Szczególna teoria względności/Definicja masy i energii, spoczynkowej i relatywistycznej, i pędu

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Szczególna teoria względności
Szczególna teoria względności
Definicja masy i energii, spoczynkowej i relatywistycznej, i pędu

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Praca, moc i energia w szczególnej teorii względności w einsteinowskich układach odniesienia[edytuj]

Będziemy wyprowadzać wzór dla poszczególnych mas układów i dla ich środka mas.

Wzór E=mc2 (dowód) i wielkości związane z nim dla poszczególnych elementów masowych środka mas ciał, ale nie środka mas[edytuj]

Wyprowadżmy wzór dla poszczególnych elementów masowych układu (nie środka mas układu ciał). Z definicji infinitezymalnej pracy znanej z fizyki klasycznej i siły relatywistycznej wyrażonej wzorem (19.16) otrzymujemy, że praca jest całką infinitezymalnej pracy względem czasu, w którym ta zmiana występuje, powiemy, że ona jest równa różnicy energii relatywistycznych w czasie t2 i t1, zatem praca wykonana przez ciało jest wyrażona:




(31.1)

Na podstawie obliczeń (31.1), praca wykonywana ze stanu 1 do stanu 2 możemy zapisać jako różnicę pewnych wielkości zależnej od prędkości ciała w tychże punktach:

(31.2)

Przyjmujemy za Einsteinem, że energia jest równoważna masie, tzn. energia relatywistyczna jest iloczynem masy relatywistycznej i kwadratu wartości prędkości światła:

(31.3)
  • gdzie m(u) jest to masa relatywistyczną występującą we wzorze (31.3) jest napisana w punkcie (19.11), zatem jeśli wykorzystamy definicję energii relatywistycznej (31.3), wtedy ten nasz wspomniany wzór na pracę wykonaną od stanu 1 do 2 jest napisana jako różnicę energii relatywistycznej zapisanej w stanach 2 i 1.
(31.4)

Za pomocą (31.2), lub (31.4), (wielkość ) i wzoru na energię relatywistyczną względem prędkości (31.3) możemy napisać moc siły korzystając z definicji mocy, tzn.:

(31.5)

Energia kinetyczna[edytuj]

Dla dowolnych prędkości energię kinetyczną einsteinowską formułemy:

(31.6)

Sformułujmy wyrażenie, które nazwiemy energią kinetyczną newtonowską, do którego zastosujemy przybliżenie nierelatywistyczne, , tzn. (16.11), stosując przybliżenie (19.12), w sposób:

(31.7)

Czyli według (31.7) energia kinetyczna newtonowska jest to energia relatywistyczna minus jego energia spoczynkowa, zatem dobrze sformułowalismy wzór na energię kinetyczną einstenowską w postaci (31.6).

Wzór E=mc2 (dowód) i wielkości związane z nim dla środka mas układu ciał, ale nie poszczególnych elementów masowych środka mas[edytuj]

Wyprowadźmy wzór dla układu środka mas ciał (nie poszczególnych elementów masowych tego układu). Siła działająca na środek mas ciał (25.9) jest pochodną zupełną pędu relatywistycznego środka mas ciał (25.8) względem czasu. Wzory (31.3) i (31.1) są słuszne dla ciał w teorii punktów, gdzie , , i to jest wartość prędkości, prędkość, pęd i położenie pojedyńczego ciała, ale mając wielkość (25.9) (wzór na pęd środka mas ciał) i (25.1) (położenie środka masy) przedstawiamy w (31.1) zastępując: , , i , wtedy możemy napisać wzór (31.3), ale dla środka masy, i jest on dla tego prawdziwy. Jeżeli obiekt jest traktowany jako całość to wtedy on ma masę środka masy spoczynkową , energię spoczynkową środka masy , te wielkości są zależne względem siebie na podstawie (31.3) (ale dla środka mas ciał), a jeźeli będziemy traktować środek mas jako poszczególne elementy (ciała) to wtedy suma mas spoczynkowych poszczególnych elementów wyrażamy: , gdzie to numer ciała, jeżeli traktować te ciała jako poszczególne elementy, co stąd z rozważań logicznych wynika, że defekt masy układu mas jest: , a wtedy po rozdzieleniu elementów masowych wydziela się energia na podstawie definicji energii spoczynkowych poszczególnych mas i energii spoczynkowej układu mas jako całość przedstawiamy w postaci: . Masa środka masy ciał spoczynkowa jest związana w zależności od mas spoczynkowych poszczególnych elementów masowych w postaci (20.49), którymi są (masą spoczynkową i-tego elementu), (tensor prędkości i-tego elementu), a tensorem prędkości środka mas .

Energia potencjalna pola potencjalnego[edytuj]

Powtarzając za wykładem z mechaniki teoretycznej wzór na siłę potencjalną (1.93) wyrażamy wzorem:

(31.8)

A siła jest potencjalna, gdy zachodzi, jak w tym wykładzie, następująco:

(31.9)

Zasada zachowania energii w szczególnej teorii względności[edytuj]

Napiszmy drugą zasadę dynamiki Einsteina (19.16), dla układu cząstek i rozdzielmy siły działające na układ na siły potencjalne (działające od wewnątrz układu i zewnątrz ) i dysypatywne (działające od wewnątrz układu i zewnątrz ), piszemy przy założeniu, że spełniona jest trzecia zasada dynami Einsteina (ciało-ciało), ale na pewno ona jest spełnione między ciało-pole według (23.20):

(31.10)

Równanie (31.10) pomnóżmy przez iloczyn prędkości ciała i infinitezymalnego czasu, otrzymujemy:


(31.11)

Równanie (31.11) opisuje pojedynczą cząstkę, wraz z działającymi na siebie siłami, a więc to równania opisujące każdą cząstkę z osobna, które dodajemy je do siebie, i w ten sposób dostajemy równość dla pewnego zbioru cząstek oddziaływających między sobą wykorzystując wzór na różniczkę energii potencjalnej, wykorzystując wzór policzony na energię relatywistyczną w postaci (31.3):


(31.12)

Teraz rozpatrzmy siły działające na poszczególne cząstki układu, które są siłami potencjalnymi, zatem wtedy możemy powiedzieć na podstawie definicji różniczki energii potencjalnej (31.8) i z trzeciej zasady dynamiki Einsteina:


(31.13)

W obliczeniach (31.13) skorzystaliśmy z definicji różniczki zupełnej energii potencjalnej. Równanie (31.12) na podstawie obliczeń przeprowadzonych w ostatnich obliczeniach i oznaczając drugą sumę w tożsamości po prawej jego stronie jako pracę infinitezymalną sił zewnętrznych przez dW w tym naszym wzorze, wtedy to równanie przepisujemy w postaci:


(31.14)

Całkowita energią układu E jest sumą energii kinetycznej i energii potencjalnej posiadanej przez dany układ (bo E=E_r+U=E_k+E_0+U), wtedy możemy powiedzieć, ze infinitezymalna zmiana energii układu mas jest równa infinitezymalnej pracy działających na nasz układ.

Gdy trzecia zasada dynamiki nie jest spełniona[edytuj]

Gdy trzecia zasada dynamiki Newtona nie jest spełniona, wtedy napiszmy:


(31.15)

Zatem energia całkowita ciała na podstawie (31.12) (bo wtedy jeszcze nie tam nie jest uwzględniona trzecia zasada dynamiki Einsteina ciało-ciało, ale w przypadku układów i ich pól relatywistycznych ta zasada nie jest spełniona) jest zapisana jako suma energii relatywistycznej ciał, energii potencjalnej też ciał i energii pola, który przekazuje siły ciało-ciało przedstawiona bezpośrednio poniżej, a także tam jest różniczka energii pola:

gdzie:
(31.16)

Wtedy zasada zachowania energii przedstawiamy formułą:

(31.17)

Gdzie wzór na całkowitą energię przedstawiamy w (31.16).

Wzór na całkowitą energię w zależności od pędu i masy spoczynkowej[edytuj]

Wektor pędu wyrażonej wzorem napisanej w punkcie (19.15) możemy podnieść do kwadratu, wtedy dostaniemy, że kwadrat długości pędu w zależności od prędkości danego badanego ciała wyraża się:

(31.18)

Zatem możemy wyznaczyć wyrażenie poniżej wykorzystując definicję kwadratu wartości pędu przestrzennego (31.18) i definicję energii relatywistycznej (31.3) i jak się przekonamy suma kwadratu iloczynu pędu przez prędkość światła i kwadratu energii spoczynkowej ciała, wtedy opisane wyrażenie jest równe kwadratowi energii relatywistycznej danego ciała pędzącego z prędkością "V".

(31.19)

Przepisując końcowy wynik wynikającego z uzyskanego punktu (31.19), który możemy go zapisać jako funkcję wartości pędu ciała p i jego masy spoczynkowej m0.

(31.20)

Kwadrat długości tensora pędu w przestrzeni metrycznej Minkowskiego[edytuj]

Końcowy wzór z poprzedniego rozdziału, czyli wzór (31.20) można przedstawić w troszeczkę w innej postaci wyznaczając je tak by po prawej stronie tej nierówności występowały wielkości związane z masą spoczynkową danego ciała poruszających się z pędem "p".

(31.21)

Jeśli oznaczymy jako pęd czasowy ciała według (20.17), to przestrzeń Minkowskiego względem sygnatury (1,-1,-1,-1) jest taka, że wzór (31.21) przy wprowadzanych tensorze n+1 wymiarowego wektora pędu można napisać:

(31.22)
  • gdzie ημν jest tensorem metrycznym (16.5) w szczególnej teorii względności.

Wzór (31.22) na podstawie (16.9) jest również spełniony gdy mamy tensor metryczny (16.4) wychodząc z wzoru (31.22), a oto dowód:

Równość (31.22) w szczególnej teorii względności możemy zapisać równoważnie do niego, korzystając z własności ogólnie tensora metrycznego, w tym przypadku tensora Minkowskiego:

(31.23)

Można udowodnić, że jeśli przyjmować będziemy, że mamy tensor metryczny Minkowskiego jest o przeciwnej macierzy do tensora metrycznego Minkowskiego (16.4):

co wtedy wzór (31.21) przedstawia się w troszeczkę w innej postaci, ale wyrażonej przez tensor pędu (20.17) i masę spoczynkową danego badanego ciała m0:

(31.24)

Równania (31.23) i (31.24) możemy zapisać jednym równaniem skalarno-tensorowym uwzględniając jednocześnie dwie sygnatury tensora metrycznego Minkowkiego szczególnej teorii względności, wtedy:

(31.25)

Równość (31.25) możemy napisać dla układów rozciągłych w postaci:

(31.26)

Widzimy, że równość (31.26) zależy od gęstości tensora pędu i gęstości masy spoczynkowej.