Szczególna teoria względności/Lokalna zasada zachowania energii(masy)-pędu z zasady zachowania energii(masy)-pędu

Lokalna zasada zachowania energii(masy)-pędu z zasady zachowania energii(masy)-pędu

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Będziemy tutaj wyprowadzać lokalne prawa zachowania energii (masy), pędu i energii(masy)-pędu dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości i słabozakrzywionych, a także słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne albo krzywoliniowe lub we współrzędnych uogólnionych według procedury (Proc. 21.1).

Szczególna teoria względności

Będziemy tutaj określali lokalne prawo zachowania energii, pędu i energii-pędu dla szczególnej teorii względności.

Lokalna zasada zachowania energii dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości

Napiszmy z definicji zasady zachowania jakieś wielkości o gęstości $\rho \;$ dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości:

${{dm} \over {dt}}={{d} \over {dt}}\int \rho dV=\left(-\int \rho {\vec {v}}d{\vec {S}}+\int p_{,0}dV+\int f_{z}^{0}dV\right)\Rightarrow \int {{\partial \rho } \over {\partial t}}+\int \left((\rho v^{i})_{,i}-{\delta ^{i}}_{,0}p_{,i}-f_{z}^{0}\right)dV=0\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {{\partial \rho } \over {\partial t}}+{{\partial } \over {\partial x^{i}}}\left(\rho v^{i}-\delta ^{i0}p\right)-f_{z}^{0}=0\Rightarrow {{\partial \rho } \over {\partial t}}+{{\partial } \over {\partial x^{i}}}\left(\rho v^{i}\mp \eta ^{i0}p\right)-f_{z}^{0}=0\;$

(40.1)

Zdefiniujmy współrzędną czasową x₀ jako iloczyn prędkości światła i czasu, co zapisujemy jako x₀=c t, a także zdefiniujmy gęstość prądu masy jako pewien tensor:

$j^{0\nu }=(\rho c^{2},c\rho {\vec {v}})\;$

(40.2)

Z definiujmy jako tensor prądu względem tensora prędkości jaki dany punkt posiada, i posiadający gęstość spoczynkową ρ₀:

$j^{0\nu }=c^{2}\rho _{0}u^{0}u^{\nu }\;$

(40.3)

Udowodnijmy przechodniość przestawienia (40.4) do (40.2) dla ν=0 tensora prądu kontrawariantnego czasowego (zerowego):

$j^{00}=c^{2}\rho _{0}{{cdt} \over {cdt{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}}{{cdt} \over {cdt{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}}=c^{2}{{\rho _{0}} \over {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}=c^{2}\rho _{0}\gamma ^{2}=c^{2}\rho \;$

(40.4)

A teraz udowodnijmy znów przechodniość przestawienia (40.3) do (40.2) dla elementów przestrzennych tensora prądu prądu j^0μ , tzn. gdy jest spełnione 0≠μ=i:

$j^{0i}=c^{2}\rho _{0}u^{0}u^{i}=c^{2}\rho _{0}{{cdt} \over {cdt{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}}{{dx^{i}} \over {cdt{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}}=c^{2}{{\rho _{0}} \over {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}{{v^{i}} \over {c}}=c\rho v^{i}\;$

(40.5)

Ale elementy tensora według (40.4) (elementy czasowe) i (40.5) (elementy przestrzenne), czyli mamy wzór na definicję tensora prądu (40.3), które doprawdzają z (40.3) do (40.2), w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, co stąd na tej podstawie ogólnie mamy uwzględniając pochodne cząstkowe ciśnienia i elementy czasowe gęstości wielkości wskaźnikowej siły w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości patrząc na (40.3) (wzór na gęstość prądu o współrzędnych j^0ν), (26.2) (pochodnej czasowej ciśnienia) i (39.3) (wzór na gęstość tensora siły):

${{\partial } \over {\partial t}}\rho v^{0}=-{{\partial } \over {\partial x^{i}}}\left(\rho v^{i}v^{0}\mp \eta ^{0i}p\right)+f_{z}^{0}\Rightarrow {{\partial } \over {\partial x^{0}}}\rho _{0}c^{2}u^{0}u^{0}=-{{\partial } \over {\partial x^{i}}}\left(\rho _{0}c^{2}u^{i}u^{0}\mp \eta ^{0i}p\right)+f_{z}^{0}\Rightarrow {{\partial } \over {\partial x^{0}}}j^{00}=-{{\partial } \over {\partial x^{i}}}\left(j^{0i}\mp \eta ^{0i}p\right)+\;$
$+f_{z}^{0}\Rightarrow {j^{0\nu }}_{,\nu }=\left(\pm \eta ^{0i}p\right)_{,i}+f_{z}^{0}\Rightarrow {j^{0\nu }}_{,\nu }=\pm p^{,0}+f_{z}^{0}\Rightarrow {j^{0\nu }}_{,\nu }=\left(-\nabla p+{\vec {f}}_{z},{{\vec {v}} \over {c}}\right)={{dF^{0}} \over {dV}}\Rightarrow {{\gamma } \over {c}}{j^{0\nu }}_{,\nu }={{dK^{0}} \over {dV}}$

(40.6)

Lokalna zasada zachowania pędu dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości

Napiszmy z definicji zasady zachowania wielkości gęstości składowej pędu, tzn.: ${\mathfrak {p}}^{i}\;$ dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości:

${{dP^{j}} \over {dt}}={{d} \over {dt}}\int {\mathfrak {p}}^{j}dV=\left(-\int {\mathfrak {p}}^{j}{\vec {v}}d{\vec {S}}-\int p_{,i}dV+\int f_{z}^{j}dV\right)\Rightarrow \int {{\partial {\mathfrak {p}}^{j}} \over {\partial t}}+\int \left(({\mathfrak {p}}^{j}v^{i})_{,i}+\delta ^{ij}p_{,j}-f_{z}^{j}\right)dV=0\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {{\partial {\mathfrak {p}}^{j}} \over {\partial t}}+{{\partial } \over {\partial x^{i}}}\left({\mathfrak {p}}^{j}v^{i}\mp \eta ^{ij}p\right)-f_{z}^{j}=0\;$

(40.7)

Zdefiniujmy współrzędną czasową x₀ jako iloczyn prędkości światła i czasu, co zapisujemy jako x₀=c t, a także zdefiniujmy gęstość prądu masy jako pewien tensor:

$j^{j\nu }=({\mathfrak {p}}^{j}c,{\mathfrak {p}}^{j}{\vec {v}})\;$

(40.8)

Z definiujmy jako tensor prądu jako:

$j^{j\nu }=c^{2}\rho _{0}u^{j}u^{\nu }\;$

(40.9)

Udowodnijmy przechodniość przestawienia (40.9) do (40.8) dla ν=0 tensora prądu kontrawariantnego czasowego (zerowego):

$j^{j0}=c^{2}\rho _{0}u^{j}u^{0}=c^{2}\rho _{0}{{\gamma } \over {c}}v^{j}\gamma =c\rho v^{j}={\mathfrak {p}}^{j}c\;$

(40.10)

Udowodnijmy przechodniość przestawienia (40.9) do (40.8) dla ν=i tensora prądu kontrawariantnego przestrzennego (i-tego):

$j^{ji}=c^{2}\rho _{0}u^{j}u^{i}=c^{2}\rho _{0}{{\gamma } \over {c}}v^{j}{{\gamma } \over {c}}v^{i}={\mathfrak {p}}^{j}v^{i}\;$

(40.11)

Zatem lokalnie prawo zachowania pędu na podstawie (40.7) i (40.8) wynikające z (40.9) (w tym według dowodu (40.10) i (40.11), w których dochodzimy do (40.9)) dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości przedstawia się w formie patrząc na (40.9) (tensor gęstości prądu) i (39.3) (gęstość tensora siły):

${{\partial \rho v^{j}} \over {\partial t}}=-{{\partial } \over {\partial x^{i}}}\left(\rho v^{j}v^{i}\mp \eta ^{ij}p\right)+{{dF_{z}^{j}} \over {dV}}\Rightarrow {{\partial c^{2}\rho _{0}u^{j}u^{0}} \over {\partial x^{0}}}=-{{\partial } \over {\partial x^{i}}}\left(\rho _{0}c^{2}u^{j}u^{i}\mp \eta ^{ij}p\right)+{{dF_{z}^{j}} \over {dV}}\Rightarrow {{\partial j^{j0}} \over {\partial x^{0}}}=-{{\partial } \over {\partial x^{i}}}\left(j^{ji}\mp \eta ^{ij}p\right)+\;$
$+{{dF_{z}^{j}} \over {dV}}\Rightarrow {j^{j\nu }}_{,\nu }=\left(\pm \eta ^{ij}p\right)_{,i}+{{dF_{z}^{j}} \over {dV}}\Rightarrow {j^{j\nu }}_{,\nu }=-\nabla p+{{d{\vec {F}}_{z}} \over {dV}}={{dF^{j}} \over {dV}}\Rightarrow {{\gamma } \over {c}}{{\overline {j}}^{j\nu }}_{,\nu }={{dK^{j}} \over {dV}}\;$

(40.12)

Końcowy rezultat lokalnego prawa zachowania energii-pędu

Będziemy tutaj wyprowadzać lokalne prawo zachowania energii-pędu dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości i słabozakrzywionych oraz słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątnych albo we współrzędnych krzywoliniowych lub uogólnionych według procedury (Proc. 21.1).

Końcowy rezultat lokalnego prawa zachowania energii-pędu dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości

Na podstawie definicji gęstości prądu $j^{0\nu }\;$ (40.3) (dla lokalnego zachowania energii) i $j^{i\nu }\;$ (40.9) (dla lokalnego zachowania współrzędnych pędu) mamy wzór na tensor prądu $j^{\mu \nu }\;$, czyli:

$j^{\mu \nu }=\rho _{0}c^{2}u^{\mu }u^{\nu }\;$

(40.13)

Łącząc wzory (40.6) i (40.12) otrzymujemy dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości patrząc na (40.13) (wzór na gęstość tensora prądu) i (39.3) (wzór na gęstość tensora siły):

${{\gamma } \over {c}}{j^{\mu \nu }}_{,\nu }={{dK^{\mu }} \over {dV}}$

(40.14)

Jest to wzór dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, jest to taki sam wzór jak (38.1) w szczególnej teorii względności, tylko że zamiast średnika jest przecinek.

Końcowy rezultat lokalnego prawa zachowania energii-pędu dla einsteinowskich układów odniesienia

Wzór (40.14) na lokalne prawo zachowania energii-pędu transformujemy do układów słabozakrzywionych od układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości (w tym układzie możemy postawić zamiast przecinka średnik, co zrobimy, bo symbole Christoffela są dokładnie równe zero, a w układach słabozakrzywionych już się nie zerują), wtedy:

${{\gamma } \over {c}}{j^{\mu \nu }}_{,\nu }={{dK^{\mu }} \over {dV}}\Rightarrow {{1} \over {c}}{j^{\mu \nu }}_{,\nu }={{dK^{\mu }} \over {dV_{0}}}\Rightarrow {{1} \over {c}}{j^{\mu \nu }}_{;\nu }={{dK^{\mu }} \over {dV_{0}}}\Rightarrow {{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\alpha }{\delta ^{\gamma }}_{\beta }{{1} \over {c}}{j^{\alpha \beta }}_{;\gamma }={{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\alpha }{{dK^{\alpha }} \over {dV_{0}}}\Rightarrow {{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\alpha }{{\overline {\Lambda }}^{\nu }}_{\beta }{\Lambda ^{\gamma }}_{\nu }{{1} \over {c}}{j^{\alpha \beta }}_{;\gamma }={{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\alpha }{{dK^{\alpha }} \over {dV_{0}}}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {{1} \over {\overline {c}}}{{\overline {j}}^{\mu \nu }}_{;\nu }={{d{\overline {K}}^{\mu }} \over {d{\overline {V}}_{0}}}\;$

(40.15)

Ostatni wzór w (40.15) dla układów słabozakrzywionych ma taką samą postać jak pierwszy wzór tam, bo skorzystaliśmy tam z przybliżonych praw w postaci (22.8) przechodząc z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego. Obliczenia w (40.15) są dla układów słabozakrzywionych przy macierzy transformacji będących funkcjami uogólnionymi transformujący z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego.

W (40.15) w końcowym wzorze dla układów słabozakrzywionych (dla dowolnych prędkości w czasie i przestrzeni) niech mamy układy słabozakrzywione uważane za płaskie ogólnie nieprostokątne, wtedy symbole Christoffela uważamy za równe zero według procedury (Proc. 21.1) otrzymując wzór (40.16), wtedy możemy napisać z niego wynikający końcowy wzór (40.17) dla układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych) (a to wynikanie jest podobne jak z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego napisanego jak w punkcie (40.15)):

${{1} \over {c}}{j^{\mu \nu }}_{;\nu }={{dK^{\mu }} \over {dV_{0}}}\Rightarrow {{\gamma } \over {c}}\left({j^{\mu \nu }}_{,\nu }+j^{\gamma \nu }{\Gamma ^{\mu }}_{\gamma \nu }+j^{\mu \gamma }{\Gamma ^{\nu }}_{\gamma \nu }\right)={{dK^{\mu }} \over {dV_{0}}}\Rightarrow {{{1} \over {c}}j^{\mu \nu }}_{,\nu }={{dK^{\mu }} \over {dV_{0}}}\Rightarrow {{\gamma } \over {c}}{j^{\mu \nu }}_{,\nu }={{dK^{\mu }} \over {dV}}\;$

(40.16)

${{{\gamma } \over {c}}j^{\mu \nu }}_{;\nu }={{dK^{\mu }} \over {dV}}\;$

(40.17)

Ostateczny wzór (40.16) przedstawia lokalną zasadę zachowania energii-pędu (końcowy wzór) w układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne, a formuła (40.17) przedstawia się w układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych lub uogólnionych. Dla układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne lokalne prawo zachowania energii według wzoru (40.16) przedstawia się w formie:

${{\gamma } \over {c}}{j^{0\nu }}_{,\nu }={{dK^{0}} \over {dV}}\;$

(40.18)

A lokalne prawo zachowania pędu też w układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne też według (40.16):

${{\gamma } \over {c}}{j^{i\nu }}_{,\nu }={{dK^{i}} \over {dV}}\;$

(40.19)

Doprowadzenie lokalnego prawa zachowania energii-pędu do lokalnej zachowawczości tensora gęstości energii-pędu przy działającej na dany punkt różniczce tensora siły dla einsteinowskich układów odniesienia

Uzupełnienie prawa (40.14) przy definicji tensora siły (39.3) stosując twierdzenie (Twier. 20.1) daje nam lokalną zachowawczość tensora gęstości energii-pędu, w którym na dany punkt w przestrzeni działa różniczka tensora siły zewnętrznej, dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, tzn. daje to (36.23) na podstawie globalności (lokalności) stałego tensora prędkości (21.6), globalności (lokalności) stałej gęstości masy spoczynkowej (26.5) i globalności (lokalności) stałego ciśnienia (26.1), gdzie po przejściu od układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości do układów słabozakrzywionych daje nam wzór (36.26), czyli w tym wzorze zawarte jest w przybliżeniu całe lokalne prawo zachowania energii-pędu (40.16), i też w niego wynika równanie ruchu (39.10).

Gdy tensor siły niezrównoważonej jest równy zero w szczególnej teori względności

Lokalne prawo zachowania energii-pędu zakładając, że w układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne, płaskie krzywoliniowe lub płaskie we współrzędnych uogólnionych, tensor siły niezrównoważonej pamiętając, że zachodzi (40.16), jest równy zero, przedstawia się w formie:

${{{\gamma } \over {c}}j^{\mu \nu }}_{;\nu }={{dK^{\mu }} \over {dV}}\wedge {{dK^{\mu }} \over {dV}}=0\Rightarrow {j^{\mu \nu }}_{;\nu }=0\Rightarrow \left(\rho _{0}c^{2}u^{\mu }u^{\nu }\right)_{;\nu }=0\Rightarrow \left(\rho _{0}u^{\mu }u^{\nu }\right)_{;\nu }=0\;$

(40.20)

$\left(\rho _{0}u^{\mu }u^{\nu }\right)_{,\nu }=0\;$

(40.21)

Prawo dokładne (40.20) dla układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie krzywoliniowe lub we współrzędnych krzywoliniowych przedstawia lokalną zasadę zachowania energii-pędu przy gęstości tensora sił ${{dK^{\mu }} \over {dV}}$ równej zero, a w układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne to prawo jest z przecinkiem zamiast średnika i przedstawia się jako prawo (40.21).

Mechanika Newtona

Będziemy tutaj określali lokalne prawo zachowania masy, pędu i masy-pędu dla mechaniki Newtona.

Lokalna zasada zachowania masy dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości

Napiszmy z definicji zasady zachowania jakieś wielkości o gęstości $\rho _{0}\;$ dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałej wielkości wskaźnikowej prędkości:

${{dm} \over {dt}}={{d} \over {dt}}\int \rho _{0}dV=-\int \rho {\vec {v}}d{\vec {S}}\Rightarrow \int {{\partial \rho _{0}} \over {\partial t}}dV+\int (\rho v^{i})_{,i}dV=0\Rightarrow {{\partial \rho _{0}} \over {\partial t}}+(\rho _{0}v^{i})_{,i}=0\Rightarrow {{\partial \rho _{0}v^{0}v^{0}} \over {\partial x^{0}}}+(\rho _{0}v^{0}v^{i})_{,i}=0\Rightarrow \;$
$\Rightarrow (\rho _{0}v^{0}v^{\mu })_{,\mu }=0\;$

(40.22)

Zdefiniujmy gęstość prądu w postaci:

$j^{0\mu }=\rho _{0}v^{0}v^{\mu }\;$

(40.23)

Wykorzystując wzór na gęstość prądu (40.23) i formułę na lokalne prawo zachowania masy (40.22) patrząc na (39.7) (wzór na wielkość wskaźnikową siły), co:

${j^{0\mu }}_{,\mu }=0\Rightarrow {j^{0\mu }}_{,\mu }={{dF^{0}} \over {dV}}\;$

(40.24)

Lokalna zasada zachowania pędu dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości

Napiszmy z definicji zasady zachowania jakieś wielkości o gęstości spoczynkowej ${\mathfrak {p}}^{i}=\rho _{0}v^{i}\;$ dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałej wielkości wskaźnikowej prędkości:

${{dP^{i}} \over {dt}}={{d} \over {dt}}\int \underbrace {\rho _{0}v^{i}} _{{\mathfrak {p}}^{i}}dV=-\int \rho _{0}{\vec {v}}d{\vec {S}}-\int {p}_{,i}dV+\int {{df_{z}^{i}} \over {dV}}dV\Rightarrow \int {{\partial \rho _{0}v^{i}} \over {\partial t}}dV+\int (\rho _{0}v^{i})_{,i}dV=-\int {p}_{,i}dV+\int {{dF_{z}^{i}} \over {dV}}dV\Rightarrow$
$\Rightarrow {{\partial \rho _{0}v^{0}v^{j}} \over {\partial x^{0}}}+\int (\rho _{)}v^{j}v^{i})_{,i}=-\int p_{,i}dV+\int {{dF_{z}^{i}} \over {dV}}dV\Rightarrow (\rho _{0}v^{j}v^{\mu })_{,\mu }={{dF^{j}} \over {dV}}\;$

(40.25)

Zdefiniujmy gęstość prądu w postaci:

$j^{j\mu }=\rho _{0}v^{j}v^{\mu }\;$

(40.26)

Wykorzystując wzór na gęstość prądu (40.26) i formułę na lokalne prawo zachowania pędu (40.25) patrząc na (39.7) (wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły), co:

${j^{j\mu }}_{,\mu }={{dF^{j}} \over {dV}}\;$

(40.27)

Końcowy rezultat lokalnego prawa zachowania masy-pędu

Będziemy tutaj wyprowadzać lokalne prawo zachowania masy-pędu dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości i słabozakrzywionych.

Końcowy rezultat lokalnego prawa zachowania masy-pędu

Patrząc na wzory (40.23) i (40.26) mamy wzór na wielkość wskaźnikową gęstości prądu:

$j^{\mu \nu }=\rho _{0}v^{\mu }v^{\nu }\;$

(40.28)

Wielkość wskaźnikową gęstości prądu (40.28) jest iloczynem gęstości spoczynkowej i dwóch o ogólnie różnych wskaźnikach wielkości wskaźnikowej prędkości.

Będziemy tutaj wyprowadzać lokalne prawo zachowania masy-pędu dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości. Łącząc wzory (40.24) i (40.27) otrzymujemy dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości patrząc na (40.28) (wzór na gęstość prądu) i (39.7) (wzór na wielkość wskaźnikową siły):

${j^{\mu \nu }}_{,\nu }={{dF^{\mu }} \over {dV}}$

(40.29)

Jest to wzór dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, jest to taki sam wzór jak (38.2) w mechanice Newtona, tylko że zamiast średnika jest przecinek.

Końcowy rezultat lokalnego prawa zachowania masy-pędu

Wzór (40.29) na lokalne prawo zachowania energii-pędu transformujemy do układów słabozakrzywionych od układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości (w tym układzie możemy postawić zamiast przecinka średnik, co zrobimy, bo symbole Christoffela są dokładnie równe zero, a w układach słabozakrzywionych już się nie zerują), wtedy:

${j^{\mu \nu }}_{,\nu }={{dF^{\mu }} \over {dV}}\Rightarrow {j^{\mu \nu }}_{;\nu }={{dF^{\mu }} \over {dV}}\Rightarrow {{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\alpha }{\delta ^{\gamma }}_{\beta }{j^{\alpha \beta }}_{;\gamma }={{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\alpha }{{dF^{\alpha }} \over {dV}}\Rightarrow {{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\alpha }{{\overline {\Lambda }}^{\nu }}_{\beta }{\Lambda ^{\gamma }}_{\nu }{j^{\alpha \beta }}_{;\gamma }={{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\alpha }{{dK^{\alpha }} \over {dV_{0}}}\Rightarrow {{\overline {j}}^{\mu \nu }}_{;\nu }={{d{\overline {F}}^{\mu }} \over {d{\overline {V}}}}\;$

(40.30)

Ostatni wzór w (40.30) dla układów słabozakrzywionych ma taką samą postać jak pierwszy wzór tam, bo skorzystaliśmy tam z przybliżonych praw w postaci (22.10) i (22.11) przechodząc z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego. Obliczenia w (40.30) są dla układów słabozakrzywionych przy macierzy transformacji będących funkcjami uogólnionymi transformujący z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego.

W (40.30) w końcowym wzorze dla układów słabozakrzywionych (dla dowolnych prędkości w czasie i przestrzeni) niech mamy układy słabozakrzywione uważane za płaskie ogólnie nieprostokątne, wtedy symbole Christoffela uważamy za równe zero według procedury (Proc. 21.1) otrzymując wzór (40.31), wtedy możemy napisać z niego wynikający końcowy wzór (40.32) dla układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych) (a to wynikanie jest podobne jak z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego napisanego jak w punkcie (40.30)):

${j^{\mu \nu }}_{;\nu }={{dF^{\mu }} \over {dV}}\Rightarrow {j^{\mu \nu }}_{,\nu }+j^{\gamma \nu }{\Gamma ^{\mu }}_{\gamma \nu }+j^{\mu \gamma }{\Gamma ^{\nu }}_{\gamma \nu }={{dF^{\mu }} \over {dV}}\Rightarrow {j^{\mu \nu }}_{,\nu }={{dF^{\mu }} \over {dV}}\;$

(40.31)

${j^{\mu \nu }}_{;\nu }={{dF^{\mu }} \over {dV}}\;$

(40.32)

Ostateczny wzór (40.31) przedstawia lokalną zasadę zachowania energii-pędu (końcowy wzór) w układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne, a formuła (40.32) przedstawia się w układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych lub uogólnionych. Dla układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne lokalne prawo zachowania energii według wzoru (40.31) przedstawia się w formie:

${j^{0\nu }}_{,\nu }={{dF^{0}} \over {dV}}\;$

(40.33)

A lokalne prawo zachowania pędu też w układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne też według (40.31) jest:

${j^{i\nu }}_{,\nu }={{dF^{i}} \over {dV}}\;$

(40.34)

Doprowadzenie lokalnego prawa zachowania masy-pędu do lokalnej zachowawczości tensora gęstości masy-pędu przy działającej na dany punkt różniczce wielkości wskaźnikowej siły dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości i słabozakrzywionych

Uzupełnienie prawa (40.29) przy definicji wielkości wskaźnikowej siły (39.7) stosując twierdzenie (Twier. 20.1) daje nam lokalną zachowawczość tensora gęstości masy-pędu, w którym na dany punkt w przestrzeni działa różniczka tensora siły zewnętrznej, dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, tzn. daje to (36.24) na podstawie globalności (lokalności) stałego tensora prędkości (21.7), globalności (lokalności) stałej gęstości masy spoczynkowej (26.5) i globalności (lokalności) stałego ciśnienia (26.1), gdzie po przejściu do układów słabozakrzywionych z układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości daje nam wzór (36.31), czyli w tym wzorze zawarte jest w przybliżeniu całe lokalne prawo zachowania masy-pędu (40.31), i też z niego wynika równanie ruchu (39.16), co te formuły są dla układów słabozakrzywionych.

Gdy tensor siły niezrównoważonej jest równy zero w układach słabozakrzywionych

Lokalne prawo zachowania masy-pędu zakładając, że w układach słabozakrzywionych tensor siły niezrównoważonej pamiętając, że zachodzi (40.31), jest równy zero, przedstawia się w formie dla układów uważanych za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych lub uogólnionych i płaskie ogólnie nieprostokątne:

${j^{\mu \nu }}_{;\nu }={{dF^{\mu }} \over {dV}}\wedge {{dF^{\mu }} \over {dV}}=0\Rightarrow {j^{\mu \nu }}_{;\nu }=0\Rightarrow \left(\rho _{0}v^{\mu }v^{\nu }\right)_{;\nu }=0\;$

(40.35)

$\left(\rho _{0}v^{\mu }v^{\nu }\right)_{,\nu }=0\;$

(40.36)

Prawo przybliżone (40.35) ((40.36)) dla układów słabozakrzywionym przedstawia lokalną zasadę zachowania masy-pędu przy gęstości tensora sił ${{dK^{\mu }} \over {dV}}$ równej zero.

Dowód lokalnej zasady zachowania energii-pędu szczególnej teorii względności z jej odpowiednika dla mechaniki Newtona

Weźmy lokalną zasadę zachowania masy-pędu mechaniki Newtona (40.29) i przedstawmy go wersji tensorowej według szczególnej teorii względności dla układów ogólnie nieprostokątnych i uogólnionych (krzywoliniowych), tutaj przecinek wtedy zamieniamy na średnik, a to równanie po takim przedstawieniu jest:

${{1} \over {c}}{j^{\mu \nu }}_{;\nu }={{dK^{\mu }} \over {dV_{0}}}\;$

(40.37)

Równanie (40.37) jest słuszne w mechanice Newtona, ale według praw szczególnej teorii względności po przejściu do niej i po zastęponieniu z $dV_{0}\;$ na $dV\;$ ze skrócenia długości (18.7) jest również tam słuszne, zatem lokalna zasada zachowania energii-pędu szczególnej teorii względności (40.14) jest ogólnie spełniona nie tylko w zakresie stosowalności mechaniki Newtona.

Tensor gęstości prądu, a różniczka wielkości wskaźnikowej siły w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona

Weźmy wzór z szczególnej teroii względności (40.14) i mechaniki Newtona (40.29), i napiszmy je w wersji z wielkością wskaźnikową siły dla układów ortonormalnych, wtedy rózniczka tej siły jest napisana:

${j^{\mu \nu }}_{,\nu }d\tau =dF^{\mu }\Rightarrow j^{\mu \nu }d\Sigma _{\nu }=dF^{\mu }\;$

(40.38)

Końcowy wzór w (40.38) jest wielkością wskaźnikową różniczki siły działająca na (n+1)-wymiarową (n - wymiar przestrzeni zwykłej czasoprzestrzeni Minkowskiego) nieskończenie małą powierzchnię w czesoprzestrzeni według szczególnej teorii względności. Pierwszy wzór w (40.38) przedstawia wzór na różniczkę siły zewnętrznej działającej na infinitezymalną objętość, a drugi na infinitezymalną powierzchnię, i dlatego one nie są równoważne, ale drugi tam wzór wynika z pierwszego. Końcowy wzór (40.38) jest odpowiednikiem różniczki wektora siły pochodzącej od ciśnienia $p\;$ działającą na nieskończenie małą powierzchnię $d{\vec {S}}\;$, czyli wzoru $d{\vec {F}}=-pd{\vec {S}}\;$^{[Patrz: 40.1]}. Porównując wniosek (40.38) i (Patrz: 40.1), wtedy otrzymujemy, że:

$j^{\mu \nu }d\Sigma _{\nu }=-\left({\tilde {p}}n^{\mu \nu }\right)d\Sigma _{\nu }=-{\tilde {p}}n^{\mu \nu }d\Sigma _{\nu }=-{\tilde {p}}d\Sigma {\vec {n}}\Rightarrow {\vec {n}}^{\mu }=[n^{\mu 0},n^{\mu 1},n^{\mu 2},n^{\mu 3},...,n^{\mu m}]=n^{\mu \nu }\;$

(40.39)

• gdzie w (40.39) jest to μ-ty wersor ${\vec {n}}^{\mu }\;$ bazy układu współrzędnych czasoprzestrzeni tworzący wraz z $d\Sigma _{\nu }\;$ wektor w danym punkcie prostopadły, do powierzchni, w kierunku ${\vec {n}}\;$ na zewnątrz tej powierzchni o punkcie zaczepienia na niej, a liczba ogólna $m\;$ to jest wymiar przestrzeni zwykłej w czasoprzestrzeni.

Na podstawie (40.39) i (40.38) otrzymujemy wzór (Patrz: 40.1) na prawo Pascala, przy czym w (40.39) wielkość na ciśnienie ${\tilde {p}}\;$ jest inne niż występujące we ostatnim wzorze w (40.38) pod wielkości wskaźnikową różniczki siły $dF^{\mu }\;$.