Szczególna teoria względności/Własności czasoprzestrzeni

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Szczególna teoria względności
Szczególna teoria względności
Własności czasoprzestrzeni

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Tutaj zajmować się będziemy wnioskami wynikającymi z własności czasoprzestrzeni.

Dylatacja czasu[edytuj]

Zakładamy, że prędkość nowego układu współrzędnych jest stała i wynosi , zatem zakładając, że czas początkowy, który liczymy w starym i nowym układzie współrzędnych tak by był równy zero, zatem na podstawie (1.179) jest napisane:

(5.1)

Połóżmy sobie w nowym układzie odniesienia, że mamy spoczywający sobie zegar, czyli w tym przypadku jest na pewno , zatem w takiej sytuacji różnica pomiędzy dwoma zdarzeniami zwana czasem własnym wynosi: Δt=τ0, oraz czas w starym układzie współrzędnych jest dany przez wzór Δ t'=τ, a zatem na podstawie (5.1) możemy powiedzieć:

(5.2)

A zatem dylatacja czasu wedle dyskusji (5.2), której to przepisujemy jego końcowy wynik poniżej, który wyraża się jako transformacja czasu τ, w układzie w którym obserwator porusza się z prędkością u względem układu spoczywającego τ0, w którym dany obserwator spoczywa.

(5.3)

A więc czas się wydłuża w układzie K' względem ciała spoczywającego w układzie K. Gdy prędkość ciała jest równa prędkości światła, to przy skończonym czasie τ w nowym układzie współrzędnych poruszających się V=c, wtedy jego czas własny wynosi zero, zatem w tym przypadku w nim wcale nie ma upływu czasu.

Skrócenie długości[edytuj]

Zakładając, że prędkość układu jest stała. Ciało w układzie K spoczywa. Będziemy wykorzystywać wzór (1.176). Niech mamy pręt, który jest pod pewnym kątem względem prędkości nowego układu współrzędnych względem nowego , napiszmy wektor, który jest równoległy do tego pręta o wartości, którego jest to długość tego pręta, wtedy po rozłożeniu tego wektora na składową równoległą do prędkości nowego układu współrzędnych względem starego, wtedy otrzymujemy wektor , który ma długość :


(5.4)

Ponieważ długość liczymy w tym samym czasie a wiec ona jest równa długości własnej l0 w układzie K, w którym ciało spoczywa, podobnie liczmy też ten wektor ale w nowym układzie współrzędnych. Liczona różnica odpowiada różnicy czasów w K', tzn. , wiedząc że w starym układzie odniesienia mamy Δ t=0, zatem według wzoru (1.178) różnica czasów pomiędzy dwoma końcami pręta poruszającego się w nowym układzie odniesienia:

(5.5)

Długość l, który jest długością składowej wektora równoległego do . Jego prawy koniec znajduje się w przeszłości o różnicę czasu Δ t, zatem do długości (5.4) musimy dodać do niego wielkość V'Δ t', tak aby prawy i lewy koniec naszego rozważanego pręta były liczone w tym samym czasach w obydwu jego końcach. Układ K jest dla niego układem własnym nieporuszających się, a K' jest układem poruszającym się z prędkością o wartości V'=V jak udowodniono w (1.98).

(5.6)

Możemy przepisać wynik z punktu (5.6), wtedy długość danej składowej równoległej do w układzie, w którym pręt porusza się z prędkością V jest równa , a jest ona wyrażona w zależności od długości w układzie w którym pręt spoczywa:

(5.7)

Stąd wychodzi, że ciało spoczywające w układzie spoczynkowym K ma największą długość, w innych układach różnych niż K długość układu jest mniejsza, czyli zawsze zachodzi l<l0.

Transformacja częstotliwości fali elektromagnetycznej dla względnej prędkości źródła i odbiornika[edytuj]

Będziemy tutaj rozpatrywać, gdy odbiornik spoczywa i źródło się porusza, a także gdy odbiornik jest w ruchu, a źródło spoczywa.

Odbiornik spoczywa, a źródło się porusza[edytuj]

Załóżmy, że mamy oś OX, w którym źródło fali elektromagnetycznej (układ K'), porusza się zgodnie z kierunkiem wzrostu osi OX. Odbiornik fali elektromagnetycznej znajduje się w punkcje x1, czyli dla naszego przypadku, gdy fala zostanie wysłana odwrotnie do kierunku ruchu nadajnika z pewnym maksimum (zakładamy, że źródło oddala się od odbiornika i odbiornik znajduje się przed źródłem), to ona dojdzie w czasie t1.

(5.8)

Po czasie T'0 względem naszego układu , źródło fali elektromagnetycznej ponownie wysyła np. maksimum drań, zatem on dopłynie do odbiornika w czasie t2.

(5.9)

Przyrównując oba wzory na x1, czyli w tym przypadku (5.8) i (5.9), i wiedząc, że mamy T=t2-t1, w takim przypadku można powiedzieć:

(5.10)

Teraz uwzględnimy wzór na dylatację czasu (5.3) i określmy, że czas własny wysyłania poszczególnych np. maksimów w fali elektromagnetycznej w układzie własnym nadajnika T0 (w układzie, w którym nadajnik spoczywa), i w starym układzie odniesienia (w układzie, w której nadajnik porusza się z prędkością V), któremu odpowiada czas T'0, to wtedy transformacja między tymi czasami wyraża się:

(5.11)

Idąc dalej podstawiając (5.11) do końcowego wynikowego wzoru (5.10), bo w tym wzorze czasy są liczone względem starego układu odniesienia T'0 i względem nowego T0, wtedy po dokonaniu tego naszego podstawienia otrzymamy wzór na okres fali wysyłanych przez nadajnik T0 i odbieranych przez odbiornik T:

(5.12)

Wiedząc, że częstość fali jest wyrażona wzorem , czyli jest odwrotnością okresu drań fali elektromagnetycznego w próżni, to wtedy transformacja częstości fali odbieranej w zależności częstości wysyłanej jest napisana:

(5.13)

Możemy wyrazić długość fali λ przez częstość w sposób , czyli jest to odwrotność częstości fali elektromagnetycznego pomnożonej przez prędkość światła c, a długość fali transformuje się:

(5.14)

Przy założeniach, że jeśli V>0, to wtedy źródło oddala się od odbiornika, oraz gdy V<0, to źródło przybliża się do odbiornika. Gdy prędkość źródła znajduje się pod kątem α względem linii odbiornik i źródło, co on znajduje się daleko od odbiornika, to wtedy on oddala się od niego z prędkością (tzn. składowa równoległa prędkości źródła do linii łączący odbiornik ze źródłem):

(5.15)

a dalej do wzoru na okres drgań (5.10) stosujemy wzór (5.15) i później tożsamość na dylatacje czasu (5.11), tzn. na wydłużenie czasu na czas , wtedy mamy:

(5.16)

Napiszmy dalsze zależności na częstość i długość fali, wtedy:

(5.17)
(5.18)

Odbiornik się porusza, a źródło spoczywa[edytuj]

Załóżmy, że odbiornik oddala się od źródła i zakładamy, że odbiornik znajduje się za źródłem, wtedy równanie na położenie odbiornika w chwili przedstawia się wzorem na , tzn. początkowe położenie źródła jest , a po czasie po jakim doszła do odbiornika fala elektromagnetyczna jest położeniem , tzn. zachodzi:

(5.19)

a równanie na położenie odbiornika w chwili piszemy wzorem poniżej, przy czym zachodzi dla spoczywającego źródła, który jest źródłem wysyłających fal elektromagnetycznych, co wtedy:

(5.20)

Podstawiając wzór (5.19) do (5.20), co na tej podstawie otrzymujemy:


(5.21)

Teraz uwzględnimy wzór na dylatację czasu (5.3) i określmy, że czas własny wysyłania poszczególnych np. maksimów w fali elektromagnetycznej w układzie własnym odbiornika T (w układzie, w którym odbiornik spoczywa) i w starym układzie odniesienia (w układzie, w którym odbiornik porusza się z prędkością V), któremu odpowiada czas T', to wtedy transformacja między tymi czasami wyraża się:

(5.22)

Idąc dalej podstawiając (5.22) do końcowego wynikowego wzoru (5.21), bo w tym wzorze czasy są liczone względem starego układu odniesienia T' i względem nowego T, wtedy po dokonaniu tego naszego podstawienia otrzymamy wzór na okres fali wysyłanych przez nadajnik T0 i odbieranych przez odbiornik T:

(5.23)

A dalsze wzory wynikające z (5.23) na długość i częstość fali dla naszego rozważanego przypadku są takie same jak w punktach (5.13) i (5.14). A te wzory są spełnione dla przypadku , gdy odbiornik oddala się od źródła, a , gdy jest odwrotnie. Gdy odbiornik znajduje się daleko od źródła i on oddala się z prędkością od niej o wartości (tzn. składowa równoległa prędkości odbiornika do linii łączący odbiornik ze źródłem):

(5.24)

Wzór (5.24) stosujemy do wzoru (5.21) na okres drgań i dalej tożsamość na dylatację czasu (5.22) wydłużenia czasu spoczynkowego na czas , wtedy otrzymujemy:

(5.25)

Napiszmy dalsze zależności na częstość i długość fali elektromagnetycznej:

(5.26)
(5.27)