Szczególna teoria względności/Równoważności macierzy transformacji

Równoważności macierzy transformacji

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Spis treści
1Teoria transformacji Lorentza 2Teoria transformacji Galileusza

Tutaj będziemy się zajmowali przejściem, ze szczególnego przypadku macierzy transformacji do postaci ogólnej w teorii transformacji Galileusza (mechanika Newtona) i Lorentza (szczególna teoria względności). Tym szczególnym przypadkiem macierzy transformacji Galileusza i Lorenzta jest macierz transformacji dla układów o osiach równoległych względem siebie starego i nowego układu odniesienia prostokątnego z prędkością nowego układu odniesienia równoległą do osi OX starego układu odniesienia.

Teoria transformacji Lorentza

Napiszmy macierz transformacji $M\;$, którą nazwiemy $M_{s}\;$, która przedstawia transformacje z układu odniesienia starego do nowego układu współrzędnych, wiedząc, że nowy układ odniesienia porusza się równoległe wzdłuż osi OX względem starego układu odniesienia, nowy układ odniesienia jest równoległy do starego układu, ale oba układy są prostokątne, wtedy mamy prędkość ${\vec {V}}_{s}=[V_{s},0,...,0_{n}]^{T}\;$, a macierz transformacji piszemy:

$M_{s}={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma {{{\vec {V}}_{s}^{T}} \over {c}}I\\-I\gamma {{{\vec {V}}_{s}} \over {c}}&I(P_{s||}\gamma +P_{s\perp })\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-\beta \gamma &0\\-\beta \gamma &\gamma &0\\0&0&I\end{bmatrix}}\;$

(13.1)

Napiszmy macierz transformacji z układu prostokątnego do innego układu odniesienia wiedząc, że oba układy odniesienia ogólnie nie są do siebie równoległe, także wiemy że $X=[ct,{\vec {r}}]^{T}\;$ i $X_{s}=[ct_{s},{\vec {r}}_{s}]^{T}\;$, zatem:

$X=M_{0}X_{s}={\begin{bmatrix}1&0\\0&C_{p}\end{bmatrix}}X_{s}\;$

(13.2)

Postać macierzy transformacji $M_{0}\;$ jest oczywista bo oba układy się nie poruszają się, wtedy $t_{s}=t\;$, a transformacja położeń ${\vec {r}}_{s}\;$ na ${\vec {r}}\;$ jest taka sama jak w teorii transformacji Galileusza. Zatem macierz transformacji z układu starego do nowego przedstawiamy:

$M=M_{0}M_{s}M_{0}^{-1}={\begin{bmatrix}1&0\\0&C_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma {{{\vec {V}}_{s}^{T}} \over {c}}I\\-{{{\vec {V}}_{s}} \over {c}}\gamma &P_{s||}\gamma +P_{s\perp }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&C_{p}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}1&0\\0&C_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma {{{\vec {V}}_{s}^{T}} \over {c}}I\\-{{{\vec {V}}_{s}} \over {c}}\gamma &P_{s||}\gamma +P_{s\perp }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&C_{p}^{-1}\end{bmatrix}}=\;$
$={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma {{{\vec {V}}_{s}^{T}} \over {c}}\\-C_{p}{{{\vec {V}}_{s}} \over {c}}\gamma &C_{p}\left(P_{s||}\gamma +P_{s\perp }\right)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&C_{p}^{-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma {{{\vec {V}}^{T}} \over {c}}C_{p}^{-T}C_{p}^{-1}\\-{{\vec {V}} \over {c}}\gamma &C_{p}(P_{s||}\gamma +P_{s\perp })C_{p}^{-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma {{{\vec {V}}^{T}} \over {c}}A\\-{{\vec {V}} \over {c}}\gamma &P_{||}\gamma +P_{\perp }\end{bmatrix}}$

(13.3)

Otrzymaliśmy macierz transformacji $M\;$ (11.2), gdy oba układy są równoległe względem siebie, a nowy układ odniesienia nie równolegle się porusza względem osi OX starego układu odniesienia. Policzmy wyznacznik macierzy trasformacji (13.3), wtedy na podstawie własności na wyznacznikach:

$\det M=\det(M_{0}M_{s}M_{0}^{-1})=\det M_{0}\det M_{s}(\det M_{0})^{-1}=\det M_{s}=\gamma ^{2}-\beta ^{2}\gamma ^{2}=1\Rightarrow \det M=1\;$

(13.4)

Napiszmy macierz transformacji, gdy nowy układ odniesienia nie tylko równoległe się nie porusza wzdłuż osi OX starego układu odniesienia, ale oba układy nie są takie same, wtedy możemy napisać ogólną transformację z układu starego do nowego (wiedząc, że $C_{p}\;$ w (13.5) jest inne niż powyżej, tzn. w (13.3)):

$M={\begin{bmatrix}1&0\\0&C_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma {{{\vec {V}}^{T}} \over {c}}A\\-{{\vec {V}} \over {c}}\gamma &P_{||}\gamma +P_{\perp }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma {{{\vec {V}}^{T}} \over {c}}A\\-C_{p}\gamma {{\vec {V}} \over {c}}&C_{p}(P_{||}\gamma +P_{\perp })\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma {{{\vec {V}}^{T}} \over {c}}A\\-M_{p}{{\vec {V}} \over {c}}&M_{p}\end{bmatrix}}\;$

(13.5)

Wzór na macierz transformacji na $M\;$ (13.5) jest taki sam jak wzór na taką samą macierz (11.2). Zatem postać szczególna macierzy transformacji (13.1) jest szczególnym przypadkiem macierzy transformacji (11.2) i szczególny przypadek tej macierzy jest zgodny z jej ogólną postacią na podstawie wcześniejszych obliczeń. Policzmy macierz transcformacji macierzy (13.5), wtedy:

$\det M=\det {\begin{bmatrix}1&0\\0&C_{p}\end{bmatrix}}\cdot 1=\det C_{p}\Rightarrow \det M=\det C_{p}\neq 0\;$

(13.6)

Ale ponieważ wyznacznik macierzy $M\;$ jest równy wyznacznikowi macierzy $C_{p}\;$, a wyznacznik ten wcale nie jest równy zero, zatem wyznacznik macierzy $M_{p}\;$, a zarazem $C_{p}\;$, nie są macierzami osobliwymi.

Teoria transformacji Galileusza

Napiszmy macierz transformacji $M\;\;$, którą nazwiemy $M_{s}\;,$ która przedstawia transformacje z układu odniesienia starego do nowego układu współrzędnych, wiedząc, że nowy układ odniesienia porusza się równoległe wzdłuż osi OX względem starego układu odniesienia, nowy układ odniesienia jest równoległy do starego układu, ale oba układy są prostokątne, wtedy mamy prędkość ${\vec {V}}_{s}=[V_{s},0,...,0_{n}]^{T}\;\;$, a macierz transformacji piszemy:

$M_{s}={\begin{bmatrix}1&0\\-{{{\vec {V}}_{s}} \over {c}}&I\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\-{{V_{s}} \over {c}}&1&0\\0&0&I\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\-\beta &1&0\\0&0&I\end{bmatrix}}\;$

(13.7)

Macierz transformacji z układu prostokątnego do innego układu odniesienia wiedząc, że oba układy odniesienia ogólnie nie są do siebie równoległe, także wiemy że $X=[ct,{\vec {r}}]^{T}\;$ i $X_{s}=[ct_{s},{\vec {r}}_{s}]^{T}\;$, zatem postać transformacyjna z wektora $X_{s}\;$ do $X\;$ przedstawiamy wzorem (13.2). Macierz transformacji z jednego układu do drugiego przedstawiamy:

$M=M_{0}M_{s}M_{0}^{-1}={\begin{bmatrix}1&0\\0&C_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\-{{{\vec {V}}_{s}} \over {c}}&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&C_{p}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}1&0\\0&C_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\-{{{\vec {V}}_{s}} \over {c}}&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&C_{p}^{-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\-C_{p}{{{\vec {V}}_{s}} \over {c}}&C_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&C_{p}^{-1}\end{bmatrix}}=\;$
$={\begin{bmatrix}1&0\\-C_{p}{{{\vec {V}}_{s}} \over {c}}&I\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\-{{\vec {V}} \over {c}}&I\end{bmatrix}}\;$

(13.8)

Wyznacznik macierzy transformacji w teorii transformacji Galileusza jest taki sam jak w teorii transformacji Lorenzta i dowód przebiega podobnie jak (13.4), więc:

$\det M=\det M_{0}M_{s}M_{0}^{-1}=\det M_{0}\det M_{s}\det M_{0}^{-1}=\det M_{s}=1\;$

(13.9)

Rozszerzmy wzór na macierz transformacji transformującą jeden dowolny układ odniesienia na drugi dowolny wiedząc, że $C_{p}\;$ na górze (tzn.: (13.9)) jest inne niż na dole (tzn.: (13.10)), wtedy:

$M={\begin{bmatrix}1&0\\0&C_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\-{{\vec {V}} \over {c}}&I\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\-C_{p}{{\vec {V}} \over {c}}&C_{p}\end{bmatrix}}\;$

(13.10)

Stąd macierz transformacji (13.10) jest taka sama jak w punkcie (11.15) i ta macierz jest przybliżeniem dla prędkości o wiele mniejszych od prędkości światła macierzy (11.2). Wyznacznik macierzy (11.15) liczmy podobnie jak w punkcie (13.6), czyli:

$\det M=\det C_{p}\neq 0\;$

(13.11)