Przejdź do zawartości

Szczególna teoria względności/Zestawienie transformacji w układach płaskich i słabozakrzywionych

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Szczególna teoria względności
Szczególna teoria względności
Zestawienie transformacji w układach płaskich i słabozakrzywionych

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Poniżej przedstawiamy wzory ogólne na transformacie prędkości, czasu, zmiany położenia, przy wielkościach wektorowych prostopadłych i równoległych do prędkości nowego układu odniesienia .

Transformacje dla układów globalnie (lokalnie) płaskich[edytuj]

Podamy tutaj transformacje dla układów globalnie (lokalnie) płaskich transformujące wielkości pomiędzy układami globalnie (lokalnie) płaskimi.

Wzór na transformację prędkości[edytuj]

Transformacja prędkości ciała ze starego układu współrzędnych do nowego względem prędkości jest napisana:


(14.1)

Wzór (14.1) jest spełniony tylko dla układu starego i nowego, które są układami ogólnie nieprostokątnymi.

Wzór na transformację różniczki położenia[edytuj]

Transformacje nieskończenie małej zmiany położenia ciała ze starego układu współrzędnych do nowego względem różniczki zmiany położenia i czasu w starym układzie odniesienia wyrażamy:

(14.2)

Równanie (14.2) jest spełnione dla starego i nowego układu współrzędnych, które są układami ogólnie nieprostokątnymi.

Wzór na transformację położenia w przestrzeni zwykłej[edytuj]

Gdy założymy, że dla mamy , wtedy wzór (14.2) przedstawia się w formie:

(14.3)

Wzór na transformację różniczki czasu[edytuj]

Transformacja nieskończenie małego upływu czasu ze starego układu współrzędnych do nowego względem zmiany infinitezymalnego czasu i infinitezymalnej zmiany położenia ciała wyrażamy w sposób:

(14.4)

Równanie (14.4) jest spełnione dla ogólnie nieprostokątnego układu współrzędnych starego i nowego.

Wzór na transformację czasu[edytuj]

Podobnie jak dla (14.3) tak samo zakładamy, więc:

(14.5)

Wzór na transformację kwadratu prędkości[edytuj]

Policzmy kwadrat wyrażenia mając wzór na transformacje macierzy iloczynu skalarnego przestrzennego (4.1) i wzór na transformację prędkości (14.1), wtedy:






(14.6)

Wzór (14.6) przedstawia transformacje kwadratu prędkości ze starego układu odniesienia do nowego, a transformacja odwrotna wygląda odwrotnie. Gdy otrzymujemy i odwrotnie.

Wzór na transformację przyśpieszenia[edytuj]

Obliczamy różniczkę obustronną równości (14.1), co na podstawie tego otrzymujemy równość:




(14.7)

Równość (14.7) podzielmy obustronnie przez (14.4) przedstawiający transformację różniczki czasu, wtedy otrzymujemy:



(14.8)

Stąd policzmy przyśpieszenie równoległe i prostopadłe do prędkości nowego układu odniesienia:

(14.9)
(14.10)

Transformacje dla układów słabozakrzywionych[edytuj]

Transformacja (14.1), (14.2), (14.3), (14.6) i (14.8) (czyli też (14.9) i (14.10)) są dla układów globalnie (lokalnie) płaskich, do nich są podobne transformacje, tylko że z nadkreśleniami, dla układów słabozakrzywionych transformujące wielkości pomiędzy układami słabozakrzywionymi na podstawie (10.6) (transformacji macierzy , tzn. z układu globalnie (lokalnie) płaskiego, na , tzn. do układu słabozakrzywionego), (10.4) (transformacji czasu z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do układu słabozakrzywionego), (10.4) (transformacji wektora wodzącego z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego), (10.8) (niezmienniczości iloczynu skalarnego przestrzenni zwykłej z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do układu słabozaskrzywionego) i (10.9) (niezmienniczości długości przestrzeni zwykłej z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego).

Równoważność macierzy S i M [edytuj]

Macierzowo transformacje n+1 wymiarowego tensora położenia w czasoprzestrzeni w n+1-wymiarowy wektor można napisać na podstawie wzorów: (14.2) i (14.4), w sposób:


(14.11)

Stąd macierz transformacji jest równa macierzy transformacji , czyli .