Szczególna teoria względności/Przypomnienie o operatorach rzutowych

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Szczególna teoria względności
Szczególna teoria względności
Przypomnienie o operatorach rzutowych

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Formułowanie operatora rzutowego równoległego[edytuj]

Niech mamy wektor w przestrzeni n-wymiarowej, który jest sumą wektorów do siebie prostopadłych względem kierunku wyróżnionego :

(3.1)

Policzmy iloczyn skalarny wiedząc, że dla składowej równoległej do wektora mamy z definicji :

(3.2)

Stąd dochodzimy do wniosku na podstawie składowej równoległej do , czyli , którą liczymy na podstawie wniosku (3.2):

(3.3)

Właściwości kwadratu operatora rzutowego równoległego[edytuj]

Policzmy kwadrat operatora rzutowego (3.3) i dowolne jego potęgi na podstawie tego wiedząc, że zachodzi , co jest spełnione na podstawie definicji iloczynu skalarnego znanego z kursu algebry:

(3.4)

Formułowanie operatora rzutowego prostopadłego[edytuj]

Z warunku na wektor (3.1) i na wektor (3.3), wtedy możemy otrzymać wzór na składową prostopadłą względem wyróżnionego kierunku :

(3.5)

Kwadrat operatora rzutowego prostopadłego[edytuj]

Policzmy kwadrat wektora rzutowego prostopadłego (3.5) i dowolne jego potęgi na podstawie tego, wtedy:

(3.6)

Iloczyn operatora rzutowego prostopadłego przez równoległy[edytuj]

Policzmy iloczyn operatora rzutowego prostopadłego przez równoległy, a w przypadku odwrotnym jest podobnie, wiedząc, że zachodzi (3.5):

(3.7)

Z wiadomych względów według wzoru (3.5) zachodzi:

(3.8)

Wektor prędkości kontrawariantny definiowany przez wektor prędkości kowariantny[edytuj]

Policzmy macierz transponowaną do macierzy operatora rzutowego równoległego (3.3) obierając nowy parametr w sposób:

(3.9)

Definicja operatora rzutowego równoległego kontrawariantnego transponowanego przez jej wersję kowariantną[edytuj]

a wtedy powiemy z definicji operatora poprzez i macierz iloczynu skalarnego, tzn. (3.9):

(3.10)

Definicja operatora rzutowego prostopadłego kontrawariantnego transponowanego przez jej wersję kowariantną[edytuj]

Policzmy macierz transponowaną do macierzy operatora rzutowego prostopadłego (3.5):

(3.11)

Iloczyn skalarny wektorów kontrawariantnych równa iloczynowi skalarnemu wektorów kowariantnych[edytuj]

Napiszmy iloczyn skalarny z jego definicji wykorzystując (3.9):

(3.12)

Związek operatora rzutowego równoległego i macierzy iloczynu skalarnego[edytuj]

Można udowodnić dla operatorów rzutowych jakie zachodzą tożsamości:

(3.13)

Związek operatora rzutowego prostopadłego i macierzy iloczynu skalarnego[edytuj]

Zachodzi tożsamość na podstawie (3.11):

(3.14)

Iloczyn skalarny dwóch operatorów rzutowych równoległych[edytuj]

dalej udowodnijmy jakie zachodzą dalsze wnioski na operatorach rzutowych:

(3.15)

Iloczyn skalarny operatorów rzutowych prostopadłych[edytuj]

Wykorzystując wnioski z (3.15) i (3.8) zachodzące na operatorach rzutowych:


(3.16)

Iloczyn skalarny operatorów rzutowych równoległych i prostopadłych[edytuj]

Zachodzi na podstawie związku (3.15):

(3.17)

Analogiczne związki dla operatorów rzutowych kowariantnych i podobieństwa do ich wersji kontrawariantnych[edytuj]

Podobne wnioski jak dla (3.13), (3.14), (3.15), (3.16) i (3.17) zachodzą, gdy zastąpimy przez i przez , a także zastępując przez .