Szczególna teoria względności/Tensory w czasoprzestrzeni

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Szczególna teoria względności
Szczególna teoria względności
Tensory w czasoprzestrzeni

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw.makowiecki@gmail.com
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Przestrzeń jest opisana n współrzędnymi, która wraz ze współrzędną czasową tworzą n+1 współrzędnych, co w rezultacie otrzymujemy n+1 wymiarowy wektor.

Czterowektor wielkości tensorowych[edytuj]

Jest to tensor jednowskaźnikowy, w którym mamy współrzędną czasową i trzy współrzędne przestrzenne, np. dla tensora kontrawariantnego i kowariantnego , mamy czterowektor kontrawariantny i kowariantny na podstawie definicji tensora metrycznego podwójnie kowariantnego dla czasoprzestrzeni prostokątnej (1.223):

(2.1)

Tensor położenia w czasoprzestrzeni[edytuj]

Tensor położenia nazywamy zestaw współrzędnych tensora kontrawariantnego, w których pierwszą składową jest współrzędna czasowa, która jest iloczynem wartości prędkości światła i zwykłego czasu rzeczywistego. Dalsze trzy współrzędne N+1 wymiarowego tego wektora są to współrzędne przestrzenne, charakteryzujące położenie w przestrzeni.

Tensor położenia w czasoprzestrzeni nazywamy tensor kontrawariantny:

(2.2)
  • gdzie pierwsza współrzędna x0=ct jest to współrzędna czasowa, a xi=(x,y,z,...) jest to położenie w przestrzeni.

Tensor prędkości w czasoprzestrzeni[edytuj]

Tensor prędkości w czasoprzestrzeni nazywamy pochodną zupełna tensora położenia xμ (2.2) względem interwału czasoprzestrzennego:

(2.3)
  • gdzie ds jest to różniczka interwału czasoprzestrzennego, którego kwadrat jest napisany w punkcie (1.219) (przestrzeń nieprostokątna) i (1.220) (przestrzeń prostokątna) dla szczególnej teorii względności i (1.230) dla mechaniki Newtona.

Szczególna teoria względności[edytuj]

Wyznaczmy część czasową i przestrzenna n+1 wymiarowego tensora prędkości (2.3) wykorzystując przy tym definicję różniczki interwału czasoprzestrzennego, który dla skończonego czasu jest zapisana wzorem (1.219):

(2.4)
(2.5)

Zbierając wnioski (2.4) (część czasowa n+1 wymiarowego tensora prędkości) i (2.5) (część przestrzenna tej samej wielkości), wtedy tensor prędkości możemy napisać:

(2.6)

Mechanika Newtona[edytuj]

Tensor prędkości w czasoprzestrzeni nazywamy pochodną zupełna tensora położenia xμ (2.2) względem interwału czasoprzestrzennego, jest w takiej samej postaci jak w punkcie (2.3). Wyznaczmy część czasową i przestrzenna n+1 wymiarowego tensora prędkości (2.3) wykorzystując przy tym definicję różniczki interwału czasoprzestrzennego, który dla absolutnego czasu jest zapisana wzorem (1.230):

(2.7)
(2.8)

Zbierając wnioski (2.7) (część czasowa n+1 wymiarowego tensora prędkości) i (2.8) (część przestrzenna tej samej wielkości), wtedy tensor prędkości możemy napisać:

(2.9)

Patrząc na (2.9) wielkości i są tensorami, ten pierwszy nazwijmy tensorem prędkości, a ten drugi wielkością wskaźnikową prędkości.

Interwał czasoprzestrzenny[edytuj]

Interwał czasoprzestrzenny definiujemy przy pomocy definicji tensora metrycznego Minkowskiego (1.222) i przy definicji n+1 wymiarowego wektora położenia (2.2), zatem wzór (1.219) jest wyrażony:

(2.10)

Jeśli wykorzystamy definicję n+1 wymiarowego tensora prędkości zapisanej w punkcie (2.3), to końcową tożsamość wynikową (2.10) przepisujemy:

(2.11)

Co (2.11) i z własności tensorów metrycznych, a w szczególnym przypadku tensora metrycznego Minkowskiego ηij, w którym to powyższe równanie jest z kolei równoważne równaniu:

(2.12)

Tensor pędu w czasoprzestrzeni[edytuj]

Tensorem pędu nazywamy wielkość zdefiniowana przy pomocy tensora prędkości (2.3), masy spoczynkowej badanego ciała m0 i prędkości światła w próżni:

(2.13)

Szczególna teoria względności[edytuj]

Jeśli wykorzystamy formę przedstawiania n+1 wymiarowego tensora prędkości zapisanej w punkcie (2.6), wtedy jej cześć czasowa przy wykorzystaniu definicji energii relatywistycznej E=mc2 jest zdefiniowana poniżej i jest ona równa energii relatywistycznej danego ciała E podzielonej przez prędkość fal elektromagnetycznych w próżni c.

(2.14)

I dalej wyznaczmy dla naszego tensora pędu części przestrzenne, tzn. dla i=x,y,z, ..., zatem wtedy dochodzimy do wniosku na podstawie obliczeń poniżej, że cześć przestrzenna tensora pędu jest to po prostu zwykły pęd relatywistyczny, czyli wielkość, która jest iloczynem masy relatywistycznej ciała i jego prędkości przestrzennej vi:

(2.15)

Pierwsza składowa n+1 wymiarowego wektora pędu jest energią ciała z dokładnością do odwrotności prędkości światła, czyli (2.14), i dalsze składowe są współrzędnymi zwykłego pędu relatywistycznego (2.15), zatem w takim przypadku tensor pędu w czasoprzestrzeni Minkowskiego definiujemy:

(2.16)

Mechanika Newtona[edytuj]

Jeśli wykorzystamy formę przedstawiania n+1 wymiarowego tensora prędkości zapisanej w punkcie (2.6), wtedy jej cześć czasowa przy wykorzystaniu definicji energii relatywistycznej E=mc2 jest zdefiniowana poniżej i jest ona równa energii spoczynkowej danego ciała E podzielonej przez prędkość fal elektromagnetycznych w próżni c.

(2.17)

I dalej wyznaczmy dla naszego tensora pędu części przestrzenne, tzn. dla i=x,y,z, ..., zatem wtedy dochodzimy do wniosku na podstawie obliczeń poniżej, że cześć przestrzenna tensora pędu jest to po prostu zwykły pęd relatywistyczny, czyli wielkość, która jest iloczynem masy relatywistycznej ciała i jego prędkości przestrzennej vi:

(2.18)

Pierwsza składowa n+1 wymiarowego wektora pędu jest energią spoczynkową ciała z dokładnością do odwrotności prędkości światła, czyli (2.17), i dalsze składowe są współrzędnymi zwykłego pędu relatywistycznego (2.18), zatem w takim przypadku tensor pędu w czasoprzestrzeni Minkowskiego definiujemy:

(2.19)

Transformacja tensora pędu z jednego układu odniesienia do drugiego[edytuj]

Szczególna teoria względności[edytuj]

Rozłóżmy wzór na tensor siły , zatem transformacja z jednego układu odniesienia do drugiego wykorzystując macierz transformacji (1.149) przyjmuje postać:

(2.20)

Stąd wzór na transformację energii i pędu przybiera wynikającą z (2.20) postać:

(2.21)
(2.22)

Mamy już transformację wektora pędu według (2.22), przestawmy wzory na składowe prostopadłe i równoległe wektora pędu do prędkości liniowej nowego układu odniesienia wiedząc, że :

(2.23)
(2.24)

Napiszmy wzór na kwadrat pędu prostopadłego względem linii poruszania się nowego układu współrzędnych wykorzystując wzór na transformację macierzy iloczynu skalarnego (1.30):

(2.25)

Czyli pęd prostopadły do prędkości liniowej nowego układu odniesienia nie zmienia swojej wartości.

Mechanika Newtona[edytuj]

Rozłóżmy wzór na tensor siły , zatem transformacja z jednego układu odniesienia do drugiego wykorzystując macierz transformacji (1.156) przyjmuje postać:

(2.26)

Wzór na transformację energii spoczynkowej (masy spoczybkowej) i wektora pędu przybiera wynikającą z (2.26) postać:

(2.27)
(2.28)

Na podstawie (2.27) masa spoczynkowa, a właściwiej masa, nie transformuje się przy przejściu z jednego układu do drugiego, a wektor pędu już tak. Mamy już transformację wektora pędu według (2.28), przestawmy wzory na składowe prostopadłe i równoległe wektora pędu do prędkości liniowej nowego układu odniesienia wiedząc, że :

(2.29)
(2.30)

Napiszmy wzór na kwadrat pędu prostopadłego względem linii poruszania się nowego układu współrzędnych wykorzystując wzór na transformację macierzy iloczynu skalarnego (1.30):

(2.31)

Czyli pęd prostopadły do prędkości liniowej nowego układu odniesienia nie zmienia swojej wartości.

Tensor siły w czasoprzestrzeni[edytuj]

N+1 wymiarowym wektorem siły nazywamy wielkość zdefiniowaną jako pochodną n+1 wymiarowego wektora pędu (2.13) względem linii światła, której różniczka jest zdefiniowana w punkcie (1.219) (lub (1.220)):

(2.32)

Szczególna teoria względności[edytuj]

Wyznaczmy elementy czasoprzestrzenne tensora siły (2.32) i jak przekonamy się później, że jest to wielkość proporcjonalna do relatywistycznej siły znanej z drugiej zasady dynamiki Einsteina (1.290):

(2.33)

Wedle wzoru (2.21) siła relatywistyczna jest proporcjonalna do części przestrzennej n+1 wymiarowego wektora siły:

(2.34)

Jeśli wykorzystamy wzór wynikający z definicji interwału czasoprzestrzennego i tensora siły, czyli wzoru (2.11) i pomnożeniu tak otrzymanego wyrażenia przez (m0c)2 i po wykorzystaniu definicji n+1 wymiarowego wektora pędu (2.12), to:

(2.35)

Zróżniczkujmy obie strony równania (2.23) względem linii światła:

(2.36)

Korzystać będziemy, że tensor Minkowskiego jest tensorem symetrycznym, który wynika z jego własności, a zatem równość (2.36) po zamianie miejscami wskaźników niemych według schematu μ→ν i ν→μ, wtedy po tak dokonanej zamianie i po podzieleniu tak otrzymanego równania przez dwa, wtedy dostajemy tożsamość fizyczną:

(2.37)

Jeśli wykorzystamy definicję tensor siły (2.32) we wzorze (2.37), to:

(2.38)

W równaniu (2.32) wydzielamy części przestrzenne (ν=1,2,3) od jej elementów czasowego (ν=0) oraz prowadząc kolejne przekształcenia wyznaczając część czasową tensora siły (2.32), właśnie ten element można zapisać:

(2.39)

Na samym końcu możemy wykorzystać wnioski (2.33) (część przestrzenna tensora siły) i (2.33) (część czasowa tensora siły), wtedy ten nasz tensor siły piszemy:

(2.40)

Jeśli mamy układ K', który porusza się z prędkością względem układu K, i dalej ponieważ tensor jest tensorem, to wtedy prawa fizyki są takie same we wszystkich układach odniesienia inercjalnych zgodnie z postulatem pierwszym szczególnej teorii względności. Wielkość wskaźnikowa siły w (2.40) nie jest tensorem, a jest tensorem. Jest w szczególnej teorii względności jest jak w (2.40), a w mechanice Newtona według (2.32) na podstawie definicjni tensora prędkości (2.9) mamy:

Mechanika Newtona[edytuj]

W mechanice Newtona według (2.32) na podstawie definicjni tensora prędkości (2.9), mamy:

(2.41)

Wielkości w (2.41), tzn.: i są tensorami, ten pierwszy nazwijmy tensorem siły, a ten drugi wielkością wskaźnikową siły. Widzmy, że współrzędne czasowe są zerowe, a współrzędne przestrzenne są za to niezerowe. Na podstawie przestrzeni Galileusza, mamy wzór na wektor tensora siły w zalezności od wektora wielkości wskaźnikowej siły:

(2.42)

Jeszcze raz o twierdzeniu o środku mas[edytuj]

Mając tensory położenia (2.2) i masy relatywistyczne możemy napisać wzór na położenie tensorowe środka mas:

(2.43)

Gdzie to tensor położenia ciała o numerze , a to położenie środka mas. N-tą pochodną względem dowolnej zmiennej możemy napisać w postaci podobnej do (1.368),tzn:

(2.44)

Wzór (2.44) podobnie się udowadnia jak wzór (1.368). A więc twierdzenie (2.44) zostało udowodnione. Wzory (2.43) i (2.44) są równoważne ze wzorami (1.367) i (1.368) dla i . Gdy we wzorze (2.43) mamy , gdzie w nim to masa spoczynkowa elementu masowego o numerze , a także , to wtedy dostajemy:

(2.45)

Widzimy, że według wzoru (2.45) masa środka mas jest równa sumie mas poszczególnych elementów masowych, stąd wzór (2.43) dla jest tożsamością. Stąd wzór (2.44) jest słuszny dla każdego dla . A masa spoczynkowa środka mas jest równa sumie mas relatywistycznych elementów masowych podzielonego przez , które jest zdefiniowane wzorem (1.286)(tutaj wybieramy znak plus jak wcześniej w module pierwszym powiedzieliśmy) dla wartości prędkości środka mas . Przepiszmy wzór (2.44) dla i , i , co po przekształceniu go wykorzystując (2.45) i (2.6) oraz dzieląc obustronnie ten wzór przez , wtedy:

(2.46)

Stąd na podstawie (2.46) mamy twierdzenie dla tensora prędkości środka mas dla jej elementów przestrzennych. A ponieważ zachodzi i według (2.6), to możemy napisać w prawej i lewej stronie (2.45) wykorzystując mnożenie przez jeden, tzn. tożsamości i , a także wykorzystując definicję tensora prędkości dla jej elementów czasowych:

(2.47)

Łącząc wzory (2.46) i (2.47) ze sobą w jeden wzór dostajemy:

(2.48)

Jest to wzór na tensor prędkości dla środka mas z którym on się porusza, w którym masa spoczynkowa środka mas jest zdefiniowana według (2.45).

Tensor siły dla środka mas[edytuj]

Metryka dla środka mas tak samo się definiuje i ma takie same właściwości jak metryka (2.10) dla poszczególnych punktów masowych. Wykorzystując twierdzenie (1.367) o środku mas układu cząstek, to wzory (2.32) i (2.40) są również spełnione dla środka mas, bo te wzory są również formułowane dla definicji siły (1.375) ogólnie dla środka mas układów cząstek, a (1.375) udowodniliśmy wychodząc z (1.290). Stąd wzór na tensor siły dla poruszającego środka masy i wzory na tensory sił dla elementów masowych są formalnie jednakowe.

Twierdzenie dodawania i odejmowania wyrazów równych zero do równania i wyrażenia matematycznego w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości[edytuj]

A oto bardzo ważne twierdzenie matematyczne potrzebne do udowadniania fizyki (mechaniki Newtona i szczególnej teorii względności), które będziemy stosować.

Twierdzenie
W układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, jeżeli wyraz jest dokładnie równy zero z właściwości tego układu, i wymnożenie tych elementów przez macierz transformacji (popatrz na definicję macierzy transformacji (1.215) w przypadku przejścia do układów słabozakrzywionych) w przypadku przejścia do układów zakrzywionych, jeżeli w tych układach daje też dokładnie zero na podstawie teorii funkcji uogólnionych lub zwykłych funkcji, to ten wyraz w równaniu można dodać z albo usunąć w równaniu i wyrażeniu matematycznym. Skalary w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, jeżeli są równe zero to automatycznie w innych dowolnych układach współrzędnych też są równe zero, a więc je pomijamy. Można dodawać i odejmować tylko te wyrazy skalarne, tensorowe, wskaźnikowe i wskaźnikowo-tensorowe w wyrażeniu i równaniu, które w każdym układzie współrzędnych mają zerową wartość, a w wielkościach tensorowych, wskaźnikowych i wskaźnikowo-tensorowych należy wyraz ogólnić nawet do układów zakrzywionych zamieniając przecinek na średnik, bo tam symbole Christoffela w układach globalnie (lokalnie) płaskich są równe zero.
  • 1.A oto przykład funkcji, która w układzie globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości jest równa zero:
(2.49)

W układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości (2.49) jest równa zero ze względu globalną (lokalną) stałość gęstości spoczynkowej (1.299) i globalną (lokalną) stałość tensora prędkości (1.426). Przejdźmy do układów ogólnie zakrzywionych, tzn. wymnażamy przez macierz transformcji (1.215):

(2.50)

Wyraz w (2.50) jest równy zero ze względu, że wyraz w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości jest równy zero.

  • 2.A oto przykład funkcji tensorowej słuszne dla układów co najwyżej zakrzywionych:

(2.51)

A więc od układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości na podstawie (1.299) przejście do układów co najwyżej zakrzywionych daje nam zero.

  • 3. A oto przykład całki słuszne dla układów co najwyżej zakrzywionych:


(2.52)

Pierwszy wyraz ostatniej równości jest równy zero dzięki niezależności gęstości spoczynkowej (1.426) i niezależności ciśnienia (1.423) względem interwału czasoprzestrzennego w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości. Drugi wyraz w (2.52) jest równy zero na podstawie przykładu (2.51). Całka powierzchniowa (trzeci wyraz) jest dokładnie równa zero niezależnie jak by na to patrzeć w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości według globalnej (lokalnej) stałości tensora prędkości (1.299), a więc przejście tej całki od układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do układów ozakrzywionych daje nam zero, a więc całka (2.52) w układach co najwyżej zakrzywionych jest równa zero.

Gęstość tensora (wielkości wskaźnikowej) siły w przypadku relatywistycznego (szczególna teoria względności) i nierelatywistycznego (mechanika Newtona) ruchu płynu i punktów[edytuj]

Będziemy tutaj rozpatrywali relatywistyczny ruch cząstek płynu i punktów (ciał).

Szczególna teoria względności[edytuj]

Będziemy tutaj rozważać prawa ruchu układu relatywistycznego według szczególnej teorii względności.

Układy słabozakrzywione i globalnie (lokalnie) płaskie[edytuj]

Spróbujmy wyprowadzić wzór na gęstość tensora siły, której różniczka tensora siły działa na dany punkt ośrodka i jej odpowiednik dla skończonego tensora siły jest w postaci (2.32), piszemy wychodząc z różniczki tensora siły będąca iloczynem różniczki masy spoczynkowej i pochodnej zupełnej tensora prędkości cząstki płynu względem interwału czasoprzestrzennego i korzystając z definicji skrócenia długości (4.7) (przechodząc z infinitezymalnej różniczki objętości spoczynkowej do objętości relatywistycznej) i definicji gęstości masy spoczynkowej możemy powiedzieć:

(2.53)

Wzór na gęstość tensora siły jest w postaci (2.53). Korzystając z definicji gęstości tensora siły według wzoru (2.53) przejdziemy z niej do gęstości wielkości wskaźnikowej siły na podstawie (2.40):

(2.54)

Wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły jest w postaci (2.54), jest ona iloczynem gęstości spoczynkowej masy, prędkości światła, parametru γ i pochodnej zupełnej tensora prędkości względem czasu t.

Układ globalnie (lokalnie) płaski o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości[edytuj]

Mając wzór na wielkość gęstości tensora siły według punktu (2.53) przestawmy go w innej postaci dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości stosując w nim globalną (lokalną) stałość tensora prędkości (1.299) i globalną (lokalną) stałość gęstości spoczynkowej masy (1.426) oraz (Twierdzenie-2.1), jako:




(2.55)

Wzór na gęstość tensora siły (2.55) zapisujemy jako pochodna cząstkowa iloczynu gęstości relatywistycznej masy i wielkości wskaźnikowej prędkości względem interwału czasoprzestrzennego. Napiszmy drugą postać tego wzoru patrząc co jest po czwartej równości w (2.55), mamy:


(2.56)

Wzór na gęstość tensora siły (2.56) jest iloczynem gęstości spoczynkowej masy, prędkości światła, γ i pochodnej cząstkowej tensora prędkości względem interwału czasoprzestrzennego. Na podstawie sobie różnych postaci jednego wzoru dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości (2.55) i (2.56) piszemy ich odpowiedniki gęstości wielkości wskaźnikowej siły patrząc na równość (2.40), wtedy

(2.57)

Wzory na gęstość tensora siły (2.55) i (2.56) są równoważne co najwyżej w przybliżeniu wzorowi (2.53) oraz wzory na gęstość wielkości wskaźnikowej siły (2.57) są równoważne co najwyżej w przybliżeniu wzorowi (2.54) na mocy twierdzenia (Twierdzenie-2.1) w układach globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych.

Prawa dynamiki dla układów punktowych wynikające z praw dla układów rozciągłych dla przestrzeni słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich[edytuj]

Drugie prawo dynamiki w postaci wskaźnikowej dla układów rozciągłych dla układów słabozakrzywionych jest napisana według wzoru (2.54), a dla układów punktowych wyprowadzamy z tego wzoru wzór na wielkość wskaźnikową siły według (1.290), a więc:

(2.58)

Napiszmy z definicji delty Diraca:

(2.59)
  • gdzie n to wymiar przetrzeni zwykłej.

Na podstawie (2.58) i z definicji delty Diraca dla układów punktowych wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły podczas jego operacji całkowania względem objętości:

(2.60)

Stąd wzór (2.58) dla układów rozciągłych przechodzi dla układów punktowych w wzór (2.60) (końcowy wzór), czyli w (1.290). Zatem wzór dla układów punktowych dla układów słabokrzywionych na tensor siły jest w postaci (2.32), a dla rozciągłych wzór na gęstość tensora siły przedstawia się w formie (2.53) (drugi wzór w implikacji), i to wszystko dla układów słabozakrzywionych.

Mechanika Newtona[edytuj]

Będziemy tutaj rozważać prawa ruchu układu nierelatywistycznego według mechaniki Newtona.

Układy słabozakrzywione i globalnie (lokalnie) płaskie[edytuj]

Spróbujmy wyprowadzić wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły, której różniczka wektora działa na dany punkt ośrodka i jej odpowiednik dla skończonej wielkości wskaźnikowej siły jest w postaci (MT-1.32), piszemy wychodząc z różniczki wielkości wskaźnikowej siły będąca iloczynem różniczki masy spoczynkowej i pochodnej zupełnej wielkości wskaźnikowej prędkości cząstki płynu względem czasu absolutnego, korzystając przy tym, że nie ma żadnego skrócenia długości (a więc transformacji infinitezymalnej objętości z różniczki objętości spoczynkowej), i definicji gęstości masy spoczynkowej (ogólnie gęstości masy) możemy powiedzieć:

(2.61)

Wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły jest w postaci (2.61), jest ona iloczynem gęstości spoczynkowej i pochodnej wielkości wskaźnikowej prędkości względem czasu t.

Układ globalnie (lokalnie) płaski o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości[edytuj]

Mając wzór na wielkość gęstości wskaźnikowej siły według punktu (2.61) przestawmy go w innej postaci dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości stosując zachodzącą globalną (lokalną) stałość tensora prędkości (1.300) i globalną (lokalną) stałość gęstości masy spoczynkowej (1.426) oraz (Twierdzenie-2.1), jako:



(2.62)

Wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły jest pochodną iloczynu gęstości masy i wielkości wskaźnikowej prędkości. Dalej patrząc co jest po drugiej równości w (2.62), mamy:

(2.63)

Wzór (2.63) jest iloczynem gęstości masy i pochodnej cząstkowej wielkości wskaźnikowej prędkości względem czasu absolutnego. Wzory na gęstość wielkości wskaźnikowej siły (2.62) i (2.63) są równoważne co najwyżej w przybliżeniu wzorowi (2.61) na mocy twierdzenia (Twierdzenie-2.1) w układach globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych.

Prawa dynamiki dla układów punktowych wynikające z praw dla układów rozciągłych dla przestrzeni słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich[edytuj]

Drugie prawo dynamiki w postaci wskaźnikowej dla układów rozciągłych dla układów słabozakrzywionych jest napisana według wzoru (2.61), a dla układów punktowych wyprowadzamy z tego wzoru wyprowadzając wzór na wielkość wskaźnikową siły według (1.290), a więc:

(2.64)

Napiszmy z definicji delty Diraca:

(2.65)
  • gdzie n to wymiar przetrzeni zwykłej.

Na podstawie (2.64) i z definicji delty Diraca dla układów punktowych wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły podczas jego operacji całkowania względem objętości:

(2.66)

Stąd wzór (2.64) dla układów rozciągłych przechodzi dla układów punktowych w wzór (2.66) (końcowy wzór), czyli w (MT-1.32). Zatem wzór dla układów punktowych dla układów słabokrzywionych na wielkość wskaźnikową siły jest w postaci (MT-1.32), a dla rozciągłych wzór na gęstość wielkości wskaźnikową siły przedstawia się w formie (2.61) (drugi wzór w implikacji), i to wszystko dla układów słabozakrzywionych.