Szczególna teoria względności/Trzy zasady dynamiki Einsteina

Trzy zasady dynamiki Einsteina

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Pierwsza i trzecia zasada dynamiki Einsteina

Pierwsza i trzecia zasada dynamiki Einsteina są powtórzeniem pierwszej i trzeciej zasady dynamiki Newtona.

Druga zasada dynamiki Einsteina - wersja wektorowa

Tutaj zajmiemy się drugą zasadą dynamiki Einsteina, wyprowadzeniem jej, także wyprowadzimy wzór na masę relatywistyczną i wzór na przyśpieszenie ciała znając siłę działającą na to ciało i jego prędkość.

Wyprowadzenie drugiej zasady dynamiki Einsteina

Tutaj wyprowadzimy wzór na drugą zasadę dynamiki w szczególnej teorii względności. Biorąc we wzorach (14.9) i (14.10) ${\vec {v}}\rightarrow {\vec {V}}\;$, to wtedy możemy otrzymać zależność przyśpieszenia równoległego pomiędzy starym układem odniesienia a nowym, a w przypadku przyśpieszenia prostopadłego jest, gdy ciało porusza się z prędkością dążącą do ${\vec {V}}\;$, co wtedy w starym układzie ciało porusza się z prędkością prostopadłą dążącą do zera lokalnie czasowo, zatem:

${\vec {a}}_{||}^{'}=C_{p}{{{\vec {a}}_{||}} \over {\left(1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}\right)^{3 \over 2}}}\;$

(19.1)

${\vec {a}}_{\perp }^{'}=C_{p}{{{\vec {a}}_{\perp }} \over {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}\;$

(19.2)

Policzmy, czemu jest równa siła w układzie $K\;$, korzystając ze wzoru na ${\vec {a}}^{'}\;$, oraz zakładając, że siła ${\vec {F_{||}}}\;$ po rozłożeniu transformuje się ze współczynnikiem równym 1 do ${\vec {F}}_{||}^{'}\;$, oraz do ${\vec {F}}_{\perp }^{'}\;$ transformuje się ze współczynnikiem równym $\gamma ^{-1}\;$ jak dowiedziemy poniżej, zakładając, że oba układy (stary i nowy układ odniesienia) są ogólnie nieprostokątne i ogólnie nierównoległe do siebie. Wprowadzimy tutaj dla prędkości dążących do zera wzór na wielkość tensora siły, z drugiej zasady dynamiki Newtona, którą przedstawimy jako nową siłę ${K^{'}}^{\mu }\;$ w układzie $K^{'}\;$:

${\vec {F}}^{'}={{d{\vec {\vec {p}}}^{'}} \over {dt^{'}}}=c{{m_{0}cd{\vec {u}}^{'}} \over {cdt^{'}}}=c{{dm_{0}c{\vec {u}}} \over {ds}}=c{\vec {K}}'\Rightarrow {\vec {K}}^{'}={{1} \over {c}}{\vec {F}}^{'}\wedge {K^{'}}^{0}={{m_{0}cd{u^{'}}^{0}} \over {ds}}=0\Rightarrow {K^{'}}^{\mu }={{1} \over {c}}\left[0,{\vec {F}}^{'}\right]\;$

(19.3)

Wiedząc, że ${u^{'}}^{\mu }={{d{x^{'}}^{\mu }} \over {ds}}\;$ i $ds=cdt\;$ (dla teorii Newtona, która jest spełniona dla prędkości dążącej do zera) i $dx^{0}=cdt\;$. Dalej wiemy, że $dx^{\mu }\;$ jest tensorem i interwały są niezmiennicze przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego według (16.8) i (2.12), to wtedy ${K^{'}}^{\mu }\;$ jest tensorem, co stąd od tej chwili nową siłę nazwiemy tensorem siły. Możemy napisać wzory na tensor siły na podstawie, że ${K}^{\mu }\;$ jest tensorem, bo wielkość różniczkowa $dx^{\mu }\;$ jest tensorem, w układzie, w którym ciało porusza się z dowolną prędkością mniejszą niż $c\;$ wychodząc od układu ${\vec {v}}\rightarrow {\vec {0}}\;$ ze wzoru (19.3), stąd w przestrzeni zwykłej dostajemy:

${\vec {K}}={{d(m_{0}c{\vec {u}})} \over {ds}}={{\gamma } \over {c}}{{d(m_{0}\gamma {\vec {v}})} \over {dt}}={{\gamma } \over {c}}{{d{\vec {p}}} \over {dt}}\;$

(19.4)

Przy wyznaczania elementów przestrzennych tego tensora siły należy pamiętać, że $\gamma \;$ obieramy ze znakiem plus, a nie minus, bo $ds>0\;$, zakładając, że siła przedstawia się wzorem w tym układzie:

${\vec {F}}={{d{\vec {p}}} \over {dt}}\;$

(19.5)

• gdzie masa przedstawia się wzorem $m=\gamma m_{0}\;$, a pęd klasyczny formułą ${\vec {p}}=m{\vec {v}}=m_{0}c{\vec {u}}\;$.

To wtedy wzór na wektor tensora siły w przestrzeni zwykłej wychodzi:

${\vec {K}}={{\gamma } \over {c}}{\vec {F}}\;$

(19.6)

A także jeśli mamy prędkości dążące do zera punktu materialnego to powinno być $\gamma (v\rightarrow 0)\rightarrow 1\;$ (co jest prawdą przy definicji $\gamma \;$ z plusem), to wzór na tensor siły dla jej elementów przestrzennych przechodzi w tensor siły o elementach przestrzennych dla prędkości dążącej do zera ${\vec {K}}^{'}\;$, czyli w (19.3), stąd definicja siły relatywistycznej ${\vec {F}}\;$ jest spójna dla prędkości ciała o prędkości mniejszej niż $c\;$. Możemy napisać wzór na tensor siły w układzie, w którym ciało porusza się z niezerową prędkością, mając macierz ${{M^{'}}^{\mu }}_{\nu }\;$ napisaną wzorem (11.3), wtedy tensor siły w układzie, w którym prędkość tego ciała dąży do zera, i transformację tej prędkości starego układu odniesienia inercjalnego do nowego też inercjalnego poruszającym się z prędkością względem starego układu odniesienia ogólnie różną zera, a w nowym układzie odniesienia poruszającą się z prędkością (7.17), przedstawiamy:

$K^{\mu }={{M^{'}}^{\mu }}_{\nu }{K^{'}}^{\nu }={\begin{bmatrix}\gamma ^{'}&-\gamma ^{'}{{{{\vec {V}}^{'}}^{T}} \over {c}}A\\-M_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&M_{p}^{'}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0\\{{1} \over {c}}{\vec {F}}^{'}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\gamma {{1} \over {c^{2}}}{\vec {V^{'}}}^{T}A^{'}{\vec {F}}'\\{{1} \over {c}}M_{p}^{'}{\vec {F}}^{'}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\gamma {{1} \over {c^{2}}}{\vec {V^{'}}}^{T}A^{'}{\vec {F}}_{||}^{'}\\{{1} \over {c}}M_{p}^{'}{\vec {F}}'\end{bmatrix}}=\;$
$={\begin{bmatrix}-{{{\vec {V^{'}}}^{T}A^{'}({\vec {F}}_{||}^{'}+\gamma ^{-1}{\vec {F}}_{\perp }^{'})} \over {c^{2}}}\gamma \\{{\gamma } \over {c}}\gamma ^{-1}M_{p}^{'}{\vec {F}}'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{{{\vec {V}}^{T}C_{p}^{T}A^{'}C_{p}C_{p}^{'}({\vec {F}}_{||}^{'}+\gamma ^{-1}{\vec {F}}_{\perp })} \over {c^{2}}}\gamma \\{{\gamma } \over {c}}\gamma ^{-1}M_{p}^{'}{\vec {F}}^{'}\end{bmatrix}}{\xrightarrow[{{\vec {v}}\rightarrow {\vec {V}}}]{}}{\begin{bmatrix}{{{\vec {v}}^{T}A{\vec {F}}} \over {c^{2}}}\gamma \\{{\gamma } \over {c}}\underbrace {C_{p}^{'}\left({\vec {F}}_{||}^{'}+\gamma ^{-1}{\vec {F}}_{\perp }^{'}\right)} _{\vec {F}}\end{bmatrix}}=\;$
$={{\gamma } \over {c}}{\begin{bmatrix}\left({{\vec {v}} \over {c}},C_{p}^{'}\left({\vec {F}}_{||}^{'}+\gamma ^{-1}{\vec {F}}_{\perp }^{'}\right)\right)\\C_{p}^{'}\left({\vec {F}}_{||}^{'}+\gamma ^{-1}{\vec {F}}_{\perp }^{'}\right)\end{bmatrix}}\Rightarrow {\vec {K}}={{\gamma } \over {c}}C_{p}^{'}\left({\vec {F}}_{||}^{'}+\gamma ^{-1}{\vec {F}}_{\perp }^{'}\right)\Rightarrow {\vec {F}}=C_{p}^{'}\left({\vec {F}}_{||}^{'}+\gamma ^{-1}{\vec {F}}_{\perp }^{'}\right)=C_{p}^{'}(m_{0}{\vec {a}}_{||}^{'}+\gamma ^{-1}m_{0}{\vec {a}}_{\perp }^{'})=\;$
$={{m_{0}{{\vec {a_{||}}} \over {\left(1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}\right)}^{3 \over 2}}}+{\gamma ^{-1}m_{0}{{\vec {a_{\perp }}} \over {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}}\;$

(19.7)

Policzmy nieoznaczoną całkę, która będzie nam potrzebna, by wyznaczyć końcową postać siły relatywistycznej występującego w szczególnej teorii względności.

$\int {{dv} \over {(1-{{v^{2}} \over {c^{2}}})}^{3 \over 2}}={\begin{Bmatrix}v=c\operatorname {sin} \gamma \\dv=c\operatorname {cos} \gamma d\gamma \end{Bmatrix}}=\int {{c\operatorname {cos} \gamma d\gamma } \over {cos^{3}\gamma }}=c\int {{1} \over {cos^{2}\gamma }}=c\cdot \operatorname {tg} \gamma +A=c{{\sin \gamma } \over {\sqrt {1-\sin ^{2}\gamma }}}+A={{v} \over {\sqrt {1-{\left({v \over c}\right)}^{2}}}}+A\;$

(19.8)

A teraz przejdźmy do wyznaczania siły zapisanej pierwotnie w punkcie (19.7) przy pomocy obliczonej całki (19.8):

${\vec {F}}={\vec {e_{||}}}{{d} \over {dt}}{{vm_{0}} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}-{\vec {e_{\perp }}}{{m_{0}\gamma ^{-1}} \over {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}{{v^{2}} \over {r}}={{dm_{0}\gamma {\vec {v}}} \over {dt}}+{{{\vec {v}}^{2}} \over {r}}m_{0}\gamma {\vec {e}}_{\perp }-{\vec {e_{\perp }}}{{m_{0}\gamma ^{-1}} \over {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}{{u^{2}} \over {r}}={{dm_{0}\gamma {\vec {v}}} \over {dt}}+{{{\vec {v}}^{2}} \over {r}}m_{0}{\vec {e}}_{\perp }\left(\gamma -{{\gamma ^{-1}} \over {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}\right)=\;$
$={{dm{\vec {v}}} \over {dt}}+{\vec {a}}_{\perp }m_{0}\left(\gamma -{{\gamma ^{-1}} \over {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}\right)$

(19.9)

Aby wzór (19.9) był zgodny z definicją siły, tzn. ${\vec {F}}={{d{\vec {p}}} \over {dt}}={{dm{\vec {v}}} \over {dt}}\;$ (co udowodniliśmy przed chwilą), wynikającą, że tensor siły jest tensorem, to musi zachodzić:

$\gamma -{{\gamma ^{-1}} \over {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}=0\Rightarrow \gamma ^{-2}=\left(1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}\right)\Rightarrow \gamma =\pm {{1} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}\;$

(19.10)

Zatem wzór na interwał czasoprzestrzenny $ds=cdt\gamma ^{-1}\;$, gdzie $\gamma \;$ jest napisane w (19.10) (wybieramy ze znakiem plus, znak minus jest niefizyczny ze względu dla dodatniej wartości różniczki czasu powinno wynikać dodatnia wartość różniczki interwału czasoprzestrzennego), zgadza się ze wzorem na interwał czasoprzestrzenny z (16.6) jaką przyjęliśmy wcześniej do definicji wektora tensora siły (19.6) w przestrzeni zwykłej.

Masa relatywistyczna

Pierwszy człon siły ${\vec {F}}\;$, musimy przyjąć dla zgodności z mechaniką klasyczną i nazywać w nim pod różniczką w liczniku masą relatywistyczną pamiętając, że wybieramy $\gamma \;$ ze znakiem plus bo powinno zachodzić $\gamma \left(v\rightarrow 0\right)\rightarrow 1\;$, zatem wzór na masę relatywistyczną z definicji jej przyjmuje postać:

$m=m_{0}\gamma ={{m_{0}} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}\;$

(19.11)

Przybliżenie małych prędkości w porównaniu z prędkością światła dla masy relatywistycznej

Do wyrażeń matematyczno-fizycznych zastosujmy przybliżenie nierelatywistyczne, tzn.: $v\ll c\;$, tzn. (16.11), stosując:

$(1\pm x)^{y}\simeq 1\pm yx\;$

(19.12)

A $y\;$ w (19.12) jest dowolną liczbą rzeczywistą, a znienna $x\;$ spełnia warunek $-1<x<1\;$. Dla małych prędkości masa relatywistyczna jest równa w przybliżeniu masie spoczynkowej, udowodnijmy to, zatem stosując (19.12) (przybliżenie) i warunek na prędkość cząstki materii w stosunku do prędkości światła w próżni (16.11), co na podstawie transformacji masy spoczynkowej do relatywistycznej (19.11):

$m=m_{0}\gamma ={{m_{0}} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}\simeq m_{0}\left(1+{{1} \over {2}}{{v^{2}} \over {c^{2}}}\right)\simeq m_{0}\Rightarrow m\simeq m_{0}\;$

(19.13)

Siła styczna i dośrodkowa

Przy drugim członie w (19.9) przyjmowaliśmy (19.10) ze znakiem plus, czyli ten wzór na $\gamma \;$ zgadza się ze wzorem (8.9) (bo ${\vec {v}}\rightarrow {\vec {V}}\;$ jak przyjmowaliśmy przy wyprowadzaniu wzoru na siłę wiedząc, że druga zasada dynamiki Newtona jest spełniona dla prędkości dążących do zera) co teoria, którą chcemy wyprowadzić jest spójna, zatem relatywistyczna siła (19.9) na podstawie (19.10) przyjmuje postać:

${\vec {F}}={\vec {e_{||}}}{{d} \over {dt}}{{vm_{0}} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}-{\vec {e_{\perp }}}{{v^{2}} \over {r}}{{m_{0}} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}={\vec {e_{||}}}{{dp} \over {dt}}-{\vec {e}}_{\perp }m{{v^{2}} \over {r}}={\vec {e}}_{||}F_{||}+{\vec {e}}_{\perp }F_{\perp }\;$

(19.14)

• gdzie r to jest promień krzywizny toru ciała poruszającego się po zakrzywionym torze.

Pęd relatywistyczny ciała

Zdefiniujmy pęd relatywistyczny posiadanej przez ciało poprzez iloczyn masy relatywistycznej (19.11) posiadanej przez ciało przez jego prędkość zgodnie co wcześniej podaliśmy wzór na wektor pędu przy założeniu, że prędkości nie muszą być dążące do zera, przy tym wiedząc, że współczynnik γ jest podany w punkcie (19.10) przy wyborze znaku na plus, a dlaczego tak robimy już to zostało udowodnione wcześniej, a więc:

${\vec {p}}=m{\vec {v}}=m_{0}\gamma {\vec {v}}={{m_{0}} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}{\vec {v}}\;$

(19.15)

Ogólny wzór na siłę relatywistyczną działającą na ciało

Siłę relatywistyczną (19.9) wykorzystując (19.10) możemy zapisać w formie skróconej jako pochodną zupełna pędu relatywistycznego względem czasu rzeczywistego w formie:

${\vec {F}}={{d{\vec {p}}} \over {dt}}={{dm{\vec {v}}} \over {dt}}={{d} \over {dt}}m_{0}\gamma {\vec {v}}={{d} \over {dt}}{{m_{0}{\vec {v}}} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}\;$

(19.16)

Czyli ta definicja jest zgodna ze wzorem na siłę ${\vec {F}}={{d{\vec {p}}} \over {dt}}\;$ jaką wcześniej obraliśmy, którą obraliśmy z definicji tensora siły dla jej elementów przestrzennych, zatem jeszcze raz mówiąc teoria cała jest spójna, którą chcemy wyprowadzić. Zgodnie z definicją tensora siły dla jej elementów przestrzennych wynika druga zasada dynamiki Einsteina z definicji tensora siły dla mechaniki Newtona. Znając wzór na pęd ${\vec {p}}\;$ (19.15) przy założeniu, że znamy $\gamma \;$ wynikające ze wzoru (16.6), co stąd możemy napisać wzór na siłę (19.16) z definicji siły dla dowolnych prędkości $v<c\;$. Wzór (19.16) jest również w przybliżeniu spełniony dla układów słabozakrzywionych na podstawie definicji tensora siły (20.33) i zależności pomiędzy wektorem tensora siły a wektorem siły przedstawia się w formie (20.35), a także (22.7), co zachodzi dla układów słabozakrzywionych.

Wzór na przyśpieszenie ciała znając siłę działająca na ciało i jego prędkość

Policzmy czemu jest równe wyrażenie, z którego chcemy otrzymać przyspieszenie ciała, przy czym będziemy korzystać (19.16) i (19.14), wtedy:

${{1} \over {m_{0}}}\left({\vec {F}}-{{\vec {v}} \over {c^{2}}}\left({\vec {F}},{\vec {v}}\right)\right){\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}=\;$
$={{1} \over {m_{0}}}\left({{d} \over {dt}}{{m_{0}{\vec {v}}} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}-{{\vec {v}} \over {c^{2}}}\left({\vec {e_{||}}}{{dp} \over {dt}}+{\vec {e}}_{\perp }m_{0}{{v^{2}} \over {r}},{\vec {v}}\right)\right){\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}=\left({{d} \over {dt}}{{\vec {v}} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}-{{\vec {v}} \over {c^{2}}}v{{d} \over {dt}}{{v} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}\right){\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}=\;$
$=\left({{{{d{\vec {v}}} \over {dt}}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}-{\vec {v}}{{1} \over {2}}(-2){{v} \over {c^{2}}}{{dv} \over {dt}}\left(1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}\right)^{-{{1} \over {2}}}} \over {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}-{{{{\vec {v}} \over {c^{2}}}v\left({{dv} \over {dt}}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}-v{{1} \over {2}}\left(1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}\right)^{-{{1} \over {2}}}(-2){{v} \over {c^{2}}}{{dv} \over {dt}}\right)} \over {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}\right)\cdot {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}=\;$
$={\vec {a}}+{{{\vec {v}}{{v} \over {c^{2}}}{{dv} \over {dt}}-{{\vec {v}} \over {c^{2}}}v{{dv} \over {dt}}(1-{{v^{2}} \over {c^{2}}})-{{\vec {v}} \over {c^{2}}}{{v^{3}} \over {c^{2}}}{{dv} \over {dt}}} \over {\left(1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}\right)^{{3} \over {2}}}}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}={\vec {a}}+{{{\vec {v}}{{v} \over {c^{2}}}{{dv} \over {dt}}-{{\vec {v}} \over {c^{2}}}v{{dv} \over {dt}}+{{\vec {v}} \over {c^{2}}}{{v^{3}} \over {c^{2}}}{{dv} \over {dt}}-{{\vec {v}} \over {c^{2}}}{{v^{3}} \over {c^{2}}}{{dv} \over {dt}}} \over {\left(1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}\right)}}={\vec {a}}\;$

(19.17)

Stąd na podstawie obliczeń (19.17) dostajemy:

${\vec {a}}={{1} \over {m_{0}}}\left({\vec {F}}-{{\vec {v}} \over {c^{2}}}\left({\vec {F}},{\vec {v}}\right)\right){\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}={{1} \over {m_{0}\gamma }}\left({\vec {F}}-{{\vec {v}} \over {c^{2}}}\left({\vec {F}},{\vec {v}}\right)\right)={{1} \over {m}}\left({\vec {F}}-{{\vec {v}} \over {c^{2}}}\left({\vec {F}},{\vec {v}}\right)\right)$

(19.18)

Według wzoru (19.18) przyśpieszenie zależy od siły działającej na ciało, jego prędkości i masy relatywistycznej.

Zasada niezależności działania sił składowych ze sił wypadkowych, gdy każda z sił wypadkowych działa na to samo ciało poruszające się z taką samą prędkością

Jeżeli na ciało materialne będące punktowe działa kilka sił ${\vec {F}}_{i}\;$, a siła wypadkowa jest ${\vec {F}}=\sum _{i}{\vec {F}}_{i}\;$, to przyspieszenie wywołanej siłą wypadkową ${\vec {F}}\;$ jest równe sumie przyspieszeń wywołane przez siły składowe ${\vec {F}}_{i}\;$:

${\vec {a}}={{1} \over {m}}\left({\vec {F}}-{{\vec {v}} \over {c^{2}}}\left({\vec {F}},{\vec {v}}\right)\right)={{1} \over {m}}\left(\sum _{i}{\vec {F}}_{i}-{{\vec {v}} \over {c^{2}}}\left(\sum _{i}{\vec {F}}_{i},{\vec {v}}\right)\right)=\sum _{i}{{1} \over {m}}\left({\vec {F}}_{i}-{{\vec {v}} \over {c^{2}}}\left({\vec {F}}_{i},{\vec {v}}\right)\right)=\sum _{i}{\vec {a}}_{i}\Rightarrow {\vec {a}}=\sum _{i}{\vec {a}}_{i}\;$

(19.19)