Szczególna teoria względności/Transformacje macierzy transformacji Einsteina i Newtona, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione

Transformacje macierzy transformacji Einsteina i Newtona, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Tutaj będziemy zajmowali się macierzami transformacji w transformacjach Galileusza w mechanice Newtona i transformacjach Lorentza w szczególnej teorii względności.

Nazewnictwo transformacji w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona

Transformacje w teorii fizycznej są to transformacje transformujące współrzędne z jednego układu współrzędnych do drugiego. Transformacje w szczególnej teorii względności nazywają się transformacjami Lorentza , a transformacje w mechanice Newtona transformacjami Galileusza . Transformacje Lorentza dla prędkości $v\ll c\;$ przechodzą w transformacje Galileusza.

Macierz ogólna transformacji prosta i odwrotna

Podamy tutaj macierze transformacji prostą i odwrotną w teorii transformacji Lorenzta (szczególna teoria względności) i Galileusza (mechanika Newtona).

Teoria transformacji Lorentza

Będziemy tutaj liczyli macierze transformacji w układach globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych.

Układy globalnie (lokalnie) płaskie

Spójrzmy na macierz transformacji ze starego układu odniesienia do nowego, wiedząc to co wcześniej wyprowadziliśmy w punktach (6.2) i (7.10) przy wykorzystaniu pierwszej równości końcowej (7.14):

$M={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma {{V^{i}a_{i1}} \over {c}}&-\gamma {{V^{i}a_{i2}} \over {c}}&\cdots &-\gamma {{V^{i}a_{in}} \over {c}}\\-\sum _{i=1}^{n}m_{1j}{V^{j} \over c}&{m^{1}}_{1}&{m^{1}}_{2}&\cdots &{m^{1}}_{n}\\-\sum _{i=1}^{n}m_{2j}{V^{j} \over c}&{m^{2}}_{1}&{m^{2}}_{2}&\cdots &{m^{2}}_{n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-\sum _{i=1}^{n}m_{nj}{V^{j} \over c}&{m^{n}}_{1}&{m^{n}}_{2}&\cdots &{m^{n}}_{n}\\\end{bmatrix}}\;$

(11.1)

lub krócej używając macierzy M_p i wektora prędkości nowego układu współrzędnych:

$M={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma {{{\vec {V}}^{T}} \over {c}}A\\-M_{p}{{\vec {V}} \over {c}}&M_{p}\end{bmatrix}}\;$ gdzie: $M_{p}={\begin{bmatrix}{m^{1}}_{1}&{m^{1}}_{2}&\cdots &{m^{1}}_{n}\\{m^{2}}_{1}&{m^{2}}_{2}&\cdots &{m^{2}}_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{m^{n}}_{1}&{m^{n}}_{2}&\cdots &{m^{n}}_{n}\\\end{bmatrix}}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow M_{p}=C_{p}\left(P_{||}\gamma +P_{\perp }\right)=C_{p}\left[P_{||}(\gamma -1)+I\right]=\left[C_{pik}\left({{V_{k}V_{l}} \over {V^{2}}}a_{lj}(\gamma -1)+\delta _{kj}\right)\right]_{n\times n}\;$

(11.2)

Macierz odwrotna do (11.2) piszemy poprzez analogię do niego jako:

$M^{-1}=M^{'}={\begin{bmatrix}\gamma ^{'}&-\gamma ^{'}{{{\vec {V^{'}}}^{T}} \over {c}}A^{'}\\-M_{p}^{'}{{\vec {V^{'}}} \over {c}}&M_{p}^{'}\end{bmatrix}}\;$

(11.3)

Policzmy iloczyn macierzy na $M\;$ (11.2) przez macierz $M^{'}\;$ (11.3) wiedząc, że zachodzi (3.7), (4.1), (4.16), (5.1), (7.17), (7.18), (7.19), (8.2) i (8.3), a więc:

$MM^{'}={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma {{{\vec {V}}^{T}} \over {c}}A\\-M_{p}{{\vec {V}} \over {c}}&M_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\gamma ^{'}&-\gamma ^{'}{{{\vec {V^{'}}}^{T}} \over {c}}A^{'}\\-M_{p}^{'}{{\vec {V^{'}}} \over {c}}&M_{p}^{'}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma ^{2}-\gamma ^{2}{{{\vec {V}}^{T}} \over {c}}A{{\vec {V}} \over {c}}&\gamma ^{2}{{{\vec {V}}^{T}} \over {c}}C_{p}^{T}A^{'}-\gamma ^{2}{{{\vec {V}}^{T}} \over {c}}AC_{p}^{-1}\\-M_{p}{{\vec {V}} \over {c}}\gamma +M_{p}\gamma C_{p||}^{'}C_{p||}{{\vec {V}} \over {c}}&-\gamma M_{p}{{{\vec {V}}{\vec {V}}^{T}} \over {c^{2}}}C_{p}^{T}A^{'}+M_{p}M_{p}^{'}\end{bmatrix}}=\;$
$={\begin{bmatrix}1&0\\-M_{p}{{\vec {V}} \over {c}}\gamma +\gamma M_{p}{{\vec {V}} \over {c}}&-\gamma M_{p}P_{||}C_{p}^{'}{{V^{2}} \over {c^{2}}}+M_{p}M_{p}^{'}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-\gamma ^{2}C_{p||}C_{p||}^{'}{{V^{2}} \over {c^{2}}}+\gamma ^{2}C_{p||}C_{p||}^{'}+C_{p\perp }C_{p\perp }^{'}\end{bmatrix}}=\;$
$={\begin{bmatrix}1&0\\0&C_{p||}C_{p||}^{'}+C_{p\perp }C_{p\perp }^{'}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&I\end{bmatrix}}=I\Rightarrow MM^{'}=I\Rightarrow M^{'}=M^{-1}\;$

(11.4)

Na podstawie (11.4) macierz (11.3) jest macierzą odwrotną do (11.2). Ale ponieważ powinno zachodzić, że macierz $M\;$ (11.2) jest odwrotną macierzą do (11.3), tzn. $MM^{'}=I\;$ to według (11.4) zachodzi zawsze w szczególnej teorii względności to (4.1) (tzn. $A=C_{p}^{T}A^{'}C_{p}\;$) bez założenia $\gamma ^{'}=\gamma \;$ (7.19), które w (11.4) przyjęto, a z takiej transformacji macierzy iloczynu skalarnego przestrzeni zwykłej wynika to założenie, ta transformacja jest taka, bo prędkość nowego układu odniesienia w szczególnej teorii względności względem starego jest dowolna, tzn. $v<c\;$, co kończy dowód tej zależności. Ten dowód też można pokazać inaczej:

$MM^{'}={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma {{{\vec {V}}^{T}} \over {c}}A\\-M_{p}{{\vec {V}} \over {c}}&M_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\gamma ^{'}&-\gamma ^{'}{{{\vec {V^{'}}}^{T}} \over {c}}A^{'}\\-M_{p}^{'}{{\vec {V^{'}}} \over {c}}&M_{p}^{'}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma \gamma ^{'}-\gamma \gamma ^{'}{{{\vec {V}}^{T}} \over {c}}A{{\vec {V}} \over {c}}&\gamma \gamma ^{'}{{{\vec {V}}^{T}} \over {c}}C_{p}^{T}A^{'}-\gamma \gamma ^{'}{{{\vec {V}}^{T}} \over {c}}AC_{p}^{-1}\\-M_{p}{{\vec {V}} \over {c}}\gamma ^{'}+M_{p}\gamma ^{'}C_{p||}^{'}C_{p||}{{\vec {V}} \over {c}}&-\gamma ^{'}M_{p}{{{\vec {V}}{\vec {V}}^{T}} \over {c^{2}}}C_{p}^{T}A^{'}+M_{p}M_{p}^{'}\end{bmatrix}}$

(11.5)

Aby wyraz $1\times 2\;$ w ostatniej macierzy w (11.5) (macierz po ostatniej równości) był dokładnie równy zero przy dowolnym wektorze prędkości ${\vec {V}}\;$ nowego układu odniesienia względem starego to musi zachodzić (4.1) (wzór, czyli transformacja w tym przypadku, po ostatnim wynikaniu) jak transformacja macierzy iloczynu skalarnego w przestrzeni z czasem absolutnym, ale wtedy zachodzi (7.18), co na podstawie tego mamy (7.19), dalej dowód w (11.5) przebiega tak samo jak w (11.4), zatem $MM^{'}=I\Rightarrow M^{'}=M^{-1}\;$. Co kończy dowód przy innym podejściu czemu jest równa macierz transformacji $M^{'}\;$ (primowana) (przejścia z układu nowego do starego znając macierz transformacji przejścia z układu starego do nowego). Udowodnijmy, czy układy globalnie (lokalnie) płaskie mogą być inercjalne na podstawie przedstawienia macierzy dla tego układu (11.2), wtedy dla ciała odniesienia zachodzi ${\vec {X}}_{pu}^{'}={\vec {0}}\;$ (położenie ciała odniesienia) w nowym układzie odniesienia oraz ${\vec {X}}_{pu}\;$ (położenie ciała odniesienia w chwili $t\;$) i ${\vec {X}}_{p0}\;$ (położenie ciała odniesienia dla $t=t_{0}\;$) w starym układzie odniesienia:

$X_{u}^{'}=M(X_{u}-X_{0})\Rightarrow {\begin{bmatrix}ct^{'}\\{\vec {0}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\overline {\gamma }}&-\gamma {{{\vec {V}}^{T}} \over {c}}A\\-M_{p}{{\vec {V}} \over {c}}&M_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c(t-t_{0})\\{\vec {X}}_{pu}-{\vec {X}}_{p0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma \left(c\left(t-t_{0}\right)-{{\left({\vec {V}},{\vec {X}}_{pu}-{\vec {X}}_{p0}\right)} \over {c}}\right)\\M_{p}\left({\vec {X}}_{pu}-{\vec {V}}(t-t_{0})-{\vec {X}}_{p0}\right)\end{bmatrix}}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow t^{'}=\gamma \left((t-t_{0})-{{\left({\vec {V}},{\vec {X}}_{pu}-{\vec {X}}_{p0}\right)} \over {c^{2}}}\right)\wedge {\vec {X}}_{pu}={\vec {V}}(t-t_{0})+{\vec {X}}_{p0}\wedge \wedge X_{p}^{'}=M_{p}\left({\vec {X}}_{p}-{\vec {V}}(t-t_{0})-{\vec {X}}_{p0}\right)$

(11.6)

• A transformacje położenia w (11.6) piszemy, zastępując ${\vec {\overline {X}}}_{pu}\;$ przez ${\vec {\overline {X}}}_{p}\;$ i ${\vec {\overline {0}}}\;$ przez ${\vec {\overline {X}}}_{p}^{'}\;$.

W transformacjach Lorentza w szczególnej teorii względności (kinematyka) w punkcie (11.6) według drugiego wzoru istnieją matematycznie układy inercjalne globalnie (lokalnie) płaskie, a według pierwszego wzoru mamy wzór na transformację czasu dla ciała odniesienia w nich.

Układy słabozakrzywione

Weźmy macierz transformacji $M\;$ (11.2) z układów globalnie (lokalnie) płaskich do słabozakrzywionych, wtedy do dowodu macierzy transformacji ${\overline {M}}\;$ stosujemy wzory (10.4), (10.6), (10.11), (10.12) i (10.15), w takim razie:

${\overline {M}}={\begin{bmatrix}\lambda ^{'}&0\\0&{\overline {\Lambda }}_{p}^{'}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma {{{\vec {V}}^{T}} \over {c}}A\\-M_{p}{{\vec {V}} \over {c}}&M_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda &0\\0&{\overline {\Lambda }}_{p}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\lambda ^{'}\gamma &-\lambda ^{'}\gamma {{{\vec {V}}^{T}} \over {c}}A\\-{\overline {\Lambda }}_{p}^{'}M_{p}{{\vec {V}} \over {c}}&{\overline {\Lambda }}_{p}^{'}M_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda ^{-1}&0\\0&{\overline {\Lambda }}_{p}^{-1}\end{bmatrix}}=\;$
$={\begin{bmatrix}\lambda ^{'}\lambda ^{-1}\gamma &-\lambda ^{'}\gamma {{{\vec {V}}^{T}} \over {c}}A{\overline {\Lambda }}^{-1}\\-\lambda ^{-1}{\overline {\Lambda }}_{p}^{'}M_{p}{{\vec {V}} \over {c}}&{\overline {\Lambda }}_{p}^{'}M_{p}{\overline {\Lambda }}^{-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda ^{'}\lambda ^{-1}\gamma &-\lambda ^{'}\gamma {{{\vec {V}}^{T}} \over {c}}{\overline {\Lambda }}^{T}{\overline {A}}\\-\lambda ^{-1}{\overline {\Lambda }}_{p}^{'}C_{p}{\overline {\Lambda }}_{p}^{-1}{\overline {\Lambda }}_{p}(\gamma P_{||}+P_{\perp }){\overline {\Lambda }}_{p}^{-1}{\overline {\Lambda }}_{p}{{\vec {V}} \over {c}}&{\overline {\Lambda }}_{p}^{'}C_{p}{\overline {\Lambda }}_{p}^{-1}{\overline {\Lambda }}_{p}(\gamma P_{||}+P_{\perp }){\overline {\Lambda }}^{-1}\end{bmatrix}}=\;$
$={\begin{bmatrix}\lambda ^{'}\lambda ^{-1}{\overline {\gamma }}&-\lambda ^{'}\lambda {\overline {\gamma }}{{{\vec {\overline {V}}}^{T}} \over {c}}{\overline {A}}\\-{\overline {M}}_{p}{{\vec {\overline {V}}} \over {c}}&{\overline {C}}_{p}({\overline {\overline {\gamma }}}{\overline {P}}_{||}+{\overline {P}}_{\perp })\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\overline {\lambda }}^{'}\lambda ^{-1}\gamma &-\lambda ^{'}\lambda {\overline {\gamma }}{{{\vec {\overline {V}}}^{T}} \over {c}}{\overline {A}}\\-{\overline {M}}_{p}{{\vec {\overline {V}}} \over {c}}&{\overline {M}}_{p}\end{bmatrix}}\Rightarrow {\overline {M}}={\begin{bmatrix}\lambda ^{'}\lambda ^{-1}{\overline {\gamma }}&-\lambda ^{'}\lambda {\overline {\gamma }}{{{\vec {\overline {V}}}^{T}} \over {c}}{\overline {A}}\\-{\overline {M}}_{p}{{\vec {\overline {V}}} \over {c}}&{\overline {M}}_{p}\end{bmatrix}}\;$

(11.7)

Macierz transformacji (11.7) transformujący pomiędzy układami słabozakrzywionymi ma taką samą postać, co pomiędzy układami globalnie (lokalnie) płaskimi (11.2). Zachodzi dla macierzy ${\overline {M}}\;$, tzn.:

${\overline {M}}{\overline {M}}^{-1}={\overline {\Lambda }}^{'}M{\overline {\Lambda }}^{-1}\left({\overline {\Lambda }}^{'}M{\overline {\Lambda }}^{-1}\right)^{-1}={\overline {\Lambda }}^{'}M{\overline {\Lambda }}^{-1}{\overline {\Lambda }}M^{-1}{{\overline {\Lambda }}^{'}}^{-1}={\overline {\Lambda }}^{'}MM^{-1}{{\overline {\Lambda }}^{'}}^{-1}={\overline {\Lambda }}^{'}{{\overline {\Lambda }}^{'}}^{-1}=I\;$

(11.8)

z właściwości macierzy ${\overline {\Lambda }}\;$, tzn. macierzy (10.1), i macierzy $M\;$ (11.2). Udowodnijmy, czy układy słabozakrzywione mogą być inercjalne na podstawie przedstawienia macierzy dla tego układu (11.7), wtedy dla ciała odniesienia zachodzi ${\vec {\overline {X}}}_{pu}^{'}={\vec {0}}\;$ (położenie ciała odniesienia) w nowym układzie odniesienia oraz ${\vec {\overline {X}}}_{pu}\;$ (położenie ciała odniesienia w chwili ${\overline {t}}\;$) i ${\vec {\overline {X}}}_{p0}\;$ (położenie ciała odniesienia dla ${\overline {t}}={\overline {t}}_{0}\;$) w starym układzie odniesienia:

${\overline {X}}_{u}^{'}={\overline {M}}({\overline {X}}_{u}-{\overline {X}}_{0})\Rightarrow {\begin{bmatrix}c{\overline {t}}^{'}\\{\vec {\overline {0}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda ^{'}\lambda ^{-1}{\overline {\gamma }}&-\lambda ^{'}\lambda {\overline {\gamma }}{{{\vec {\overline {V}}}^{T}} \over {c}}{\overline {A}}\\-{\overline {M}}_{p}{{\vec {\overline {V}}} \over {c}}&{\overline {M}}_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c({\overline {t}}-{\overline {t}}_{0})\\{\vec {\overline {X}}}_{pu}-{\vec {\overline {X}}}_{p0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\overline {\gamma }}\left(\lambda ^{'}\lambda ^{-1}c\left({\overline {t}}-{\overline {t}}_{0}\right)-\lambda ^{'}\lambda {{\left({\vec {\overline {V}}},{\vec {X}}_{pu}-{\vec {\overline {X}}}_{p0}\right)} \over {c}}\right)\\{\overline {M}}_{p}\left({\vec {\overline {X}}}_{pu}-{\vec {\overline {V}}}({\overline {t}}-{\overline {t}}_{0})-{\vec {\overline {X}}}_{p0}\right)\end{bmatrix}}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {\overline {t}}^{'}={\overline {\gamma }}\left(\lambda ^{'}\lambda ^{-1}({\overline {t}}-{\overline {t}}_{0})-\lambda ^{'}\lambda {{\left({\vec {\overline {V}}},{\vec {\overline {X}}}_{pu}-{\vec {\overline {X}}}_{p0}\right)} \over {c^{2}}}\right)\wedge {\vec {\overline {X}}}_{pu}={\vec {\overline {V}}}({\overline {t}}-{\overline {t}}_{0})+{\vec {\overline {X}}}_{p0}\wedge {\overline {X}}_{p}^{'}=M_{p}\left({\vec {\overline {X}}}_{p}-{\vec {\overline {V}}}({\overline {t}}-{\overline {t}}_{0})-{\vec {\overline {X}}}_{p0}\right)$

(11.9)

• A transformacje położenia w (11.9) piszemy, zastępując ${\vec {\overline {X}}}_{pu}\;$ przez ${\vec {\overline {X}}}_{p}\;$ i ${\vec {\overline {0}}}\;$ przez ${\vec {\overline {X}}}_{p}^{'}\;$.

W transformacjach Lorentza w szczególnej teorii względności (kinematyka) w punkcie (11.9) według drugiego wzoru układy inercjalne słabozakrzywione istnieją fizycznie i czas dla ciała odniesienia w nich transformuje się według wzoru pierwszego. Ruch po prostej ciała odniesienia w starym układzie odniesienia (drugi wzór) i transformację czasu (pierwszy wzór) w (11.9) przedstawiamy na podstawie ich wersji w układach globalnie (lokalnie) płaskich (11.6) według transformacji od układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego (10.3) korzystając z macierzy transformacji (10.1), co stąd wynikającego wniosku (10.4).

• Pewne rozważanie:

Zdefiniujmy nowy czas w nowym i starym układzie odniesienia w postaci formuł:

${\overline {t}}^{'}=\lambda ^{'}{\overline {\overline {t}}}^{'}\;$

(11.10)

$\lambda ^{-1}{\overline {t}}={\overline {\overline {t}}}\;$

(11.11)

czyli mamy ogólną transformację czasów w ukłasach słabozakrzywionych jako:

${\overline {\overline {t}}}=\lambda ^{-1}{\overline {t}}\;$

(11.12)

Czyli po transformacji czasów i prędkości (definicja prędkości zawiera też czas, czyli ta transformacja jest: ${\vec {\overline {\overline {V}}}}=\lambda {\vec {\overline {V}}}\;$) według (11.12) otrzymujemy transformacje czasu i położenia z starego układu odniesienia do układu nowego, jeżeli oba układy są słabozakrzywione, taką samą jak te transformacje pomiędzy układami globalnie (lokalnie) płaskimi dla szczególnej teorii względności, czyli transformacje dla macierzy transformacji (11.2). Gdy $\lambda ^{'}=\lambda =1\;$ w macierzy transformacji (11.7) to transformację są takie same jakie wyprowadził je Albert Einstein.

• Rozważmy inaczej!

Weźmy transformację prędkości światła $c\;$ z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego wiedząc, że długości wektorów w przestrzeni zwykłej się nie transformują przy takiej transformacji (bo (10.9)) i mając transformację czasu z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego (pierwszy związek końcowy w (10.4)), wtedy mamy transformację:

${\overline {c}}=\lambda ^{-1}c\;$

(11.13)

• Na podstawie (11.13) prędkość światła jest inna dla różnych $\lambda \;$ (ten obiekt jest funkcją będącą liczbą uogólnioną), i dla różnych części naszego wszechświata może być tak, że prędkość światła ${\overline {c}}\;$ jest ogólnie inna, czyli ta prędkość światła nie jest stałą, tylko jest funkcją.

Wtedy transformacja czasu z układu jednego inercjalnego do drugiego, słabozakrzywonych na podstawie (11.9), przedstawia się ona:

${\overline {t}}^{'}={\overline {\gamma }}\left(\lambda ^{'}\lambda ^{-1}({\overline {t}}-{\overline {t}}_{0})-\lambda ^{'}\lambda ^{-1}{{\left({\vec {\overline {V}}},{\vec {\overline {X}}}_{pu}-{\vec {\overline {X}}}_{p0}\right)} \over {{\overline {c}}^{2}}}\right)\;$

(11.14)

Weźmy zależność $\lambda =\lambda ^{'}\;$^{[Patrz: 11.1]}, w takim razie transformacja (11.14) przy tym założeniu przedstawia się jak dla układu globalnie (lokalnie) płaskiego szczególnej teorii względności, i prędkość światła w nowym i starym układzie odniesienia w danym punkcie jest taka sama (bo nasze założenie), a także może zmieniać się z punktu do punktu, ale nie jest taka sama dokładnie we całym wszechświecie (bo (11.13)), a w przybliżeniu w obu układach ma taką samą wartość, a macierz transformacji z jednego układu słabozakrzywionego do drugiego według naszych obliczeń w (11.9) jest w (11.2), taka sama jak tam dla wspomnianego układu.

Teoria transformacji Galileusza

Będziemy tutaj wyliczali macierz transformacji dla układów globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych według transformacji Galileusza.

Układy globalnie (lokalnie) płaskie

Macierz transformacji w porównaniu w transformacjach Lorentza ze szczególnej teorii względności w transformacjach Galileusza wiedząc jaka jest macierz $C_{p}\;$ i prędkość nowego układu odniesienia jest dla prędkości $v\ll c\;$, co dzięki temu przechodząc z jego wersji relatywistycznej do nierelatywistycznej przedstawia się w formie:

$M={\begin{bmatrix}1&0\\-C_{p}{{\vec {V}} \over {c}}&C_{p}\end{bmatrix}}$

(11.15)

Działając macierzą (11.15) na położenie w starym układzie odniesienia otrzymujemy położenie ciała w nowym układzie odniesienia nieobracającym się.

${\begin{bmatrix}cdt^{'}\\d{\vec {r}}^{'}\end{bmatrix}}=M{\begin{bmatrix}cdt\\d{\vec {r}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\-C_{p}{{\vec {V}} \over {c}}&C_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}cdt\\d{\vec {r}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}cdt\\C_{p}(d{\vec {r}}-{\vec {V}}dt)\end{bmatrix}}$

(11.16)

Na podstawie transformacji (11.16) otrzymujemy, że czas jest absolutny i spełnione są transformacje Galileusza (4.2). Odwrotną macierzą transformacji $M^{'}\;$ do macierzy transformacji prostej (11.15) piszemy:

$M^{'}={\begin{bmatrix}1&0\\-C_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&C_{p}^{'}\end{bmatrix}}$

(11.17)

Udowodnijmy, że macierz $M^{'}\;$ (11.17) jest macierzą odwrotną do macierzy $M\;$ (11.15) wykorzystując (4.7) i (4.8), wtedy:

$MM^{'}={\begin{bmatrix}1&0\\-C_{p}{{\vec {V}} \over {c}}&C_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\-C_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&C_{p}^{'}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\-C_{p}{{\vec {V}} \over {c}}-C_{p}C_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&C_{p}C_{p}^{'}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&I\end{bmatrix}}=I$

(11.18)

Stąd na podstawie (11.18) macierz transformacji $M^{'}\;$ (11.17) jest macierzą odwrotną do macierzy $M\;$ (11.15), zatem zachodzi $M^{'}=M^{-1}\;$. Udowodnijmy, czy układy globalnie (lokalnie) płaskie mogą być inercjalne na podstawie przedstawienia macierzy dla tego układu (11.15), wtedy dla ciała odniesienia zachodzi ${\vec {\overline {X}}}_{pu}^{'}={\vec {0}}\;$ (położenie ciała odniesienia) w nowym układzie odniesienia oraz ${\vec {\overline {X}}}_{pu}\;$ (położenie ciała odniesienia w chwili ${\overline {t}}\;$) i ${\vec {\overline {X}}}_{p0}\;$ (położenie ciała odniesienia dla ${\overline {t}}={\overline {t}}_{0}\;$) w starym układzie odniesienia:

$X_{u}^{'}=M(X_{u}-X_{0})\Rightarrow {\begin{bmatrix}ct^{'}\\{\vec {0}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\-C_{p}{{\vec {V}} \over {c}}&C_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c(t-t_{0})\\{\vec {X}}_{pu}-{\vec {X}}_{p0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c(t-t_{0})\\C_{p}\left({\vec {X}}_{pu}-{\vec {V}}(t-t_{0})-{\vec {X}}_{p0}\right)\end{bmatrix}}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow t^{'}=t-t_{0}\wedge {\vec {X}}_{pu}={\vec {V}}(t-t_{0})+{\vec {X}}_{p0}\wedge X_{p}^{'}=C_{p}\left({\vec {X}}_{p}-{\vec {V}}(t-t_{0})-{\vec {X}}_{p0}\right)$

(11.19)

W transformacjach Galileusza w mechanice Newtona (kinematyka) w punkcie (11.19) według drugiego wzoru istnieją matematycznie układy inercjalne globalnie (lokalnie) płaskie, a według pierwszego wzoru mamy wzór na transformację czasu dla ciała odniesienia w nich. Transformację czasu i ruch po prostej ciała odniesienia w starym układzie odniesienia nowego układu współrzędnych w teorii transformacji Galileusza (11.19) wynika ze wzoru (11.6) z teorii transformacji Lorentza dla prędkości $v\ll c\;$.

Układy słabozakrzywione

Weźmy macierz transformacji $M\;$ (11.15) z układów globalnie (lokalnie) płaskich do słabozakrzywionych, wtedy do dowodu macierzy transformacji ${\overline {M}}\;$ stosujemy wzory (10.4), (10.6) i (10.15), w takim razie:

${\overline {M}}={\begin{bmatrix}\lambda ^{'}&0\\0&{\overline {\Lambda }}_{p}^{'}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\-C_{p}{{\vec {V}} \over {c}}&C_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda &0\\0&{\overline {\Lambda }}_{p}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\lambda ^{'}&0\\-{\overline {\Lambda }}_{p}^{'}C_{p}{{\vec {V}} \over {c}}&{\overline {\Lambda }}_{p}^{'}C_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda ^{-1}&0\\0&{\overline {\Lambda }}_{p}^{-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda ^{'}\lambda ^{-1}&0\\-{\overline {\Lambda }}_{p}^{'}C_{p}{\overline {\Lambda }}_{p}^{-1}{\overline {\Lambda }}{{\vec {V}} \over {c}}&{\overline {\Lambda }}_{p}^{'}C_{p}{\overline {\Lambda }}^{-1}\end{bmatrix}}=\;$
$={\begin{bmatrix}\lambda ^{'}\lambda ^{-1}&0\\-{\overline {C}}_{p}{{\vec {\overline {V}}} \over {c}}&{\overline {C}}_{p}\end{bmatrix}}\Rightarrow {\overline {M}}={\begin{bmatrix}\lambda ^{'}\lambda ^{-1}&0\\-{\overline {C}}_{p}{{\vec {\overline {V}}} \over {c}}&{\overline {C}}_{p}\end{bmatrix}}\;$

(11.20)

Macierz transformacji (11.20) transformujący pomiędzy układami słabozakrzywionymi ma taką samą postać, co pomiędzy układami globalnie (lokalnie) płaskimi (11.15). Zachodzi dla macierzy ${\overline {M}}\;$, tzn.: (11.8), z właściwości macierzy ${\overline {\Lambda }}\;$, tzn. macierzy (10.1), i macierzy $M\;$ (11.15). Udowodnijmy, czy układy słabozakrzywione mogą być inercjalne na podstawie przedstawienia macierzy dla tego układu (11.20), wtedy dla ciała odniesienia zachodzi ${\vec {\overline {X}}}_{pu}^{'}={\vec {0}}\;$ (położenie ciała odniesienia) w nowym układzie odniesienia oraz ${\vec {\overline {X}}}_{pu}\;$ (położenie ciała odniesienia w chwili ${\overline {t}}\;$) i ${\vec {\overline {X}}}_{p0}\;$ (położenie ciała odniesienia dla ${\overline {t}}={\overline {t}}_{0}\;$) w starym układzie odniesienia:

${\overline {X}}_{u}^{'}={\overline {M}}({\overline {X}}-{\overline {X}}_{0})\Rightarrow {\begin{bmatrix}c{\overline {t}}^{'}\\{\vec {\overline {0}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda ^{'}\lambda ^{-1}&0\\-{\overline {C}}_{p}{{\vec {\overline {V}}} \over {c}}&{\overline {C}}_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c({\overline {t}}-{\overline {t}}_{0})\\{\vec {\overline {X}}}_{pu}-{\vec {\overline {X}}}_{p0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c\lambda ^{'}\lambda ^{-1}({\overline {t}}-{\overline {t}}_{0})\\{\overline {C}}_{p}\left({\vec {\overline {X}}}_{pu}-{\vec {\overline {V}}}({\overline {t}}-{\overline {t}}_{0})-{\vec {\overline {X}}}_{p0}\right)\end{bmatrix}}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {\overline {t}}^{'}=\lambda ^{'}\lambda ^{-1}({\overline {t}}-{\overline {t}}_{0})\wedge {\vec {\overline {X}}}_{pu}={\vec {\overline {V}}}({\overline {t}}-{\overline {t}}_{0})+{\vec {\overline {X}}}_{p0}\wedge {\overline {X}}_{p}^{'}=C_{p}\left({\vec {\overline {X}}}_{p}-{\vec {\overline {V}}}({\overline {t}}-{\overline {t}}_{0})-{\vec {\overline {X}}}_{p0}\right)$

(11.21)

• A transformacje położenia w (11.21) piszemy, zastępując ${\vec {\overline {X}}}_{pu}\;$ przez ${\vec {\overline {X}}}_{p}\;$ i ${\vec {\overline {0}}}\;$ przez ${\vec {\overline {X}}}_{p}^{'}\;$.

Według transformacji Galileusza w mechanice Newtona (kinematyka) w punkcie (11.21) według drugiego wzoru układy inercjalne słabozakrzywione istnieją fizycznie i czas dla ciała odniesienia w nich transformuje się według wzoru pierwszego. Transformację czasu i ruch po prostej ciała odniesienia w starym układzie odniesienia nowego układu współrzędnych w teorii transformacji Galileusza (11.21) wynika ze wzoru (11.9) z teorii transformacji Lorentza dla prędkości $v\ll c\;$. Ruch po prostej ciała odniesienia w starym układzie odniesienia (drugi wzór) i transformację czasu (pierwszy wzór) w (11.21) przedstawiamy na podstawie ich wersji w układach globalnie (lokalnie) płaskich (11.19) według transformacji od układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego (10.3) korzystając z macierzy transformacji (10.1), co stąd wynikającego wniosku (10.4).

• Pewne rozważanie:

Zdefiniujmy nowy czas w nowym i starym układzie odniesienia w postaci formuł:

${\overline {t}}^{'}=\lambda ^{'}{\overline {\overline {t}}}^{'}\;$

(11.22)

$\lambda ^{-1}{\overline {t}}={\overline {\overline {t}}}\;$

(11.23)

czyli mamy ogólną transformację czasów w ukłasach słabozakrzywionych jako:

${\overline {\overline {t}}}=\lambda ^{-1}{\overline {t}}\;$

(11.24)

Czyli po transformacji czasów i prędkości (definicja prędkości zawiera też czas, czyli ta transformacja jest: ${\vec {\overline {\overline {V}}}}=\lambda {\vec {\overline {V}}}\;$) według (11.24) otrzymujemy transformacje czasu i położenia z starego układu odniesienia do układu nowego, jeżeli oba układy są słabozakrzywione, taką samą jak te transformacje pomiędzy układami globalnie (lokalnie) płaskimi dla transformacji Galileusza w mechanice Newtona, czyli transformacje dla macierzy transformacji (11.15). Gdy $\lambda ^{'}=\lambda =1\;$ w macierzy transformacji (11.20) to transformację są takie same jakie wyprowadził je Galileusz.

• Rozważmy inaczej!

W (11.21) weźmy $\lambda =\lambda ^{'}\;$^{[Patrz: 11.2]}, wtedy transformacja czasu na podstawie (11.21) jest tożsamościowa, czyli czas jest absolutny w mechanice Newtona, a macierz transformacji tam z jednego układu słabozakrzywionego do drugiego według naszych obliczeń w mechanice Newtona jest w (11.15), taka sama jak dla układu globalnie (lokalnie) płaskiego.

Układy globalnie (lokalnie) płaskie matematyczne, a fizyczne układy słabozakrzywione lokalnie płaskie fizyczne

Transformację w mechanice Newtona i szczególnej teorii względności pomiędzy układami słabozakrzywionymi udowodnialiśmy wychodząc z transformacji pomiędzy układami globalnie (lokalnie) płaskimi matematycznymi, a te układy, które istnieją w ogólnej teorii względności lokalnie płaskie fizyczne są w rzeczywistości układami słabozakrzywionymi, ale innego rodzaju, niż te lokalnie płaskie matematyczne. A jeżeli będziemy pisać prędkość światła $c\;$ w układach słabozakrzywionych, to będziemy mieli później na myśli prędkość światła ${\overline {c}}\;$ znaną z lekcji fizyki.

Transformacje pomiędzy układami we współrzędnych krzywoliniowych

Transformacja z jednego układu współrzędnych do drugiego macierzy transformacji przedstawia się według wzoru przedstawionego w punkcie (10.15), tak też udowadniamy macierz transformacji dla przypadku pomiędzy układami krzywoliniowymi wiedząc jaka jest macierz transformacji starego i nowego układu słabozakrzywionego, które uważamy globalnie (lokalnie) płaskie ogólnie nieprostokątne, lub globalnie (lokalnie) płaskiego ogólnie nieprostokątne, do ich odpowiedników będących układami krzywoliniowych, a te dwie ostatnie macierze transformacji są w takiej samej postaci, jak macierz (10.1), a więc macierz dla przypadku pomiędzy układami krzywoliniowymi tak samo się udowadnia jak macierz w szczególnej teorii względności (11.7) i mechanice Newtona (11.20) pomiędzy układami słabozakrzywionymi, tylko inna jest definicja tych dwóch macierzy dla przypadku pomiędzy układami krzywoliniowymi, niż słabozakrzywionymi, które uważamy za globalnie (lokalnie) płaskiw, ale o takiej samej postaci.