Przejdź do zawartości

Szczególna teoria względności/Lokalna zasada zachowania energii(masy)-pędu z zasady zachowania energii(masy)-pędu

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Szczególna teoria względności
Szczególna teoria względności
Lokalna zasada zachowania energii(masy)-pędu z zasady zachowania energii(masy)-pędu

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Będziemy tutaj wyprowadzać lokalne prawa zachowania energii (masy), pędu i energii(masy)-pędu dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości i słabozakrzywionych, a także słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne albo krzywoliniowe lub we współrzędnych uogólnionych według procedury (Proc. 21.1).

Szczególna teoria względności[edytuj]

Będziemy tutaj określali lokalne prawo zachowania energii, pędu i energii-pędu dla szczególnej teorii względności.

Lokalna zasada zachowania energii dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości[edytuj]

Napiszmy z definicji zasady zachowania jakieś wielkości o gęstości dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości:


(40.1)

Zdefiniujmy współrzędną czasową x0 jako iloczyn prędkości światła i czasu, co zapisujemy jako x0=c t, a także zdefiniujmy gęstość prądu masy jako pewien tensor:

(40.2)

Z definiujmy jako tensor prądu względem tensora prędkości jaki dany punkt posiada, i posiadający gęstość spoczynkową ρ0:

(40.3)

Udowodnijmy przechodniość przestawienia (40.4) do (40.2) dla ν=0 tensora prądu kontrawariantnego czasowego (zerowego):

(40.4)

A teraz udowodnijmy znów przechodniość przestawienia (40.3) do (40.2) dla elementów przestrzennych tensora prądu prądu j , tzn. gdy jest spełnione 0≠μ=i:

(40.5)

Ale elementy tensora według (40.4) (elementy czasowe) i (40.5) (elementy przestrzenne), czyli mamy wzór na definicję tensora prądu (40.3), które doprawdzają z (40.3) do (40.2), w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, co stąd na tej podstawie ogólnie mamy uwzględniając pochodne cząstkowe ciśnienia i elementy czasowe gęstości wielkości wskaźnikowej siły w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości patrząc na (40.3) (wzór na gęstość prądu o współrzędnych j), (26.2) (pochodnej czasowej ciśnienia) i (39.3) (wzór na gęstość tensora siły):


(40.6)

Lokalna zasada zachowania pędu dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości[edytuj]

Napiszmy z definicji zasady zachowania wielkości gęstości składowej pędu, tzn.: dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości:


(40.7)

Zdefiniujmy współrzędną czasową x0 jako iloczyn prędkości światła i czasu, co zapisujemy jako x0=c t, a także zdefiniujmy gęstość prądu masy jako pewien tensor:

(40.8)

Z definiujmy jako tensor prądu jako:

(40.9)

Udowodnijmy przechodniość przestawienia (40.9) do (40.8) dla ν=0 tensora prądu kontrawariantnego czasowego (zerowego):

(40.10)

Udowodnijmy przechodniość przestawienia (40.9) do (40.8) dla ν=i tensora prądu kontrawariantnego przestrzennego (i-tego):

(40.11)

Zatem lokalnie prawo zachowania pędu na podstawie (40.7) i (40.8) wynikające z (40.9) (w tym według dowodu (40.10) i (40.11), w których dochodzimy do (40.9)) dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości przedstawia się w formie patrząc na (40.9) (tensor gęstości prądu) i (39.3) (gęstość tensora siły):


(40.12)

Końcowy rezultat lokalnego prawa zachowania energii-pędu[edytuj]

Będziemy tutaj wyprowadzać lokalne prawo zachowania energii-pędu dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości i słabozakrzywionych oraz słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątnych albo we współrzędnych krzywoliniowych lub uogólnionych według procedury (Proc. 21.1).

Końcowy rezultat lokalnego prawa zachowania energii-pędu dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości[edytuj]

Na podstawie definicji gęstości prądu (40.3) (dla lokalnego zachowania energii) i (40.9) (dla lokalnego zachowania współrzędnych pędu) mamy wzór na tensor prądu , czyli:

(40.13)

Łącząc wzory (40.6) i (40.12) otrzymujemy dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości patrząc na (40.13) (wzór na gęstość tensora prądu) i (39.3) (wzór na gęstość tensora siły):

(40.14)

Jest to wzór dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, jest to taki sam wzór jak (38.1) w szczególnej teorii względności, tylko że zamiast średnika jest przecinek.

Końcowy rezultat lokalnego prawa zachowania energii-pędu dla einsteinowskich układów odniesienia[edytuj]

Wzór (40.14) na lokalne prawo zachowania energii-pędu transformujemy do układów słabozakrzywionych od układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości (w tym układzie możemy postawić zamiast przecinka średnik, co zrobimy, bo symbole Christoffela są dokładnie równe zero, a w układach słabozakrzywionych już się nie zerują), wtedy:


(40.15)

Ostatni wzór w (40.15) dla układów słabozakrzywionych ma taką samą postać jak pierwszy wzór tam, bo skorzystaliśmy tam z przybliżonych praw w postaci (22.8) przechodząc z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego. Obliczenia w (40.15) są dla układów słabozakrzywionych przy macierzy transformacji będących funkcjami uogólnionymi transformujący z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego.

W (40.15) w końcowym wzorze dla układów słabozakrzywionych (dla dowolnych prędkości w czasie i przestrzeni) niech mamy układy słabozakrzywione uważane za płaskie ogólnie nieprostokątne, wtedy symbole Christoffela uważamy za równe zero według procedury (Proc. 21.1) otrzymując wzór (40.16), wtedy możemy napisać z niego wynikający końcowy wzór (40.17) dla układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych) (a to wynikanie jest podobne jak z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego napisanego jak w punkcie (40.15)):

(40.16)
(40.17)

Ostateczny wzór (40.16) przedstawia lokalną zasadę zachowania energii-pędu (końcowy wzór) w układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne, a formuła (40.17) przedstawia się w układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych lub uogólnionych. Dla układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne lokalne prawo zachowania energii według wzoru (40.16) przedstawia się w formie:

(40.18)

A lokalne prawo zachowania pędu też w układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne też według (40.16):

(40.19)

Doprowadzenie lokalnego prawa zachowania energii-pędu do lokalnej zachowawczości tensora gęstości energii-pędu przy działającej na dany punkt różniczce tensora siły dla einsteinowskich układów odniesienia[edytuj]

Uzupełnienie prawa (40.14) przy definicji tensora siły (39.3) stosując twierdzenie (Twier. 20.1) daje nam lokalną zachowawczość tensora gęstości energii-pędu, w którym na dany punkt w przestrzeni działa różniczka tensora siły zewnętrznej, dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, tzn. daje to (36.23) na podstawie globalności (lokalności) stałego tensora prędkości (21.6), globalności (lokalności) stałej gęstości masy spoczynkowej (26.5) i globalności (lokalności) stałego ciśnienia (26.1), gdzie po przejściu od układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości do układów słabozakrzywionych daje nam wzór (36.26), czyli w tym wzorze zawarte jest w przybliżeniu całe lokalne prawo zachowania energii-pędu (40.16), i też w niego wynika równanie ruchu (39.10).

Gdy tensor siły niezrównoważonej jest równy zero w szczególnej teori względności[edytuj]

Lokalne prawo zachowania energii-pędu zakładając, że w układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne, płaskie krzywoliniowe lub płaskie we współrzędnych uogólnionych, tensor siły niezrównoważonej pamiętając, że zachodzi (40.16), jest równy zero, przedstawia się w formie:

(40.20)
(40.21)

Prawo dokładne (40.20) dla układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie krzywoliniowe lub we współrzędnych krzywoliniowych przedstawia lokalną zasadę zachowania energii-pędu przy gęstości tensora sił równej zero, a w układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne to prawo jest z przecinkiem zamiast średnika i przedstawia się jako prawo (40.21).

Mechanika Newtona[edytuj]

Będziemy tutaj określali lokalne prawo zachowania masy, pędu i masy-pędu dla mechaniki Newtona.

Lokalna zasada zachowania masy dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości[edytuj]

Napiszmy z definicji zasady zachowania jakieś wielkości o gęstości dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałej wielkości wskaźnikowej prędkości:


(40.22)

Zdefiniujmy gęstość prądu w postaci:

(40.23)

Wykorzystując wzór na gęstość prądu (40.23) i formułę na lokalne prawo zachowania masy (40.22) patrząc na (39.7) (wzór na wielkość wskaźnikową siły), co:

(40.24)

Lokalna zasada zachowania pędu dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości[edytuj]

Napiszmy z definicji zasady zachowania jakieś wielkości o gęstości spoczynkowej dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałej wielkości wskaźnikowej prędkości:


(40.25)

Zdefiniujmy gęstość prądu w postaci:

(40.26)

Wykorzystując wzór na gęstość prądu (40.26) i formułę na lokalne prawo zachowania pędu (40.25) patrząc na (39.7) (wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły), co:

(40.27)

Końcowy rezultat lokalnego prawa zachowania masy-pędu[edytuj]

Będziemy tutaj wyprowadzać lokalne prawo zachowania masy-pędu dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości i słabozakrzywionych.

Końcowy rezultat lokalnego prawa zachowania masy-pędu[edytuj]

Patrząc na wzory (40.23) i (40.26) mamy wzór na wielkość wskaźnikową gęstości prądu:

(40.28)

Wielkość wskaźnikową gęstości prądu (40.28) jest iloczynem gęstości spoczynkowej i dwóch o ogólnie różnych wskaźnikach wielkości wskaźnikowej prędkości.

Będziemy tutaj wyprowadzać lokalne prawo zachowania masy-pędu dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości. Łącząc wzory (40.24) i (40.27) otrzymujemy dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości patrząc na (40.28) (wzór na gęstość prądu) i (39.7) (wzór na wielkość wskaźnikową siły):

(40.29)

Jest to wzór dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, jest to taki sam wzór jak (38.2) w mechanice Newtona, tylko że zamiast średnika jest przecinek.

Końcowy rezultat lokalnego prawa zachowania masy-pędu[edytuj]

Wzór (40.29) na lokalne prawo zachowania energii-pędu transformujemy do układów słabozakrzywionych od układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości (w tym układzie możemy postawić zamiast przecinka średnik, co zrobimy, bo symbole Christoffela są dokładnie równe zero, a w układach słabozakrzywionych już się nie zerują), wtedy:

(40.30)

Ostatni wzór w (40.30) dla układów słabozakrzywionych ma taką samą postać jak pierwszy wzór tam, bo skorzystaliśmy tam z przybliżonych praw w postaci (22.10) i (22.11) przechodząc z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego. Obliczenia w (40.30) są dla układów słabozakrzywionych przy macierzy transformacji będących funkcjami uogólnionymi transformujący z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego.

W (40.30) w końcowym wzorze dla układów słabozakrzywionych (dla dowolnych prędkości w czasie i przestrzeni) niech mamy układy słabozakrzywione uważane za płaskie ogólnie nieprostokątne, wtedy symbole Christoffela uważamy za równe zero według procedury (Proc. 21.1) otrzymując wzór (40.31), wtedy możemy napisać z niego wynikający końcowy wzór (40.32) dla układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych) (a to wynikanie jest podobne jak z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego napisanego jak w punkcie (40.30)):

(40.31)
(40.32)

Ostateczny wzór (40.31) przedstawia lokalną zasadę zachowania energii-pędu (końcowy wzór) w układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne, a formuła (40.32) przedstawia się w układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych lub uogólnionych. Dla układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne lokalne prawo zachowania energii według wzoru (40.31) przedstawia się w formie:

(40.33)

A lokalne prawo zachowania pędu też w układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne też według (40.31) jest:

(40.34)

Doprowadzenie lokalnego prawa zachowania masy-pędu do lokalnej zachowawczości tensora gęstości masy-pędu przy działającej na dany punkt różniczce wielkości wskaźnikowej siły dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości i słabozakrzywionych[edytuj]

Uzupełnienie prawa (40.29) przy definicji wielkości wskaźnikowej siły (39.7) stosując twierdzenie (Twier. 20.1) daje nam lokalną zachowawczość tensora gęstości masy-pędu, w którym na dany punkt w przestrzeni działa różniczka tensora siły zewnętrznej, dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, tzn. daje to (36.24) na podstawie globalności (lokalności) stałego tensora prędkości (21.7), globalności (lokalności) stałej gęstości masy spoczynkowej (26.5) i globalności (lokalności) stałego ciśnienia (26.1), gdzie po przejściu do układów słabozakrzywionych z układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości daje nam wzór (36.31), czyli w tym wzorze zawarte jest w przybliżeniu całe lokalne prawo zachowania masy-pędu (40.31), i też z niego wynika równanie ruchu (39.16), co te formuły są dla układów słabozakrzywionych.

Gdy tensor siły niezrównoważonej jest równy zero w układach słabozakrzywionych[edytuj]

Lokalne prawo zachowania masy-pędu zakładając, że w układach słabozakrzywionych tensor siły niezrównoważonej pamiętając, że zachodzi (40.31), jest równy zero, przedstawia się w formie dla układów uważanych za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych lub uogólnionych i płaskie ogólnie nieprostokątne:

(40.35)
(40.36)

Prawo przybliżone (40.35) ((40.36)) dla układów słabozakrzywionym przedstawia lokalną zasadę zachowania masy-pędu przy gęstości tensora sił równej zero.

Dowód lokalnej zasady zachowania energii-pędu szczególnej teorii względności z jej odpowiednika dla mechaniki Newtona[edytuj]

Weźmy lokalną zasadę zachowania masy-pędu mechaniki Newtona (40.29) i przedstawmy go wersji tensorowej według szczególnej teorii względności dla układów ogólnie nieprostokątnych i uogólnionych (krzywoliniowych), tutaj przecinek wtedy zamieniamy na średnik, a to równanie po takim przedstawieniu jest:

(40.37)

Równanie (40.37) jest słuszne w mechanice Newtona, ale według praw szczególnej teorii względności po przejściu do niej i po zastęponieniu z na ze skrócenia długości (18.7) jest również tam słuszne, zatem lokalna zasada zachowania energii-pędu szczególnej teorii względności (40.14) jest ogólnie spełniona nie tylko w zakresie stosowalności mechaniki Newtona.

Tensor gęstości prądu, a różniczka wielkości wskaźnikowej siły w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona[edytuj]

Weźmy wzór z szczególnej teroii względności (40.14) i mechaniki Newtona (40.29), i napiszmy je w wersji z wielkością wskaźnikową siły dla układów ortonormalnych, wtedy rózniczka tej siły jest napisana:

(40.38)

Końcowy wzór w (40.38) jest wielkością wskaźnikową różniczki siły działająca na (n+1)-wymiarową (n - wymiar przestrzeni zwykłej czasoprzestrzeni Minkowskiego) nieskończenie małą powierzchnię w czesoprzestrzeni według szczególnej teorii względności. Pierwszy wzór w (40.38) przedstawia wzór na różniczkę siły zewnętrznej działającej na infinitezymalną objętość, a drugi na infinitezymalną powierzchnię, i dlatego one nie są równoważne, ale drugi tam wzór wynika z pierwszego. Końcowy wzór (40.38) jest odpowiednikiem różniczki wektora siły pochodzącej od ciśnienia działającą na nieskończenie małą powierzchnię , czyli wzoru [Patrz: 40.1]. Porównując wniosek (40.38) i (Patrz: 40.1), wtedy otrzymujemy, że:

(40.39)
  • gdzie w (40.39) jest to μ-ty wersor bazy układu współrzędnych czasoprzestrzeni tworzący wraz z wektor w danym punkcie prostopadły, do powierzchni, w kierunku na zewnątrz tej powierzchni o punkcie zaczepienia na niej, a liczba ogólna to jest wymiar przestrzeni zwykłej w czasoprzestrzeni.

Na podstawie (40.39) i (40.38) otrzymujemy wzór (Patrz: 40.1) na prawo Pascala, przy czym w (40.39) wielkość na ciśnienie jest inne niż występujące we ostatnim wzorze w (40.38) pod wielkości wskaźnikową różniczki siły .