Szczególna teoria względności/Przechodniość macierzy transformacji

Przechodniość macierzy transformacji

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Tutaj będziemy się zajmować przechodniością macierzy transformacji w teorii transformacji Lorenzta i Galileusza.

Przechodniość macierzy transformacji w teorii transformacji Lorentza

Będziemy tutaj badali przechodniość macierzy transformacji w układach globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych, jakie są relacje pomiędzy prędkościami w układach globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych. Powiemy też o macierzy transformacji z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego. A także udowodnimy, że w układach globalnie (lokalnie) płaskich prędkości cząstek, a więc ich tensory prędkości, są globalnie (lokalnie) stałe, i za przyśpieszenie ciał (cząstek materii) odpowiada zakrzywienie czasoprzestrzeni.

Układy globalnie (lokalnie) płaskie

Przechodniość transformacji piszemy pamiętając, że układy $K\;$, $K^{'}\;$ i $K^{''}\;$ są układami inercjalnymi oraz $M_{1}\;$ jest to macierz transformacji z układu $K\;$ do $K^{'}\;$, $M_{2}^{'}\;$ jest to macierz transformacji z układu $K^{'}\;$ do $K^{''}\;$, a $M_{2}\;$ jest to macierz transformacji z układu $K\;$ do $K^{''}\;$, policzmy iloczyn macierzy $M_{2}^{'}\;$ i $M_{1}\;$ i dowiemy się, że on jest macierzą $M_{2}\;$ dla układów odniesienia równolegle się poruszających, zatem:

$M_{2}^{'}M_{1}={\begin{bmatrix}\gamma _{2}^{'}&-\gamma _{2}^{'}{{{\vec {V}}_{2}^{'T}} \over {c}}A_{2}^{'}\\-M_{p2}^{'}{{{\vec {V}}_{2}^{'}} \over {c}}&M_{p2}^{'}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\gamma _{1}&-\gamma _{1}{{{\vec {V}}_{1}^{T}} \over {c}}A_{1}\\-M_{p1}{{{\vec {V}}_{1}} \over {c}}&M_{p1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma _{2}^{'}\gamma _{1}+\gamma _{2}^{'}\gamma _{1}{{{\vec {V}}_{2}^{'T}} \over {c}}A_{2}^{'}C_{p1}{{{\vec {V}}_{1}} \over {c}}&-\gamma _{2}^{'}\gamma _{1}{{{\vec {V}}_{1}^{T}} \over {c}}A_{1}-\gamma _{2}^{'}{{{\vec {V}}_{2}^{'T}} \over {c}}A_{2}^{'}M_{p1}\\-\gamma _{1}M_{p2}^{'}{{{\vec {V}}_{2}^{'}} \over {c}}-M_{p2}^{'}M_{p1}{{{\vec {V}}_{1}} \over {c}}&\gamma _{1}M_{p2}^{'}{{{\vec {V}}_{2}^{'}} \over {c}}{{{\vec {V}}_{1}^{T}} \over {c}}A_{1}+M_{p2}^{'}M_{p1}\end{bmatrix}}\;$

(15.1)

Teraz policzmy poszczególne wyrazy macierzy końcowej (15.1) wykorzystując (14.1) i (14.6), a zatem policzmy wyraz 11 macierzy $M_{2}\;$:

$\gamma _{2}^{'}\gamma _{1}+\gamma _{2}^{'}\gamma _{1}{{{\vec {V}}_{2}^{'T}} \over {c}}A_{2}^{'}C_{p1}{{{\vec {V}}_{1}} \over {c}}=\gamma _{2}^{'}\gamma _{1}\left(1+{{{\vec {V}}_{2}^{'T}} \over {c}}A_{2}^{'}C_{p1}{{{\vec {V}}_{1}} \over {c}}\right)={{1-{{\left({\vec {V}}_{1},{\vec {V}}_{2}\right)} \over {c^{2}}}} \over {\sqrt {\left(1-{{V_{1}^{2}} \over {c^{2}}}\right)\left(1-{{V_{2}^{2}} \over {c^{2}}}\right)}}}\gamma _{1}\left[1+{{1} \over {c^{2}}}{{{\vec {V}}_{2}-{\vec {V}}_{1}} \over {1-{{\left({\vec {V}}_{2},{\vec {V}}_{1}\right)} \over {c^{2}}}}}A{\vec {V}}_{1}\right]=\;$
$=\left(1-{{\left({\vec {V}}_{1},{\vec {V}}_{2}\right)} \over {c^{2}}}\right)\gamma _{2}\gamma _{1}^{2}{{c^{2}-\left({\vec {V}}_{2},{\vec {V}}_{1}\right)+({\vec {V}}_{2},{\vec {V}}_{1})-V_{1}^{2}} \over {c^{2}\left(1-{{\left({\vec {V}}_{2},{\vec {V}}_{1}\right)} \over {c^{2}}}\right)}}=\gamma _{2}\gamma _{1}^{2}\left(1-{{V_{1}^{2}} \over {c^{2}}}\right)=\gamma _{2}\gamma _{1}^{2}\gamma _{1}^{-2}=\gamma _{2}\;$

(15.2)

A teraz policzmy wyraz 12 macierzy $M_{2}\;$:

$-\gamma _{2}^{'}\gamma _{1}{{{\vec {V}}_{1}^{T}} \over {c}}A_{1}-\gamma _{2}^{'}{{{\vec {V}}_{2}^{'}} \over {c}}A_{2}^{'}M_{p1}=\;$
$=-\left(1-{{\left({\vec {V}}_{2},{\vec {V}}_{1}\right)} \over {c^{2}}}\right)\gamma _{2}\gamma _{1}^{2}{{{\vec {V}}_{1}^{T}} \over {c}}A_{1}-\left(1-{{\left({\vec {V}}_{2},{\vec {V}}_{1}\right)} \over {c^{2}}}\right)\gamma _{2}\gamma _{1}{{1} \over {c}}{{{\vec {V}}_{2||}-{\vec {V}}_{1}+\gamma _{1}^{-1}{\vec {V}}_{2\perp }} \over {1-{{({\vec {V}}_{2},{\vec {V}}_{1})} \over {c^{2}}}}}A_{1}\left(\gamma _{1}P_{1||}+P_{1\perp }\right)=\;$
$=-\left(1-{{\left({\vec {V}}_{2},{\vec {V}}_{1}\right)} \over {c^{2}}}\right)\gamma _{2}\gamma _{1}^{2}{{{\vec {V}}_{1}^{T}} \over {c}}A_{1}-\gamma _{2}\gamma _{1}^{2}{{1} \over {c}}\left({\vec {V}}_{1}{{\left({\vec {V}}_{2},{\vec {V}}_{1}\right)} \over {V_{1}^{2}}}-{\vec {V}}_{1}\right)^{T}A_{1}-\gamma _{2}{{1} \over {c}}\left({\vec {V}}_{2}-{\vec {V}}_{1}{{\left({\vec {V}}_{2},{\vec {V}}_{1}\right)} \over {V_{1}^{2}}}\right)^{T}A_{1}=\;$
$=-\left(1-{{\left({\vec {V}}_{2},{\vec {V}}_{1}\right)} \over {c^{2}}}\right)\gamma _{2}\gamma _{1}^{2}{{{\vec {V}}_{1}^{T}} \over {c}}A_{1}+\gamma _{2}\gamma _{1}^{2}\left(1-{{\left({\vec {V}}_{1},{\vec {V}}_{2}\right)} \over {V_{1}^{2}}}\right){{{\vec {V}}_{1}^{T}} \over {c}}A_{1}-\gamma _{2}{{{\vec {V}}_{2}^{T}} \over {c}}A_{1}+\gamma _{2}{{{\vec {V}}_{1}^{T}} \over {c}}A_{1}{{\left({\vec {V}}_{2},V_{1}\right)} \over {V_{1}^{2}}}=\;$
$=-\gamma _{2}\gamma _{1}^{2}{{{\vec {V}}_{1}^{T}} \over {c}}A_{1}\left({{\left({\vec {V}}_{1},{\vec {V}}_{2}\right)} \over {c^{2}}}-{{\left({\vec {V}}_{1},{\vec {V}}_{2}\right)} \over {V_{1}^{2}}}\right)-\gamma _{2}{{{\vec {V}}_{2}^{T}} \over {c}}A_{1}+\gamma _{2}{{{\vec {V}}_{1}^{T}} \over {c}}A_{1}{{\left({\vec {V}}_{2},{\vec {V}}_{1}\right)} \over {V_{1}^{2}}}=\;$
$=-\gamma _{2}\gamma _{1}^{2}{{{\vec {V}}_{1}^{T}} \over {c}}A_{1}{{\left({\vec {V}}_{2},{\vec {V}}_{1}\right)} \over {V_{1}^{2}}}\left(1-{{V_{1}^{2}} \over {c^{2}}}\right)-\gamma _{2}{{{\vec {V}}_{2}^{T}} \over {c}}A_{1}+\gamma _{2}{{{\vec {V}}_{1}^{T}} \over {c}}A_{1}{{\left({\vec {V}}_{2},{\vec {V}}_{1}\right)} \over {V_{1}^{2}}}=-\gamma _{2}{{{\vec {V}}_{2}^{T}} \over {c}}A_{1}$

(15.3)

A teraz policzmy wyraz 21 macierzy $M_{2}\;$:

$-\gamma _{1}M_{p2}^{'}{{{\vec {V}}_{2}^{'}} \over {c}}-M_{p2}^{'}M_{p1}{{{\vec {V}}_{1}} \over {c}}=-{{\gamma _{1}} \over {c}}M_{p2}^{'}\left({\vec {V}}_{2}^{'}+C_{p1}{\vec {V}}_{1}\right)=-{{\gamma _{1}} \over {c}}M_{p2}^{'}\left({\vec {V}}_{2}^{'}-{\vec {V}}_{1}^{'}\right)=\;$
$=-{{\gamma _{1}} \over {c}}C_{p2}^{'}\left(\gamma _{2}^{'}{\vec {V}}_{2}^{'}-\gamma _{2}^{'}{\vec {V}}_{1||}^{'}-{\vec {V}}_{1\perp }^{'}\right)=-{{\gamma _{1}\gamma _{2}^{'}} \over {c}}C_{p2}^{'}\left({\vec {V}}_{2}^{'}-{\vec {V}}_{1||}^{'}-\gamma _{2}^{'-1}{\vec {V}}_{1\perp }^{'}\right)={{\gamma _{1}\gamma _{2}^{'}} \over {c}}C_{p2}^{'}\left(-{\vec {V}}_{2}^{'}+{\vec {V}}_{1||}^{'}+\gamma _{2}^{'-1}{\vec {V}}_{1\perp }^{'}\right)=\;$
$=-{{\gamma _{1}\gamma _{2}^{'}} \over {c}}\left(1-{{({\vec {V}}_{1}^{'},{\vec {V}}_{2}^{'})} \over {c^{2}}}\right)C_{p2}{\vec {V}}_{2}=-\left(1-{{({\vec {V}}_{1},{\vec {V}}_{1})} \over {c^{2}}}\right)\left(1-{{({\vec {V}}_{1}^{'},{\vec {V}}_{2}^{'})} \over {c^{2}}}\right)\gamma _{1}^{2}M_{p2}{{{\vec {V}}_{2}} \over {c}}=\;$
$=-\gamma _{1}^{2}\left(1-{{({\vec {V}}_{1},{\vec {V}}_{1})} \over {c^{2}}}\right)\left(1+{{\left(C_{p1}{\vec {V}}_{1},{{C_{p1}} \over {1-{{({\vec {V}}_{1},{\vec {V}}_{2})} \over {c^{2}}}}}\left({\vec {V}}_{2||}-{\vec {V}}_{1}+{\vec {V}}_{2\perp }\gamma _{1}^{-1}\right)\right)} \over {c^{2}}}\right)M_{p2}{{{\vec {V}}_{2}} \over {c}}=\;$
$=-\gamma _{1}^{2}\left(1-{{({\vec {V}}_{1},{\vec {V}}_{1})} \over {c^{2}}}\right){{c^{2}-({\vec {V}}_{1},{\vec {V}}_{2})+({\vec {V}}_{1},{\vec {V}}_{2})-V_{1}^{2}} \over {c^{2}\left(1-{{({\vec {V}}_{1},{\vec {V}}_{1})} \over {c^{2}}}\right)}}M_{p2}{{{\vec {V}}_{2}} \over {c}}=-\gamma _{1}^{2}\left(1-{{V_{1}^{2}} \over {c^{2}}}\right)M_{p2}{{{\vec {V}}_{2}} \over {c}}=-M_{p2}{{{\vec {V}}_{2}} \over {c}}\;$

(15.4)

A teraz policzmy wyraz 22 macierzy $M_{2}\;$:

$\left(\gamma _{1}M_{p2}^{'}{{{\vec {V}}_{2}^{'}} \over {c}}{{{\vec {V}}_{1}^{T}} \over {c}}A_{1}+M_{p2}^{'}M_{p1}\right){{{\vec {V}}_{1}} \over {c}}=\gamma _{1}M_{p2}^{'}{{{\vec {V}}_{2}^{'}} \over {c}}{{{\vec {V}}_{1}^{2}} \over {c^{2}}}-\gamma _{1}M_{p2}^{'}{{{\vec {V}}_{2}^{'}} \over {c}}+M_{p2}{{{\vec {V}}_{2}} \over {c}}=-\gamma _{1}M_{p2}^{'}{{{\vec {V}}_{2}^{'}} \over {c}}\left(1-{{V_{1}^{2}} \over {c^{2}}}\right)+M_{p2}{{{\vec {V}}_{2}} \over {c}}=\;$
$=-\gamma _{1}^{-1}M_{p2}^{'}{{{\vec {V}}_{2}^{'}} \over {c}}+M_{p2}{{{\vec {V}}_{2}} \over {c}}=-\gamma _{2}\left(1-{{({\vec {V}}_{1},{\vec {V}}_{2})} \over {c^{2}}}\right)C_{p2}^{'}C_{p1}{{{\vec {V}}_{2||}-{\vec {V}}_{1}+\gamma _{1}^{-1}{\vec {V}}_{2\perp }} \over {c\left(1-{{({\vec {V}}_{1},{\vec {V}}_{2})} \over {c^{2}}}\right)}}+\gamma _{2}C_{p2}{{{\vec {V}}_{2}} \over {c}}=\;$
$=-\gamma _{2}C_{p2}{{{\vec {V}}_{2}-{\vec {V}}_{1}+(\gamma _{1}^{-1}-1){{\vec {V}}_{2\perp }}} \over {c}}+\gamma _{2}C_{p2}{{{\vec {V}}_{2}} \over {c}}=\gamma _{2}C_{p2}{{{\vec {V}}_{1}} \over {c}}-\gamma _{2}(\gamma _{1}^{-1}-1)C_{p2}{{{\vec {V}}_{2\perp }} \over {c}}=\;$
$=\gamma _{2}C_{p2}{{{\vec {V}}_{1}} \over {c}}-\gamma _{2}\gamma _{1}^{-1}(1-\gamma _{1})C_{p2}\left({{{\vec {V}}_{2}} \over {c}}-{{({\vec {V}}_{1},{\vec {V}}_{2})} \over {V_{1}^{2}}}{{{\vec {V}}_{1}} \over {c}}\right)=\;$
$=M_{p2}{{{\vec {V}}_{1}} \over {c}}+\gamma _{2}C_{p2}(1-P_{2||}){{{\vec {V}}_{1}} \over {c}}-C_{p2}(1-P_{2||}){{{\vec {V}}_{1}} \over {c}}-\gamma _{2}\gamma _{1}^{-1}(1-\gamma _{1})C_{p2}\left({{{\vec {V}}_{2}} \over {c}}-{{({\vec {V}}_{1},{\vec {V}}_{2})} \over {V_{1}^{2}}}{{{\vec {V}}_{1}} \over {c}}\right)=\;$
$=M_{p2}{{{\vec {V}}_{1}} \over {c}}+\gamma _{2}C_{p2}{{{\vec {V}}_{1}} \over {c}}-\gamma _{2}C_{p2}{{({\vec {V}}_{1},{\vec {V}}_{2})} \over {V_{2}^{2}}}{{{\vec {V}}_{2}} \over {c}}-C_{p2}{{{\vec {V}}_{1}} \over {c}}+C_{p2}{{({\vec {V}}_{1},{\vec {V}}_{2})} \over {V_{2}^{2}}}{{{\vec {V}}_{2}} \over {c}}-\gamma _{2}\gamma _{1}^{-1}(1-\gamma _{1})C_{p2}\left({{{\vec {V}}_{2}} \over {c}}-{{({\vec {V}}_{1},{\vec {V}}_{2})} \over {V_{1}^{2}}}{{{\vec {V}}_{1}} \over {c}}\right)=\;$
$=M_{p2}{{{\vec {V}}_{1}} \over {c}}+C_{p2}\left[(\gamma _{2}-1)\left({{{\vec {V}}_{1}} \over {c}}-{{{\vec {V}}_{2}} \over {c}}{{({\vec {V}}_{1},{\vec {V}}_{2})} \over {V_{2}^{2}}}\right)+\gamma _{2}\gamma _{1}^{-1}(\gamma _{1}-1)\left({{{\vec {V}}_{2}} \over {c}}-{{{\vec {V}}_{1}} \over {c}}{{({\vec {V}}_{1},{\vec {V}}_{2})} \over {V_{1}^{2}}}\right)\right]\;$

(15.5)

Załóżmy, że ${\vec {V}}_{1}\perp {\vec {V}}_{2}\;$, wtedy wyraz w nawiasie w (15.5) pomóżmy przez ${\Bigg (}{{{\vec {V}}_{2}} \over {c}}{\Bigg |}\;$, co dostajemy:

${\Bigg (}{{{\vec {V}}_{2}} \over {c}}{\Bigg |}(\gamma _{2}-1)\left({{{\vec {V}}_{1}} \over {c}}-{{{\vec {V}}_{2}} \over {c}}{{({\vec {V}}_{1},{\vec {V}}_{2})} \over {V_{2}^{2}}}\right)+\gamma _{2}\gamma _{1}^{-1}(\gamma _{1}-1)\left({{{\vec {V}}_{2}} \over {c}}-{{{\vec {V}}_{1}} \over {c}}{{({\vec {V}}_{1},{\vec {V}}_{2})} \over {V_{1}^{2}}}\right){\Bigg )}=\gamma _{2}\gamma _{1}^{-1}(\gamma _{1}-1){{V_{2}^{2}} \over {c^{2}}}\;$

(15.6)

Dostajemy na podstawie (15.6), który w ogólności nie jest równy zero, to wyraz pod nawiasem w (15.5) nie jest równy w ogólności zero. Załóżmy następnie, że ${\vec {V}}_{2}||{\vec {V}}_{1}\;$, wtedy ${\vec {V}}_{2}=\lambda {\vec {V}}_{1}\;$, co wyraz w nawiasie w (15.5):

$(\gamma _{2}-1)\left({{{\vec {V}}_{1}} \over {c}}-{{{\vec {V}}_{2}} \over {c}}{{({\vec {V}}_{1},{\vec {V}}_{2})} \over {V_{2}^{2}}}\right)+\gamma _{2}\gamma _{1}^{-1}(\gamma _{1}-1)\left({{{\vec {V}}_{2}} \over {c}}-{{{\vec {V}}_{1}} \over {c}}{{({\vec {V}}_{1},{\vec {V}}_{2})} \over {V_{1}^{2}}}\right)=(\gamma _{2}-1)\left({{{\vec {V}}_{1}} \over {c}}-{{{\vec {V}}_{1}} \over {c}}{{V_{1}^{2}} \over {V_{1}^{2}}}\right)+\;$
$+\gamma _{2}\gamma _{1}^{-1}(\gamma _{1}-1)\lambda \left({{{\vec {V}}_{1}} \over {c}}-{{{\vec {V}}_{1}} \over {c}}{{V_{1}^{2}} \over {V_{1}^{2}}}\right)=0\;$

(15.7)

co stąd dla tego przypadku wyraz w nawiasie (15.5) jest równy zero. A teraz obierzmy w pierwszym wyrażeniu i drugim następująco: ${\vec {V}}_{1}=\alpha _{1}{\vec {V}}_{2}+\beta _{1}{\vec {Z}}_{2\perp }\;$ i ${\vec {V}}_{2}=\alpha _{2}{\vec {V}}_{1}+\beta _{2}{\vec {Z}}_{1\perp }\;$, a także mając założenia ${\vec {V}}_{1}\perp {\vec {Z}}_{1\perp }\;$ i ${\vec {V}}_{2}\perp {\vec {Z}}_{2\perp }\;$:

${{{\vec {V}}_{1}} \over {c}}-{{{\vec {V}}_{2}} \over {c}}{{({\vec {V}}_{1},{\vec {V}}_{2})} \over {V_{2}^{2}}}={{\alpha _{1}{\vec {V}}_{2}+\beta _{1}{\vec {Z}}_{2\perp }} \over {c}}-\alpha _{1}{{{\vec {V}}_{2}} \over {c}}{{V_{2}^{2}} \over {V_{2}}}=\beta _{1}{{Z_{2\perp }} \over {c}}\;$

(15.8)

A teraz poliżmy drugi wyraz:

${{{\vec {V}}_{2}} \over {c}}-{{{\vec {V}}_{1}} \over {c}}{{({\vec {V}}_{1},{\vec {V}}_{2})} \over {V_{1}^{2}}}={{\alpha _{2}{\vec {V}}_{1}+\beta _{2}{\vec {Z}}_{1\perp }} \over {c}}-{{{\vec {V}}_{1}} \over {c}}\alpha _{2}{{V_{1}^{2}} \over {V_{1}^{2}}}=\beta _{2}{{Z_{1\perp }} \over {c}}\;$

(15.9)

Policzone wyrazy (15.8) i (15.9) podstawiamy do wyrazu w nawiasie w (15.5), wtedy:

$(\gamma _{2}-1)\left({{{\vec {V}}_{1}} \over {c}}-{{{\vec {V}}_{2}} \over {c}}{{({\vec {V}}_{1},{\vec {V}}_{2})} \over {V_{2}^{2}}}\right)+\gamma _{2}\gamma _{1}^{-1}(\gamma _{1}-1)\left({{{\vec {V}}_{2}} \over {c}}-{{{\vec {V}}_{1}} \over {c}}{{({\vec {V}}_{1},{\vec {V}}_{2})} \over {V_{1}^{2}}}\right)=\;$
$=(\gamma _{2}-1)\beta _{1}{{Z_{2\perp }} \over {c}}+\gamma _{2}\gamma _{1}^{-1}(\gamma _{1}-1)\beta _{2}{{Z_{1\perp }} \over {c}}=\beta _{1}\left[(\gamma _{2}-1){{Z_{2\perp }} \over {c}}\right]+\beta _{2}\left[\gamma _{2}\gamma _{1}^{-1}(\gamma _{1}-1){{Z_{1\perp }} \over {c}}\right]\;$

(15.10)

Gdy $\beta _{1}\neq 0\;$ i $\beta _{2}\neq 0\;$, a także wyrażenie (15.10) by było równe zero, to musi zachodzić $Z_{1\perp }||Z_{2\perp }\;$, ale z definicji ${\vec {V}}_{1}\;$, że ${\vec {V}}_{2}\perp Z_{2\perp }\;$, i ${\vec {V}}_{2}\;$, że ${\vec {V}}_{1}\perp Z_{1\perp }\;$, a także $Z_{1\perp }\neq 0$ i $Z_{2\perp }\neq 0$, stąd $Z_{1\perp }\;$ nie może być równoległe do $Z_{2\perp }\;$, a więc nasze założenia co do $\beta _{1}\;$ i $\beta _{2}\;$ są błędne. Stąd jedynym rozwiązaniem, aby drugi wyraz (15.5) w nawiasie był równy zero, to musi zachodzić $\beta _{1}=\beta _{2}=0\;$ w (15.9) gdy dowolne są $Z_{1\perp }\;$ i $Z_{2\perp }\;$, ale spełniające nasze założenia, a więc mamy ${\vec {V}}_{1}||{\vec {V}}_{2}\;$. Zatem ${\vec {V}}_{1}||{\vec {V}}_{2}\;$ jest jedynym rozwiązaniem aby nawias był równy zero w (15.5) i była spełniona przechodność macierzy transformacji, co stąd na podstawie tego wynika, że układy inercjalne są równolegle się poruszające w tym przypadku. Co stąd na podstawie klasy układów inercjalnych równolegle się poruszających między sobą na podstawie wniosków z (15.8), (15.9), (15.10) i obliczeń (15.5) i (15.7), mamy:

$\left(\gamma _{1}M_{p2}^{'}{{{\vec {V}}_{2}^{'}} \over {c}}{{{\vec {V}}_{1}^{T}} \over {c}}A_{1}+M_{p2}^{'}M_{p1}\right){{{\vec {V}}_{1}} \over {c}}=M_{p2}{{{\vec {V}}_{1}} \over {c}}\;$

(15.11)

Policzmy wyrażenie dla klasy układów inercjalnych równolegle się poruszających między sobą zakładając, że ${\vec {Y}}\;$ jest dowolne, ale jest spełnione założenie ${\vec {Y}}\perp {\vec {V}}_{1}\;$:

$\left(\gamma _{1}M_{p2}^{'}{{{\vec {V}}_{2}^{'}} \over {c}}{{{\vec {V}}_{1}^{T}} \over {c}}A_{1}+M_{p2}^{'}M_{p1}\right){{\vec {Y}} \over {c}}=M_{p2}^{'}M_{p1}{{\vec {Y}} \over {c}}=C_{p2}^{'}(\gamma _{2}^{'}P_{2||}^{'}+P_{2\perp }^{'})C_{p1}(\gamma _{1}P_{1||}+P_{1\perp }){{\vec {Y}} \over {c}}=C_{p2}^{'}C_{p1}(\gamma _{2}^{'}P_{1||}+P_{1\perp }){{\vec {Y}} \over {c}}=\;$
$=C_{p2}{{Y} \over {c}}=C_{p2}\left(\gamma _{2}P_{2||}+P_{2\perp }\right){{Y} \over {c}}=M_{p2}{{\vec {Y}} \over {c}}\Rightarrow \left(\gamma _{1}M_{p2}^{'}{{{\vec {V}}_{2}^{'}} \over {c}}{{{\vec {V}}_{1}^{T}} \over {c}}A_{1}+M_{p2}^{'}M_{p1}\right){{\vec {Y}} \over {c}}=M_{p2}{{\vec {Y}} \over {c}}$

(15.12)

Załóżmy, że zachodzi ${\vec {X}}=\alpha {\vec {V}}_{1}+\beta {\vec {Y}}\;$ (gdzie $\alpha \;$ i $\beta \;$ to są skalary dowolne), wtedy łącząc wzory (15.11) i (15.12) wykorzystując nasze założenie na ${\vec {X}}\;$, wtedy mamy:

$\left(\gamma _{1}M_{p2}^{'}{{{\vec {V}}_{2}^{'}} \over {c}}{{{\vec {V}}_{1}^{T}} \over {c}}A_{1}+M_{p2}^{'}M_{p1}\right){{\vec {X}} \over {c}}=M_{p2}{{\vec {X}} \over {c}}\;$

(15.13)

co stąd wiedząc, że ${\vec {X}}\;$ jest dowolne, wtedy mamy toższamość udowodnioną dla naszych układów odniesienia:

$\gamma _{1}M_{p2}^{'}{{{\vec {V}}_{2}^{'}} \over {c}}{{{\vec {V}}_{1}^{T}} \over {c}}A_{1}+M_{p2}^{'}M_{p1}=M_{p2}\;$

(15.14)

Zbierając wyniki z (15.2), (15.3), (15.4) i (15.14) mamy udowodnioną tożsamość dla naszej klasy układów odniesienia wiedząc, że zachodzi (11.2):

$M_{2}=M_{2}^{'}M_{1}\;$

(15.15)

Czyli macierz $M\;$ (11.2) jest macierzą transformacji. Jest ona przechodnia dla klasy układów inercjalnych równolegle się poruszających, co jest jedynym rozwiązaniem przechodności macierzy transformacji. Z twierdzenia (15.15) wynika izotropowość przestrzeni. Co kończy dowód naszego twierdzenia.

Układy słabozakrzywione

Napiszmy dla układów słabozakrzywionych przechodniość macierzy transformacji z nadkreśleniami dla macierzy ${\overline {M}}\;$ (11.7) (gdzie ogólnie: ${\vec {\overline {V}}}_{1}\nparallel {\vec {\overline {V}}}_{2}\;$) będący odpowiednikiem przechodniości macierzy transformacji dla układów globalnie (lokalnie) płaskich (15.15) (gdzie: ${\vec {V}}_{1}||{\vec {V}}_{2}\;$ dla macierzy transformacji $M\;$ (11.2)) korzystając z transformacji od układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego (10.15) sformułowaną i wyprowadzoną wychodząc od wzoru (15.15) w sposób:

$M_{2}=M_{2}^{'}M_{1}\Rightarrow {\overline {\Lambda }}^{''}M_{2}{\overline {\Lambda }}^{-1}={\overline {\Lambda }}^{''}M_{2}^{'}{{\overline {\Lambda }}^{'}}^{-1}{{\overline {\Lambda }}^{'}}M_{1}{\overline {\Lambda }}^{-1}\Rightarrow {\overline {M}}_{2}={\overline {M}}_{2}^{'}{\overline {M}}_{1}\;$

(15.16)

Przechodniość macierzy transformacji (15.16) dla układów słabozakrzywionych jest spełniona ogólnie, ponieważ wyraz podobny do wyrazu drugiego w (15.5), tylko że z nadkreśleniami, wynikający z przechodniości dla układów globalnie (lokalnie) płaskich, który podamy w tych układach jest nietożsamościowo równy zero, tzn. z niezmienniczości iloczynu skalarnego i transformacji wektora przestrzennego, mamy:

${\overline {C}}_{p2}\left[({\overline {\gamma }}_{2}-1)\left({{{\vec {\overline {V}}}_{1}} \over {\overline {c}}}-{{{\vec {\overline {V}}}_{2}} \over {\overline {c}}}{{({\vec {\overline {V}}}_{1},{\vec {\overline {V}}}_{2})} \over {{\overline {V}}_{2}^{2}}}\right)+{\overline {\gamma }}_{2}{\overline {\gamma }}_{1}^{-1}({\overline {\gamma }}_{1}-1)\left({{{\vec {\overline {V}}}_{2}} \over {\overline {c}}}-{{{\vec {\overline {V}}}_{1}} \over {\overline {c}}}{{({\vec {\overline {V}}}_{1},{\vec {\overline {V}}}_{2})} \over {{\overline {V}}_{1}^{2}}}\right)\right]=\;$
$={\overline {\Lambda }}_{p}^{'}C_{p2}{\overline {\Lambda }}_{p}^{-1}{\overline {\Lambda }}_{p}\left[({\overline {\gamma }}_{2}-1)\left({{{\vec {V}}_{1}} \over {c}}-{{{\vec {V}}_{2}} \over {c}}{{({\vec {V}}_{1},{\vec {V}}_{2})} \over {V_{2}^{2}}}\right)+{\overline {\gamma }}_{2}{\overline {\gamma }}_{1}^{-1}({\overline {\gamma }}_{1}-1)\left({{{\vec {V}}_{2}} \over {c}}-{{{\vec {V}}_{1}} \over {c}}{{({\vec {V}}_{1},{\vec {V}}_{2})} \over {V_{1}^{2}}}\right)\right]=\;$
$={\overline {\Lambda }}_{p}^{'}C_{p2}\left[({\overline {\gamma }}_{2}-1)\left({{{\vec {V}}_{1}} \over {c}}-{{{\vec {V}}_{2}} \over {c}}{{({\vec {V}}_{1},{\vec {V}}_{2})} \over {V_{2}^{2}}}\right)+{\overline {\gamma }}_{2}{\overline {\gamma }}_{1}^{-1}({\overline {\gamma }}_{1}-1)\left({{{\vec {V}}_{2}} \over {c}}-{{{\vec {V}}_{1}} \over {c}}{{({\vec {V}}_{1},{\vec {V}}_{2})} \over {V_{1}^{2}}}\right)\right]={\overline {\Lambda }}_{p}^{'}\cdot 0=0$

(15.17)

W układzie słabozakrzywionym prędkości ${\vec {V}}_{1p}\;$ (prędkość pierwszego ciała odniesienia) i ${\vec {V}}_{2p}\;$ (prędkość drugiego ciała odniesienia) są względem siebie równoległe w układzie globalnie (lokalnie) płaskim, bo one w nim odpowiadają kolejno ${\vec {V}}_{1}\;$ i ${\vec {V}}_{2}\;$, ale nie w układzie słabozakrzywionym, ogólnie je możemy powiązać w sposób:

${\vec {V}}_{1}=\alpha {\vec {V}}_{2}\Rightarrow \lambda _{p1}\underbrace {{\overline {\Lambda }}_{p1}^{-1}{\vec {\overline {V}}}_{1p}} _{{\vec {V}}_{1}}=\alpha \lambda _{p2}\underbrace {{\overline {\Lambda }}_{p2}^{-1}{\vec {\overline {V}}}_{2p}} _{{\vec {V}}_{2}}\;$

(15.18)

Równość napisaną w punkcie w (10.5) stosujemy zawsze do układów słabozakrzywionych do pierwszej równości w (15.17), aby tam wyszły zera, tzn. prędkości ${\vec {\overline {V}}}_{1p}\;$ (prędkość pierwszego układu odniesienia, gdzie się znajduje pierwsze ciało odniesienia) i ${\vec {\overline {V}}}_{2p}\;$ (prędkość drugiego układu odniesienia, gdzie się znajduje drugie ciało odniesienia) transformujemy z ogólnie różnych punktów w układzie słabozakrzywionym, tzn. oznaczone przez mecierze ${\overline {\Lambda }}_{p1}\;$ i ${\overline {\Lambda }}_{p2}\;$ na punkt oznaczoną macierzą ${\overline {\Lambda }}_{p}\;$ w nim, w której liczymy przechodniość macierzy transformacji, czyli:

${\vec {\overline {V}}}_{1}=\lambda _{p1}{\overline {\Lambda }}_{p}{\overline {\Lambda }}_{p1}^{-1}{\vec {\overline {V}}}_{1p}\wedge {\vec {\overline {V}}}_{2}=\lambda _{p2}{\overline {\Lambda }}_{p}{\overline {\Lambda }}_{p2}^{-1}{\vec {\overline {V}}}_{2p}\;$

(15.19)

Stosując (15.19) do wyrażenia przed pierwszą równością, tzn. w (15.17), a wiemy że wyjdzie tam zero na mocy wniosku (10.5). Na podstawie (15.18) i (15.19), jeżeli tam traktować ciała odniesienia jako ciała w punktach $O\;$ układów odniesienia jako zwykłe ciała to różne elementy układu w układach słabozakrzywionych mają dowolną prędkość, na które z punktu widzenia kinematyki nie nałożona żadnych warunków. W (15.17) wyraz (po ${\overline {\Lambda }}_{p}^{'}\;$ w iloczynie) jest taki sam jak wyraz, który pozostał przy liczeniu wyrazu 2x2 w (15.5) w układzie globalnie (lokalnie) płaskim, będący w tych układach zawsze równa zero, a ponieważ w tych układach to jest równa zero, i to zero nie zależy od żadnych zmiennych, po prostu zawsze jest równa zero w tych układach, więc po transformacji tego zero meciarzą transformacji ${\overline {\Lambda }}_{p}^{'}\;$, która może być funkcją uogólnioną, cały wyraz w punkcie (15.17) jest równy zero w układach słabozakrzywionych, stąd (15.16) jest dokładnie spełnioną przechodniością macierzy transformacji ${\overline {M}}\;$ (11.7) dla układów słabozakrzywionych. Dla układów słabozakrzywionych nie można stosować operacji (15.6) i (15.7) (one dla układów słabozakrzywionych są niespełnione, a w układach płaskich są za to spełnione, stąd w układach płaskich ciała poruszają się z prędkościami równoległymi względem siebie, aby drugi wyraz w (15.5) był równy zawsze zero), bo nie można wiązać dwóch różnych punktów w układach zakrzywionych, w tym przypadku słabozakrzywionych, bo w dwóch różnych punktach $g^{\mu \nu }\;$ jest różne w układach zakrzywionych (czasoprzestrzeń zakrzywiona), w tym przypadku słabozakrzywionych (czasoprzestrzeń słabozakrzywiona), można je tylko wiązać w układach płaskich, bo $g^{\mu \nu }=\eta ^{\mu \nu }\;$ jest stałe wszędzie w czasoprzestrzeni płaskiej.

Przechodniość macierzy transformacji w teorii transformacji Galileusza

Będzimy badali turaj przechodniość macierzy transformacji teorii transformacji Galileusza w układach globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakzrywionych.

Układy globalnie (lokalnie) płaskie

Przechodność transformacji piszemy pamiętając, że układy $K\;$, $K^{'}\;$ i $K^{''}\;$ są układami inercjalnymi oraz $M_{1}\;$ jest to macierz transformacji z układu $K\;$ do $K^{'}\;$, $M_{2}^{'}\;$ jest to macierz transformacji z układu $K^{'}\;$ do $K^{''}\;$, a $M_{2}\;$ jest to macierz transformacji z układu $K\;$ do $K^{''}\;$, jako:

$M_{2}=M_{2}^{'}M_{1}={\begin{bmatrix}1&0\\-C_{p2}^{'}{{{\vec {V}}_{2}^{'}} \over {c}}&C_{p2}^{'}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\-C_{p1}{{{\vec {V}}_{1}} \over {c}}&C_{p1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\-C_{p2}^{'}{{{\vec {V}}_{2}^{'}} \over {c}}-C_{p2}{{{\vec {V}}_{1}} \over {c}}&C_{p2}\end{bmatrix}}\;$

(15.20)

Do wzoru ostatniego (15.20) wykorzystajmy wzór (4.5):

$M_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\-C_{p2}^{'}C_{p1}({\vec {V}}_{2}-{\vec {V}}_{1})-C_{p2}{{{\vec {V}}_{1}} \over {c}}&C_{p2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\-C_{p2}{{{\vec {V}}_{2}} \over {c}}&C_{p2}\end{bmatrix}}\;$

(15.21)

Macierz (15.21) jest to taka sama macierz jak (11.15), zatem w teorii transformacji Galileusza macierz $M\;$ spełnia twierdzenie przechodniości macierzy transformacji, w postaci:

$M_{2}=M_{2}^{'}M_{1}\;$

(15.22)

Czyli jest spełniona przechodniość macierzy transformacji dla układów globalnie (lokalnie) płaskich.

Układy słabozakrzywione

Weźmy przechodniość (15.22), wtedy z definicji transformacji macierzy z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego (10.15) za pomocą macierzy transformacji prostej $\Lambda \;$ (10.1) i odwrotnej $\Lambda ^{-1}\;$ (10.2) możemy napisać:

$M_{2}=M_{2}^{'}M_{1}\Rightarrow {\overline {\Lambda }}^{''}M_{2}{\overline {\Lambda }}^{-1}={\overline {\Lambda }}^{''}M_{2}^{'}{{\overline {\Lambda }}^{'}}^{-1}{{\overline {\Lambda }}^{'}}M_{1}{\overline {\Lambda }}^{-1}\Rightarrow {\overline {M}}_{2}={\overline {M}}_{2}^{'}{\overline {M}}_{1}\;$

(15.23)

Czyli jest spełniona przechodniość macierzy transformacji dla układów słabozakrzywionych.

Dalsze wnioski dotyczące układów globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych

Będziemy badać jakie wnioski dalsze zachodzą dla układów globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych w teorii transformacji Lorentza i Galileusza.

Równoległość prędkości układów odniesienia dla tego samego ciała odniesienia poruszające się wraz z ciałem w chwilach t i t+dt wynikające z twierdzenia przechodniości macierzy transformacji dla układów globalnie (lokalnie) płaskich oraz ogólna nierównoległość w układach słabozakrzywionych

Będziemy badać tutaj wnioski wynikające w układach globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych z transformacji Lorentza i Galileusza dotyczące prędkości różnych ciał oraz związki pomiędzy nimi.

Układy globalnie (lokalnie) płaskie

Macierz transformacji M była pisana, a także udowodniana jego przechodniość z twierdzenia o przechodniości macierzy transformacji. Załóżmy, że mamy pewien układ odniesienia, w którym ciało porusza się na samym początku z prędkością chwilową w czasie $t\;$, tzn. ${\vec {v}}(t)\;$, a później w chwili $t+dt\;$, tzn. ${\vec {v}}(t+dt)\;$. Obierzmy za każdym razem inercjalny układ odniesienia poruszającą się z tym ciałem w tych właśnie podanych wcześniej w chwilach, wtedy przechodniość macierzy transformacji (15.15) (szczególna teoria względności) i (15.22) (mechanika Newtona) względem układów w czasie $t\;$ ($M_{1}(t)\;$ z układu $K\;$ do $K^{'}\;$) oraz $t+dt\;$ ($M_{2}^{'}(t+dt)\;$ z układu $K^{'}\;$ do $K^{''}\;$ i $M_{2}(t+dt)\;$ z układu $K\;$ do $K^{''}\;$) przedstawia się w formie:

$M_{2}(t+dt)=M_{2}^{'}(t+dt)M_{1}(t)\;$

(15.24)

Na podstawie wzoru (15.24) i twierdzenia o przechodniości macierzy transformacji w transformacjach Lorentza dochodzimy do wniosku, że ${\vec {v}}(t+dt)||{\vec {v}}(t)\;$, stąd ciało porusza się po linii prostej, w transformacjach Galileusza zachodzi ogólnie ${\vec {v}}(t+dt)\not {||}{\vec {v}}(t)\;$, ale my zakładamy, że w układach globalnie (lokalnie) płaskich jak w transformacjach Lorentza zachodzi też podobnie w transformacjach Galileusza (patrz: (15.26)). Transformacje (15.24) w teorii transformacji Lorentza i Galileusza dla układów globalnie (lokalnie) płaskich są spełnione przy zachodzącym w nich (15.26).

Układy słabozakrzywione

Ale już tak nie wynika (tzn.: ${\vec {v}}_{1}||{\vec {v}}_{2}\;$) dla układów słabozakrzywionym w transformacjach Lorentza i już tak nie jest jako założenie w transformacjach Galileusza, wtedy na podstawie (15.16) (teoria transformacji Lorentza) i (15.23) (teoria transformacji Galileusza) oraz wynikających z nich wywodów zachodzi:

${\overline {M}}_{2}({\overline {t}}+d{\overline {t}})={\overline {M}}_{2}^{'}({\overline {t}}+d{\overline {t}}){\overline {M}}_{1}({\overline {t}})\;$

(15.25)

Na podstawie (15.25) w układach słabozakrzywionych wynika, że ciała mogą się poruszać w różnych chwilach z dowolnymi prędkościami.

Istnienie słabozakrzywionych układów współrzędnych, a układy globalnie (lokalnie) płaskie, a także kinematyka w szczególnej teorii względności

Powiemy tutaj o kinematyce (szczególna teoria względności i też mechanika Newtona), a w ramach tego o transformacjach z układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do słabozakrzywionych i powiemy, że ta transformacja jest funkcją uogólnioną. Powiemy również jak jest w układzie globalnie (lokalnie) płaskim, a jak w słabozakrzywionym, z wektorem prędkości.

Dyskusja o układach globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych

Stąd szczególną teorię względności i mechanikę Newtona (na podstawie założenia, że jest co do prędkości podobnie jak w szczególnej teorii względności) da się udowodnić tylko w przybliżeniu, bo one są teoriami tylko przybliżonymi dla układów słabozakrzywionych, a nie globalnie (lokalnie) płaskich, a w układach słabozakrzywionych zachodzi tak, że ${\vec {v}}(t+dt)\;$ jest ogólnie nierównoległe do ${\vec {v}}(t)\;$, a w układach globalnie (lokalnie) płaskich zachodzi ${\vec {v}}(t+dt)||{\vec {v}}(t)\;$, i prędkość pierwszego ciała ${\vec {V}}_{1}\;$ jest ogólnie nierównoległa do prędkości drugiego ciała ${\vec {V}}_{2}\;$ w układach słabozakrzywionych , a zawsze te prędkości są równoległe w układach globalnie (lokalnie) płaskich, co wynika z twierdzenia przechodniości transformacji (szczególna teoria względności) albo założenia (mechanika Newtona). Po prostu nasze prawa fizyki dla układów słabozakrzywionych, nie globalnie (lokalnie) płaskich, są przybliżone, co dlatego tak zachodzi.

W przypadku układów globalnie (lokalnie) płaskich wynika z symetrii, że ciała (cząstki materii) poruszają się z globalnie (lokalnie) stałą prędkością, a za przyśpieszenie ciała (cząstki materii) odpowiedzialne jest zakrzywienie czasoprzestrzeni

W układach globalnie (lokalnie) płaskich wynika z symetrii układu, że wszystkie ciała (cząstki materii) poruszają się ze globalnie (lokalnie) stałą prędkością równą $v^{i}=0\;$, a gdyby różnie się poruszały, to układ nie byłby symetryczny, a z istnienia dowolnego ciała, które potraktujemy jako ciało odniesienia, poruszającego się ze stałą dowolną prędkością, co jest matematycznie, dochodzimy do wniosku, że one poruszają się ze globalnie (lokalnie) stałą prędkością w układach globalnie (lokalnie) płaskich równą wszędzie globalnie (lokalnie):

$v^{i}=\operatorname {const} \Rightarrow u^{\mu }=\operatorname {const} \;$

(15.26)

A (15.26) zachodzi tylko globalnie (lokalnie) w układach globalnie (lokalnie) płaskich. Czyli na podstawie (15.26) wynika, że za przyśpieszenie ciała (cząstki materii) w układach zakrzywionych jest odpowiedzialne zakrzywienie czasoprzestrzeni w szczególności słabozakrzywione.

• Warunek (15.26) zachodzi też z innego powodu globalnie (lokalnie) wynikający z istnienia matematycznego układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości.

Transformacja pomiędzy układem globalnie (lokalnie) płaskim, gdy za przyśpieszenie ciała (cząstki materii) jest odpowiedzialne zakrzywienie czasoprzestrzeni, do układu słabozakrzywionego

Transformacja pomiędzy układem globalnie (lokalnie) płaskim zakładając, że za przyśpieszenie ciała jest odpowiedzialne zakrzywienie czasoprzestrzeni, a więc wtedy zachodzi w układach globalnie (lokalnie) płaskich (21.9), z którego wynika, że (21.6)), czyli pomiędzy układem o lokalnie stałym tensorze prędkości, a słabozakrzywionym, mamy w postaci:

${\overline {u}}^{\mu }={{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }u^{\nu }\;$

(15.27)

Ta macierz transformacji pomiędzy układem słabozakrzywionym a układem globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości, czyli ${{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }\;$, może być funkcją uogólnioną (dystrybucją). Napiszmy różniczkę prędkości w układzie słabozakrzywionym (tutaj zachodzi (22.7)) względem różniczki prędkości w ściśle określonym układem globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości zakładając, że macierz ${{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }\;$ jest funkcją uogólnioną:

$d{\overline {u}}^{\mu }=d\left({{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }u^{\nu }\right)={{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }du^{\nu }+u^{\nu }d{{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }\simeq {{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }du^{\nu }\Rightarrow {\overline {K}}^{\mu }\simeq {{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }K^{\nu }\Rightarrow {{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }\simeq {{1} \over {n}}{\overline {K}}^{\mu }\left(P{{1} \over {K^{\nu }}}+c\delta (K^{\nu })\right)\;$

(15.28)

• gdzie $n\;$ to wymiar czasoprzestrzeni, ${\overline {K}}^{\mu }\;$ to tensor siły w układzie słabozakrzywionym i $K^{\nu }\;$ to tensor siły w układzie globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości globalnie (tylko lokalnie) równa zero.

Ma zachodzić, aby (15.27) przy macierzy transformacji (15.28) było spełnione przy tym układzie globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorem prędkości:

${\overline {u}}^{\mu }={{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }u^{\nu }\simeq {{1} \over {n}}{\overline {K}}^{\mu }\left(P{{1} \over {K^{\nu }}}+c\delta (K^{\nu })\right)u^{\nu }={{{\overline {K}}^{\mu }} \over {n}}\left({{1} \over {0}}+c\delta (0)\right)\left(\sum _{\mu }u^{\mu }\right)\Rightarrow 0=\sum _{\mu }u^{\mu }\;$

(15.29)

Czyli suma tensorów prędkości $u^{\nu }\;$ w układzie globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości ma być równa zero na podstawie (15.29), aby było spełnione (15.27). Biorąc jeszcze jeszcze inny układ globalnie (lokalnie) płaski o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości przechodząc z ostatniego układu globalnie (lokalnie) płaskiego o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości, czyli tutaj mamy $d{{\Lambda ^{'}}^{\nu }}_{\gamma }=0\;$, stosując to do równości (15.29) (wzór na transformację tensora prędkości), wtedy:

${\overline {u}}^{\mu }\simeq {{1} \over {n}}{\overline {K}}^{\mu }\left(P{{1} \over {K^{\nu }}}+c\delta (K^{\nu })\right)u^{\nu }={{1} \over {n}}{\overline {K}}^{\mu }\left(P{{1} \over {K^{\nu }}}+c\delta (K^{\nu })\right){{{\overline {\Lambda }}^{'}}^{\nu }}_{\gamma }{u^{'}}^{\gamma }$

(15.30)

We wzorze (15.29) tam tensory prędkości piszemy przechodząc od tensorów prędkości układu globalnie (lokalnie) płaskiego o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości za pomocą transformacji za pomocą funkcji niebędących funkcjami uogólnionymi, czyli przechodząc z (15.29) do (15.30). Weźmy jeszcze lepszą postać macierzy transformacji niż przedtem, tzn.: (15.28), transformująca z dowolnego układu globalnie (lokalnie) płaskiego o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do układu słabozakrzywionego:

${{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\gamma }\simeq {{1} \over {n}}{\overline {K}}^{\mu }\left(P{{1} \over {K^{\nu }}}+c\delta (K^{\nu })\right){{{\overline {\Lambda }}^{'}}^{\nu }}_{\gamma }\;$

(15.31)

• gdzie ta macierz transformacji w (15.31) jest macierzą transformacji w (15.27).

I z oczywistych powodów musi też zachodzić na podstawie wniosku (ostatni wzór) (15.29):

$0=\sum _{\mu }u^{\mu }=\sum _{\mu \gamma }{{{\overline {\Lambda }}^{'}}^{\mu }}_{\gamma }{u^{'}}^{\gamma }\;$

(15.32)

W przypadku przejścia z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego według macierzy transformacji (10.1) ją przedstawiamy podobnie jak formułę (15.31) cały czas przy tym samym ciele odniesienia w formie:

${{\overline {\Lambda }}^{i}}_{j}\simeq {{1} \over {n-1}}{\overline {K}}^{i}\left(P{{1} \over {K^{k}}}+c\delta (K^{k})\right){{{\overline {\Lambda }}^{'}}^{k}}_{j}\wedge {{\overline {\Lambda }}^{0}}_{j}={{\overline {\Lambda }}^{i}}_{0}={{{\overline {\Lambda }}^{'}}^{0}}_{j}={{{\overline {\Lambda }}^{'}}^{k}}_{0}=0\wedge {{\overline {\Lambda }}^{0}}_{0}={{{\overline {\Lambda }}^{'}}^{0}}_{0}=\lambda$

(15.33)

Gdzie $n-1\;$ to wymiar przestrzeni zwykłej. Ale zachodzi dla (15.33) podobnie jak dla (15.31) jest (15.32) analogiczne równanie:

$0=\sum _{kj}{{{\overline {\Lambda }}^{'}}^{k}}_{j}{u^{'}}^{j}\;$

(15.34)

Układy globalnie (lokalnie) płaskie o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości nie istnieją fizycznie, ale istnieją matematycznie, bo przejście z nich do układów słabozakrzywionych, które istnieją fizycznie, o macierzy transformacji (15.31) jest funkcją uogólnioną przy zachodzącym (22.7) (szczególna teoria względności) i (22.9) (mechanika Newtona) spełnione dla układów co najwyżej słabozakrzywionych (co jest definicją tych układów), ale jak nie założymy już, że zachodzi to, to układy globalnie (lokalnie) płaskie o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości jednak istnieją fizycznie, a wtedy macierz transformacji nie jest wtedy w postaci (15.31) i nie jest funkcją uogólnioną, w takim razie wtedy nie rozpatrujemy zatem układów ani globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych, tylko układy zakrzywione, bo w nich nie zachodzą omawiane warunki dla układów słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich dla tych teorii fizycznych rozpatrywanych tutaj. W układach słabozakrzywionych po przejściu od układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości macierz transformacji, gdyby nie była funkcją uogólnioną, to wszystkie pochodne wielkości fizycznych byłyby równe w przybliżeniu zero w układach słabozakrzywionych wynikające z globalnie (lokalnie) stałego tensora prędkości w układach globalnie (lokalnie) płaskich, a tak nie może być, a więc tam macierz jest funkcją uogólnioną, czyli możemy ją przedstawić w postaci (15.31). Macierz odwrotna do macierzy transformacji ${{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\gamma }\;$ ((15.31)), czyli ${{\Lambda }^{\mu }}_{\gamma }=\left({{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\gamma }\right)^{-1}\;$, z definicji macierzy odwrotnej jest funkcją uogólnioną (dystrybucją).

Równoległość prędkości w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości a ogólna nierównoległość w układach słabozakrzywionych

Tensor ${\overline {u}}^{\mu }\;$ jest dla układu słabozakrzywionego, a tensor $u^{\nu }\;$ jest dla układu globalnie (lokalnie) płaskiego, ale w układzie globalnie (lokalnie) płaskim zachodzą dla dwóch dowolnych prędkości ${\vec {u}}_{1}||{\vec {u}}_{2}\;$, gdzie na podstawie (20.6) są: ${\vec {u}}_{1}=u_{1}^{i}={{\gamma } \over {c}}{\vec {v}}_{1}\;$ i ${\vec {u}}_{2}=u_{2}^{i}={{\gamma } \over {c}}{\vec {v}}_{2}\;$, co tutaj jest spełniona przechodniość macierzy transformacji dla układów globalnie (lokalnie) płaskich, a w układzie słabozakrzywionym już ${\vec {\overline {u}}}_{1}\;$ ogólnie nie jest równoległe do ${\vec {\overline {u}}}_{2}\;$, gdzie na podstawie (20.6) i teorii układów słabozakrzywionych, tzn. (16.6), mamy dokładnie: ${\vec {\overline {u}}}_{1}={\overline {u}}_{1}^{i}={{\overline {\gamma }} \over {\overline {c}}}{\vec {\overline {v}}}_{1}\;$ i ${\vec {\overline {u}}}_{2}={\overline {u}}_{2}^{i}={{\overline {\gamma }} \over {\overline {c}}}{\vec {\overline {v}}}_{2}\;$.