Przejdź do zawartości

Szczególna teoria względności/Przechodniość macierzy transformacji

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Szczególna teoria względności
Szczególna teoria względności
Przechodniość macierzy transformacji

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Tutaj będziemy się zajmować przechodniością macierzy transformacji w teorii transformacji Lorenzta i Galileusza.

Przechodniość macierzy transformacji w teorii transformacji Lorentza[edytuj]

Będziemy tutaj badali przechodniość macierzy transformacji w układach globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych, jakie są relacje pomiędzy prędkościami w układach globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych. Powiemy też o macierzy transformacji z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego. A także udowodnimy, że w układach globalnie (lokalnie) płaskich prędkości cząstek, a więc ich tensory prędkości, są globalnie (lokalnie) stałe, i za przyśpieszenie ciał (cząstek materii) odpowiada zakrzywienie czasoprzestrzeni.

Układy globalnie (lokalnie) płaskie[edytuj]

Przechodniość transformacji piszemy pamiętając, że układy , i są układami inercjalnymi oraz jest to macierz transformacji z układu do , jest to macierz transformacji z układu do , a jest to macierz transformacji z układu do , policzmy iloczyn macierzy i i dowiemy się, że on jest macierzą dla układów odniesienia równolegle się poruszających, zatem:

(15.1)

Teraz policzmy poszczególne wyrazy macierzy końcowej (15.1) wykorzystując (14.1) i (14.6), a zatem policzmy wyraz 11 macierzy :


(15.2)

A teraz policzmy wyraz 12 macierzy :






(15.3)

A teraz policzmy wyraz 21 macierzy :





(15.4)

A teraz policzmy wyraz 22 macierzy :







(15.5)

Załóżmy, że , wtedy wyraz w nawiasie w (15.5) pomóżmy przez , co dostajemy:

(15.6)

Dostajemy na podstawie (15.6), który w ogólności nie jest równy zero, to wyraz pod nawiasem w (15.5) nie jest równy w ogólności zero. Załóżmy następnie, że , wtedy , co wyraz w nawiasie w (15.5):


(15.7)

co stąd dla tego przypadku wyraz w nawiasie (15.5) jest równy zero. A teraz obierzmy w pierwszym wyrażeniu i drugim następująco: i , a także mając założenia i :

(15.8)

A teraz poliżmy drugi wyraz:

(15.9)

Policzone wyrazy (15.8) i (15.9) podstawiamy do wyrazu w nawiasie w (15.5), wtedy:


(15.10)

Gdy i , a także wyrażenie (15.10) by było równe zero, to musi zachodzić , ale z definicji , że , i , że , a także i , stąd nie może być równoległe do , a więc nasze założenia co do i są błędne. Stąd jedynym rozwiązaniem, aby drugi wyraz (15.5) w nawiasie był równy zero, to musi zachodzić w (15.9) gdy dowolne są i , ale spełniające nasze założenia, a więc mamy . Zatem jest jedynym rozwiązaniem aby nawias był równy zero w (15.5) i była spełniona przechodność macierzy transformacji, co stąd na podstawie tego wynika, że układy inercjalne są równolegle się poruszające w tym przypadku. Co stąd na podstawie klasy układów inercjalnych równolegle się poruszających między sobą na podstawie wniosków z (15.8), (15.9), (15.10) i obliczeń (15.5) i (15.7), mamy:

(15.11)

Policzmy wyrażenie dla klasy układów inercjalnych równolegle się poruszających między sobą zakładając, że jest dowolne, ale jest spełnione założenie :


(15.12)

Załóżmy, że zachodzi (gdzie i to są skalary dowolne), wtedy łącząc wzory (15.11) i (15.12) wykorzystując nasze założenie na , wtedy mamy:

(15.13)

co stąd wiedząc, że jest dowolne, wtedy mamy toższamość udowodnioną dla naszych układów odniesienia:

(15.14)

Zbierając wyniki z (15.2), (15.3), (15.4) i (15.14) mamy udowodnioną tożsamość dla naszej klasy układów odniesienia wiedząc, że zachodzi (11.2):

(15.15)

Czyli macierz (11.2) jest macierzą transformacji. Jest ona przechodnia dla klasy układów inercjalnych równolegle się poruszających, co jest jedynym rozwiązaniem przechodności macierzy transformacji. Z twierdzenia (15.15) wynika izotropowość przestrzeni. Co kończy dowód naszego twierdzenia.

Układy słabozakrzywione[edytuj]

Napiszmy dla układów słabozakrzywionych przechodniość macierzy transformacji z nadkreśleniami dla macierzy (11.7) (gdzie ogólnie: ) będący odpowiednikiem przechodniości macierzy transformacji dla układów globalnie (lokalnie) płaskich (15.15) (gdzie: dla macierzy transformacji (11.2)) korzystając z transformacji od układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego (10.15) sformułowaną i wyprowadzoną wychodząc od wzoru (15.15) w sposób:

(15.16)

Przechodniość macierzy transformacji (15.16) dla układów słabozakrzywionych jest spełniona ogólnie, ponieważ wyraz podobny do wyrazu drugiego w (15.5), tylko że z nadkreśleniami, wynikający z przechodniości dla układów globalnie (lokalnie) płaskich, który podamy w tych układach jest nietożsamościowo równy zero, tzn. z niezmienniczości iloczynu skalarnego i transformacji wektora przestrzennego, mamy:



(15.17)

W układzie słabozakrzywionym prędkości (prędkość pierwszego ciała odniesienia) i (prędkość drugiego ciała odniesienia) są względem siebie równoległe w układzie globalnie (lokalnie) płaskim, bo one w nim odpowiadają kolejno i , ale nie w układzie słabozakrzywionym, ogólnie je możemy powiązać w sposób:

(15.18)

Równość napisaną w punkcie w (10.5) stosujemy zawsze do układów słabozakrzywionych do pierwszej równości w (15.17), aby tam wyszły zera, tzn. prędkości (prędkość pierwszego układu odniesienia, gdzie się znajduje pierwsze ciało odniesienia) i (prędkość drugiego układu odniesienia, gdzie się znajduje drugie ciało odniesienia) transformujemy z ogólnie różnych punktów w układzie słabozakrzywionym, tzn. oznaczone przez mecierze i na punkt oznaczoną macierzą w nim, w której liczymy przechodniość macierzy transformacji, czyli:

(15.19)

Stosując (15.19) do wyrażenia przed pierwszą równością, tzn. w (15.17), a wiemy że wyjdzie tam zero na mocy wniosku (10.5). Na podstawie (15.18) i (15.19), jeżeli tam traktować ciała odniesienia jako ciała w punktach układów odniesienia jako zwykłe ciała to różne elementy układu w układach słabozakrzywionych mają dowolną prędkość, na które z punktu widzenia kinematyki nie nałożona żadnych warunków. W (15.17) wyraz (po w iloczynie) jest taki sam jak wyraz, który pozostał przy liczeniu wyrazu 2x2 w (15.5) w układzie globalnie (lokalnie) płaskim, będący w tych układach zawsze równa zero, a ponieważ w tych układach to jest równa zero, i to zero nie zależy od żadnych zmiennych, po prostu zawsze jest równa zero w tych układach, więc po transformacji tego zero meciarzą transformacji , która może być funkcją uogólnioną, cały wyraz w punkcie (15.17) jest równy zero w układach słabozakrzywionych, stąd (15.16) jest dokładnie spełnioną przechodniością macierzy transformacji (11.7) dla układów słabozakrzywionych. Dla układów słabozakrzywionych nie można stosować operacji (15.6) i (15.7) (one dla układów słabozakrzywionych są niespełnione, a w układach płaskich są za to spełnione, stąd w układach płaskich ciała poruszają się z prędkościami równoległymi względem siebie, aby drugi wyraz w (15.5) był równy zawsze zero), bo nie można wiązać dwóch różnych punktów w układach zakrzywionych, w tym przypadku słabozakrzywionych, bo w dwóch różnych punktach jest różne w układach zakrzywionych (czasoprzestrzeń zakrzywiona), w tym przypadku słabozakrzywionych (czasoprzestrzeń słabozakrzywiona), można je tylko wiązać w układach płaskich, bo jest stałe wszędzie w czasoprzestrzeni płaskiej.

Przechodniość macierzy transformacji w teorii transformacji Galileusza[edytuj]

Będzimy badali turaj przechodniość macierzy transformacji teorii transformacji Galileusza w układach globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakzrywionych.

Układy globalnie (lokalnie) płaskie[edytuj]

Przechodność transformacji piszemy pamiętając, że układy , i są układami inercjalnymi oraz jest to macierz transformacji z układu do , jest to macierz transformacji z układu do , a jest to macierz transformacji z układu do , jako:

(15.20)

Do wzoru ostatniego (15.20) wykorzystajmy wzór (4.5):

(15.21)

Macierz (15.21) jest to taka sama macierz jak (11.15), zatem w teorii transformacji Galileusza macierz spełnia twierdzenie przechodniości macierzy transformacji, w postaci:

(15.22)

Czyli jest spełniona przechodniość macierzy transformacji dla układów globalnie (lokalnie) płaskich.

Układy słabozakrzywione[edytuj]

Weźmy przechodniość (15.22), wtedy z definicji transformacji macierzy z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego (10.15) za pomocą macierzy transformacji prostej (10.1) i odwrotnej (10.2) możemy napisać:

(15.23)

Czyli jest spełniona przechodniość macierzy transformacji dla układów słabozakrzywionych.

Dalsze wnioski dotyczące układów globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych[edytuj]

Będziemy badać jakie wnioski dalsze zachodzą dla układów globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych w teorii transformacji Lorentza i Galileusza.

Równoległość prędkości układów odniesienia dla tego samego ciała odniesienia poruszające się wraz z ciałem w chwilach t i t+dt wynikające z twierdzenia przechodniości macierzy transformacji dla układów globalnie (lokalnie) płaskich oraz ogólna nierównoległość w układach słabozakrzywionych[edytuj]

Będziemy badać tutaj wnioski wynikające w układach globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych z transformacji Lorentza i Galileusza dotyczące prędkości różnych ciał oraz związki pomiędzy nimi.

Układy globalnie (lokalnie) płaskie[edytuj]

Macierz transformacji M była pisana, a także udowodniana jego przechodniość z twierdzenia o przechodniości macierzy transformacji. Załóżmy, że mamy pewien układ odniesienia, w którym ciało porusza się na samym początku z prędkością chwilową w czasie , tzn. , a później w chwili , tzn. . Obierzmy za każdym razem inercjalny układ odniesienia poruszającą się z tym ciałem w tych właśnie podanych wcześniej w chwilach, wtedy przechodniość macierzy transformacji (15.15) (szczególna teoria względności) i (15.22) (mechanika Newtona) względem układów w czasie ( z układu do ) oraz ( z układu do i z układu do ) przedstawia się w formie:

(15.24)

Na podstawie wzoru (15.24) i twierdzenia o przechodniości macierzy transformacji w transformacjach Lorentza dochodzimy do wniosku, że , stąd ciało porusza się po linii prostej, w transformacjach Galileusza zachodzi ogólnie , ale my zakładamy, że w układach globalnie (lokalnie) płaskich jak w transformacjach Lorentza zachodzi też podobnie w transformacjach Galileusza (patrz: (15.26)). Transformacje (15.24) w teorii transformacji Lorentza i Galileusza dla układów globalnie (lokalnie) płaskich są spełnione przy zachodzącym w nich (15.26).

Układy słabozakrzywione[edytuj]

Ale już tak nie wynika (tzn.: ) dla układów słabozakrzywionym w transformacjach Lorentza i już tak nie jest jako założenie w transformacjach Galileusza, wtedy na podstawie (15.16) (teoria transformacji Lorentza) i (15.23) (teoria transformacji Galileusza) oraz wynikających z nich wywodów zachodzi:

(15.25)

Na podstawie (15.25) w układach słabozakrzywionych wynika, że ciała mogą się poruszać w różnych chwilach z dowolnymi prędkościami.

Istnienie słabozakrzywionych układów współrzędnych, a układy globalnie (lokalnie) płaskie, a także kinematyka w szczególnej teorii względności[edytuj]

Powiemy tutaj o kinematyce (szczególna teoria względności i też mechanika Newtona), a w ramach tego o transformacjach z układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do słabozakrzywionych i powiemy, że ta transformacja jest funkcją uogólnioną. Powiemy również jak jest w układzie globalnie (lokalnie) płaskim, a jak w słabozakrzywionym, z wektorem prędkości.

Dyskusja o układach globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych[edytuj]

Stąd szczególną teorię względności i mechanikę Newtona (na podstawie założenia, że jest co do prędkości podobnie jak w szczególnej teorii względności) da się udowodnić tylko w przybliżeniu, bo one są teoriami tylko przybliżonymi dla układów słabozakrzywionych, a nie globalnie (lokalnie) płaskich, a w układach słabozakrzywionych zachodzi tak, że jest ogólnie nierównoległe do , a w układach globalnie (lokalnie) płaskich zachodzi , i prędkość pierwszego ciała jest ogólnie nierównoległa do prędkości drugiego ciała w układach słabozakrzywionych , a zawsze te prędkości są równoległe w układach globalnie (lokalnie) płaskich, co wynika z twierdzenia przechodniości transformacji (szczególna teoria względności) albo założenia (mechanika Newtona). Po prostu nasze prawa fizyki dla układów słabozakrzywionych, nie globalnie (lokalnie) płaskich, są przybliżone, co dlatego tak zachodzi.

W przypadku układów globalnie (lokalnie) płaskich wynika z symetrii, że ciała (cząstki materii) poruszają się z globalnie (lokalnie) stałą prędkością, a za przyśpieszenie ciała (cząstki materii) odpowiedzialne jest zakrzywienie czasoprzestrzeni[edytuj]

W układach globalnie (lokalnie) płaskich wynika z symetrii układu, że wszystkie ciała (cząstki materii) poruszają się ze globalnie (lokalnie) stałą prędkością równą , a gdyby różnie się poruszały, to układ nie byłby symetryczny, a z istnienia dowolnego ciała, które potraktujemy jako ciało odniesienia, poruszającego się ze stałą dowolną prędkością, co jest matematycznie, dochodzimy do wniosku, że one poruszają się ze globalnie (lokalnie) stałą prędkością w układach globalnie (lokalnie) płaskich równą wszędzie globalnie (lokalnie):

(15.26)

A (15.26) zachodzi tylko globalnie (lokalnie) w układach globalnie (lokalnie) płaskich. Czyli na podstawie (15.26) wynika, że za przyśpieszenie ciała (cząstki materii) w układach zakrzywionych jest odpowiedzialne zakrzywienie czasoprzestrzeni w szczególności słabozakrzywione.

  • Warunek (15.26) zachodzi też z innego powodu globalnie (lokalnie) wynikający z istnienia matematycznego układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości.

Transformacja pomiędzy układem globalnie (lokalnie) płaskim, gdy za przyśpieszenie ciała (cząstki materii) jest odpowiedzialne zakrzywienie czasoprzestrzeni, do układu słabozakrzywionego[edytuj]

Transformacja pomiędzy układem globalnie (lokalnie) płaskim zakładając, że za przyśpieszenie ciała jest odpowiedzialne zakrzywienie czasoprzestrzeni, a więc wtedy zachodzi w układach globalnie (lokalnie) płaskich (21.9), z którego wynika, że (21.6)), czyli pomiędzy układem o lokalnie stałym tensorze prędkości, a słabozakrzywionym, mamy w postaci:

(15.27)

Ta macierz transformacji pomiędzy układem słabozakrzywionym a układem globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości, czyli , może być funkcją uogólnioną (dystrybucją). Napiszmy różniczkę prędkości w układzie słabozakrzywionym (tutaj zachodzi (22.7)) względem różniczki prędkości w ściśle określonym układem globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości zakładając, że macierz jest funkcją uogólnioną:

(15.28)
  • gdzie to wymiar czasoprzestrzeni, to tensor siły w układzie słabozakrzywionym i to tensor siły w układzie globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości globalnie (tylko lokalnie) równa zero.

Ma zachodzić, aby (15.27) przy macierzy transformacji (15.28) było spełnione przy tym układzie globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorem prędkości:

(15.29)

Czyli suma tensorów prędkości w układzie globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości ma być równa zero na podstawie (15.29), aby było spełnione (15.27). Biorąc jeszcze jeszcze inny układ globalnie (lokalnie) płaski o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości przechodząc z ostatniego układu globalnie (lokalnie) płaskiego o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości, czyli tutaj mamy , stosując to do równości (15.29) (wzór na transformację tensora prędkości), wtedy:

(15.30)

We wzorze (15.29) tam tensory prędkości piszemy przechodząc od tensorów prędkości układu globalnie (lokalnie) płaskiego o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości za pomocą transformacji za pomocą funkcji niebędących funkcjami uogólnionymi, czyli przechodząc z (15.29) do (15.30). Weźmy jeszcze lepszą postać macierzy transformacji niż przedtem, tzn.: (15.28), transformująca z dowolnego układu globalnie (lokalnie) płaskiego o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do układu słabozakrzywionego:

(15.31)
  • gdzie ta macierz transformacji w (15.31) jest macierzą transformacji w (15.27).

I z oczywistych powodów musi też zachodzić na podstawie wniosku (ostatni wzór) (15.29):

(15.32)

W przypadku przejścia z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego według macierzy transformacji (10.1) ją przedstawiamy podobnie jak formułę (15.31) cały czas przy tym samym ciele odniesienia w formie:

(15.33)

Gdzie to wymiar przestrzeni zwykłej. Ale zachodzi dla (15.33) podobnie jak dla (15.31) jest (15.32) analogiczne równanie:

(15.34)

Układy globalnie (lokalnie) płaskie o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości nie istnieją fizycznie, ale istnieją matematycznie, bo przejście z nich do układów słabozakrzywionych, które istnieją fizycznie, o macierzy transformacji (15.31) jest funkcją uogólnioną przy zachodzącym (22.7) (szczególna teoria względności) i (22.9) (mechanika Newtona) spełnione dla układów co najwyżej słabozakrzywionych (co jest definicją tych układów), ale jak nie założymy już, że zachodzi to, to układy globalnie (lokalnie) płaskie o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości jednak istnieją fizycznie, a wtedy macierz transformacji nie jest wtedy w postaci (15.31) i nie jest funkcją uogólnioną, w takim razie wtedy nie rozpatrujemy zatem układów ani globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych, tylko układy zakrzywione, bo w nich nie zachodzą omawiane warunki dla układów słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich dla tych teorii fizycznych rozpatrywanych tutaj. W układach słabozakrzywionych po przejściu od układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości macierz transformacji, gdyby nie była funkcją uogólnioną, to wszystkie pochodne wielkości fizycznych byłyby równe w przybliżeniu zero w układach słabozakrzywionych wynikające z globalnie (lokalnie) stałego tensora prędkości w układach globalnie (lokalnie) płaskich, a tak nie może być, a więc tam macierz jest funkcją uogólnioną, czyli możemy ją przedstawić w postaci (15.31). Macierz odwrotna do macierzy transformacji ((15.31)), czyli , z definicji macierzy odwrotnej jest funkcją uogólnioną (dystrybucją).

Równoległość prędkości w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości a ogólna nierównoległość w układach słabozakrzywionych[edytuj]

Tensor jest dla układu słabozakrzywionego, a tensor jest dla układu globalnie (lokalnie) płaskiego, ale w układzie globalnie (lokalnie) płaskim zachodzą dla dwóch dowolnych prędkości , gdzie na podstawie (20.6) są: i , co tutaj jest spełniona przechodniość macierzy transformacji dla układów globalnie (lokalnie) płaskich, a w układzie słabozakrzywionym już ogólnie nie jest równoległe do , gdzie na podstawie (20.6) i teorii układów słabozakrzywionych, tzn. (16.6), mamy dokładnie: i .