Szczególna teoria względności/Transformacje prędkości - początek rozważań

Transformacje prędkości - początek rozważań

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Spis treści
1Wynikające wnioski z transformacji prędkości od układu odniesienia K do K' do obliczeń pierwszego i drugiego rozwiązania m00 z minusem i plusem, a jednakowość prędkości światła we wszystkich układach odniesienia 2Wynikające wnioski z transformacji prędkości ze starego układu odniesienia do nowego do obliczeń prędkości starego układu współrzędnych względem nowego w szczególnej teorii względności

Tutaj będziemy udowodniali niektóre wnioski z transformacji prędkości z układu K do K'.

Wynikające wnioski z transformacji prędkości od układu odniesienia K do K' do obliczeń pierwszego i drugiego rozwiązania m⁰₀ z minusem i plusem, a jednakowość prędkości światła we wszystkich układach odniesienia

Prędkość w układzie K' względem układu K jest liczona jako pochodna zupełna wielkości (2.12) względem czasu w nowym układzie współrzędnych (2.5):

${\vec {v}}^{'}={{M_{p}({\vec {v}}-{\vec {V}})} \over {{m^{0}}_{0}+{{M_{0x}{\vec {v}}} \over {c}}}}\;$

(7.1)

• gdzie:

${\vec {v}}^{'}\;$ - jest to prędkość ciała względem układu K'.

${\vec {v}}\;$ - jest to prędkość ciała w układzie K.

Ale idąc dalej, ${\vec {V}}\;$ jest to prędkość nowego układu współrzędnych względem starego.

Macierz iloczynu skalarnego w nowym i starym układzie odniesienia obowiązującego w przestrzeni n-wymiarowej jest macierzą wyrażoną wzorem:

$A=[a_{ij}]_{nn}\wedge A^{'}=[a_{ij}^{'}]_{nn}\;$

(7.2)

Natomiast długość pewnego wektora w nowym i starym układzie odniesienia w tej przestrzeni wyrażamy za pomocą iloczynu skalarnego, przedstawia się jako:

$v^{2}={\vec {v}}^{T}A{\vec {v}}\wedge v^{'2}={\vec {v}}^{'T}A^{'}{\vec {v}}^{'}\;$

(7.3)

Jeśli wykorzystamy definicję iloczynu skalarnego (7.3) i samą transformację (7.1), wtedy wzór na wartość prędkości w nowym układu odniesienia piszemy:

$v'^{2}={{({\vec {v}}-{\vec {V}})^{T}M_{p}^{T}A^{'}M_{p}({\vec {v}}-{\vec {V}})} \over {{\left({{m^{0}}_{0}+{{M_{0x}{\vec {v}}} \over {c}}}\right)}^{2}}}\;$

(7.4)

W tożsamości (7.4) możemy pomnożyć obustronnie przez mianownik prawego ułamka w tym obiekcie przy założeniu, że $|{\vec {v}}|=c\;$ i $|{\vec {v}}^{'}|=c\;$:

$c^{2}\left(({m^{0}}_{0})^{2}+2{m^{0}}_{0}{{M_{0x}{\vec {c}}} \over {c}}+\left({{M_{0x}{\vec {c}}} \over {c}}\right)^{2}\right)=\gamma ^{2}(c^{2}\cos ^{2}\alpha +V^{2}-2({\vec {c}},{\vec {V}}))+c^{2}\sin ^{2}\alpha \;$

(7.5)

Weźmy w równości (7.5) zamienienie według schematu ${\vec {c}}\rightarrow -{\vec {c}}\;$, tak powstały układ równań, którego równości dodajmy i odejmijmy od siebie, wtedy mamy w rezultacie dwa końcowe równania po dokonaniu tejże operacji. Te równania wyglądają:

$c^{2}\left({{M_{0x}{\vec {c}}} \over {c}}\right){m^{0}}_{0}=-\gamma ^{2}({\vec {c}},{\vec {V}})\;$

(7.6)

$c^{2}\left[({m^{0}}_{0})^{2}+\left({{M_{0x}{\vec {c}}} \over {c}}\right)^{2}\right]=\gamma ^{2}\left(c^{2}\cos ^{2}\alpha +V^{2}\right)+c^{2}\sin ^{2}\alpha \;$

(7.7)

Weźmy ${\vec {c}}=(0,0,...,c^{j},..,0)\;$, czyli powiemy:

$c^{2}{m^{0}}_{j}c{m^{0}}_{0}=-c\gamma ^{2}\sum _{i}ca_{ij}V^{i}\Rightarrow c^{2}{m^{0}}_{j}{m^{0}}_{0}=-c\gamma ^{2}\sum _{i}a_{ij}V^{i}\;$

(7.8)

Mnożymy obie strony równania (7.8) przez prędkość ciała v^j, i wykorzystując definicję iloczynu skalarnego, wtedy możemy napisać:

$c^{2}\sum _{j}{m^{0}}_{j}v^{j}{m^{0}}_{0}=-c\gamma ^{2}\sum _{ij}V^{i}a_{ij}v^{j}\Rightarrow {{\sum _{j}m_{j}^{0}v^{j}} \over {c}}{m^{0}}_{0}=-\gamma ^{2}{{({\vec {v}},{\vec {V}})} \over {c^{2}}}\Rightarrow {{\sum _{j}{m^{0}}_{j}v^{j}} \over {c}}=-{{\gamma ^{2}} \over {{m^{0}}_{0}}}{{({\vec {v}},{\vec {V}})} \over {c^{2}}}\;$

(7.9)

Jeśli dla i-tej współrzędnej mamy v^j=c, a dla pozostałych współrzędnych oczywiście jest v^j=0, bo prędkość światła wynosi c wedle wzoru $|v|={\sqrt {\sum _{ij}v^{i}a_{ij}v^{j}}}\;$ dla przestrzeni n-wymiarowej:

${{{m^{0}}_{j}c^{j}} \over {c}}=-{{\gamma ^{2}} \over {{m^{0}}_{0}}}{{\sum _{i}V^{i}a_{ij}c^{j}} \over {c^{2}}}\Rightarrow {m^{0}}_{j}=-{{\gamma ^{2}} \over {{m^{0}}_{0}}}{{\sum _{i}V^{i}a_{ij}} \over {c}}=-{{\gamma ^{2}} \over {c{m^{0}}_{0}}}{\vec {V}}^{T}A\;$

(7.10)

Zajmijmy się teraz równaniem (7.7) podstawiając do niego wyprowadzoną tożsamość (7.10) przy założeniu ${\vec {V}}||{\vec {c}}\;$ wtedy $\cos ^{2}\alpha =1\wedge \sin ^{2}\alpha =0\;$, w takim przypadku mamy równanie poniżej, w którym pomnożymy obustronnie przez wyrażenie m⁰₀²:

$c^{2}\left[\left({m^{0}}_{0}\right)^{2}+{{\gamma ^{4}} \over {(m_{0}^{0})^{2}}}{{V^{2}} \over {c^{2}}}\right]=\gamma ^{2}\left(c^{2}+V^{2}\right)\Rightarrow c^{2}\left(({m^{0}}_{0})^{4}+\gamma ^{4}{{V^{2}} \over {c^{2}}}\right)=\gamma ^{2}({m^{0}}_{0})^{2}\left(c^{2}+V^{2}\right)\;$

(7.11)

W równości (7.11) przegrupujmy wyrazy względem m₀₀, w taki sposób by otrzymać równanie kwadratowe:

$c^{2}({m^{0}}_{0})^{4}-({m^{0}}_{0})^{2}\gamma ^{2}\left(c^{2}+V^{2}\right)+\gamma ^{4}V^{2}=0\;$

(7.12)

Jeśli w (7.12) potraktować $({m^{0}}_{0})^{2}=t$, wtedy wyróżnik trójmianu powyższego równania kwadratowego jest:

$\Delta =\gamma ^{4}\left(c^{2}+V^{2}\right)^{2}-4c^{2}\gamma ^{4}V^{2}=\gamma ^{4}(c^{4}+V^{4}+2c^{2}V^{2})-4c^{2}\gamma V^{2}=\gamma ^{4}(c^{4}+V^{4}-2c^{2}V^{2})=\gamma ^{4}(c^{2}-V^{2})^{2}\;$

(7.13)

Zatem pierwiastki równania (7.12) są:

$({m^{0}}_{0})^{2}={{\gamma ^{2}(c^{2}+V^{2})\pm \gamma ^{2}|c^{2}-V^{2}|} \over {2c^{2}}}={\begin{cases}{{\gamma ^{2}(c^{2}+V^{2})+\gamma ^{2}(c^{2}-V^{2})} \over {2c^{2}}}={{2\gamma ^{2}c^{2}} \over {2c^{2}}}=\gamma ^{2}\Rightarrow {m^{0}}_{0}=\pm \gamma \\{{\gamma ^{2}(c^{2}+V^{2})-\gamma ^{2}(c^{2}-V^{2})} \over {2c^{2}}}={{2\gamma ^{2}V^{2}} \over {2c^{2}}}=\gamma ^{2}{{V^{2}} \over {c^{2}}}\Rightarrow {m^{0}}_{0}=\pm \gamma {{V} \over {c}}\end{cases}}\;$

(7.14)

Wynikające wnioski z transformacji prędkości ze starego układu odniesienia do nowego do obliczeń prędkości starego układu współrzędnych względem nowego w szczególnej teorii względności

Równanie transformacyjne prędkości ciała względem starego układu współrzędnych na nowe jest wyrażone wzorem (7.1), co po podstawieniu do niego tożsamości (7.10) otrzymujemy tożsamość:

${\vec {v}}^{'}={{M_{p}({\vec {v}}-{\vec {V}})} \over {{m^{0}}_{0}-{{\gamma ^{2}} \over {{m^{0}}_{0}}}{{({\vec {v}},{\vec {V}})} \over {c^{2}}}}}\;$

(7.15)

Ze wzoru (7.15) możemy wyprowadzić prędkość starego układu współrzędnych względem nowego:

${\vec {V}}'=-{{M_{p}{\vec {V}}} \over {{m^{0}}_{0}}}\;$

(7.16)

Pierwszego rozwiązania (ze znakiem minus, czyli $m_{00}=-\gamma )\;$) i drugiego rozwiązania, w (7.14), we wzorze (7.16) nie będziemy wykorzystywali, bo jak udowodnimy później jest to rozwiązanie bezsensowne, dlatego że nie otrzymujemy tego, co chcielibyśmy. Prędkość starego układu odniesienia względem nowego, według (7.16) przy rozwiązaniu $m_{00}=\gamma$, w zależności od prędkości nowego układu odniesienia względem starego, jest:

${\vec {V}}^{'}=-{{M_{p||}{\vec {V}}} \over {\gamma }}=-{{\gamma C_{p||}{\vec {V}}} \over {\gamma }}=-C_{p||}{\vec {V}}=-C_{p}{\vec {V}}\Rightarrow {\vec {V}}^{'}=-C_{p}{\vec {V}}\;$

(7.17)

Stąd wzór na prędkość starego układu odniesienia względem nowego (7.17) w szczególnej teorii względności jest taki sam jak w transformacji Galileusza w mechanice Newtona (4.7). Stary układ odniesienia względem nowego porusza się w stronę przeciwną niż nowy układ odniesienia względem starego, co to widać po znaku minus we wzorze (7.17). A wartość prędkości starego układu odniesienia względem nowego na podstawie transformacji macierzy iloczynu skalarnego przestrzeni zwykłej (4.1) przedstawia się:

$V^{'2}=({\vec {V}}^{'},{\vec {V}}^{'})={\vec {V}}^{T}C_{p}^{T}A^{'}C_{p}{\vec {V}}={\vec {V}}^{T}A{\vec {V}}=V^{2}\Rightarrow V^{'2}=V^{2}\Rightarrow V^{'}=V\;$

(7.18)

Zatem prędkość starego układu odniesienia względem nowego i prędkość nowego układu współrzędnych względem starego na podstawie (7.18) są co do wartości sobie równe. Parametr $\gamma \;$ zależy tylko od wartości prędkości nowego układu odniesienia względem starego i parametr $\gamma ^{'}\;$ zależy tylko od wartości prędkości starego układu odniesienia względem nowego kolejno w transformacji prostej i transformacji odwrotnej wzdłuż wyróżnionego kierunku tych transformacji, stąd na podstawie zachodzącej równości końcowej (7.18):

$\gamma ^{'}=\gamma ^{'}(V^{'})=\gamma ^{'}(V)=\gamma (V)=\gamma \Rightarrow \gamma ^{'}=\gamma \;$

(7.19)