Szczególna teoria względności/Matematyczna, nie fizyczna, teoria najmniejszego działania - wprowadzenie

Matematyczna, nie fizyczna, teoria najmniejszego działania - wprowadzenie

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Spis treści
1Całka działania i rachunek lagrangianowy, a równanie Eulera-Lagrange'a

Będziemy tutaj rozpatrywali czasoprzestrzeń według szczególnej teorii względności i przestrzeń galileuszowską według mechaniki Newtona dla układów globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych, i powiemy, że te teorie są spełnione tylko w sposób przybliżony dla układów słabozakrzywionych, a dla pierwotnych układów, dla których one zostały przyszykowane, z nich wychodzi tylko tensory (wektory) prędkości globalnie (lokalnie) stałe, czyli powiemy, że układy są jednak zakrzywione, a nie płaskie, a w najniższym przypadku układy mogą być słabozakrzywione, bo układy globalnie (lokalnie) płaskie nie istnieją fizycznie, ale istnieją matematycznie, a słabozakrzywione układy są za to fizyczne według warunków szczególnej teorii względności i mechaniki Newtona. Zachodzą ((22.7) i ((22.8)) (szczególna teoria względności) oraz ((22.9), (22.10) i (22.11)) (mechanika Newtona) przy przejściu od układu globalnie (lokalnie) płaskiego o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości (układy niefizyczne, tylko matematyczne) do układów słabozakrzywionych (układy fizyczne) o funkcjach transformacji będące funkcjami uogólnionymi. W układach słabozakrzywionych można powiedzieć, że w nich tak naprawdę jest spełniona w sposób przybliżony szczególna teoria względności i mechanika Newtona lub gadając inaczej też tak może być, że nasze prawa fizyki dla układów płaskich są przybliżone, co dlatego tak zachodzi stałość tensora prędkości i funkcji w lagrangianie dla tych układów jak nam wyjdzie poniżej.

Całka działania i rachunek lagrangianowy, a równanie Eulera-Lagrange'a

Całkę działania w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona dla układów punktowych przedstawiamy kolejno w postaci:

$S=\int _{t}Lcdt\;$

(29.1)

$S=\int _{t}Lcdt\;$

(29.2)

a dla układów rozciągłych ich odpowiedniki są kolejno w postaci:

$S=\int _{\tau }{\mathfrak {L}}||J||d^{n+1}dx^{\mu }\;$

(29.3)

$S=\int _{Vt}{\mathfrak {L}}dVcdt=\int _{Vt}{\mathfrak {L}}||J||d^{n}x^{i}cdt\;$

(29.4)

• gdzie $n\;$ to wymiar przestrzeni zwykłej w szczególnej teorii względności, i wymiar przestrzeni w mechanice Newtona, oraz $dV=|J|d^{n}x^{i}\;$ w mechanice Newtona, ale przedstawienie końcowe w (29.3) jest dla układów współrzędnych spełniającego metrykę Minkowskiego (16.4), i (29.4) jest dla układów współrzędnych (odniesienia) we współrzędnych układu ogólnie nieprostokątego, krzywoliniowego lub uogólnionego.

Widzimy, że w całkach działania: (29.1) (układ punktowy) i (29.3) (układ rozciągły), w szczególnej teorii względności, oraz (29.2) (układ punktowy) i (29.4) (układ rozciągły), w mechanice Newtona, niezależnie jakie tam dodamy jedynki lub zera, to ona zawsze przyjmuje tą samą wartość, nawet gdy przyjmuje wartość najmniejszą zawsze tą samą. Równania Eulera-Lagrange'a dla lagrangianu dla szczególnej teorii względności: (29.5) (wersja wektorowa) i (29.6) (wersja tensorowa) oraz (29.7), i mechaniki Newtona: (29.8) i (29.9), aby cała działania (29.1) w szczególnej teorii względności i (29.2) w mechanice Newtona przyjmowała wartość najmniejszą:

Szczególna teoria względności

${{d} \over {dt}}{{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}}-{{\partial L} \over {\partial {\vec {r}}}}=0\Leftrightarrow {{d} \over {dl}}{{\partial L} \over {\partial U^{i}}}-{{\partial L} \over {\partial x^{i}}}=0\;$

(29.5)

${{d} \over {ds}}{{\partial L} \over {\partial u^{\mu }}}-{{\partial L} \over {\partial x^{\mu }}}=0\;$

(29.6)

${{\partial } \over {\partial x^{\gamma }}}{{\partial L} \over {\partial g_{\mu \nu ,\gamma }}}-{{\partial L} \over {\partial g_{\mu \nu }}}=0\;$

(29.7)

Mechanika Newtona

${{d} \over {dt}}{{\partial L} \over {\partial v^{i}}}-{{\partial L} \over {\partial x^{i}}}=0\Leftrightarrow {{d} \over {dl}}{{\partial L} \over {\partial U^{i}}}-{{\partial L} \over {\partial x^{i}}}=0\;$

(29.8)

${{\partial } \over {\partial x^{k}}}{{\partial L} \over {\partial g_{ij,k}}}-{{\partial L} \over {\partial g_{ij}}}=0\;$

(29.9)

a dla gęstości lagrangianu równanie Eulera-Lagrange'a dla szczególnej teorii względności: (29.10) (wersja wektorowa) i (29.11) (wersja tensorowa) oraz (29.12), i mechaniki Newtona: (29.14) i (29.15), aby cała działania (29.3) w szczególnej teorii względności i (29.4) w mechanice Newtona przyjmowała wartość najmniejszą:

Szczególna teoria względności

${{d} \over {dt}}{{\partial {\sqrt {||(g)||}}{\mathfrak {L}}} \over {\partial {\vec {v}}}}-{{\partial {\sqrt {||(g)||}}{\mathfrak {L}}} \over {\partial {\vec {r}}}}=0\Leftrightarrow {{d} \over {dl}}{{\partial {\sqrt {||(g)||}}{\mathfrak {L}}} \over {\partial U^{i}}}-{{\partial {\sqrt {||(g)||}}{\mathfrak {L}}} \over {\partial x^{i}}}=0\;$

(29.10)

${{d} \over {ds}}{{\partial {\sqrt {||(g)||}}{\mathfrak {L}}} \over {\partial u^{\mu }}}-{{\partial {\sqrt {||(g)||}}{\mathfrak {L}}} \over {\partial x^{\mu }}}=0\;$

(29.11)

${{\partial } \over {\partial x^{\gamma }}}{{\partial {\sqrt {||(g)||}}{\mathfrak {L}}} \over {\partial g_{\mu \nu ,\gamma }}}-{{\partial {\sqrt {||(g)||}}{\mathfrak {L}}} \over {\partial g_{\mu \nu }}}=0\;$

(29.12)

$||J||={\sqrt {||(g)||}}\;$

(29.13)

Mechanika Newtona

${{d} \over {dt}}{{\partial {\sqrt {||(g)||}}{\mathfrak {L}}} \over {\partial v^{i}}}-{{\partial {\sqrt {||(g)||}}{\mathfrak {L}}} \over {\partial x^{i}}}=0\Leftrightarrow {{d} \over {dl}}{{\partial {\sqrt {||(g)||}}{\mathfrak {L}}} \over {\partial U^{i}}}-{{\partial {\sqrt {||(g)||}}{\mathfrak {L}}} \over {\partial x^{i}}}=0\;$

(29.14)

${{\partial } \over {\partial x^{k}}}{{\partial {\sqrt {||(g)||}}{\mathfrak {L}}} \over {\partial g_{ij,k}}}-{{\partial {\sqrt {||(g)||}}{\mathfrak {L}}} \over {\partial g_{ij}}}=0\;$

(29.15)

$||J||={\sqrt {||(g)||}}\;$

(29.16)

W powyższych równaniach $g^{\mu \nu }\;$ w (29.7) i (29.12) jest to tensor metryczny dla współrzędnych krzywoliniowych i uogólnionych, a też dla współrzędnych układu ogólnie nieprostokątnego, dla szczegónej teorii względności, a $g^{ij}\;$ w (29.9) i (29.15) jest to tensor metryczny dla współrzędnych krzywoliniowych i uogólnionych, a też dla współrzędnych układu ogólnie nieprostokątnego, w mechanice Newtona.

Gdy jakobian $|J|\;$ jest równy jeden dla układu spełniającego metrykę Minkowskiego (16.5) w szczególnej teorii względności lub układu spełniającego metrykę metryczną o macieży jednostkowej, wtedy całka działania przyjmuje wartość najmniejszą dla przestrzeni globalnie (lokalnie) płaskiej i są spełnione wnioski: (29.6) (29.11), wersji tensorowej kolejno lagrangianu i gęstości lagrangianu, i (29.5) (29.10), wersji wektorowej kolejno lagrangianu i gęstości lagrangianu, dla szczególnej teorii względności, lub wnioski: (29.8) i (29.14) w mechanice Newtona, a gdy czasoprzestrzeń (przestrzeń zwykła) jest we współrzędnych krzywoliniowych lub uogólnionych, albo ogólnie nieprostokątnych, wtedy dochodzą dalsze wnioski: (29.7) i (29.12), w szczególnej teori względności i też: (29.9) i (29.15), aby całka działania przyjmowała nadal wartość najmniejszą w tych teoriach fizycznych, nie tylko w układach globalnie (lokalnie) płaskich.