Szczególna teoria względności/Tensory w czasoprzestrzeni

Przestrzeń jest opisana n współrzędnymi, która wraz ze współrzędną czasową tworzą n+1 współrzędnych, co w rezultacie otrzymujemy n+1 wymiarowy wektor.

Czterowektor wielkości tensorowych

Jest to tensor jednowskaźnikowy, w którym mamy współrzędną czasową i trzy współrzędne przestrzenne, np. dla tensora kontrawariantnego i kowariantnego , mamy czterowektor kontrawariantny i kowariantny na podstawie definicji tensora metrycznego podwójnie kowariantnego dla czasoprzestrzeni prostokątnej :

Tensor położenia w czasoprzestrzeni

Tensor położenia nazywamy zestaw współrzędnych tensora kontrawariantnego, w których pierwszą składową jest współrzędna czasowa, która jest iloczynem wartości prędkości światła i zwykłego czasu rzeczywistego. Dalsze trzy współrzędne N+1 wymiarowego tego wektora są to współrzędne przestrzenne, charakteryzujące położenie w przestrzeni.

Tensor położenia w czasoprzestrzeni nazywamy tensor kontrawariantny:

• gdzie pierwsza współrzędna jest to współrzędna czasowa, a jest to położenie w przestrzeni zwykłej.

Tensor prędkości w czasoprzestrzeni

Tensor prędkości w czasoprzestrzeni nazywamy pochodną zupełna tensora położenia x^μ względem interwału czasoprzestrzennego:

• gdzie ds jest to różniczka interwału czasoprzestrzennego, którego kwadrat jest napisany w punkcie (przestrzeń nieprostokątna) i (przestrzeń prostokątna) dla szczególnej teorii względności i dla mechaniki Newtona.

Szczególna teoria względności

Wyznaczmy część czasową i przestrzenna n+1 wymiarowego tensora prędkości wykorzystując przy tym definicję różniczki interwału czasoprzestrzennego, który dla skończonego czasu jest zapisana wzorem :

Zbierając wnioski (część czasowa n+1 wymiarowego tensora prędkości) i (część przestrzenna tej samej wielkości), wtedy tensor prędkości możemy napisać:

Mechanika Newtona

Tensor prędkości w czasoprzestrzeni nazywamy pochodną zupełna tensora położenia x^μ względem interwału czasoprzestrzennego, jest w takiej samej postaci jak w punkcie . Wyznaczmy część czasową i przestrzenna n+1 wymiarowego tensora prędkości wykorzystując przy tym definicję różniczki interwału czasoprzestrzennego, który dla absolutnego czasu jest zapisana wzorem :

Zbierając wnioski (część czasowa n+1 wymiarowego tensora prędkości) i (część przestrzenna tej samej wielkości), wtedy tensor prędkości możemy napisać: Patrząc na wielkości i są tensorami, ten pierwszy nazwijmy tensorem prędkości, a ten drugi wielkością wskaźnikową prędkości.

Interwał czasoprzestrzenny

Będziamy tutaj badali własności interwału czasoprzestrzennego.

Szczególna teoria względności

Interwał czasoprzestrzenny definiujemy przy pomocy definicji tensora metrycznego Minkowskiego i przy definicji n+1 wymiarowego wektora położenia , zatem wzór jest wyrażony: Jeśli wykorzystamy definicję n+1 wymiarowego tensora prędkości zapisanej w punkcie , to końcową tożsamość wynikową przepisujemy: Co i z własności tensorów metrycznych, a w szczególnym przypadku tensora metrycznego Minkowskiego η_ij, w którym to powyższe równanie jest z kolei równoważne równaniu:

Mechanika Newtona

Interwał czasoprzestrzenny wynikający z definicji interwału czasoprzestrzennego w szczególnej teorii względności przy , które spełnia mechanika Newtona, jest znając definicję tensora prędkości przepiszmy: Na podstawie obliczeń w mechanice Newtona część czasowa tensora prędkości jest równe jeden, a wielkość wskaźnikowa czasowa też jest równa prędkości światła , co jest zgodne tez dla tej samej teorii ze wzorem .

Tensor pędu w czasoprzestrzeni

Tensorem pędu nazywamy wielkość zdefiniowana przy pomocy tensora prędkości , masy spoczynkowej badanego ciała m₀ i prędkości światła w próżni:

Szczególna teoria względności

Jeśli wykorzystamy formę przedstawiania n+1 wymiarowego tensora prędkości zapisanej w punkcie , wtedy jej cześć czasowa przy wykorzystaniu definicji energii relatywistycznej E=mc² jest zdefiniowana poniżej i jest ona równa energii relatywistycznej danego ciała E podzielonej przez prędkość fal elektromagnetycznych w próżni c. I dalej wyznaczmy dla naszego tensora pędu części przestrzenne, tzn. dla i=x,y,z, ..., zatem wtedy dochodzimy do wniosku na podstawie obliczeń poniżej, że cześć przestrzenna tensora pędu jest to po prostu zwykły pęd relatywistyczny, czyli wielkość, która jest iloczynem masy relatywistycznej ciała i jego prędkości przestrzennej v[{Sup|i}}: Pierwsza składowa n+1 wymiarowego wektora pędu jest energią ciała z dokładnością do odwrotności prędkości światła, czyli , i dalsze składowe są współrzędnymi zwykłego pędu relatywistycznego , zatem w takim przypadku tensor pędu w czasoprzestrzeni Minkowskiego definiujemy:

Mechanika Newtona

Jeśli wykorzystamy formę przedstawiania n+1 wymiarowego tensora prędkości zapisanej w punkcie , wtedy jej cześć czasowa przy wykorzystaniu definicji energii relatywistycznej E=mc² jest zdefiniowana poniżej i jest ona równa energii spoczynkowej danego ciała E podzielonej przez prędkość fal elektromagnetycznych w próżni c. I dalej wyznaczmy dla naszego tensora pędu części przestrzenne, tzn. dla i=x,y,z, ..., zatem wtedy dochodzimy do wniosku na podstawie obliczeń poniżej, że cześć przestrzenna tensora pędu jest to po prostu zwykły pęd relatywistyczny, czyli wielkość, która jest iloczynem masy relatywistycznej ciała i jego prędkości przestrzennej v[{Sup|i}}: Pierwsza składowa n+1 wymiarowego wektora pędu jest energią spoczynkową ciała z dokładnością do odwrotności prędkości światła, czyli , i dalsze składowe są współrzędnymi zwykłego pędu relatywistycznego , zatem w takim przypadku tensor pędu w czasoprzestrzeni Minkowskiego definiujemy:

Transformacja tensora pędu z jednego układu odniesienia do drugiego

Będziemy się tutaj zajmowali transformacją tensora pędu, wektora pędu i energii relatywistycznej w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona.

Szczególna teoria względności

Napiszmy wzór na transformację z jednego układu współrzędnych do drugiego tensora pędu , zatem transformacja z jednego układu odniesienia do drugiego wykorzystując macierz transformacji przyjmuje postać: Stąd wzór na transformację energii i pędu przybiera wynikającą z postać:

Mamy już transformację wektora pędu według , przestawmy wzory na składowe prostopadłe i równoległe wektora pędu do prędkości liniowej nowego układu odniesienia wiedząc, że :

Napiszmy wzór na kwadrat pędu prostopadłego względem linii poruszania się nowego układu współrzędnych wykorzystując wzór na transformację macierzy iloczynu skalarnego : Czyli pęd prostopadły do prędkości liniowej nowego układu odniesienia nie zmienia swojej wartości.

Mechanika Newtona

Napiszmy wzór na transformację z jednego układu współrzędnych do drugiego tensora pędu , zatem transformacja z jednego układu odniesienia do drugiego wykorzystując macierz transformacji przyjmuje postać: Wzór na transformację energii spoczynkowej (masy spoczybkowej) i wektora pędu przybiera wynikającą z postać:

Na podstawie masa spoczynkowa, a właściwiej masa, nie transformuje się przy przejściu z jednego układu do drugiego, a wektor pędu już tak. Mamy już transformację wektora pędu według , przestawmy wzory na składowe prostopadłe i równoległe wektora pędu do prędkości liniowej nowego układu odniesienia wiedząc, że :

Napiszmy wzór na kwadrat pędu prostopadłego względem linii poruszania się nowego układu współrzędnych wykorzystując wzór na transformację macierzy iloczynu skalarnego : Czyli pęd prostopadły do prędkości liniowej nowego układu odniesienia nie zmienia swojej wartości.

Tensor siły w czasoprzestrzeni

N+1 wymiarowym wektorem siły nazywamy wielkość zdefiniowaną jako pochodną n+1 wymiarowego wektora pędu względem linii światła, której różniczka jest zdefiniowana w punkcie (lub ):

Szczególna teoria względności

Wyznaczmy elementy czasoprzestrzenne tensora siły i jak przekonamy się później, że jest to wielkość proporcjonalna do relatywistycznej siły znanej z drugiej zasady dynamiki Einsteina : Wedle wzoru siła relatywistyczna jest proporcjonalna do części przestrzennej n+1 wymiarowego wektora siły: Jeśli wykorzystamy wzór wynikający z definicji interwału czasoprzestrzennego i tensora siły, czyli wzoru i pomnożeniu tak otrzymanego wyrażenia przez (m₀c)² i po wykorzystaniu definicji n+1 wymiarowego wektora pędu , to: Zróżniczkujmy obie strony równania względem linii światła: Korzystać będziemy, że tensor Minkowskiego jest tensorem symetrycznym, który wynika z jego własności, a zatem równość po zamianie miejscami wskaźników niemych według schematu μ→ν i ν→μ, wtedy po tak dokonanej zamianie i po podzieleniu tak otrzymanego równania przez dwa, wtedy dostajemy tożsamość fizyczną: Jeśli wykorzystamy definicję tensor siły we wzorze , to: W równaniu wydzielamy części przestrzenne (ν=1,2,3) od jej elementów czasowego (ν=0) oraz prowadząc kolejne przekształcenia wyznaczając część czasową tensora siły , właśnie ten element można zapisać: Na samym końcu możemy wykorzystać wnioski (część przestrzenna tensora siły) i (część czasowa tensora siły), wtedy ten nasz tensor siły piszemy: Jeśli mamy układ K', który porusza się z prędkością względem układu K, i dalej ponieważ tensor jest tensorem, to wtedy prawa fizyki są takie same we wszystkich układach odniesienia inercjalnych zgodnie z postulatem pierwszym szczególnej teorii względności. Wielkość wskaźnikowa siły w nie jest tensorem, a jest tensorem. Jest w szczególnej teorii względności jest jak w , a w mechanice Newtona według na podstawie definicjni tensora prędkości mamy:

Mechanika Newtona

W mechanice Newtona według na podstawie definicjni tensora prędkości , mamy: Wielkości w , tzn.: i są tensorami, ten pierwszy nazwijmy tensorem siły, a ten drugi wielkością wskaźnikową siły. Widzmy, że współrzędne czasowe są zerowe, a współrzędne przestrzenne są za to niezerowe. Na podstawie przestrzeni Galileusza, mamy wzór na wektor tensora siły w zalezności od wektora wielkości wskaźnikowej siły:

Jeszcze raz o twierdzeniu o środku mas

Mając tensory położenia i masy relatywistyczne możemy napisać wzór na położenie tensorowe środka mas: Gdzie to tensor położenia ciała o numerze , a to położenie środka mas. N-tą pochodną względem dowolnej zmiennej możemy napisać w postaci podobnej do ,tzn: Wzór podobnie się udowadnia jak wzór . A więc twierdzenie zostało udowodnione. Wzory i są równoważne ze wzorami i dla i . Gdy we wzorze mamy , gdzie w nim to masa spoczynkowa elementu masowego o numerze , a także , to wtedy dostajemy: Widzimy, że według wzoru masa środka mas jest równa sumie mas poszczególnych elementów masowych, stąd wzór dla jest tożsamością. Stąd wzór jest słuszny dla każdego dla . A masa spoczynkowa środka mas jest równa sumie mas relatywistycznych elementów masowych podzielonego przez , które jest zdefiniowane wzorem (tutaj wybieramy znak plus jak wcześniej w module pierwszym powiedzieliśmy) dla wartości prędkości środka mas . Przepiszmy wzór dla i , i , co po przekształceniu go wykorzystując i oraz dzieląc obustronnie ten wzór przez , wtedy: Stąd na podstawie mamy twierdzenie dla tensora prędkości środka mas dla jej elementów przestrzennych. A ponieważ zachodzi i według , to możemy napisać w prawej i lewej stronie wykorzystując mnożenie przez jeden, tzn. tożsamości i , a także wykorzystując definicję tensora prędkości dla jej elementów czasowych: Łącząc wzory i ze sobą w jeden wzór dostajemy: Jest to wzór na tensor prędkości dla środka mas z którym on się porusza, w którym masa spoczynkowa środka mas jest zdefiniowana według .

Tensor siły dla środka mas

Metryka dla środka mas tak samo się definiuje i ma takie same właściwości jak metryka dla poszczególnych punktów masowych. Wykorzystując twierdzenie o środku mas układu cząstek, to wzory i są również spełnione dla środka mas, bo te wzory są również formułowane dla definicji siły ogólnie dla środka mas układów cząstek, a udowodniliśmy wychodząc z . Stąd wzór na tensor siły dla poruszającego środka masy i wzory na tensory sił dla elementów masowych są formalnie jednakowe.

Twierdzenie dodawania i odejmowania wyrazów równych zero do równania i wyrażenia matematycznego w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości i słabozakrzywionych (zakrzywionych)

A oto bardzo ważne twierdzenie matematyczne potrzebne do udowadniania fizyki (mechaniki Newtona i szczególnej teorii względności) słuszne dla układów globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych (zakrzywionych), które będziemy stosować.

• 1. A oto przykład funkcji, która w układzie globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości jest równa zero:

W układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości jest równa zero ze względu globalną (lokalną) stałość gęstości spoczynkowej i globalną (lokalną) stałość tensora prędkości . Przejdźmy do układów słabozakrzywionych, tzn. wymnażamy przez macierz transformcji : Wyraz w jest równy zero ze względu, że wyraz w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości jest równy zero.

• 2. A oto przykład funkcji tensorowej słuszne dla układów co najwyżej zakrzywionych, ale najpierw udowodnijmy jego wartość w układzie globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości:

A więc przejście od układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości wyrażenia do układów słabozakrzywionych (zakrzywionych) daje nam jego wartość zero.

• 3. A oto przykład całki słuszne dla układów co najwyżej słabozakrzywionych, ale najpierw udowodnijmy jego wartość w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości:

Pierwszy wyraz ostatniej równości jest równy zero dzięki niezależności gęstości spoczynkowej i niezależności ciśnienia względem interwału czasoprzestrzennego w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości. Drugi wyraz w jest równy zero na podstawie przykładu . Całka powierzchniowa (trzeci wyraz) jest dokładnie równa zero niezależnie jak by na to patrzeć w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości według . A więc przejście całki od układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do układów słabozakrzywionych (zakrzywionych) na podstawie powyższego twierdzenia też daje nam wartość tej całki zero.

Gęstość tensora (wielkości wskaźnikowej) siły w przypadku relatywistycznego (szczególna teoria względności) i nierelatywistycznego (mechanika Newtona) ruchu płynu i punktów

Będziemy tutaj rozpatrywali relatywistyczny ruch cząstek płynu i punktów (ciał).

Szczególna teoria względności

Będziemy tutaj rozważać prawa ruchu układu relatywistycznego według szczególnej teorii względności.

Układy słabozakrzywione i globalnie (lokalnie) płaskie

Spróbujmy wyprowadzić wzór na gęstość tensora siły, której różniczka tensora siły działa na dany punkt ośrodka i jej odpowiednik dla skończonego tensora siły jest w postaci , piszemy wychodząc z różniczki tensora siły będąca iloczynem różniczki masy spoczynkowej i pochodnej zupełnej tensora prędkości cząstki płynu względem interwału czasoprzestrzennego i korzystając z definicji skrócenia długości (przechodząc z infinitezymalnej różniczki objętości spoczynkowej do objętości relatywistycznej) i definicji gęstości masy spoczynkowej, możemy powiedzieć: Wzór na gęstość tensora siły jest w postaci . Korzystając z definicji gęstości tensora siły według wzoru przejdziemy z niej do gęstości wielkości wskaźnikowej siły na podstawie : Wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły jest w postaci , jest ona iloczynem gęstości spoczynkowej masy, prędkości światła, parametru γ i pochodnej zupełnej tensora prędkości względem czasu t.

Układ globalnie (lokalnie) płaski o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości

Mając wzór na wielkość gęstości tensora siły według punktu przestawmy go w innej postaci dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości stosując w nim globalną (lokalną) stałość tensora prędkości i globalną (lokalną) stałość gęstości spoczynkowej masy oraz twierdzenie , jako: Wzór na gęstość tensora siły zapisujemy jako pochodna cząstkowa iloczynu gęstości relatywistycznej masy i wielkości wskaźnikowej prędkości względem interwału czasoprzestrzennego. Napiszmy drugą postać tego wzoru patrząc co jest po czwartej równości w , mamy: Wzór na gęstość tensora siły jest iloczynem gęstości spoczynkowej masy, prędkości światła, γ i pochodnej cząstkowej tensora prędkości względem interwału czasoprzestrzennego. Na podstawie sobie różnych postaci jednego wzoru dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości i piszemy ich odpowiedniki gęstości wielkości wskaźnikowej siły patrząc na równość , wtedy Wzory na gęstość tensora siły i są równoważne co najwyżej w przybliżeniu wzorowi oraz wzory na gęstość wielkości wskaźnikowej siły są równoważne co najwyżej w przybliżeniu wzorowi na mocy twierdzenia w układach globalnie (lokalnie) płaskich, a te twierdzenia są słuszne również w układach słabozakrzywionych na mocy twierdzenia o transformacji wielkości tensorowych.

Prawa dynamiki dla układów punktowych wynikające z praw dla układów rozciągłych dla przestrzeni słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich

Drugie prawo dynamiki w postaci wskaźnikowej dla układów rozciągłych dla układów słabozakrzywionych jest napisana według wzoru , a dla układów punktowych wyprowadzamy z tego wzoru wzór na wielkość wskaźnikową siły według , a więc: Napiszmy z definicji delty Diraca:

• gdzie n to wymiar przetrzeni zwykłej.

Na podstawie i z definicji delty Diraca dla układów punktowych wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły podczas jego operacji całkowania względem objętości: Stąd wzór dla układów rozciągłych przechodzi dla układów punktowych w wzór (końcowy wzór), czyli w . Zatem wzór dla układów punktowych dla układów słabokrzywionych na tensor siły jest w postaci , a dla rozciągłych wzór na gęstość tensora siły przedstawia się w formie (drugi wzór w implikacji), i to wszystko dla układów słabozakrzywionych.

Mechanika Newtona

Będziemy tutaj rozważać prawa ruchu układu nierelatywistycznego według mechaniki Newtona.

Układy słabozakrzywione i globalnie (lokalnie) płaskie

Spróbujmy wyprowadzić wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły, której różniczka wektora działa na dany punkt ośrodka i jej odpowiednik dla skończonej wielkości wskaźnikowej siły jest w postaci , piszemy wychodząc z różniczki wielkości wskaźnikowej siły będąca iloczynem różniczki masy spoczynkowej i pochodnej zupełnej wielkości wskaźnikowej prędkości cząstki płynu względem czasu absolutnego, korzystając przy tym, że nie ma żadnego skrócenia długości (a więc transformacji infinitezymalnej objętości z różniczki objętości spoczynkowej), i definicji gęstości masy spoczynkowej (ogólnie gęstości masy), możemy powiedzieć: Wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły jest w postaci , jest ona iloczynem gęstości spoczynkowej i pochodnej wielkości wskaźnikowej prędkości względem czasu t.

Układ globalnie (lokalnie) płaski o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości

Mając wzór na wielkość gęstości wskaźnikowej siły według punktu przestawmy go w innej postaci dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości stosując zachodzącą globalną (lokalną) stałość tensora prędkości i globalną (lokalną) stałość gęstości masy spoczynkowej oraz twierdzenie , jako: Wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły jest pochodną iloczynu gęstości masy i wielkości wskaźnikowej prędkości. Dalej patrząc co jest po drugiej równości w , mamy: Wzór jest iloczynem gęstości masy i pochodnej cząstkowej wielkości wskaźnikowej prędkości względem czasu absolutnego. Wzory na gęstość wielkości wskaźnikowej siły i są równoważne co najwyżej w przybliżeniu wzorowi na mocy twierdzenia w układach globalnie (lokalnie) płaskich, a te twierdzenia są słuszne również w układach słabozakrzywionych na mocy twierdzenia o transformacji wielkości tensorowych.

Prawa dynamiki dla układów punktowych wynikające z praw dla układów rozciągłych dla przestrzeni słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich

Drugie prawo dynamiki w postaci wskaźnikowej dla układów rozciągłych dla układów słabozakrzywionych jest napisana według wzoru , a dla układów punktowych wyprowadzamy z tego wzoru wyprowadzając wzór na wielkość wskaźnikową siły według , a więc: Napiszmy z definicji delty Diraca:

• gdzie n to wymiar przestrzeni zwykłej.

Na podstawie i z definicji delty Diraca dla układów punktowych wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły podczas jego operacji całkowania względem objętości: Stąd wzór dla układów rozciągłych przechodzi dla układów punktowych w wzór (końcowy wzór), czyli w . Zatem wzór dla układów punktowych dla układów słabozakrzywionych na wielkość wskaźnikową siły jest w postaci , a dla rozciągłych wzór na gęstość wielkości wskaźnikową siły przedstawia się w formie (drugi wzór w implikacji), i to wszystko dla układów słabozakrzywionych.