Szczególna teoria względności/Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji

Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Transformacje iloczynu skalarnego przestrzeni zwykłej czasoprzestrzeni Galileusza

Tutaj będziemy przeprowadzać dowody dotyczące transformacji Galileusza dla starego i nowego n-wymiarowego układu odniesienia ogólnie nieprostokątnego. Macierz iloczynu skalarnego w starym układzie współrzędnych $A\;$ jest z oczywistych powodów symetryczna i dla każdego układu współrzędnych w zależności od ustawienia osi tego ta macierz jest liczona od nowa względem obserwatora spoczywającego w tym układzie. Dla transformacji Galileusza zachodzą:

$(X_{p}^{'},X_{p}^{'})=X_{p}^{'T}A^{'}X_{p}^{'}\wedge X_{p}^{'}=C_{p}X_{p}\Rightarrow (X_{p}^{'},X_{p}^{'})=X_{p}^{T}C_{p}^{T}A^{'}C_{p}X_{p}=X_{p}^{T}AX_{p}=(X_{p},X_{p})\Rightarrow C_{p}^{T}A^{'}C_{p}=A\;$

(4.1)

Własność (4.1), tzn. transformację z $A^{'}\;$ na $A\;$ jest również spełniona w szczególnej teorii względności, jak udowodnimy.

Zestaw transformacji prostych i odwrotnych Galileusza

A jeżeli $A^{'T}=A^{'}\;$ to z oczywistych powodów $A^{T}=A\;$ i odwrotnie, zatem macierz iloczynu skalarnego jest symetryczna, gdzie $C_{p}\;$ jest to ta sama macierz co występuje w transformacjach Galileusza:

Transformacje proste		Transformacje odwrotne
$d{\vec {r}}^{'}=C_{p}(d{\vec {r}}-{\vec {V}}dt)\;$ (4.2)	${\vec {v}}^{'}=C_{p}({\vec {v}}-{\vec {V}})\;$ (4.3)	$d{\vec {r}}=C_{p}^{'}(d{\vec {r}}^{'}-{\vec {V}}^{'}dt)\;$ (4.4)	${\vec {v}}=C_{p}^{'}({\vec {v}}^{'}-{\vec {V}}^{'})\;$ (4.5)

Wzory (4.2), (4.3), (4.4) i (4.5) są spełnione w układach odniesienia nieobracających się. Ponieważ macierze $C_{p}\;$ i $C_{p}^{'}\;$ (gdzie $C_{p}=C_{p}^{'-1}\;$) są nieosobliwe dowolne (one zależą od ustawień osi starego i nowego układu odniesienia), więc transformacje (4.2), (4.3), (4.4) i (4.5) mają taką samą postać niezależnie z jakiego układu na który coś transformujemy przy pomocy tychże wzorów, zatem spełniają zasadę izotropowości przestrzeni, ale te macierze są stałe ze względu na przesuniecia w czasie i przestrzeni, więc spełniają zasadę jednorodności czasu i przestrzeni. W powyższych wzorach zachodzi tożsamość na podstawie absolutności czasu, tzn.: $dt^{'}=dt\;$.

Macierz transformacji równoległy i prostopadły

Przyjmujemy, że zachodzi wzór na $C_{p}\;$ w zależności od $C_{p||}\;$ i $C_{p\perp }\;$, które są kolejno macierzami pierwszy równoległym i prostopadłym do ${\vec {V}}\;$, czyli:

$C_{p}=C_{p||}+C_{p\perp }\wedge C_{p||}=C_{p}P_{||}\wedge C_{p\perp }=C_{p}P_{\perp }\;$

(4.6)

We wzorze (4.6) przyjmujemy warunki na macierze $C_{p||}\;$ i $C_{p\perp }\;$, czyli zachodzą $C_{p||}X_{\perp }=0\wedge C_{p\perp }X_{||}=0\;$. Związki (4.6) przyjmujemy również w szczególnej teorii względności.

Transformacja prędkości nowego układu odniesienia względem starego na prędkość starego układu odniesienia względem nowego

Przejrzyjmy się właściwości macierzy $C_{p}\;$, $C_{p||}\;$ i $C_{p\perp }\;$, którą udowodnimy z transformacji Galileusza. Prędkość starego układu odniesienia względem nowego w transformacji Galileusza przedstawiamy wzorem:

${\vec {V}}^{'}=C_{p}(0-{\vec {V}})=-C_{p}{\vec {V}}=-C_{p||}{\vec {V}}\;$

(4.7)

Macierz transformacji prosta i odwrotna - związki

Do (4.4) podstawmy (4.2) i (4.7), co na podstawie tego:

$d{\vec {r}}=C_{p}^{'}(d{\vec {r}}^{'}-{\vec {V}}^{'}dt)=C_{p}^{'}(C_{p}(d{\vec {r}}-{\vec {V}}dt)+C_{p}{\vec {V}}dt)=C_{p}^{'}C_{p}(d{\vec {r}}-{\vec {V}}dt+{\vec {V}}dt)=C_{p}^{'}C_{p}d{\vec {r}}\Rightarrow I=C_{p}^{'}C_{p}\Rightarrow C_{p}^{'}=C_{p}^{-1}\;$

(4.8)

Zestaw transformacji prostych i odwrotnych Galileusza poprzez równoległe i prostopadłe macierze transformacji

Weźmy wektory nieskończenie małych przesunięć równoległe i prostopadłe do prędkości ${\vec {V}}\;$ w transformacji prostej i odwrotnej transformacji Galileusza, tzn.:

$d{\vec {r}}_{||}^{'}=C_{p||}(d{\vec {r}}_{||}-{\vec {V}}dt)\;$

(4.9)

$d{\vec {r}}_{||}=C_{p||}^{'}(d{\vec {r}}_{||}^{'}-{\vec {V}}^{'}dt)\;$

(4.10)

$d{\vec {r}}_{\perp }^{'}=C_{p\perp }d{\vec {r}}_{\perp }\;$

(4.11)

$d{\vec {r}}_{\perp }=C_{p\perp }^{'}d{\vec {r}}_{\perp }^{'}\;$

(4.12)

Tożsamość na iloczynach macierzy transformacji równoległego i prostopadłego

Zachodzą tożsamości na iloczynach $C_{p||}\;$ i $C_{p\perp }\;$:

$C_{p||}^{'}C_{p\perp }(d{\vec {r}}-{\vec {V}}dt)=C_{p||}^{'}C_{p\perp }d{\vec {r}}_{\perp }=C_{p||}^{'}d{\vec {r}}_{\perp }^{'}=C_{p}^{'}P_{||}^{'}d{\vec {r}}_{\perp }^{'}=0\wedge C_{p\perp }^{'}C_{p||}(d{\vec {r}}-{\vec {V}}dt)=C_{p\perp }^{'}C_{p||}(d{\vec {r}}_{||}-{\vec {V}}dt)=C_{p\perp }^{'}d{\vec {r}}_{||}^{'}=\;$
$=C_{p}^{'}P_{\perp }^{'}d{\vec {r}}_{||}^{'}=0\Rightarrow C_{p||}^{'}C_{p\perp }=C_{p||}C_{p\perp }^{'}=C_{p\perp }^{'}C_{p||}=C_{p\perp }C_{p||}^{'}=0\;$

(4.13)

Tożsamość na iloczynach macierzy transformacji równoległych

Weźmy wzór (4.10) i do niego podstawmy (4.9) i (4.7), zatem:

$d{\vec {r}}_{||}=C_{p||}^{'}(d{\vec {r}}_{||}^{'}-{\vec {V}}^{'}dt)=C_{p||}^{'}(C_{p||}(d{\vec {r}}_{||}-{\vec {V}}dt)+C_{p||}{\vec {V}}dt)=C_{p||}^{'}C_{p||}d{\vec {r}}_{||}\Rightarrow d{\vec {r}}_{||}=C_{p||}^{'}C_{p||}d{\vec {r}}_{||}=C_{p}^{'}P_{||}^{'}C_{p}^{'}P_{||}^{'}d{\vec {r}}_{||}=\;$
$=C_{p}^{'}(1-P_{\perp }^{'})C_{p}d{\vec {r}}_{||}=C_{p}^{'}C_{p}d{\vec {r}}_{||}-C_{p\perp }^{'}C_{p||}d{\vec {r}}_{||}=C_{p}^{'}C_{p}d{\vec {r}}_{||}=C_{p}^{-1}C_{p}d{\vec {r}}_{||}=d{\vec {r}}_{||}\;$

(4.14)

Powyższy wzór zatem zawsze jest spełniony co udowodniono na podstawie tożsamości (4.8).

Tożsamość na iloczynach macierzy transformacji prostopadłych

Weźmy wzór (4.12) i podstawmy do niego wzór (4.11), wtedy:

$d{\vec {r}}_{\perp }=C_{p\perp }^{'}d{\vec {r}}_{\perp }^{'}=C_{p\perp }^{'}C_{p\perp }d{\vec {r}}_{\perp }=C_{p\perp }^{'}C_{p\perp }d{\vec {r}}_{\perp }\Rightarrow d{\vec {r}}_{\perp }=C_{p\perp }^{'}C_{p\perp }d{\vec {r}}_{\perp }=C_{p}^{'}P_{\perp }^{'}C_{p}^{'}P_{\perp }^{'}d{\vec {r}}_{\perp }=C_{p}^{'}(1-P_{||}^{'})C_{p}d{\vec {r}}_{\perp }=\;$
$=C_{p}^{'}C_{p}d{\vec {r}}_{\perp }-C_{p||}^{'}C_{p\perp }d{\vec {r}}_{\perp }=C_{p}^{-1}C_{p}d{\vec {r}}_{\perp }=d{\vec {r}}_{\perp }\;$

(4.15)

Powyższy wzór zatem zawsze jest spełniony co udowodniono na podstawie tożsamości (4.8). Własności macierzy $C_{p}\;$, $C_{p||}\;$ i $C_{p\perp }\;$ pokazane w punkcie (4.8), (4.13), (4.14) i (4.15) są również spełnione w szczególnej teorii względności jak udowodnimy.

Prawo Pitagorasa na macierzach transformacji równoległym i prostopadłym

Ale:

$d{\vec {r}}=C_{p}^{-1}C_{p}d{\vec {r}}=C_{p}^{'}C_{p}d{\vec {r}}=C_{p||}^{'}C_{p||}d{\vec {r}}_{||}+C_{p\perp }^{'}C_{p\perp }d{\vec {r}}_{\perp }=C_{p||}^{'}C_{p||}(d{\vec {r}}-d{\vec {r}}_{\perp })+C_{p\perp }^{'}C_{p\perp }(d{\vec {r}}-d{\vec {r}}_{||})=C_{p||}^{'}C_{p||}d{\vec {r}}+\;$
$+C_{p\perp }^{'}C_{p\perp }d{\vec {r}}=(C_{p||}^{'}C_{p||}+C_{p\perp }^{'}C_{p\perp })d{\vec {r}}\Rightarrow I=C_{p||}^{'}C_{p||}+C_{p\perp }^{'}C_{p\perp }\wedge I=C_{p||}C_{p||}^{'}+C_{p\perp }C_{p\perp }^{'}\;$

(4.16)

Związek (4.16) jest również spełniony w szczególnej teorii względności jak udowodnimy.

Definicja macierzy iloczynu skalarnego poprzez wektor bazy w przestrzeni zwykłej Galileusza

W przestrzeni n-wymiarowej zachodzi również związek:

$A=B_{p}^{T}B_{p}\;$

(4.17)

Gdzie $B_{p}=[{\vec {e}}_{p1},{\vec {e}}_{p2},...,{\vec {e}}_{pi},...,{\vec {e}}_{pn}]\;$ jest macierzą wersorów w przestrzeni w przestrzeni n-wymiarowej według Galileusza. Zachodzą również związki transformacyjne Galileusza:

$B_{p}^{'}X_{p}^{'}=B_{p}X_{p}\Rightarrow B_{p}^{'}C_{p}X_{p}=B_{p}X_{p}\Rightarrow B_{p}^{'}=B_{p}C_{p}^{-1}\;$

(4.18)

Wzór (4.18)(ostatni wzór) jest również spełniony w szczególnej teorii względności jak udowodnimy, a (4.17) będziemy przyjmować w niej. Na podstawie wzoru możemy wyedytować jako:

$B_{p}^{'}=B_{p}C_{p}^{-1}\Rightarrow B_{p}=B_{p}^{'}C_{p}\wedge B_{p}=B_{p}^{'}{C_{p}^{'}}^{-1}\Rightarrow C_{p}^{'}=C_{p}^{-1}\;$

(4.19)

Wzór (4.19) jest również spełniony w szczególnej teorii względności i jest zgodny z (4.8). Niech mamy (4.17) i (4.18) i sprawdźmy czy te dwa wzory są zgodne z transformacją iloczynu skalarnego (4.1), zatem przystępujemy do obliczeń:

$A^{'}={B^{'}}^{T}B_{p}^{'}=C_{p}^{-T}B_{p}^{T}BC_{p}^{-1}=C_{p}^{-T}AC_{p}^{-1}\;$

(4.20)

Po wyznaczeniu macierzy $A\;$ ze wzoru (4.20) dostajemy transformacje macierzy iloczynu skalarnego z układu K' do K, czyli (4.1), zatem wzory (4.17) i (4.18) są poprawne bo otrzymujemy z nich (4.1). Wyznaczmy macierz iloczynu skalarnego transponowaną:

$A^{T}=\left(B_{p}^{T}B_{p}\right)^{T}=B_{p}^{T}\left({B_{p}^{T}}\right)^{T}=B_{p}^{T}B_{p}=A\Rightarrow A^{T}=A\;$

(4.21)

Tranformacje operatorów rzutowych

Na podstawie (4.7) i (4.1) oraz dla operatorów rzutowych równoległych według (3.3) możemy otrzymać transformacje, które piszemy:

$P_{||}^{'}={{{\vec {V}}^{'}{\vec {V}}^{'T}} \over {V^{'2}}}A^{'}=C_{p}{{{\vec {V}}{\vec {V}}^{T}} \over {V^{2}}}C_{p}^{T}A^{'}=C_{p}{{{\vec {V}}{\vec {V}}^{T}} \over {V^{2}}}AC_{p}^{-1}=C_{p}P_{||}C_{p}^{-1}\;$

(4.22)

Dla operatorów rzutowych prostopadłych na podstawie (3.5) możemy otrzymać transformacje, które piszemy:

$P_{\perp }^{'}=I-P_{||}^{'}=C_{p}IC_{p}^{-1}-C_{p}P_{||}C_{p}^{-1}=C_{p}(I-P_{||})C_{p}^{-1}=C_{p}P_{\perp }C_{p}^{-1}\;$

(4.23)

Transformacje dowolnych pochodnych wektora położenia

Na podstawie (4.2) możemy napisać transformacje, gdy zachodzi ${\vec {r}}_{0}^{'}={\vec {r}}_{0}=0\;$ i $t_{0}^{'}=t_{0}=0\;$, co na tej podstawie możemy napisać transformacje położenia i czasu, a także przyśpieszenia i dowolnej n-pochodnej położenia:

${\vec {r}}^{'}=C_{p}({\vec {r}}-{\vec {V}}t)\;$

(4.24)

${\vec {v}}^{'}=C_{p}({\vec {v}}-V)\;$

(4.25)

${\vec {a}}^{'}=C_{p}({\vec {a}}-{\vec {A}})\;$

(4.26)

$({\vec {r}}^{'})^{(n)}=C_{p}\left({\vec {r}}^{(n)}-{\vec {r}}_{0}^{(n)}\right)\;$

(4.27)

Przechodniość macierzy transformacji, a transformacja tożsamościowa

A także zachodzi z absolutności czasu w teorii transformacji Galileusza $t^{'}=t\;$. Udowodnijmy przechodność transformacji Galileusza, wtedy mamy

$d{\vec {r}}_{2}^{''}=C_{p2}^{'}(d{\vec {r}}_{2}^{'}-{\vec {V}}_{2}^{'}dt')\;$

(4.28)

$d{\vec {r}}_{2}^{'}=C_{p1}(d{\vec {r}}_{2}-{\vec {V}}_{1}dt)\;$

(4.29)

$d{\vec {\vec {r}}}_{2}^{''}=C_{p2}(d{\vec {r}}_{2}-{\vec {V}}_{2}dt)\;$

(4.30)

${\vec {V}}_{2}^{'}=C_{p1}({\vec {V}}_{2}-{\vec {V}}_{1})\;$

(4.31)

Policzmy wyrażenie (4.28) podstawiając do niego wyrażenie (4.29) na transformację położenia względem układu $K\;$, która jest transformacją do układu $K^{'}\;$, i wykorzystując (4.31) transformacje prędkości względem układu $K\;$, która jest transformacją do układu $K^{'}\;$, co w końcu otrzymujemy wzór (4.30), co dalej wykorzystując wspomnianą absolutność czasu, a więc wtedy:

$d{\vec {r}}_{2}^{''}=C_{p2}^{'}(d{\vec {r}}_{2}^{'}-{\vec {V}}_{2}^{'}dt^{'})=C_{p2}^{'}\left[C_{p1}(d{\vec {r}}_{2}-{\vec {V}}_{1}dt)-C_{p1}({\vec {V}}_{2}-{\vec {V}}_{1})dt\right]=C_{p2}^{'}C_{p1}\left(d{\vec {r}}_{2}-{\vec {V}}_{1}dt-{\vec {V}}_{2}dt+{\vec {V}}_{1}dt\right)=\;$
$=C_{p2}(d{\vec {r}}_{2}-{\vec {V}}_{2}dt)\;$

(4.32)

Co końcowy wzór (4.32) zgadza się ze wzorem (4.30), te transformacje Galileusza są przechodnie. Z definicji transformacji wynika, że ta transformacja jest tożsamościowa dla $C_{p2}=I\;$ i ${\vec {V}}_{2}=0\;$, czyli wtedy $d{\vec {r}}=C_{p2}(d{\vec {r}}-{\vec {V}}_{2}dt)=I(d{\vec {r}}-0dt)=d{\vec {r}}\;$, co na podstawie tego dla tego przypadku ta sama prędkość transformuje się na to samo.