Szczególna teoria względności/Dyskretne i ciągłe równanie ruchu

Dyskretne i ciągłe równanie ruchu

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Dynamika dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości

Udowodnimy tutaj lokalne prawa ruchu cząstki płynu w mechanice Newtona i szczególnej teorii względności dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości.

Szczególna teoria względności

Wykorzystując tożsamość (38.3) biorąc ją we wzorze ostatnim w (37.5), wtedy mając równoważność dla układów globalnie (lokalnie) płaskich (20.58) z (20.55), gdzie tam zastosowano twierdzenie (Twier. 20.1), co:

${{\partial } \over {\partial t}}(\rho v^{i})={{\partial p} \over {\partial x_{i}}}+{{dF_{z}^{i}} \over {dV}}\Rightarrow {{\partial } \over {\partial t}}(\rho {\vec {v}})=-\nabla p+{{d{\vec {F}}_{z}} \over {dV}}={{d{\vec {F}}} \over {dV}}\Rightarrow \rho _{0}c\gamma {{du^{i}} \over {dt}}=-\nabla p+{{d{\vec {F}}_{z}} \over {dV}}\;$

(39.1)

Wykorzystując tożsamość (38.4) i (26.2) wykorzystując je we wzorze (37.6), wtedy mając równoważność dla układów globalnie (lokalnie) płaskich (20.58) z (20.55), gdzie tam zastosowano twierdzenie (Twier. 20.1), co:

${{\partial } \over {\partial t}}(\rho c)={{\partial p} \over {\partial x_{0}}}+{{dF_{z}^{0}} \over {dV}}=-{{\partial p} \over {\partial x^{i}}}{{dx^{i}} \over {dx_{0}}}+{{dF_{z}^{0}} \over {dV}}=-{{\partial p} \over {\partial x^{i}}}{{v^{i}} \over {c}}+{{dF_{z}^{i}} \over {dV}}{{v_{i}} \over {c}}=\left(-{{\partial p} \over {\partial x^{i}}}+{{dF_{z}^{i}} \over {dV}}\right){{v^{i}} \over {c}}\Rightarrow {{\partial } \over {\partial t}}(\rho c)=\;$
$=\left(-\nabla p+{{d{\vec {F}}_{z}} \over {dV}},{{\vec {v}} \over {c}}\right)={{dF^{0}} \over {dV}}\Rightarrow \rho _{0}c\gamma {{du^{0}} \over {dt}}=\left(-\nabla p+{{d{\vec {F}}_{z}} \over {dV}},{{\vec {v}} \over {c}}\right)$

(39.2)

Wzór na tensor siły w układzie globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości przedstawia się formie:

${{dF^{\mu }} \over {dV}}={\begin{bmatrix}\left({{d{\vec {F}}} \over {dV}},{{\vec {v}} \over {c}}\right)\\{{d{\vec {F}}} \over {dV}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\left(-\nabla p+{{d{\vec {F}}_{z}} \over {dV}},{{\vec {v}} \over {c}}\right)\\-\nabla p+{{d{\vec {F}}_{z}} \over {dV}}\end{bmatrix}}\Rightarrow {{dK^{\mu }} \over {dV}}={{\gamma } \over {c}}{{dF^{\mu }} \over {dV}}={{\gamma } \over {c}}{\begin{bmatrix}\left({{d{\vec {F}}} \over {dV}},{{\vec {v}} \over {c}}\right)\\{{d{\vec {F}}} \over {dV}}\end{bmatrix}}={{\gamma } \over {c}}{\begin{bmatrix}\left(-\nabla p+{{d{\vec {F}}_{z}} \over {dV}},{{\vec {v}} \over {c}}\right)\\-\nabla p+{{d{\vec {F}}_{z}} \over {dV}}\end{bmatrix}}\;$

(39.3)

a lokalne równanie ruchu cząstki materii łącząc wzory (39.2) ($\mu =0\;$) i (39.1) ($\mu =i\;$) na podstawie definicji gęstości tensora siły (39.3) przedstawia się w formie:

$\rho _{0}c\gamma {{du^{\mu }} \over {ds}}={{dK^{\mu }} \over {dV}}\;$

(39.4)

Wzór tensorowy (39.4) to jest prawo dynamiki płynów, a on jest zgodny z definicją gęstości tensora siły (20.54) i składowe gęstości tensora siły w równaniu (39.4), tzn.: składowe (39.3) są zgodne z (20.41), czyli równanie tensorowe (36.23) jest poprawne.

Mechanika Newtona

Wykorzystując tożsamość (38.5) biorąc ją we wzorze ostatnim w (37.5), wtedy mając równoważność dla układów globalnie (lokalnie) płaskich (20.62) z (20.63), gdzie tam zastosowano twierdzenie (Twier. 20.1), co:

${{\partial } \over {\partial t}}(\rho v^{i})={{\partial p} \over {\partial x_{i}}}+{{dF_{z}^{i}} \over {dV}}\Rightarrow {{\partial } \over {\partial t}}(\rho {\vec {v}})=-\nabla p+{{d{\vec {F}}_{z}} \over {dV}}={{d{\vec {F}}} \over {dV}}\Rightarrow \rho _{0}{{dv^{i}} \over {dt}}=-\nabla p+{{d{\vec {F}}_{z}} \over {dV}}\;$

(39.5)

Wykorzystując tożsamość (38.6) i (26.1) wykorzystując je we wzorze (37.6), wtedy mając równoważność dla układów globalnie (lokalnie) płaskich (20.62) z (20.63), gdzie tam zastosowano twierdzenie (Twier. 20.1), co:

${{\partial } \over {\partial t}}(\rho c)={{\partial p} \over {\partial x_{0}}}+{{dF_{z}^{0}} \over {dV}}=0\Rightarrow {{\partial } \over {\partial t}}(\rho c)=0={{dF^{0}} \over {dV}}\Rightarrow \rho _{0}{{dv^{0}} \over {dt}}=0$

(39.6)

Wzór na wielkość wskaźnikową siły w układzie globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym wielkości wskaźnikowej prędkości przedstawia się formie:

${{dF^{\mu }} \over {dV}}={\begin{bmatrix}0\\{{d{\vec {F}}} \over {dV}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\-\nabla p+{{d{\vec {F}}_{z}} \over {dV}}\end{bmatrix}}\Rightarrow {{dK^{\mu }} \over {dV}}={{1} \over {c}}{\begin{bmatrix}0\\{{d{\vec {F}}} \over {dV}}\end{bmatrix}}={{1} \over {c}}{\begin{bmatrix}0\\-\nabla p+{{d{\vec {F}}_{z}} \over {dV}}\end{bmatrix}}\;$

(39.7)

a lokalne równanie ruchu cząstki materii łącząc wzory (39.6) ($\mu =0\;$) i (39.5) ($\mu =i\;$) na podstawie definicji gęstości wielkości wskaźnikowej siły (39.7) przedstawia się w formie:

$\rho _{0}{{dv^{\mu }} \over {ds}}={{dF^{\mu }} \over {dV}}\;$

(39.8)

Wzór wskaźnikowy (39.8) to jest prawo dynamiki płynów, a on jest zgodny z definicją gęstości wielkości wskaźnikowej siły (20.62), tzn.: składowe jego (39.7) są zgodne z definicją wielkości wskaźnikowej siły, czyli równanie wskaźnikowe (36.24) jest poprawne.

Równanie ruchu dla układów punktowych i rozciągłych dla układów słabozakrzywionych

Przedstawimy tutaj równania ruchu w układach słabozakrzywionych wynikłe z równań dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości.

Szczególna teoria względności

Zajmiemy się tutaj przypadkiem wyprowadzeniem dynamiki Einsteina, gdy macierz transformacji jest prawie stała względem interwału czasoprzestrzennego w przypadku układów słabozakrzywionych, i z rachunku tensorowego z definicji różniczki zupełnej dla tensora absolutnego dla układów słabozakrzywionych.

Macierz transformacji prawie stała względem interwału czasoprzestrzennego

Równanie (39.4) z definicją gęstości tensora siły (39.3) zgadza się ze wzorem na równanie ruchu na gęstość tensora siły (20.54) przy definicji tensora siły (20.41) (który możemy przekształcić na gęstość tensora siły), ale także zachodzi też w przybliżeniu tożsamość ${{d} \over {ds}}{{\overline {\Lambda }}^{\nu }}_{\mu }\simeq 0\;$, tzn.: (22.7) z definicji układu słabozakrzywionego przy definicji różniczki interwału czasoprzestrzennego (16.3), która jest taka sama przy przejściu od układu globalnie (lokalnie) płaskiego do układu słabozakrzywionego. Zachodzi transformacja różniczki tensora siły z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego ${\overline {\Lambda ^{\nu }}}_{\mu }dK^{\mu }\simeq d{\overline {K}}^{\nu }\;$ na podstawie (22.14) przy definicji macierzy transformacji (21.19) i transformacji tensora prędkości (21.22), bo to zachodzi pomiędzy układami globalnie (lokalnie) płaskimi a układami w przybliżeniu płaskimi (słabozakrzywionymi), a nie dokładnie płaskimi, ale wzór (39.3) na gęstość tensora siły i wzór (39.4) na równanie ruchu dla układów rozciągłych są również słuszne w przybliżeniu dla układów słabozakrzywionych, jak udowodnimy, i wiedząc, że to są układy prawie płaskie. Weźmy wzór (39.4) pisząc go w przedstawieniu najpierw dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości doprowadzając go do układów słabozakrzywionych i dowiemy się, że dla tych układów jest prawem tylko przybliżonym z definicji tych układów:

$\rho _{0}c\gamma {{du^{\mu }} \over {ds}}={{dK^{\mu }} \over {dV}}\Rightarrow dm_{0}c{{du^{\mu }} \over {ds}}=dK^{\mu }\Rightarrow dm_{0}c{\overline {\Lambda ^{\nu }}}_{\mu }{{du^{\mu }} \over {ds}}={\overline {\Lambda ^{\nu }}}_{\mu }dK^{\mu }\Rightarrow dm_{0}c{{d} \over {ds}}\left({\overline {\Lambda ^{\nu }}}_{\mu }u^{\mu }\right)-dm_{0}cu^{\mu }{{d} \over {ds}}{\overline {\Lambda ^{\nu }}}_{\mu }={\overline {\Gamma ^{\nu }}}_{\mu }dK^{\mu }\Rightarrow \;$
$\Rightarrow d{\overline {m}}_{0}{\overline {c}}{{d{\overline {u}}^{\nu }} \over {ds}}\simeq d{\overline {K}}^{\nu }\Rightarrow {\overline {\rho }}_{0}{\overline {c}}{\overline {\gamma }}{{d{\overline {u}}^{\mu }} \over {ds}}\simeq {{d{\overline {K}}^{\mu }} \over {d{\overline {V}}}}\;$

(39.9)

Macierz transformacji ${{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }\;$ może być funkcją uogólnioną według (15.31). Równanie ruchu dla układów słabozakrzywionych na podstawie obliczeń (39.9) pisząc bez nadkreśleń nad wielkościami wskaźnikowymi, będące nawet w przybliżeniu tensorami, jest w postaci:

$\rho _{0}c\gamma {{du^{\mu }} \over {ds}}\simeq {{dK^{\mu }} \over {dV}}\;$

(39.10)

Dla układów słabozakrzywionych równanie tensorowe lokalnej zachowawczości tensora gęstości energii-pędu (36.26) wraz z końcowym tensorowym równaniem ruchu dla układów rozciągłych w przedstawieniu (39.10), lokalnym tensorowym prawem zachowania energii-pędu (40.16) i lokalnym prawem zachowania tensora pędu (37.12) stanowią komplet równań różniczowych, które stosujemy dla układów rozciągłych. Z (39.10) wynika równanie ruchu dla układów punktowych na podstawie (20.60) mając (20.59), co udowodniając ten wzór według (20.61) przedstawia się w formie (19.16), a więc z niego wynika wzór na tensor siły (20.33).

Wyprowadzenie dynamiki Einsteina z rachunku tensorowego z definicji tensora absolutnego

Weźmy równanie po pierwszym symbolu implikacji i przed drugim symbolem implikacji w (39.9) oraz napiszmy je ogólnie dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości wiedząc, że prawa i lewa strona w tym układzie to są tensorami z definicji tensora siły (39.3) i tensora prędkości (20.3), wtedy mamy:

$dm_{0}c{{du^{\mu }} \over {ds}}=dK^{\mu }\Rightarrow dm_{0}c{{d\left(e_{\mu }u^{\mu }\right)} \over {ds}}=e_{\mu }dK^{\mu }\Rightarrow dm_{0}c{u^{\mu }}_{;\nu }{{dx^{\nu }} \over {ds}}e_{\mu }=e_{\mu }dK^{\mu }\Rightarrow dm_{0}c{u^{\mu }}_{;\nu }{{dx^{\nu }} \over {ds}}=dK^{\mu }\Rightarrow \;$
$\Rightarrow dm_{0}c{u^{\mu }}_{;\nu }u^{\nu }=dK^{\mu }\;$

(39.11)

Równanie końcowe (39.11) jest spełnione w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości, ale można je uogólnić na układy słabozakrzywione (wtedy macierz transformacji jest (21.19)) z definicji tensorowości tensora prędkości (20.3) według (22.1) i tensorowości pochodnej tensorowej, wtedy z definicji macierzy transformacji:

$dm_{0}c{{\overline {\Lambda }}^{\alpha }}_{\mu }{u^{\mu }}_{;\gamma }{{\Lambda }^{\gamma }}_{\beta }{{\overline {\Lambda }}^{\beta }}_{\omega }u^{\omega }=dK^{\mu }{{\overline {\Lambda }}^{\alpha }}_{\mu }\Rightarrow d{\overline {m}}_{0}{\overline {c}}{{\overline {u}}^{\mu }}_{;\nu }{\overline {u}}^{\nu }=d{\overline {K}}^{\mu }\;$

(39.12)

Z definicji pochodnej tensorowej równość (39.12) możemy rozpisać pisząc bez nadkreśleń w postaci:

$dm_{0}c{u^{\mu }}_{;\nu }u^{\nu }=dK^{\mu }\Rightarrow dm_{0}c\left({u^{\mu }}_{,\nu }+u^{\gamma }{\Gamma ^{\mu }}_{\gamma \nu }\right)u^{\nu }=dK^{\mu }\;$

(39.13)

Ale w układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne napisanych nie we współrzędnych uogólnionych symbole Christoffela ${\Gamma ^{\mu }}_{\gamma \nu }\;$ uważamy za równe zero z procedury (Proc. 21.1), zatem równość (39.13) możemy napisać w sposób dokładny w postaci:

$dm_{0}c{u^{\mu }}_{,\nu }u^{\nu }=dK^{\nu }\Rightarrow dm_{0}c{{du^{\mu }} \over {ds}}=dK^{\mu }\;$

(39.14)

Na podstawie (39.14) jest spełniona równość w układach słabozakrzywionych uważanych za układy płaskie ogólnie nieprostokątne w postaci (39.10). Równanie (39.14) jest wzorem na ruch w układach słabozakrzywionych, ale w układach uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne, ale można go napisać dla układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych), ale zanurzonym w układzie słabozakrzywionym uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne, wtedy w tym układzie równanie na różniczkę tensora siły piszemy w postaci równania (39.11) (wywód do tego równania od układu słabozakrzywionego uważane za płaskie ogólnie nieprostokątne do układu uważanego za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych) zanurzonym w nim jest podobny jak z układu globalnie (lokalnie) płaskiego o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do układu słabozakrzywionego.

Mechanika Newtona

Zajmiemy się tutaj przypadkiem wyprowadzeniem dynamiki Newtona, gdy macierz transformacji jest prawie stała względem interwału czasoprzestrzennego w przypadku układów słabozakrzywionych, i z rachunku tensorowego z definicji różniczki zupełnej dla tensora absolutnego dla układów słabozakrzywionych.

Macierz transformacji prawie stała względem czasu absolutnego

Równanie z definicją gęstości wskaźnikowej siły zgadza się ze wzorem na równanie ruchu na gęstość wskaźnikową siły przy definicji wskaźnikowej siły (który możemy przekształcić na gęstość tensora siły), ale także zachodzi też w przybliżeniu tożsamość , tzn.: z definicji układu słabozakrzywionego przy definicji różniczki interwału czasu absolutnego. Zachodzi przy przejściu z układów globalnie (lokalnie) płaskich do układów słabozakrzywionych z definicji wielkości wskaźnikowej siły wzór na podstawie przy definicji macierzy transformacji i transformacji tensora prędkości , bo układy słabozakrzywione są w przybliżeniu płaskie (słabozakrzywione), a nie dokładnie płaskie, ale wzór na gęstość tensora siły i wzór na równanie ruchu dla układów rozciągłych są również słuszne w przybliżeniu dla układów słabozakrzywionych, jak udowodnimy, i wiedząc, że to są układy prawie płaskie. Weźmy wzór pisząc go w przedstawieniu najpierw dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości doprowadzając go do układów słabozakrzywionych i dowiemy się, że dla tych układów jest prawem tylko przybliżonym z definicji tych układów: Macierz transformacji może być funkcją uogólnioną według . Równanie ruchu dla układów słabozakrzywionych na podstawie obliczeń pisząc bez nadkreśleń nad wielkościami wskaźnikowymi, będące nawet w przybliżeniu tensorami, jest w postaci: Dla układów słabozakrzywionych równanie tensorowe lokalnej zachowawczości tensora gęstości masy-pędu wraz z końcowym tensorowym równaniem ruchu dla układów rozciągłych w przedstawieniu , lokalnym tensorowym prawem zachowania masy-pędu i lokalnym prawem zachowania tensora pędu stanowią komplet równań różniczowych, które stosujemy dla układów rozciągłych. Z wynika równanie ruchu dla układów punktowych na podstawie mając , co udowodniamy ten wzór w punkcie przedstawia się jako prawo w .

Wyprowadzenie dynamiki Newtona z rachunku tensorowego z definicji tensora absolutnego

Weźmy równanie po pierwszym symbolem implikacji i przed drugim symbolem implikacji w oraz napiszmy je ogólnie dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości wiedząc, że prawa i lewa strona w tym układzie to są tensorami z definicji tensorowości wielkości wskaźnikowej siły i tensora prędkości , wtedy mamy: Równanie końcowe jest spełnione w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości, ale można je uogólnić na układy słabozakrzywione (wtedy macierz transformacji jest ) z definicji tensorowości tensora prędkości według i tensorowości pochodnej tensorowej, wtedy z definicji macierzy transformacji: Z definicji pochodnej tensorowej równość możemy rozpisać pisząc bez nadkreśleń w postaci: Ale w układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne napisanych nie we współrzędnych uogólnionych symbole Christoffela uważamy za równe zero według procedury , zatem równość możemy napisać w sposób dokładny w postaci: Na podstawie jest spełniona równość w układach słabozakrzywionych uważanych za układy płaskie ogólnie nieprostokątne w postaci . Równanie jest wzorem na ruch w układach słabozakrzywionych, ale w układach uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne, ale można go napisać dla układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie we współrzędnych krzywoliniowe (uogólnionych), ale zanurzonym w układzie słabozakrzywionym uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne, wtedy w tym układzie równanie na różniczkę tensora siły piszemy w postaci równania (wywód do tego równania od układu słabozakrzywionego uważane za płaskie ogólnie nieprostokątne do układu uważanego za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych) zanurzonym w nim jest podobny jak z układu globalnie (lokalnie) płaskiego o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do układu słabozakrzywionego.