Szczególna teoria względności/Wydłużenie podłużne a poprzeczne

Szczególna teoria względności

Wydłużenie podłużne a poprzeczne

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

Wykaz modułów w książce
1Postulaty szczególnej teorii względności i rodzaje układów 2Podstawy teorii względności 3Przypomnienie o operatorach rzutowych 4Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji 5Wydłużenie podłużne a poprzeczne 6Układy inercjalne i nieinercjalne 7Transformacje prędkości - początek rozważań 8Transformacje różniczek czasu i położenia 9Transformacje prędkości - równania końcowe 10Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne 11Transformacje macierzy transformacji Einsteina i Newtona, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione 12Istnienie dowolnych ogólnie nieprostokątnych układów odniesienia 13Równoważności macierzy transformacji 14Zestawienie transformacji w układach płaskich i słabozakrzywionych 15Przechodniość macierzy transformacji 16Tensor metryczny Minkowskiego i jego niezmienniczość interwału czasoprzestrzennego, a stożek światła 17Baza odniesienia w mechanice Einsteina i Newtona 18Własności czasoprzestrzeni 19Trzy zasady dynamiki Einsteina 20Tensory w czasoprzestrzeni 21Konwencje Newtona i Einsteina - formułowanie drugiej zasady dynamiki Einsteina-Newtona 22Tensorowy charakter różniczki położenia oraz tensora siły w mechanine Einsteina i wektora siły w mechanice Newtona 23Formułowanie drugiej i trzeciej zasady dynamiki Einsteina-Newtona, zasada niezależności działania tensorów (wektorów) sił 24Formułowanie zasad dynamiki ruchu obrotowego 25Twierdzenie o środku mas w dynamice Einsteina-Newtona 26Pewne prawa w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości 27Pierwsza i druga zasada Lagrange'a 28Teoria funkcji lagrangianu 29Matematyczna, nie fizyczna, teoria najmniejszego działania - wprowadzenie 30Matematyczna, nie fizyczna, teoria najmniejszego działania - szczególna teoria względności 31Matematyczna, nie fizyczna, teoria najmniejszego działania - mechanika Newtona 32Matematyczna, nie fizyczna, teoria najmniejszego działania - wnioski 33Anormalne układy, tylko matematyczne, a nie fizyczne 34Definicja masy i energii, spoczynkowej i relatywistycznej, i pędu 35Niezmienniczość ciśnienia od układu odniesienia 36Lokalna zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu 37Lokalna zasada zachowania tensora pędu 38Lokalna zasada zachowania energii(masy)-pędu z lokalnej zachowawczości tensora gęstości energii(masy)-pędu 39Dyskretne i ciągłe równanie ruchu 40Lokalna zasada zachowania energii(masy)-pędu z zasady zachowania energii(masy)-pędu 41Lokalna zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu z teorii gęstości lagrangianu 42Lokalna zasada zachowania tensora pędu, z teorii gęstości lagrangianu 43Lagrangian masowy kinematyczny w mechanice Einsteina i Newtona 44Oddziaływanie elektromagnetyczne ogólnie zmienne i statyczne (pole elektromagnetyczne) z teorii gęstości lagrangianu

Spis treści
1Wydłużenie (czy skrócenie) poprzeczne, a je podłużne 2Dalsza część dowodu dotycząca szczególnej teorii względności, dowód izotropowości przestrzeni

Następny rozdział: Układy inercjalne i nieinercjalne. Poprzedni rozdział: Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji.

Podręcznik: Szczególna teoria względności.

Wydłużenie (czy skrócenie) poprzeczne, a je podłużne

Ułóżmy tak układ odniesienia o wymiarze przestrzeni zwykłej $n>2\;$ , by oś OX pokrywała się z kierunkiem wektora ${\vec {V}}\;$ nowego układu odniesienia względem starego, a pozostałe osie są względem jego i siebie prostopadłe. Według symetrii jest wydłużenie (czy skrócenie) wzdłuż prędkości nowego układu odniesienia ${\vec {V}}\;$ względem starego, czyli podłużne, ale sprawdźmy, czy istnieje ono poprzeczne. Według symetrii ono wzdłuż każdej osi współrzędnej układu odniesienia prostopadłego względem osi OX jest takie same, ale wzdłuż innej osi prostopadłego do osi OX niż te one, wygląda na to, że może być większe z definicji długości względem współrzędnych, a powinno być, że jest takie same, bo nie wiadomo, który kierunek prostopadły do osi OX jest wyróżniony, stąd w tych układach nie ma wydłużenia (czy skrócenia) poprzecznego, ale za to ono może występować w takich układach, ale dwuwymiarowych.

Dalsza część dowodu dotycząca szczególnej teorii względności, dowód izotropowości przestrzeni

Wiemy jednak, że przy transformacji współrzędnych przestrzennych wektora ze starego układu odniesienia na nowy układ odniesienia zachodzi (2.12), w nim proponujemy macierz transformacji $M_{p}\;$ , którą piszemy w zależności od wyróżnionego kierunku ${\vec {V}}\;$ , przyjmując, że zachodzi (4.6):

M_{p}=M_{p||}+M_{p\perp }=C_{p||}\gamma +C_{p\perp }\Rightarrow M_{p}=C_{p}(\gamma P_{||}+P_{\perp })\wedge M_{p||}=\gamma C_{p||}=\gamma C_{p}P_{||}\wedge M_{p\perp }=C_{p\perp }=C_{p}P_{\perp }\;

(5.1)

Widzimy, że macierz $M_{p}\;$ zależy od macierzy $C_{p}\;$ , a wzór (2.12) (ten pierwszy wzór) zależy od $M_{p}\;$ , a także zależy od prędkości nowego układu odniesienia względem starego, a zatem postać transformacji z jednego układu współrzędnych do drugiego jest niezależna od ustawień osi starego i nowego układu współrzędnych, a więc one spełniają zasadę izotropowości przestrzeni. Wzór na $M_{p}\;$ (5.1) jest tak napisany, by był wyróżniony kierunek ${\vec {V}}\;$ , zatem $\gamma \;$ zależy tylko od wartości tej prędkości, a od innych zmiennych nie zależy. Widzimy, że aby szczególna teoria względności zgadzała się w zakresie stosowalności z transformacjami Galileusza (jak można zauważyć po postaci $\gamma \;$ jaką później wyliczymy), to musi zachodzić fizycznie dla prędkości nowego układu odniesienia $V\ll c\;$ :

\gamma (V\ll c)\simeq 1\Rightarrow M_{p}(V\ll c)=C_{p}(\gamma (V\ll c)P_{||}+P_{\perp })\simeq C_{p}(P_{||}+P_{\perp })=C_{p}\;

(5.2)

oraz $M_{0x}\simeq 0\;$ , $M_{x0}=-M_{p}{{\vec {V}} \over {c}}\simeq -C_{p}{{\vec {V}} \over {c}}\;$ (na podstawie (2.13) (definicja) i (5.2) (przybliżenie)) i $m_{00}\simeq 1\;$ . Ale $C_{p}\;$ w szczególnej teorii względności jest ta sama macierz co w transformacjach Galileusza. Gdzie $C_{p||}\;$ i $C_{p\perp }\;$ są macierzami transformacji Galileusza występującymi w (4.6). Policzmy wiedząc, że zachodzi (4.1):

X^{T}M_{p}^{T}A^{'}M_{p}X=X^{T}\left(\gamma P_{||}+P_{\perp }\right)^{T}C_{p}^{T}A^{'}C_{p}\left(\gamma P_{||}+P_{\perp }\right)X=X^{T}\left(\gamma P_{||}+P_{\perp }\right)^{T}A\left(\gamma P_{||}+P_{\perp }\right)X=\;

=X^{T}\left(\gamma ^{2}P_{||}^{T}AP_{||}+P_{\perp }^{T}AP_{\perp }+\gamma P_{\perp }^{T}AP_{||}+\gamma P_{||}^{T}AP_{\perp }\right)X=X^{T}\left(\gamma ^{2}P_{||}^{T}+P_{\perp }^{T}\right)AX^{T}=X^{T}A\left(\gamma ^{2}P_{||}+P_{\perp }\right)X^{T}\Rightarrow \;

\Rightarrow X^{T}M_{p}^{T}A^{'}M_{p}X=X^{T}\left(\gamma ^{2}P_{||}^{T}+P_{\perp }^{T}\right)AX=X^{T}A\left(\gamma ^{2}P_{||}+P_{\perp }\right)X

(5.3)

Parametr γ jest to parametr zależny od prędkości nowego układu współrzędnych względem starego. A $P_{||}\;$ i $P_{\perp }\;$ są kolejno operatorami rzutowania równoległym i prostopadłym do prędkości nowego układu współrzędnych ${\vec {V}}\;$ .