Szczególna teoria względności/Dyskretne i ciągłe równanie ruchu

Dyskretne i ciągłe równanie ruchu

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Dynamika dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości

Udowodnimy tutaj lokalne prawa ruchu cząstki płynu w mechanice Newtona i szczególnej teorii względności dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości.

Szczególna teoria względności

Wykorzystując tożsamość (38.3) biorąc ją we wzorze ostatnim w (37.5), wtedy mając równoważność dla układów globalnie (lokalnie) płaskich (20.58) z (20.55), gdzie tam zastosowano twierdzenie (Twier. 20.1), co:

${{\partial } \over {\partial t}}(\rho v^{i})={{\partial p} \over {\partial x_{i}}}+{{dF_{z}^{i}} \over {dV}}\Rightarrow {{\partial } \over {\partial t}}(\rho {\vec {v}})=-\nabla p+{{d{\vec {F}}_{z}} \over {dV}}={{d{\vec {F}}} \over {dV}}\Rightarrow \rho _{0}c\gamma {{du^{i}} \over {dt}}=-\nabla p+{{d{\vec {F}}_{z}} \over {dV}}\;$

(39.1)

Wykorzystując tożsamość (38.4) i (26.2) wykorzystując je we wzorze (37.6), wtedy mając równoważność dla układów globalnie (lokalnie) płaskich (20.58) z (20.55), gdzie tam zastosowano twierdzenie (Twier. 20.1), co:

${{\partial } \over {\partial t}}(\rho c)={{\partial p} \over {\partial x_{0}}}+{{dF_{z}^{0}} \over {dV}}=-{{\partial p} \over {\partial x^{i}}}{{dx^{i}} \over {dx_{0}}}+{{dF_{z}^{0}} \over {dV}}=-{{\partial p} \over {\partial x^{i}}}{{v^{i}} \over {c}}+{{dF_{z}^{i}} \over {dV}}{{v_{i}} \over {c}}=\left(-{{\partial p} \over {\partial x^{i}}}+{{dF_{z}^{i}} \over {dV}}\right){{v^{i}} \over {c}}\Rightarrow {{\partial } \over {\partial t}}(\rho c)=\;$
$=\left(-\nabla p+{{d{\vec {F}}_{z}} \over {dV}},{{\vec {v}} \over {c}}\right)={{dF^{0}} \over {dV}}\Rightarrow \rho _{0}c\gamma {{du^{0}} \over {dt}}=\left(-\nabla p+{{d{\vec {F}}_{z}} \over {dV}},{{\vec {v}} \over {c}}\right)$

(39.2)

Wzór na tensor siły w układzie globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości przedstawia się formie: a lokalne równanie ruchu cząstki materii łącząc wzory () i () na podstawie definicji gęstości tensora siły przedstawia się w formie: Wzór tensorowy to jest prawo dynamiki płynów, a on jest zgodny z definicją gęstości tensora siły i składowe gęstości tensora siły w równaniu , tzn.: składowe są zgodne z , czyli równanie tensorowe jest poprawne.

Mechanika Newtona

Wykorzystując tożsamość biorąc ją we wzorze ostatnim w , wtedy mając równoważność dla układów globalnie (lokalnie) płaskich z , gdzie tam zastosowano twierdzenie , co: Wykorzystując tożsamość i wykorzystując je we wzorze , wtedy mając równoważność dla układów globalnie (lokalnie) płaskich z , gdzie tam zastosowano twierdzenie , co: Wzór na wielkość wskaźnikową siły w układzie globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym wielkości wskaźnikowej prędkości przedstawia się formie: a lokalne równanie ruchu cząstki materii łącząc wzory () i () na podstawie definicji gęstości wielkości wskaźnikowej siły przedstawia się w formie: Wzór wskaźnikowy to jest prawo dynamiki płynów, a on jest zgodny z definicją gęstości wielkości wskaźnikowej siły , tzn.: składowe jego są zgodne z definicją wielkości wskaźnikowej siły, czyli równanie wskaźnikowe jest poprawne.

Równanie ruchu dla układów punktowych i rozciągłych dla układów słabozakrzywionych

Przedstawimy tutaj równania ruchu w układach słabozakrzywionych wynikłe z równań dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości.

Szczególna teoria względności

Zajmiemy się tutaj przypadkiem wyprowadzeniem dynamiki Einsteina, gdy macierz transformacji jest prawie stała względem interwału czasoprzestrzennego w przypadku układów słabozakrzywionych, i z rachunku tensorowego z definicji różniczki zupełnej dla tensora absolutnego dla układów słabozakrzywionych.

Macierz transformacji prawie stała względem interwału czasoprzestrzennego

Równanie z definicją gęstości tensora siły zgadza się ze wzorem na równanie ruchu na gęstość tensora siły przy definicji tensora siły (który możemy przekształcić na gęstość tensora siły), ale także zachodzi też w przybliżeniu tożsamość , tzn.: z definicji układu słabozakrzywionego przy definicji różniczki interwału czasoprzestrzennego , która jest taka sama przy przejściu od układu globalnie (lokalnie) płaskiego do układu słabozakrzywionego. Zachodzi transformacja różniczki tensora siły z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego na podstawie przy definicji macierzy transformacji i transformacji tensora prędkości , bo to zachodzi pomiędzy układami globalnie (lokalnie) płaskimi a układami w przybliżeniu płaskimi (słabozakrzywionymi), a nie dokładnie płaskimi, ale wzór na gęstość tensora siły i wzór na równanie ruchu dla układów rozciągłych są również słuszne w przybliżeniu dla układów słabozakrzywionych, jak udowodnimy, i wiedząc, że to są układy prawie płaskie. Weźmy wzór pisząc go w przedstawieniu najpierw dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości doprowadzając go do układów słabozakrzywionych i dowiemy się, że dla tych układów jest prawem tylko przybliżonym z definicji tych układów: Macierz transformacji może być funkcją uogólnioną według . Równanie ruchu dla układów słabozakrzywionych na podstawie obliczeń pisząc bez nadkreśleń nad wielkościami wskaźnikowymi, będące nawet w przybliżeniu tensorami, jest w postaci: Dla układów słabozakrzywionych równanie tensorowe lokalnej zachowawczości tensora gęstości energii-pędu wraz z końcowym tensorowym równaniem ruchu dla układów rozciągłych w przedstawieniu , lokalnym tensorowym prawem zachowania energii-pędu i lokalnym prawem zachowania tensora pędu stanowią komplet równań różniczowych, które stosujemy dla układów rozciągłych. Z wynika równanie ruchu dla układów punktowych na podstawie mając , co udowodniając ten wzór według przedstawia się w formie , a więc z niego wynika wzór na tensor siły .

Wyprowadzenie dynamiki Einsteina z rachunku tensorowego z definicji tensora absolutnego

Weźmy równanie po pierwszym symbolu implikacji i przed drugim symbolem implikacji w oraz napiszmy je ogólnie dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości wiedząc, że prawa i lewa strona w tym układzie to są tensorami z definicji tensora siły i tensora prędkości , wtedy mamy: Równanie końcowe jest spełnione w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości, ale można je uogólnić na układy słabozakrzywione (wtedy macierz transformacji jest ) z definicji tensorowości tensora prędkości według i tensorowości pochodnej tensorowej, wtedy z definicji macierzy transformacji: Z definicji pochodnej tensorowej równość możemy rozpisać pisząc bez nadkreśleń w postaci: Ale w układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne napisanych nie we współrzędnych uogólnionych symbole Christoffela uważamy za równe zero z procedury , zatem równość możemy napisać w sposób dokładny w postaci: Na podstawie jest spełniona równość w układach słabozakrzywionych uważanych za układy płaskie ogólnie nieprostokątne w postaci . Równanie jest wzorem na ruch w układach słabozakrzywionych, ale w układach uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne, ale można go napisać dla układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych), ale zanurzonym w układzie słabozakrzywionym uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne, wtedy w tym układzie równanie na różniczkę tensora siły piszemy w postaci równania (wywód do tego równania od układu słabozakrzywionego uważane za płaskie ogólnie nieprostokątne do układu uważanego za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych) zanurzonym w nim jest podobny jak z układu globalnie (lokalnie) płaskiego o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do układu słabozakrzywionego.

Mechanika Newtona

Zajmiemy się tutaj przypadkiem wyprowadzeniem dynamiki Newtona, gdy macierz transformacji jest prawie stała względem interwału czasoprzestrzennego w przypadku układów słabozakrzywionych, i z rachunku tensorowego z definicji różniczki zupełnej dla tensora absolutnego dla układów słabozakrzywionych.

Macierz transformacji prawie stała względem czasu absolutnego

Równanie z definicją gęstości wskaźnikowej siły zgadza się ze wzorem na równanie ruchu na gęstość wskaźnikową siły przy definicji wskaźnikowej siły (który możemy przekształcić na gęstość tensora siły), ale także zachodzi też w przybliżeniu tożsamość , tzn.: z definicji układu słabozakrzywionego przy definicji różniczki interwału czasu absolutnego. Zachodzi przy przejściu z układów globalnie (lokalnie) płaskich do układów słabozakrzywionych z definicji wielkości wskaźnikowej siły wzór na podstawie przy definicji macierzy transformacji i transformacji tensora prędkości , bo układy słabozakrzywione są w przybliżeniu płaskie (słabozakrzywione), a nie dokładnie płaskie, ale wzór na gęstość tensora siły i wzór na równanie ruchu dla układów rozciągłych są również słuszne w przybliżeniu dla układów słabozakrzywionych, jak udowodnimy, i wiedząc, że to są układy prawie płaskie. Weźmy wzór pisząc go w przedstawieniu najpierw dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości doprowadzając go do układów słabozakrzywionych i dowiemy się, że dla tych układów jest prawem tylko przybliżonym z definicji tych układów: Macierz transformacji może być funkcją uogólnioną według . Równanie ruchu dla układów słabozakrzywionych na podstawie obliczeń pisząc bez nadkreśleń nad wielkościami wskaźnikowymi, będące nawet w przybliżeniu tensorami, jest w postaci: Dla układów słabozakrzywionych równanie tensorowe lokalnej zachowawczości tensora gęstości masy-pędu wraz z końcowym tensorowym równaniem ruchu dla układów rozciągłych w przedstawieniu , lokalnym tensorowym prawem zachowania masy-pędu i lokalnym prawem zachowania tensora pędu stanowią komplet równań różniczowych, które stosujemy dla układów rozciągłych. Z wynika równanie ruchu dla układów punktowych na podstawie mając , co udowodniamy ten wzór w punkcie przedstawia się jako prawo w .

Wyprowadzenie dynamiki Newtona z rachunku tensorowego z definicji tensora absolutnego

Weźmy równanie po pierwszym symbolem implikacji i przed drugim symbolem implikacji w oraz napiszmy je ogólnie dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości wiedząc, że prawa i lewa strona w tym układzie to są tensorami z definicji tensorowości wielkości wskaźnikowej siły i tensora prędkości , wtedy mamy: Równanie końcowe jest spełnione w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości, ale można je uogólnić na układy słabozakrzywione (wtedy macierz transformacji jest ) z definicji tensorowości tensora prędkości według i tensorowości pochodnej tensorowej, wtedy z definicji macierzy transformacji: Z definicji pochodnej tensorowej równość możemy rozpisać pisząc bez nadkreśleń w postaci: Ale w układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne napisanych nie we współrzędnych uogólnionych symbole Christoffela uważamy za równe zero według procedury , zatem równość możemy napisać w sposób dokładny w postaci: Na podstawie jest spełniona równość w układach słabozakrzywionych uważanych za układy płaskie ogólnie nieprostokątne w postaci . Równanie jest wzorem na ruch w układach słabozakrzywionych, ale w układach uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne, ale można go napisać dla układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie we współrzędnych krzywoliniowe (uogólnionych), ale zanurzonym w układzie słabozakrzywionym uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne, wtedy w tym układzie równanie na różniczkę tensora siły piszemy w postaci równania (wywód do tego równania od układu słabozakrzywionego uważane za płaskie ogólnie nieprostokątne do układu uważanego za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych) zanurzonym w nim jest podobny jak z układu globalnie (lokalnie) płaskiego o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do układu słabozakrzywionego.