Szczególna teoria względności/Tensor metryczny Minkowskiego i jego niezmienniczość interwału czasoprzestrzennego, a stożek światła

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Szczególna teoria względności
Szczególna teoria względności
Tensor metryczny Minkowskiego i jego niezmienniczość interwału czasoprzestrzennego, a stożek światła

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Tensor metryczny w teorii transformacji Lorentza[edytuj]

Omówimy tutaj wszystko o tensorze metrycznym Minkowskiego szczególnej teorii względności.

Sygnatura dodatnia i ujemna[edytuj]

Sygnaturę dodatnią ma tensor metryczny Minkowskiego, gdy można sprowadzić go do macierzy diagnonalnej, a na przekątnych są liczby: (1,-1,-1,-1,...), a sygnaturę ujemną ma ten tensor, gdy na przekątnych macierzy diagonalnej sa elementy: (-1,1,1,1,...). W obliczeniach uwzględniającej sygnaturę pisząc znak: lub , znak na górze oznacza sygnaturę dodatnią, a na dole sygnaturę ujemną, a gdy jest tylko jeden znak, to on jest słuszny w obu sygnaturach. W tej książce będziemy wykonywać obliczenia uwzględniając te dwie sygnatury.

Tensor metryczny Minkowskiego szczególnej teorii względności[edytuj]

Interwał czasoprzestrzenny w szczególnej teorii względności, w której przestrzeń jest euklidesowa, przedstawiamy w układzie nieprostokątnym i prostokątnym w sposób:

(16.1)
(16.2)

W przypadkach (16.1) i (16.2) kwadrat interwału czasoprzestrzennego zapisujemy ogólnie macierzowo:

(16.3)

Gdzie we wzorze (16.1) macierz jest macierzą (16.4), a wzorze (16.2) macierz jest macierzą (16.5). Na podstawie tak zdefiniowanego interwału czasoprzestrzennego (16.1) zdefiniujmy macierz tensora metrycznego kowariantnego (wskaźniki na dole) oraz kontrawariantnego (wskaźniki na górze).


(16.4)

Ponieważ dla wersorów czasoprzestrzennych dochodzimy do wniosku, że wersor czasowy ma długość równą jedności i on jest prostopadły do wersorów przestrzennych, bo . Z wiadomych względów biorąć część przestrzenną macierzy (16.4), wtedy wiadomo: , a także wiadomo na podstawie definicji , że zachodzi dla wersorów obserowanych w przestrzeni zwykłej: dla sygnatury dodatniej i dla sygnatury ujemnej, gdzie zależność pomiędzy wersorami obserowanymi w przestrzenni zwykłej, a przestrzennymi jest dla dla sygnatury dodatniej, a dla ujemnej , a wersor czasowy jest: dla sygnatury dodatniej i dla sygnatury ujemnej. Na podstawie tak zdefiniowanego interwału czasoprzestrzennego (16.2) zdefiniujmy macierz tensora metrycznego kowariantnego Minkowskiego (wskaźniki na dole) oraz kontrawariantnego (wskaźniki na górze) dla przestrzeni opisywanej układem prostokątnym.

(16.5)

Powyżej przyjmujemy, że czas mierzymy w metrach według zależności , gdzie mierzymy w sekundach.

Interwał czasoprzestrzenny jako niezmiennik transformacji[edytuj]

Tutaj będziemy się zajmowali interwałem czasoprzestrzennym w teorii transformacji Lorentza i Galileusza.

Interwał czasoprzestrzenny w teorii transformacji Lorentza[edytuj]

Będziemy tutaj badali niezmienniczość interwału czasoprzestrzennego w układach słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich oraz napiszemy je w zależności od wartości prędkości i różniczki czasu.

Interwał czasoprzestrzenny w układach słabozakrzywionych, a układy globalnie (lokalnie) płaskie[edytuj]

Udowodnimy, że interwał czasoprzestrzenny pozostaje zawsze niezmienniczy dla ściśle określonego ciała przy jego definicji bez względu na układ słabozakrzywiony wychodząc z układu globalnie (lokalnie) płaskiego korzystając przy okazji (10.4) (niezmienniczości czasu pomiędzy układami słabozakrzywionymi), (10.9) (niezmienniczości modułu długości pomiędzy tymi układami) i (11.13) (transformacji prędkości światła od układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego):


(16.6)

Różniczka interwału czasoprzestrzennego musi być tak napisana, by dla różniczki czasu dodatniej różniczka interwału czasoprzestrzennego była dodatnia, a dla różniczki czasu ujemnej była ujemna. Wyrażenie (16.6) na przyjmuje zawsze wartość nieujemną, jak udowodniliśmy powyżej, bo prędkość ciała jest niewiększa niż . Na podstawie tego wyrażenia na różniczkę interwału czasoprzestrzennego ona jest niezmiennicza pomiędzy układami słabozakrzywionymi i ma taką samą wartość i postać, co w układach globalnie (lokalnie) płaskich.

Interwał czasoprzestrzenny w układach globalnie (lokalnie) płaskich[edytuj]

Przy definicji nieskończenie małej różnicy czasu zapisanej wedle wzoru (14.4) i nieskończenie małej zmiany położenia ciała w nowym układzie współrzędnych napisanej w punkcie (14.2), wtedy wykorzystując te wspomniane wzory możemy napisać interwał czasoprzestrzenny (16.1) wiedząc, że A jest macierzą iloczynu skalarnego, wtedy możemy zapisać dla układu ogólnie nieprostokątnego:





(16.7)

Na podstawie obliczeń (16.7) dowiadujemy się, że interwał czasoprzestrzenny (16.1) czy też (16.2) jest wielkością niezmienniczą i zdefiniowaną powyżej, czyli zachodzi:

(16.8)

Do tego samego wniosku możemy dojść macierzowo wykorzystując definicję interwału czasoprzestrzennego (16.1) i definicje macierzy transformacji (11.1), zatem:







(16.9)

Stąd wniosek, interwał czasoprzestrzenny pozostaje stały niezależnie z jaką prędkością porusza się układ współrzędnych K', jeśli znamy jego nieskończenie małą różnice w starym układzie współrzędnych, to je znamy w nowym układzie współrzędnych.

Jeszcze raz o interwale czasoprzestrzennym w układach słabozakrzywionych, a układy globalnie (lokalnie) płaskie[edytuj]

Udowodnijmy, czy interwał jest niezmienniczy przechodząc do układów słabozakrzywionych z układów globalnie (lokalnie) płaskich i do układów globalnie (lokalnie) płaskich z układów słabozakrzywionych.



(16.10)

Czyli na podstawie (16.10) (pomiędzy układem słabozakrzywionym a układem globalnie (lokalnie) płaskim) i (16.9) (niezmienniczością interwału czasoprzestrzennego w układach globalnie (lokalnie) płaskich) interwał czasoprzestrzenny pomiędzy układami słabozakrzywionymi jest niezmienniczy.

Interwał czasoprzestrzenny w teorii transformacji Galileusza[edytuj]

W teorii transformacji Galileusza mamy , wtedy we wzorze na interwał czasoprzestrzenny (16.6) możemy zaniedbać wyraz o wiele mniejszy od jedynki, tzn. wyraz
(16.11)

wtedy różniczka interwału czasoprzestrzennego (16.6) może być zapisana stosując (16.11) jako:

(16.12)

Różniczka interwału czasoprzestrzennego (16.12) musi być tak napisana, by dla różniczki czasu dodatniej różniczka interwału czasoprzestrzennego była dodatnia, a dla różniczki czasu ujemnej była ujemna. Jak widzimy w (16.12) interwał czasoprzestrzenny zależy tylko od różniczki czasu dla prędkości . Ten interwał w tej teorii transformacji jest niezmienniczy, bo czas w tej teorii jest absolutny.

Transformacje tensora metrycznego η[edytuj]

Zajmiemy się tutaj transformacjami tensora metrycznego w transformacji Lorentza i Galileusza, a także wzorem ogólnym słusznym w obu tych teoriach.

Transformacja tensora metrycznego w teorii transformacji Lorentza[edytuj]

Transformacja tensora metrycznego w szczególnej teorii względności na podstawie (16.9) (tzn.: wzory: (16.13) i (16.14)) i (16.10) (tzn.: wzory (16.15) i (16.16)) oraz połączenie wzorów (16.9) i (16.10) (tzn. wzory (16.17) i (16.18)) piszemy wzorami:

(16.13)
(16.14)
(16.15)
(16.16)
(16.17)
(16.18)

gdzie macierz () jest zdefiniowana wzorem (11.3) (macierzą odwrotną do (10.1), czyli wzorem (10.2)), a macierz , tzn.: (11.2), (macierzą , tzn.: (10.1)), a także macierz tensora metrycznego przedstawiamy w (16.4).

Transformacja tensora metrycznego w teorii transformacji Lorentza i Galileusza[edytuj]

Transformacja tensora metrycznego (16.4) czasoprzestrzeni w teorii transformacji Lorentza i Galileusza przedstawia się:

(16.19)

Ta transformacja dla teorii transformacji Galileusza jest na pewno dokładnie spełniona, bo (4.1). Jak widzimy tożsamość (16.19) możemy utrzymać w sposób przybliżony ze wzoru (16.14) biorąc przybliżenie bardzo małych prędkości z porównaniu z prędkością światła, ale otrzymany wzór nie jest przybliżony, tylko dokładny, bo (4.1), w teorii transformacji Lorentza też on jest spełniony.

Stożek światła[edytuj]

(Rys. 16.1) Stożek światła

Wiadomo, że z poprzedniego punktu według wzoru (16.6), ale tym razem będziemy operować różnicami skończonymi, to kwadrat różnicy interwału czasoprzestrzennego definiujemy:

(16.20)

Również zachodzi Δ s2≥ 0, bo 0 ≤ v≤ c, i korzystając z definicji prędkości, to wtedy ten nasz interwał zapisujemy:

(16.21)

Dochodzimy do wniosku, że na podstawie wzoru (16.2) i (16.21), że , bo :

(16.22)

Gdy założymy punkty początkowe na zero, tzn. , wtedy mamy:

(16.23)
(16.24)

Wzór (16.23) przedstawia kwadrat długości wektora wodzącego w (n+1) wymiarowej czasoprzestrzeni, gdzie n to liczba współrzędnych przestrzennych plus jedna współrzędna czasowa. Wykresem (16.24) jest wykres stożka, którego przekrój dla danego t ma promień r=ct, którego węzeł znajduje się w punkcie t=0, którego brzeg jest spełniony dla s2=0, a jego wnętrze jest dla s2>0, na zewnątrz linii światła żadne ciało nie może się znaleźć. Wykres stożka z liniami światła jest pokazany na rysunku obok.