Szczególna teoria względności/Twierdzenie o środku mas w dynamice Einsteina-Newtona

Szczególna teoria względności

Twierdzenie o środku mas w dynamice Einsteina-Newtona

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

Wykaz modułów w książce
1Postulaty szczególnej teorii względności i rodzaje układów 2Podstawy teorii względności 3Przypomnienie o operatorach rzutowych 4Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji 5Wydłużenie podłużne a poprzeczne 6Układy inercjalne i nieinercjalne 7Transformacje prędkości - początek rozważań 8Transformacje różniczek czasu i położenia 9Transformacje prędkości - równania końcowe 10Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne 11Transformacje macierzy transformacji Einsteina i Newtona, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione 12Istnienie dowolnych ogólnie nieprostokątnych układów odniesienia 13Równoważności macierzy transformacji 14Zestawienie transformacji w układach płaskich i słabozakrzywionych 15Przechodniość macierzy transformacji 16Tensor metryczny Minkowskiego i jego niezmienniczość interwału czasoprzestrzennego, a stożek światła 17Baza odniesienia w mechanice Einsteina i Newtona 18Własności czasoprzestrzeni 19Trzy zasady dynamiki Einsteina 20Tensory w czasoprzestrzeni 21Konwencje Newtona i Einsteina - formułowanie drugiej zasady dynamiki Einsteina-Newtona 22Tensorowy charakter różniczki położenia oraz tensora siły w mechanine Einsteina i wektora siły w mechanice Newtona 23Formułowanie drugiej i trzeciej zasady dynamiki Einsteina-Newtona, zasada niezależności działania tensorów (wektorów) sił 24Formułowanie zasad dynamiki ruchu obrotowego 25Twierdzenie o środku mas w dynamice Einsteina-Newtona 26Pewne prawa w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości 27Pierwsza i druga zasada Lagrange'a 28Teoria funkcji lagrangianu 29Matematyczna, nie fizyczna, teoria najmniejszego działania - wprowadzenie 30Matematyczna, nie fizyczna, teoria najmniejszego działania - szczególna teoria względności 31Matematyczna, nie fizyczna, teoria najmniejszego działania - mechanika Newtona 32Matematyczna, nie fizyczna, teoria najmniejszego działania - wnioski 33Anormalne układy, tylko matematyczne, a nie fizyczne 34Definicja masy i energii, spoczynkowej i relatywistycznej, i pędu 35Niezmienniczość ciśnienia od układu odniesienia 36Lokalna zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu 37Lokalna zasada zachowania tensora pędu 38Lokalna zasada zachowania energii(masy)-pędu z lokalnej zachowawczości tensora gęstości energii(masy)-pędu 39Dyskretne i ciągłe równanie ruchu 40Lokalna zasada zachowania energii(masy)-pędu z zasady zachowania energii(masy)-pędu 41Lokalna zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu z teorii gęstości lagrangianu 42Lokalna zasada zachowania tensora pędu, z teorii gęstości lagrangianu 43Lagrangian masowy kinematyczny w mechanice Einsteina i Newtona 44Oddziaływanie elektromagnetyczne ogólnie zmienne i statyczne (pole elektromagnetyczne) z teorii gęstości lagrangianu

Spis treści
1Twierdzenie o środku mas 1.1Prędkość i przyśpieszenie, środka układu mas 1.2Pęd środka układu mas 1.3Siła środka układu mas

Następny rozdział: Pewne prawa w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości. Poprzedni rozdział: Formułowanie zasad dynamiki ruchu obrotowego.

Podręcznik: Szczególna teoria względności.

Twierdzenie o środku mas

Jeżeli mamy masy relatywistyczne (19.11) poszczególnych poruszających się cząstek o masach $m_{i}\;$ i ich położeniach ${\vec {r}}_{i}\;$ to możemy policzyć ich środek mas ${\vec {R}}\;$ , zatem:

{\vec {R}}={{\sum _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}} \over {m_{i}}}\Rightarrow \sum _{i}m_{i}{\vec {R}}=\sum _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}\;

(25.1)

Zakładamy, że zachodzi dla n-tej pochodnej położenia środka mas względem czasu:

{\vec {R}}^{(n)}={{\sum m_{i}{\vec {r}}_{i}^{(n)}} \over {\sum _{i}m_{i}}}\Rightarrow \sum _{i}m_{i}{\vec {R}}^{(n)}=\sum _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}^{(n)}\;

(25.2)

Do udowodnienia powyższego wzoru wykorzystajmy zasadę indukcji matematycznej, a więc dla n=0 wzór (25.2) przechodzi w wzór (25.1), która jest definicją położenia środka mas. Udowodnijmy twierdzenie (25.2) ale dla n+1. Zróżniczkujmy obie strony równości końcowej (25.2) względem czasu $t\;$ , wtedy:

\sum _{i}m_{i}^{(1)}R^{(n)}+\sum _{i}m_{i}{\vec {R}}^{(n+1)}=\sum _{i}m_{i}^{(1)}{\vec {r}}_{i}^{(n)}+\sum _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}^{(n+1)}\;

(25.3)

We wzorze (25.3) po przegrupowaniu i przenoszeniu w nim wyrazów mamy:

\sum _{i}m_{i}^{(1)}{\vec {R}}^{(n)}-\sum _{i}m_{i}^{(1)}r_{i}^{(n)}=\sum _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}^{(n+1)}-\sum _{i}m_{i}{\vec {R}}^{(n+1)}=C\;

(25.4)

W (25.4) lewa strona jest pisana w zmiennych n-tych pochodnych położeń punktów materialnych oraz pierwszych pochodnych mas względem czasu, a prawa w zmiennych (n+1)-tych pochodnych położeń punktów materialnych i mas punktów materialnych, a więc obie strony tej równości są przedstawione w różnych zmiennych, stąd są równe stałej. Ale gdy ${\vec {r}}_{i}^{(n)}=0\;$ , to wtedy mamy ${\vec {R}}^{(n)}=0\;$ na podstawie (25.2), stąd ta stała w (25.4) jest równa zero, a więc na podstawie tego punktu dostajemy:

0=\sum _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}^{(n+1)}-\sum _{i}m_{i}{\vec {R}}^{(n+1)}\Rightarrow {\vec {R}}^{(n+1)}={{\sum _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}^{(n+1)}} \over {\sum m_{i}}}\;

(25.5)

Stąd twierdzenie (25.2) na mocy zasady indukcji matematycznej jest spełnione.

Prędkość i przyśpieszenie, środka układu mas

Z (25.2) mamy wzór na prędkość i przyśpieszenie środka mas:

{\vec {V}}={{\sum _{i}m_{i}{\vec {v}}_{i}} \over {\sum _{i}m_{i}}}\;

(25.6)

{\vec {A}}={{\sum _{i}m_{i}{\vec {a}}_{i}} \over {\sum _{i}m_{i}}}\;

(25.7)

Pęd środka układu mas

Jeżeli wykorzystamy definicję pędu (19.15), to wtedy ten środek mas ma pęd wykorzystując wzór na prędkość środka mas (25.6), co dalej możemy zauważyć, że pęd środka masy jest sumą pędów poszczególnych elementów masowych, na podstawie tego, że założyliśmy, że masa relatywistyczna środka masy jest sumą mas relatywistycznych poszczególnych tych elementów:

{\vec {P}}=\sum _{i}{\vec {p}}_{i}\;

(25.8)

Siła środka układu mas

Zatem środek mas ma położenie (25.1), prędkość (25.6), przyśpieszenie (25.7) i n-tą pochodną $R\;$ (25.2) względem czasu $t\;$ . Jeżeli wzór (25.8) zróżniczkujemy względem czasu to otrzymujemy:

{\vec {F}}={{d{\vec {P}}} \over {dt}}={{d} \over {dt}}\sum _{i}{\vec {p}}_{i}=\sum _{i}{{d{\vec {p}}_{i}} \over {dt}}=\sum _{i}{\vec {F}}_{i}\;

(25.9)

Zatem na środek mas działa siła równa sumie sił działające na poszczególne masy.