego jest tensorem symetrycznym, który wynika z jego własności, a zatem równość (20.37) po zamianie miejscami wskaźników niemych według schematu μ→ν i ν→μ, wtedy po tak dokonanej zamianie i po podzieleniu tak otrzymanego równania przez dwa, wtedy dostajemy tożsamość fizyczną:

(20.38)

Jeśli wykorzystamy definicję tensor siły (20.33) we wzorze (20.38), to:

(20.39)

W równaniu (20.33) wydzielamy części przestrzenne (ν=1,2,3) od jej elementów czasowego (ν=0) oraz prowadząc kolejne przekształcenia wyznaczając część czasową tensora siły (20.33), właśnie ten element można zapisać:

(20.40)

Na samym końcu możemy wykorzystać wnioski (20.34) (część przestrzenna tensora siły) i (20.34) (część czasowa tensora siły), wtedy ten nasz tensor siły piszemy:

(20.41)

Jeśli mamy układ K', który porusza się z prędkością względem układu K, i dalej ponieważ tensor jest tensorem, to wtedy prawa fizyki są takie same we wszystkich układach odniesienia inercjalnych zgodnie z postulatem pierwszym szczególnej teorii względności. Wielkość wskaźnikowa siły w (20.41) nie jest tensorem, a jest tensorem. Jest w szczególnej teorii względności jest jak w (20.41), a w mechanice Newtona według (20.33) na podstawie definicjni tensora prędkości (20.9) mamy:

Mechanika Newtona[edytuj]

W mechanice Newtona według (20.33) na podstawie definicjni tensora prędkości (20.9), mamy:

(20.42)

Wielkości w (20.42), tzn.: i są tensorami, ten pierwszy nazwijmy tensorem siły, a ten drugi wielkością wskaźnikową siły. Widzmy, że współrzędne czasowe są zerowe, a współrzędne przestrzenne są za to niezerowe. Na podstawie przestrzeni Galileusza, mamy wzór na wektor tensora siły w zalezności od wektora wielkości wskaźnikowej siły:

(20.43)

Jeszcze raz o twierdzeniu o środku mas[edytuj]

Mając tensory położenia (20.2) i masy relatywistyczne możemy napisać wzór na położenie tensorowe środka mas:

(20.44)

Gdzie to tensor położenia ciała o numerze , a to położenie środka mas. N-tą pochodną względem dowolnej zmiennej możemy napisać w postaci podobnej do (25.2),tzn:

(20.45)

Wzór (20.45) podobnie się udowadnia jak wzór (25.2). A więc twierdzenie (20.45) zostało udowodnione. Wzory (20.44) i (20.45) są równoważne ze wzorami (25.1) i (25.2) dla i . Gdy we wzorze (20.44) mamy , gdzie w nim to masa spoczynkowa elementu masowego o numerze , a także , to wtedy dostajemy:

(20.46)

Widzimy, że według wzoru (20.46) masa środka mas jest równa sumie mas poszczególnych elementów masowych, stąd wzór (20.44) dla jest tożsamością. Stąd wzór (20.45) jest słuszny dla każdego dla . A masa spoczynkowa środka mas jest równa sumie mas relatywistycznych elementów masowych podzielonego przez , które jest zdefiniowane wzorem (19.10)(tutaj wybieramy znak plus jak wcześniej w module pierwszym powiedzieliśmy) dla wartości prędkości środka mas . Przepiszmy wzór (20.45) dla i , i , co po przekształceniu go wykorzystując (20.46) i (20.6) oraz dzieląc obustronnie ten wzór przez , wtedy:

(20.47)

Stąd na podstawie (20.47) mamy twierdzenie dla tensora prędkości środka mas dla jej elementów przestrzennych. A ponieważ zachodzi i według (20.6), to możemy napisać w prawej i lewej stronie (20.46) wykorzystując mnożenie przez jeden, tzn. tożsamości i , a także wykorzystując definicję tensora prędkości dla jej elementów czasowych:

(20.48)

Łącząc wzory (20.47) i (20.48) ze sobą w jeden wzór dostajemy:

(20.49)

Jest to wzór na tensor prędkości dla środka mas z którym on się porusza, w którym masa spoczynkowa środka mas jest zdefiniowana według (20.46).

Tensor siły dla środka mas[edytuj]

Metryka dla środka mas tak samo się definiuje i ma takie same właściwości jak metryka (20.10) dla poszczególnych punktów masowych. Wykorzystując twierdzenie (25.1) o środku mas układu cząstek, to wzory (20.33) i (20.41) są również spełnione dla środka mas, bo te wzory są również formułowane dla definicji siły (25.9) ogólnie dla środka mas układów cząstek, a (25.9) udowodniliśmy wychodząc z (19.16). Stąd wzór na tensor siły dla poruszającego środka masy i wzory na tensory sił dla elementów masowych są formalnie jednakowe.

Twierdzenie dodawania i odejmowania wyrazów równych zero do równania i wyrażenia matematycznego w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości i słabozakrzywionych (zakrzywionych)[edytuj]

A oto bardzo ważne twierdzenie matematyczne potrzebne do udowadniania fizyki (mechaniki Newtona i szczególnej teorii względności) słuszne dla układów globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych (zakrzywionych), które będziemy stosować.

Twierdzenie pomijania wyrazów tensorowych i skalarów w układach globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych (zakrzywionych) (Twier. 20.1)
W układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, jeżeli wyraz jest dokładnie równy zero z właściwości tego układu, i wymnożenie tych elementów przez macierz transformacji (popatrz na definicję macierzy transformacji (15.31) w przypadku układów słabozakrzywionych) w przypadku przejścia do układów słabozakrzywionych (zakrzywionych), jeżeli w tych układach daje też dokładnie lub w przybliżeniu zero na podstawie teorii funkcji uogólnionych lub zwykłych funkcji, to ten wyraz w równaniu można dodać z albo usunąć w równaniu i wyrażeniu matematycznym. Skalary w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, jeżeli są równe zero, to automatycznie w innych dowolnych układach współrzędnych (słabozakrzywionych, czy zakrzywionych), też są równe zero, a więc je pomijamy. Można dodawać i odejmować tylko te wyrazy skalarne, tensorowe, wskaźnikowe i wskaźnikowo-tensorowe w wyrażeniu i równaniu, które w każdym układzie współrzędnych mają zerową wartość, a w wielkościach tensorowych, wskaźnikowych i wskaźnikowo-tensorowych należy wyraz ogólnić w układach globalnie (lokalnie) płaskich są równe zero, by potem przejść do układów słabozakrzywionych (zakrzywionych), we współrzędnych krzywoliniowych lub uogólnionych zamieniając przecinek na średnik, bo tam symbole Christoffela w układach globalnie (lokalnie) płaskich są równe zero.
  • 1.A oto przykład funkcji, która w układzie globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości jest równa zero:
(20.50)

W układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości (20.50) jest równa zero ze względu globalną (lokalną) stałość gęstości spoczynkowej (26.5) i globalną (lokalną) stałość tensora prędkości (21.6). Przejdźmy do układów słabozakrzywionych, tzn. wymnażamy przez macierz transformcji (15.31):

(20.51)

Wyraz w (20.51) jest równy zero ze względu, że wyraz w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości jest równy zero.

  • 2.A oto przykład funkcji tensorowej słuszne dla układów co najwyżej zakrzywionych, ale najpierw udowodnijmy jego wartość w układzie globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości:

(20.52)

A więc przejście od układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości wyrażenia (20.52) do układów słabozakrzywionych (zakrzywionych) daje nam jego wartość zero.

  • 3. A oto przykład całki słuszne dla układów co najwyżej słabozakrzywionych, ale najpierw udowodnijmy jego wartość w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości:


(20.53)

Pierwszy wyraz ostatniej równości jest równy zero dzięki niezależności gęstości spoczynkowej (26.5) i niezależności ciśnienia (26.2) względem interwału czasoprzestrzennego w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości. Drugi wyraz w (20.53) jest równy zero na podstawie przykładu (20.52). Całka powierzchniowa (trzeci wyraz) jest dokładnie równa zero niezależnie jak by na to patrzeć w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości według (21.6). A więc przejście całki (20.53) od układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do układów słabozakrzywionych (zakrzywionych) na podstawie powyższego twierdzenia też daje nam wartość tej całki zero.

Gęstość tensora (wielkości wskaźnikowej) siły w przypadku relatywistycznego (szczególna teoria względności) i nierelatywistycznego (mechanika Newtona) ruchu płynu i punktów[edytuj]

Będziemy tutaj rozpatrywali relatywistyczny ruch cząstek płynu i punktów (ciał).

Szczególna teoria względności[edytuj]

Będziemy tutaj rozważać prawa ruchu układu relatywistycznego według szczególnej teorii względności.

Układy słabozakrzywione i globalnie (lokalnie) płaskie[edytuj]

Spróbujmy wyprowadzić wzór na gęstość tensora siły, której różniczka tensora siły działa na dany punkt ośrodka i jej odpowiednik dla skończonego tensora siły jest w postaci (20.33), piszemy wychodząc z różniczki tensora siły będąca iloczynem różniczki masy spoczynkowej i pochodnej zupełnej tensora prędkości cząstki płynu względem interwału czasoprzestrzennego i korzystając z definicji skrócenia długości (18.7) (przechodząc z infinitezymalnej różniczki objętości spoczynkowej do objętości relatywistycznej) i definicji gęstości masy spoczynkowej, możemy powiedzieć:

(20.54)

Wzór na gęstość tensora siły jest w postaci (20.54). Korzystając z definicji gęstości tensora siły według wzoru (20.54) przejdziemy z niej do gęstości wielkości wskaźnikowej siły na podstawie (20.41):

(20.55)

Wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły jest w postaci (20.55), jest ona iloczynem gęstości spoczynkowej masy, prędkości światła, parametru γ i pochodnej zupełnej tensora prędkości względem czasu t.

Układ globalnie (lokalnie) płaski o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości[edytuj]

Mając wzór na wielkość gęstości tensora siły według punktu (20.54) przestawmy go w innej postaci dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości stosując w nim globalną (lokalną) stałość tensora prędkości (21.6) i globalną (lokalną) stałość gęstości spoczynkowej masy (26.5) oraz twierdzenie (Twier. 20.1), jako:





(20.56)

Wzór na gęstość tensora siły (20.56) zapisujemy jako pochodna cząstkowa iloczynu gęstości relatywistycznej masy i wielkości wskaźnikowej prędkości względem interwału czasoprzestrzennego. Napiszmy drugą postać tego wzoru patrząc co jest po czwartej równości w (20.56), mamy:


(20.57)

Wzór na gęstość tensora siły (20.57) jest iloczynem gęstości spoczynkowej masy, prędkości światła, γ i pochodnej cząstkowej tensora prędkości względem interwału czasoprzestrzennego. Na podstawie sobie różnych postaci jednego wzoru dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości (20.56) i (20.57) piszemy ich odpowiedniki gęstości wielkości wskaźnikowej siły patrząc na równość (20.41), wtedy


(20.58)

Wzory na gęstość tensora siły (20.56) i (20.57) są równoważne co najwyżej w przybliżeniu wzorowi (20.54) oraz wzory na gęstość wielkości wskaźnikowej siły (20.58) są równoważne co najwyżej w przybliżeniu wzorowi (20.55) na mocy twierdzenia (Twier. 20.1) w układach globalnie (lokalnie) płaskich, a te twierdzenia są słuszne również w układach słabozakrzywionych na mocy twierdzenia o transformacji wielkości tensorowych.

Prawa dynamiki dla układów punktowych wynikające z praw dla układów rozciągłych dla przestrzeni słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich[edytuj]

Drugie prawo dynamiki w postaci wskaźnikowej dla układów rozciągłych dla układów słabozakrzywionych jest napisana według wzoru (20.55), a dla układów punktowych wyprowadzamy z tego wzoru wzór na wielkość wskaźnikową siły według (19.16), a więc:

(20.59)

Napiszmy z definicji delty Diraca:

(20.60)
  • gdzie n to wymiar przetrzeni zwykłej.

Na podstawie (20.59) i z definicji delty Diraca dla układów punktowych wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły podczas jego operacji całkowania względem objętości:

(20.61)

Stąd wzór (20.59) dla układów rozciągłych przechodzi dla układów punktowych w wzór (20.61) (końcowy wzór), czyli w (19.16). Zatem wzór dla układów punktowych dla układów słabokrzywionych na tensor siły jest w postaci (20.33), a dla rozciągłych wzór na gęstość tensora siły przedstawia się w formie (20.54) (drugi wzór w implikacji), i to wszystko dla układów słabozakrzywionych.

Mechanika Newtona[edytuj]

Będziemy tutaj rozważać prawa ruchu układu nierelatywistycznego według mechaniki Newtona.

Układy słabozakrzywione i globalnie (lokalnie) płaskie[edytuj]

Spróbujmy wyprowadzić wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły, której różniczka wektora działa na dany punkt ośrodka i jej odpowiednik dla skończonej wielkości wskaźnikowej siły jest w postaci (MT-1.32), piszemy wychodząc z różniczki wielkości wskaźnikowej siły będąca iloczynem różniczki masy spoczynkowej i pochodnej zupełnej wielkości wskaźnikowej prędkości cząstki płynu względem czasu absolutnego, korzystając przy tym, że nie ma żadnego skrócenia długości (a więc transformacji infinitezymalnej objętości z różniczki objętości spoczynkowej), i definicji gęstości masy spoczynkowej (ogólnie gęstości masy), możemy powiedzieć:

(20.62)

Wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły jest w postaci (20.62), jest ona iloczynem gęstości spoczynkowej i pochodnej wielkości wskaźnikowej prędkości względem czasu t.

Układ globalnie (lokalnie) płaski o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości[edytuj]

Mając wzór na wielkość gęstości wskaźnikowej siły według punktu (20.62) przestawmy go w innej postaci dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości stosując zachodzącą globalną (lokalną) stałość tensora prędkości (21.7) i globalną (lokalną) stałość gęstości masy spoczynkowej (26.5) oraz twierdzenie (Twier. 20.1), jako:



(20.63)

Wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły jest pochodną iloczynu gęstości masy i wielkości wskaźnikowej prędkości. Dalej patrząc co jest po drugiej równości w (20.63), mamy:


(20.64)

Wzór (20.64) jest iloczynem gęstości masy i pochodnej cząstkowej wielkości wskaźnikowej prędkości względem czasu absolutnego. Wzory na gęstość wielkości wskaźnikowej siły (20.63) i (20.64) są równoważne co najwyżej w przybliżeniu wzorowi (20.62) na mocy twierdzenia (Twier. 20.1) w układach globalnie (lokalnie) płaskich, a te twierdzenia są słuszne również w układach słabozakrzywionych na mocy twierdzenia o transformacji wielkości tensorowych.

Prawa dynamiki dla układów punktowych wynikające z praw dla układów rozciągłych dla przestrzeni słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich[edytuj]

Drugie prawo dynamiki w postaci wskaźnikowej dla układów rozciągłych dla układów słabozakrzywionych jest napisana według wzoru (20.62), a dla układów punktowych wyprowadzamy z tego wzoru wyprowadzając wzór na wielkość wskaźnikową siły według (19.16), a więc:

(20.65)

Napiszmy z definicji delty Diraca:

(20.66)
  • gdzie n to wymiar przestrzeni zwykłej.

Na podstawie (20.65) i z definicji delty Diraca dla układów punktowych wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły podczas jego operacji całkowania względem objętości:

(20.67)

Stąd wzór (20.65) dla układów rozciągłych przechodzi dla układów punktowych w wzór (20.67) (końcowy wzór), czyli w (MT-1.32). Zatem wzór dla układów punktowych dla układów słabozakrzywionych na wielkość wskaźnikową siły jest w postaci (MT-1.32), a dla rozciągłych wzór na gęstość wielkości wskaźnikową siły przedstawia się w formie (20.62) (drugi wzór w implikacji), i to wszystko dla układów słabozakrzywionych.