Przejdź do zawartości

Szczególna teoria względności/Dyskretne i ciągłe równanie ruchu

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Szczególna teoria względności
Szczególna teoria względności
Dyskretne i ciągłe równanie ruchu

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Dynamika dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości[edytuj]

Udowodnimy tutaj lokalne prawa ruchu cząstki płynu w mechanice Newtona i szczególnej teorii względności dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości.

Szczególna teoria względności[edytuj]

Wykorzystując tożsamość (38.3) biorąc ją we wzorze ostatnim w (37.5), wtedy mając równoważność dla układów globalnie (lokalnie) płaskich (20.58) z (20.55), gdzie tam zastosowano twierdzenie (Twier. 20.1), co:

(39.1)

Wykorzystując tożsamość (38.4) i (26.2) wykorzystując je we wzorze (37.6), wtedy mając równoważność dla układów globalnie (lokalnie) płaskich (20.58) z (20.55), gdzie tam zastosowano twierdzenie (Twier. 20.1), co:


(39.2)

Wzór na tensor siły w układzie globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości przedstawia się formie:

(39.3)

a lokalne równanie ruchu cząstki materii łącząc wzory (39.2) () i (39.1) () na podstawie definicji gęstości tensora siły (39.3) przedstawia się w formie:

(39.4)

Wzór tensorowy (39.4) to jest prawo dynamiki płynów, a on jest zgodny z definicją gęstości tensora siły (20.54) i składowe gęstości tensora siły w równaniu (39.4), tzn.: składowe (39.3) są zgodne z (20.41), czyli równanie tensorowe (36.23) jest poprawne.

Mechanika Newtona[edytuj]

Wykorzystując tożsamość (38.5) biorąc ją we wzorze ostatnim w (37.5), wtedy mając równoważność dla układów globalnie (lokalnie) płaskich (20.62) z (20.63), gdzie tam zastosowano twierdzenie (Twier. 20.1), co:

(39.5)

Wykorzystując tożsamość (38.6) i (26.1) wykorzystując je we wzorze (37.6), wtedy mając równoważność dla układów globalnie (lokalnie) płaskich (20.62) z (20.63), gdzie tam zastosowano twierdzenie (Twier. 20.1), co:

(39.6)

Wzór na wielkość wskaźnikową siły w układzie globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym wielkości wskaźnikowej prędkości przedstawia się formie:

(39.7)

a lokalne równanie ruchu cząstki materii łącząc wzory (39.6) () i (39.5) () na podstawie definicji gęstości wielkości wskaźnikowej siły (39.7) przedstawia się w formie:

(39.8)

Wzór wskaźnikowy (39.8) to jest prawo dynamiki płynów, a on jest zgodny z definicją gęstości wielkości wskaźnikowej siły (20.62), tzn.: składowe jego (39.7) są zgodne z definicją wielkości wskaźnikowej siły, czyli równanie wskaźnikowe (36.24) jest poprawne.

Równanie ruchu dla układów punktowych i rozciągłych dla układów słabozakrzywionych[edytuj]

Przedstawimy tutaj równania ruchu w układach słabozakrzywionych wynikłe z równań dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości.

Szczególna teoria względności[edytuj]

Zajmiemy się tutaj przypadkiem wyprowadzeniem dynamiki Einsteina, gdy macierz transformacji jest prawie stała względem interwału czasoprzestrzennego w przypadku układów słabozakrzywionych, i z rachunku tensorowego z definicji różniczki zupełnej dla tensora absolutnego dla układów słabozakrzywionych.

Macierz transformacji prawie stała względem interwału czasoprzestrzennego[edytuj]

Równanie (39.4) z definicją gęstości tensora siły (39.3) zgadza się ze wzorem na równanie ruchu na gęstość tensora siły (20.54) przy definicji tensora siły (20.41) (który możemy przekształcić na gęstość tensora siły), ale także zachodzi też w przybliżeniu tożsamość , tzn.: (22.7) z definicji układu słabozakrzywionego przy definicji różniczki interwału czasoprzestrzennego (16.3), która jest taka sama przy przejściu od układu globalnie (lokalnie) płaskiego do układu słabozakrzywionego. Zachodzi transformacja różniczki tensora siły z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego na podstawie (22.14) przy definicji macierzy transformacji (21.19) i transformacji tensora prędkości (21.22), bo to zachodzi pomiędzy układami globalnie (lokalnie) płaskimi a układami w przybliżeniu płaskimi (słabozakrzywionymi), a nie dokładnie płaskimi, ale wzór (39.3) na gęstość tensora siły i wzór (39.4) na równanie ruchu dla układów rozciągłych są również słuszne w przybliżeniu dla układów słabozakrzywionych, jak udowodnimy, i wiedząc, że to są układy prawie płaskie. Weźmy wzór (39.4) pisząc go w przedstawieniu najpierw dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości doprowadzając go do układów słabozakrzywionych i dowiemy się, że dla tych układów jest prawem tylko przybliżonym z definicji tych układów:


(39.9)

Macierz transformacji może być funkcją uogólnioną według (15.31). Równanie ruchu dla układów słabozakrzywionych na podstawie obliczeń (39.9) pisząc bez nadkreśleń nad wielkościami wskaźnikowymi, będące nawet w przybliżeniu tensorami, jest w postaci:

(39.10)

Dla układów słabozakrzywionych równanie tensorowe lokalnej zachowawczości tensora gęstości energii-pędu (36.26) wraz z końcowym tensorowym równaniem ruchu dla układów rozciągłych w przedstawieniu (39.10), lokalnym tensorowym prawem zachowania energii-pędu (40.16) i lokalnym prawem zachowania tensora pędu (37.12) stanowią komplet równań różniczowych, które stosujemy dla układów rozciągłych. Z (39.10) wynika równanie ruchu dla układów punktowych na podstawie (20.60) mając (20.59), co udowodniając ten wzór według (20.61) przedstawia się w formie (19.16), a więc z niego wynika wzór na tensor siły (20.33).

Wyprowadzenie dynamiki Einsteina z rachunku tensorowego z definicji tensora absolutnego[edytuj]

Weźmy równanie po pierwszym symbolu implikacji i przed drugim symbolem implikacji w (39.9) oraz napiszmy je ogólnie dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości wiedząc, że prawa i lewa strona w tym układzie to są tensorami z definicji tensora siły (39.3) i tensora prędkości (20.3), wtedy mamy: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Równanie końcowe Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. jest spełnione w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości, ale można je uogólnić na układy słabozakrzywione (wtedy macierz transformacji jest Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.) z definicji tensorowości tensora prędkości Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. według Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i tensorowości pochodnej tensorowej, wtedy z definicji macierzy transformacji: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Z definicji pochodnej tensorowej równość Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. możemy rozpisać pisząc bez nadkreśleń w postaci: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Ale w układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne napisanych nie we współrzędnych uogólnionych symbole Christoffela Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. uważamy za równe zero z procedury Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., zatem równość Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. możemy napisać w sposób dokładny w postaci: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Na podstawie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. jest spełniona równość w układach słabozakrzywionych uważanych za układy płaskie ogólnie nieprostokątne w postaci Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.. Równanie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. jest wzorem na ruch w układach słabozakrzywionych, ale w układach uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne, ale można go napisać dla układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych), ale zanurzonym w układzie słabozakrzywionym uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne, wtedy w tym układzie równanie na różniczkę tensora siły piszemy w postaci równania Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. (wywód do tego równania od układu słabozakrzywionego uważane za płaskie ogólnie nieprostokątne do układu uważanego za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych) zanurzonym w nim jest podobny jak z układu globalnie (lokalnie) płaskiego o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do układu słabozakrzywionego.

Mechanika Newtona[edytuj]

Zajmiemy się tutaj przypadkiem wyprowadzeniem dynamiki Newtona, gdy macierz transformacji jest prawie stała względem interwału czasoprzestrzennego w przypadku układów słabozakrzywionych, i z rachunku tensorowego z definicji różniczki zupełnej dla tensora absolutnego dla układów słabozakrzywionych.

Macierz transformacji prawie stała względem czasu absolutnego[edytuj]

Równanie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. z definicją gęstości wskaźnikowej siły Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. zgadza się ze wzorem na równanie ruchu na gęstość wskaźnikową siły Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. przy definicji wskaźnikowej siły Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. (który możemy przekształcić na gęstość tensora siły), ale także zachodzi też w przybliżeniu tożsamość Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., tzn.: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. z definicji układu słabozakrzywionego przy definicji różniczki interwału czasu absolutnego. Zachodzi przy przejściu z układów globalnie (lokalnie) płaskich do układów słabozakrzywionych z definicji wielkości wskaźnikowej siły Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. wzór Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. na podstawie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. przy definicji macierzy transformacji Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i transformacji tensora prędkości Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., bo układy słabozakrzywione są w przybliżeniu płaskie (słabozakrzywione), a nie dokładnie płaskie, ale wzór Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. na gęstość tensora siły i wzór Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. na równanie ruchu dla układów rozciągłych są również słuszne w przybliżeniu dla układów słabozakrzywionych, jak udowodnimy, i wiedząc, że to są układy prawie płaskie. Weźmy wzór Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. pisząc go w przedstawieniu najpierw dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości doprowadzając go do układów słabozakrzywionych i dowiemy się, że dla tych układów jest prawem tylko przybliżonym z definicji tych układów: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Macierz transformacji Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. może być funkcją uogólnioną według Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.. Równanie ruchu dla układów słabozakrzywionych na podstawie obliczeń Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. pisząc bez nadkreśleń nad wielkościami wskaźnikowymi, będące nawet w przybliżeniu tensorami, jest w postaci: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Dla układów słabozakrzywionych równanie tensorowe lokalnej zachowawczości tensora gęstości masy-pędu Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. wraz z końcowym tensorowym równaniem ruchu dla układów rozciągłych w przedstawieniu Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., lokalnym tensorowym prawem zachowania masy-pędu Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i lokalnym prawem zachowania tensora pędu Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. stanowią komplet równań różniczowych, które stosujemy dla układów rozciągłych. Z Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. wynika równanie ruchu dla układów punktowych na podstawie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. mając Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., co udowodniamy ten wzór w punkcie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. przedstawia się jako prawo w Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów..

Wyprowadzenie dynamiki Newtona z rachunku tensorowego z definicji tensora absolutnego[edytuj]

Weźmy równanie po pierwszym symbolem implikacji i przed drugim symbolem implikacji w Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. oraz napiszmy je ogólnie dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości wiedząc, że prawa i lewa strona w tym układzie to są tensorami z definicji tensorowości wielkości wskaźnikowej siły Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i tensora prędkości Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., wtedy mamy: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Równanie końcowe Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. jest spełnione w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości, ale można je uogólnić na układy słabozakrzywione (wtedy macierz transformacji jest Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.) z definicji tensorowości tensora prędkości Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. według Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i tensorowości pochodnej tensorowej, wtedy z definicji macierzy transformacji: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Z definicji pochodnej tensorowej równość Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. możemy rozpisać pisząc bez nadkreśleń w postaci: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Ale w układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne napisanych nie we współrzędnych uogólnionych symbole Christoffela Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. uważamy za równe zero według procedury Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., zatem równość Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. możemy napisać w sposób dokładny w postaci: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Na podstawie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. jest spełniona równość w układach słabozakrzywionych uważanych za układy płaskie ogólnie nieprostokątne w postaci Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.. Równanie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. jest wzorem na ruch w układach słabozakrzywionych, ale w układach uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne, ale można go napisać dla układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie we współrzędnych krzywoliniowe (uogólnionych), ale zanurzonym w układzie słabozakrzywionym uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne, wtedy w tym układzie równanie na różniczkę tensora siły piszemy w postaci równania Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. (wywód do tego równania od układu słabozakrzywionego uważane za płaskie ogólnie nieprostokątne do układu uważanego za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych) zanurzonym w nim jest podobny jak z układu globalnie (lokalnie) płaskiego o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do układu słabozakrzywionego.